Elektromagnetische Energiewandlung - Universität Bremen - PDF

Institut für elektrische Antriebe, Leistungselektronik und Bauelemente Fachgebiet elektrische Antriebe und Leistungselektronik Elektromagnetische Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi 2024 Universität Bremen...

Institut für elektrische Antriebe, Leistungselektronik und Bauelemente Fachgebiet elektrische Antriebe und Leistungselektronik Elektromagnetische Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi 2024 Universität Bremen Inhaltsverzeichnis I Inhaltsverzeichnis 1 Kapitel I: Einführung.................................................................................................. 1 1.1 Einleitung................................................................................................................................. 1 1.2 Vorlesungsinhalte.................................................................................................................... 1 1.3 Formelzeichenkonvention....................................................................................................... 1 1.4 Komplexe Größe und Zeigerdiagramm................................................................................... 2 1.5 Oberwellen und Oberschwingungen....................................................................................... 3 1.6 Gleichstromkreis...................................................................................................................... 4 1.7 Wechselstromkreis.................................................................................................................. 6 1.8 Dreiphasiges System................................................................................................................ 9 1.9 Ersatzschaltbilder.................................................................................................................. 11 2 Grundlage der Magnetik.......................................................................................... 13 2.1 Magnetischer Fluss................................................................................................................ 13 2.2 Durchflutungsgesetz.............................................................................................................. 17 2.3 Induktionsgesetz................................................................................................................... 18 2.4 Magnetisches Ersatzschaltbild.............................................................................................. 20 2.4.1 Berechnung eines Magnetkreises................................................................................. 22 2.5 Induktivität............................................................................................................................ 23 2.6 Transformator....................................................................................................................... 26 2.6.1 Bestimmung der Ersatzschaltbildgrößen....................................................................... 28 2.7 Elektrisches Ersatzschaltbild eines Magnetkreises............................................................... 29 3 Magnetische Materialien und Eigenschaften............................................................ 37 3.1 Weichmagnetische Materialien............................................................................................ 37 3.1.1 Sättigungserscheinungen.............................................................................................. 39 3.1.2 Stromabhängigkeit der Induktivität.............................................................................. 41 3.1.3 Hysterese....................................................................................................................... 42 3.2 Permanentmagneten............................................................................................................ 42 3.3 Ummagnetisierungsverluste................................................................................................. 42 3.3.1 Wirbelstromverluste..................................................................................................... 42 3.3.2 Hystereseverluste.......................................................................................................... 42 4 Elektromagnetische Kraft und Energie...................................................................... 43 4.1 Lorentzkraft........................................................................................................................... 43 4.2 Maxwell Spannungstensor.................................................................................................... 43 Inhaltsverzeichnis II 4.3 Drehmomentbildung in elektrischen Maschinen.................................................................. 43 4.4 Energie und Ko-Energie......................................................................................................... 43 5 Drehfeldmaschinen.................................................................................................. 44 5.1 Konventionen bei elektrischen Maschinen........................................................................... 44 5.1.1 Elektrische Antriebssysteme......................................................................................... 44 5.1.2 Rotatorische Bewegung................................................................................................. 44 5.1.3 Winkeldefinition in rotierenden Maschinen................................................................. 44 5.1.4 Grundlegende physikalische Größen............................................................................ 44 5.1.5 Häufig vorkommende Zahlenfaktoren.......................................................................... 44 5.1.6 Verbraucherzählpfeilsystem.......................................................................................... 44 5.1.7 Drehgeschwindigkeiten in rotierenden Maschinen...................................................... 44 5.2 Erzeugung eines Drehfelds.................................................................................................... 45 5.2.1 Erregung eines Wechselfelds........................................................................................ 45 5.2.2 Fourierzerlegung........................................................................................................... 45 5.3 Drehmomenterzeugung........................................................................................................ 45 5.3.1 Grundlage der Oberfeldtheorie..................................................................................... 45 5.4 Wicklungsfaktoren................................................................................................................. 45 5.5 Drehfeldwicklungen.............................................................................................................. 45 5.6 Ersatzschaltbild der allgemeinen Drehfeldmaschine............................................................ 45 5.6.1 Induktivität der Statordrehfeldwicklung....................................................................... 45 5.6.2 Der Schlupf in der Drehfeldmaschinen......................................................................... 45 5.6.3 Allgemeines Ersatzschaltbild der Drehfeldmaschine.................................................... 45 5.7 Leistungsbilanz in Drehfeldmaschinen.................................................................................. 45 6 Vollpolsynchronmaschine........................................................................................ 46 6.1 Funktionsprinzip der Synchronmaschine.............................................................................. 46 6.2 Rotorausführung................................................................................................................... 46 6.3 Vollpolsynchronmaschine..................................................................................................... 46 6.3.1 Ersatzschaltbild einer Vollpolsynchronmaschine.......................................................... 46 6.3.2 Betriebsverhalten einer Vollpolsynchronmaschine...................................................... 46 6.3.3 Drehmoment einer Vollpolsynchronmaschine............................................................. 46 6.3.4 Stromorstkurve einer Vollpolsynchronmaschine.......................................................... 46 7 Schenkelpolsynchronmaschine................................................................................. 47 7.1.1 Betriebsverhalten einer Schenkelpolsynchronmaschine.............................................. 47 7.1.2 Zweiachsen Model einer Schenkelpolsynchronmaschine............................................. 47 Inhaltsverzeichnis III 7.1.3 Drehmoment einer Schenkelpolsynchronmaschine..................................................... 47 7.1.4 Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine........................................................... 47 7.2 Dämpferwicklung.................................................................................................................. 47 7.3 Netzanlauf von Synchronmaschinen..................................................................................... 47 7.3.1 Synchrone Reluktanzmaschine...................................................................................... 47 8 Permanentmagneterregte Synchronmaschine.......................................................... 48 8.1 Rotorausführung................................................................................................................... 48 8.2 Ersatzschaltbild einer Permanentmagnetsynchronmaschine............................................... 48 8.3 Das Rastmoment................................................................................................................... 48 8.4 Regelung einer Permanentmagnetsynchronmaschine......................................................... 48 9 Block-kommutierte Synchronmaschine.................................................................... 49 9.1 Synchronmaschine mit trapezförmiger induzierter Spannung............................................. 49 9.2 Positionserfassung mittels Hallsensors................................................................................. 49 9.3 Leistungselektronische Stromsteller..................................................................................... 49 9.4 Block-Kommutierung............................................................................................................. 49 9.5 Drehmoment und Leistung................................................................................................... 49 10 Induktionsmaschinen........................................................................................... 50 10.1 Rotorausführung................................................................................................................... 50 10.2 Betriebsverhalten der Induktionsmaschine.......................................................................... 50 10.3 Stromortskurve der Induktionsmaschine.............................................................................. 50 10.4 Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie......................................................................................... 50 10.5 Leerlauf und Kurzschlusskennlinie........................................................................................ 50 10.6 Grundlage des Anlaufs der Induktionsmaschine................................................................... 50 10.7 Drehzahlstellung.................................................................................................................... 50 10.8 Grundlage des Stromverdrängungsläufers............................................................................ 50 11 Gleichstrommaschinen......................................................................................... 51 11.1 Funktionsprinzip einer Gleichstrommaschine....................................................................... 51 11.2 Aufbau einer Gleichstrommaschine...................................................................................... 51 11.3 Ankerwicklung....................................................................................................................... 51 11.4 Bestimmung des Erregerfeldes............................................................................................. 51 11.5 Drehmoment und induzierte Spannung................................................................................ 51 11.6 Feldbildeines Gleichstrommaschine...................................................................................... 51 11.7 Ersatzschaltbilder.................................................................................................................. 51 11.7.1 Fremderregte Gleichstrommaschine............................................................................. 51 Inhaltsverzeichnis IV 11.7.2 Permanentmagneterregte Gleichstrommaschine......................................................... 51 11.7.3 Reihenschlussgleichstrommaschine.............................................................................. 51 11.7.4 Nebenschlussgleichstrommaschine.............................................................................. 51 11.8 Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien....................................................................................... 51 11.9 Ankerrückwirkung................................................................................................................. 51 11.10 Kommutierung des Ankerstromes..................................................................................... 51 11.11 Universalmotor.................................................................................................................. 51 Formelverzeichnis........................................................................................................... 52 Einleitung 1 1 Kapitel I: Einführung 1.1 Einleitung 1.2 Vorlesungsinhalte 1.3 Formelzeichenkonvention Um physikalische und mathematische Zusammenhänge präzise und korrekt darzustellen, werden in diesem Skript die folgenden Formelzeichenkonventionen verwendet:  Ein Pfeil über dem Formelzeichen gibt eine vektorielle Größe an, z. B. 𝑒⃗ für Einheitsvektor.  Ein Dach steht für einen Amplitudenwert, z. B. 𝐴.  Ein Strich über dem Formelzeichen steht für einen Mittelwert eines Signals, z. B. 𝐵.  Ein Strich unter dem Formelzeichen steht für einen Zeiger, z. B. 𝐼.  Effektivwerte werden mit dem Index „eff“ markiert (z. B. 𝐵 ).  Die zeitabhängigen Größen werden kleingeschrieben. Dies gilt nicht für die Flussdichte 𝐵, die immer großgeschrieben wird.  Ein Prime beschreibt eine Dichte oder eine bezogene Größe, z. B. 𝑄. Dementsprechend ist 𝐼 der Erregerstrom einer Synchronmaschine und 𝐼 ist der Erregerstrom bezogen auf die Statorseite. Die Größen werden mit bis zu vier Indizes beschrieben, die durch Kommas voneinander getrennt sind.  Der erste Index beschreibt die Größe oder Richtung z. B. „D“ für Dämpfer, „ZK“ für Zwischenkreis.  Der zweite Index beschreibt den genauen Ort, z. B. „S“ für Stator. Falls es mehrere Ebenen gibt, werden diese von außen nach innen innerhalb einer Klammer beschrieben, z. B. (N7,O) für die Oberlage in Nut Nummer 7.  Der dritte Index beschreibt die Ordnungszahl der Größe, z. B. 5 für die fünfte Ordnung.  Der vierte Index beschreibt die Eigenart, z. B. „max“ für Maximalwert oder „eff“ für Effektivwert. Beispiel: Verlustleistung in Pol Nummer 8 im dritten Dämpferstab: 𝐼( , ,) 𝑃 ,( , ) = 𝑅( , ,) √2 Grundsätzlich werden ausschließlich Größengleichungen verwendet. Korrekt ist 𝑓 = 𝑝 · 𝑛; 𝑓 = 𝑝 · ist falsch. In besonderen Fällen können zugeschnittene Größengleichungen benutzt werden. Dabei wird jede Größe durch die zugehörige Einheit dividiert, z. B. = 10 ⋅ ⋅.  Formelzeichen für physikalische Größen sowie physikalische Konstanten werden kursiv geschrieben. 𝐶 (Kapazität), 𝑚 (Masse), 𝜇 = 1,256637 ⋅ 10 ⋅ N ⋅ A  Einheiten sowie deren Vorsätze werden geradestehend geschrieben. m (Meter); C (Coulomb); μm (Mikrometer) Es gibt: [𝑡] = s (Bedeutung: Die Einheit der Größe Zeit ist Sekunde). Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Komplexe Größe und Zeigerdiagramm 2  Zeichen für Operatoren, deren Bedeutung konventionell (feststehend) ist, werden geradestehend geschrieben. sin (Sinus); d (Differentialoperator); Δ (Differenz); Σ (Summe) Das Skalarprodukt zweier Vektorgrößen wird zwingend durch einen Multiplikationspunkt gekennzeichnet werden. 𝛩= 𝛩 = 𝐻⃗ ⋅ d𝑠⃗ 1.4 Komplexe Größe und Zeigerdiagramm Für die Analyse des stationären Betriebs der Drehfeldmaschinen kommen u. a. die Zeigerdiagramme zum Einsatz, da sie eine einfache und anschauliche Möglichkeit zur Darstellung und Berechnung von Wechselgrößen anbieten. Das Zeigerdiagramm wird auf der Basis der komplexen Größen gebildet. Hierzu wird angenommen, dass alle betrachteten Größen in einem System mit der gleichen Frequenz schwingen. Dabei ist 𝑓 die Frequenz und 𝜔 = 2π𝑓 wird als Kreisfrequenz bezeichnet. Die Berechnung mit den komplexen Größen wurde in den Grundlagen Vorlesungen bereits ermittelt. Es folgt lediglich eine kurze Zusammenfassung zur Auffrischung des bereits erlangten Wissens. Abbildung 1-1-links zeigt eine physikalische Größe 𝑥(𝑡), z. B. eine Spannung. Die Amplitude dieser Größe ist 𝑥 und deren Effektivwert lässt sich wie folgt berechnen: 𝑥 =. Die amplitudbasierte √ Zeigerdarstellung dieses Signals ist in Abbildung 1-1-rechts dargestellt. Vereinfacht kann festgelegt werden, dass der Zeiger 𝑥 die Position der Amplitude des Signals relativ zur realen Achse anzeigt. Sollte die Amplitude des Signals zum Zweck der Zeigerbildung verwendet werden, ergeben sich folgende Zusammenhänge: 1-1 𝑥(𝑡) = 𝑥 ⋅ cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑥=𝑥 𝑥 =𝑥 ⋅e Anmerkung: In einem System mit mehreren Zeigergrößen, kann entweder die Amplitude oder der Effektivwert der Größen als Zeigergröße ausgewählt werden. Dabei ist es wichtig, dass dies vorerst für alle Größen einheitlich durchgeführt und eindeutig definiert wird. Abbildung 1-1: Komplexe Größe und deren Zeiger Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Oberwellen und Oberschwingungen 3 Die Beziehung zwischen der komplexen Größe 𝑥 und dem zugehörigen Augenblickswert 𝑥 lautet: 𝑥 = Re 𝑥e 1-2 Werden alle mit 𝜔 rotierenden Größen in einem System als Zeiger definiert, können die mathematischen Operationen an den Größen unkompliziert durchgeführt werden. Abbildung 1-2 zeigt bespielhaft zwei Signale 𝑥(𝑡) und 𝑦(𝑡) mit einer Phasenverschiebung von 𝜑 − 𝜑 zueinander. Abbildung 1-2: Darstellung der komplexen Größen 𝑥 und 𝑦 als Zeiger in der komplexen Ebene Sollten 𝑦 und 𝑥 beispielsweise die Spannung und der Strom in einer RL-Schaltung repräsentieren, lässt sich die Impedanz der Schaltung wie folgt berechnen: 𝑦 𝑦 ⋅e 1-3 𝑍= = 𝑥 𝑥 ⋅e Bei Erstellung von Zeigerdiagrammen für elektrische Maschinen muss zwangsläufig eine Physikalische Größe als Referenzeiger deklariert werden. In der Regel wird die Klemmenspannung der Maschine entlang der realen Achse angenommen, d. h. 𝑈 = 𝑈 e und alle üblichen Zeiger, wie. z. B. Strom, Polradspannung etc., werden in Bezug zum Referenzzeiger gezeichnet bzw. berechnet. 1.5 Oberwellen und Oberschwingungen Die physikalischen Größen in elektrischen Maschinen, wie z. B. magnetische Felder, sind zwar periodisch dennoch selten rein sinusförmig. Diese in der Regel ungeraden Funktionen können mithilfe der Fourier-Reihen als Summe einer unendlichen Anzahl von trigonometrischen Funktionen, d. h. Harmonische, dargestellt werden. Demnach lässt sich z. B. ein ungerades Rechtecksignal mit der Grundschwingungsfrequenz 𝑓 als Summe unendlicher Harmonischen darstellen, wobei die erste Harmonische mit der Frequenz 𝑓 als Hauptwelle und die höheren Harmonischen (Ordnungszahlen) mit den Frequenzen 3𝑓, 5𝑓, 7𝑓 etc. als Oberschwingungen bezeichnet werden. Es wird in deutscher Fachsprache und auf dem Gebiet der elektrischen Maschinen zwischen der Oberschwingung und Oberwellen unterschieden: Die Harmonischen der zeitabhängigen Physikalischen Größen wie Spannung, Strom und Fluss werden als Oberschwingungen und die der raumwinkelabhängigen Größen wie Luftspaltinduktion als Oberwellen bzw. Oberfelder bezeichnet (siehe Abschnitt 5.1). Abbildung 1-3 zeigt eine fiktive Luftspaltinduktion einer Drehfeldmaschine. Die Originalfunktion 𝐵(𝛾) lässt sich wie folgt als Summe der ersten sechs Harmonischen (1, 3, 5, 7, 9, 11) nachbilden: 1-4 𝐵(𝛾) = 𝐵 ⋅ cos(𝜈𝛾 + 𝜑 ) , , ,… Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Gleichstromkreis 4 Mit steigender Ordnungszahl sinkt die Amplitude der Harmonischen (für ein ideales Rechtecksignal mit 𝐵~ ⋅ ). Es wird stets versucht, durch konstruktive Maßnahmen, die Amplitude der Oberfelder in Drehfeldmaschinen soweit wie möglich zu reduzieren oder gar gezielt zu eliminieren. Die im vorherigen Abschnitt vorgestellte Zeigerdarstellung gilt lediglich für die Hauptwelle, d. h. für 𝐵. Die Wirkung der Oberfelder in Drehfeldmaschinen wird indirekt mithilfe des Koeffizienten der doppeltverketteten Streuung berücksichtigt. Abbildung 1-3: Fourier-Zerlegung eines Signals 1.6 Gleichstromkreis Abbildung 1-4 stellt einen einfachen elektromagnetischen Kreis dar, in dem ein Kupferdraht mit dem Querschnitt 𝐴 und einer Gesamtlänge von (𝑙 ) um einen idealen Magnetkern (𝜇 → ∞, 𝜎 = 0) gewickelt worden ist. Wie aus dem Bild hervorgeht, beträgt die Windungszahl der Spule 𝑤 = 8. Die Spule ist von einer idealen Gleichspannungsquelle ohne inneren Widerstand eingespeist. Gegenstand der Untersuchung ist zunächst das elektrische Verhalten des Magnetkreises mittelbar (nach einer langen Zeit) nach Anschluss an die Spannungsquelle. Abbildung 1-4: Ersatzschaltbild eines einfachen Magnetkreises In diesem Fall verhält sich der Magnetkreis wie ein einfacher Widerstand, unabhängig der Tatsache, dass der Draht um einen Magnetkern gewickelt worden ist. Der Widerstand des Drahts ist eine Funktion dessen Querschnitt, Länge und temperaturabhängige Leitfähigkeit. Die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands kann annäherungsweise wie folgt gegeben werden: Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Gleichstromkreis 5 𝜌 =𝜌 ⋅ (1 + 𝛼 ⋅ Δ𝜗 ) 1-5 Wobei 𝜌 ist der spezifische Widerstand bei einer Temperatur von 20 °C, 𝛼 ist der Temperaturkoeffizient und Δ𝜗 bezeichnet den Temperaturunterschied zu 20 °C, d. h. Δ𝜗 = 𝑇 − 20 °C. Die Werte des spezifischen Widerstands und der Leitfähigkeit einiger für Energiewandlung relevanten Materialien sind in der Tabelle 1-1 aufgelistet. Tabelle 1-1: Spezifischer Widerstand und Leitwert einiger für Energiewandlung relevanter Materialien Material Spezifischer Spezifische Temperaturkoeffizient Widerstand 𝜌 in Leitfähigkeit 𝜎 in 𝛼 in K 10 Ωm bei 20 °C 10 Sm bei 20°C Kupfer 0,01786 56 0,00392 Aluminium 0,02857 35 0,0038 Eisen 0,12 7,7 0,0025 Stahl 0,13 7,7 0,005 Messing (CuZn5) 0,03 33 0,0023 Die Widerstände in einem elektrischen Kreis können in Reihe oder parallelgeschaltet werden. Bei einer Reihenschaltung fließt derselben Strom durch die beiden Widerstände der Abbildung 1-5-links. Im Hinblick auf die Schaltung können folgende Zusammenhänge festgelegt werden: 1-6 𝑈 = (𝑅 + 𝑅 ) ⋅ 𝐼 𝑈 =𝑈 +𝑈 𝐼 =𝐼 =𝐼 𝑅 𝑈 =( )⋅𝑈 𝑅 +𝑅 Bei einer Parallelschaltung dahingegen teilen sich die beiden Widerstände der Abbildung 1-5-rechts den gesamten Strom: 1-7 𝑅 𝑅 𝑈 = ⋅𝐼 𝑅 +𝑅 𝑈 =𝑈 =𝑈 𝐼 =𝐼 +𝐼 Anschließend kann die Leistung eines Widerstands wie folgt gegeben werden: 1-8 𝑃 =𝑈 ⋅𝐼 𝑈 𝑃 =𝑈 ⋅𝐼 =𝑅 ⋅𝐼 = 𝑅 Es handelt sich dabei in der Regel um die Verlustleistung in W. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Wechselstromkreis 6 𝐼 𝑅 𝑅 𝐼 𝐼 𝐼 𝑈 𝑈 𝑈 𝑅 𝑅 𝑈 𝑈 𝑈 Reihenschaltung Parallelschaltung Abbildung 1-5: Reihen- und Parallelschaltung 1.7 Wechselstromkreis Wird der Magnetkreis des vorherigen Abschnitts mit einer Wechselspannungsquelle, d. h. 𝑢 (𝑡) = 𝑈 ⋅ cos(2π𝑓 ⋅ 𝑡) versorgt, wird das elektrische Ersatzschaltbild gänzlich anders aussehen (Abbildung 1-6). In diesem Fall spielt der Widerstand eine untergeordnete Rolle, deshalb ist dies im Ersatzschaltbild gestrichelt dargestellt. Es sollte darauf hingewiesen werden, dass die Frequenzabhängigkeit des Widerstands, welche bei der Berechnung elektrischer Maschinen eine nicht vernachlässigbare Rolle spielt, hier nicht berücksichtigt wurde. Auf diesen Aspekt wird in der Vorlesung „Elektrische Antriebssysteme“ näher eingegangen. Die physikalischen Hintergründe zur Entstehung des Ersatzschaltbildes der Abbildung 1-6 wird im Abschnitt 2.7 erläutert. Da es sich nun um Wechselgrößen sinusförmiger Natur handelt, kommen komplexe Größen im Ersatzschaltbild zum Einsatz. Abbildung 1-6: Einfacher Magnetkreis eingespeist von einer Wechselspannungsquelle In Zeitbereich können die Induktivität- und Widerstandsspannungen wie folgt gegeben werden: 1-9 d𝑖 (𝑡) 𝑢 (𝑡) = 𝐿 ⋅ d𝑡 𝑢 (𝑡) = 𝑅 ⋅ 𝑖 (𝑡) Demnach lässt sich die Spanungsgleichung im Zeitbereich wie folgt aufstellen: d𝑖 (𝑡) 1-10 𝑢 (𝑡) = 𝐿 ⋅ + 𝑅 ⋅ 𝑖 (𝑡) d𝑡 Diese stellt eine differenzielle Gleichung erster Ordnung dar, die mithilfe der bekannten Anfangswerte berechnet werden kann. Allerdings ist dies nicht die einfachste Herangehensweise, wenn die Untersuchung des Einschwingverhaltens im Vordergrund steht. Hierzu ist die Berechnung mit komplexen Größen von Vorteil. Gl. 1-10 kann im Frequenzbereich wie folgt umformuliert werden: Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Wechselstromkreis 7 𝑈 = j𝜔𝐿 ⋅ 𝐼 + 𝑅 ⋅ 𝐼 1-11 Demnach kann der Betrag des Effektivwerts des Stroms wie folgt direkt berechnet werden: 𝑈 , 1-12 𝐼 , = √𝑅 + 𝜔 𝐿 Wie der Abbildung 1-7-links zu entnehmen ist, eilt der Strom 𝐼 der Spannung 𝑈 um eine Phasenverschiebung von 𝜑 nach (induktives Verhalten). Dies kann mithilfe der Zeigerbilder gemäß Abbildung 1-7-Mitte wiedergegeben werden, bei der 𝑈 der Referenzzeiger ist. Sollte nun für jeden Zeitpunkt die entsprechenden Augenblickswerte der Spannung und des Stroms im Koordinatensystem der Abbildung 1-7-rechts gezeichnet werden, verläuft der Punkt [𝑖 (𝑡), 𝑢 (𝑡)] den Umfang einer Ellipse mit einer Kreisfrequenz von 𝜔. Diese Darstellung ist für eine rein ohmsche Last (𝐿 = 0) und eine rein induktive Last (𝑅 = 0) eine Linie beziehungsweise ein Kreis. Abbildung 1-7: Zeigerdiagramm eines induktiven elektrischen Kreises Wie bereits erwähnt, besteht keine Phasenverschiebung zwischen der Spannung und des Stroms eines Widerstands. Demnach lässt sich die momentane Leistung eines mit Wechselspannung versorgten Widerstands wie folgt berechnen: 1-13 𝑃 (𝑡) = 𝑢 (𝑡) ⋅ 𝑖 (𝑡) = 𝑈 ⋅ cos(𝜔𝑡) ⋅ 𝐼 ⋅ cos(𝜔𝑡) 𝑈 ⋅𝐼 𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ cos(2𝜔𝑡) 𝑃 (𝑡) = 𝑈 ⋅ 𝐼 ⋅ (cos(𝜔𝑡)) = + 2 2 Gl. 1-13 nach, besteht die momentane Leistung 𝑃 (𝑡) aus einem konstanten und einem mit doppelter Frequenz schwingenden Wechselanteil (Abbildung 1-8). Für die Berechnung der Wirkleistung muss die momentane Leistung über eine Periode 𝑇 integriert bzw. der Mittelwert berechnet werden. ⋅ ⋅ ( ) Dementsprechend verschwindet der Wechselanteil der Leistung, denn ∫ d(𝜔𝑡) = 0. Der verbleibende konstante Anteil der Leistung lässt sich wie folgt formulieren: 𝑈 ⋅𝐼 𝑈 𝐼 1-14 𝑃 = = ⋅ =𝑈 ⋅𝐼 2 √2 √2 Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Wechselstromkreis 8 Abbildung 1-8: Momentane Leistung eines Widerstands Im Gegensatz zu einem Widerstand eilt der Strom einer Induktivität ihre Spannung um 90° nach. Demensprechend ergibt sich die momentane Leistung der Induktivität durch: 1-15 π 𝑃 (𝑡) = 𝑢 (𝑡) ⋅ 𝑖 (𝑡) = 𝑈 cos(𝜔𝑡) ⋅ 𝐼 cos 𝜔𝑡 − 2 𝑈 ⋅𝐼 π π = ⋅ cos 2𝜔𝑡 − + cos 2 2 2 Der zweite Term der Gl. 1-15 ist stets null und der erste Term wird nach dem Integrieren über eine Periode null. Somit bestätigt sich die Aussage, dass eine reine Induktivität keine Wirkleistung aufweisen kann. Im Allgemeinen kann die Wirklistung einer RL-Last wie folgt gegeben werden: 1-16 𝑃 (𝑡) = 𝑢 (𝑡) ⋅ 𝑖 (𝑡) = 𝑈 cos(𝜔𝑡) ⋅ 𝐼 ⋅ cos(𝜔𝑡 − 𝜑) äß ( )⋅ ( ) ( ( ) ( )) 𝑈 ⋅𝐼 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⋅ (cos(2𝜔𝑡 − 𝜑) + cos(𝜑)) 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑈 ⋅𝐼 ⋅ cos(𝜑) Abbildung 1-9 zeigt der zeitliche Verlauf der momentanen Wirkleistung für drei verschiede Phasenwinkel: 𝜑 = 0 für eine rein ohmsche Last, 𝜑 = 90° für eine rein induktive Last und 𝜑 = 45° für eine beispielhafte RL-Last. Abbildung 1-9: Zeitliche Verlauf der momentanen Leistung Gemäß Abbildung 1-9-rechts nimmt eine Induktivität für eine halbe Periode die Leistung auf und gibt sie in der zweiten Hälfte der Periode wieder ab. Somit ist die Wirkleistung zwar per Definition null, Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Dreiphasiges System 9 dennoch muss diese Wechselwirkung mit der Spannungsquelle quantitativ dargestellt werden. Dies erfolgt durch Einführung von Blindleistung. Somit ergeben sich zwischen der Scheinleistung 𝑆, der Wirkleistung 𝑃 und der Blindleistung 𝑄 folgende Zusammenhänge: 1-17 S = 𝑈 ⋅ 𝐼∗ = 𝑈 𝐼 = 𝑃 + j𝑄 𝑆= 𝑈 ⋅𝐼 ⋅ cos(𝜑) + j ⋅ 𝑈 ⋅𝐼 ⋅ sin(𝜑) Im Verbraucherzählpfeilsystem ist die Wirkleistung eines Generators 𝑃 < 0 und eines Motors 𝑃 > 0. Weiterhin gilt 𝑄 > 0 für ein kapazitives Verhalten, d. h. induktive Verbraucher können versorgt werden, und 𝑄 < 0 für ein induktives Verhalten, d. h. kapazitive Verbraucher können versorgt werden. 1.8 Dreiphasiges System In einem symmetrischen dreiphasigen System besteht eine Phasenverschiebung von zwischen den einzelnen Phasen (Abbildung 1-10). Folglich können die dreiphasigen Spannungen und Ströme wie folgt gegeben werden: 1-18 𝑈 = 𝑈 ⋅ cos(𝜔𝑡) 𝐼 = 𝐼 ⋅ cos(𝜔𝑡 − 𝜑) ⎧ ⎪𝑈 = 𝑈 ⋅ cos 𝜔𝑡 − 2π 𝐼 = 𝐼 ⋅ cos 𝜔𝑡 − 2π −𝜑 3 3 ⎨ 4π 4π ⎪ 𝑈 = 𝑈 ⋅ cos 𝜔𝑡 − 𝐼 = 𝐼 ⋅ cos 𝜔𝑡 − −𝜑 ⎩ 3 3 Hinweis: In dieser Vorlesung werden lediglich symmetrische Maschinen mit symmetrischer Versorgung betrachtet, d. h. 𝑈 = 𝑈 = 𝑈 = 𝑈 , 𝐼 = 𝐼 = 𝐼 = 𝐼 und 𝜑 = 𝜑 = 𝜑 = 𝜑. Abbildung 1-10: Symmetrisches dreiphasiges System In einem dreiphasigen System muss stets zwischen den Phasen- (Strang) und Leitergrößen unterschieden werden. Die Benennung der Spannungen ist in der Abbildung 1-11 festgelegt. Der Zusammenhang zwischen den Strang- und Leiterspannungen und Strömen ergibt sich durch die Art der Zusammenschaltung (Stern- oder Dreieckschaltung). Bei einer Sternschaltung werden die drei Stränge an ihren Enden miteinander verbunden und bilden somit den Sternpunkt (Neutralpunkt 𝑁). Sollte ein Neutralleiter ausgeführt werden, wird dies mit dem Sternpunkt verbunden. Die Anfänge der drei Stränge bilden folglich die Anschlüsse für die Leiteranschlüsse. Die Strangspannungen sind um den Verkettungsfaktor (√3) niedriger als die Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Dreiphasiges System 10 Leiterspannungen. Es herrscht zudem eine Phasenverschiebung von 30° zwischen den Strang- und Leitergrößen. In der Dreieckschaltung, wie der Name schon verrät, werden die drei Stränge in Form eines Dreiecks bzw. Delta miteinander verbunden. Somit ist bei einer Dreieckschaltung im Gegensatz zu einer Sternschaltung kein Neutralpunkt vorhanden. Wird nun lediglich die Amplitude der Strang- und Leitergrößen betrachtet, ergeben sich folgende Zusammenhänge für Stern- und Dreieckschaltung: 1-19 Sternschaltung Dreieckschaltung 𝑈 = √3 ⋅ 𝑈 𝑈 =𝑈 𝐼 =𝐼 𝐼 = √3 ⋅ 𝐼 Bei einer Stern-Dreieck-Anlaufschaltung werden die Eigenschaften beider Schaltungen kombiniert. Demnach wird eine Induktionsmaschine, die in der Regel einen großen Anlaufstrom benötigt, zunächst in Stern geschaltet, wodurch eine geringe Spannung an den Motorphasen liegt 𝑈 =. Schließlich √ wird der Motor mithilfe einer Stern-Dreieckschaltung in Dreieck geschaltet, wodurch er mit einer höheren Phasenspannung versorgt wird (𝑈 = 𝑈 ). In der Praxis durchläuft der Motor im Moment der Umschaltung Ausgleichvorgänge, die bei Hochleistungsmaschinen im Voraus berechnet werden müssen. Dieser Prozess wird in der Vorlesung „Elektrische Antriebssysteme“ näher betrachtet. Abbildung 1-11: Dreiphasiges System Je nachdem ob Stern- oder Leitergrößen zur Berechnung der Leistung verwendet werden, ergeben sich folgende Zusammenhänge: 𝑃 =3⋅𝑈 ⋅𝐼 ⋅ cos(𝜑) = √3 ⋅ 𝑈 ⋅𝐼 ⋅ cos(𝜑) 1-20 𝑄 =3⋅𝑈 ⋅𝐼 ⋅ sin(𝜑) = √3 ⋅ 𝑈 ⋅𝐼 ⋅ sin(𝜑) Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Ersatzschaltbilder 11 1.9 Ersatzschaltbilder Im Lauf dieses Skripts werden Ersatzschaltbilder zum stationären Betrieb von verschiedenen Maschinen erstellt. Diese mögen im ersten Blick unterschiedlich aussehen, lassen sich dennoch mithilfe eines vereinfachten grundlegenden Ersatzschaltbilder erklären. Demnach wird in diesem Abschnitt ein einfaches Ersatzschaltbild erläutert, das im Lauf des Skripts in verschiedenen Varianten immer wieder vorkommt. Abbildung 1-12 zeigt ein DC-Ersatzschaltbild bestehend aus drei grundlegenden Elementen: 𝑅, 𝐿 und 𝑈. 𝑅: In elektrischen Maschinen wird die Durchflutung aus dem Strom, der in den Wicklungen fließen, erzeugt. Diese Wicklung (in der Regel aus Kupfer) weist einen Widerstand auf, dessen Effekt mit 𝑅 im Ersatzschaltbild berücksichtigt wird. Bei einer Gleichstrommaschine bezieht sich 𝑅 auf die Ankerwicklung. 𝐿: Die Induktivität gibt das Verhältnis zwischen dem Strom und dem daraus resultierenden Feld wieder. Im Ersatzschaltbild bzw. in Spannungsdifferenzialgleichungen beschreibt sie die Folge des Faraday’sche-Gesetzes, welches besagt, dass die zeitliche Änderung des Flusses (genauer gesagt Flussverkettung) eine Spannung erzeugt. Im stationären Betrieb einer Gleichstrommaschine kann 𝐿 vernachlässigt werden, da deren Effekt mit 𝐿 = 0 in das Ersatzschaltbild eingeht, und es gilt = 0. In Drehfeldmaschinen mit Wechselströmen ist 𝐿 immer vorhanden, da der zeitvariable Wechselstrom einer Phase stets einen zeitvariablen Fluss erzeugt, dessen zeitlichen Änderung nicht mehr null ist. Bei den Drehfeldmaschinen ist die Wirkung der 𝐿 (𝑋 = j𝜔𝐿) in der Regel viel größer als 𝑅, sodass 𝑅 im Vergleich zu 𝑋 teilweise vernachlässigt wird. 𝑈 : Ist die induzierte Spannung und zugleich das Merkmal elektrischer Maschinen. Die physikalische Grundlage ihre Entstehung ist zwar immer noch das Faraday’sche-Gesetz, bezeichnet sie allerdings die Flussänderung, die durch eine mechanische Bewegung zustande kommt. Somit enthält sie indirekt die Wirkung der Lorentzkraft (𝑈 = 𝑣𝑏𝑙). Diese Größe, die allein durch eine mechanische Relativbewegung einer Spule zu einem Feld entsteht, hebt das Gebiet der elektrischen Maschinen von den anderen Anwendungsgebieten der Elektrotechnik ab und verbindet die unsichtbare Welt der Elektromagnetik mit der wahrnehmbaren Welt der Mechanik. Abbildung 1-12: DC-Ersatzschaltbild Die Spannungsgleichung der Abbildung 1-12 lässt sich wie folgt formulieren: d𝐼 1-21 𝑈 = 𝑅𝐼 +𝐿 +𝑈 d𝑡 Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Ersatzschaltbilder 12 Der Strom kann direkt aus Gl. 1-21 berechnet werden. Die Lösung ist eine exponentielle Funktion, welche in Abbildung 1-12-dargestellt ist. Die Anlaufzeit wird aus der elektrischen Zeitkonstante (𝜏 = ) berechnet. Abbildung 1-13 zeigt das AC-Ersatzschaltbild mit denselben drei Elementen der Abbildung 1-12. Dies stellt unter anderem das grundlegende Ersatzschaltbild einer Synchronmaschine dar. Die Bedeutung der Ersatzschaltbildelemente bleibt unverändert. Es muss jedoch darauf geachtet werden, dass es sich hier um Wechselgrößen handelt, deren stationärer Zusammenhang mit einem Zeigerdiagramm bestimmt werden kann. Die Rotorwicklung einer Vollpolsynchronmaschine ist mit einem Gleichstrom versorgt und erzeugt folglich ein konstantes Luftspaltfeld. Sollte der Rotor mithilfe eines Primärantriebs (Wind- oder Wasserturbine) rotiert werden, erzeugt dieses konstante Feld einen zeitvariablen Fluss im Stator, deren zeitlichen Ableitung Polradspannung (𝑈 in Abbildung 1-13) genannt wird. Die Polradspannung kann im Leerlauf (stromlos 𝐼 = 0) direkt an den Maschinenklemmen erfasst werden. Sollte die Klemmenspannung mit der Last oder dem Netz verbunden werden, fließt der Strom durch die Statorwicklung. Hinweis: Das Ersatzschaltbild der Abbildung 1-13 ist im Verbraucherzählpfeilsystem. In einem Generatorbetrieb „fließt“ der Strom „aus der Maschine“ heraus. Abbildung 1-13: AC-Ersatzschaltbild Die stationäre Spannungsgleichung der Abbildung 1-13 mit komplexen Größen ist gegeben durch: 𝑈 = 𝑅𝐼 + j𝑋𝐼 + 𝑈 1-22 Die physikalische Bedeutung der Termen in Gl. 1-22 und deren Herleitung werden in Kapitel 6 ausführlicher beschrieben. Zusätzlich zum Phasenwinkel 𝜑 (der Winkel zwischen dem Strom und der Spannung) ist 𝛿 der sogenannte Polradwinkel (auch Lastwinkel genannt) von großer Bedeutung. Das Drehmoment einer Vollpolsynchronmaschine ist direkt proportional zum Polradwinkel. Das Kippmoment einer Vollpolsynchronmaschine liegt bei 𝛿 = 90°. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetischer Fluss 13 2 Grundlage der Magnetik Das Ziel dieses Kapitels besteht darin, die notwendigen Grundlagen zum Verstehen der Funktionsweise elektrischer Maschinen möglichst abstrakt wiederzugeben. Zunächst werden das Durchflutungs- und das Induktionsgesetz und deren Bedeutung für die Energiewandlung erläutert. Auf dieser Grundlage werden Methoden für einfache Berechnung von Magnetkreisen mithilfe magnetischer Ersatzschaltbilder vorgestellt. Im zweiten Teil des Kapitels wird zunächst die Induktivität eines Magnetkreises und daraufhin das Ersatzschaltbild des einphasigen Transformators erläutert. Das erworbene Wissen in diesem Kapitel bildet die Grundlage für alle weiteren Kapitel dieses Skripts. Anmerkung: Es wird vorausgesetzt, dass die Grundlage der Elektrotechnik und Magnetik bereits in der Grundlagevorlesung erworben worden ist. Die Absicht dieses Kapitels ist lediglich die Erläuterung jener Zusammenhänge, die fürs Verstehen dieses Skripts notwendig sind. Aus diesem Grund wird das Kapitel so abstrakt wie möglich gehalten. 2.1 Magnetischer Fluss Die magnetische Flussdichte (Induktion) 𝐵 mit der SI-Einheit Tesla T und die Dimension kg ⋅ A ⋅ s ist die fundamentale physikalische Größe der elektromagnetischen Energiewandlung. Dem Namen nach handelt es sich um eine Dichtengröße, in diesem Fall Flächendichte, die senkrecht durch ein Flächenelement verläuft. Die magnetische Induktion erscheint in der Formulierung der Lorentzkraft sowie drei der vier Maxwell-Gleichungen, nämlich Gaußsches Gesetz, Induktionsgesetz und Durchflutungsgesetz: Gaußsches Gesetz ∇ ⋅ 𝐵⃗ = 0 2-1 ∂𝐵⃗ Induktionsgesetz ∇ × 𝐸⃗ = − ∂𝑡 ∂𝐸⃗ Durchflutungsgesetz ∇ × 𝐵⃗ = 𝜇 𝐽⃗ + 𝜇 𝜀 ∂𝑡 Für Zwecke der Energiewandlung wird der zweite Term des Durchflutungsgesetzes vernachlässigt. Zudem genügt in der Regel die vereinfachte Form der drei Gleichungen, wie sie in den nächsten Abschnitten erläutert werden. Abgesehen vom Gaußschen Gesetzes, welches impliziert, dass kein alleinstehender Nord- und Südpol existiert, bzw. die Feldlinien immer einen geschlossenen Pfad bilden (Abbildung 2-1), repräsentieren die zwei verbleibende mikroskopischen Maxwell-Gleichungen, nämlich das reduzierte Durchflutungsgesetz und das Induktionsgesetz ein symmetrisches System, in dem die beteiligten physikalischen Größen mithilfe des Satzes von Stokes berechnet werden können: 2-2 ∇ × 𝐹⃗ = 𝐺⃗ → 𝐹⃗ ⋅ d𝑙⃗ = 𝐺⃗ ⋅ d𝐴⃗ Gl. 2-2 zufolge gleicht das geschlossene Integral der Vektorfunktion 𝐹⃗ entlang des Umfangs der Fläche 𝐴, das Flächenintegral der Vektorfunktion 𝐺⃗ über die Fläche 𝐴 (Abbildung 2-2). Prinzipbedingt ist 𝐺⃗ eine Dichtengröße, z. B. Flussdichte 𝐵⃗ oder Stromdichte 𝐽⃗. Demnach führt deren Flächenintegral zu einer Integralgröße, z. B. Fluss 𝛷 oder Strom 𝐼, die die Menge einer physikalischen Größe, die durch eine Fläche eindringt, beschreibt. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetischer Fluss 14 Abbildung 2-1: Geschlossene magnetische Feldlinien Von links nach rechts gelesen beschreibt Gl. 2-2 Folgendes: Schließen die Finger der rechten Hand in Richtung der d𝑙⃗, zeigt der Daumen die Richtung der 𝐺⃗ ; je stärker der Griff desto „dicker“ ist der Daumen. Abbildung 2-2: Satz von Stokes Anmerkung: Die Induktion 𝐵⃗ selbst kann auch als 𝐺⃗ in einer Rotationsgleichung angenommen werden. In der Hinsicht muss eine Größe 𝐹⃗ geben, sei es rein mathematisch, deren Rotation 𝐵⃗ ergibt. Dieser fiktive Parameter wird als Vektorpotential 𝐴⃗ mit der Einheit V ⋅ s ⋅ m bezeichnet und spielt sowohl bei der numerischen als auch bei der analytischen Berechnung von Magnetfeldern eine bedeutende Rolle. Gemäß Gl. 2-2 ergibt das Integral des Vektorpotenzials entlang einer geschlossenen Strecke den Fluss. Konkret bedeutet das für eine elektrische Maschine mit der Paketlänge 𝑙 , dass der Fluss einer Spule mit zwei Spulenseiten (𝑤 = 1) wie folgt berechnet werden kann (Abbildung 2-3): ∇ × 𝐴⃗ = 𝐵⃗ → (𝐴 − 𝐴 ) ⋅ 𝑙 =𝛷 2-3 Anmerkung: Sowohl für die Beschreibung des Durchflutungsgesetzes als auch Induktionsgesetzes für den Zweck der elektromagnetischen Energiewandlung wird Gl. 2-2 von rechts nach links gelesen. Die „Rechte-Hand-Methode“ bleibt ebenso für diesen Fall gültig. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetischer Fluss 15 Abbildung 2-3: Flussberechnung mithilfe des Vektorpotentials Abbildung 2-4 fasst die Parameter und Materialeigenschaften zusammen, die häufig bei den elektromagnetischen Berechnungen in der Energiewandlung zum Einsatz kommen. Die in diesem Abschnitt wiederholten elektronmagnetischen Zusammenhänge dienen lediglich zur Auffrischung von bereits erlangten Kenntnissen in vorausgesetzten Vorlesungen und heben keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Zudem soll angemerkt werden, dass in der Vorlesung „Elektromagnetische Energiewandlung“ die Felder, wenn nötig, sehr vereinfacht mit reduzierter Form des Durchflutungs- und Induktionsgesetzes berechnet werden, da der Fokus dieses Skripts darauf liegt, die grundlegende Funktionsweise von elektrischen Maschinen zu vermitteln. Abbildung 2-4: Wichtige Parameter in der elektromagnetischen Energiewandlung In der Praxis werden häufig komplizierte magnetische Strukturen wie elektrische Maschinen mithilfe von numerischen Finite-Elemente-Programmen berechnet. Es wird zwischen magnetostatischen, quasi-magnetostatischen, harmonischen und transienten Berechnungen wie folgt unterschieden: Magnetostatisch: Alle Terme der Gl. 2-1 werden vernachlässigt. Wirbelströme und elektrische Felder werden nicht mit berechnet. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetischer Fluss 16 Quasi-Magnetostatische: Die Berechnung ist zwar magnetostatischer Natur, wird dennoch für diskrete Zeitpunkte wiederholt. Somit lassen sich die Parameterverläufe wie z. B. induzierte Spannung oder Pendelmomente berechnen. Harmonisch: Die Berechnungen werden für eine bestimmte Frequenz durchgeführt. Demzufolge lässt sich durch j𝜔 ersetzen. Es wird angenommen, dass die Größen sinusförmig sind. Das eingeschwungene elektrische Feld und folglich die Wirbelströme werden für eine bestimmte Frequenz berechnet. Transient: Die Maxwell-Gleichungen in Gl. 2-1 werden im Zeitbereich berechnet. Hinweis: Selbst bei der transienten Berechnung ist der zweite Term des Durchflutungsgesetzes für die konventionelle Berechnung elektrischer Maschinen irrelevant. Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes, d. h. ∇ ⋅ 𝐵⃗ = 0, lässt sich formulieren als: ∮ 𝐵⃗ ⋅ d𝐴⃗ = 0. Demnach ist das Hüllenintegral der magnetischen Induktion gleich null. Somit lässt sich der magnetische Fluss 𝛷 mit der Einheit V ⋅ s wie folgt formulieren: ä 2-4 𝛷= 𝐵⃗ ⋅ d𝐴⃗ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝛷 =𝐵⋅𝐴 Eine Flussröhre ist ein Ausschnitt des betrachteten Raums, dessen Seitenflächen überall durch Feldlinien begrenzt sind. Daher tritt durch die Seitenfläche einer Flussröhre kein Fluss. Die Quellenfreiheit des magnetischen Felds erfordert dann, dass in jedem Querschnitt der Flussröhre der gleiche Fluss vorhanden ist (Abbildung 2-5). Abbildung 2-5: Magnetischer Fluss Eine magnetische Äquipotentialfläche ist eine Fläche mit einem bestimmten magnetischen Skalarpotential. Die Äquipotentialflächen sind senkrecht zu den Flusslinien (Abbildung 2-6). Für einen ausreichend kleinen Bereich ∆𝐴 der Oberfläche 𝐴, kann der Fluss wie folgt berechnet werden: Δ𝛷 = 𝐵 ⋅ Δ𝐴. Die magnetische Potentialdifferenz zwischen zwei ausreichend nahbeieinander liegenden Potentialflächen (𝐻 ist entlang des Integrationspfades 𝑙 konstant) wird wie folgt beschrieben: Δ𝛩 = 𝐻 ⋅ 𝑙. Aus den beiden Zusammenhängen ergibt sich der Leitwert 𝜆 des Querschnitts des Flussrohres: ∆𝛷 𝐵 ⋅ Δ𝐴 Δ𝐴 2-5 𝜆= = =𝜇 ∆𝛩 𝐻⋅𝑙 𝑙 Folglich ergibt sich die magnetische Reluktanz durch: ℛ = = 𝜇. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Durchflutungsgesetz 17 Abbildung 2-6: Äquipotentiallinien Die Reluktanz wird im Abschnitt 2.4 anhand einer vereinfachten magnetischen Struktur ausführlicher erläutert. Zuvor wird die vereinfachte Form des Durchflutungs- und Induktionsgesetzes, die in diesem Skript häufiger zum Einsatz kommen, beschrieben. 2.2 Durchflutungsgesetz Gemäß des Durchflutungsgesetzes ist die Summe der magnetischen Spannungen entlang eines geschlossenen Pfades in einem magnetischen Kreis gleich null. Somit bildet das Durchflutungsgesetz eine Analogie zum Maschensatz in den elektrischen Kreisen. Das Durchflutungsgesetz entlang eines geschlossenen Umlaufs 𝑙 ist gegeben durch: 2-6 𝐻⃗ ⋅ d𝑙⃗ = 𝛩 Dabei ist zu beachten, dass das Durchflutungsgesetz gemäß Gl. 2-6 unabhängig von der umgebenden Materie ist. Die Materialeigenschaft spielt erst bei der Berechnung der Induktion eine Rolle. Für eine Spule mit 𝑤 Windungen und dem Strom 𝐼 gilt 𝛩 = 𝑤𝐼. Hinweis: Das Durchflutungsgesetz muss zwangsläufig an einem geschlossen Flusspfad angewendet werden. Sollte die Differenz der Durchflutung entlang zweier Flächen bekannt sein, wie in Gl. 2-6 gezeigt ist, kann die Durchflutung wie folgt gegeben werden: 𝛩 − 𝛩 = 𝐻 ⋅ 𝑙. Der Richtungszusammenhang zwischen Strom 𝐼 und der magnetischen Feldstärke 𝐻 lässt sich wiederum mit der „Recht-Hand-Methode“ bestimmen. Anmerkung: Im Bereich der elektromagnetischen Energiewandlung wird die Durchflutung 𝛩 entweder mit einer Spule, wie z. B. Erregerspule einer Synchronmaschine oder Statorwicklung einer Induktionsmaschine, oder durch den Permanentmagneten wie z. B. in einer Permanentmagnetsynchronmaschine erzeugt. Wie bereits erwähnt wird in diesem Skript die zeitliche Änderung der elektrischen Feldstärke, die bedingt durch den Faktor 𝜇 𝜀 , erst bei hohen Frequenzen bedeutsam wird, stets vernachlässigt. Rein theoretisch bildet dieser Term 𝜇 𝜀 die dritte Quelle zur Erzeugung einer Durchflutung. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Induktionsgesetz 18 2.3 Induktionsgesetz Das Induktionsgesetz lautet in Integralform: d 2-7 𝐸⃗ ⋅ d𝑙⃗ = − 𝐵⃗ ⋅ d𝐴⃗ d𝑡 Dabei ist das Flächenintegral der Induktion 𝐵⃗ über jene Fläche 𝐴 zu erstrecken, die vom Integrationsweg des Umlaufintegrals d𝑙⃗ der elektrischen Feldstärke 𝐸⃗ aufgespannt wird. Es handelt sich dabei um ein divergenzfreies elektrisches Feld. Anmerkung: Zu dem elektrischen Feld, das aus dem Induktionsgesetz hervorgerufen wird, existiert noch ein aus dem Gaußschen Gesetz resultierendes Feld ∇ ⋅ 𝐸⃗ =. Unter Berücksichtigung des Materialzusammenhangs 𝐽⃗ = 𝜎𝐸⃗ , sollten beide Felder zur Berechnung der Stromdichte ⃗ mitberücksichtigt werden: 𝐽⃗ = 𝜎𝐸⃗ = 𝜎(− − ∇𝛷 ), wobei 𝐴⃗ das Vektorpotential ist. Für die elektromagnetische Energiewandlung bedeutet dies, dass der Strom in einer Spule, z. B. Statorwicklung einer Maschine, sowohl von der Klemmenspannung als auch von der durch die Drehung in der Wicklung induzierten Spannung abhängt. Abbildung 2-7 illustriert das Prinzip der magnetischen Induktion, in dem ein Permanentmagnet sich unter einer Spule mit 𝑤 Windungen befindet, der vertikal bewegt wird. In Abbildung 2-7-a ruht der Permanentmagnet unter der Spule. Obwohl die Feldlinien den Querschnitt der Spule durchdringen, werden sie gemäß Gl. 2-7 keine Spannung in der Spule induzieren können, da weder das Feld eine relative Bewegung zur Spule aufweist noch die Spule zum Feld. In anderen Worten, das Voltmeter erfährt nichts von Existenz des Permanentmagneten. Spannungszeiger 0 0 0 0 0 V V V V V Spule mit W Windungen I=0 I I I I N N N S S S S S N N a b c d e Abbildung 2-7: Induzierte Spannung Wird nun der Permanentmagnet vertikal nach oben bewegt (Abbildung 2-7-b), steigt der mit der Spule verkettete Fluss an. Demzufolge entsteht gemäß Gl. 2-7 eine durch das Voltmeter messbare Spannung, 𝑢~ − 𝐴. Die Polarisation dieser Spannung ist durch die Lenz‘sche-Regel bestimmt. Demnach entsteht in der Spule eine induzierte Spannung, sodass der dadurch fließende Strom ein Magnetfeld erzeugt, das der Änderung des Flusses entgegenwirkt. Diese Spannung ist messbar, selbst wenn dem Strom kein Einlass zum Fließen gegeben wird. Trotzdem folgt die Stromrichtung der „Recht-Hand- Methode“ gemäß des Durchflutungsgesetzes. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Induktionsgesetz 19 Wird nun der Permanentmagnet nach unten bewegt (Abbildung 2-7-c), ändert sich die Spannungspolarisation. In diesem Fall nimmt der verkettete Fluss wieder ab, und der potentielle Strom wird dem entgegenwirken. Das gleiche gilt auch für den Fall, bei dem der Südpol in der Spule bewegt wird (Abbildung 2-7-d). Sollte diese vertikale Bewegung (nach oben und wieder zurück) mit einer konstanten Geschwindigkeit durchgeführt werden, kann eine Wechselspannung an den Spulenklemmen gemessen werden. Diese mit 𝐼 = 0 gemessene Spannung wird im nächsten Kapitel als Leerlaufspannung bezeichnet. In rotierenden Generatoren wird auf Basis des Induktionsgesetzes eine ständige Bewegung des Magnetfeldes relativ zu einer im Stator ruhenden Spule durch einen Primär- Antrieb, z. B. eine Windkraft- oder Wasserkraftturbine gesichert, die schließlich zum Zweck der Energieerzeugung eingesetzt wird. Hinweis: Sobald der Strom in der Spule fließt, erzeugt er eine Kraft, die mechanisch spürbar ist. Dieser versucht die mechanische Bewegung des Magneten entgegenzuwirken (Kapitel 4). Während das Induktionsgesetz die Welt des Magnetismus mit der elektrischen verlinkt, verbindet die in Kapitel 4 beschriebene Lorentzkraft das Ganze mit der mechanischen. Die Spule der Abbildung 2-7 besteht aus 𝑤 ähnlichen Schleifen (Windungen). Dringt der Fluss vollständig durch alle diese Windungen, so ist die messbare induzierte Spannung: 𝑢~ − 𝑤. Die theoretische Flussverkettung lautet dann: 𝑤𝛷. Allerdings spiegelt diese Annahme nicht das reale Geschehen, da nicht alle Flusslinien alle Windungen einer Spule vollständig durchdringen. Folglich kann die rotmarkierte Feldlinie gar keine Spannung induzieren, da sie die Spule gar nicht durchdringt. Die blaufarbige Feldlinie kann dahingegen lediglich in der ersten Schleife eine Spannung induzieren. In der Praxis werden all dieser Effekte (und noch mehr) mit dem Wicklungsfaktor 0 ≤ 𝜉 ≤ 1 mitberücksichtigt. Für eine Spule mit 𝑤 Windungen und einem Wicklungsfaktor 𝜉 lautet die Flussverkettung 𝛹 = 𝑤𝜉𝛷. Sollte es sich dabei um eine harmonische Berechnung mit der Kreisfrequenz 𝜔 handeln, kann die induzierte Spannung im Verbraucherzählpfeilsystem wie folgt berechnet werden: d𝛹 d𝛷 2-8 𝑈= = 𝑤𝜉 → 𝑈 = j𝜔𝑤𝜉𝛷 d𝑡 d𝑡 Hinweis: In elektrischen Maschinen wird stets versucht, durch konstruktive Maßnahmen und gezielte Wicklungsauslegungen einen hohen Hauptwellenwicklungsfaktor zu erreichen. Auf diesen Aspekt wird in den nächsten Kapiteln näher eingegangen. Anmerkung: Die Vereinfachung 𝛷 = 𝐵𝐴 in Gl. 2-2 gilt ausschließlich für den Fall, dass die Felder die Spulenfläche senkrecht passieren. Im Allgemeinen handelt es sich beim Integral um ein Skalarprodukt (inneres Produkt auch Punktprodukt genannt) der zwei Vektoren 𝐵⃗ und d𝐴⃗, d. h. 𝐵⃗ ⋅ d𝐴⃗ ⋅ cos(𝜃), das wiederum impliziert, dass in der Spule der Abbildung 2-7 ebenso eine Spannung induziert werden kann, wenn der Magnet unter der Spule um seine Achse geschwenkt wird, da in diesem Fall cos(𝜃) zeitvariabel ist. Zur Erinnerung: In einem kartesischen Koordinatensystem kann das Skalarprodukt zweier Vektoren 𝑎⃗ = 𝑎 e⃗ + 𝑎 e⃗ + 𝑎 e⃗ und 𝑏⃗ = 𝑏 e⃗ + 𝑏 e⃗ + 𝑏 e⃗ das Skalarprodukt und den Winkel zwischen den beiden Vektoren wie folgt berechnet werden: 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗ = 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 2-9 𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗ 𝜃 = arccos |𝑎||𝑏| Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetisches Ersatzschaltbild 20 Wobei der Betrag des Vektors 𝑎⃗ lautet: |𝑎| = a +a +a. Im Abschnitt 1.5 wurde das Thema Oberwellen und Oberschwingungen eingeführt. An dieser Stelle muss betont werden, dass wie aus der Abbildung 2-7 entnommen werden kann, es sich bei der Induktion 𝐵 um eine räumliche Verteilung handelt. Bei dem in der Spule induzierten Fluss handelt es sich dahingegen um eine Integralgröße. Sollte der mit der Spule verkettete Fluss höhere Harmonischen beinhalten, werden diese höheren Ordnungszahlen Oberschwingungen genannt. 2.4 Magnetisches Ersatzschaltbild Um magnetische Eigenschaften eines Magnetkreises zu berechnen, werden in diesem Skript Vereinfachungen getroffen, die wiederum eine schnelle Berechnung des Magnetkreises ermöglichen. Es handelt sich dabei um ein magnetisches Ersatzschaltbild, das nach der Entstehung wie gewohnt mit dem Knoten- und dem Maschensatz berechnet werden kann. Allerdings werden dabei nicht Ströme und Spannungen berechnet, sondern Fluss und Durchflutung. Neben den Materialeigenschaften spielen bei der Berechnung von Magnetkreisen das Durchflutungsgesetz und, daraufhin für die Anbindung mit dem elektrischen Ersatzschaltbild, das Induktionsgesetz eine bedeutende Rolle. In Abbildung 2-8 ist ein einfacher Magnetkreis, bestehend aus einer Spule mit 𝑤 Windungen und einem Magneteisenkern, dargestellt. Zudem ist ein Luftspalt mit einer Luftspaltlänge 𝛿 erkennbar. Sowohl der Magnetkern als auch der Eisenkern verfügen über die Querschnittfläche 𝐴 und Tiefe 𝑑. Die mittlere Länge des Eisenkerns ist mit 𝑙 , gegeben. Der Magnetkreis ist in der Tiefe symmetrisch, wodurch eine einfache zweidimensionale Betrachtung der Struktur möglich wird (Abbildung 2-8-rechts). Die Wicklung ist mit einem Gleichstrom 𝐼 versorgt. Das Ziel des folgenden Rechenwegs besteht darin, die Induktion und den Fluss im Luftspalt zu bestimmen. Abbildung 2-8: Einfacher Magnetkreis Die Ausgangssituation ist das Durchflutungsgesetz aus Gl. 2-6. Demnach lässt sich folgender Zusammenhang zwischen dem Strom und der Feldstärke aufstellen: −𝑤𝐼 + 𝐻 𝑙 , +𝐻 𝛿 =0 2-10 𝑤𝐼 = 𝐻 𝑙 , +𝐻 𝛿 Erkennbar ist die Ähnlichkeit zwischen dem Durchflutungsgesetz, bei dem die 𝐻𝑙 Terme magnetische Spannungen sind, und dem Maschensatz in elektrischen Schaltungen. Die Wicklung verhält sich wie eine Spannungsquelle mit einem Betrag von 𝑤𝐼. Wie erwartet spielt die Materialeigenschaft in Gl. 2-10 keine Rolle. Diese kommt erst in dem nächsten Schritt dazu, bei dem die Induktion berechnet werden muss. Abgesehen von der Wicklung besteht der Magnetkreis aus zwei Materialien nämlich Luft: 𝐵 = 𝜇 𝐻 und Eisenkern 𝐵 = 𝜇 𝜇 𝐻. 𝜇 ist die magnetische Feldkonstante im Vakuum (in diesem Skript Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetisches Ersatzschaltbild 21 auch Luft) 𝜇 = 4π ∙ 10. Im Gegensatz zur Luft verfügt der Eisenkern über sehr gute magnetische Eigenschaften (𝜇 ∼ 300 − 10000) und bietet der Induktion ein besseres Medium als Luft an. Sollten alle Streufelder vernachlässigt werden, sodass sich alle Feldlinien durch den Eisenkern und entsprechend den Luftspalt schließen, diktiert die Quellenfreiheit des magnetischen Felds den folgenden Zusammenhang: 𝛷 =𝛷 2-11 Es könnte bereits jetzt schon geahnt werden, dass die Gl. 2-11 dem Knotensatz ähnelt, woraufhin Fluss im magnetischen Ersatzschaltbild analog zum Strom in elektrischem Ersatzschaltbild deklariert werden kann. Sollten die Felder immer senkrecht zur Magnetkreisfläche (𝐴) laufen, d. h. 𝛷 = 𝐵𝐴, kann Gl. 2-11 wie folgt umgeschrieben werden: 𝛷 =𝛷 ⎯⎯ 𝐵 𝐴 =𝐵 𝐴 2-12 Mit der Annahme, dass 𝐴 = 𝐴 = 𝐴, besteht im Magnetkreis lediglich eine Induktion 𝐵 =𝐵 = 𝐵. Nun können die magnetischen Feldstärken in Gl. 2-10, d. h. 𝐻 und 𝐻 unter dem Zusammenhang 𝐻= durch Induktionen ersetzt werden: 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 2-13 𝑤𝐼 = 𝑙 , + 𝛿 → 𝑤𝐼 = 𝑙 , + 𝛿 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 Und anschließend wird die Induktion durch den Fluss ersetzt: 𝛷 𝛷 𝑙 , 𝛿 2-14 𝑤𝐼 = 𝑙 , + 𝛿 → 𝑤𝐼 = + ⋅𝛷 𝜇 𝜇 𝐴 𝜇 𝐴 𝜇 𝜇 𝐴 𝜇 𝐴 Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass 𝑤𝐼 und 𝛷 der elektrischen Spannung und dem Strom ähneln, offenbart eine genauere Betrachtung der Gl. 2-14 , dass es sich bei diesem Zusammenhang um eine Analogie zum elektrischen Ersatzschaltbild handelt, bei der: 𝑙 , 𝛿 2-15 𝑤𝐼 = + ⋅ 𝛷 → 𝑤𝐼 = (ℛ +ℛ )⋅𝛷 𝜇 𝜇 𝐴 𝜇 𝐴 Während 𝑅 der elektrische Widerstand mit der Einheit Ohm (Ω) ist, wird ℛ als magnetische Reluktanz mit der Einheit AV s bezeichnet. Die magnetische Reluktanz beschreibt, analog zu 𝑅, wie gut ein Medium magnetischen Fluss „durchlässt“. Demzufolge gilt im vorherigen Beispiel ℛ ≫ ℛ. Der Zusammenhang der Gl. 2-15 lässt sich als „magnetisches Ersatzschaltbild“ darstellen (Abbildung 2-9). Abbildung 2-9: Magnetisches Ersatzschaltbild der Abbildung 2-8 Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Magnetisches Ersatzschaltbild 22 Der Berechnungsablauf besteht nun darin, für eine beliebige magnetische Struktur zunächst das Ersatzschaltbild zu erstellen und anschließend wie gewohnt zu berechnen. Die Analogie zwischen elektrischem und magnetischem Kreis ist in der Tabelle 2-1 zusammengefasst. Tabelle 2-1: Analogie zwischen elektrischem und magnetischem Kreis Magnetisch Elektrisch Parameter Einheit Parameter Einheit Feldstärke 𝐻 in Am El. Feldstärke 𝐸 in Vm Durchflutung 𝛩 in A Spannung 𝑈 in V Fluss 𝛷 in Vs Strom 𝐼 in A Flussdichte 𝐵 in T Stromdichte 𝐽 in Am oft Amm Reluktanz ℛ in AV s Widerstand 𝑅 in Ω Leitwert 𝜆 in VsA Leitwert G in Ω Permeabilität 𝜇 in VsA m Leitfähigkeit 𝜎 in AV m Sollte es sich beim Eisenkern um ein ideales magnetisches Material handeln, d. h. 𝜇 → ∞, ist die Reluktanz ℛ gleich null. Folglich: 𝜇 𝐴 𝜇 2-16 𝑤𝐼 = ℛ 𝛷 → 𝛩 = ℛ 𝛷 → 𝛷 = 𝜆𝛩 → 𝐵𝐴 = 𝛩 →𝐵= 𝛩 𝛿 𝛿 Die oben beschriebenen Herleitungen dienen zwar zur Bestimmung des magnetischen Flusses und der Induktion, sind dennoch ausschließlich in „magnetischer Domäne“. Als nächstes sollte eine Verknüpfung zwischen der magnetischen und der elektrischen Domäne hergestellt werden. Diese Erfolgt mithilfe des Induktionsgesetzes. 2.4.1 Berechnung eines Magnetkreises Auf Basis der Methode des magnetischen Ersatzschaltbildes sollte die Induktion im Magnetkreis der Abbildung 2-10 berechnet werden. Die Geometriedaten der Struktur sind der Abbildung 2-10 zu entnehmen. Der Magnetkreis besitzt zwei konstante Luftspalten (der mittlere Eisenkern ist fixiert) und die Wicklung mit 𝑤 Windungen ist mit einem Gleichstrom 𝐼 = 100 A eingespeist. Die relative Permeabilität des Eisenkerns beträgt 𝜇 = 4000. Abbildung 2-10: Berechnung eines Magnetkreises mit der Methode des magnetischen Ersatzschaltbilds Das magnetische Ersatzschaltbild der Struktur ist in der Abbildung 2-10-rechts dargestellt. Die Durchflutung lässt sich aus der Windungszahl und dem Strom berechnen: 𝛩 = 𝑤𝐼 = 40 ∙ 100 = 4000 A. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Induktivität 23 Der Fluss lässt sich aus dem Maschensatz wie folgt direkt berechnet: 𝑤𝐼 2-17 𝛷= ℛ , +ℛ , +ℛ , +ℛ , 4000 = = 4 ⋅ 10 Vs 1,24 ⋅ 10 + 4,97 ⋅ 10 + 4,97 ⋅ 10 + 4,97 ⋅ 10 Anschließend kann die Induktion aus dem Fluss berechnet werden: 𝛷 4 ⋅ 10 2-18 𝐵= = = 0,25 T 𝐴 16 ⋅ 10 Anmerkung: zum Vergleich ist der Betrag der Luftspaltinduktion in einem Synchrongenerator ist ungefähr 1 T. Tabelle 2-2: Geometrie und Materialdaten der Magnetstruktur in Abbildung 2-10 Parameter 𝛿 𝛿 𝑙 , 𝑙 , 𝐴 𝜇 𝜇 𝐼 Größe 1 1 10 4 16 4π ⋅ 10 4000 100 Einheit mm mm mm mm mm VsA m - A 2.5 Induktivität Während die Reluktanz einen Zusammenhang zwischen der Durchflutung und dem Fluss 𝛩 = ℛ ⋅ 𝛷 im magnetischen Ersatzschaltbild bildet, repräsentiert die Induktivität den magnetischen Fluss im elektrischen Ersatzschaltbild und stellt damit eine Verknüpfung zwischen den magnetischen und den elektrischen Ersatzschaltbildern her. Prinzipiell beschreibt die Induktivität den Zusammenhang zwischen der Ursache, d. h. dem Strom und der Wirkung nämlich dem Fluss bzw. der Flussverkettung: 𝛹 = 𝐿𝐼 2-19 Somit verfügt zunächst jeder stromführende Leiter über eine Selbstinduktivität. Es muss dennoch geklärt werden, wie der Fluss zur Bestimmung der Induktivität, d. h. fürs Erstellen von 𝐿 = , berechnet werden muss, da der Fluss, wie bereits erläutert, eine Integralgröße ist, die zwangsläufig gemäß Gl. 2-4 über eine Fläche integriert werden muss. Eine Möglichkeit ist bereits im Abschnitt 2.4 erläutert, womit anhand eines magnetischen Ersatzschaltbilds der Fluss berechnet werden könnte. Für den Magnetkern der Abbildung 1-12 mit 𝑤 Windungen zeigt Abbildung 2-11 ein numerisch berechnetes Feldbild. Während im Eisenkern die Feldlinien und die damit verbundene Reluktanz einfach zu ermitteln scheint, ist dies für die Feldlinie in der Luft nicht der Fall. Eine sehr grobe Abschätzung der Reluktanz besteht darin, anzunehmen, dass eine mittlere Flusslinie, welche das gesamte Geschehen repräsentieren sollte, senkrecht aus dem Magnetkern geradlinig herausdringt, halbkreisförmig weiterfährt und wieder geradeförmig in den Magnetkern eindringt. Für diese Feldlinie müssen noch die Querschnitte festgelegt werden, woraus die Reluktanzen berechnet werden könnten. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Induktivität 24 Eine weitere Möglichkeit ist die Berechnung der Induktivität mithilfe der numerischen Berechnungssoftware. Dafür wird die Spule mit einem Strom 𝐼 eingespeist und das resultierende Feld wird numerisch berechnet. Im nächsten Schritt kann der Mittelwert der Induktion entlang eine Linie in der Mitte des Magnetkernes berechnet werden. Daraus erfolgt die Berechnung des Flusses: 𝛷 = 𝐵 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑑). Anschließend kann unter der Annahme, dass alle betrachteten Feldlinien mit allen Windungen verkettet sind, die Induktivität berechnet werden: 𝐿 =. Allerding ist aus der Abbildung 2-11 ersichtlich, dass nicht alle Feldlinien mit allen Windungen verkettet sind (wie z. B. für die Feldlinien die mit 𝐵 und 𝐵 gekennzeichnet sind). Diese Annahme führt für das Beispiel in Abbildung 2-11 zu einer Abweichung von 20 % in Induktivitätsberechnungen im Vergleich zu direkt aus der FEM (Finite- Elemente-Methode) gelesenen Werte. Abbildung 2-11: Bestimmung der Induktivität eines Magnetkernes Hinweis: Ein übereinstimmendes Ergebnis mit FEM kann durch die Methode des Vektorpotentials erfolgen. Dafür können die Vektorpotentialwerte in der Spule, d. h. 𝐴 und 𝐴 in Abbildung 2-11, numerisch berechnet werden. Anschließend folgt die Berechnung der Flussverkettung bzw. der Induktivität: 𝛹 2-20 𝛹= (𝐴⃗ − 𝐴⃗ ) ⋅ d𝑙⃗ = (𝐴 − 𝐴 ) ⋅ d → 𝐿 = 𝐼 Für den Magnetkern der Abbildung 2-8 mit einem idealen Eisenkern (𝜇 → ∞, 𝜎 = 0) und einer widerstandlosen Spule lassen sich die folgenden Zusammenhänge schrittweise herleiten: 2-21 × 𝑤𝐼 = ℛ 𝛷 → 𝑤 =ℛ 𝑤 =ℛ 𝑤 ⎯⎯ ℛ =𝑈→𝑈=𝐿 Es sei angemerkt, dass die Windungszahl mit 𝑤 in die Formulierung der Induktivität eingeht. Für eine Wechselspannungsquelle besteht das elektrische Ersatzschaltbild dieses Magnetkreises aus einer Induktivität, d. h. 𝑈 = j𝜔𝐿𝐼. Im Abschnitt 4.2 wird gezeigt, dass für die elektromechanische Energiewandlung bzw. Drehmomenterzeugung ausschließlich die Luftspaltfelder relevant sind. Abbildung 2-12 zeigt jedoch, dass nicht alle Felder ihren Pfad durch den Luftspalt schließen. Demzufolge wird zwischen der Haupt- 𝐿 und der Streueinduktivität 𝐿 unterschieden: 𝑈 = j𝜔𝐿 𝐼 + j𝜔𝐿 𝐼. Der in der Energieübertragung Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Induktivität 25 wirkende Anteil des Flusses wird Hauptfluss genannt und wird mit der Hauptinduktion 𝐿 im Ersatzschaltbild berücksichtigt. Die Streufelder werden mit der Streuinduktivität 𝐿 im Ersatzschaltbild berücksichtigt. Auf den Einfluss des Stroms und der Frequenz auf die Induktivität wird im Kapitel 3 eingegangen. Abbildung 2-12: Haupt- und Streuinduktivität Sollte nun eine weitere Spule mit 𝑤 Windungen in der magnetischen Struktur angebracht werden (Abbildung 2-13), kann die bereits bestehende Spule 𝑤 in der Spule 𝑤 eine Spannung induzieren. Zusätzlich zur oben beschriebenen Selbstinduktivität 𝐿 , welche die Induktion einer Spule in sich selbst bestimmt, wird mit der Koppelinduktivität 𝐿 der Einfluss der Spule 𝑖 auf die Spule 𝑗 beschrieben. Die Koppelinduktivität (Gegeninduktivität) beschreibt die Menge des durch den in der Spule 𝑖 fließenden Strom 𝐼 hervorgerufenen Flusses, welches mit der Spule 𝑗 verkettet ist. Demnach ergeben sich folgende Zusammenhänge zwischen den Flussverkettungen und den Strömen: 𝛹 =𝐿 , ⋅𝑖 +𝐿 , ⋅𝑖 +𝐿 ⋅𝑖 2-22 𝛹 =𝐿 , ⋅𝑖 +𝐿 , ⋅𝑖 +𝐿 ⋅𝑖 Für den idealen Magnetkern der Abbildung 2-13 ist symmetriebedingt ersichtlich, dass der Hauptfluss einer Wicklung zwangsläufig mit der benachbarten Spule verkettet ist, da alle nicht mit der Spule 2 verketteten Felder bereits mit 𝐿 , erfasst worden sind. Somit sind die beiden Spulen miteinander gekoppelt, sodass sie sich gegenseitig beeinflussen können. Die durch alternierende Induktion in der Spule induzierte Spannung beinhaltet sowohl die Flussänderung durch 𝐼 als auch 𝐼. Sollte lediglich die Spule 1 mit einer Wechselspannung eingespeist werden, wird allein durch alternierende Induktion eine Spannung in den offenen Klemmen der Spule 2 induziert, dessen Betrag unter anderem sowohl von 𝐼 als auch von den beiden Windungszahlen 𝑤 und 𝑤 abhängt. Dies lässt sich anhand des magnetischen Ersatzschaltbilds des Magnetkreises erklären. Strom 𝐼 erzeugt eine alternierende Durchflutung 𝛩 = 𝑤 ⋅ 𝐼. Diese Durchflutung speist zwei parallele Zweige bestehend aus der Streureluktanz ℛ , und der Hauptreluktanz ℛ ein. Der Fluss im Hauptreluktanzzweig lässt sich wie folgt berechnen: 𝑤 ⋅𝐼 2-23 𝛷 = ℛ Die Spanungsgleichungen lassen sich aus den Flussverkettungen berechnen: 2-24 Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Transformator 26 d𝛷 , 𝑤 d𝑖 𝑤 d𝑖 𝑢 =𝑅 ⋅𝑖 +𝑤 +𝑤 ⋅ ⋅ +𝑤 ⋅ ⋅ d𝑡 ℛ d𝑡 ℛ d𝑡 d𝛷 , 𝑤 d𝑖 𝑤 d𝑖 𝑢 =𝑅 ⋅𝑖 +𝑤 +𝑤 ⋅ ⋅ +𝑤 ⋅ ⋅ d𝑡 ℛ d𝑡 ℛ d𝑡 Die harmonische Spannungsgleichung unter Berücksichtigung des elektrischen Widerstands für die Kreisfrequenz 𝜔 sind gegeben durch: 2-25 𝑈 = 𝑅 ⋅ 𝐼 + j𝜔𝐿 , + j𝜔𝐿 , ⋅ 𝐼 + j𝜔𝐿 ⋅𝐼 𝑈 = 𝑅 ⋅ 𝐼 + j𝜔𝐿 , + j𝜔𝐿 , ⋅ 𝐼 + j𝜔𝐿 ⋅𝐼 Es sei angemerkt, dass 𝐿 , und 𝐿 , die Windungszahl der ersten Spule 𝑤 , und 𝐿 , und 𝐿 , die Windungszahl der zweiten Spule 𝑤 enthalten, während 𝐿 und 𝐿 vom 𝑤 ⋅ 𝑤 abhängen. Zwischen 𝐿 = 𝐿 und 𝐿 , = 𝐿 , herrscht folgende Beziehung: 𝐿 = ⋅ 𝐿 ,. Die durch Induktion in den 𝑤 Windungen der Spule 2 induzierte Leerlaufspannung kann direkt aus dem Induktionsgesetz berechnet werden: ⋅ 2-26 d𝛷 𝑤 ⋅ 𝑤 d𝑖 ℛ 𝑢 , =𝑤 = ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 𝑈 , = j𝜔𝐿 ⋅𝐼 d𝑡 ℛ d𝑡 Dies ist direkt aus der Gl. 2-25 mit 𝐼 = 0 ersichtlich. Abbildung 2-13: Koppelinduktivität 2.6 Transformator Der Magnetkreis der Abbildung 2-13 ist bereits ein Transformator, mit dem durch eine gezielte Auswahl der beiden Windungszahlen die Ausgangsspannung im Leerlauf (𝐼 = 0) bestimmt werden kann: Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Transformator 27 𝑤 𝑈 , 𝑈 𝐼 2-27 𝑤 = = ~ ~ 𝑤 𝑈 , 𝑈 𝐼 Hinweis: Die in Gl. 2-27 eingeführten Zusammenhänge resultieren aus der Annahme, dass die beiden Spulen denselben Hauptfluss erzeugen. Für den Fall 𝐼 ≠ 0, speisen sowohl 𝛩 = 𝑤 ⋅ 𝐼 als auch 𝛩 = 𝑤 ⋅ 𝐼 den Magnetkreis ein. Der Hauptfluss ist demnach gegeben durch: 𝑤 ⋅𝐼 +𝑤 ⋅𝐼 𝑤 𝑤 𝑤 2-28 𝛷 = = ⋅ 𝐼 + 𝐼 = ⋅𝐼 ℛ ℛ 𝑤 ℛ Wobei 𝐼 der Magnetisierungsstrom ist. Abbildung 2-14 zeigt das aus der Gl. 2-25 resultierte elektrische Ersatzschaltbild des Transformators. Das mittlere Bauelement beinhaltet die Hauptinduktivität 𝐿 und stellt zudem die Übertragungseigenschaft des Transformators dar. 𝐼 𝑅 j𝜔𝐿 , j𝜔𝐿 , 𝑅 𝐼 𝑈 𝑤 𝑤 𝑈 Abbildung 2-14:Ersatzschaltbild eines Transformators Im nächsten Schritt soll das Ersatzschaltbild der Abbildung 2-14 unter Berücksichtigung des Übertragungsverhältnis 𝑤 in ein sogenanntes T-Ersatzschaltbild überführt werden. Die Verhältnisse sind bereits aus Gl. 2-27 und Gl. 2-28 ersichtlich: 𝑈 = 𝑈 ⋅ 𝑤 , 𝐼 =. Und schließlich folgt aus der Leistungsbilanz 𝑃 = 𝑃 : 𝑋 , = 𝑋 , ⋅ 𝑤 und 𝑅 = 𝑅 ⋅ 𝑤. Die physikalischen Größen 𝑈 , 𝐼 , 𝑅 und 𝑋 , werden als bezogene Größen bezeichnet, da sie sich auf die Primärseite beziehen. Somit ergibt sich das vereinfachte T-Ersatzschaltbild eines Transformators gemäß Abbildung 2-15. 𝐼 𝐼 𝑅 𝑋 , 𝑋 , =𝑋 , ⋅𝑤 𝐼 = 𝑤 𝐼 𝑅 =𝑅 ⋅𝑤 𝑈 𝑋 𝑈 =𝑈 ⋅𝑤 Abbildung 2-15: Vereinfachtes T-Ersatzschaltbild des Transformers Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Transformator 28 Die Spule 1 und 2 werden auch Primär- und Sekundärwicklungen genannt. Im Leerlauf ist die Sekundärwicklung offen und der Magnetkern trägt einen stromabhängigen Fluss (Abbildung 2-16- links). Sollte die Sekundärwicklung kurzgeschlossen werden, fließt in der Sekundärwicklung ein Strom, dessen Feld gemäß des Induktionsgesetzes gegen das Feld der Primärwicklung wirkt. Im Idealfall (𝑅 = 𝑅 = 0 und 𝐿 , ≪ 𝐿 ) ist das Feld im Magnetkern gleich null und die Felder schließen sich lediglich über den Pfad der Streuinduktivitäten (Abbildung 2-16-rechts). Dies ist direkt aus Abbildung 2-15 mit 𝑅 = 𝑅 = 0 und 𝐿 , ≪ 𝐿 ersichtlich, wonach kein Strom über die 𝐿 fließt. Abbildung 2-16: Feldbilder eines Transformators. Links: Leerlauf, rechts: Kurzschluss 2.6.1 Bestimmung der Ersatzschaltbildgrößen Zur Bestimmung der Ersatzschaltbildgrößen werden insgesamt drei Messungen durchgeführt. Zunächst wird mit einer Gleichstrom- und -spannungsmessung die beiden Widerstände 𝑅 und 𝑅 direkt bestimmt. Darauf folgt eine Leerlaufmessung, bei der die sekundärseitigen Klemmen geöffnet werden und die primärseitige Spule mit der Bemessungsspannung 𝑈 , eingespeist wird. Gemäß des Ersatzschaltbilds der Abbildung 2-15 fließt der Leerlaufstrom 𝐼 durch den 𝑅 , 𝐿 , und 𝐿. Im Hinblick auf die Tatsache, dass 𝐿 ≫ 𝐿 , , kann nun 𝑋 wie folgt aus den gemessenen 𝑈 , und 𝐼 und dem Phasenwinkel 𝜑 berechnet werden: 𝑈, 2-29 𝑋 = 𝐼 ⋅ sin(𝜑 ) Anschließend wird durch eine Kurzschlussmessung die Streuimpedanz bestimmt. Hierzu wird die Sekundärseite kurzgeschlossen und die Primärseite mit der Spannung 𝑈 , eingespeist. Der Betrag der 𝑈 , wird so bestimmt, dass dadurch fließender Kurzschlussstrom 𝐼 , dem Bemessungsstrom spricht, 𝐼 , = 𝐼 ,. Die Gesamtstreuimpedanz 𝑋 = 𝑋 , + 𝑋 , lässt sich wie folgt berechnen: 𝑈 , ⋅ sin(𝜑 ) 2-30 𝑋 =𝑋 , +𝑋 , = 𝐼, Gemäß Abbildung 2-13 liegt die Annahme nahe, dass 𝑋 , ≅𝑋 , und somit die jeweiligen Streuimpedanzen berechnet werden können. Die hier knapp eingeführten Grundzusammenhänge spiegeln sich in den kommenden Kapiteln für elektrische Maschinen wieder, z. B.: Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Elektrisches Ersatzschaltbild eines Magnetkreises 29  Während eines symmetrischen Kurzschlusses schließt sich der Fluss maßgeblich über den Pfad der Streuinduktiviäten.  In dreiphasigen Drehfeldmaschinen verfügt jede Phase über eine Streuinduktivität, eine Selbstinduktivität und zwei Koppelinduktivitäten mit den zwei weiteren Phasen. In diesem Skript gilt: 𝐿 , = 𝐿 , = 𝐿 , = 𝐿 , und 𝐿 = 𝐿 = 𝐿 = 𝐿 = 𝐿 = 𝐿.  Für Schenkelpolmaschinen ist die Phaseninduktivität positionsabhängig.  Die Luftspaltlänge spielt bei der Berechnung der Hauptinduktivität eine bedeutende Rolle. Bei Induktionsmaschinen wird diese so klein wie möglich gehalten.  Das Ersatzschaltbild einer Induktionsmaschine ähnelt dem eines Transformators (Abbildung 2-15) mit dem Unterschied, dass in diesem der Schlupf eine bedeutende Rolle spielt. In diesem Skript werden rotierende elektrische Maschinen behandelt, deren Hauptmerkmal durch rotatorische Induktion zum Vorschein kommt (bei Induktionsmaschinen wird dieser rotatorische Induktionseffekt durch Einführung vom Schlupf ins Ersatzschaltbild sichtbar). Nichtsdestotrotz lassen sich die Funktionsweise einiger Magnetkreise allein durch die alternierende Induktion erklären. Zu dieser Kategorie gehört zusätzlich zum Transformator, der sogenannte „kontaktlose Energieübertrager“. Prinzipiell lässt sich seine Funktionsweise gemäß Abbildung 2-17-links erklären, bei der der Magnetkern in der Mitte geteilt wird, sodass dadurch ein Primärteil und ein Sekundärteil entstehen. Zudem verfügt der Magnetkreis nun über zwei Luftspalte, über die durch alternierende Induktion Energie übertragen werden kann. Die beiden Primär- und Sekunderteile sind in einigen Anwendungen stationär, wie z. B. kontaktlose Ladestation eines Laptops, eines Smartphones oder eines Elektrofahrzeugs. In anderen Anwendungen dahingegen ist die Primärseite stationär und die Sekundärseite beweglich bzw. rotierend, z. B. beim dynamischen Laden eines Elektrofahrzeugs während der Fahrt oder bei der kontaktlosen Erregung eines Synchronmotors. Abbildung 2-17: Kontaktlose Energieübertragung 2.7 Elektrisches Ersatzschaltbild eines Magnetkreises In diesem Abschnitt werden drei Gedankenexperimente erörtert, anhand deren ein elektrisches Ersatzschaltbild für den Magenkreis der Abbildung 2-18 hergestellt werden muss. Der Magnetkreis ist prinzipiell ähnlich wie derjenige der Abbildung 2-8 mit dem Unterschied, dass der Statorfluss zweimal durch den Luftspalt passiert. Außerdem kann der Rotor von außen angetrieben werden und folglich um seine Achse im magnetischen Kreis drehen. Für die folgende Betrachtung wird angenommen, dass 𝜇 → ∞ und 𝜎 = 0. Skript zur Vorlesung E. Energiewandlung Prof. Dr.-Ing. Amir Ebrahimi Elektrisches Ersatzschaltbild eines Magnetkreises 30 Abbildung 2-18: Magnetisches Ersatzschaltbild mit einem Rotor Bei der Vernachlässigung der Streufelder und des magnetischen Spannungsabfalls im Eisenkern (𝜇 → ∞.) herrscht für den in der Abbildung 2-18 angezeigten Zustand folgender Zusammenhang für den magnetischen Kreis: 𝑤𝐼 = ℛ , 𝛷 +ℛ , 𝛷 2-31 Da die zwei Luftspalten magnetisch und geometrisch identisch sind, gilt: ℛ , = ℛ , und 𝛷 = 𝛷. Allerdings sollte an dieser Stelle angemerkt werden, dass ℛ im allgemeinen Fall eine Funktion der Position ist, d. h. ℛ (𝜃), da die Rotation des Rotors die geometrische Gegebenheit des Luftspalts ändert. Die kleinste Luftspaltlänge geschieht für den in der Abbildung 2-18 gezeigten Zustand, bei dem der Polschuh direkt unter dem Stator liegt, d. h. 𝜃 = 90°. Sollte nun der Rotor allmählich von außen um 90° Gegenuhrzeigersinn angetrieben werden, 𝜃 = 180°, erreicht der Luftspalt seine maximale Länge. In diesem Fall liegt die Pollücke direkt unter dem Stator. Sollte der Rotor aus dieser Lage wieder um 90° Gegenuhrzeigersinn gedreht werden, d. h. 𝜃 = 270°, erreicht er, magnetisch betrachtet, denselben Zustand wie für 𝜃 = 90°. Sollte die Luftspaltlänge unter Annahme eines trigon