Esercitazione: Limiti (PDF)

Professore Veronica Redaelli Argomento ESERCITAZIONE: Limiti  Veronica Redaelli Consideriamo una funzione definita su un intervallo, aperto o chiuso, e x0 un punto di tale intervallo Ø Calcolare il LIMITE di f(x) per x ® x0...

Professore Veronica Redaelli Argomento ESERCITAZIONE: Limiti  Veronica Redaelli Consideriamo una funzione definita su un intervallo, aperto o chiuso, e x0 un punto di tale intervallo Ø Calcolare il LIMITE di f(x) per x ® x0 significa studiare come si x0 +∞ comporta la funzione f(x) -∞ * man mano che i valori di x si avvicinano a x0 ? Cosa succede a f (x0)?? ESERCITAZIONE: Limiti 2 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI 1 lim =0 x®+∞ 𝑥 1 lim = 0 x®−∞ 𝑥 lim 1 x®±0 𝑥 = ? ESERCITAZIONE: Limiti 3 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI f (x) = a x 3 y f (x) = e x a>1 2 1 x 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 ESERCITAZIONE: Limiti 4 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI f (x) = log (x) 3 y f (x) = ln (x) 2 a>0 1 x -3 -2 -1 0 0 1 (1,0) 2 3 -1 -2 -3 ESERCITAZIONE: Limiti 5 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI 𝑠𝑒𝑛 𝑥 NON ESISTONO i limiti: lim 𝑠𝑒𝑛 𝑥 x®±∞ lim 𝑐𝑜𝑠 𝑥 x®±∞ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 es. lim 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 1 x®" es. lim 𝑠𝑒𝑛𝑥/𝑥 =1 x®" ESERCITAZIONE: Limiti 6 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI TEOREMI Siano l = x® lim 𝑓(𝑥) x e m = lim 𝑔(𝑥) allora: 0 x® x0 SOMMA : QUOZIENTE : 𝑙 lim 𝑓(𝑥) ± 𝑔 𝑥 = 𝑙 ±m lim 𝑓(𝑥) /𝑔 𝑥 = x® x0 x® x0 m PRODOTTO : POTENZA : 𝑥 lim 𝑓(𝑥) ×𝑔 𝑥 = 𝑙×m lim 𝑓(𝑥) 𝑔 = 𝑙m x® x0 x® x0 ESERCITAZIONE: Limiti 7 di 14  Veronica Redaelli Ø FORMULE INDETERMINATE Problemi utilizzando le formule precedenti se: ∞ 0 + ∞- ∞ 0·∞ ∞ 0 5#36 ∞ es. lim = x®34 5$37 ∞ Altre forme indeterminate: 00 , 1∞ , ∞ 0 ESERCITAZIONE: Limiti 8 di 14  Veronica Redaelli Ø FORMULE INDETERMINATE ü Limiti notevoli ü Sostituzioni ad hoc ü Confronto tra infinitesimi e infiniti ü Teorema di l’Hopital ESERCITAZIONE: Limiti 9 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI 0+4 5#36 ∞+4 lim # 5 36 = =4 lim = x®8 5$37 0+1 x®4 5$37 ∞+1 ? lim (1 + 𝑒𝑥)x = (1 + 0) −∞ = 1 x®=4 ESERCITAZIONE: Limiti 10 di 14  Veronica Redaelli Ø ALCUNI ESEMPI confronto tra infiniti: 𝑥4 è di ordine superiore 5#36 ∞ rispetto a 𝑥2 , lim = =0 x®4 5$37 ∞ quindi ‘prevale’ 5$3> ∞ lim = =∞ x®4 5#3? ∞ $ Come trovo gli ordini? 5 3> ∞ lim =∞ = +∞ x®=4 5#3? il sistema migliore è ricordarsi i grafici ESERCITAZIONE: Limiti 11 di 14  Veronica Redaelli Ø Teorema di l’Hopital 0 ∞ a volte anche con ü Si applica alle forme: 00 , 1∞ , ∞ 0 0 ∞ ü Devono valere tutte le condizioni di esistenza (funzioni, derivate, denominatore ≠ 0 in un intorno di x0)