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Questions and Answers
Cosa significa calcolare il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0?
Cosa significa calcolare il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0?
Significa studiare il comportamento di f(x) man mano che x si avvicina a x0.
Che valore assume il limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Che valore assume il limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Il limite è 0.
Qual è il risultato del limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Qual è il risultato del limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Il limite è 0.
Cosa succede al limite di $f(x) = \sin(x)$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Cosa succede al limite di $f(x) = \sin(x)$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Qual è il limite di $(1 + e^x)x$ quando $x$ tende a $-
fty$?
Qual è il limite di $(1 + e^x)x$ quando $x$ tende a $- fty$?
Qual è il comportamento del limite di $f(x) = \cos(x)$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Qual è il comportamento del limite di $f(x) = \cos(x)$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Cosa si intende per limite quando f(x) è esprimibile tramite $e^x$ ed $x$ tende a +∞?
Cosa si intende per limite quando f(x) è esprimibile tramite $e^x$ ed $x$ tende a +∞?
Quali condizioni devono essere soddisfatte per applicare il Teorema di l'Hôpital?
Quali condizioni devono essere soddisfatte per applicare il Teorema di l'Hôpital?
Che comportamento ha la funzione $f(x) = \ln(x)$ quando x tende a 0 da destra?
Che comportamento ha la funzione $f(x) = \ln(x)$ quando x tende a 0 da destra?
Qual è la relazione tra il limite di una funzione e il suo valore in x0?
Qual è la relazione tra il limite di una funzione e il suo valore in x0?
Quali forme indeterminate possono essere trattate con il Teorema di l'Hôpital?
Quali forme indeterminate possono essere trattate con il Teorema di l'Hôpital?
Flashcards
Limite di una funzione
Limite di una funzione
Il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0 rappresenta il valore a cui si avvicina la funzione f(x) man mano che x si avvicina a x0.
Limite per x che tende a infinito
Limite per x che tende a infinito
Il limite della funzione per x che tende a infinito (±∞) indica il valore a cui tende la funzione quando x assume valori sempre più grandi (o piccoli) in modo indefinito.
Limite per x che tende a zero
Limite per x che tende a zero
Il limite della funzione per x che tende a zero (x→0) rappresenta come la funzione si comporta quando x si avvicina a zero.
Limite destro
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Limite sinistro
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Funzioni continue
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Limite inesistente
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Limite di cos x
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Limite di sen x / x
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Limite somma
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Limite prodotto
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Limite quoziente
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Limite potenza
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Forme indeterminate
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Limiti notevoli
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Sostituzioni ad hoc
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Infinitesimi
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Infiniti
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Teorema di L'Hôpital
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Confronto tra infiniti
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Teorema di De L'Hôpital
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Forme indeterminate
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Ordine di grandezza
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Study Notes
Esercitazione: Limiti
- Docente: Veronica Redaelli
- Università: San Raffaele, Roma
- Argomento: Limiti di funzioni
Calcolo dei Limiti
- Il calcolo del limite di una funzione f(x) per x che tende a x0 (limx→x0 f(x)) descrive il comportamento della funzione f(x) quando x si avvicina a x0.
- La funzione è definita su un intervallo (aperto o chiuso) e x0 è un punto di tale intervallo.
- Il calcolo del limite è essenzialmente lo studio del comportamento della funzione f(x) man mano che x si avvicina a x0.
Esempi di Limiti
- Limiti di funzioni elementari:
- limx→∞ (1/x) = 0
- limx→-∞ (1/x) = 0
- limx→x0 ax = ax0, dove a > 0
- limx→∞ ax = ∞ (a > 1)
- limx→-∞ ax = 0 (a > 1)
- limx→∞ ax = 0 (0 < a < 1)
- limx→-∞ ax = ∞ (0 < a < 1)
- limx→x0ex = ex0
- Limiti di funzioni logaritmiche (es. log(x), ln(x)):
- limx→0+ log(x) = -∞
- limx→∞ log(x) = +∞
- limx→0+ ln(x) = -∞
- limx→∞ ln(x) = +∞
Limiti Notevoli (es. seno, coseno)
- Non esistono limiti per sen(x) e cos(x) quando x tende a infinito o meno infinito.
- limx→0 sen(x)/x = 1
- limx→0 cos(x) = 1
Teoremi sui Limiti (somma, prodotto, quoziente)
- Se limx→x0 f(x) = l e limx→x0 g(x) = m, allora:
- limx→x0 (f(x) + g(x)) = l + m
- limx→x0 (f(x) ⋅ g(x)) = l ⋅ m
- limx→x0 (f(x)/g(x)) = l/m, se m ≠ 0
Formule Indeterminate
- Espressioni del tipo +∞ - ∞, 0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞0, 1∞ sono forme indeterminate.
- È necessario applicare tecniche specifiche per risolvere queste forme indeterminate (es. regola di L'Hôpital, confronto tra infiniti e infinitesimi).
Teorema di L'Hôpital
- Il teorema di L'Hôpital consente di calcolare alcuni limiti nelle forme indeterminate 0/0 e ∞/∞.
- Se limx→x0 f(x) = 0 e limx→x0 g(x) = 0, oppure se limx→x0 f(x) = ∞ e limx→x0 g(x) = ∞, allora limx→x0 f(x)/g(x) = limx→x0 f'(x)/g'(x), se i limiti al secondo membro esistono.
Confronto tra Infiniti e Infinitesimi
- Per determinare l'ordine di grandezza di infinitesimi e infiniti, è necessario valutare il loro comportamento relative ad altre funzioni.
- È utile il confronto asintotico, ovvero confrontare insiemi di funzioni quando x tende all'infinito o a zero.
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Description
Questo quiz si concentra sul calcolo dei limiti di funzioni, analizzando il comportamento della funzione f(x) quando x tende a x0. Attraverso vari esempi, viene esplorata la definizione e le proprietà dei limiti, fondamentali per la comprensione dell'analisi matematica.
