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Questions and Answers
Cosa significa calcolare il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0?
Cosa significa calcolare il limite di una funzione f(x) per x che tende a x0?
Significa studiare il comportamento di f(x) man mano che x si avvicina a x0.
Che valore assume il limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Che valore assume il limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Il limite è 0.
Qual è il risultato del limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Qual è il risultato del limite di $f(x) = \frac{1}{x}$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Il limite è 0.
Cosa succede al limite di $f(x) = \sin(x)$ quando $x$ tende a $+\infty$?
Cosa succede al limite di $f(x) = \sin(x)$ quando $x$ tende a $+\infty$?
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Qual è il limite di $(1 + e^x)x$ quando $x$ tende a $-
fty$?
Qual è il limite di $(1 + e^x)x$ quando $x$ tende a $- fty$?
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Qual è il comportamento del limite di $f(x) = \cos(x)$ quando $x$ tende a $-\infty$?
Qual è il comportamento del limite di $f(x) = \cos(x)$ quando $x$ tende a $-\infty$?
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Cosa si intende per limite quando f(x) è esprimibile tramite $e^x$ ed $x$ tende a +∞?
Cosa si intende per limite quando f(x) è esprimibile tramite $e^x$ ed $x$ tende a +∞?
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Quali condizioni devono essere soddisfatte per applicare il Teorema di l'Hôpital?
Quali condizioni devono essere soddisfatte per applicare il Teorema di l'Hôpital?
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Che comportamento ha la funzione $f(x) = \ln(x)$ quando x tende a 0 da destra?
Che comportamento ha la funzione $f(x) = \ln(x)$ quando x tende a 0 da destra?
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Qual è la relazione tra il limite di una funzione e il suo valore in x0?
Qual è la relazione tra il limite di una funzione e il suo valore in x0?
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Quali forme indeterminate possono essere trattate con il Teorema di l'Hôpital?
Quali forme indeterminate possono essere trattate con il Teorema di l'Hôpital?
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Study Notes
Esercitazione: Limiti
- Docente: Veronica Redaelli
- Università: San Raffaele, Roma
- Argomento: Limiti di funzioni
Calcolo dei Limiti
- Il calcolo del limite di una funzione f(x) per x che tende a x0 (limx→x0 f(x)) descrive il comportamento della funzione f(x) quando x si avvicina a x0.
- La funzione è definita su un intervallo (aperto o chiuso) e x0 è un punto di tale intervallo.
- Il calcolo del limite è essenzialmente lo studio del comportamento della funzione f(x) man mano che x si avvicina a x0.
Esempi di Limiti
-
Limiti di funzioni elementari:
- limx→∞ (1/x) = 0
- limx→-∞ (1/x) = 0
- limx→x0 ax = ax0, dove a > 0
- limx→∞ ax = ∞ (a > 1)
- limx→-∞ ax = 0 (a > 1)
- limx→∞ ax = 0 (0 < a < 1)
- limx→-∞ ax = ∞ (0 < a < 1)
- limx→x0ex = ex0
-
Limiti di funzioni logaritmiche (es. log(x), ln(x)):
- limx→0+ log(x) = -∞
- limx→∞ log(x) = +∞
- limx→0+ ln(x) = -∞
- limx→∞ ln(x) = +∞
Limiti Notevoli (es. seno, coseno)
- Non esistono limiti per sen(x) e cos(x) quando x tende a infinito o meno infinito.
- limx→0 sen(x)/x = 1
- limx→0 cos(x) = 1
Teoremi sui Limiti (somma, prodotto, quoziente)
- Se limx→x0 f(x) = l e limx→x0 g(x) = m, allora:
- limx→x0 (f(x) + g(x)) = l + m
- limx→x0 (f(x) ⋅ g(x)) = l ⋅ m
- limx→x0 (f(x)/g(x)) = l/m, se m ≠ 0
Formule Indeterminate
- Espressioni del tipo +∞ - ∞, 0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞0, 1∞ sono forme indeterminate.
- È necessario applicare tecniche specifiche per risolvere queste forme indeterminate (es. regola di L'Hôpital, confronto tra infiniti e infinitesimi).
Teorema di L'Hôpital
- Il teorema di L'Hôpital consente di calcolare alcuni limiti nelle forme indeterminate 0/0 e ∞/∞.
- Se limx→x0 f(x) = 0 e limx→x0 g(x) = 0, oppure se limx→x0 f(x) = ∞ e limx→x0 g(x) = ∞, allora limx→x0 f(x)/g(x) = limx→x0 f'(x)/g'(x), se i limiti al secondo membro esistono.
Confronto tra Infiniti e Infinitesimi
- Per determinare l'ordine di grandezza di infinitesimi e infiniti, è necessario valutare il loro comportamento relative ad altre funzioni.
- È utile il confronto asintotico, ovvero confrontare insiemi di funzioni quando x tende all'infinito o a zero.
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Description
Questo quiz si concentra sul calcolo dei limiti di funzioni, analizzando il comportamento della funzione f(x) quando x tende a x0. Attraverso vari esempi, viene esplorata la definizione e le proprietà dei limiti, fondamentali per la comprensione dell'analisi matematica.
