Decisiones Estratégicas: Economía Neoclásica PDF

E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Prof. Dr. Martı́n Paredes...

E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Prof. Dr. Martı́n Paredes Economı́a del Comportamiento Center for Research in Experimental Economics (CREE) Universidad de Piura Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 1/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 2/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 3/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Introducción Definición (Teorı́a de Juegos) La teorı́a de juegos es el estudio de modelos matemáticos que analizan problemas de cooperación y conflicto entre agentes racionales que toman decisiones. Algunos autores (e.g. Robert Aumann) han sugerido llamarla "teorı́a de la decisión interactiva", ya que estudia la interacción entre agentes tomadores de decisión. En cada juego, el pago que recibe cada jugador depende no sólo de sus propias acciones, sino también de las acciones de los demás jugadores. El objetivo de cada jugador es la maximización de su utilidad, teniendo en cuenta las posibles reacciones de cada uno de los demás jugadores. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 4/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Componentes de un Juego Los componentes de un juego incluyen: El conjunto de jugadores. Para cada jugador, el conjunto de acciones posibles. Para cada jugador, el conjunto de estrategias posibles. Para cada jugador, las preferencias sobre el conjunto de todas las combinaciones posibles de acciones Cada combinación posible de acciones define a su vez los pagos ("payoffs") para cada jugador. Las reglas del juego (e.g., número de jugadores, quien juega primero) La información disponible para cada jugador Sobre las preferencias de los demás jugadores. Sobre la historia del juego Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 5/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 6/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos I Los juegos se pueden clasificar según: 1 Según el momento de la toma de decisión de cada jugador. Juegos Estratégicos. Cada jugador escoge su estrategia sin conocer la decisión de los demás jugadores. También llamados "juegos simultáneos" o "juegos estáticos". Juegos Extensivos. Existe un orden de juego, y cada jugador puede observar las estrategias escogidas por los jugadores anteriores a él. También llamados "juegos secuenciales" o "juegos dinámicos". Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 7/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos II 2 Según el número de veces a jugar Juegos aislados ("one-shot games"). Se juegan por una única vez. Juegos repetidos. El mismo juego se juega más de una vez. A su vez pueden ser finitos o infinitos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 8/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos III 3 Según el número de individuos que toma la decisión. Juegos no cooperativos. Cada jugador toma su decisión sin tener la posibilidad de consultar o aliarse con algunos de los otros jugadores. Juegos cooperativos. Al menos una acción es tomada en forma conjunta por varios de los jugadores. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 9/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos IV 4 Según la información disponible sobre las caracterı́sticas de cada jugador. Juegos de información completa Cada jugador conoce las caracterı́sticas de los demás jugadores, por lo que sabe los pagos de los jugadores para cada posible combinación de acciones. Juegos de información incompleta Al menos un jugador desconoce alguna caracterı́stica de algún otro jugador, y por tanto no sabe con certeza ni los pagos del otro jugador ni sus propios pagos. El jugador puede asignar probabilidades a cada una de las posibles caracterı́sticas, y calcular su utilidad esperada Ejemplo: una empresa desconoce si los costos de su competidor son altos o bajos. Cree que son altos con una probabilidad del 50% ( y bajos con un 50%). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 10/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos V 5 Según la información disponible sobre la historia del juego. Juegos de información perfecta Al momento de tomar su decisión, cada jugador conoce las acciones tomadas por los jugadores precedentes. Juegos de información imperfecta Al menos un jugador desconoce alguna de las acciones tomadas por alguno de los jugadores que lo precedieron. Ejemplo: Todo juego simultáneo es un juego de información imperfecta. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 11/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Taxonomı́a de Juegos VI 6 Según la facilidad para cambiar las reglas del juego Juegos basados en reglas Cada jugador toma las reglas de juego como dadas. Juegos sin restricciones de reglas ("free-wheeling games") Cada jugador puede cambiar las reglas de juego. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 12/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 13/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Introducción La organización de los temas será como sigue: Definición y Caracterización Conceptos de Solución con Estrategias Puras Dominancia Equilibrio de Nash Estrategias Mixtas Teoremas de Existencia del Equilibrio de Nash Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 14/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (I) Definición (Juego Estratégico con Acciones) Un juego D estratégico con información E completa G = J, {Aj }j ∈J , {%j }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto (finito) de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto (no vacı́o) de acciones Aj para cada jugador j ∈ J. Una relación de preferencias %j para cada jugador j ∈ J en el conjunto A ≡ ∏j ∈J Aj de posibles resultados. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 15/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (II) En un juego estratégico, cada jugador tiene un conjunto Aj de acciones disponibles para escoger. El número de acciones disponibles puede ser diferente de jugador a jugador. Sea a = {a1 , a2 ,..., aN } un perfil o combinación de acciones, tal que aj ∈ Aj es una acción disponible para el jugador j ∈ J. El conjunto A = A1 × A2 ×... × AN ≡ ∏j ∈J Aj incluye todas las posibles combinaciones de acciones. Entonces a = (aj )j ∈J ∈ A. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 16/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (III) Si la relación de preferencias %j puede ser representada por una función uj : A −→ R entonces el juego estratégico puede definirse como sigue: Definición (Juego Estratégico con Acciones) Un juego D estratégico con información E completa G = J, {Aj }j ∈J , {uj }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto (finito) de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto (no vacı́o) de acciones Aj para cada jugador j ∈ J. Una función de pagos uj : A −→ R para cada jugador j ∈ J en el conjunto de todas las combinaciones posibles de acciones A ≡ ∏j ∈J Aj. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 17/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Historias y Estrategias Puras (I) Historias Sea hj una historia para el jugador j ∈ J, esto es, el conjunto de información que recibe el jugador j antes de escoger una acción. La información puede o no incluir acciones que hayan tomado los jugadores que lo antecedieron, y las suyas propias. Las historias pueden clasificarse en: No terminales, si indica el turno de algún jugador para escoger una acción. Terminales, si ningún jugador debe escoger una acción. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 18/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Historias y Estrategias Puras (II) Estrategias Puras Sea H el conjunto de todas las historias en el juego, tal que h ∈ H. Sea Z es el conjunto de historias terminales. Sea H \ Z el conjunto de historias no terminales. Definición (Estrategia Pura) Una estrategia pura para el jugador j es una función sj : H \ Z −→ Aj , tal que, para toda historia no terminal h ∈ H \ Z , entonces sj (hj ) ∈ A (hj ) Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 19/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Historias y Estrategias Puras (III) Relación entre Historias y Estrategias Puras en Juegos Estratégicos (I) En todo juego estratégico con información completa, el conjunto de historias no terminales H \ Z contiene un único elemento, que constituye el inicio del juego, y es representado como la historia ((vacı́a)) o ((inicial)), ∅. Por tanto, en este tipo de juegos, para todo jugador j ∈ J: H \ Z = {∅} Por tanto, en un juego estratégico con información completa: Sj = Aj. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 20/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Historias y Estrategias Puras (IV) Relación entre Historias y Estrategias Puras en Juegos Estratégicos (II) Definición (Juego Estratégico con Estrategias) Un D juego estratégico E G de información completa es un triple J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , donde: J = {1, 2,..., n } es el conjunto (finito) de jugadores. n o 1 2 Sj = sj , sj ,... es el conjunto (no vacı́o) de estrategias puras para cada jugador j ∈ J. uj : S −→ R es la función de pagos que representa la relación de preferencias %j para cada jugador j ∈ J en el conjunto de todas las combinaciones posibles de estrategias S ≡ ∏j ∈J Sj. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 21/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Dominio Público Definición (Dominio Público) Se dice que un evento E es dominio público para todo jugador j ∈ J si: Todos los jugadores conocen E. Todos los jugadores saben que todos ellos conocen E. Todos los jugadores saben que todos ellos saben que todos ellos conocen E. y ası́ sucesivamente. También llamado "conocimiento común". Los eventos incluyen información como, entre otros, la estructura del juego, o la racionalidad, los pagos, u otra caracterı́stica de los jugadores. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 22/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Conceptos de Solución con Estrategias Puras Existen varios conceptos de solución de un juego estratégico con información completa: 1 Maxminimización y Minmaximización 2 Dominancia 1 Equilibrio en Estrategias Dominantes 2 Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas 3 Eliminación Iterativa de Estrategias Débilmente Dominadas 3 Equilibrio de Nash Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 23/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Dominancia Estricta Las siguientes definiciones permiten una comparación relativa entre cualquier par de estrategias del jugador j ∈ J. Definición (Dominancia Estricta) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , dadas dos estrategias sj0 , sj00 ∈ Sj del jugador j ∈ J, se dice que la estrategia sj0 domina estrictamente a la estrategia sj00 si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, se cumple que: uj sj0 , s−j > uj sj00 , s−j.

Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 24/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Dominancia Débil Definición (Dominancia Débil) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , dadas dos estrategias sj0 , sj00 ∈ Sj del jugador j ∈ J, se dice que la estrategia sj0 domina débilmente a la estrategia sj00 si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, se cumple que: uj sj0 , s−j ≥ uj sj00 , s−j

Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 25/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategia Dominante (I) Las siguientes definiciones permiten una comparación absoluta con respecto a todas las estrategias del jugador j ∈ J. Definición (Estrategia Estrictamente Dominante) D E En el juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una estrategia sj ∈ Sj es estrictamente dominante para el jugador j si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, y para toda estrategia sj0 6= sj del jugador j, se cumple: uj (sj , s−j ) > uj sj0 , s−j
Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 26/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategia Dominante (II) Definición (Estrategia Débilmente Dominante) D E En el juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una estrategia sj ∈ Sj es débilmente dominante para el jugador j si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, y para toda estrategia sj0 6= sj del jugador j, se cumple: uj (sj , s−j ) ≥ uj sj0 , s−j
Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 27/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategia Dominada (I) Definición (Estrategia Estrictamente Dominada) D E En el juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una estrategia sj ∈ Sj es estrictamente dominada para el jugador j si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, existe una estrategia sj0 6= sj para el jugador j tal que: uj (sj , s−j ) < uj sj0 , s−j
Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 28/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategia Dominada (II) Definición (Estrategia Débilmente Dominada) D E En el juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una estrategia sj ∈ Sj es débilmente dominada para el jugador j si, para toda combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, existe una estrategia sj0 6= sj para el jugador j tal que: uj (sj , s−j ) ≤ uj sj0 , s−j
Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 29/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Soluciones de un Juego con Criterios de Dominancia Existen tres conceptos de solución de un juego que utilizan los conceptos de dominancia: 1 Equilibrio en Estrategias Dominantes 2 Eliminación Iterativa de Estrategias Estrictamente Dominadas 3 Eliminación Iterativa de Estrategias Débilmente Dominadas Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 30/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio en Estrategias Dominantes Definición (Equilibrio en Estrategias Dominantes) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , la combinación de estrategias s ∗ ∈ S es un equilibrio en estrategias dominantes si para todo jugador j ∈ J, se cumple que sj es una estrategia dominante. Por lo general esta definición de equilibrio se aplica para estrategias estrictamente dominantes, pero puede extenderse al caso de estrategias débilmente dominantes Todo equilibrio en estrategias estrictamente dominantes es único. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 31/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Eliminación Iterativa Estricta (I) D E Dado el juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , el proceso de eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas procede como sigue: (1) Defina Ej0 ≡ Sj como el conjunto inicial de estrategias puras del jugador j ∈ J. (2) Defina E 0 = ∏j ∈J Ej0 como el conjunto inicial de todas las combinaciones de estrategias. (3) Defina G 0 ≡ G como el juego estratégico con  elnconjunto inicial de  n o o estrategias Ej0 0 , de manera que G = J, Ej 0 , { uj } j ∈ J. j ∈J j ∈J Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 32/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Eliminación Iterativa Estricta (II) (4) Defina en forma recursiva para cada jugador j ∈ J: ( q −1 0 ∈ E q −1 ∧ ∀ s q −1 ) s j ∈ E j : @ s j j − j ∈ E  −j Ejq =  ujq (sj , s−j ) < ujq sj0 , s−j donde ujq es la función de pagos del jugador j restringida a todas las combinaciones de estrategias en E q. (5) Defina además Eq = ∏ Ejq j ∈J (6) Defina en forma recursiva:  n o n o  G = J, Ejq q , ujq j ∈J j ∈J Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 33/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Eliminación Iterativa Estricta (III) (7) Si Sj es finito, entonces un q ∗ finito tal que, para todo jugador j ∈ J, y todo q > q ∗ : ∗ Ejq = Ejq ∗ ∗ Defina asimismo E q = ∏j ∈J Ejq. Definición (Eliminación Iterativa Estricta) q ∗ El conjunto D E de estrategias E ⊆ S del juego estratégico de combinaciones G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J sobrevive la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas si, para todo jugador j ∈ J, ninguna ∗ estrategia en Ejq es estrictamente dominada. En otras palabras, el proceso de iteración acabará en un número máximo de iteraciones, q ∗. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 34/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio de Nash en Estrategias Puras Definición (Equilibrio de Nash en Estrategias Puras) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ ∈ S es un equilibrio de Nash si para toda estrategia sj 6= sj∗ del jugador j se cumple que uj sj∗ , s− ∗ ∗

j ≥ uj s j , s − j. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 35/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Mejor Respuesta Definición (Mejor Respuesta) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , y para cada jugador j ∈ J, se define a BRj (s−j ) como el conjunto de estrategias del jugador j que representan la mejor respuesta de dicho jugador, para cualquier combinación de estrategias s−j ∈ S−j de los demás jugadores, tal que: BRj (s−j ) = sj ∈ Sj : ∀sj0 ∈ Sj , uj (sj , s−j ) ≥ u sj0 , s−j 
Alternativamente: BRj (s−j ) = arg max uj (sj , s−j ) sj ∈Sj Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 36/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash Proposición (Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash en Estrategias Puras) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ ∈ S es un equilibrio de Nash si para cada jugador j ∈ J se cumple que: sj∗ ∈ BRj s−∗
j. Si sj es estrictamente dominada, entonces sj ∈ / BRj (s−j ). Si sj es estrictamente dominante, entonces BRj (s−j ) = sj ∀ s−j ∈ S−j. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 37/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Eficiencia de Pareto Definición (Dominancia en el Sentido de Pareto) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s 0 ∈ S domina en el sentido de Pareto a otra combinación s 00 si y sólo si: u s 0 ≥ u s 00

para todo jugador j ∈ J, tal que la desigualdad es estricta para alguno de ellos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 38/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Eficiencia de Pareto y Equilibrio de Nash Definición (Eficiencia en el Sentido de Pareto) D E Dado un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J : Una combinación de estrategias s ∈ S es eficiente en el sentido de Pareto si y sólo si no está dominada en el sentido de Pareto por ninguna otra combinación. Una combinación de estrategias s ∈ S es ineficiente en el sentido de Pareto si está dominada en el sentido de Pareto por alguna otra combinación. Proposición Un equilibrio de Nash puede ser ineficiente en el sentido de Pareto. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 39/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias Mixtas: Definiciones (I) Una estrategia pura para el jugador j ∈ J especifica una elección determinı́stica sj (hj ) dado su conjunto de información hj ∈ Hj. Sin embargo, cada jugador j puede escoger su estrategia en forma aleatoria. Definición (Estrategias Mixtas) Dado el conjunto de estrategias puras Sj , una estrategia mixta para el jugador j ∈ J es una función σj : Sj −→ [0, 1] , que asigna una probabilidad σ (sj ) a cada estrategia pura sj ∈ Sj , de manera que ∑sj ∈Sj σ (sj ) = 1. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 40/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias Mixtas: Definiciones (II) Defina ∆ (Sj ) como el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad sobre Sj , esto es, el conjunto de estrategias mixtas para el jugador j ∈ J, tal que: ( M ) j ∆ (Sj ) = σj ∈ RMj : σjm ≥ 0 ∀m = 1,..., Mj ∧ ∑ σjm = 1 m =1 Si cada conjunto de estrategias Sj es finito, entonces la probabilidad de ocurrencia de la combinación de estrategias s ∈ S es ∏j ∈J σ (sj ). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 41/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias Mixtas: Definiciones (III) El valor esperado del pago para el jugador j está dado por una función de utilidad à la von Neumann-Morgenstern (vNM): Uj : ∆ (S ) −→ R donde ∆ (S ) = ∏j ∈J ∆ (Sj ). Si la probabilidad de ocurrencia de la combinación de estrategias s ∈ S es ∏j ∈J σ (sj ) , entonces el valor esperado del pago del jugador j para una estrategia mixta σ ∈ ∆ (S ) es: ! Uj ( σ ) = ∑ ∏ σ ( sj ) uj (s ) sj ∈Sj j ∈J Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 42/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias Mixtas: Definiciones (IV) Definición (Extensión Mixta de Juegos Estratégicos) D E La extensión mixta de un juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J D E es el juego estratégico ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 43/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas (I) Equilibrio de Nash Definición (Equilibrio de Nash con Estrategias Mixtas) D E Dado un juego estratégico ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J , una combinación de estrategias σ∗ ∈ ∆ (S ) es un equilibrio de Nash si para toda estrategia σj 6= σj∗ del jugador j se cumple que: Uj σj∗ , σ− ∗ ∗

j ≥ Uj σj , σ−j. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 44/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas (II) Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash (I) Definición (Mejor Respuesta) D E Dado un juego estratégico ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J , y para cada jugador j ∈ J, se define a BRj (σ−j ) como el conjunto de estrategias del jugador j que representan la mejor respuesta de dicho jugador, para cualquier combinación de estrategias σ−j ∈ ∆ (S−j ) de los demás jugadores, tal que: BRj (σ−j ) = σj ∈ ∆ (Sj ) : ∀σj0 ∈ ∆ (Sj ) , Uj (σj , σ−j ) ≥ Uj σj0 , σ−j 
Alternativamente: BRj (σ−j ) = arg max Uj (σj , σ−j ) σj ∈∆(Sj ) Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 45/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas (III) Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash (II) Teorema (Mejor Respuesta y Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas) D E Dado un juego estratégico ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J , una combinación de estrategias σ∗ ∈ ∆ (S ) es un equilibrio de Nash si para cada jugador j ∈ J se cumple que: σj∗ ∈ BRj σ− ∗
j. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 46/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Existencia del Equilibrio de Nash (I) Estrategias Puras Teorema (Existencia del Equilibrio de Nash en Estrategias Puras) D E El juego estratégico G = J, {Sj }j ∈J , {uj }j ∈J tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias puras si para todo jugador j ∈ J, se cumple que: Sj es un subconjunto convexo, compacto y no vacı́o en RMj. uj es una función continua y cuasicóncava en Sj. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 47/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Existencia del Equilibrio de Nash (II) Estrategias Mixtas Teorema (Existencia del Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas) D E En todo juego estratégico finito ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J existe al menos un equilibrio de Nash. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 48/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Número de Equilibrios de Nash Teorema (Imparidad de Wilson ) D E En casi todo juego estratégico finito ∆G = J, {∆ (Sj )}j ∈J , {Uj }j ∈J existe un número finito e impar de equilibrios de Nash. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 49/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 50/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Introducción Los juegos estratégicos con información incompleta modelan situaciones en las cuales hay incertidumbre acerca de los pagos de (al menos) un jugador. Por lo general son denominados "juegos bayesianos" porque los jugadores actualizan sus conjeturas utilizan la regla de Bayes. Sin embargo esta actualización de jugadores también se aplica en juegos extensivos. Harsanyi ideó la técnica de convertir un juego de información incompleta en un juego de información imperfecta. En el juego original, cada jugador tiene un conjunto de "tipos". En el juego modificado, cada "tipo" es un jugador. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 51/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (I) Definición (Juego Bayesiano) Un juego estratégico de D información incompleta esE llamado juego bayesiano estratégico J, Ω, {Aj , Tj , τj , pj , uj }j ∈J , que consta de: J : Conjunto (finito) de jugadores. Ω : Conjunto (finito) de estados de la naturaleza, tal que ω ∈ Ω. Y para cada jugador j ∈ J : Aj : Conjunto de acciones posibles. Tj : Conjunto finito de tipos posibles, tal que tj ∈ Tj τj : Ω −→ Tj :Función de señales, asigna un tipo tj a cada estado ω. pj : Ω −→ (0, 1] : Función de conjeturas iniciales ("prior beliefs"), asigna una probabilidad a cada estado ω. uj : Ω × A −→ R : Función de pagos a la Bernoulli para cada combinación de acciones a en cada estado ω. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 52/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (II) El conjunto de estados de la naturaleza representa todas las posibles combinaciones de tipos de jugadores, i.e., Ω = T1 × T2 ×... × TN Es posible que el jugador j sea del tipo tj (ω ) ∈ Tj en más de un estado de la naturaleza ω ∈ Ω. En caso que el jugador j sea del tipo t en todos los estados de la naturaleza, entonces el conjunto Tj tendrá un sólo elemento. Se asume implı́citamente que la función uj : A × Ω −→ R representa la relación de preferencias %j de cada jugador. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 53/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (III) Las conjeturas iniciales pj (ω ) satisfacen ∑ω ∈Ω pj (ω ) = 1 y son establecidas antes que cada jugador j reciba la señal tj. Por simplicidad, se asume que la función de conjeturas iniciales es común a todos los jugadores, esto es, pj (ω ) = p (ω ) para todo jugador j ∈ J y todo estado ω ∈ Ω. Cada jugador conoce su tipo una vez recibida la señal tj , y por ende modificará sus conjeturas sobre cada estado posible de acuerdo con la regla de Bayes. Sus conjeturas posteriores ("posterior beliefs") vienen dadas por pj (ω | tj ). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 54/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (IV) Definición (Estrategias Puras en Juegos Bayesianos) En un juego bayesiano estratégico, una estrategia pura del jugador j ∈ J es una función sj : Tj −→ Aj que especifica una acción de Aj para cada tipo tj ∈ Tj. La estrategia de cada jugador incluye una acción para cada uno de sus tipos. Como en todo juego estratégico: Sj es el conjunto de estrategias del jugador j. S = ∏ Sj es el conjunto de todas las posibles combinaciones de j ∈J estrategias, donde s ∈ S representa una combinación de estrategias (i.e., una estrategia para cada jugador). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 55/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano de Nash Definición (Equilibrio Bayesiano de Nash) D E En un juego bayesiano J, Ω, {Sj , Tj , τj , pj , uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ es un equilibrio bayesiano de Nash si también es un equilibrio de Nash para el juego estratégico descrito como sigue: El conjunto de jugadores es el conjunto de pares (j, tj ) para todo j ∈ J y tj ∈ Tj. El conjunto de estrategias de cada jugador (j, tj ) es Sj. La relación de preferencias de cada jugador (j, tj ) está dada por la función de pagos à la con Neumann-Morgenstern Uj (sj (tj ) , s−j (t−j )) = ∑ pj (ω | tj ) · uj ((sj (tj ) , s−j (t−j )) , ω ) ω ∈Ω Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 56/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Existencia del Equilibrio Bayesiano de Nash Teorema (Equilibrio Bayesiano de Nash) D E Si el juego bayesiano J, Ω, {Sj , Tj , τj , pj , uj }j ∈J es finito, entonces existe una combinación de estrategias s ∗ que es un equilibrio bayesiano de Nash. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 57/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 58/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición Definición (Juego Extensivo) Un juego D extensivo de E información completa y perfecta Γ = J, H, P, {%j }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto (finito) de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto de secuencias o historias H, en el cual: h ∈ H representa una historia. Z ⊆ H es el conjunto de historias terminales. H \ Z es el conjunto de historias no terminales. Una función de jugadores P : H \ Z −→ J, tal que P (h ) asigna el jugador j ∈ J que debe tomar una acción luego de la historia no terminal h ∈ H \ Z. Una relación de preferencias %j para cada jugador j ∈ J en el conjunto de historias terminales Z. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 59/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Acciones en Juegos Extensivos Definición (Acciones en Juegos Extensivos) D E En un juego extensivo Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , dada una historia no terminal h ∈ H \ Z , el conjunto de acciones disponibles para el jugador P (h ) es A (h ) = {a : (h, a) ∈ H }. Entonces, luego de la historia h ∈ H \ Z , el jugador al que le corresponda tomar decisión (P (h ) = j) deberá tomar una decisión dentro del conjunto de acciones A (h ) asignado a esa historia. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 60/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias en Juegos Extensivos Definición (Estrategias (Puras) en Juegos Extensivos) D E En un juego extensivo Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , una estrategia (pura) para el jugador j ∈ J es una función sj : H \ Z −→ A (h ) que asigna una acción en A (h ) a cada historia no terminal h ∈ H \ Z en la cual es el turno del jugador j (i.e., P (h ) = j) Defina Sj como el conjunto de estrategias para cada jugador j ∈ J. Defina S = ∏j ∈J Sj como el conjunto de todas las posibles combinaciones de estrategias, de manera que s ∈ S es una combinación de estrategias. Es posible extender la definición para considerar estrategias mixtas. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 61/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Resultados en Juegos Extensivos Definición (Resultados) D E En un juego extensivo Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , para cada combinación de estrategias s = (sj )j ∈J , el resultado O (s ) ∈ Z es la historia terminal que resulta cuando cada jugador j ∈ J persigue su estrategia sj. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 62/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio de Nash Definición (Equilibrio de Nash en Juegos Extensivos) DadoDun juego extensivo E de informaciòn completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ ∈ S es un equlibrio de Nash si para toda estrategia sj ∈ Sj del jugador j tal que sj 6= sj∗ , se cumple que: uj O sj∗ , s− ∗ ≥ uj O sj , s−∗ j. 
 
 j Nota: El concepto del equilibrio de Nash considera a cada estrategia sj como un plan de acción que el jugador j ha decidido antes que el juego comience. Sin embargo, es posible que el jugador cambie de estrategia una vez empezado el juego. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 63/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Forma Estratégica de un Juego Extensivo (I) Todo juego extensivo puede ser transformado en un juego estratégico. Definición (Forma Estratégica de Juegos Extensivos) D E La forma estratégica de un juego extensivo Γ = J, H, P, {uj }j ∈J es el  n o  juego estratégico GE = J, {Sj }j ∈J , uj0 , en el cual, para cada j ∈J jugador j ∈ J : Sj es el conjunto de estrategias del jugador j ∈ J en Γ. uj0 se define como uj0 s 0 ≥ uj0 s 1 sı́ y sólo sı́

uj O s 0 ≥ uj O s 1 para todo s 0 , s 1 ∈ S. 
 
 Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 64/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Forma Estratégica de un Juego Extensivo (II) Si el juego extensivo es finito, es posible hallar el equilibrio de Nash transformando dicho juego en su forma estratégica. Proposición (Equivalencia del Equilibrio de Nash en Juegos Extensivos) DadoDun juego extensivoE de información completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ ∈ S es un equilibrio de Nash si y solo si  es también n un equilibrio de Nash de la forma o  estratégica del juego GE = J, {Sj }j ∈J , uj0. j ∈J Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 65/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Subjuegos (I) Definición (Subjuego) DadaDuna historia no terminal E h ∈ H \ Z del juego extensivo Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , un subjuego es el juego extensivo D E Γ (h ) = J, H |h , P |h , {uj |h }j ∈J , que sigue a la historia h, donde: H |h es el conjunto de historias que siguen a la historia h. Si h0 ∈ H |h , entonces la historia (h, h0 ) ∈ H Z |h es el conjunto de historias terminales en H |h P |h (h0 ) = P (h, h0 ) para todo h0 ∈ H |h. uj |h se define como uj |h (h0 ) ≥ uj |h (h00 ) si y solo si uj (h, h0 ) ≥ uj (h, h00 ) para todo h0 , h00 ∈ H |h. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 66/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Subjuegos (II) En pocas palabras, un subjuego es todo juego que nace de una historia no terminal h ∈ H \ Z En cada D juego extensivo E con información completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J habrán tantos subjuegos como número de historias no terminales en H \ Z. En un subjuego Γ (h ) es posible que algunos jugadores en J que no participan en la toma de decisiones (i.e., ∃j ∈ J tal que P |h (h0 ) 6= j. De la misma forma que para un juego extensivo, se pueden definir acciones, estrategias y resultados para un subjuego. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 67/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Perfecto en Subjuegos (I) Definición (Equilibrio Perfecto en Subjuegos) DadoDun juego extensivo E de información completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ es un equilibrio perfecto en subjuegos (EPS) si: para cada jugador j ∈ J, para toda historia no terminal h ∈ H \ Z en el cual P (h ) = j, y para toda estrategia sj |h ∈ Sj |h del jugador j en el subjuego Γ (h ) tal que sj |h 6= sj∗ |h , se cumple que: uj |h Oh sj∗ |h , s− ∗ ≥ uj |h Oh sj |h , s−∗ j |h. 
 
 j |h Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 68/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Perfecto en Subjuegos (II) En otras palabras, una combinación de estrategias s ∗ en el juego extensivo Γ es un EPS si induce un equilibrio de Nash en todos los subjuegos Γ (h ) originados a partir de cada una de las historias no terminales h ∈ H \ Z del juego original Γ. El conjunto de los EPS son un subconjunto de los equilibrios de Nash. Un EPS de un juego induce también un EPS en cada subjuego. Si un juego extensivo tiene como único subjuego el juego en su totalidad, entonces todos los equilibrios de Nash son también EPS. Si el juego extensivo es finito, puede ser resuelto mediante el método de inducción hacia atrás. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 69/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Perfecto en Subjuegos (III) Proposición (Propiedad de la Desviación Única) DadoDun juego extensivoE con información completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J , una combinación de estrategias s ∗ es un equilibrio perfecto en subjuegos si y solo si: para cada jugador j ∈ J, para toda historia no terminal h ∈ H \ Z en el cual P (h ) = j, se cumple que: uj |h Oh sj∗ |h , s− ∗ ≥ uj |h Oh sj |h , s−∗ j |h 
 
 j |h donde sj |h ∈ Sj |h es una estrategia del jugador j en el subjuego Γ (h ) que difiere de sj∗ |h solamente en la acción tomada al inicio del subjuego Γ (h ). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 70/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Perfecto en Subjuegos (IV) En otras palabras, para comprobar que una estrategia s ∗ es un EPS basta probar que el jugador asignado a cada subjuego no puede mejorar su pago tomando una acción distinta a la indicada por s ∗ al inicio de dicho subjuego (asumiendo que, luego de esa única desviación, seguirá su estrategia original). Con algunos restricciones adicionales a la función de pagos, la propiedad de la desviación única puede extenderse al caso de juegos extensivos infinitos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 71/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Existencia del Equilibrio Perfecto en Subjuegos Teorema (Kuhn) CadaDjuego extensivo finito E con información completa y perfecta Γ = J, H, P, {uj }j ∈J tiene al menos un equilibrio perfecto en subjuegos. El teorema de Kuhn no puede extenderse al caso de juegos extensivos infinitos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 72/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Unicidad del Equilibrio Perfecto en Subjuegos Proposición Si además en cada subjuego Γ (h ) ningún jugador que toma una decisión en ese subjuego tiene más de una acción óptima, entonces el equilibrio perfecto en subjuegos es único. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 73/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Juegos Extensivos con Información Imperfecta (I) Definición (Juego Extensivo con Información Imperfecta) Un juego D extensivo conEinformación completa pero imperfecta Γ = J, H, P, {%j }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto de secuencias o historias H. Una función de jugadores P : H \ Z −→ J0 , tal que P (h ) asigna un conjunto de jugadores J0 ⊆ J que debe tomar una acción luego de la historia no terminal h ∈ H \ Z. Una relación de preferencias %j para cada jugador j ∈ J en el conjunto de historias terminales Z. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 74/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Juegos Extensivos con Información Imperfecta (II) Se requiere que la función de utilidad que represente la relación de preferencias satisfaga la propiedad de la utilidad esperada. La definición de una estrategia para el jugador j ∈ J es similar a la presentada lı́neas arriba. Las definiciones del equilibrio de Nash y del equilibrio perfecto en subjuegos para juegos extensivos con información imperfecta son similares que para juegos extensivos con información perfecta. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 75/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Juegos Extensivos con Incertidumbre (I) Definición (Juego Extensivo con Incertidumbre) Un juego D extensivo con información E completa pero con incertidumbre Γ = J, H, P, fc , {%j }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto de secuencias o historias H. Una función de jugadores P : H \ Z −→ J ∪ {c } , que asigna un jugador j ∈ J ∪ {c } que debe tomar una acción luego de la historia no terminal h ∈ H \ Z. Si P (h ) = c, entonces el azar determina la acción a tomar luego de la historia h. Una función de probabilidades fc (· | h ) para cada historia h ∈ H en el cual P (h ) = c. tal que el azar escoge una acción en A (h ). Una relación de preferencias %j sobre loterı́as para cada jugador j ∈ J en el conjunto de historias terminales Z. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 76/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Juegos Extensivos con Incertidumbre (II) Se requiere que la función de utilidad que represente la relación de preferencias satisfaga la propiedad de la utilidad esperada. La definición de una estrategia para el jugador j ∈ J es idéntica a la presentada lı́neas arriba. El resultado de una combinación de estrategias es una distribución de probabilidades sobre las historias terminales. Las definiciones de un equilibrio de Nash y de un equilibrio perfecto en subjuegos son idénticas a las de un juego extensivo sin incertidumbre. Es posible extender la definición de este juego para considerar subjuegos estratégicos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 77/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Contenido 1 Introducción 2 Taxonomı́a de Juegos 3 Juegos Estratégicos con Información Completa 4 Juegos Estratégicos con Información Incompleta 5 Juegos Extensivos con Información Completa 6 Juegos Extensivos con Información Incompleta Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 78/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (I) Definición (Juego Extensivo Bayesiano o con Información Incompleta) Un juego D extensivo bayesianoEo con información incompleta Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J tiene los siguientes componentes: Un conjunto (finito) de jugadores J = {1, 2,..., N }. Un conjunto de secuencias o historias H. Una función de jugadores P : H \ Z −→ J ∪ {c } , tal que P (h ) asigna un jugador j ∈ J ∪ {c } que debe tomar una acción luego de la historia no terminal h ∈ H \ Z. Una función de probabilidades fc (· | h ) para cada historia h ∈ H en el cual P (h ) = c, tal que el azar escoge una acción en A (h ). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 79/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (II) Definición (Juego Extensivo Bayesiano o con Información Incompleta - continuación) Para cada jugador j ∈ J , una partición de información Ij para el conjunto de historias h ∈ H en las cuales P (h ) = j. La partición de información Ij define conjuntos de información Ij para cada jugador j ∈ J. Para todo par de historias h, h0 ∈ Ij , debe cumplirse que A (h ) = A (h0 ) Una relación de preferencias %j sobre loterı́as para cada jugador j ∈ J en el conjunto de historias terminales Z. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 80/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (III) Para un jugador j ∈ J, toda historia h en su conjunto de información Ij es indistinguible. Sabrá en cuál conjunto de información Ij se encuentra, pero no sabrá cuál de las historias h ∈ Ij es la que realmente ha ocurrido. Si los conjuntos de información de todos los jugadores contienen sólo una historia, entonces es un juego extensivo con información completa pero con incertidumbre. Si la condición A (h ) = A (h0 ) cuando h, h0 ∈ Ij no se cumpliera, entonces el jugador podrı́a deducir si la historia previa es h o h0. Cuando la relación de preferencias %j puede ser representada por una función de utilidad de Bernoulli uj : Z −→ R, entonces al juego extensivo D bayesiano se le representa E como Γ = J, H, P, fc , {Ij , uj }j ∈J. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 81/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Definición (IV) Con información incompleta, los jugadores formarán conjeturas con respecto a las acciones que llevaron a hallarse en cada conjunto de información Ij. Definición (Conjeturas) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , el sistema de conjeturas es una distribución de probabilidades µ : H −→ [0, 1], tal que para cada h ∈ Ij , se cumple que ∑h∈Ij µ (h ) = 1. Nótese que se define una conjetura para cada posible historia h ∈ H. Como el conjunto de información Ij corresponde a un solo jugador, entonces la conjetura relevante para toda historia h ∈ Ij es definida por el jugador j a quien le corresponder tomar la decisión en ese perı́odo (i.e., para P (Ij ) = j). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 82/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias en Juegos Extensivos Bayesianos (I) Definición (Acciones en Juegos Extensivos) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , el conjunto de acciones disponibles para el jugador P (Ij ) = j en el conjunto de información Ij es A (Ij ) = {a : (h, a) ∈ H, ∀h ∈ Ij }. Definición (Estrategias Puras) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , una estrategia pura para el jugador j ∈ J es una función sj : Ij −→ A (Ij ) , que asigna una acción en A (Ij ) a cada conjunto de información Ij ∈ Ij en la cual es el turno del jugador j (i.e., P (h ) = j). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 83/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Estrategias en Juegos Extensivos Bayesianos (II) Definición (Estrategias Mixtas) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , una estrategia mixta para el jugador j ∈ J es una distribución de probabilidades σj : Sj −→ [0, 1] sobre el conjunto de estrategias puras Sj del jugador j. Definición (Estrategias de Comportamiento) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , una estrategia de comportamiento para el jugador j ∈ J es una colección { β j (Ij )}Ij ∈Ij de distribuciones de probabilidad que son independientes entre sı́, en el cual β j (Ij ) es una distribución de probabilidad sobre A (Ij ) Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 84/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano Perfecto (I) Para la definición del equilibrio bayesiano perfecto, es necesario introducir previamente tres conceptos: Evaluación Racionalidad secuencial Consistencia (débil) Definición (Evaluación) D E En un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , una evaluación es un par ( β, µ) , donde β = ( β 1 ,..., β j ,..., β N ) es una combinación de estrategias de comportamiento, y µ = {µh }h∈H es un sistema de conjeturas. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 85/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano Perfecto (II) Definición (Racionalidad Secuencial) DadaDuna evaluación ( β, µ) delE juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , la combinación de estrategias β es secuencialmente racional en el conjunto de información Ij con respecto al sistema de conjeturas µ si para todo jugador j ∈ J, y para cualquier estrategia β0j de dicho jugador, se tiene que: β0j , β −j , µ | Ij 

 Uj [O (( β j , β −j ) , µ | Ij )] ≥ Uj O La evaluación ( β, µ) es secuencialmente racional en el juego extensivo bayesiano si es secuencialmente racional en todos los conjuntos de información. Como la estrategia de comportamiento incluye conjeturas, para hallar el pago de cada jugador j se usa el concepto de utilidad esperada. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 86/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano Perfecto (III) Definicion (Consistencia) DadaDuna evaluación ( β, µ) Edel juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , el sistema de conjeturas µ es consistente con respecto a la combinación de estrategias β si para todo h ∈ Ij Pr (h | β) µ (h ) = Pr [h | Ij , β] = Pr (Ij | β) siempre que Pr (Ij | β) > 0 La consistencia requiere que los jugadores utilicen la regla de Bayes para formular sus conjeturas en todo conjunto de información, en tanto sea posible (i.e., en tanto Pr (Ij | β) > 0). Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 87/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano Perfecto (IV) Definición D E Dado un juego extensivo bayesiano Γ = J, H, P, fc , {Ij , %j }j ∈J , una evaluación ( β, µ) es un equilibrio bayesiano perfecto si: 1 La combinación de estrategias β es secuencialmente racional con respecto al sistema de conjeturas µ, y 2 El sistema de conjeturas µ es débilmente consistente con respecto a la combinación de estrategias β. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 88/89  E1EDC9 – Economı́a del Comportamiento – Tema K Decisión Estratégica: Economı́a Neoclásica Equilibrio Bayesiano Perfecto (V) El sistema de conjeturas µ debe ser consistente con respecto a la combinación de estrategias β incluso en conjuntos de información situados fuera de la trayectoria de equilibrio. En caso que ello se cumpliera, la evaluación será un equlibrio bayesiano perfecto débil. Todo equilibrio bayesiano perfecto es un equilibrio perfecto en subjuegos. Prof. Dr. Martı́n Paredes Center for Research in Experimental Economics (CREE–UDEP) 89/89