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Cinematica : Studio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentemente dalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto (=> accelerazioni = variazioni di velocità) Cinematica “scalare”: - studia il moto u...

Cinematica : Studio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentemente dalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto (=> accelerazioni = variazioni di velocità) Cinematica “scalare”: - studia il moto unidimensionale - necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’ unica funzione del tempo Cinematica “vettoriale”: - studia il moto in due o più dimensioni - necessita di “quantità vettoriali” (darò nelle prossime lezioni brevi richiami di algebra vettoriale)  il «punto materiale» - Punto materiale ( astrazione) : oggetto privo di dimensioni (concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio, rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmente le quantità che ne determinano il moto ) Esempio: ai fini dello studio della sua traiettoria, un pallone può essere considerato un punto materiale (a meno di voler descrivere effetti particolari, ad esempio, di carattere aerodinamico… → e.g.: “effetto Magnus”)  Punto materiale (2) Anche la Terra può essere considerata un “punto materiale”, ai fini dello studio del suo moto intorno al Sole: r~150 ·106 km 2 RT~12000 km ~10-4 r (inoltre: la forza che il Sole esercita sulla Terra , F~1/r 2, varia molto poco sulla scala delle dimensioni terrestri) [ tuttavia: se fossimo interessati a studiare il fenomeno La Terra è un “geoide”: (deformazione del della “precessione degli equinozi”, dovremmo m  10 21 Kg geoide: ~ 10 km)   23 0 considerare la Terra come una sfera (un pò schiacciata  m F1  mM S / r 2 ai Poli) di dimensioni finite (corpo rigido), con una N  rotazione giornaliera intorno al suo asse Nord-Sud, F2 O Sole r  150 10 6 km cui è associato un “momento angolare”…: S  esempio notevole di “dinamica del corpo rigido”] F2< F1 d~2RT  Sistemi di riferimento La descrizione del moto presuppone la definizione di un “sistema di coordinate”: - scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine”, O - scelta di un sistema di “assi coordinati” lungo i quali misurare le distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari del punto P di cui si vuole studiare il moto P descrivere il moto di un punto significa dire come variano nel tempo queste quantità O [ riprenderemo l’argomento in dettaglio quando introdurremo la cinematica nello spazio tridimensionale ]  Moto unidimensionale: legge oraria del moto Consideriamo il caso di un moto rettilineo: Origine “traiettoria”: luogo geometrico dei punti dello spazio occupati dal punto P durante il suo moto (in questo caso: un segmento di retta) 0 x(to) x(t1) x(t3) x(t2) x(t4)….. x Grafico della “legge oraria del moto” x(t): x(t) (“diagramma orario”) [ attenzione: x4 NON confondere il grafico della x2 legge oraria del moto con la x3 traiettoria descritta dal punto in x1 moto ] x0=x(t0) t0 t1 t2 t3 t4 t  Coordinata curvilinea e velocità scalare media Quanto visto si estende facilmente ad una generica traiettoria curvilinea: “Coordinata curvilinea” s(t) : – spazio s percorso in funzione del tempo t lungo la “traiettoria” prefissata luogo geometrico dei punti dello spazio occupati dal punto materiale durante il moto s(t) P(t) Po s(t) s(t2) s “legge del moto” s(t1) t t t1 t2 s (t1  t )  s (t1 ) s Velocità scalare media tra due istanti t1 e t2=t1+t : vm   (dimensione : [v] = m/s) ) t t  Esempio e semplici esercizi : Esempio: Un’auto impiega 2 h a percorrere il percorso autostradale di 216 km tra Napoli e Roma. Determinare la sua velocità media espressa in m/s. = s / t = ( 216·103 m ) / (2 ·3600 s) = 30 m/s Esercizi: 1) Un centometrista in una gara olimpica percorre i 100 metri piani in 10 secondi netti. Esprimere la sua velocità media in km/h. 2) Un ciclista percorre una tratto rettilineo in discesa alla velocità costante di 72 km/h. Determinare la lunghezza del rettilineo se il tempo impiegato è stato di 45 s.  Velocità scalare istantanea v(t) È la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilinea s(t): s (t  t )  s (t ) ds(t ) (dimensione : [v] = m/s) : v(t )  lim  = s’(t) t 0 t dt s(t)  (t) v(t) = tan((t)) t Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene per integrazione (invertendo cioè l’operazione di derivazione): s t ds = v(t) dt s   ds  s(t )  s(t0 )   v(t ' )dt ' s0 t0 t variabile indipendente “tempo” s(t )  s(t0 )   v(t ' )dt ' che scorre tra l’istante iniziale t0 e quello finale t t0 al quale si vuole conoscere la posizione s(t)  Integrazione della velocità v(t) 2 s(t )  s(t0 )   v(ti )t t i 0 to t1 t2 t v(t) 5 s(t )  s(t0 )   v(ti )t t i 0 to t1 t2 t3 t4 t5 t v(t) t→0 t s(t )  s(t0 )   v(t ' )dt ' t0 to t t  Accelerazione Accelerazione scalare media : v(t1  t )  v(t1 ) v am   (dimensione : [a] = m/s2) t t Accelerazione scalare istantanea : v(t  t )  v(t ) dv(t ) d  ds(t )  d 2 s(t ) a(t )  lim      = s’’(t) t 0 t dt dt  dt  dt 2 Nota la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene per integrazione: v t dv = a(t) dt v   dv  v(t )  v(t0 )   a(t ' )dt ' v0 t0 t variabile indipendente “tempo” che scorre tra l’istante iniziale t0 e quello finale t v(t )  v(t0 )   a(t ' )dt ' al quale si vuole conoscere la velocità v(t) t0  Caso particolare: moto rettilineo uniformemente accelerato [esempio: moto di un “grave” a(t) lasciato cadere con velocità Moto che si svolge con iniziale nulla sotto l’azione a della forza di gravità ] accelerazione costante: a(t) = a t t0 La velocità varia linearmente t con il tempo: velocità: v(t )  v(t0 )   a(t ' )dt '  v0  a(t  t0 ) t0 v(t)  tan  = a v0 La posizione è una funzione t t parabolica del tempo: 0 t t posizione: s(t )  s(t0 )   v(t ' )dt '  s0   v0  a(t 't0 )dt '  t0 t0 1 s(t)  s0  v0 (t  t0 )  a(t  t0 ) 2 tan(t0) = v0 2 s0  [ i grafici sono mostrati per a > 0 , v0 e s0 >0 ] t t0  Esempi: moto uniformemente e moto NON uniformemente accelerato moto accelerato, con accelerazione NON uniforme a ≠ costante moto ( nel caso mostrato a cresce a=costante= -1m s-2 linearmente con il tempo) uniformemente accelerato a (t )  kt [ nel caso condizione mostrato, iniziale: condizione t v0 = 2 m/s iniziale: a è negativa: v0 = -2 m/s v(t )  v0   a(t ' )dt ' il moto è t 0 t decelerato 1  v0   kt ' dt ' v0  kt 2 (il corpo frena 0 2 in maniera condizione uniforme) ] iniziale: t x0 = 0. m x0 = 0. m x(t )  x0   v(t ' )dt '  t 0 t x0   [v0  kt '2 / 2]dt ' 0 1 Legge del moto: x(t) =x0 +v0t +(1/2)at2  x0  v0t  kt 3 6  Ricapitolazione dei principali concetti esposti : - “Traiettoria”: è il luogo dei punti dello spazio occupati da un punto materiale nel suo moto - conoscere il moto di un corpo lungo una traiettoria prefissata significa conoscere la legge oraria s(t) dello spazio percorso lungo la traiettoria - la velocità istantanea è la derivata di s(t) rispetto al tempo: s (t  t )  s (t ) ds(t ) v(t )  lim  (nel S.I., si misura in m/s) t 0 t dt - l’accelerazione istantanea è la derivata di v(t) rispetto al tempo: v(t  t )  v(t ) dv(t ) d  ds(t )  d 2 s(t ) a(t )  lim      (si misura in m/s2) t 0 t dt dt  dt  dt 2  Ricapitolazione (2) Nota l’accelerazione a(t), si risale alla funzione v(t) attraverso l’operazione di integrazione, conoscendo la velocità iniziale vo: t v(t )  v(t0 )   a(t ' )dt ' t0 Determinata la velocità v(t) , attraverso un’ulteriore integrazione si risale allo spazio percorso s(t), nota la condizione iniziale s0: t s(t )  s(t0 )   v(t ' )dt ' t0 La legge oraria s(t) è quindi univocamente determinata dalla conoscenza dell’accelerazione a(t) e dalle due condizioni iniziali sulla posizione, so , e sulla velocità, vo.  Ricapitolazione (3) Un’ultima notazione (domanda provocatoria….): Perchè ci fermiamo alla derivata seconda della funzione s(t), l’accelerazione, e non iteriamo ancora il procedimento? [ cioè: perché non inventiamo un bel nome per la derivata terza della funzione s(t) (la derivata dell’accelerazione), chiamiamola (t), e consideriamo il suo integrale per determinare a(t): ecc…? ] Risposta (anticipando un pò…): perchè le leggi della Dinamica ci dicono che le forze determinano l’accelerazione (non la sua derivata…). Note le forze che agiscono su un corpo, sarà nota la sua accelerazione e da qui, con le operazioni di integrazione appena discusse, possiamo determinare la legge del moto del corpo. Moto di un grave e moto armonico  Argomenti della lezione Moto di un “grave” sotto l’azione dell’accelerazione di gravità lungo la direzione verticale ( esempio notevole di moto uniformemente accelerato ) Equazione differenziale del moto: - considerazioni generali sull’integrazione dell’equazione del moto - condizioni iniziali e loro applicazione alla soluzione dell’equazione del moto Moto armonico e sua equazione differenziale  Moto di un “grave” (=corpo soggetto all’ accelerazione di gravità) Applicando quanto visto in generale per un moto y a   g  9.8m / s 2 uniformemente accelerato: Legge oraria della velocità (ponendo t0=0) : v(t )  v0  gt asse y orientato (convenzionalmente) Legge oraria del moto: 1 2 verso l’alto y (t )  y0  v0t  gt 2 Il moto dipende dalle y0  3m diagramma orario y(t): condizioni iniziali, ad es.: v0  5m / s Tempo di salita tM al quale la velocità  si annulla e viene raggiunta l’altezza massima yM: tan   v0 tM = v0/g  5m / s 2 1 v  Altezza yM  y (t M )  y0  v02 / g  g  0  2 g massima:  y0  v02 / 2 g  4.28m t M  v0 / g  0.51s  Moto di un grave (2)  Tempo di caduta tc al quale il corpo raggiunge il suolo: tan   v0 y(tC) = 0  5m / s 1 2 y (tC )  y0  v0tC  gtC  0 2 gtC2  2v0tC  2 y0  0 t M  v0 / g  0.51s tC  v0  v0  2 y0 g  / g  2   tC  v0 / g  (v0 / g ) 2  2 y0 / g [domanda: che interpretazione fisica possiamo dare alla  1.44 s soluzione negativa per tC ? ] Velocità di caduta: v(tC) = v0-g tC   2 v(tC )  v0  g v0 / g  (v0 / g ) 2  2 y0 / g   v0  2 y0 g Nota: se y0=0 → tc=2v0/g = 2tM Nota: v(tC) non dipende dal segno di v0… domanda: perchè ? [ Risposta: lo capiremo studiando la dinamica…]  Esercizio: un altro esempio numerico per il moto di un grave Condizioni iniziali: y0  3m v0  8m / s yM  6.30m t M  0.83s tC  1.95 s Esercizio proposto: - verificate i numeri dati per tM, yM, tC - trovare la velocità di caduta - invertire il segno della velocità iniziale (v0= -8 m/s) e rifare il grafico di y(t) - trovare il nuovo tempo di caduta (quello sì dipende dal segno di v0 ! )  L’ equazione differenziale del moto In generale, una qualsiasi legge oraria x(t) è soluzione di un’ “equazione differenziale” : un’equazione nella quale compaiono una funzione incognita (la legge del moto x(t) che vogliamo trovare, appunto) e alcune sue derivate (in particolare, ad esempio, l’ accelerazione: a(t) = d2x(t) / dt2 ) Esempio: moto di un grave uniformemente accelerato d 2 y (t )  g dalla gravità : dt 2 Questa è un’equazione differenziale molto semplice: la derivata seconda della funzione incognita y(t) che descrive la legge del moto è una costante (non è cioè funzione del tempo). Noi (senza saperlo!) abbiamo già risolto questa equazione : integrando l’accelerazione costante –g e poi la funzione velocità v(t) = v0-gt , abbiamo trovato la funzione y(t) che é soluzione dell’equazione differenziale: y(t) = y0 + v0t – gt2/2 (potete facilmente verificarlo, derivando due volte la y(t) ) Come vedremo, le condizioni iniziali sulla posizione (y(t=0) = y0) e la velocità (v(t=0) = v0) determinano le “costanti di integrazione”dell’equazione.  L’ equazione differenziale del moto (2) In generale si possono avere situazioni fisiche piú complicate (ne vedremo una tra poco discutendo il ”moto armonico”), in cui per esempio l’accelerazione è una data funzione del tempo: …oppure in cui compare anche la velocità (ossia una situazione per la quale l’accelerazione dipende dalla velocità ): [ ad esempio,come discuteremo in dettaglio in dinamica: è esperienza comune osservare che una macchina rallenta quando si toglie il piede dall’acceleratore, anche senza premere il freno… e che lo fa più rapidamente all’inizio; questo perché l’automobile è soggetta a una forza (e quindi a una decelerazione) che diminuisce al diminuire della velocità : la forza “viscosa” di resistenza dell’aria… ; l’equazione differenziale che descrive questa situazione fisica è dunque: ( ) ( ) ( ) 𝑎 𝑡 = = −𝑘𝑣(𝑡) ossia: = −𝑘 ] Per “risolvere un’eq.differenziale” , si intende trovare la funzione incognita x(t) che per qualsiasi valore della variabile indipendente t soddisfa l’eq.differenziale data  Eq. differenziale del moto uniformemente accelerato Torniamo al nostro esempio semplice di moto uniformemente accelerato: moto di un grave uniformemente accelerato d 2 y ( t ) dalla gravità : 2  g dt Integriamo l’accelerazione per trovare la velocità:  𝑣𝑡 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑔𝑑𝑡 = −𝑔𝑡 + 𝐴 Integriamo poi la velocità per  determinare la posizione: y (t )   v(t )dt   ( gt  A)dt soluzione generale 1  y (t )   gt 2  At  B con A,B “costanti di integrazione” dell’eq.differenziale: 2 (tutte le funzioni y(t) soddisfano l’eq.differenziale data, indipendentemente dai valori delle costanti A e B ) y (t ) La soluzione generale descrive un numero varia A infinito (∞2) di moti diversi, tutti con y0 la stessa accelerazione g, ma con diverse posizioni iniziali e con diversi valori della velocità iniziale t varia B  Eq. differenziale del moto uniformemente accelerato (2) In generale, saremo interessati ad uno specifico moto, che abbia una predefinita posizione iniziale y0 e una data velocità iniziale v0 : imponiamo quindi le y ( t  0)  y0 “condizioni iniziali”: v ( t  0)  v0 1 sulla soluzione generale: y (t )   gt 2  At  B 2 B  y0  e sulla sua derivata: A  v0 soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali assegnate Abbiamo dunque trovato la y (t ) varia A=v0 “soluzione particolare” di nostro interesse: y0  1 y (t )   gt 2  v0 t  y0 2 t varia B=y0 In questo semplice caso, le costanti di integrazione A e B hanno il significato fisico di velocità e posizione iniziali; in generale non è sempre così. Tuttavia, il procedimento illustrato per trovarle ha validità generale (ne vedremo un esempio nel moto armonico).  Moto armonico E’ un moto periodico che si svolge x ( t )  A sin(t   ) secondo la legge oraria: “ampiezza” “pulsazione” “fase iniziale” (= argomento della funzione sinusoidale Per definizione di periodo T di una funzione periodica, si ha: al tempo t=0 ) x ( t  T )  A sin[ ( t  T )   ]  x ( t )  A sin[t   ] t Questa relazione è vera per ogni valore di t se l’argomento della funzione seno differisce per 2 :  T  2  T  2 Relazione tra periodo e pulsazione di un moto  armonico 1  La “frequenza” dell’oscillazione:   si misura in Hertz (Hz): 1 Hz ≡ 1 s-1 T 2 La relazione tra la posizione iniziale e fase iniziale è: x ( t  0)  A sin  posizione iniziale    arcsin( x ( 0) / A)  Esempi di moto armonico x ( t )  A sin(t   ) T =1 s, = 1 Hz T=2 s , = 0,5 Hz [ =2 s-1] [ =s-1] A=2 m Moti armonici con la stessa x ( 0)  ampiezza (A = 2 m) e diversa A sin  frequenza di oscillazione  Velocità e accelerazione in un moto armonico Posizione: x (t )  A sin t (per semplicità:  = 0 ) -A 0. A A T/2 T x -A t spostamento spostamento dx ( t ) nullo: x=0 massimo: x=A Velocità: v (t )   A cos t dt  A velocità velocità massima nulla: v=0 accelerazione accelerazione  A nulla massima (in dv ( t ) modulo): Accelerazione: a (t )    A 2 sin t a = -2A dt d 2 x (t )  A   2 A sin t   2 x (t ) dt 2 Equazione differenziale del moto armonico: d 2 x (t )   2 x (t )  0  A dt 2  Equazione differenziale del moto armonico Un moto armonico: x ( t )  A sin(t   ) d 2 x (t ) è quindi un moto la cui legge del moto soddisfa l’eq. differenziale:   2 x (t )  0 dt 2 la quale afferma che in un moto armonico l’accelerazione è una funzione lineare della posizione, misurata rispetto al centro di oscillazione del moto, ed ha segno opposto alla posizione stessa (ossia è negativa per x > 0, e positiva per x < 0 ): 𝑑 𝑥(𝑡) 𝑎= = −𝜔 𝑥 𝑑𝑡 Posizione: x (t )  A sin t A T/2 T t [ come vedremo in Dinamica, questo vuol -A dire che un moto armonico avviene quando si è in presenza di una forza che cresce Accelerazione: 𝑎 = −𝜔 𝑥 linearmente con la distanza dal centro di A oscillazione, ed è una “forza di richiamo”, ossia diretta verso il centro di oscillazione, in cui la forza è nulla ]  A  Condizioni iniziali e costanti di integrazione nel moto armonico La legge oraria: x ( t )  A sin(t   ) d 2 x (t ) è la “soluzione generale” dell’eq. differenziale del moto:   2 x (t )  0 dt 2 [ ossia: la funzione x(t) soddisfa l’eq. differenziale data per qualsiasi valore di A e φ, allo stesso modo in cui la funzione y(t) = A+Bt - gt2/2 che abbiamo visto per il moto uniformemente accelerato di un grave, è la soluzione generale dell’eq. differenziale: d2y(t)/dt2 =-g ] Le costanti di integrazione A e  sono determinate dalle “condizioni iniziali” (posizione e velocità iniziali del moto), seguendo lo stesso procedimento visto per il moto di un grave.  Determinazione delle costanti di integrazione dalle condizioni iniziali Esempio 1: posizione iniziale : x ( t  0)  X 0  0 v0  0 velocità iniziale nulla: v ( t  0)  0. 0. X0 Quali valori delle costanti A e φ nella funzione x(t)= Asin(t+ φ ) corrispondono a queste condizioni iniziali? x (t  0)  A sin   X 0 A  X0   v (t  0)  A cos  0  cos   0.    / 2 , sen  = 1  La soluzione particolare che corrisponde alle condizioni iniziali specificate è: x(t )  X 0 sin(t   / 2)  X 0 cos t x (t ) X x ( t )  X 0 cos t 0 varia A In questo caso dunque, in cui v0 =0, t l’ampiezza A dell’oscillazione coincide  X0 con la posizione iniziale varia   Determinazione delle costanti di integrazione (2) Esempio 2: posizione iniziale nulla x ( t  0)  0. v ( t  0)  v 0  0. v0 velocità iniziale vo > 0 : x -A=-v0/ 0. A = v0/ x ( t )  A sin(t   ) A sen  =0 → cos  =1 Al tempo t = 0 : A cos  = v0   0. v0  A  v0 /   x (t )   sin t ( nota: il rapporto v0/ ha  l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 /  ovviamente la dimesione di x (t ) una lunghezza: x (t )  v0 sin t [v0 /  ] = m ) v0 /   v0 /  t Moto esponenzialmente smorzato  Argomenti della lezione Moto esponenzialmente smorzato Moto accelerato con attrito viscoso Esempi ed esercizi  Moto smorzato esponenzialmente Si verifica in presenza di una decelerazione dv ( t ) di tipo “viscoso”, ossia proporzionale alla velocità : a (t )    kv ( t ) dt Questa è un’equazione differenziale nella quale la funzione incognita è la velocità v(t). v t 𝑑𝑣(𝑡) Separando 𝑑𝑣(𝑡) dv 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 = −𝑘𝑣(𝑡)𝑑𝑡 le variabili: 𝑣(𝑡) = −𝑘𝑑𝑡  v0 v  k  dt 0  v  ln    kt  v0  v(t )  v0 e  kt  v0 e  t /  v (t ) dove   1/ k è la “costante di tempo” dello smorzamento v0  v0 / e ( nota: [k] = s-1 )   t v (t  1 / k )  v0 e 1 ≈ 0.37 v0  Moto smorzato esponenzialmente (2) v (t ) v0  v(t )  v0e  kt  v0e t /  v0 / e  t   è l’intersezione con l’asse dei tempi della retta tangente alla curva v(t) al tempo t = 0 ; infatti: dv v0 tan     kv0 e  kt  kv0   dt t 0 t 0  Per t  : v(t  5 )  v0e 5  0.006v0  0 dopo un tempo t  la velocità si è praticamente annullata  Spazio percorso nel moto smorzato esponenzialmente Lo spazio percorso si ottiene per integrazione della funzione velocità : t t v t  v (t )dt  x v  kt x (t )  x0  0  0e dt  x0  0 e  kt k 0 0 0 x (t ) x (t )  x0  v0 k  1  e  kt  x ( )  x0  v0 / k x0 t Posizione limite, asintoticamente raggiunta a t = ∞ v0 x0  v0 / k x 0. x0  Esempio di moto smorzato esponenzialmente Velocità:  kt t /  v(t )  v0e  v0e v0= 4 m/s k = 0.2 s-1  ≡ 1/k = 5 s x= v0/k = 20 m Posizione: x0=0 x (t )  x0  v0 k  1  e  kt   Moto accelerato in presenza di un “attrito viscoso” Consideriamo il caso in cui ad un termine di dv ( t ) accelerazione costante (ad esempio: nella caduta  a  kv ( t ) dt termine di attrito viscoso di un grave) si aggiunge un termine di “attrito viscoso” : (proporzionale alla velocità) termine costante (ad es: g) 𝑑𝑣(𝑡) dv (t ) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 = 𝑎 − 𝑘𝑣 𝑡 𝑑𝑡 Separando le variabili :  dt 𝑑𝑡 a  kv (t ) Posto: w( t )  a  kv ( t ) , da cui consegue, per il differenziale della funzione w(t) : dw = -kdv possiamo allora 1 𝑑𝑤(𝑡) Integrando tra t=0 ( istante in cui 𝑤(𝑡) scrivere: = −𝑑𝑡 𝑙𝑛 = −𝑘𝑡 𝑘 𝑤(𝑡) w(t)=w0 ) e l’istante generico t : 𝑤 w(t )  w0 e  kt Reintroducendo la funzione v(t): a  kv (t )  (a  kv0 )e  kt a a  kt 𝑎 − 𝑎 −𝑣 𝑒 = 𝑣(𝑡) v (t )   ( v0  ) e 𝑘 𝑘 k k  Moto accelerato in presenza di un attrito viscoso (2) a a In definitiva, la velocità varia secondo la legge : v (t )   (v0  )e  kt k k v (t ) v  a / k v0 t “velocità limite” : v   lim v ( t )  a / k (indipendente da v0 ) t  [ Ricordando l’eq. differenziale di partenza: dv ( t )  a  kv ( t ) dt v∞ è la velocità alla quale dv/dt si annulla ] Richiami di algebra vettoriale  Argomenti della lezione Il moto nello spazio tridimensionale Grandezze vettoriali; il “vettore posizione” Sistemi di coordinate: cartesiane, cilindriche, polari Trasformazioni delle componenti di un vettore Invarianza del modulo di un vettore, invarianza delle quantità scalari Operazioni con i vettori: - moltiplicazione per uno scalare - somma di vettori - prodotto scalare e prodotto vettoriale Derivata di un vettore Integrazione di una funzione vettoriale  Moto nello spazio tridimensionale La localizzazione spazio-temporale di un ‘evento’ (esempio: “il punto materiale P si trova in un certo posto ad un dato istante con una data velocità ”) richiede : - la definizione di un sistema di coordinate definizione di un punto arbitrario “origine” O e di un sistema di assi rispetto ai quali misurare gli spostamenti (distanze e/o angoli) Nella “Meccanica classica” (“newtoniana”), le proprietà geometriche dello spazio sono le stesse (quelle della “geometria euclidea”) in ogni punto dello spazio - la definizione di un modo di misurare il tempo : in Meccanica classica, il tempo è un parametro assoluto che ordina la successione degli eventi in un dato punto nella stessa maniera in ogni punto dello spazio ed in tutti i sistemi di coordinate (anche in moto relativo uno rispetto all’altro) esso è misurato da “orologi” (sistemi fisici che esibiscono fenomeni periodici) il cui procedere è assunto essere lo stesso in tutti i punti dello spazio e indipendentemente dal loro stato di moto  assolutezza del concetto di “contemporaneità” di eventi che accadono in punti diversi dello spazio  Spazio euclideo e spazio curvo (in 2D) Spazio piano euclideo Spazio non euclideo (esempio: superficie sferica) Ad esempio: la somma degli angoli interni La somma degli angoli interni di un triangolo è  di un triangolo è ≠  In “Meccanica classica” (“newtoniana”): lo spazio tri-dimensionale in cui ci muoviamo è euclideo.  Grandezza vettoriale E’ definita dandone un modulo o intensità “prototipo” di una grandezza vettoriale: (che ne specifica la grandezza in una data spostamento r rispetto ad un punto dello spazio unità di misura), una direzione e un verso P direzione r O “modulo” di r - modulo, direzione e verso sono “proprietà intrinseche” della grandezza vettoriale ( indipendenti dal sistema di coordinate scelto per rappresentarle) - definito un sistema di coordinate, nello spazio tridimensionale una grandezza vettoriale è individuata da tre numeri, “componenti” del vettore che la rappresenta nel sistema dato - le componenti di un vettore soddisfano determinate “proprietà di trasformazione” per cambiamenti del sistema di coordinate, in modo tale da rispettare la invarianza delle proprietà intrinseche del vettore  Sistemi di coordinate Coordinate cartesiane ortogonali: Coordinate cilindriche: z P = P(x,y,z)  “angolo azimutale” z P = P(R,,z) r x = R cos  O r =OP O y y = R sen  R y x  P’ x P’ Coordinate sferiche :  “angolo azimutale” z : “angolo polare” r P = P(r,)  O x = r sen  cos  y y = r sen  sin  x  P’ z = r cos   Trasformazione delle componenti di un vettore z’ P=(x’,y’,z’ z P=(x,y,z) r r y’ O y  O x Trasformazione x’ x2 + y2 + z2 = di coordinate: x’2 + y’2 + z’2 Lo stesso vettore r può x’= x’(x,y,z) essere descritto in y’= y’(x,y,z) la lunghezza del vettore è diversi sistemi di z’= z’(x,y,z) invariante rispetto alla rotazione coordinate: del sistema di coordinate In generale, nello spazio tridimensionale per descrivere la rotazione del sistema (x’, y’, z’) rispetto al sistema (x,y,z) servono 3 angoli (“angoli di Eulero”) Le trasformazioni (x,y,z) → (x’, y’, z’ sono piuttosto complicate nello spazio 3 D; lo stesso concetto di invarianza può essere meglio illustrato in 2 dimensioni (vedi prossima slide)  Trasformazione delle componenti di un vettore in 2 D Caso bidimensionale: vi è un unico parametro, l’angolo , che descrive la rotazione del sistema (x’,y’ rispetto al sistema originario (x,y) y y’ P=(x,y) = (x’,y’ x’ r y’(x,y =  x - x sin() + y cos() x’(x,y) = x cos() + y sin() (vedi prossima slide) La trasformazione (x,y) → (x’,y’nel piano bidimensionale è particolarmente semplice  Trasformazione delle componenti di un vettore (2) y y’ x P y cos  r = OP y y’(x,y = - x sen() + y cos()  x’ O y sin  x x sin  x cos x’(x,y) = x cos() + y sen()  Invarianza del modulo del vettore spostamento rispetto alle rotazioni La legge di trasformazione delle coordinate per la rotazione y y’ di un angolo ϑ (intorno all’asse z perpendicolare al piano del foglio) x è quindi: P x’(x,y) = x cos() + y sen() y cos  y r = OP y’(x,y = - x sen() + y cos()  x’ y sin  x sin  O x Il quadrato del modulo di r è : x cos r 2  OP  x’22+y’  2 2  ( x cos   y sin  ) 2  (  x sin   y cos  ) 2  x 2 cos2   y 2 sin 2   2 xy cos sin  x 2 sin 2   y 2 cos 2   2 xy cos  sin   x 2 (cos2   sin 2  )  y 2 (cos2   sin 2  )  x 2  y 2 La trasformazione : (x,y)  ( x’, y’ ) mantiene invariante l’espressione x2+y2 = x’2+y’2 il modulo del vettore r : r OP è una “quantità scalare”  “Matrice” delle rotazioni (nel piano) y y’ La trasformazione delle componenti del vettore r : x P x’(x,y) = x cos() + y sen() y cos  y r = OP y’(x,y = - x sen() + y cos()  x’ y sin  x sin  O x x cos può essere espressa in forma matriciale come il prodotto righe per colonne del vettore r = (x,y) per la matrice M : 𝑥′ cos 𝜗 𝑠𝑒𝑛𝜗 𝑥 = 𝑦 𝑦′ −𝑠𝑒𝑛 𝜗 𝑐𝑜𝑠𝜗 M: “matrice di rotazione” nel piano  Operazioni con i vettori: moltiplicazione per una quantità scalare e somma di vettori Prodotto di un vettore a per una quantità scalare s: Il risultato è un vettore b di modulo b=sa, b=sa parallelo (se s>0) o antiparallelo (se s 0 x0 x ( t )  x0  v0 x t 1 t y (t )  y0  v0 y t  gt 2 y(t) 2 v0y > 0 z ( t )  z0 yM y0  “equazioni parametriche “ della traiettoria tM tC t z(t) (nei grafici, è esemplificato il caso tempo di caduta z0 v0x > 0 , v0y > 0, ossia velocità iniziale v0 diretta verso l’alto) t  Equazioni parametriche della traiettoria (2) y y0 v0 Caso della velocità iniziale v0 diretta verso il basso: v0y < 0 g x z x(t) v0x > 0 x0 t y(t) L’altezza massima in questo caso coincide ovviamente y0 v0y < 0 con la posizione iniziale: yM = y0 tC t tempo di caduta  Moto di un grave in due dimensioni Tornando al caso con v0y > 0 : Legge oraria della componente lungo y della velocità: x(t) vy(t) v y (t M )  v y 0  gt M  0 xC v0y vy0 xM  tM  g x0 tM tC t tM tC t Altezza massima: y(t) 1 yM y M  y ( t M )  y0  v0 y t M  gt 2 M  2 v 02y 1 v 02y  v02y y0  y0   g g 2 g2 y M  y0  2g tM tC t istante a cui si raggiunge la massima quota yM [ nota: le equazioni per y(t) sono le stesse del caso unidimenisonale, tempo di caduta: y(tC) = 0 con la sostituzione v0 v0y ]  Moto di un grave in due dimensioni Legge oraria della componente lungo y della velocità: x(t) vy(t) xC v0y xM tM tC t x0 componente lungo y velocità di caduta vCy tM tC t La soluzione per il tempo di caduta tC è stata già trovata per il moto di un grave in una dimensione: y(t) la quantità algebrica v0 lì usata va sostituita con v0y : yM y0 tM tC t Analogamente, la componente lungo y della velocità di caduta è: [ il modulo della velocità tempo di caduta: y(tC) = 0 y di caduta è: vC=[vCy2+v0x2]1/2 ]  Equazione della traiettoria per il moto di un grave equazioni parametriche → equazione della traiettoria Ricordiamo quanto detto in generale per un moto nello spazio: x  x (t ) t  t ( x) y  y (t ) y  y ( t ( x ))  y ( x ) Scelta opportunamente l’origine degli assi  x0  0 : x ( t )  v0 x t t  x / v0 x 2 1 x 1  x  y ( x )  y0  v0 y  g  y (t )  y0  v0 y t  gt 2 v0 x 2  v0 x  2 y( x)  v 0 Equazione della traiettoria : yM  g y ( x )  y0  tgx  x2 2 2v 0 cos2  angolo iniziale del vettore v0 con la direzione orizzontale: xM  x(tM )  v0 xtM  v0 x v0 y / g xG x tg  v0 y / v0 x “gittata”  Equazione della traiettoria : gittata y( x) Equazione della traiettoria : v 0 y ( x )  y0  tgx  g x2 yM 2 2v 0 cos 2   angolo iniziale del vettore v0 : tg  v0 y / v0 x xM  x(tM )  v0 xtM  v0 x v0 y / g xG x “gittata” “Gittata” xG: y ( xG )  0 gxG2  2v0 x v0 y xG  2v02x y0  0 xG  v0 x v0 y / g  (v0 x v0 y / g ) 2  2v02xygy 0/g0 [ nota: se y0 =0, xG = 2 v0xv0y/g = 2 xM ]  Gittata nel moto di un grave: caso y0=0 x  g  Per y0  0  y( x)  v0 x  v0 y   2v0 x x  ponendo:  g  y ( xG )  0   v0 y   2v 0 x x G   0.  2 2v0 cos  sin   gittata : xG  2v0 x v0 y / g  g Fissato il modulo di v0 , la gittata è funzione dell’inclinazione iniziale  ; d (sin  cos  ) dx G ( )  0 gittata massima :  0 d d sin 2   cos2   0  xG ( )  4 v 02 2g 0.    4 2 Moto circolare  Argomenti della lezione Moto circolare e vettore velocità angolare  Vettore accelerazione angolare  Accelerazione normale e tangente nel moto circolare: relazione con e  Composizione di moti: esempi  Moto circolare: il vettore velocità angolare  In un moto circolare, il vettore “velocità angolare”  è definito dalla relazione: z    v  r  / 2 O v r P y x (t) posizione angolare del vettore r = OP rispetto all’asse x  è perpendicolare al piano del moto, con verso definito dal verso con cui si compie la rotazione (nella figura: antiorario) e dalla “regola della mano destra” Il modulo di  è la velocità angolare dϑ(t)/dt , derivata della posizione angolare ϑ(t), con cui il punto P percorre la traiettoria circolare. per la definizione del vettore  Infatti:  d ( t )     r  r sin  r  v  ds( t ) d (t ) 2 dt r dt    dt  il vettore accelerazione angolare  È la derivata del vettore (t):      In un moto circolare, il vettore accelerazione a  dv ( t ) d (  r ) d   dr a     r   può essere scomposto: dt dt dt dt   a         r    (  r )    aT aN Accelerazione tangente aT: moto accelerato: moto decelerato d (t) (t+dt)  d r (t) (t+dt)   il vettore accelerazione angolare (2)       a    r    (  r )   aT aN Accelerazione tangente:  d d (r ) dv | aT| |   r sin( / 2)  ×r r   (t+dt) dt dt dt (t)     d aT    r il modulo di × r è uguale r al modulo di aT=dv(t)/dt  | × ( ×| ra)N| ≡|   v  sin( / 2) il modulo di × (× r ) è uguale Accelerazione normale:   2r  v2 al modulo di aN=v2 /r      r a N    (  r ) Nota: l’accelerazione normale v2 / r può essere espressa in funzione    della velocità angolare: v  r aN =2r  Composizione di moti: esempi Ci sono situazioni nelle quali moti complicati possono essere visti come sovrapposizioni di moti più semplici: ad esempio, come già visto, il moto parabolico di un grave è la sovrapposizione di due moti rettilinei: un moto uniforme lungo l’asse orizzontale ed un moto uniformemente accelerato lungo l’asse verticale. Un’altro esempio è il moto circolare uniforme (velocità angolare  = dϑ/dt = costante): è dato dalla sovrapposizione di due moti armonici sfasati di /2 e di uguale pulsazione lungo due assi ortogonali equazioni parametriche x ( t )  R cos t  R sin(t   / 2) Le proiezioni P ’ e P ’’ sugli assi ortogonali  della traiettoria : del punto P, che compie un moto circolare y ( t )  R sin(t ) uniforme, compiono due moti armonici x(t) lungo i due assi x e y la pulsazione del moto armonico è la velocità t=T/4 t angolare del moto circolare y P y(t) t= P’’ (t)=  t R T/2 T t P’ x t=  Composizione di moti (2) 2) moto descritto da una “cicloide” composizione di un moto circolare uniforme di raggio R con velocità angolare  e di un moto traslatorio con velocità v = R nel piano del moto circolare x ( t )  R sin t  Rt equazioni parametriche y ( t )  R cos t  R della traiettoria y moto del punto periferico P di una ruota in moto con velocità costante C v = R 3) moto “elicoidale” x composizione di un moto circolare e di un moto traslatorio con velocità v perpendicolare al piano del moto circolare: x ( t )  R sin t z equazioni parametriche del moto: y ( t )  R cos t z(t )  v z t [ come si vedrà nel Corso di Fisica 2, è ad esempio il moto di una carica elettrica y in presenza di un campo magnetico (nella figura, diretto lungo l’asse z) ] x  Moto circolare uniforme Il punto P sulla traiettoria circolare di raggio R è individuato dall’angolo ϑ(t) : y d (t ) v(t) =ds(t)/dt uT (t) =R uT (t) velocità angolare:   costante dt (t) P coordinata curvilinea s(t)=R  (t) R (t) traiettoria  (t )   0  t O x Nel tempo dt, si ha lo spostamento infinitesimo ds = Rdϑ Il modulo della velocità è costante: ds (t ) d [ R (t )] d (t ) v  R  R dt dt dt Equazioni parametriche della traiettoria: Equazione della traiettoria: x2+y2 = R2  Velocità nel moto circolare uniforme x ( t )  R cos  ( t ) y v(t) = R uT (t) y ( t )  R sin  ( t ) uT(t) = (-sen ϑ(t), cos ϑ(t) ) ϑ(t) = ϑ0 + t P s(t)=R  (t) dx ( t ) d R v x (t )    R sin  ( t )   R sin  ( t ) dt dt (t) traiettoria dy ( t ) d O x v y (t )   R cos  ( t )  R cos  ( t ) dt dt  v (t )  (v x (t ), v y (t ))  R (  sin  (t ), cos (t ))    v ( t )  RuT ( t )  vuT ( t ) in accordo con quanto visto in generale per qualsiasi moto curvilineo  Accelerazione nel moto circolare uniforme y Abbiamo visto che la velocità è : v(t) = R uT(t) v x (t )   R sin  (t )  v y (t )  R cos  (t ) uT  (  sin  ,cos ) P ϑ(t) = ϑ0 + t R (t) s(t) O x dv x ( t ) d Pertanto, le componenti a x (t )    R cos ( t )   R 2 cos ( t ) dt dt cartesiane dell’accelerazione sono: dv y ( t ) d a y (t )    R sin  ( t )   R 2 sin  ( t ) dt dt  a (t )  ( a x ( t ), a y (t ))  R 2 (  cos (t ), sin  (t ))  uN In definitiva:  2  v2  in accordo con quanto visto in generale a (t )  R u N (t )  u N (t ) R (in questo caso: aT=dv(t)/dt = 0 ) Introduzione alla dinamica; il Principio d’inerzia  Argomenti della lezione Moto in assenza di forze non equilibrate: principio d’inerzia (“Prima legge della dinamica”) Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali.  il Principio di inerzia La “dinamica” : studia le relazioni tra il moto dei corpi, descritto dalle quantità cinematiche (velocità, accelerazioni), e le “forze” (interazioni tra corpi; ne daremo una definizione operativa e quantitativa piú avanti ) che lo condizionano determinando le “variazioni dello stato di moto” Il moto in “assenza di forze” (condizione sperimentale non realizzabile: teoricamente: quella di un corpo infinitamente lontano da ogni altro corpo) ovvero in assenza di forze non equilibrate è regolato dal “principio di inerzia” (o prima legge della dinamica) dovuto a Galileo Galilei : un corpo sul quale non agiscono forze, ovvero sul quale agiscono forze che si equilibrano, persevera nel suo stato di quiete o di moto, ossia non varia la sua velocità v  il Principio di inerzia (2) Il principio di inerzia è il risultato di un procedimento di osservazione sperimentale e di “astrazione”, intesa come estrapolazione dei risultati ottenuti in una situazione reale (nella quale, per quanto piccole, forze non equilibrate sono presenti) ad una situazione ideale di totale assenza di forze non equilibrate (ad es., attriti) Esempio: un disco da hockey su ghiaccio posto in moto su un marciapiede orizzontale, dopo pochi metri si arresta posto in moto con la stessa velocità iniziale su un piano ghiacciato procede molto più a lungo…. siamo in una situazione di quasi totale “assenza di forze” (lungo la direzione orizzontale…): piú precisamente: siamo in presenza di forze (l’attrazione gravitazionale tra il disco e la Terra (“forza peso”) e la forza di “reazione vincolare” tra il piano di ghiaccio e il disco) quasi completamente equilibrate tra loro  il Principio di inerzia (3) Possiamo essere più quantitativi nelle nostre osservazioni: poniamo il disco in moto su un piano inclinato con velocità iniziale v0; si fermerà ad una certa altezza h (anche se il piano è un piano ghiacciato…) v= 0 È intervenuta una nuova forza lungo il piano v=0 (la componente della forza di gravità) che decelera il moto v0 Quanto più il piano è liscio (ad esempio: una superficie di acciaio molto levigato (situazione illustrate per il disco verde) h h piuttosto che una superficie scabra di legno ( disco tratteggiato) , tanto maggiore è l’altezza h raggiunta. v0 v= 0 v= 0 Se si osserva il moto sulle stesse superfici poste orizzontalmente, il moto durerà più a lungo sulla superficie per la quale h era maggiore C’è un valore limite h*(=v02/2g , dove g è l’accelerazione di gravità ) al quale v= 0 ci si avvicina con superfici estremamente levigate (→ attrito pressoché nullo); v0 per queste superfici, il moto sul piano orizzontale continua indefinitamente… v0 v0 h h*  Principio d’inerzia e sistemi di riferimento”inerziali” Le osservazioni sperimentali del tipo di quelle prima descritte portarono Galileo a formulare il “principio d’inerzia” (o “Prima legge della dinamica”) un corpo sul quale non agiscono forze, ovvero sul quale agiscono forze che si equilibrano, persevera nel suo stato di quiete o di moto, ossia non subisce accelerazioni Il principio d’inerzia soppianta le leggi aristoteliche del moto che associavano le forze, erroneamente, alle velocità piuttosto che alle loro variazioni (accelerazioni) Un sistema di riferimento in cui si osserva la validità del principio d’inerzia si dice “sistema di riferimento inerziale” Esempi: - un sistema di riferimento fisso sulla superficie terrestre è con buona approssimazione un sistema inerziale (a rigore, non lo è a causa della rotazione terrestre, come discuteremo più avanti…) - un treno che procede con velocità di crociera costante lungo una rotaia rettilinea è un sistema di riferimento inerziale - un treno che accelera in partenza da una stazione non è un sistema inerziale Forze. La 2a legge di Newton  Argomenti della lezione Definizione operative della grandezza fisica “forza”. Dinamometro. Forze ed accelerazioni: la 2a legge di Newton. Carattere vettoriale delle forze. Quantità di moto.  Definizione operative di forza La “definizione operativa” di una grandezza fisica implica definire un procedimento ripetibile di misura, attraverso cui associare un numero alla grandezza in questione Intensità di una “forza” applicata ad un corpo : è misurata da un “dinamometro”, strumento opportunamente tarato; l’operazione di “taratura del dinamometro” va considerata come parte integrante della definizione operativa della grandezza fisica “forza”. (nota bene, per scelta convenzionale: Schematicamente: per m 1 kg (unità di massa nel S.I.) Dinamometro: 1 “unità di forza”  9,8 “newton”) oggetto deformabile che risponde in maniera riproducibile ad una unità di misura della sollecitazione di forza nel S.I. (vedi trazione e/o 0. (= posizione “di riposo”, 0. prossima slide) compressione x oggetto non deformato) x …. ecc. 1 “unità di massa” m (arbitraria) 1 “unità 2 “unità di forza” di forza” 2m  Definizione operativa della grandezza fisica “forza” Una volta tarato il dinamometro seguendo la procedura indicata precedentemente, la deformazione del dinamometro è presa a misura dell’intensità (o modulo) della forza applicata su di esso: dinamometro 0. posizione della freccia in assenza di sollecitazione - l’asse del dinamometro determina la direzione del “vettore forza” x lungo la quale la forza si esplica forza F applicata (il fatto che le forze si comportino come vettori, ossia ad esempio si sommino seguendo la regola del parallelogramma definita per la somma di due vettori, sarà discusso successivamente)  Forze ed accelerazioni Una volta dotati di uno strumento di misura delle forze, è possibile effettuare esperimenti in laboratorio per osservare i loro effetti sul moto dei corpi Ad esempio, applicando col dinamometro ad un corpo di massa m= 1 kg su un piano orizzontale liscio (sul quale cioè abbiamo verificato la validità 0. del principio d’inerzia) una forza costante uguale a quella che nella operazione di taratura (massa m0 appesa lungo l’asse verticale) corrisponde ad una m0=102 gr 1 newton massa m0 = 1 kg /9,8 = 102 gr , si osserva un moto uniformemente accelerato con accelerazione a = 1 m/s2 F - il corpo di massa m=1kg 1 “newton” subisce un’accelerazione a 0. a = 1 m/s2 F Unità di misura della forza nel S.I.: m= 1 kg “newton” (N): è la forza che, applicata ad un corpo di massa 1 kg, ne determina un’accelerazione a = 1 m/s2  Forze ed accelerazioni (2) Esperimenti sull’effetto dell’applicazione di forze di diversa intensità sul moto dei corpi : 1 Newton (N) a F Sottoposto alla forza F = 1 N, un corpo di a = 1 m/s2 massa m=1kg subisce l’accelerazione a = 1m/s2 m= 1 kg a 2 newton Raddoppiando, ad esempio, l’intensità della forza, F a = 2 m/s2 si ottiene un’accelerazione doppia Esiste una proporzionalità diretta a 4 newton a = 4 m/s2 tra la forza applicata F (misurata dal dinamometro) e l’accelerazione osservata 1N m= 2 kg a F a = 0.5 m/s2 La stessa forza, applicata ad 2N una quantità di materia, ad esempio, a F doppia rispetto alla precedente, a = 1 m/s2 sortisce un’accelerazione metà dell’accelerazione precedente 4N a = 2 m/s2 a F  Forze e cambiamenti di direzione Sappiamo dalla cinematica che le accelerazioni possono essere dovute anche a cambiamenti di direzione della velocità; anche per ottenere questa accelerazione è necessario applicare una forza. a = v2 / r = 1 m/s2 1N Nel caso mostrato, è necessaria la forza F= 1N