Correctiesleutel Hoofdstuk 2 De stelling van Pythagoras PDF

2 Hoofdstuk De stelling van Pythagoras Inhoudstafel 1 De stelling van Pythagoras 2 De omgekeerde stelling van Pythagoras 3 Toepassingen Prikkel Check online ‘Bewijs Stelling van Pythagoras LEGO...

2 Hoofdstuk De stelling van Pythagoras Inhoudstafel 1 De stelling van Pythagoras 2 De omgekeerde stelling van Pythagoras 3 Toepassingen Prikkel Check online ‘Bewijs Stelling van Pythagoras LEGO’. Beschrijf wat je ziet. In  het begin worden drie vierkanten gemaakt uit Legoblokjes getoond. De Legoblokjes van de twee  kleinste vierkanten worden verlegd en bedekken aan het einde het grote derde vierkant.  e drie vierkanten liggen in de beginpositie niet willekeurig ten opzichte van elkaar. D Ze vormen een bijzondere driehoek. Welke? De  drie vierkanten vormen een rechthoekige driehoek. Kruis de juiste uitspraken aan. I n een driehoek is de som van de oppervlakten van de vierkanten op de kortste zijden gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de langste zijde. x I n een rechthoekige driehoek is de som van de oppervlakten van de vierkanten op de twee rechthoekszijden gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde. x I n een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de lengten van de rechthoekszijden.  Wat kan ik al? Signaaloefening 1 p. 28 Noteer of de uitspraken juist of fout zijn. a Een gelijkbenige driehoek heeft precies twee even lange zijden. fout b Een driehoek kan tegelijkertijd gelijkbenig en rechthoekig zijn. juist c Een driehoek met drie even grote hoeken is altijd een gelijkzijdige driehoek. juist d Er bestaat geen driehoek met precies twee symmetrieassen. juist e Een stomphoekige driehoek heeft drie stompe hoeken. fout f Een rechthoekige driehoek heeft één rechte hoek en twee scherpe hoeken. juist Signaaloefening 2 p. 28 A In driehoek ABC is [AB] de schuine zijde. a Benoem de hoeken van de driehoek. b Hoe worden [BC] en [AC] genoemd? rechthoekszijden C B Signaaloefening 3 p. 28 Bereken. a 9² = 81 e 49 = 7 b 13² = 169 f 144 = 12 c 4² = 16 g 10 000 = 100 d 25² = 625 h 121= 11 16 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 1 De stelling van Pythagoras Oefening 1 p. 29 Op elke zijde van de rechthoekige driehoek ABC is een vierkant getekend. In elk vierkant is de oppervlakte genoteerd. a Welk verband kun je ontdekken tussen deze getallen? 1 25 = 16 + 9 2 41 = 16 + 25 25 41 B B 9 16 A A C C 16 25 3 29 = 4 + 25 4 2 = 1 + 1 29 B B 2 4 1 A C A C 25 1 b Formuleer het verband in woorden. In een rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde gelijk aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden. 1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 17  c Driehoek ABC is niet rechthoekig. Geldt het verband uit vraag b hier ook? Nee, het verband geldt niet meer. B 13 d Teken een rechthoekige driehoek. 10 Bereken de oppervlakte van de vierkanten die je op de zijden kunt tekenen. A C Klopt het verband uit vraag b ook voor deze driehoek? 1 Ja, het verband geldt voor deze driehoek. Oefening 2 p. 30 C Vier congruente driehoeken met schuine zijde a en rechthoekszijden b en c worden zo geschikt dat ze een vierkant vormen. B b a D c A a Toon aan dat de vierhoek ABCD een vierkant is. Elke hoek van de vierhoek vormt samen met de twee scherpe hoeken van de rechthoekige driehoeken een gestrekte hoek. De som van de twee scherpe hoeken van de rechthoekige driehoeken is 90°. Elke hoek van de vierhoek is dus gelijk aan 90°. De lengten van de zijden van de vierhoek zijn bovendien gelijk. De vierhoek is dus een vierkant. b De oppervlakte van het vierkant ABCD kun je op twee verschillende manieren berekenen. 1 De lengte van de zijde is b + c. A vierkant = (b + c)²  2 De oppervlakte is gelijk aan de som van de oppervlakten van het kleine vierkant en de driehoeken.  b c Avierkant = a 2 + 4 2 c Stel deze uitdrukkingen aan elkaar gelijk en werk uit.  b c =(b +c) 2 a2 + 4 2  2 a + 2bc = b 2 + 2bc + c 2  a2 = b2 + c 2 18 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Oefening 3 p. 33 Bereken de ontbrekende zijden van de rechthoekige driehoek CDE met Ĉ = 90°. Maak eerst een schets. Rond af op 1 decimaal. D |CD| |DE| |CE| a 6 10 8 b 31,5 39 23 c 4,5 6,5 4,7 a= In90° Δ CDE=met 90° = 90°: C E |DE|² = |CD|² + |CE|² stelling van Pythagoras = 6² + 8² = 100 |DE| = 100 = 10 In90° b= Δ CDE=met 90° = 90°: In90° c = Δ CDE=met 90° = 90°: |DE|² = |CD|² + |CE|² stelling van Pythagoras |DE|² = |CD|² + |CE|² stelling van Pythagoras |CD|² = |DE|² – |CE|² |CE|² = |DE|² – |CD|² = 39² – 23² = 6,5² – 4,5² = 992 = 22 |CD| = 992 31,5 |CE| = 22 4,7 Oefening 4 p. 33 Bereken x. a b E B x x 2,5 7 A 24 C D F 2 In Δ ABC=met 90° = 90° : = 90° In Δ DEF met = 90° : = 90° = 90° |CB|² = |AC|² + |AB|² stelling van Pythagoras |EF|² = |DE|² + |DF|² stelling van Pythagoras x² = 24² + 7² |DE|² = |EF|² – |DF|² = 625 x² = 2,5² – 2² x = 625 = 25 = 2,25 x= 2,25 = 1,5 1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 19  c A In Δ ABD met = 90° : = 90° = 90° |AB|² = |AD|² + |BD|²  stelling van Pythagoras x 4 x² = 4² + 2² eigenschap merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek = 20 x= 20 4,47 C B D 4 Oefening 5 p. 33 Miracle staat klaar voor een deathride. De start bevindt zich op een 40 meter hoge rots. De deathride zelf is 125 meter lang en is op 5 meter boven de landingsplaats vastgemaakt. Hoe ver ligt de landingsplaats van de start, horizontaal gemeten? In Δ MLR met = 90° : M |ML|² = |MR|² + |RL|² stelling van Pythagoras 125 |RL|² = |ML|² – |MR|² 40 – 5 = 125² – (40 – 5)² R L = 144 000 |RL| = 14 400 =120 De landingsplaats ligt 120 meter van de start. Oefening 6 p. 34 Bereken x. G a b B x 7 M 6 J H A x C 3 [BC] is de middellijn van de cirkel met straal 7 ⇒ |BC| = 14 Driehoek GHJ is gelijkbenig want de In Δ ABC=met 90° = 90° : = 90° ­driehoek heeft twee even grote hoeken. |BC|² = |AC|² + |AB|² stelling van Pythagoras |GJ| = |JH| = 3 |AC|² = |BC|² – |AB|² In Δ GHJ met = 90°: = 14² – 6² |GH|² = |JH|² + |GJ|² stelling van Pythagoras = 160 x² = 3² + 3² |AC| = 160 = 18 12,65 x = 18 4,24 20 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS c AD // BC Teken de loodlijn uit C op AD en B x C noem het voetpunt H. 13 5 |CH| = |BA| = 5 In Δ CDH met = 90°: A H 20 D |CD|² = |CH|² + |HD|² stelling van Pythagoras |HD|² = |CD|² – |CH|² = 13² – 5² = 144 |HD| = 144 = 12    |AH| = |AD| – |HD| = 20 – 12 = 8 x = |AH| = 8 Oefening 7 p. 34 Een televisiescherm heeft een breedte van 88,55 centimeter. De diagonaal meet 101,6 centimeter. a Bereken de hoogte van het televisiescherm. Rond af op 1 millimeter nauwkeurig. h = 101,62 88,552 = 2 481, 4575 49,8  De hoogte van het televisiescherm is 49,8 centimeter. b Een breedbeeldtelevisietoestel heeft een beeldverhouding van 16 : 9. De breedte verhoudt zich tot de hoogte zoals 16 tot 9. Een webshop biedt een toestel aan en vermeldt enkel de diagonaal: 139,7 centimeter (= 55 inch). Bereken de afmetingen van het televisietoestel. Rond af op 1 millimeter nauwkeurig. De breedte en hoogte verhouden zich als 16 en 9. b 16 16x = = h 9 9x 139,7² = (9x)² + (16x)² 139,7² = 81x² + 256x² De breedte en de hoogte van de televisie zijn 139,7² = 337x² 121,8 centimeter en 68,5 centimeter. 2 139,7 x² = 337  139,72 x= = 7,61 337  139,72 b == 16 121,8 337  139,72 h == 9 68, 5 337  1 DE STELLING VAN PYTHAGORAS 21  2 De omgekeerde stelling van Pythagoras Oefening 8 p. 35 Als een driehoek ABC rechthoekig is in A, dan is a² = b² + c². Geldt ook het omgekeerde: als in een driehoek ABC het kwadraat van een lengte van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengten van de twee andere zijden, is deze driehoek dan rechthoekig? a Construeer de driehoek ABC met a = 5, b = 4 en c = 3. A Ga na of in deze driehoek geldt dat a² = b² + c². c=3 b=4  a² = 5² = 25 en b² + c² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 B C b Teken de rechthoekige driehoek DEF met D = 90°, e = 3 en f = 4. a=5 Bereken de lengte van de schuine zijde. E  d² = 4² + 3²  d² = 25  d=5 f=4 d c Waarom zijn de driehoeken ABC en DEF congruent? congruentiekenmerk ZZZ D F e=3 d Wat kun je hieruit afleiden voor de gegeven driehoek ABC? Driehoek ABC is rechthoekig=met 90° = 90° 90° = 90° Oefening 9 p. 36 Gegeven zijn de lengten van de zijden van driehoek BEL. Zijn deze driehoeken rechthoekig? Zo ja, in welk hoekpunt? b e l 1 b = 12, e = 13 en l = 18 1 12 13 18 b² + e² = 12² + 13² = 313 ⇒ Δ BEL is niet rechthoekig 2 30 72 78 l² = 18² = 324 3 20 29 21 2 b = 30, e = 72 en l = 78 b² + e² = 30² + 72² = 6 084 ⇒ Δ BEL is rechthoekig in L l² = 78² = 6 084 3 b = 20, e = 29 en l = 21 b² + l² = 20² + 21² = 841 ⇒ Δ BEL is rechthoekig in E e² = 29² = 841 22 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Oefening 10 p. 36 Quinten legt een driehoek met lucifers. Hij gebruikt voor de drie zijden 5, 12 en 13 lucifers. Rafaël legt ook een driehoek en gebruikt daarvoor 6, 11 en 13 lucifers. Zijn de driehoeken die ze maken rechthoekig? Verklaar. 12² + 5² = 169 ⇒ De driehoek van Quinten is rechthoekig. 13² = 169 11² + 6² = 157 ⇒ De driehoek van Rafaël is niet rechthoekig. 13² = 169 Oefening 11 p. 36 P 21 Q Aannemers van bouwwerken slaan piketten in de grond om met touwen de richting van de muur aan te geven. Een aannemer heeft de piketten P, Q en R geplaatst om 11 24 onderling loodrechte muren te verkrijgen. Onderzoek of de muren loodrecht zullen staan. R |PR|² + |PQ|² = 11² + 21² = 562 ⇒ Δ PQR is niet rechthoekig |QR|² = 24² = 576 De muren staan niet loodrecht op elkaar. Oefening 12 p. 36 A In de gelijkbenige driehoek ABC zijn |AB| en |AC| gelijk aan 18. De hoogte op de basis [BC] is gelijk aan 3. Toon aan dat de driehoek rechthoekig is in A. 18 3 In Δ ADC met ==90° 90°: |AC|² = |AD|² + |DC|² stelling van Pythagoras C B D |DC|² = |AC|² – |AD|²  = 18 – 3²  =9  |DC|  = 3  |BD|   = 3 en |BC|   = 6 eigenschap merkwaardige lijnen in een gelijkbenige driehoek  In Δ ABC:  18 + 18 = 36  ⇒ ΔABC is rechthoekig in A 62 = 36 2 DE OMGEKEERDE STELLING VAN PYTHAGORAS 23  3 Toepassingen Oefening 13 p. 37 F G In de kubus EFGH is de lengte van de ribben 5. ABCD E H a Bereken |AC|. Rond af op 1 decimaal.  Δ ACD met In 90°: = 90° 5  |AC|² = |AD|² + |DC|² stelling van Pythagoras B C  = 5² + 5²  A D = 50  |AC| = 50 7,1  50 7,1 b Bereken |EC|. Rond af op 1 decimaal.  Δ AEC met = 90° In 90°:  |EC|² = |EA|² + |AC|² stelling van Pythagoras  = 5² + 50  = 75  |EC| = 75 8,7  75 8,7 Oefening 14 p. 37 In driehoek ABC is [AD] de hoogtelijn uit A A op [BC], |AC| = 15, |AB| = 20 en |CD| = 9. a Bereken |AD|. 15 20 In Δ ADC met = 90° 90°: |AC|² = |AD|² + |CD|² stelling van Pythagoras C B |AD|² = |AC|² – |CD|² 9 D  = 15² – 9²  = 144  |AD| = 144  = 12 24 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS b Bereken |DB|. In Δ ADB met 90°: = 90° |AB|² = |AD|² + |DB|² stelling van Pythagoras |DB|² = |AB|² – |AD|²  = 20² – 12²  = 256  |DB| = 256  = 16 c Bereken de oppervlakte van driehoek ABC. A BC AD = Δ ABC 2  = ( 9 +16 ) 12 2  = 150 Merk op dat driehoek ABC rechthoekig is en de oppervlakte dus ook als volgt berekend kan worden: A AB AC Δ ABC = 2  20 15 = 2  = 150 Oefening 15 p. 37 Gegeven zijn de punten A (1, 2), B (6, 2) en C (6, 5). y a Bereken |AB|. 6 C 5 |AB| =6–1=5 4 b Bereken |BC|. 3 A B 2 |BC| =5–2=3 1 x c Bereken |AC|. 0 1 2 3 4 5 6 7 8  Δ ABC met = 90° In 90°: |AC|² = |AB|² + |BC|² stelling van Pythagoras  = 5² + 3²  = 25 + 9  = 34 |AC| = 34  25 3 TOEPASSINGEN 25  Oefening 16 p. 41 Een dienstenlift in een warenhuis heeft de volgende D afmetingen: de breedte is 2 meter, de diepte is 4 meter en de hoogte is 2,5 meter. Als de deur opengaat, is het volledige vlak BAD open. 2,5 Bereken de lengte van de langste paal die in de lift kan. Rond af op 1 centimeter nauwkeurig. A In Δ ABC met = 90° 90°: 4 |AC|² = |AB|² + |BC|² stelling van Pythagoras C 2 B = 2² + 4² = 20 In Δ ACD met = 90° 90°: |CD|² = |AC|² + |AD|² stelling van Pythagoras = 20 + 2,5² = 26,25 |CD| = 26,25 ≈ 5,12 De langste paal die in de lift kan, meet 5,12 meter. Merk op dat je de lichaamswortel ook zo kunt berekenen: (42+ 2 2+ 2,52 ) = 26,25 ≈ 5,12 26 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Oefening 17 p. 41 De piramide van Cheops was vier millennia lang het hoogste gebouw ter wereld. Het grondvlak van deze vierzijdige piramide is een vierkant met zijde 230 meter. Alle opstaande ribben meten 219 meter. Bereken de hoogte van deze piramide. Rond af op 1 decimeter nauwkeurig. T 219 h D A M C 230 B In Δ ABC met = 90° 90°:  |AC|² = |AB|² + |BC|² stelling van Pythagoras  = 230² + 230²  = 105 800  1 1 |MC| = |AC| = 105 800 diagonalenkenmerk vierkant  2 2 In Δ TMC met = 90°:  |TC|² = |TM|² + |MC|² stelling van Pythagoras  |TM|² = |TC|² – |MC|²  2 105 800 = 219² –  2 = 21 511  |TM| = 21 511 ≈ 146,7  De piramide van Cheops is ongeveer 146,7 meter hoog.  3 TOEPASSINGEN 27  Oefening 18 p. 41 Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC waarvan de drie zijden gegeven zijn. Rond indien nodig af op 1 decimaal. a b c 1 29 52 69 2 39 45 42 3 5 6 7 B 1 a = 29, b = 52 en c = 69 x 69 h² = 29² – x² 29 69 – h x h² = 52² – (69 – x)² A Dus: 29² – x² = 52² – (69 – x)² C 52  29² – x² = 52² – (69² – 138x + x²)  29² – x² = 52² – 69² + 138x – x²  – 138x = 52² – 69² – 29²  522 692 292 x= 138  x = 21 h² = 29² – 21² = 400 h = 400  = 20 A 69 20 Δ ABC = = 690 2 28 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS  2 a = 39, b = 45 en c = 42 B  h² = 42² – x² 39 42  h² = 39² – (45 – x)² h  Dus : 42² – x² = 39² – (45 – x)² 45 – x x  C A 42² – x² = 39² – (45² – 90x + x²) 45  42² – x² = 39² – 45² + 90x – x²  – 90x = 39² – 45² – 42²  392 452 422 x= 90  x = 25,2  h² = 42² – 25,2² = 1 128,96  h= 1 128,96  = 33,6  45 33,6 AΔ ABC = = 756 2  3 a = 5, b = 6 en c = 7 C  h² = 5² – x²  6 5 h² = 6² – (7 – x)² h  Dus: 5² – x² = 6² – (7 – x)² 7–x x  A B 5² – x² = 6² – (7² – 14x + x²) 7  5² – x² = 6² – 7² + 14x – x²  – 14x = 6² – 7² – 5²  6 2 7 2 52 x= 14  19 x= 7  19 2 864 h² = 52 = 7 49  864 h= 49  864  7 AΔ ABC = 49 14,7 2 3 TOEPASSINGEN 29  Oefening 19 p. 41 Bereken de lengten van de zijden van Δ ABC. Welke soort driehoek is driehoek ABC? a A (4, –2), B (2, 0) en C (6, 2) (2 4) + (0 ( 2 ) )2 = ( 2) + 2 = 8 2 2 2  |AB| =  |AC| = (6 4)2 + (2 ( 2 ))2 = 22 + 4 2 = 20  |BC| = (6 2)2 + (2 0)2 = 4 2 + 22 = 20  ABC is een gelijkbenige niet-rechthoekige driehoek. Δ b A (3, 5), B (5, –3) en C (–13, 1)  |AB| = (5 3)2 + ( 3 5)2 = 22 + ( 8)2 = 68  |AC| = ( 13 3)2 + (1 5)2 = ( 16)2 + ( 4)2 = 272  |BC| = ( 13 5)2 + (1 ( 3))2 = ( 18)2 + (1 ( 3))2 = 340  + 272 = 340 ⇒ Δ ABC is rechthoekig in A 68 stelling van Pythagoras  ABC is een rechthoekige driehoek met = 90° Δ 90°. c A (4,10), B (10, 2) en C (–4, 4)  |AB| = (10 4)2 + (2 10)2 = 62 +( 8)2 = 100 =10  |AC| = ( 4 4)2 + (4 10)2 = ( 8)2 +( 6)2 = 100 = 10  |BC| = ( 4 10)2 + (4 2 )2 = ( 14)2 + 22 = 200  100 + 100 = 200 ⇒ Δ ABC is rechthoekig in A stelling van Pythagoras  ABC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met = 90° Δ 90°. 30 HOOFDSTUK 2 DE STELLING VAN PYTHAGORAS Oefening 20 p. 41 Gegeven is het parallellogram ABCD met A (8, 3), B (9, –4), C (2, –5) en D (1, 2). a Controleer met een berekening dat ABCD een ruit is. Een  ruit is een vierhoek met vier even lange zijden. |AB|  = (9 8)2 +( 4 3)2 = 12 +( 7)2 = 50 |BC|  = (2 9)2 +( 5 ( 4))2 = ( 7)2 +( 1)2 = 50 |CD|  = (1 2)2 +(2 ( 5))2 = ( 1)2 +72 = 50 |DA|  = (8 1)2 +(3 2)2 = 72 +12 = 50 Vierhoek  ABCD is een ruit. b Is ABCD ook een vierkant? Verklaar.  Een  vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken. Er moet dus nog aangetoond worden dat de hoeken van de vierhoek recht zijn.  In Δ ABC geldt:  |AC| = (2 8)2 +( 5 3)2 = ( 6)2 +( 8)2 = 100  |AB|² + |BC|² = 50 + 50 = 100  ⇒ Δ ABC is rechthoekig in B. |AC|² = 100  = 90° Analoog kan aangetoond worden dat ook de = 90°,= 90° hoeken = en90° = recht 90° zijn.  Bijgevolg is vierhoek ABCD een vierkant.  3 TOEPASSINGEN 31 32