Cours Dérivées Fonctions Variables Réelles Complexes PDF

18 septembre 2003 18 septembre 2003 Notations...

18 septembre 2003 18 septembre 2003 Notations – si a < b sont deux réels, on notera [a, b) l’un des deux intervalles Dérivées des fonctions d’une variable réelle à [a, b[, [a, b]. valeurs réelles, complexes ou vectorielles – K est le corps des réels ou des complexes, précisé si nécessaire. – E est un K-espace vectoriel de dimension finie. Dans certaines preuves, on le supposera muni d’une norme || ||. PC*2 – Le terme fonction numérique désigne une fonction à valeurs réelles. – Tous les intervalles considérés sont non réduits à un point. Si I est un 18 septembre 2003 intervalle et a ∈ I,on posera Ia = {h ∈ R , a + h ∈ I}, intervalle qui contient 0. – I˙ est l’intérieur de l’intervalle I. Table des matières 1 Dérivée en un point 1 Dérivée en un point 2 Définition 1.1. Soit f une application d’un intervalle I dans E. a ∈ I. On dit que f est dérivable au point a si l’application de I − {a} dans E définie 2 Dérivée globale 4 par : 2.1 Applications de classe C 1..................... 4 f (x) − f (a) 2.2 Opérations sur les fonctions dérivables............. 5 x 7→ x−a admet une limite quand x tend vers a le long de I − {a}. Cette limite est 3 Théorèmes de Rolle et des accroissements finis 11 appelée nombre dérivé de f au point a et noté f 0 (a) ou encore D(f )(a), ou df 4 La fonction exponentielle complexe 14 encore dx (a). Remarque 1.1. Dans le cas où E = R, interpréter géométriquement f 0 (a). 5 Dérivées d’ordres supérieurs 15 Proposition 1.1. Avec les mêmes hypothèses et notations, les propriétés suivantes sont équivalentes : 6 Classe C n par morceaux 21 – f est dérivable au point a et f 0 (a) = m. 7 Fonctions réciproques 22 – f admet au voisinage de a le développement limité : f (x) = f (a) + m(x − a) + (x − a)(x) 8 Quelques techniques de calcul 24 8.1 Changement de fonction..................... 24 Où  est une application de I dans E telle que (a) = 0 continue en 0. 8.2 Signe d’une fonction, inégalités................. 25 – L’application h 7→ f (a + h) de Ia dans E admet au voisinage de 0 le 8.2.1 Méthodes d’étude du signe d’une fonction....... 25 développement limité : 8.2.2 Preuve d’inégalités.................... 26 f (a + h) = f (a) + mh + h1 (h) 8.3 Utilisation de Taylor-Young................... 27 Où 1 est une application de Ia dans E telle que (0) = 0 continue en 0. Page 1/27 JP Barani Page 2/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Remarque 1.2. Dans le cas où E = R, interpréter géométriquement ∆(x) = est dérivable en a. Sa dérivée en ce point est appelée dérivée à droite de f au f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a). Conclusion ? point a et notée fd0 (a). On définit aussi la dérivabilité à gauche de f en un Définition 1.2 (Notation différentielle). Soit f : I → E,dérivable en point qui n’est pas plus petit élément de I. a ∈ I,on appelle différentielle de f au point a,l’application df (a) R-linéaire Proposition 1.3. f : I → E est dérivable en a ∈ I˙ si et seulement si elle de R dans E définie par : l’est à gauche et à droite et si fd0 (a) = fg0 (a). h 7→ df (a)(h) = f 0 (a).h 2 Dérivée globale La différentielle de l’application π : x 7→ x de R dans R en n’importe quel point de R est égale à π,on la note dx donc : Définition 2.1. Une application d’un intervalle I dans E est dite dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I. L’application de I dans E qui ∀h ∈ R , dx(h) = h associe à tout point x ∈ I sa dérivée en ce point est notée f 0 ou encore D(f ) df ou encore dx. On notera que f est alors continue sur I. ce qui permet d’écrire : df (a) = f 0 (a)dx Proposition 2.1. Soit f : I → E une application,J un sous intervalle de I. Si f est dérivable sur I,f|J est dérivable sur J. Réciproquement si J est Exercice 1. Soit f : [0, 1] → E dérivable et nulle en 0. Etudier la limite de la ouvert et si f|J est dérivable sur J,f est dérivable en tout point de J. suite :   Démonstration. Xn k un = f Preuve : La partie directe est facile. Prouvons la réciproque quand J est n 2 k=1 ouvert. Soit a ∈ J,soit  > 0,puisque J est ouvert, il existe α > 0 tel que En déduire la limite de la suite : ]a − α, a + α[⊂ J et : n  Y  k f (x) − f (a) Pn = 1+ ∀x ∈]a − α, a + α[ , x 6= a , − f|J0 (a) <  k=1 n2 x − a) Comme ]a − α, a + α[⊂ I et  arbitraire,on en déduit : Proposition 1.2. Avec les hypothèses et les notations précédentes, si f est dérivable en a,elle y est continue. Les lecteurs donneront l’exemple d’une f (x) − f (a) fonction continue en a et non dérivable en ce point. lim = f|J0 (a) x→a x∈I−{a} x−a Exercice 2 (Difficile). Soit f :] − 1, 1[→ E,continue en 0 et k ∈] − 1, 1[. On suppose que d’où la dérivabilité de f en a. f (h) − f (kh) lim =l∈E h→0 h h6=0 2.1 Applications de classe C 1 Montrer que f est dérivable en 0. Définition 2.2. On dit qu’une application f : I → E est de classe C 1 sur I Définition 1.3 (Dérivées latérales). On dit que f : I → E admet une si et seulement si elle est dérivable en tout point de I et si sa fonction dérivée dérivée à droite au point a ∈ I,supposé non plus grand élément de I,si f 0 : I → E est continue sur I. l’application : I ∩ [a, +∞[→ E x 7→ f (x) Page 3/27 JP Barani Page 4/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Exemple 2.1. La fonction numérique f définie sur R par : Proposition 2.3. Soit f : I → E, ce dernier étant rapporté à une base   (e) = (e1 ,... , en ). Notons (f1 (x), f2 (x),... , fn (x)) les composantes de f (x) 1 dans (e) ; alors f est dérivable en a ∈ I (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) f (x) = x2 sin et f (0) = 0 x si et seulement si les f1 le sont et : est dérivable en tout point de R∗ , en un tel point x : X n X n     f 0 (a) = fi0 (a)ei resp D(f ) = D(fi )ei 1 1 f 0 (x) = 2x sin − cos i=1 i=1 x x f (x)−f (a) Démonstration. Soit x ∈ I−{a}, la composante d’indice i du vecteur La règle de dérivation permettant l’obtention de cette formule ne s’applique fi (x)−fi (a) f (x)−f (a) (x−a) pas en 0 ; en ce point, il faut avoir recours à la définition. Pour x ∈ R∗ : dans la base (e) est (x−a). Donc la fonction x 7→ admet une limite (x−a)   l quand x → a si et seulement si, pour tout i ∈ {1, 2,... , n}, la fonction f (x) − f (0) 1 x 7→ fi (x)−f i (a) admet une limite li et qu’alors : = x sin (x−a) x x X n Donc f (x)−f (0) ≤ |x| pour x 6= 0 et : l= li ei x i=1 f (x) − f (0) ce qui est bien le résultat attendu. La généralisation aux fonctions dérivables lim =0 x→0 x sur I et C 1 (I, E) s’en déduit immédiatement. x6=0 Proposition 2.4 (Dérivée d’une combinaison linéaire). Soient f et g Donc f est dérivable sur R mais f 0 n’est pas continue en 0 puisque : des applications de I dans E dérivables en un point a ∈ I (resp dérivable sur   I resp C 1 sur I) ; α, β des scalaires. Alors αf + βg est dérivable en a (resp 1 lim f 0 = −1 dérivable sur I resp C 1 sur I) et n→∞ 2nπ et (αf + βg)0 (a) = αf 0 (a) + βg 0 (a) resp D(αf + βg) = αD(f ) + βD(g)   0 1 lim f =0 ou encore,si f et g sont dérivables sur I : n→∞ π/2 + 2nπ d(αf + βg) = αdf + βdg 2.2 Opérations sur les fonctions dérivables On en déduit que l’ensemble des applications de I dans E dérivables sur I Proposition 2.2. Soit f : I → C et a ∈ I. Alors f est dérivable en a ∈ I (resp C 1 sur I) est un K espace vectoriel noté ∆1 (I, E) (resp C 1 (I, E)) et que (resp dérivable sur I resp C 1 sur I si et seulement si Re f et Im f le sont et : l’application f 7→ f 0 (a) est une forme linéaire sur cet espace. Démonstration. Posant h = αf + βg, on passe à la limite l’égalité : f 0 (a) = (Re f )0 (a) + i(Im f )0 (a) resp D(f ) = D(Re f ) + iD(Im f ) h(x) − h(a) f (x) − f (a) g(x) − g(a) En particulier f est dérivable au point a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) =α +β x−a x−a x−a et :
0 f (a) = f 0 (a) resp D f = D(f ) Les cas dérivables sur I et C 1 s’en déduisent immédiatement. Page 5/27 JP Barani Page 6/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Exercice 3. Soient f et g deux applications dérivables de R dans R. A quelle Démonstration. Il existe deux applications 1 : Ia → E et 2 : Ia → F telles condition la fonction max(f, g) est elle dérivable ? On pourra, par exemple, que, pour tout h ∈ Ia : exprimer max(f, g) à l’aide de |f − g| f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + h1 (h) (1) Proposition 2.5. Soit f une application de I dans E dérivable en un point a ∈ I (resp dérivable sur I resp C 1 sur I). Soit u ∈ L(E, F ) où F est un g(a + h) = g(a) + g 0 (a)h + h2 (h) (2) autre K-espace vectoriel de dimension finie. Alors g = u ◦ f : I → F est avec dérivable en a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) et : lim 1 (h) = 0 et lim 2 (h) h→0 h→0 g 0 (a) = u(f 0 (a)) resp D(u ◦ f ) = u(D(f )) En remplaçant dans l’expression de φ(a + h) = B(f (a + h), g(a + h)) f (a + h) et g(a+h) par les développements limités ci-dessus, la bilinéarité de B permet Démonstration. Pour x ∈ I − {a}, la linéarité de u permet d’écrire : alors d’écrire :   g(x) − g(a) f (x) − f (a) =u φ(a + h) = φ(a) + [B(f (a), g 0 (a)) + B(f 0 (a), g(a))] h + R(h) x−a x−a avec : Comme une application linéaire d’un K-espace vectoriel de dimension finie R(h) = B(f (a + h), h2 (h)) + B(h1 (h), g(a) + g 0 (a)h) dans un autre est toujours continue, le théorème de composition des limites et la dérivabilité de f en a permettent d’écrire : qui s’écrit encore, vu la bilinéarité de B, sous la forme h(h) où l’on a posé :   f (x) − f (a) (h) = B(f (a + h), 2 (h)) + B(1 (h), g(a) + g 0 (a)h) lim u = u(f 0 (a)) x→a x6=a x−a Or l’application B : E×F → G est continue car les espaces sont de dimension ce qui est le résultat voulu. Les autres s’en déduisent. finie. Il en résulte : lim (h) = 0 Proposition 2.6 (Dérivée de B(f, g)). Soient E F G trois K-espaces h→0 vectoriels et B : (x, y) 7→ B(x, y) une application bilinéaire de E × F → G. et le résultat voulu. généralisations immédiates. Si f : I → E et g : I → F sont deux applications dérivables en a ∈ I Voyons quelques applications de ce résultat. (resp dérivable sur I resp C 1 sur I), alors l’application φ : I → G définie par φ(x) = B(f (x), g(x)) est dérivable en a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) Proposition 2.7. Soit (E, ( | )) un espace euclidien (resp hermitien) dont et : on note || ||2 la norme associée au produit scalaire. f et g deux applications de I dans E dérivables au point a ∈ I (resp dérivable sur I resp C 1 sur I), φ0 (a) = B(f (a), g 0 (a))+B(f 0 (a), g(a)) resp D(φ) = B(f, D(g))+B(g, D(f )) alors l’application φ : I → K définie par : En particulier si f et g sont deux applications de I dans K dérivables au φ(x) = (f (x)|g(x)) point a ∈ I (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) ; alors f g est dérivable en a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) et : est dérivable au point a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) et : (f g)0 (a) = f (a)g 0 (a) + f 0 (a)g(a) resp D(f g) = f D(g) + gD(f ) φ0 (a) = (f (a)|g 0 (a)) + (f 0 (a)|g(a)) resp D(φ) = (D(f )|g) + (f |D(g)) ou encore : En particulier, en prenant f = g, il vient dans le cas euclidien (K = R) : d(f g) = f dg + gdf φ0 (a) = 2(f (a)|f 0 (a)) resp D(||f ||22 ) = 2(f |D(f )) Page 7/27 JP Barani Page 8/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 0 Et dans le cas hermitien (K = C) : le scalaire ff (a) (a). Si g vérifie les mêmes hypothèses,en posant u = f g,v = f g et w = f α , α ∈ Z,il vient : φ0 (a) = 2 Re(f (a)|f 0 (a)) resp D(||f ||22 ) = 2 Re(f |D(f )) u0 (a) f 0 (a) g 0 (a) = + Il en résulte que, dans le cas euclidien, si pour tout x ∈ I, f (x) est un vecteur u(a) f (a) g(a) unitaire et f est dérivable sur I alors, pour tout x ∈ I, f (x) ⊥ f 0 (x). v 0 (a) f 0 (a) g 0 (a) Démonstration. Dans le cas euclidien, cela résulte de la bilinéarité de ( | ). = − v(a) f (a) g(a) Dans le cas hermitien, il faudrait refaire une preuve analogue à celle de la proposition précédente. w0 (a) f 0 (a) =α Proposition 2.8. Si E est un plan euclidien (resp un espace euclidien de w(a) f (a) dimension 3) orienté. Si f et g sont deux applications de classe C 1 de I → E Démonstration. Il ne faut surtout pas prendre le logarithme puisque les alors les applications suivantes sont de classe C 1 : fonctions peuvent être à valeurs complexes. On vérifie ces formules à partir de celles du produit. x 7→ Det(f (x), g(x)) et D(Det(f, g)) = Det(f, D(g)) + Det(D(f ), g) Proposition 2.10 (Dérivée d’une fonction composée). Soit φ : J → R x 7→ f (x) ∧ g(x) et D(f ∧ g) = f ∧ D(g) + D(f ) ∧ g une application dérivable au point a ∈ J (resp dérivable sur J resp C 1 sur J). On suppose φ(J) ⊂ I. Soit f : I → E une application dérivable au point Démonstration. Il s’agit toujours de dérivées d’applications bilinéaires en f φ(a) ∈ I (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) Alors l’application u = f ◦ φ : et g. J → K est dérivable au point a (resp dérivable sur J resp C 1 sur J) et Proposition 2.9 (Dérivée de fg ). Soient f : I → E et g : I → K deux u0 (a) = f 0 (φ(a)).φ0 (a) resp D(u) = D(f ) ◦ φ.D(φ) applications dérivables au point a ∈ I (resp dérivables sur I resp C 1 sur I). On suppose que g ne s’annule pas sur I. Alors u = fg est dérivable au point Ou encore,si f et φ sont dérivables sur I et J : a (resp dérivable sur I resp C 1 sur I) et :   d(f ◦ φ) = (df ◦ φ).dφ g(a)f 0 (a) − g 0 (a)f (a) f gD(f ) − f D(g) u0 (a) = resp D = g 2 (a) g g2 Démonstration. Normalement vue en HX pour les fonctions numériques. La ou encore,si f et g sont dérivables sur I et 0 6∈ g(I) : preuve est identique (on peut aussi passer aux composantes dans une base).   f gdf − f dg Exemple 2.2. Soit f : I → R,à valeurs strictement positives, dérivable sur d = g g2 I ;α ∈ K. L’application : Démonstration. On étudie la dérivabilité de 1 et on se ramène à un produit. u = f α : x 7→ eα ln x g est dérivable sur I et Définition 2.3 (Dérivée logarithmique). Soit f : I → K dérivable,ne u0 f0 =α s’annulant pas sur I. On appelle dérivée logarithmique de f en un point a ∈ I u f Page 9/27 JP Barani Page 10/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 3 Théorèmes de Rolle et des accroissements Remarque 3.2 (Contexte d’utilisation de ces théorèmes). Le théorème de Rolle sert à obtenir des informations sur les zéros de la dérivée à partir finis d’informations sur les zéros de la fonction. En revanche le théorème des ac- On renvoie au cours de première année pour les délonstrations. croissements finis s’utilise généralement dans l’autre sens ; d’ailleurs il se gé- néralisera aux fonctions complexes et vectorielles sous la forme d’une inégalité Proposition 3.1. Soit f : I → R dérivable sur I. Si f présente un extrémum obtenue par intégration. Voici des exercices qui précisent ce point de vue. ˙ local en a ∈ I,alors f 0 (a) = 0. La réciproque est fausse. Exercice 5. Soit n un entier naturel non nul et a1 , a2 ,.., an des réels non tous Théorème 3.1 (Théorème de ROLLE). Soit f une application de [a, b] nuls. Soient α1 < α2 <.. < αn des réels ; montrer que la fonction numérique dans R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que f (a) = f (b) définie sur ]0, +∞[ par la relation : alors il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. Théorème 3.2 (Théorème des accroissements finis). Soit f une appli- f (x) = a1 xα1 + a2 xα2 +.. + an xαn cation de [a, b] dans R continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors,il existe c ∈]a, b[ tel que : possède au plus n − 1 racines réelles. f (b) − f (a) Exercice 6. 1. Montrer que si un polynôme à coefficients réels est scindé = f 0 (c) sur R, sa dérivée aussi. b−a Les lecteurs détaillerons l’interprétation géométrique de ce résultat. 2. Montrer que si un polynôme P à coefficients réels est scindé sur R, et si λ ∈ R,P 0 − λP est aussi scindé sur R. En déduire que si Q ∈ R[X] est Pour les fonctions à valeurs réelles. Il est essentiel de remarquer que scindé sur R,alors Q(D).P est encore scindé sur R. (D est l’opérateur ces deux résultats ne s’étendent ni aux fonctions complexes,ni aux fonctions de dérivation). vectorielles. Exemple x 7→ eix sur [0, 2π]. Les démonstrations doivent être connues. Exercice 7 (Analogue de Césaro pour les fonctions). Soit f ∈ ∆1 (R+ , R). On suppose que Exercice 4. Soit f une fonction numérique dérivable sur un intervalle [a, b] lim f 0 (x) = l ∈ R̄ telle que f 0 (a) = f 0 (b). Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que : x→+∞. Montrer que : f (c) − f (a) = f 0 (c) f (x) c−a lim =l x→+∞ x On interprètera cette relation géométriquement Interpréter géométriquement le résultat. Remarque 3.1. On peut également paramétrer le segment [a, b] en posant Exercice 8. Soient f ∈ ∆1 (I, R),a, b ∈ I. On suppose f 0 (a) > 0 et f 0 (b) < 0. b = a + h,de sorte que : Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. En déduire que si f est   dérivable sur I et si a, b ∈ I, f 0 prend toute valeur intermédiaire entre f 0 (a) et x−a f 0 (b)1. Qu’en déduire sur l’ensemble f 0 (I) ? Retrouver ce résultat en utilisant [a, b] = x / ∈ [0, 1] = {a + th , t ∈ [0, 1]} b−a les fonctions f (x) − f (a) f (x) − f (a) Le théorème des accroissements finis s’écrit alors : x 7→ x 7→ x−a x−b ∃θ ∈]0, 1[ , f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh) définies sur ]a, b[. 1 Théorème de Gaston DARBOUX L’ordre des bornes peut être inversé. Page 11/27 JP Barani Page 12/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Proposition 3.2 (Conséquences du théorème des accroissements fi- Démonstration. On traite d’abord le cas des fonctions à valeurs réelles,le cas nis). Soit f une application continue d’un intervalle I dans R dérivable à complexe s’en déduit via les parties réelles et imaginaires, le cas général par l’intérieur de I. décomposition sur une base. Soit  > 0,il existe η > 0 tel que ]a, a + η[⊂]a, b[ – f est croissante (resp décroissante) sur I si et seulement si f 0 ≥ 0 et : ˙ (resp f 0 ≤ 0) sur I. x ∈]a, a + η[⇒ |f 0 (x) − l| <  – f est strictement croissante sur I si et seulement si f 0 ≥ 0 sur I˙ et Soit x ∈]a, a + η[,donc [a, x] ⊂ [a, b[ et ]a, x[⊂]a, b[. On peut donc appliquer {x ∈ I , f 0 (x) = 0} est d’intérieur vide. le théorème des accroissements finis à f sur [a, x]. Il existe c ∈]a, x[ tel que – Si k ∈ R+ ,f est k-lipschitzienne sur I si et seulement si |f 0 (x)| ≤ k f (x)−f (a) ˙ = f 0 (c). Or c ∈]a, a + η[,donc |f 0 (c) − l| < . On a donc établi que : sur I. x−a – Soit f : I → E, f est constante sur I si et seulement si f 0 (x) = 0 sur I. ˙ f (x) − f (a) La démonstration de ce résultat se ramène au cas des fonctions numé- x ∈]a, a + η[⇒ −l 0, fn+1 (x) = fn (x + 1) − fn (x) Le lecteur en déduira la surjectivité de l’exponentielle : C → C∗. – Si z ∈ C, l’application t 7→ ezt R → C est dérivable et : Prouver que : ∀x > 0, ∃c > x, fn (x) = f (n) (c) d zt ∀t ∈ R , e = z ezt En déduire les réels λ tels que ∀n ∈ N∗ , nλ ∈ N. dt Réciproquement c’est la seule application dérivable f : R → C telle Définition 5.2 (Classe C n ). Soit n ∈ N ∪ {∞}. f : I → E est dite de que : classe C n sur I si : f (0) = 1 et ∀t ∈ R f 0 (t) = z.f (t) – Pour n = 0,elle est continue. – pour n ∈ N∗ ,elle admet une dérivée d’ordre n continue sur I (ce qui en- traine l’existence et la continuité de toutes les dérivées intermédiaires). – Pour n = ∞,si elle admet des dérivées de tous ordres (nécessairement 5 Dérivées d’ordres supérieurs continues) sur I. Définition 5.1. Soit n un entier naturel non nul ; f : I → E. On dit que Proposition 5.2. C n (I, E) :Ensemble des applications de classe C n de I dans f est n fois dérivable sur I S’il existe une suite (f0 , f1 ,... , fn ) de fonctions E est un K espace vectoriel. L’opérateur de dérivation est un endomorphisme telles que : f0 , f1 ,... , fn−1 ∈ ∆1 (I, E) et : de C ∞ (I, E) noté généralement D,ce qui suppose D0 = Id. Remarque 5.1. Les lecteurs établiront le résultat suivant utile dans la théorie f0 = f et ∀i ∈ {0,... , n − 1} , fi0 = fi+1 des suites et séries de fonctions et d’intégrales dépendant d’un paramètre : La fonction fn ne dépend alors pas de la suite considérée,on l’appelle dérivée Une application f : I → E est de classe C n si et seulement si sa restriction à dn n-iéme de f sur I et on la note f (n) ou encore,si la variable est notée x, dx tout segment de I l’est. [Procéder par récurrence en commençant par les cas n f. Cette notation n’a cependant pas la même efficacité calculatoire que dans le n = 0, 1] cas où n = 1. Page 15/27 JP Barani Page 16/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Proposition 5.3 (Dérivées successives de l’exponentielle complexe). donc g 0 et h0 sont continues sur [a, b] et [b, c] et g 0 (b) = h0 (b). Soit z ∈ C,l’application t ezt est de classe C ∞ : Réciproquement supposons g ∈ C 1 ([a, b], E) et h ∈ C 1 ([b, c], E) et g 0 (b) = h0 (b), alors f est dérivable sur [a, b[ et [b, c[ et : dn zt e = z n ezt ( dtn g 0 (x) si x ∈ [a, b[ f 0 (x) = En prenant z = i,on retrouve rapidement les formules : h0 (x) si x ∈]b, c] dn  π dn  π cos t = cos t + n et n sin t = sin t + n de plus, f est dérivable à droite et à gauche en b et : dt n 2 dt 2 fd0 (b) = g 0 (b) = h0 (b) = fg0 (b) Théorème 5.1 (autre forme du théorème de la limite de la dérivée). Soit f une application d’un intervalle [a, b[ (−∞ < a < b ≤ +∞) dans E donc f est dérivable sur [a, c] et : telle que :  – f est continue sur [a, b[.  0  g (x) si x ∈ [a, b[ – f est de classe C 1 sur ]a, b[ (c’est à dire que la restriction de f à ]a, b[ 0 f (x) = g 0 (b) = h0 (b) si x = b est de classe C 1.   0 h (x) si x ∈]b, c] – f 0 admet une limite m quand x tend vers a (le long de ]a, b[). Alors f est de classe C 1 sur [a, b[ et f 0 (a) = m. On a,bien entendu,un résultat reste à voir que la continuité de g et h entraı̂ne la continuité de f 0 sur [a, c]. analogue avec un intervalle du type ]b, a] (b < a). On reprouvera ce résultat en intégration. Proposition 5.5 (Recollement des applications C n ). Soit f : [a, c] → E et a < b < c. On suppose que les restrictions g et h de f aux intervalles [a, b] Exercice 14 (utilise des développements limités). Montrer que la fonction et [b, c] sont de classe C n. Alors f est de classe C n sur [a, c] si et seulement numérique f définie sur R − {0, π} par la relation : si pour tout k ∈ {0, 1,... , n}, g (k) (b) = h(k) (b). Résultat analogue avec des sin x intervalles ouverts ou semi ouverts à bornes éventuellement infinies. f (x) = x(π − x) Démonstration. La partie directe est laissée aux lecteurs. Pour établir la se prolonge en une fonction continue sur R notée encore f. Prouver que f réciproque on prouve par récurrence sur k en utilisant la proposition 5.4 que est de classe C 1. f est de classe C k sur [a, c] avec : ( Proposition 5.4 (Recollement des applications C 1 ). Soit f : [a, c] → E g (k) (x) si x ∈ [a, b] et a < b < c. On suppose f continue sur [a, c] et les restrictions g et h de f f (k) (x) = h(k) (x) si x ∈ [b, c] aux intervalles [a, b] et [b, c] de classe C 1. Alors f est de classe C 1 sur [a, c] si et seulement si g 0 (b) = h0 (b). Résultat analogue avec des intervalles ouverts ou semi ouverts à bornes éventuellement infinies. Exercice 15. Montrer que la fonction numérique f définie sur R par : Démonstration. D’après la proposition 2.1, si f ∈ C 1 ([a, c], E), g et h sont  dérivables sur [a, b] et [b, c] et : −1 f (x) = e x si x > 0 ( f (x) = 0 si x ≤ 0 0 g 0 (x) si x ∈ [a, b] f (x) = h0 (x) si x ∈ [b, c] est de classe C ∞. Page 17/27 JP Barani Page 18/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Exercice 16. Soit f : R → R, deux fois dérivable. On suppose l’existence de On va trouver une autre relation de récurrence linéaire entre trois polynômes deux réels positifs M0 et M2 qui majorent respectivement |f | et |f ”|. Prouver Hn consécutifs. Pour cela on écrit une équation différentielle linéaire vérifiée que : p par u : ∀x ∈ R, |f 0 (x)| ≤ 2M0 M2 (E) u0 (x) = −xu(x) Indication : Majorer d’abord |f ’(0)|, il pourra être utile de faire des considé- Pour n ≥ 1, on dérive cette relation n fois grâce à la formule de Leibniz : rations cinématiques. Cet exercice sera revu sous une autre forme en intégra- tion. u(n+1) (x) = −xu(n) (x) − C1n u(n−1) (x) Proposition 5.6 (Formule de Leibniz). Soit f et g deux applications n fois d’où la relation voulue : dérivables de I dans K ; alors f g est n fois dérivables sur I et : Hn+1 = −XHn − nHn−1 X n (f g)(n) = Cnk f (k) g (n−k) En comparant les deux relations de récurrence,on tire : k=0 (On convient que la dérivée d’ordre 0 d’une fonction est cette fonction elle Hn0 = −nHn−1 même) Le succés de la méthode tient u vérifie une équation différentielle à coeffi- Exercice 17. Calculer,par deux méthodes,la dérivée d’ordre n de la fonction cients polynômiaux de degrés faibles. Les lecteurs pourront prouver,à titre f définie par la relation : d’exercice que tous le zéros de Hn sont réels,distincts et séparés par ceux de √ Hn−1 en rappelant qu’un polynôme à coefficients dans K,de degré n, possède f (x) = ex 3 cos3 x au plus n racines distinctes. Exercice 18. Calculer la dérivée d’ordre n de Exercice 19. Etudier,de la même manière,les dérivées successives de 1 ex ch a ch(x sh a) f (x) = √ 1 + x2 Exemple 5.1 (Contexte d’utilisation). La formule de Leibniz est trés commode Exercice 20. soit f (x) = Arcsin2 x,Trouver une relation de récurrence linéaire pour établir des relations de récurrences concernant des suites de polynômes entre trois dérivées consécutives de f. associés aux dérivées successives d’une fonction. Considérons la fonction u définie sur R par : Proposition 5.7. Soit n ∈ N ∪ {∞}. L’espace vectoriel C n (I, K) est une sous x2 algèbre de F (I, K) (les lecteurs préciserons les opérations) u(x) = e− 2 Proposition 5.8. Soit f ∈ C n (I, E) et φ ∈ C n (J, R) avec φ(J) ⊂ I. Alors Une récurrence évidente sur n assure que u admet une dérivée d’ordre n sur g = f ◦ φ ∈ C n (J, E). R de la forme : u(n) (x) = Hn (x)u(x) Démonstration. Preuve abrégée :On procède par récurrence sur n en remarquant que : où (Hn )n∈N est la suite de polynômes définie par : g 0 = f 0 ◦ φ.φ0 H0 = 1 et ∀n ≥ 0 , Hn+1 = −XHn + Hn0 qui est de classe C n−1 d’aprés l’hypothèse de récurrence. Page 19/27 JP Barani Page 20/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 1 Proposition 5.9. Soit f ∈ C n (I, K) qui ne s’annule pas sur I. Alors g = f ∈ Remarque 6.1. Si l’on effectue un tel prolongement avec l’abus de notation C n (I, K) Dj f , il est fortement conseillé de le préciser, particulièrement à l’écrit. Démonstration. Proposition 6.1 (particulièrement utile). Soit f : [a, c] → E et a < Preuve abrégée :De même nature que la précédente, par récurrence sur n en b < c. Alors f est de classe C n par morceaux sur [a, c] si et seulement si ses remarquant que : restrictions aux segments [a, b] et [b, c] le sont. −f 0 Démonstration. Laissée aux lecteurs. Ce résultat sera revu à propos de l’in- g0 = 2 f tégration et des séries de Fourier. qui est de classe C n−1 d’aprés l’hypothèse de récurrence. Définition 6.2 (Cas d’un intervalle quelconque). Une fonction f : I → E est dite de classe C n par morceaux sur I si sa restriction à tout segment Exercice 21. Soit f : [a, b] → R de classe C 2. On suppose que f (a) = f (b) = 0. de I est de classe C n par morceaux sur ce segment. On note M2 = supx∈[a,b] |f ”(x)|. On fixe x ∈]a, b[. Prouver l’existence d’un polynôme du second degré P qui interpole f en les points a, x, b ie Exemple 6.1. La fonction numérique x 7→ [1/x], prolongée par f (0) = 0 est de classe C ∞ par morceaux sur ]0, a] (a > 0) mais pas sur [0, a]. P (a) = f (a) P (b) = f (b) P (x) = f (x) Proposition 6.2. Soit f : I → E de classe C 1 par morceaux sur I et conti- nue sur I. Si Df = 0 sur I privé des points où f n’est pas dérivable, alors Prouver que (f − P )” s’annule sur ]a, b[. En déduire que : f est constante sur I. (x − a)(b − x) Démonstration. Soient a et b appartenant à I avec a < b. Prouvons que ∃c ∈]a, b[, f (x) = f ”(c) 2 f (a) = f (b) ce qui suffira à conclure. La restriction de f au segment [a, b], et donc que : notée encore abusivement f est, par définition, continue et de classe C 1 par M2 (b − a)2 morceaux. Soit (t1 , t2 ,... , tn ) une subdivision de [a, b] adaptée à f. Notons fi sup |f (x)| ≤ le prolongement C 1 de f|]ti−1 ,ti [ à [ti−1 , ti ]. Pour t ∈]ti−1 , ti [, fi est dérivable en x∈[a,b] 8 t et fi0 (t) = Df (t) = 0 par hypothèse. fi est donc C 1 sur [ti−1 , ti ], de dérivée Voyez vous une application au calcul numérique ? Tout cela sera généralisé nulle sur ]ti−1 , ti [. Elle est donc constante sur [ti−1 , ti ]. Donc fi (ti−1 ) = fi (ti ). ultérieurement Mais puisque f est continue : f (ti−1 ) = fi (ti−1 ) et fi (ti ) = f (ti ) 6 Classe C n par morceaux Donc f (ti−1 ) = f (ti ) et la conclusion suit. Définition 6.1. f : [a, b] → E est dite de classe C n par morceaux sur ce segment s’il existe une subdivision : 7 Fonctions réciproques a = t0 < t 1 < · · · < t n = b Théorème 7.1. Soit f une application continue,strictement croissante (resp telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]ti , ti+1 [ soit prolongeable strictement décroissante) d’un intervalle I de R dans R. On rappelle que f en une fonction de classe C n sur [ti , ti+1 ]. Pour j ∈ {1,... , n}, la dérivée (je induit alors un homéomorphisme de I sur l’intervalle f (I) = J dont l’homéo- dirai plutôt la dérivée généralisée) d’ordre j de f est définie sur [a, b] − S où morphisme réciproque sera noté f −1. Soit y0 ∈ J et x0 = f −1 (y0 ). Alors,si f S est contenue dans la partie finie constituée des points ti ; elle est notée Dj f esr dérivable au point x0 et f 0 (x0 ) 6= 0,f −1 est dérivable au point y0 et et si on la prolonge arbitrairemant à [a, b] la fonction obtenue, généralement 1 notée encore Dj f est de classe C n−j par morceaux. (f −1 )0 (y0 ) = f 0 (x0 ) Page 21/27 JP Barani Page 22/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 Si f 0 (x0 ) = 0,alors Exemple 7.1. – L’application x 7→ ex est de classe C ∞ sur R,sa dérivée est strictement positive sur R,elle induit donc un C ∞ -difféomorphisme f (y) − f (y0 ) de R sur son image ]0, +∞[. Pour obtenir la dérivée du difféomorphisme lim = +∞ resp − ∞ y→y0 y − y0 réciproque ln,il suffit de dériver la relation : y∈J−{y0 } eln x = x Démonstration. En principe vue en HX. d’où,pour x > 0 : n Définition 7.1 (C difféomorphismes). n ≥ 1. Un C difféomorphismen   d d 1 d’un intervalle I sur un intervalle J est une bijection de I sur J de classe C n ln x eln x = 1 d’où ln x = dx dx x ainsi que sa bijection réciproque. Théorème 7.2. n ≥ 1. Soit f ∈ C n (I, R). Pour que f soit un C n difféomor- – Même méthode avec les fonctions réciproques des fonctions usuelles : phisme de I sur l’intervalle J = f (I), il est nécessaire et suffisant que f 0 ne Arcsin x Arccos x Arctg x s’annule pas sur I. Démonstration. Si f 0 ne s’annule pas sur I, le théorème des valeurs intermé- Exercice 22. Montrer que la relation : diaires appliqué à f 0 qui est continue sur I assure que celle ci y garde un signe constant et donc qu’elle est strictement monotone sur I. Elle induit donc un y4 + y = x homéomorphisme de I sur l’intervalle J = f (I). Le théorème 7.1 s’applique définit une fonction y = f (x) de R+ dans lui même. Calculer ses deux pre- alors à f puisque f 0 ne s’annule pas sur I. g = f −1 est donc dérivable en tout mières dérivées. Trouver la forme de sa dérivée d’ordre n. Ecrire une procé- 1 point y ∈ J et g 0 (y) = f 0 (g(y)). Supposons g de classe C k sur J (0 ≤ k < n) ; dure Maple capable d’automatiser le calcul de la question précédente. f ◦g est alors également de classe C k puisque f 0 est de classe C n−1 (n−1 ≥ k). 0 Il en résulte que g 0 est de classe C k+1. Une récurrence élémentaire fait le reste. Réciproquement, si g = f −1 est de classe C 1 sur J, on peut dériver sur J la 8 Quelques techniques de calcul relation : f ◦ g(y) = y d’où : 8.1 Changement de fonction f 0 (g(y))g 0 (y) = 1 Soit,par exemple,à calculer le dérivée de : et donc g 0 (y) 6= 0 pour tout y ∈ J. x+1 1 f (x) = x 1 + x Remarque 7.1. En pratique,une fois les conditions de validité du théorème vérifiées,on calcule les dérivées successives de f −1 en dérivant (ou en diffé- Sur chacun des intervalles I constituant D =] − ∞, −1[∪]0, +∞[. Posons : rentiant) plusieurs fois la relation : 1 u(x) = (x + 1) ln 1 + f (f −1 (y)) = y x Ce qui évite tout effort de mémoire. de sorte que f (x) = x eu(x) ; il vient alors,pour x ∈ D : f 0 (x) = (xu0 (x) + 1) eu(x) Page 23/27 JP Barani Page 24/27 JP Barani  18 septembre 2003 18 septembre 2003 avec C’est le cas lorsque h(x) est de la forme : 1 1 u0 (x) = − + ln 1 + ln |u(x)| Arctg(u(x)) x x D’où : Où u est une fraction rationnelle. x+1 1 u(x) 1 1 f 0 (x) = x ln 1 + e =x 1+ ln 1 + Exemple 8.1. Etudions les variations la fonction définie par la relation : x x x y = f (x) = | sin(x)|cos(x) donc y = ez 8.2 Signe d’une fonction, inégalités Avec z(x) = cos(x)ln(| sin(x)|) qu’on peut étudier sur [0, π] vu que : 8.2.1 Méthodes d’étude du signe d’une fonction f (x + 2π) = y(x) et f (−x) = f (x) Pour étudier le signe d’une fonction f sur un intervalle I (en pratique une en tout point du domaine de définition de f. f et z sont alors de classe C ∞ dérivée). On conseille d’observer les principes suivants. sur ]0, π[. Sur cet intervalle, il vient : – Factoriser l’expression de f chaque fois que c’est possible. En particulier si elle est polynômiale ou si elle s’y ramène via un changement de cos(x)2 − sin(x) ln(sin(x)) fonction. z 0 (x) = sin(x) – Si f est continue sur ]a, b[ et ne s’y annule pas, elle y garde un signe constant. Il faut alors invoquer la continuité de f et le théorème des Seul le numérateur de cette expression nous intéresse puisqu’on en veut le valeurs intermédiaires. signe : – Si l’expression de f est de la forme : g(x) = cos(x)2 − sin(x)2 ln(sin(x)) = h(sin2 (x)) Où l’on a posé, pour t ∈]0, 1] : u(x) ev(x) +w(x) t ln(t) Où u, v, w sont des fractions rationnelles (quotients de polynômes), on h(t) = 1 − t − sépare l’intervalle en sous intervalles où w ne s’annule pas et, sur chacun 2 d’eux, on étudie la fonction auxiliaire : h est de classe C ∞ sur [0, 1[ et : u(x) v(x) t+2 g(x) = e +1 h0 (t) = − < 0 sur [0, 1[ w(x) 2t2 Dont la dérivée est le produit d’une fraction rationnelle par une expo- Les lecteurs achèveront alors l’étude des variations de f sur ]0, π[. nentielle strictement positive. D’où les variations de g puis son signe d’où découle celui de f. 8.2.2 Preuve d’inégalités – De façon analogue, si h(x) est une fonction dont la dérivée est ration- nelle, l’étude du signe de : Exercice 23. En Etudiant une fonction convenable, démontrer, par récurrence sur l’entier n ∈ N∗ ,l’inégalité de la moyenne arithmético géométrique valable w(x)h(x) + v(x) pour tout système (a1 , a2 ,... , an ) de réels positifs : Où v, w sont des fractions rationnelles, se ramène à celle de : √ a1 + a2 + · · · + an n a1 a2... an ≤ v(x) n h(x) + Substituer xn à an et étudier la fonction de x ainsi obtenue. w(x) Page 25/27 JP Barani Page 26/27 JP Barani  18 septembre 2003 Exercice 24. Trouver :     √ 1 1 inf x+y √ + √ , x > 0, y > 0 x y Exercice 25. Soient x > 0, y > 0. Démontrer les inégalités :  y  x+y x x 1+ < ex < 1 + y y Exercice 26. Si n ≥ 3 est un entier et x ∈ R+ , démontrer l’inégalité : n xn + (1 + 2x) 2 ≤ (1 + x)n 8.3 Utilisation de Taylor-Young Ne pas oublier que lorsqu’on n’a besoin que de la valeur de plusieurs dérivées en un seul point il est souvent beaucoup plus simple de faire un développement limité autour de ce point. Exemple 8.2. Calcul de Hn (0) où les Hn ont été définis dans l’exemple 5.1. Exercice 27. Calculer f (n) (0) avec : 1 f (x) = √ 1 + x2 Page 27/27 JP Barani