Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις - Παραγωγοί Συναρτήσεων PDF

## 2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - Έστω *f* μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο *A*. Θα λέμε ότι: - Η *f* είναι παραγωγίσιμη στο *A* ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο *x₀ ε A*. - Η *f* είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστ...

## 2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - Έστω *f* μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο *A*. Θα λέμε ότι: - Η *f* είναι παραγωγίσιμη στο *A* ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο *x₀ ε A*. - Η *f* είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (*α*, *β*) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο *x₀ ε (α,β)*. - Η *f* είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [*α*, *β*] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (*α*, *β*) και επιπλέον ισχύει $$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \in \mathbb{R}\ \text{και} \ \lim_{x \to \beta} \frac{f(x) - f(\beta)}{x-\beta} \in \mathbb{R}.$$ - Έστω *f* μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού *A* και *A₁* το σύνολο των σημείων του *A* στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε *x ε A₁* στο *f'(x)*, ορίζουμε τη συνάρτηση $$f':A_1 \to R$$ $$x \to f'(x),$$ η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της *f* ή απλά παράγωγος της *f*. Η πρώτη παρά- γωγος της συμβολίζεται και με $ \frac{df}{dx} $ που διαβάζεται “ντε εφ προς ντε χι”. Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y = f(x) θα τη συμβολίζουμε και με y = (f(x))'.