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Contrôle des connaissances A. Questions de cours 1. Quels sont les facteurs déterminants du taux d'intérêt d'une opération financière? 2. Définissez la valeur actuelle d'une somme S, perçue dans t années. 3. Un trésorier d'entreprise emprunte 200 000 € au taux de 1,5 % du 20 mars au 10 septembre. L'...

Contrôle des connaissances A. Questions de cours 1. Quels sont les facteurs déterminants du taux d'intérêt d'une opération financière? 2. Définissez la valeur actuelle d'une somme S, perçue dans t années. 3. Un trésorier d'entreprise emprunte 200 000 € au taux de 1,5 % du 20 mars au 10 septembre. L'intérêt est proportionnel et précompté. La convention de base est Exact/360. Déterminez le montant reçu en date initiale et le montant payé en date finale. 4. Notons iesc le taux précompté s'appliquant à une opération financière à n jours. Quel est le taux post-compté, noté ifine; correspondant à iesc? 5. Donnez la formule du taux d'intérêt mensuel équivalent à un taux i. 6. Calculez le montant d'intérêt I produit par 25 000 € placés à 1 % du 15 juillet au 5 septembre en base 30/360. 7. Quelle est la valeur actuelle en temps continu d'un montant M reçu dans x années au taux r? Contrôle des connaissances du chapitre 1 A. Questions de cours 1) Le taux d’intérêt exigé par le prêteur sur une opération financière est déterminé par les trois facteurs suivants : - la préférence du prêteur pour le présent qui implique une rémunération pour la non disponibilité des fonds pendant la durée de l’opération, - la perte de pouvoir d’achat liée à l’inflation pendant la durée de l’opération, - le risque de non-paiement par l’emprunteur. Les deux premiers facteurs correspondent au prix du temps. Le troisième facteur correspond au prix du risque. 2) La valeur actuelle d’une somme St perçue dans t années est le montant S0 tel qu’un individu rationnel est indifférent à recevoir immédiatement ou St dans t années. Si i est le taux d’intérêt exigé sur un placement à t années, S0  St 1 i t . 3) Le nombre de jours dans la période d’emprunt est (3120)+30+31+30+31+31+10 = 174. Le 1 174   montant reçu en date initiale est 200 000 11,5%   198 550 € . Le montant payé en    360  date finale est le principal de 200 000 €.  4) Notons N le nombre de jours dans l’année. i fine  iesc . n 1 i N esc 5) imensuel  1 i1 12 1 . 2 6) En base 30/360, le nombre de jours du 15 juillet au 5 septembre est égal à (3015)+30+5 = 50. I = 25 000×1%×(50/360) = 34,72 €. 7) La valeur actuelle est M exp rx. A. Questions de cours 1) Que désigne la facilité de prêt marginal ? Qu'est-ce qu'une opération de pension livrée ou repo ? 3) Comment une banque centrale modifie-t-elle ses taux directeurs en fonction de ses objectifs ? 1. Le taux coté sur le marché pour un titre monétaire versant un paiement C n jours après le règlement livraison est i. Quel est le prix du titre ? 2. Qu'appelle-t-on un taux monétaire ? 3. Comment dénomme-t-on les bons du Trésor émis par le Debt Management 4. Office du Royaume-Uni ? Quand sont-ils émis ? 5. Quels titres les entreprises non bancaires émettent-elles sur le marché monétaire ? 6. Qu'est-ce que la date de jouissance d'une obligation? Pour quelle raison un émetteur fixerait il la date de jouissance d'une obligation antérieurement à sa date d'émission ? 7. Une obligation cote 103 5/32t. Exprimez cette cotation en système décimal. 8. Une obligation cote 98,21 %. Le coupon couru est de 1,753 % du nominal. La valeur nominale est de 2 000 €. Quel est le prix à payer en euro pour acheter une obligation ? 9. Qu'est-ce qu'un T-note? 10. Qu'est-ce qu'un nantissement ? 11. Qu'est-ce que l'émission d'obligations par assimilation ? 12. Qu'est-ce qu'une obligation à coupon progressif? Quels en sont les avantages pour l'émetteur et pour l'investisseur ? Contrôle des connaissances du chapitre 2 - Corrigés 1 A. Questions de cours 1) La facilité de prêt marginal est le mécanisme par lequel les établissements de crédit de la zone euro peuvent emprunter des liquidités centrales à 24h contre remise d’actifs. Le taux de ces prêts de monnaie centrale est dit taux de prêt marginal. Il fait partie des taux directeurs de la BCE 2) Une opération de repo est une opération de prêt contre cession temporaire de titres. A la date initiale de l’opération, l’emprunteur vend au prêteur une quantité de titres donnée à un certain prix. A la date finale, l’emprunteur doit racheter les titres au prix initial augmenté d’un montant d’intérêts. 3) Une Banque Centrale a deux objectifs : lutter contre l’inflation et soutenir la croissance économique. Pour lutter contre l’inflation, elle augmente ses taux directeurs. Au contraire, pour soutenir la croissance, elle diminue ses taux directeurs. 4) Prix = C  n  i  1   360  5) Un taux monétaire est un taux post-compté proportionnel en base Exact/360 ou Exact/365. 6) Il s’agit des Sterling Treasury bills. Ils sont émis selon un cycle hebdomadaire les vendredis. 7) Les entreprises non bancaires émettent des billets de trésorerie sur le marché monétaire. 8) La date de jouissance est la date à partir de laquelle le premier coupon commence à courir. En fixant la date de jouissance avant la date d’émission, le montant du premier coupon est augmenté, ce qui augmente le TRA offert à l’investisseur à l’émission sans avoir à augmenter le taux facial de l’emprunt. 9) En système décimal, la cotation est 103+5/32+1/64 = 103,171875. 10) Le prix à payer est 2 000×(98,21%+1,753%) = 1 999,26 €. 11) Un T-note est une obligation souveraine à taux fixe émise par le Trésor des Etats-Unis. Ses coupons sont semestriels et sa maturité à l’origine peut aller jusqu’à 10 ans. 12) Un nantissement est une sûreté réelle consistant à apporter des biens mobiliers incorporels, le plus souvent des titres financiers, comme garantie à une dette. 13) L’assimilation consiste à émettre des obligations en ajoutant des titres supplémentaires à un emprunt existant. Les obligations émises ont exactement les mêmes caractéristiques de 2 coupon, de dates de paiement et de valeur de remboursement que l’emprunt auquel elles sont ajoutées, qui est dit emprunt souche. Les obligations émises sont fongibles avec celles de l’emprunt souche. 14) Une obligation à coupon progressif est une obligation à taux fixe dont le taux facial change à la hausse au cours de la durée de vie du titre. Les premiers coupons ont un taux facial plus faible que des emprunts similaires sur le marché. Cette faiblesse est compensée par un taux facial plus élevé sur les périodes plus éloignées. Il peut y avoir un seul ou plusieurs changements de coupon. L’avantage pour l’émetteur est d’avoir moins de liquidités à débourser pendant les premières années. C’est un instrument de financement adapté pour des projets dont les retombées financières sont faibles ou risquées pendant les premières années. Pour l’investisseur, l’avantage est le TRA plus élevé obtenu grâce aux coupons de maturité plus longue pour compenser la faiblesse des premiers coupons. Contrôle des connaissances A. Questions de cours 1. Donnez la formule actuarielle de la valeur d'une obligation vanille payant un taux facial i sur une valeur faciale C pendant T années. Démontrez cette formule. 2. Toutes choses égales par ailleurs, comment évolue la valeur d'une obligation à taux fixe au cours du temps entre la date d'émission et la date d'échéance? 3. Qu'est-ce que la convention du « bond-equivalent yield » ? 4. Quelle est la formule du prix d'un Treasury strip américain arrivant à échéance dans T années pour un taux d'actualisation y ? 5. Qu'appelle-t-on le taux de rendement courant d'une obligation ? 6. Démontrez pourquoi le TRA d'une obligation à taux fixe est égal à son TRE quand les flux intermédiaires sont réinvestis au TRA et que l'obligation est conservée jusqu'à son échéance. Contrôle des connaissances du chapitre 3 - Corrigés A. Questions de cours 1) Notons y le taux d’actualisation. La valeur de l’obligation est égale à la somme des valeurs T actuelles de ses paiements : V   1 y t t Ci 1 1 C  . La somm e des valeur s actuell es des 1 y T coupons est la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 1  y des Ci 1 y  , de raison et dont le nombre de termes est T. Appliquons la formule mathématique de la somme termes d’une suite géométrique à cette somme. Nous obtenons que  1 T 1   Ci 1 y V  1 y  1    1Cy T . En simplifiant les dénominateurs, nous obtenons la 1  1 y      1 1 yT C formule actuarielle de la valeur de cette obligation : V  Ci   . y 1 y T 2) Toutes choses égales par ailleurs, la valeur d’une obligation à taux fixe converge vers la valeur de remboursement au cours du temps entre la date d’émission et la date d’échéance. Si la valeur de remboursement est égale au pair, le prix de l’obligation converge vers le pair au fur et à mesure que l’on s’approche de la date d’échéance. 3) La convention du « bond-equivalent yield » est la convention selon laquelle le taux de coupon semestriel et le taux de rendement semestriel d’une obligation à coupons semestriels sont calculés en divisant par deux les taux annuels. Autrement dit, ils sont déterminés selon la règle du taux proportionnel. 4) Notons C le paiement final du Treasury strip. La formule du prix est C 1 y 2 2T . 5) Le taux de rendement courant d’une obligation est égal au montant annuel des coupons divisé par le prix plein coupon. 2 A. Questions de cours 1. Comment le taux facial impacte-t-il le risque de taux ? 2. Le risque de taux d'une obligation avec CRA au gré de l'émetteur est-il plus ou moins élevé que celui d'une obligation sans sortie optionnelle? Justifiez-votre réponse. 3. Qu'appelle-t-on le risque de cap ? 4. Qu'est-ce que le risque systémique de contrepartie ? 5. Qu'est-ce qu'une fonction score ? 6. Une obligation notée BB+ est-elle en catégorie d'investissement ou en catégorie spéculative? 7. Comment le risque de volatilité affecte-t-il le prix d'une obligation avec CRA au gré du créancier? 8. Définissez les dimensions du risque de crédit. Contrôle des connaissances du chapitre 4 - Corrigés A. Questions de cours 1) Pour un titre à taux fixe, plus le taux facial est élevé, plus le risque de taux en capital du titre est faible. 2) Le risque de taux d’une obligation avec CRA au gré de l’émetteur est moins élevé que celui d’une obligation sans sortie optionnelle. En effet, le prix d’une obligation remboursable au gré de l’émetteur est égal à la valeur de l’obligation nue moins la valeur de l’option de remboursement anticipée. Lorsque les taux augmentent, la valeur nue diminue et la valeur de l’option diminue car la probabilité d’un remboursement anticipé par l’emprunteur devient plus faible. Au total, le prix de l’obligation avec option diminue moins que le prix de l’obligation sans option. Au contraire, si les taux baissent, la valeur nue augmente et la valeur de l’option augmente aussi, si bien que le prix de l’obligation avec CRA augmente moins que celui de l’obligation sans CRA. En conclusion, le prix d’une obligation avec CRA au gré de l’émetteur est moins sensible aux variations de taux d’intérêt qu’une obligation sans sortie optionnelle. 3) Le risque de cap est caractéristique des obligations à taux variable comportant un cap de taux. Lorsque la valeur du taux de référence d’une obligation à taux variable avec cap augmente de telle sorte que le taux de coupon de l’obligation s’approche du taux de cap alors la probabilité que le cap soit exercé devient élevée. L’exercice du cap est défavorable à l’investisseur puisqu’il limite les revenus qu’il tire de l’obligation. L’augmentation de la probabilité d’exercice du cap est appelé risque de cap. 4) Le risque systémique de contrepartie est le risque de défaillance de nombreux débiteurs d’un même pays à la suite d’une dégradation de la situation économique de ce pays. 5) Une fonction score est une combinaison linéaire de ratios financiers prédictive de la 1 probabilité de faillite d’une entreprise au cours des années à venir. 6) Une obligation notée BB+ est en catégorie spéculative. 7) Le prix d’une obligation avec CRA au gré du créancier est la somme de la valeur nue de l’obligation et de la valeur de l’option de remboursement anticipé. La valeur de cette option est croissante avec la volatilité des taux. Par conséquent, en cas d’augmentation de la volatilité des taux, la valeur de l’obligation augmente tandis qu’en cas de diminution de la volatilité, cette valeur baisse. En conclusion, pour une obligation avec CRA au gré du . 2 Carole Gresse Marchés de Taux d'Intérêt Economica (2017) Contrôle des connaissances du chapitre 5 - Corrigés 1 www.marchesdetauxdinteret.fr A. Questions de cours 1) L’avantage de la méthode des scénarios est de fournir des résultats exacts sur les pertes en capital causées les fluctuations de taux envisagées. Elle présente cependant deux inconvénients : le choix des scénarios simulés est arbitraire et les calculs à effectuer peuvent être lourds pour un portefeuille composé de nombreuses obligations différentes avec des caractéristiques complexes telles que des sorties optionnelles ou d’autres options. 2) Les gains et les pertes en capital subies sur une obligation à taux fixe sont symétriques à la hausse et à la baisse des taux pour des variations de taux de faible ampleur. En revanche, pour des variations de taux importantes, les gains et les pertes en capital ne sont pas symétriques. Le gain en capital pour une baisse de taux donnée est plus grand que la perte en capital causée par une hausse de taux de même ampleur. 3) A la date t1,25 ans, la duration de Macaulay est égale à 5,7580 – 1,25 = 5,5080 années. En effet, la duration de Macaulay est une moyenne pondérée des maturités des paiements du titre. 1,25 années plus tard, la maturité de chaque paiement a diminué de 1,25 ans et leur moyenne est donc inférieure de 1,25. 4) L’hypothèse implicite est que la fonction de prix de l’obligation est linéaire avec pour coefficient directeur Dmod. 5) La duration de Macaulay est égale à la duration modifiée multipliée par un plus le taux d’actualisation. 6) La duration diminue avec le TRA initial. Plus le TRA initial est élevé, moins fort est l’impact d’une hausse de taux sur le prix. Cette propriété est liée à la convexité de la fonction de prix. 7) D’après le théorème de l’immunisation, la valeur future d’un portefeuille est insensible aux variations de taux lorsque la duration de Macaulay du portefeuille est égale à l’horizon d’investissement. Afin d’immuniser un portefeuille contre le risque de taux, il convient donc de le recomposer régulièrement pour que sa duration corresponde à l’horizon d’investissement. 2 www.marchesdetauxdinteret.fr Carole Gresse Marchés de Taux d'Intérêt Economica (2017) 8) Notons C la convexité de l’obligation et DMac sa duration de Macaulay. Notons V la valeur Fs 2T s1 de l’obligation et y son TRA. Si 2T l’obligation, V   s1 est la série des flux semestriels versés par Fs . La formule de la convexité est : 1 y 2s 2T C 1 4   s 1 Mac s2w  2  D s 1  y 22 y s  1 2T Fs 1 y 2s et D Mac 1 2T où ws    ws  s  1   .  2 s1 2V t 1 s  Fs  2  V Pour calculer la convexité sur la base de simulations de chocs de taux y, il faut calculer la valeur de l’obligation V pour un taux d’actualisation y+y et la valeur V pour un taux 3 www.marchesdetauxdinteret.fr d’actualisation yy. La formule de calcul de la convexité est alors C V V  2V V y2 . 9) La convexité permet de corriger l’erreur d’estimation liée à l’hypothèse de linéarité de la fonction de prix que suppose une estimation des variations de prix fondée sur la duration uniquement. En ajustant l’estimation pour la convexité, la majeure partie de l’erreur d’estimation est éliminée. 10) A duration identique, le risque de taux diminue avec la convexité. Contrôle des connaissances A. Questions de cours 1. Qu'est-ce qu'un taux à terme implicite ? Une entreprise émet deux obligations de même maturité : l'une est une obligation vanille remboursée in fine; l'autre est également remboursée in fine mais comporte une clause de remboursement anticipé au gré de l'émetteur. Laquelle des deux obligations a le spread zéro-coupon le5 Contrôle des connaissances A. Questions de cours 1. Qu'est-ce qu'un taux à terme implicite ? 2. Une entreprise émet deux obligations de même maturité : l'une est une obligation vanille remboursée in fine; l'autre est également remboursée in fine mais comporte une clause de remboursement anticipé au gré de l'émetteur. Laquelle des deux obligations a le spread zéro-coupon le plus élevé et pourquoi ? Même question pour le spread risque-neutre. 3. Sans rentrer dans le détail de la procédure de calcul, expliquez brièvement comment se construit une courbe de taux zéro-coupon. 4) Selon la théorie des anticipations non biaisées, que révèlent les taux à terme implicites à la courbe des taux ? 5) Pourquoi la forme la plus fréquente de la structure à terme des taux d'intérêt est-elle croissante ? Quelle théorie permet de comprendre ce phénomène ? 4. plus élevé et pourquoi ? Même question pour le spread risque-neutre. 5. Sans rentrer dans le détail de la procédure de calcul, expliquez brièvement comment se construit une courbe de taux zéro-coupon. 4) Selon la théorie des anticipations non biaisées, que révèlent les taux à terme implicites à la courbe des taux ? 5) Pourquoi la forme la plus fréquente de la structure à terme des taux d'intérêt est-elle croissante ? Quelle théorie permet de comprendre ce phénomène ? Contrôle des connaissances du chapitre 6 - Corrigés A. Questions de cours 1) Un taux à terme implicite est un taux à terme calculé à partir de la courbe des taux zérocoupon en appliquant la théorie de l’absence d’opportunité d’arbitrage. Par exemple, le 1 taux à terme implicite à un an dans un an est le taux à terme dérivé des taux zéro-coupon à un et à deux ans en supposant que placer à deux ans au taux zéro-coupon à deux ans ou placer deux fois successivement à un an, au taux zéro-coupon à un an pendant la première année, puis au taux à terme à un dans un an la deuxième année, aboutit à la même valeur future dans deux ans. 2) L’obligation avec clause de remboursement anticipe (CRA) au gré de l’émetteur a le spread zéro-coupon le plus élevé car ce spread intègre une prime de risque d’option. En effet, la CRA étant au gré de l’émetteur, le risque d’option est supporté par l’investisseur qui exige une prime en compensation. Le spread zéro-coupon de l’obligation vanille ne comporte pas de prime d’option. En revanche, le spread risque-neutre est identique pour les deux obligations. 3) La courbe des taux zéro-coupon se construit à partir des taux de rendement des obligations sans risque par itérations successives. Supposons que nous disposons des TRA d’obligations à taux fixe sans risque de un à quatre ans. Le taux zéro-coupon à un an est égal au TRA à un an. Le taux zéro-coupon à deux ans s’obtient en posant que la valeur actuelle de l’obligation à deux ans découlant de son TRA doit être égale à la somme de son premier paiement actualisé au taux zéro-coupon à un an et de son deuxième paiement actualisé au taux zéro-coupon à deux ans. Le taux zéro-coupon à trois ans s’obtient en appliquant un raisonnement similaire à l’obligation à trois ans et ainsi de suite jusqu’à la maturité quatre ans. 4) Selon la théorie des anticipations non biaisées, les taux à terme implicites à la courbe des taux révèlent les anticipations du marché sur les taux courts futurs. Ainsi, le taux à terme à un an dans t années dérivé de la courbe des taux zéro-coupon est égal au taux zéro-coupon à un anticipé par le marché pour dans t années. 5) La forme la plus fréquente de la structure à terme des taux d’intérêt est une courbe des taux zéro-coupon croissante. Autrement dit, le taux de rendement exigé sur une obligation zérocoupon sans risque est le plus souvent croissant avec sa maturité car ce taux de rendement intègre une prime de risque pour la non-disponibilité des fonds sur longue période. En effet, 2 en investissant à long terme, l’investisseur peut subir une perte en capital si des dépenses imprévues avant l’échéance de son placement l’obligent, faute de disposer de liquidités suffisantes, à le liquider avant l’échéance. Plus l’horizon d’investissement est long, plus le risque d’événements imprévisibles est important, si bien que la prime de risque exigée en compensation est croissante avec la maturité, toutes choses égales par ailleurs. La théorie qui rend compte de ce phénomène est la théorie de la préférence pour la liquidité de Hicks (1946). En effet, selon cette théorie, le taux zéro-coupon de maturité t années résulte des taux à un an successifs anticipés jusqu’en année t et d’une prime de risque croissante avec t. 3