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Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Computational Design Computational Design Benjamin Dillenburger; Mathias Bernhard; und Anton Savov Computational Design Copyright © Benjamin Dillenburger; Mathias Bernhard; und Anton Savov. Alle Rechte vorbehalten. 1 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Inhalt Einleitung 4 Übersicht Vorlesungen und Übungen v HS23 v FS24 vi I. Computer Aided Design 1. Computer 9 Digitale Signale und Binärcode 9 Vom Jacquard Webstuhl zur Rechenmaschine 10 Bildtafeln 11 2. Mensch-Computer-Interaktion 13 Mensch – Maschine Interaktion 13 Mixed Reality 14 Internet of Things 14 Bildtafeln 16 3. Computer Aided Design 17 Technisches Zeichnen 17 Entwicklung von CAD 17 Anatonomie einer CAD Software 20 Rhino als Beispiel 20 Grasshopper als Beispiel für Visuelle Programmierung 23 Bildtafeln 24 II. Digitale Geometrie 4. Darstellende Geometrie 27 Entwicklung der Darstellende Geometrie 27 Projektionen 28 Koordinatensysteme 30 Vektoren 33 Transformationen 33 Constructive Solid Geometry 34 Platonische Körper 35 Bildtafeln 36 5. Parametrische Kurven und Flächen 37 NURBS 37 Kurven 37 Flächen 40 Parametrische Flächen 41 NURBS Flächen 42 Bildtafeln 44 6. Geometrische Strukturen 46 Punktwolken 46 Mesh – Diskrete Flächennetze 47 Voxel – Diskrete Volumen 48 Implizite Flächen 49 Bildtafeln 51 7. Topologie, Graphen und Netzwerke 52 Topologie 52 Graphen 53 Bildtafeln 55 III. Digitale Ausgabe 8. Digitale Bilder 57 Bilddaten 57 Bildsynthese – Rendering 59 Bildkomposition 60 Bildtafeln 63 9. Digitale Fabrikation 64 2 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Modelle 64 CNC 65 Rapid Prototyping 65 IV. Digitale Prozesse 10. Daten und Modelle 67 Technische Entwicklungen 67 Theoretische Grundlagen 69 Digitale Datenstrukturen 71 Digitale Prozessketten 72 11. Code 73 Algorithmus 73 Programmiersprachen 73 Variablen 73 Wiederholung 74 Bedingungen 74 Bildtafeln 75 12. Parametrisches und Procedurales Design 76 Parameter 76 Parametrisches Design 76 Mapping 77 Rekursion 78 Fraktal 78 L-System 78 Shape Grammar 79 Bildtafeln 80 13. Analyse und Simulation 82 Geometrische Analysen 82 Netzwerk Analysen 84 Simulation 84 Physics Engine 84 Partikel 85 Agenten 85 Emergenz 86 14. Suche und Optimierung 87 Entwerfen als Variantenerzeugung und Einschränkung 87 Probleme 87 Heuristik 88 Evolutionäre Algorithmen 88 Fitnesslandschaft 89 Appendix 91 Glossary 92 3 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 1 Einleitung Einleitung Dieses Buch ist ein Teil der Vorlesungsunterlagen zu dem Kurs Computational Design und deckt den theoretischen Teil ab. Es handelt sich dabei um eine kuratierte und komprimierte Sammlung an Texten aus verschiedenen Quellen, die sich mit den zentralen Aspekten des The- mas auseinandersetzen. Diese Sammlung ist mit Illustrationen und Diagrammen zur Verständ- nishilfe ergänzt. Die Geschichte und Entwicklung von Computational Design ist eng verwoben mit Mathema- tik, Geometrie, Informationstechnologie und Hardwareerfindungen. Die digitalen Techniken, die diese Themen beeinflussen, entwickeln sich sehr schnell. Darum haben wir uns entschieden in diesem Script eine Zusammenstellung von externen Quellen zur Verfügung zu stellen, die regelmäßig aktualisiert wird, anstelle eines “starren” Scripts. Auf digitalen Enzyklopädien wie Wikipedia und ähnlichen Quellen sind die präsentierten The- men sehr ausführlich dokumentiert und werden ständig von einer grossen Gemeinschaft auf dem Laufenden gehalten. Das Skript sammelt und kuratiert die relevantesten Abschnitte aus diesen Quellen, und ist mit Links zur Herkunft versehen, damit man bei Interesse an jeder Stel- le beliebig tiefer eintauchen kann. Gleichzeitig muss den Leser·innen klar sein, dass Quellen wie Wikipedia, wie jede andere Quelle auch, kritisch hinterfragt werden müssen und keinen Anspruch auf Vollkommenheit haben kann. Anmerkung: Bei dieser Version handelt es sich um die erste Version des Skripts. Kleinere Anpassungen werden wir noch vornehmen. Gleichzeitig sind wir um jedes konstruktives Feedback zum dem Skript dankbar. Bitte nutzt dafür die Moodle Forum Funktion! 4 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 2 Übersicht Vorlesungen und Übungen Übersicht Vorlesungen und Übungen II.1 – HS23 All Lecture Videos https://video.ethz.ch/lectures/d-arch/2023/autumn/052-0605-00L.html II.1.1 – Intro/HS23 Lecture date 21-Sep-2023 Lecture Topic Intro + Demos, Cutting Edge of Computational Design Lecture Video in Moodle for block 1 below Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/resource/view.php?id=954992 II.1.2 – Block 1/HS23 Lecture date 28-Sep-2023 Lecture topic Descriptive Geometry, Architectural Geometry Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/resource/view.php?id=959393 Vectors and Transformations – In this assignment, you create a geometric Assignment 1 composition by transforming the elements making up a floor plan of a multi-family residential building. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=21011&section=2 Zugehörige Computer, Mensch-Computer-Interaktion, Computer Aided Design, Kapitel Darstellende Geometrie II.1.3 – Block 2/HS23 Lecture date 12-Oct-2023 Lecture topic Mesh and Pixels Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/folder/view.php?id=964849 Found Object – In this assignment, you capture an existing, ordinary object found in our daily lives and give it a totally different and surprising Assignment 2 meaning through digital manipulations. You learn techniques to 3D scan and the basics of mesh geometry and rendering. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=21011&section=3 Zugehörige Geometrische Strukturen, Digitale Bilder Kapitel II.1.4 – Block 3/HS23 Lecture date 2-Nov-2023 Lecture topic Parametric curves and surfaces Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/resource/view.php?id=974092 Fantacity — This assignment is about parametric design. In it, you develop a parametric massing model of a building (e.g., a tower) and arrange Assignment 3 various states of it to create a fantasy microcity. You learn techniques to construct curves and curved surfaces in a controlled way, using parameters to define their shape. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=21011&section=4 Zugehörige Parametrische Kurven und Flächen Kapitel II.1.5 – Block 4/HS23 Lecture date 16-Nov-2023 Lecture topic Data and Machine Learning Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/folder/view.php?id=979851 5 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Data Spaces – This assignment is about structuring and spatially curating geometric data. You are challenged to create a striking visualization that arranges many building outlines using their associated data attributes, Assignment 4 revealing an engaging aspect or story. You learn techniques to curate a collection of buildings with filter, sort, search by shape, and spatially distribute them into grids or gradient fields. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=21011&section=5 Zugehörige Topologie, Graphen und Netzwerke, Daten und Modelle Kapitel II.1.6 – Wrap up/HS23 Lecture date 30-Nov-2023 II.2 – FS24 All Lecture Videos https://video.ethz.ch/lectures/d-arch/2024/spring/052-0606-00L.html II.2.3 – Block 1/FS24 Lecture date 22-Feb-2024 Lecture topic Code & Procedural Design Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/resource/view.php?id=1024480 Code & Procedural Design – This assignment introduces Python Assignment 1 programming basics and the use of loops for generative design in architecture. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=22450&section=2 Zugehörige Code, Parametrisches und Procedurales Design Kapitel II.2.3 – Block 2/FS24 Lecture date 07-Mar-2024 Lecture topic Analysis & Simulation Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/folder/view.php?id=1024482 The Data of Form – In this assignment, you will use a mesh model to Assignment 2 perform suitable geometric and performance analysis, visualize your findings, and write about the analytical insights you gained. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=22450&section=3 Zugehörige Analyse und Simulation Kapitel II.2.3 – Block 3/FS24 Lecture date 28-Mar-2024 Lecture topic Trial & Error Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/resource/view.php?id=1024483 Search & Optimize – In this assignment you will create a simple parametric Assignment 3 model for a schematic building massing and find optimal versions that satisfy architecturally relevant metrics using Galapagos. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=22450&section=4 Zugehörige Suche und Optimierung Kapitel II.2.4 – Block 4/FS24 Lecture date 18-Apr-2024 Lecture topic Digital Fabrication Hello House https://moodle-app2.let.ethz.ch/mod/folder/view.php?id=1024484 Machine Translations – In this assignment, you design a patterned surface Assignment 3 with three or more layers and prepare the necessary files for laser cutting. Moodle link https://moodle-app2.let.ethz.ch/course/view.php?id=22450&section=5 Zugehörige Digitale Fabrikation 6 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Kapitel II.2.5 – Wrap-up Lecture date 2-May-2024 Lecture topic Exam Simulation 7 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. I Computer Aided Design 8 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 1 Computer 1.1 – Digitale Signale und Binärcode Damit Architekten die gebaute Umwelt am Computer planen und modifizieren können, muss die physische reale Welt in Signale übersetzt werden, die Computer verstehen. Diese Signale sind numerische Grössen (Zahlen), und Instruktionen, wie diese Daten verarbeitet werden sol- len. Abbildung 1.1 – Kontinuierliche (analoge) und diskrete (digitale) Signale Die Werte in der realen Welt – z.B. physikalische Grössen wie Temperatur, Luftdruck, Wasser- stand, eine Tonfrequenz oder Lautstärke, oder auch eine Position im Raum – sind stufenlos, kontinuierlich an jeder beliebigen Stelle und Zeitpunkt messbar. Man nennt dies ein analoges Signal, und Quecksilberthermometer oder -barometer sind Beispiele für analoge Sensoren. Ein analoges Signal ist eine physikalische Größe, die im Verlauf der Größe (Amplitude) als auch im zeitlichen Verlauf kontinuierliche Werte annehmen kann. Computer können nun diese analogen Signale mit einer vorbestimmten Auflösung (z.B. Tem- peratur auf 1/10° oder eine Nachkommastelle präzise) und in vorbestimmten Zeitintervallen (z.B alle 10 Minuten oder alle 5 Millisekunden) abfragen und als Zahl speichern. Ein digitales Signal (digitus: Finger, lat.) ist eine physikalische Größe, die nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann. Die Werte entsprechen der Anzahl der vordefinierten Zustän- de. Werden zwei Zustände definiert (0 und 1), dann handelt es sich um binäre (digitale) Signa- le. Computer arbeiten mit winzig kleinen Einheiten genannt „bit“. Das Wort hat nicht nur die gängige englische Bedeutung von „ein wenig“, sondern ist im Computer-Jargon auch der Zusammenzug aus „binary“ und „digit„. Digit kommt davon dass es einen Wert anzeigt. „Bina- ry“ (dt. binär) kommt von bi = 2. Ein bit kann also 2 Werte annehmen, 0 oder 1, an oder aus, wahr oder falsch. Um mehr Zahlen anzeigen zu können braucht man mehr Bits. Mit 3 Bits kann man 8 verschie- dene Zahlen anzeigen (2³): 000 = 0 / 001 = 1 / 010 = 2 / 011 = 3 100 = 4 / 101 = 5 / 110 = 6 / 111 = 7 Um ein digitales Thermometer zu bauen, das von -60° bis +60° anzeigen kann braucht man also 7 Bits: 6 für die 60 (64=2⁶) Zahlen, und 1 für das Vorzeichen (+ oder -). Ein Binärcode ist ein Code, in dem Informationen durch Sequenzen von zwei verschiedenen Symbolen (zum Beispiel 1/0 oder wahr/falsch) dargestellt werden. One or more interactive elements has been excluded from this version of the text. You can view them online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=37#oem- bed-1 Abbildung 1.2 – Binäre Darstellung des Wortes „Wikipedia“ 9 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Alle 0/1-Zeichenketten in dem Wort Wikipedia fangen mit der Sequenz 01 an. Dies sagt dem Computer, dass was danach kommt ein Buchstabe ist, und die resultierende Zahl gemäss einer definierten Tabelle einem Zeichen entspricht. Im weiteren Sinne war Leibniz wegbereitend für die Rechenmaschine im heutigen Sinne, den Computer. Er entdeckte, dass sich Rechenprozesse viel einfacher mit einer binären Zahlenco- dierung durchführen lassen, und ferner, dass sich mittels des binären Zahlencodes die Prin- zipien der Arithmetik mit den Prinzipien der Logik verknüpfen lassen (siehe De progressione Dyadica, 1679; oder Explication de l’Arithmetique Binaire, 1703). Die hier erforschten Prinzi- pien wurden erst 230 Jahre später in der Konstruktion von Rechenmaschinen eingesetzt (z. B. bei der Zuse Z1). Leibniz hatte beim Bau einer Rechenmaschine, anders als frühere Erfinder, eher philosophische Motive. Mit dem viel bemühten Zitat, es sei „ausgezeichneter Menschen unwürdig, gleich Sklaven Stunden zu verlieren mit Berechnungen“, wird eine Grenze zwischen Mensch und Maschine gezogen. Dem Erfindergeist (Freiheit, Spontaneität und Vernunft) als das spezifisch Menschliche wird das Mechanische der technisch-natürlichen Kausalität gegenüber- gestellt. (Quelle) „Es ist unwürdig, die Zeit von hervorragenden Leuten mit knechtischen Rechenarbeiten zu verschwenden, weil bei Einsatz einer Maschine auch der Einfältigste die Ergebnisse sicher hinschreiben kann.“Gottfried Wilhelm Leibniz Binärcodes bilden auf Grund ihrer Einfachheit in aller Regel die Grundlage für die Verarbeitung digitaler Informationen und werden deshalb häufig im Zusammenhang mit deren Verarbeitung genannt; „Computer funktionieren mit diesem Code“. Viele der Binärcode-Arten sind im Gebiet der Informationstechnik entstanden und werden dort verwendet; der Ausdruck „Binärcode“ wird im Computer-Sprachgebrauch auch als Syn- onym für Maschinencode, Maschinenprogramm oder Maschinensprache verwendet. 1.2 – Vom Jacquard Webstuhl zur Rechenmaschine Als Jacquardwebstuhl bezeichnet man den von Joseph-Marie Jacquard weiterentwickel- ten Webstuhl. Beim ursprünglichen Jacquardwebstuhl wurden die Platinenbewegungen durch Lochkarten gesteuert. Dies war eine der ersten bekannten Anwendungen der Lochkartentech- nik überhaupt. Zur Hardware, dem Webstuhl, haben wir hier also erstmals eine Software, die Lochkarte, die die Hardware steuern kann. Die meisten neueren Einrichtungen arbeiten mit elektromagnetischer Übertragung der vom Computer gegebenen Steuerungsimpulse. Die- se Verwendung von austauschbaren Lochkarten zur Steuerung einer Abfolge von Vorgängen gilt als wichtiger Schritt in der Geschichte der Computerhardware und hat die Analytical Engine von Charles Babbage inspiriert. (Quelle) Die Analytical Engine (englisch für Analytische Maschine) ist der Entwurf einer mechani- schen Rechenmaschine für allgemeine Anwendungen. Sie stammt von dem britischen Mathe- matikprofessor Charles Babbage (1791–1871) und stellt einen wichtigen Schritt in der Geschichte des Computers dar. Als Programme gibt es tabellarische Darstellungen; ein Satz von 1837/38 ist erhalten und enthält bereits das Beispiel für die Auflösung eines linearen Glei- chungssystems, wie es von Luigi Federico Menabrea 1842 und Ada Lovelace 1843 veröffent- licht wurde; von letzterer ist wohl das Beispiel der Berechnung der Bernoulli-Zahlen. (Quelle) Eine Turingmaschine ist ein mathematisches Modell der theoretischen Informatik, das eine abstrakte Maschine definiert. Bei diesem Rechnermodell werden nach festgelegten Regeln Manipulationen von Zeichen vorgenommen. Die Turingmaschine ist benannt nach dem bri- tischen Mathematiker Alan Turing, der sie 1936/37 einführte. Turingmaschinen machen die Begriffe des Algorithmus und der Berechenbarkeit mathematisch fassbar, das heißt, sie forma- lisieren diese Begriffe und bilden eines der Fundamente der Theoretischen Informatik. (Quelle) 10 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 1.3 – 1-Band-Turingmaschine: abstraktes Modell eines Rechners, der mit nur drei Operationen (Lesen, Schreiben und Kopf Bewegen) sämtliche berechenbare Probleme lösen kann 1.3 – Bildtafeln CD Patsy Innenrand bei ca. 1000-facher Analogsignal: Rillen einer Simmers, holding ENIAC board; Vergrösserung, Auflicht. Schallplatte, mit Nadel als Gail Taylor, holding EDVAC board; Lesekopf, Milly Beck, holding ORDVAC board; Elektronenmikroskopische and Norma Stec, holding BRLESC-I Aufnahme board. Alan This Turing 87C51 Mikrocontroller mit EPROM was the first fully-automatic calculating machine. British computing pioneer Charles Babbage (1791-1871) first conceived the idea of an advanced calculating machine to calculate and print mathematical tables in 1812. This machine, conceived by Babbage in 1834, was designed to evaluate any mathematical formula and to have even higher powers of analysis than his original Difference engine of the 1820s. Only part of the machine was completed before his death in 1871. This is a portion of the mill with a printing mechanism. Babbage was also a reformer, mathematician, philosopher, inventor and political economist. Seite The aus „Explication de l’Arithmétique Jacquard Loom. Rights: This image 11 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Binaire“, 1703 Gottfried Wilhelm is in the public domain. From: The Leibniz Popular Science Monthly (New York: Popular Science Pub. Co., etc., 1891), http://archive.org/ details/popularsciencemo39newy. 12 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 2 Mensch-Computer-Interaktion 2.1 – Mensch – Maschine Interaktion „A display connected to a digital computer gives us a chance to gain familiarity with con- cepts not realizable in the physical world. It is a looking glass into a mathematical won- derland.“Sutherland, Ivan E. (1965). „The Ultimate Display“. Proceedings of IFIP Congress. pp. 506–508. Mensch-Computer-Interaktion (häufig als HCI abgekürzt, englisch Human–computer interaction) erforscht das Design und die Verwendung von Computer-Technologie an der Schnittstelle zwischen Menschen (Anwendern) und Computern. Forscher auf dem Gebiet der HCI beschäftigen sich mit der Art und Weise, wie Menschen mit Computern und Design-Technologien interagieren. Dabei werden neben Erkenntnissen der Informa- tik auch solche aus der Psychologie (vor allem der Medienpsychologie), der Arbeitswis- senschaft, der Kognitionswissenschaft, der Ergonomie, der Soziologie und dem Design herangezogen. (Quelle) Benutzende interagieren direkt mit Hardware für die menschliche Eingabe und Ausgabe, wie z. B. Anzeigen, über eine grafische Benutzeroberfläche. Benutzende interagieren mit dem Com- puter über diese Softwareschnittstelle unter Verwendung der gegebenen Eingabe- und Aus- gabe (E/A, oder eng. I/O=input/output)-Hardware. Software und Hardware sind so aufeinander abgestimmt, dass die Verarbeitung der Benutzereingaben schnell genug ist und die Latenz (Verzögerung) der Computerausgabe den Arbeitsablauf nicht stört. Abbildung 2.1 – Mensch, Hardware und Software Schnittstelle 13 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 2.2 – Mixed Reality Unter Mixed reality, Vermischte Realität oder Gemischte Realität werden Umgebungen oder Systeme zusammengefasst, die die natürliche Wahrnehmung eines Nutzers mit einer künstlichen (computererzeugten) Wahrnehmung vermischen. Neben der hauptsächlich computererzeugten virtuellen Realität sind dies insbesondere Systeme der erweiterten Realität und der erweiterten Virtualität. (Quelle) Mixed reality umfasst das gesamte „Realitäts-Virtualitäts-Kontinuum“ mit Ausnahme von nur Realität und nur Virtualität: Zwischen den beiden Extremen nur Realität und nur Virtualität gibt es stufenlos Zwischenstadien, die beide vermischen. Insbesondere sind damit Erweiterte Rea- lität und Erweiterte Virtualität spezielle Ausprägungen des Prinzips mixed reality. Am besten veranschaulicht man sich diese abstrakten Begriffe an konkreten Beispielen: Reine Realität ist ein Mensch, der zum Einkaufen in den Supermarkt geht. Erweiterte Realität sind z. B. Brillengläser, auf deren Innenseite ein Computer den Einkaufszettel der Benutzenden projiziert; beispielsweise so, dass bei Benutzenden der Eindruck entsteht, der Einkaufszettel sei an die Wand des Supermarktes angeschrieben. Die Wirklichkeit wird hier um virtuelle Informationen angereichert. Erweiterte Virtualität bezieht sich auf Anwendungen, welche über eine VR-Brille/ ein HMD erlebt werden und die z. B. den Ton einer Türsprechanlage auf die Kopfhörer überträgt, wenn es an der Tür klingelt. Die Virtualität wird hier um reale Informationen angereichert. Virtuelle Realität (VR) bezieht sich auf Anwendungen, welche über eine VR-Brille/ein HMD erlebt werden und rein virtuell existieren. (Quelle) VR, “the first redefinition of perspective since the Renaissance.” (Margaret Dolinsky) Abbildung 2.2 – Pioneer Dr. Jacquelyn Ford Morie in early VR technology (source) 2.3 – Internet of Things Das Internet der Dinge (IdD) (auch: „Allesnetz“; englisch Internet of Things, Kurzform: IoT) ist ein Sammelbegriff für Technologien einer globalen Infrastruktur der Informationsgesellschaften, die es ermöglicht, physische und virtuelle Objekte miteinander zu vernetzen und sie durch Informations- und Kommunikationstechniken zusammenarbeiten zu lassen. (Quelle) 14 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Mit Technologien des „Internets der Dinge“ implementierte Funktionen erlauben die Interaktion zwischen Mensch und hierüber vernetzten beliebigen elektronischen Systemen sowie zwischen den Systemen an sich. Sie können darüber hinaus auch den Menschen bei seinen Tätigkeiten unterstützen. Die immer kleineren eingebetteten Computer sollen Menschen unterstützen, ohne abzulenken oder überhaupt aufzufallen. So werden z. B. miniaturisierte Computer, soge- nannte Wearables, mit unterschiedlichen Sensoren direkt in Kleidungsstücke eingearbeitet. (Quelle) Abbildung 2.3 – Internet of Things Analytics Abbildung 2.4 – A technology roadmap of the Internet of Things. SRI Consulting Business Intelligence/Natio- nal Intelligence Council – Apendix F of Disruptive Technologies Global Trends 2025 page 1 Figure 15 (Back- ground: The Internet of Things) 15 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 2.4 – Bildtafeln VR William English, Prototyp der Digitaler Stift, Apple Pencil (Virtual Reality) Brille, Oculus quest ersten Computer Maus, 1964 2 AR (Augmented Reality) – Brille, Hololens 2 16 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 3 Computer Aided Design 3.1 – Technisches Zeichnen Die Anfänge des architektonischen, technischen Zeichnens wurden im bzw. vor dem Mittel- alter gelegt, wie z. B. der St. Galler Klosterplan oder die Zeichnungen von Villard de Honne- court beweisen. Weitere Belege für die Entwicklung des technischen Zeichnens finden sich in frühen Patentschriften aus dem 19. Jahrhundert. Die Disziplin des technischen Zeichnens hat sich also über Jahrhunderte hinweg evolutionär zu einer modernen Technik entwickelt. Beim klassischen technischen Zeichnen am Zeichenbrett kommen früher wie heute verschie- dene Zeichenwerkzeuge, wie Reißzeug, Zirkelbesteck und Kurvenlineal zum Einsatz. Bis um 1910 (für manche Anwendungen noch bis etwa 1965) wurde fast ausschließlich mit Blei- stift und Tusche auf Transparentpapier gezeichnet. Dieses spannte man auf ein Reißbrett (Zei- chenbrett) oder das Schräge Brett einer Zeichenmaschine. (Quelle) Blaupause Die Blaupause (engl. Blueprint) ist die Lichtpause von einer durchsichtigen Vorlage, einer grafischen Darstellung, meist einer technischen Zeichnung, die weiße Linien auf einem bläulichen Papier ergibt. Bei dem Verfahren handelt es sich um das Lichtpaus- verfahren, das auf John Herschel 1842 zurückgeht. Eine Blaupause ist die Kopie/Verviel- fältigung (Lichtpause) einer auf Transparentpapier mit schwarzer Tusche angefertigten technischen Zeichnung. Im übertragendem Sinne steht Blaupause auch für Schablo- ne, Muster, Entwurf oder Template. 3.2 – Entwicklung von CAD Der Begriff „Computer-Aided Design“ entstand Ende der 1950er-Jahre im Zuge der Entwicklung des Programmiersystems APT, welches der rechnerunterstützten Programmierung von NC- Maschinen (NC = Numerical Control bzw. Numerischer Steuerung, siehe Digitale Ausgabe) diente. (Quelle) CAD (von engl. computer-aided design, zu Deutsch rechnerunterstütztes Konstruie- ren) bezeichnet die Unterstützung von konstruktiven Aufgaben mittels elektronischer Datenverarbeitung (EDV) zur Herstellung eines Produkts (z.B. Auto, Flugzeug, Bauwerk, Klei- dung). In einem engeren Sinn versteht man unter CAD das rechnerunterstützte Erzeugen und Ändern des geometrischen Modells. In einem weiteren Sinn versteht man darunter sämtliche rechnerunterstützten Tätigkeiten in einem Konstruktionsprozess, einschließlich der geometri- schen Modellierung, des Berechnens, des Simulierens und sonstiger Informationsgewinnung und Informationsbereitstellung, von der Konzeptentwicklung bis zur Übergabe an die Herstel- lung bzw. Fertigung (Arbeitsvorbereitung). (Quelle) Patrick J. Hanratty („der Vater von CAD/CAM“) entwickelte 1957 PRONTO (Programme for Numerical Tooling Operations), eine frühe kommerzielle Sprache zur Programmierung numeri- scher Maschinen-Kontrolle. Am MIT zeigte Ivan Sutherland 1963 mit seiner Sketchpad-Entwick- lung, dass es möglich ist, an einem computergesteuerten Radarschirm interaktiv (Lichtstift, Tastatur) einfache Skizzen (englisch Sketch) zu erstellen und zu verändern, ein Durchbruch in Bezug auf die grafische Benutzerinteraktion (GUI). 1965 wurden bei Lockheed (Flugzeugbau, USA) die ersten Anläufe für ein kommerzielles CAD-System zur Erstellung technischer Zeichnungen (2D) gestartet. Dieses Sys- tem, CADAM (Computer-augmented Design and Manufacturing), basierend auf IBM–Großrech- nern und speziellen Bildschirmen, und mit hohen Kosten verbunden, wurde später von IBM vermarktet und war, zumindest im Flugzeugbau, Marktführer bis in die 1980er-Jahre. Der französische Flugzeughersteller Avions Marcel Dassault (heute Dassault Aviation) entwickelte 17 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. ein Grafikprogramm zur Erstellung von Zeichnungen, woraus das Programm CATIA entstand. Die Mirage war das erste Flugzeug, das damit entwickelt wurde. Damals benötigte ein solches Programm noch die Leistung eines Großrechners. Nachdem in der zweiten Hälfte der 1980er-Jahre die ersten Personal Computer (PC) in den Unternehmen eingeführt wurden, kamen auch CAD-Programme dafür auf den Markt. In die- ser Zeit gab es eine Vielzahl von Computerherstellern und Betriebssystemen. AutoCAD war eines der ersten und erfolgreichsten CAD-Systeme, das auf unterschiedlichen Betriebssyste- men arbeitete. Um den Datenaustausch zwischen diesen Systemen zu ermöglichen, definier- te AutoDesk für sein CAD-System AutoCAD das DXF-Dateiformat als „neutrale“ Export- und Importschnittstelle. 1982 erschien AutoCAD für das Betriebssystem DOS. Das Vorgehen bei der Konstruktion blieb jedoch beinahe gleich wie zuvor mit dem Zeichenbrett. Faktoren für den frühen Erfolg und die bis heute weite Verbreitung von AutoCAD (und ande- ren Autodesk Produkten) waren erstens dass es im Vergleich zu Mitbewerbern um den Faktor 10 billiger war, es zweitens relativ einfach illegal zu kopieren war, und dass dadurch drittens auf dem Arbeitsmarkt viel mehr Personen mit AutoCAD-Erfahrung als Experten in jeder ande- ren Software verfügbar waren. Der Vorteil von 2D-CAD waren sehr saubere Zeichnungen, die einfach wieder geändert wer- den konnten. Auch war es schneller möglich, verschiedene Versionen eines Bauteils zu zeich- nen. In den 1980er-Jahren begann wegen der sinkenden Arbeitsplatzkosten und der besser wer- denden Software ein CAD-Boom. In der Industrie wurde die Hoffnung gehegt, mit einem System alle anstehenden Zeichnungs- und Konstruktionsaufgaben lösen zu können. Dieser Ansatz ist aber gescheitert. Heute wird für jede spezielle Planungsaufgabe ein spezielles System mit sehr leistungsfähigen Spezialfunktionen benutzt. Der Schritt zur dritten Dimension wurde durch die immer höhere Leistungsfähigkeit der Hardware dann gegen Ende der 1980er-Jahre auch für kleinere Unternehmen erschwinglich. So konnten nun virtuelle Körper von allen Seiten begut- achtet werden. Ebenso wurde es möglich, Belastungen zu simulieren und Fertigungsprogram- me für computergesteuerte Werkzeugmaschinen (CNC) abzuleiten. (Quelle) Ideen für semantische Objekte (Teile die Information über Art des Bauteils, e.g. Boden, Wand, Fenster, Stütze haben) und über eine Datenbankverknüpfung automatisch Mengen und Kosten ausgeben könnten, hatten Software-Entwickler schon in den frühen 80er-Jahren. Die Welt der Architekten schien damals aber nicht bereit dafür zu sein. Seit Anfang der 2000er-Jahre gibt es erste Ansätze, die bis dahin immer noch zwingend not- wendige Zeichnung verschwinden zu lassen. In die immer öfter vorhandenen 3D-Modelle wer- den von der Bemaßung über Farbe und Werkstoff alle notwendigen Angaben für die Fertigung eingebracht. Wird das 3D-Modell um diese zusätzlichen, geometriefremden Eigenschaften erweitert, wird es zum Produktmodell, unterstützt beispielsweise durch das STEP-Datenformat. Die einzelnen einheitlichen Volumenobjekte werden zu Instanzen unterschiedlicher Klassen. Dadurch können Konstruktionsregeln und Verweise zwischen einzelnen Objekten (zum Beispiel: Fenster wird in Wand verankert) realisiert werden. (Quelle) 18 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Meilensteine 1957 PRONTO (Programme for Numerical Tooling Operations) war das erste kommerzi- elle, numerisch-gesteuerte Programmiersystem. Es legte den Grundstein für das gesamte CAD. Schätzungen sagen, dass 70% der heute verfügbaren CAD/CAM Systeme auf dem ursprünglichen Code von Hanratty basieren. 1959 CAD – der Begriff wurde von Douglas T. Ross 1959 geprägt; als MIT Forscher ent- wickelte er CAD zur Erstellung von Stromkreis-Diagrammen. 1963 Sketchpad war eines der ersten Designsysteme, das, mit Lichtstift und CRT Bild- schirm, eine grafische Benutzeroberfläche verwendete. Es war dadurch revolutionär im Bereich der Benutzer-Interaktion. 1967 DIGIGRAPHICS war eines der ersten kommerziellen CAD-Systeme mit grafi- schen Schnittstellen, das zu einem Preis von $500.000 auf den Markt kam. 1971 ADAM (Automated Drafting and Machining) ein von Patrick Hanratty so entwi- ckeltes interaktives Grafikdesign-, Entwurfs- und Fertigungssystem, dass es zur damaligen Zeit auf fast allen Grossrechnern funktionierte. 1975 NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines): während seiner Arbeit bei Compu- tervision, führte Dr. Ken Versprille NURBS in CAD ein. NURBS halfen Oberflächen zu defi- nieren und sind auch heute noch weit in der Ingenieurswelt verbreitet. 1977 Glide von Charles Eastman hatte viele der gleichen Funktionen wie das moderne BIM 1979 INTERACT: Mike Riddle, damals angestellt bei Computervision, entwickelt und veröffentlicht in seiner Freizeit Interact, das erste CAD-System das auf mainstream micro- computer Hardware lief. Mike Riddle ist einer der Mitbegründer von Autodesk und Interact war die Vorgängerversion was später zu AutoCAD wurde. Die meisten der originalen Inter- act-Befehle funktionieren immer noch in AutoCAD! 1982 AUTODESK AUTOCAD war die erste 2D CAD Software für PCs, um präzise 2D- und 3D-Zeichnungne zu erstellen. Von diesem Zeitpunkt an wurde CAD mehr erschwinglich. 1994 STEP (Standard for the Exchange of Product model data) wurde von der Interna- tionale Organisation für Standardisierung als das neue 3D-CAD-Dateisystem entwickelt und ist bis heute das am meisten genutzte Format. 2002 Catia Digital Project: Digital Project, Catia, Gehry Guggenheim Bilbao 1997 1997 Alibre arbeitete eng mit Microsoft zusammen, um 1998 die erste web-basierte kollaborative 3D-Designsoftware zu entwickeln. 19 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 3.3 – Anatonomie einer CAD Software Abbildung 3.1 – Komponenten einer CAD Software 3.3.1 – Direkte Modellierung Bei der direkten Modellierung (explicit modeling) werden die geometrischen Elemente direkt über bestimmte Funktionen (Skalieren, Verschieben, Dehnen etc.) verändert. Die geometri- schen Elemente enthalten nur feste Werte (und keine Variablen), welche erst durch das Anwen- den von Funktionen geändert werden können. Hierbei wählt man das geometrische Element und die entsprechende Funktion, welche die gewünschte Änderung hervorrufen soll, aus und verändert das Objekt entweder interaktiv mit der Maus oder über Koordinateneingabe mittels Tastatur. Verändert werden dabei nur die gewählten geometrischen Elemente. Es bestehen (im Unterschied zum parametrischen Modellieren) keinerlei dauerhaften Abhängigkeiten zwischen den geometrischen Elementen, wodurch ein sehr intuitives und freies Ändern der Geometrie möglich ist. (Quelle) 3.3.2 – Parametrische Modellierung Unter parametrischer Modellierung versteht man das Steuern des Modells mittels Parametern. Das heißt, dass – anders als bei der direkten Modellierung – das Modell nicht direkt über seine Geometrie, sondern über seine Parameter angesprochen wird, welche das Modell jederzeit ändern können. Die Arten der Parameter unterscheiden sich je nach Anwendung grob in Geo- metrieparameter (zum Beispiel geometrische Maße, Positionen), physikalische Parameter (Bei- spielsweise Werkstoffe, Lasten), Topologieparameter und Prozessparameter. Dadurch dass diese Parameter systemintern gespeichert werden, lassen sich Beziehungen und Abhän- gigkeiten zwischen ihnen herstellen. Dies wird über Restriktion bzw. Zwangsbedingun- gen (Constraints) umgesetzt. (Quelle) 3.3.3 – Chronologie-basierte Modellierung Hier kommen Datenstrukturen zur Anwendung, die den Erzeugungsverlauf des Modells auf- zeichnen. Für Benutzende wird dies in einem Chronologiebaum (History tree) dargestellt, der während der Modellierung laufend aktualisiert wird und in dem die einzelnen Modellierschritte und der Aufbau des Modells eingesehen und bei Bedarf in jeder Phase des Konstruktionspro- zesses verändert werden können. (Quelle) 3.4 – Rhino als Beispiel Rhino kann NURBS-Kurven, -Flächen und -Volumenkörper, SubD-Geometrie, Punktwolken und Polygonnetze erzeugen, bearbeiten, analysieren, dokumentieren, rendern, animieren und über- setzen. CAD Software erlaubt es Modelle zu: erstellen aufnehmen/scannen editieren 20 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. visualisieren dokumentieren in Form von Fertigungs-/Herstellungsunterlagen analysieren Fabrikationsdaten erstellen Rhino erlaubt grundsätzlich direkte Modellierung. Durch Grasshopper lassen sich aber Strate- gien des parametrischen und chronologie-basierten Modellierens verwenden. 3.4.1 – Modellierungs-Werkzeuge Rhino verfügt über Modellierungswerkzeuge, die das Erstellen von Punkten, Kurven, Flächen, Volumenkörpern und Polygonnetzen erlauben. 3.4.2 – Editieren Diese Geometrien lassen sich mit unter anderem mit allgemeinen Werkzeugen, Transformie- rung und Kontrollpunkten bearbeiten. 3.4.3 – Interface Das Interface bietet eine differenzierte Benutzeroberfläche, mit Konstruktionshilfen. Die Modelle können auf unterschiedlichster Art und in verschiedenen Perspektiven in Echtzeit angezeigt werden, bzw. realistisch gerendert werden. 21 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 3.4.4 – Entwurf / Pläne Für das Erstellen von Plänen gibt es verschiedene technische Illustrations und Bemassungs- werkzeuge. 3.4.5 – Digitale Herstellung Das Rhino-Entwicklungsprojekt begann vor ungefähr 20 Jahren, um Schiffsdesigner mit Werk- zeugen für die Erzeugung von Computermodellen auszustatten, die dazu verwendet werden konnten, die digital gesteuerten Fertigungsgeräte in den Schiffswerften zu steuern. Bei rascher Kostensenkung der digitalen Fertigung und 3D-Drucktechnologie haben immer mehr Designer direkten Zugriff auf digitale 3D-Fertigungsgeräte, für die Rhino die Fertigungsdaten exportieren kann. 3.4.6 – Erfassung Die Erfassung von 3D-Daten ist in einem Designprojekt oft einer der ersten Schritte. Rhino unterstützt 3D-Digitalisierungs-Hardware wie auch gescannte 3D-Punktewolkendaten. 3.4.7 – Untersuchung und Analyse Die Verwirklichung eines Projekts erfordert hochwertige 3D-Modelle in jeder Phase des Designs, der Präsentation, der Analyse und der Fertigung. 3.4.8 – Export 22 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Um die 3D-Modelle oder die 2D-Zeichnungen in anderen Programmen zu öffnen oder weiter- zubearbeiten, erlaubt es Rhino, die Projekte in einer Vielzahl an Datenformaten exportieren zu können. 3.4.9 – API Eine Programmierschnittstelle, häufig nur kurz API genannt, ist ein Programmteil, der von einem Softwaresystem anderen Programmen zur Anbindung an das System zur Verfügung gestellt wird. 3.5 – Grasshopper als Beispiel für Visuelle Programmierung Grasshopper ist ein Plug-in (entwickelt von David Rutten, 2007 als „Explicit History“ erschie- nen), das in Rhino enthalten ist. Dabei handelt es sich um ein Werkzeug für die algorithmische Modellierung, das speziell für die Gestaltung und Bearbeitung komplexer Formen durch bestimmte Parameter verwendet wird. Da sich Formen aus Daten erstellen lassen, ist einer der Hauptvorteile von Grasshopper die Möglichkeit, die Geometrie fast unendlich zu verändern, indem man ganz einfach die Parameterwerte ändert. Außerdem können Änderungen vorge- nommen werden, ohne den Entwurf abbrechen oder neu starten zu müssen. Als Visuelle Programmiersprache (englisch visual programming language, VPL, auch grafische Programmiersprache) bezeichnet man eine Programmiersprache, in der ein Pro- gramm, Algorithmus oder Systemverhalten durch grafische Elemente und deren Anordnung definiert wird. In der Computertechnik ist eine visuelle Programmiersprache jede Programmier- sprache, mit der Benutzende Programme erstellen können, indem sie Programmelemente gra- fisch manipulieren, anstatt sie textuell anzugeben. Beispielsweise basieren viele VPLs (bekannt als Datenfluss- oder Diagrammprogrammierung) auf der Idee von „Komponenten und Kabeln“, wobei Komponenten als Einheiten behandelt werden, die durch Kabel (eng: wires) verbunden sind, welche Relationen und Datenfluss darstellen. (Quelle) 23 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 3.6 – Bildtafeln Hotel Waldhaus Gasterntal: Blaupause Patentzeichnung von Elisha Graves Zeicheninstrumente 1902 Otis Architekt beim technischen Zeichnen (Holzschnitt, 1893) Ivan Vera Sutherland demonstratriert Molnar: Algorithmische Manfred Mohr „Genauigkeit wird Sketchpad Zeichnungen, von 1959 an (u.a. ein zum Gestaltungsmittel.“ Prozent Unordnung) Digital Project ist eine CAD- Anwendung, die auf CATIA V5 basiert und von Gehry Technologies entwickelt wurde 24 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Foster & Partners Headquarters Riverside Apartments and Studio 25 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. II Digitale Geometrie 26 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 4 Darstellende Geometrie Geometrie steckt im Kern des architektonischen Entwurfsprozesses. Sie ist omnipräsent, von den ersten Schritten der Formfindung bis zur eigentlichen Konstruktion. Moderne Konstrukti- onsgeometrie bietet eine Reihe von Werkzeugen für effizientes Entwerfen, Analyse und die Her- stellung komplexer Formen. Das führt zu neuen Herausforderungen, sowohl in der Architektur als auch in der Geometrie. Architekturgeometrie ist daher als integrative Forschungsaufgabe zu sehen, die an der Grenze zwischen angewandter Geometrie und Architektur angesiedelt ist. Geometry has an ambiguous reputation, associated as much with idiocy as with cleverness. At best there is something desperately uncommunicative about it, something more than a little removed from the rest of experience to set against its giant claim of truth. Flaubert, in The Dictionary of Accepted Ideas, defines a geometrician as „travelling on strange seas of thought-alone.“ And when Joseph Conrad wished to characterize the futile effort of concentration made by the earnest but mentally retarded youth Stevie in The Secret Agent, he would describe him as „seated very good and quiet at a deal table, drawing circles, circles, circles; innumerable circles, concentric, eccentric, a coruscating whirl of circles that by their tangled multitude of repeated curves, uniformity of form, and confusion of intersecting lines suggested a rendering of cosmic chaos, the symbolism of a mad art attempting the inconceivable.“ – Robin Evans, The projective cast 4.1 – Entwicklung der Darstellende Geometrie Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Bei der systematischen Errichtung von Bauwerken spielen Pläne mit konkreten Vorgaben eine wichtige Rolle. Schon im Altertum wurden Grund- und Aufrisse verwendet. Der älteste schrift- liche Beleg dafür ist das Werk Zehn Bücher über Architektur des römischen Baumeisters Vitru- vius. Aber erst Albrecht Dürer (1471–1528) schrieb in der Frühen Neuzeit das erste wirkliche Lehrbuch der Darstellenden Geometrie: Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt (Nürnberg 1525). Gaspard Monge (1746–1818) führte in seinem Buch Geometrie descriptive zum ersten Mal die strenge Zuordnung von Grund- und Aufriss ein, um räumliche Probleme zeichnerisch zu lösen. Die Grundaufgaben der Darstellenden Geometrie sind dort schon in der noch heute gebräuchlichen Fassung zu finden. (Quelle) 27 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 4.1.1 – Die Trennung von Planung und Ausführung Alberti Auffallend an der Architekturtheorie Albertis ist vor allem ihre erstaunliche Modernität. Es geht um die neue Rolle des Architekten als reiner Planer mit eigenem, nicht mehr handwerklich geprägtem Ausbildungsgang. (Quelle) Der Architekt, den sich Alberti vor- stellte, sollte sich in der Malerei und in der Mathematik auskennen. Dies hatte zwar schon Vitruv gefordert, aber Alberti bezog sich hier auf das Kernstück seiner Abhandlung über die Malerei, nämlich auf die Zentralperspektive, die für den Architekten genauso wichtig sei wie für den Maler, da er mit ihrer Hilfe die Wirkung des Gebäudes abschätzen und berechnen könne. Allerdings handelt es sich bei dem von Alberti anvisierten Architekten um eine andere species als sie aus der baumeisterlichen Praxis des Mittelalters bekannt war. Albertis Architekt ist kein Praktiker, sondern ein Entwerfer, der sich als Gelehrter versteht. Seine Bemerkungen über seine eigene Stellung dokumentieren, dass er im architectus eine intellektuelle Autorität sah, der für die Ausführung ein Baumeister (faber) zur Seite stand, ähnlich wie man dies in Andrea Pisanos Reliefs am Campanile des Florentiner Doms sehen kann, in denen der Architekt in vornehmer Kleidung in seinem Arbeitszimmer (studiolo) sitzt, während der Baumeister die Vorgänge auf der Baustelle unter Kontrolle hält. Diesem Muster war das Verhältnis zwischen Architekt und Baumeister verpflichtet, das Albertis eigene Bauvorhaben kennzeichnet. (Quelle) In den frühesten Zeichnungen wurde die anschauliche perspektivische (dreidimensionale) Dar- stellung – anfänglich in primitiver und ab der Renaissance in korrekter Weise – benutzt. Weil sie relativ hohe Anforderungen an die Begabung der Zeichner stellt, ging man bei Beginn der Industrialisierung (18. Jahrhundert) auf zweidimensionale Abbildungen der Objekte in rechtwinkliger Parallelprojektion (Orthogonalprojektion) über. Die Kanten und Symme- trie-Linien der meisten technischen Gegenstände sind untereinander rechtwinklig angeordnet. Man kann ihnen ein rechtwinkliges Koordinatensystem überlagern und von ihnen Ansichten (Vorder-/Rückansicht, Seitenansicht von rechts/links und Drauf-/Untersicht) in je einer Richtung der Koordinatenachsen erzeugen. Die in den drei Koordinatenebenen liegenden Flächen wer- den unverzerrt abgebildet. Bei der angewendeten Parallelprojektion ist der Abbildungsmaßstab unabhängig davon, welchen Abstand eine Objektebene vom Betrachter hat; alle Längen sind maßstabgleich dargestellt. Nachteilig ist, dass sich der Betrachter die Geometrie des Körpers aus mehreren Ansichten (und gegebenenfalls Schnitten bei Körpern mit Hohlräumen) vorstel- len muss (setzt räumliches Vorstellungsvermögen voraus).(Quelle) 4.2 – Projektionen Vor der Einführung von Computergrafik (engl. Computer-graphics) war Wissen um Projektions- techniken nötig. Heute wird das von Computern in Echtzeit durchgeführt. Um die digitalen Techniken möglichst gut zur Visualisierung nutzen zu können, ist dennoch ein grundlegendes Verständnis nötig. (Helmut Pottmann, Architectural Geometry). In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren. Dabei werden Punkte und Kur- ven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) projiziert: 4.2.1 – Parallelprojektion Die Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z. B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden Fälle: Die Strahlen stehen senkrecht auf der Bildtafel (senkrechte Parallelprojektion oder Orthogonalprojektion oder Normalprojektion). Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel (schiefe oder schräge Parallelprojektion). 28 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Parallelprojektionen werden wegen ihrer Teilverhältnistreue (Teilverhältnisse auf Geraden blei- ben invariant) gerne von Ingenieuren verwendet. Der Spezialfall Vogelperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion, die insbesondere zur Veranschaulichung von Stadtplänen verwendet wird. Sie lässt sich relativ einfach von Hand herstellen. Parallelprojektionen lassen sich schnell als axonometrische Bilder oder bei umfangreicheren Objekten mit Hilfe des Einschneideverfah- rens herstellen. Für fast alle Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie verwendet man Grund- und Aufriss eines Objektes. Das sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizon- tale (Grundriss) bzw. senkrechte Ebene (Aufriss) (s. Zweitafelprojektion). Durch sie ist (mit den entsprechenden Bezeichnungen) ein Objekt räumlich eindeutig beschrieben. (Quelle) Abbildung 4.2 – Parallelprojektion 29 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 4.2.2 – Zentralprojektion Die Grundlagen der Zentralprojektion waren schon den Griechen und Römern bekannt. Aber erst in der Renaissance wurde diese Art der Darstellung räumlicher Gegebenheiten durch die Malerei wiederentdeckt und zur Blüte weiterentwickelt. Siehe hierzu De pictura von Leon Bat- tista Alberti (1404). Die Meister dieser Zeit waren Albrecht Dürer (1471–1528), Leonardo da Vinci (1452–1519) und Michelangelo (1475–1564). Alle Abbildungsstrahlen gehen durch einen Punkt, dem Projektionszentrum oder Augpunkt. Bei Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden i. A. wieder parallel. Bei Zentralprojektionen schneiden sich die Bilder paralleler Gera- den i. A. in einem Punkt, dem Fluchtpunkt des Parallelbüschels. (Quelle) An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-9 Abbildung 4.3 – Zentralprojektion One or more interactive elements has been excluded from this version of the text. You can view them online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#oem- bed-1 4.3 – Koordinatensysteme Abbildung 4.4 – 1-Dimensionales Koordinatensystem 30 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 4.5 – 2-Dimensionales Koordinatensystem Abbildung 4.6 – 3-Dimensionales kartesisches Koordinaten- system Eines der bekanntesten Beispiele für ein Koordinatensystem ist das kartesische Koordinaten- system. In der Ebene werden zwei Senkrechte gewählt und die Koordinaten eines Punktes als die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Geraden aufgefasst. In drei Dimensionen wählt man drei zueinander orthogonale Ebenen und die drei Koordinaten eines Punktes sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu jeder der Ebenen. Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat. Je nach Anordnung der Koordinatenachsen kann das dreidimensionale Koordinatensystem ein Rechts- oder ein Links- system sein. 31 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 4.7 – In Rhinos rechtshändig ausgelegtem Sys- tem wird die Richtung von a × b durch die Dreifingerregel bestimmt (a = Zeigefinger, b = Mittelfinger und a × b = Daumen). Abbildung 4.8 – Lokales Koordinatensystem Abbildung 4.9 – Koordinatensysteme eines Roboters 4.3.0.1 – Kartesisches Koordinatensystem An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-1 32 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 4.3.0.2 – Polares Koordinatensystem An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-2 4.4 – Vektoren Ein Vektor im n-dimensionalen Raum ist ein geordneter Satz von n reellen Zahlen. In der Ebene ist n=2, im Raum ist n=3 usw. Ein Vektor hat dadurch eine Richtung und eine Länge. Man kann dadurch z.B. physikalische Grössen darstellen, wie etwa die Fahrtrichtung und Geschwindigkeit eines Fahrrades, oder die beschleunigende Kraft der Erdanziehung auf einen fallenden Apfel. 4.4.1 – Vektoren im Vergleich zu Punkten Vektoren und Punkte sollten nicht verwechselt werden. Es handelt sich dabei um sehr ver- schiedene Konzepte. Wie bereits erwä hnt, stellen Vektoren eine Entität mit einer Richtung und Lä nge dar, wä hrend Punkte einen Standort anzeigen. Norden als Richtung ist zum Beispiel ein Vektor, wä hrend der Nordpol ein Standort (Punkt) ist. Angenommen, wir haben einen Vektor und einen Punkt mit den gleichen Komponenten, etwa: v = P = (3,1,0) Man sagt hier, v sei der „Ortsvektor“ von P, also in welche Richtung und wie weit muss etwas sich vom Ursprung (0,0,0) weg bewegen, um den Standort P zu erreichen. Dann kö nnen wir Vektor und Punkt folgendermaßen zeichnen: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Lä nge einer Einheit entspricht. Eine Mö glichkeit zum Definieren einer Ebene besteht, einen in der Ebene liegenden Punkt und einen Vektor, der sich rechtwinklig zur Ebene befindet, festzulegen. Dieser Vektor wird ü bli- cherweise als der Normalenvektor zu dieser Ebene bezeichnet. 4.5 – Transformationen Transformationen bezieht sich auf Operationen wie das Verschieben (auch Versetzen genannt), Drehen und Skalieren von Objekten. Befehle zur Transformation eines Objekts bezüglich Größe, Form, Position oder Ausrichtung. Die meisten Transformationen behalten die Parallelbeziehung der Geometrieteile zueinander bei. Kollineare Punkte, welche auf einer Gerade liegen, bleiben zum Beispiel auch nach der Transformation kollinear. Auch Punkte auf einer Ebene bleiben nach der Transformation koplanar. Diese Art von Transformation wird auch affine Transformati- on genannt. 33 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 4.11 – verschiedene affine Transformationen 4.6 – Constructive Solid Geometry Constructive Solid Geometry (CSG) oder konstruktive Festkörpergeometrie ist eine Technik zum Modellieren von Körpern, die u. a. in der 3D-Computergrafik und bei CAD-Pro- grammen genutzt wird. Constructive Solid Geometry ermöglicht einem Designer einen kom- plex geformten Körper zu erzeugen, indem er mittels boolesche Operatoren verschiedene Grundkörper zu einem neuen Körper kombiniert. Mit CSG lassen sich durch geschickte Verknüp- fung mittels Kombinationsoperationen (Union, Subtraction, Intersection) aus einfachen Grund- körpern beliebig detaillierte Objekte erstellen. (Quelle) An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-4 In der Mathematik ist eine boolesche Algebra eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der men- gentheoretischen Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert. Die boolesche Algebra ist die Grundlage bei der Entwicklung von digitaler Elektronik und wird dort als Schaltalgebra, etwa bei der Erstellung von Schaltnetzen durch logische Schaltungen, angewandt. Sie wird in allen modernen Programmiersprachen zur Verfügung gestellt. Die Operatoren der logischen Verknüpfung werden Boolesche Operatoren genannt. Mit Hilfe der logischen Verknüpfungen lassen sich aus einfacheren Aussagen kompliziertere Aussagen zusammensetzen. Praktische Anwendung finden die logischen Verknüpfungen unter anderem als Suchoperatoren bei Datenbanken, Anfragen an Suchmaschinen, aber auch in der Construc- tive Solid Geometry. (Quelle) Die Basisobjekte, aus denen CSG-Körper hervorgehen, nennt man Primitive (vgl. Grafisches Primitiv). Typischerweise handelt es sich dabei um Körper, deren Oberfläche mittels einer relativ einfachen mathematischen Formel beschrieben werden kann, wie z. B. Würfel, Zylin- der, Prismen, Pyramiden, Kugeln oder Ringe. Die Menge der möglichen Primitive wird gewöhn- lich von der verwendeten Software begrenzt. Einige Software-Pakete erlauben CSG auf gekrümmten Objekten (prozedurale oder parametrische Oberflächen), während andere nur auf polygonalen Meshes (Dreiecksnetze) arbeiten. Der prozedurale oder parametrische Ansatz erlaubt eine mathematisch exakte Berechnung und Repräsentation der Körper, während Mes- hes immer nur eine mehr oder weniger ungenaue Annäherung an die Wirklichkeit sind. (Quelle) An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-5 Ein komplexer Körper wird von Primitiven erzeugt, die durch Operationen verknüpft sind. Gewöhnlich handelt es sich dabei um boolesche Operationen auf Mengen: Vereinigung (Union, ), Differenz (Difference, ) und Schnitt (Intersection, ). Folgende Abbildung zeigt die Wir- kung der Operatoren exemplarisch an der Verknüpfung von Würfel mit Kugel: 34 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 4.15 – CSG-Objekte können durch Binärbäume dargestellt werden, wobei Blätter Primitive darstellen und Knoten Operationen darstellen. In dieser Abbildung sind Knoten für Schnittmenge, für Vereinigung und für Unter- schied aufgeführt. 4.7 – Platonische Körper Die Platonischen Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon) sind die Polyeder mit größtmöglicher Symmetrie. Jeder von ihnen wird von mehreren deckungsgleichen (kongru- enten) ebenen regelmäßigen Vielecken begrenzt. Eine andere Bezeichnung ist reguläre Kör- per (von lat. corpora regularia). Es gibt fünf platonische Körper. Ihre Namen enthalten die griechisch ausgedrückte Zahl ihrer begrenzenden Flächen und eder als Abwandlung des grie- chischen Wortes ἕδρα (hedra) (s. auch Polyeder), deutsch (Sitz-)Fläche. Vollkommen regelmä- ßige Körper. Ihre Oberflächen bestehen aus gleich großen, gleichseitigen und gleichwinkligen Vielecken. (Quelle) „An architectural drawing, is as much a prospective unfolding of future possibilities as it is a recovery of a particular history, to whose intentions it testifies and whose limits it always challenges. In any case a drawing is more than the shadow of an object, more than a pile of lines, more than a resignation to the inertia of convention.“ –Daniel Libeskind An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=95#h5p-13 35 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 4.8 – Bildtafeln Louis Kahn’s National Assembly Building of Bangladesh St. Galler Klosterplan (Reichenau, frühes 9. Jahrhundert) Peter Eisenman – Transformations, Decompositions, Critiques VitraHaus, Herzog & de Meuron, Buckminster Fuller, Dymaxion 2010 Karte Linienzeichnung, Daniel Libeskind Zeitz Mocaa Museum 2016, Thomas Heatherwick Kirche Saint-Marie-de-la Visitation, Francois Mansart 36 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 5 Parametrische Kurven und Flächen 5.1 – NURBS Non-uniform rational B-Splines (deutsch: nicht-uniforme rationale B-Splines, kurz NURBS) sind mathematisch definierte Kurven oder Flächen, die im Computergrafik-Bereich, beispielsweise im CGI oder CAD, zur Modellierung beliebiger Formen verwendet werden. NURBS sind mathematische Darstellungen, die beliebige Formen von einfachen 2D-Linien, -Kreisen, -Bogen oder -Kurven bis hin zu hoch komplexen organischen 3D-Freiformflächen und -Volumenkörpern darstellen können. Aufgrund ihrer Flexibilität und Genauigkeit können NURBS-Modelle in allen Prozessen von Illustration und Animation bis hin zur Fertigung verwendet werden. In den 1950er Jahren wurden besonders im Automobil- und Schiffbau für die fehlerfreie Repro- duzierbarkeit technischer Bauteile mathematisch exakte Beschreibungen von Freiformflä- chen benötigt. Vor dieser Zeit wurden derartige Oberflächen durch einzelne von einem Konstrukteur hergestellte physikalische Modelle beschrieben. So begann unter anderem der Ingenieur Pierre Étienne Bézier, zu dieser Zeit bei Renault in Frankreich, mit der Entwick- lung der nach ihm benannten Bézierkurve. Unabhängig von Bézier arbeitete Paul de Casteljau, angestellt bei Citroën, zur gleichen Zeit auch an diesem mathematischen Problem. Weil Bézier die Ergebnisse seiner Arbeit veröffentlichte, werden heutzutage in der graphischen Datenver- arbeitung Splines, deren Kontrollpunkte nicht auf der Kurve selbst liegen, als „Bézier-Spline“ bezeichnet, während der Name von de Casteljau in dem nach ihm benannten Algorithmus fort- lebt, der für die numerische Verarbeitung parametrischer Flächen eingesetzt wird. In den 1960er Jahren wurde klar, dass non-uniform rational B-Splines (NURBS) eine Generalisie- rung von Bézier-Splines sind. (Quelle) NURBS-Kurven und -Flächen verhalten sich ähnlich und haben eine gemeinsame Terminolo- gie. Da Kurven am einfachsten zu beschreiben sind, werden wir sie genauer betrachten. Eine NURBS-Kurve wird durch vier Dinge definiert: Grad, Kontrollpunkte, Knoten und Bewertungsre- gel. 5.2 – Kurven NURBS-Kurven und -Flä chen sind die vorrangigen mathematischen Darstellungen, die Nurbs- basierte CAD Software wie Rhino zur Geometriedarstellung verwendet. NURBS ist eine genaue mathematische Darstellung von Kurven, deren Bearbeitung sehr intuitiv geschieht. Freiform- kurven kö nnen leicht unter Verwendung von NURBS dargestellt werden, und dank der Kontroll- struktur ist eine leichte und vorhersagbare Bearbeitung mö glich. 5.2.1 – Kurvenparameter Ein Parameter auf einer Kurve reprä sentiert die Adresse eines Punkts auf dieser Kurve. Man kann sich die parametrische Kurve als einen innerhalb einer bestimmten Zeit zurü ckgelegten Weg zwischen zwei Punkten vorstellen, dies mit einer festgelegten oder variablen Geschwin- digkeit. Wenn fü r die Wegstrecke der Zeitraum T benö tigt wird, dann reprä sentiert der Parame- ter t eine Zeit innerhalb von T, welche als ein Standort (Punkt) auf der Kurve erscheint. 37 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 5.1 – Zeit ist der Parameter zur Bestim- mung der Wegstrecke einer parametrischen Kurve. Der von Beginn bis Ende benötigte Zeitraum wird Kur- vendomäne oder Intervall genannt. 5.2.2 – Kurvendomä ne oder Intervall Eine Kurvendomä ne oder Intervall wird definiert als der Bereich von Parametern, die zu einem Punkt innerhalb dieser Kurve ausgewertet werden. Die Domä ne wird gewö hnlich mit zwei reel- len Zahlen beschrieben, welche die in der Form (min bis max) oder (min, max) ausgedrü ck- ten Domä nenbeschrä nkungen definieren. Die Domä nenbeschrä nkungen kö nnen zwei beliebige Werte sein, die auf die tatsä chliche Lä nge der Kurve bezogen sein kö nnen oder auch nicht. In einer ansteigenden Domä ne wird der Parameter der min-Domä ne zum Startpunkt der Kurve ausgewertet, und max-Domä ne zum Endpunkt der Kurve. 5.2.3 – Kurvenauswertung Wir haben gelernt, dass es sich bei einem Kurvenintervall um den Bereich aller Parameterwerte handelt, die zu Punkten innerhalb der 3D-Kurve ausgewertet werden. Es besteht jedoch keiner- lei Garantie, dass beispielsweise die Auswertung auf der Mitte der Domä ne einen Punkt in der Mitte der Kurve ergibt. Die gleichfö rmige Parametrisierung einer Kurve kö nnen wir uns vorstellen, als wü rden wir eine Wegstrecke mit konstanter Geschwindigkeit zurü cklegen. Eine Linie von Grad 1 zwischen zwei Punkten wä re ein Beispiel, bei dem gleiche Intervalle von Parametern gleiche Intervalle einer Bogenlä nge auf der Linie ergeben. In parametrischen Kurven werden gleiche Intervalle von Parametern nur selten zu gleichen Intervallen auf der 3D-Kurve ausgewertet. Abbildung 5.2 – Parameterspace (Domäne) von 0-10 einer Kurve. Gleiche Parameterintervalle ergeben typischerweise keine gleich langen Abstände auf einer parametrischen Kurven, etwa NURBS-Kurven. 5.2.4 – Kurvengrad Der Kurvengrad ist eine ganze positive Zahl. Rhino ermö glicht das Arbeiten mit jeglicher Grad- kurve, beginnend bei 1. Die Grade 1, 2, 3 und 5 sind die nü tzlichsten, Grad 4 und alle ü ber Grad 5 hingegen finden in der wirklichen Welt wenig Anwendung. Manchmal werden die Begrif- fe linear (Grad 1), quadratisch (Grad 2), und kubisch verwendet (Grad 3). Es folgen einige Bei- spiele fü r Kurven und ihren Grad: 38 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Linien und Polylinien sind NURBS-Kurven ersten Grades (gerade Liniensegmente verbinden die Kontrollpunkte). Kreise und Ellipsen können mit NURBS auch beschrieben werden, erfordern jedoch eine besondere Gewichtung der Kontrollpunkte. Freiform-Kurven werden gewö hnlich als NURBS-Kurven dritten oder fü nften Grades dargestellt. Abbildung 5.3 – Bézierkurven dritten Grades (rot) und die zugehörigen Kon- trollpolygone (grau). Von links nach rechts wurde jeweils ein weiterer Kontroll- punkt (blau) hinzugefügt. Man erkennt, wie die Kurve bei Einfügen/Verändern eines Kontrollpunkts ihre Richtung und/oder Krümmung variiert. Es ist möglich, den Grad einer NURBS-Kurve zu erhöhen, aber nicht ihre Form zu verändern. Es ist jedoch im Allgemeinen nicht möglich, den Grad einer NURBS-Kurve zu reduzieren, ohne ihre Form zu ändern. An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=114#h5p-7 5.2.5 – Kontrollpunkte Die Kontrollpunkte einer NURBS-Kurve ist eine Liste von (Grad+1)-Punkten. Die intuitivste Methode, die Form einer NURBS-Kurve zu verä ndern, besteht in der Verschiebung ihrer Kon- trollpunkte. Die Anzahl der Kontrollpunkte, die sich auf das jeweilige Segment einer NURBS- Kurve aus- wirken, wird durch den Kurvengrad bestimmt. Beispielsweise unterliegt das jeweilige Segment in einer Kurve ersten Grades lediglich der Auswirkung der beiden End-Kontrollpunkte. In einer Kurve zweiten Grades wirken sich drei Kontrollpunkte auf das jeweilige Segment aus, und so weiter. Kurven ersten Grades gehen durch alle Kurvenkontrollpunkte. In einer NURBS-Kurve ersten Grades bestimmen zwei (Grad+1)-Kontrollpunkte jedes Segment. Bei Verwendung von fü nf Kontrollpunkten hat die Kurve vier Segmente. Kreise und Ellipsen sind Beispiele fü r Kurven zweiten Grades. In einer NURBS-Kurve zweiten Grades bestimmen drei (Grad+1)- Kontrollpunkte das jeweilige Segment. Bei Verwendung von fü nf Kontrollpunkten hat die Kurve drei Segmente. Die Kontrollpunkte haben eine angegliederte Zahl, die Wichtung genannt wird. Bis auf einige Ausnahmen sind Wichtungen positive Zahlen. Intuitiv sind die Wichtungen denkbar als die Schwere jedes einzelnen Kontrollpunkts. Je hö her die relative Wichtung eines Kontrollpunkts, desto nä her wird die Kurve an diesen Kontrollpunkt herangezogen. Wenn die Kontrollpunkte einer Kurve alle dieselbe Wichtung (normalerweise 1) haben, wird die Kurve nicht- rational genannt. Andernfalls wird die Kurve rational genannt. Das R in NURBS steht für rational und weist darauf hin, dass für eine NURBS-Kurve die Möglichkeit besteht, rational zu sein. In der Praxis sind die meisten NURBS-Kurven nicht-rational. Manche NURBS-Kurven – Kreise und Ellip- sen sind herausragende Beispiele – sind immer rational. (Quelle) 39 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 5.2.6 – Bewertungsregel Die NURBS-Bewertungsregel ist eine Formel, die mit Grad, Kontrollpunkten und Knoten1 arbei- tet. Die Formel enthält sogenannte B-Spline-Basisfunktionen die einen Parameter nimmt und einen Punktstandort erzeugt. Grad, Knoten und Kontrollpunkte sind die Parameter dieser For- mel. (Quelle) 5.2.7 – Geometrische Kurvenstetigkeit Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der 3D-Modellierung. Stetigkeit ist wichtig, um visuelle Glä tte wie auch sanftes Licht und Luftströ mung zu erhalten. Die folgende Tabelle enthä lt ver- schiedene Stetigkeiten und ihre Definitionen: Zwei miteinander verbundene G0 (Positionsstetig) Kurvensegmente Die Richtung der Tangente am G1 (Tangentenstetig) Verbindungspunkt ist fü r beide Kurvensegmente gleich Krü mmungen wie auch Tangenten stimmen fü r G2 (Krü mmungsstetig) beide Kurvensegmente am gemeinsamen Endpunkt ü berein Abbildung 5.4 – Überprü fung der Kurvenstetigkeit Analyse der Krü mmungsan- zeige. Krü mmung ist ein bei der Modellierung von 3D-Kurven und -Flä chen viel verwendetes Konzept. Krü mmung wird definiert als die Änderung in der Neigung einer Tangente zu einer Kurve ü ber eine Bogeneinheitslä nge. Fü r einen Kreis oder eine Kugel ist dies der Kehrwert des Radius und ü ber die gesamte Domä ne hinweg konstant. An jedem beliebigen Punkt auf einer Kurve in der Ebene ist die tangentiale Linie die Linie, die sich der Kurve durch diesen Punkt am meisten nä hert. Wir kö nnen auch den besten annä hern- den Kreis finden, der durch diesen Punkt verlä uft und tangential zur Kurve liegt. Der Kehrwert des Radius dieses Kreises ist die Krü mmung der Kurve an diesem Punkt. 5.3 – Flächen 5.3.1 – Abwickelbare Fläche Eine abwickelbare Fläche bezeichnet in der Geometrie bzw. in der Differentialgeometrie, der Kartografie und der Topologie eine Fläche, die sich ohne innere Formverzerrung aus dem Eukli- dischen Raum in die Euklidische Ebene transformieren/“abwickeln“ lässt. Die sich ergebende Fläche wird dann Abwicklung genannt. Anschaulich gesprochen: Ohne Stauchen und Zerren muss sich die abwickelbare Fläche glatt auf eine flache Ebene legen lassen. Bekannteste Bei- spiele sind Körper mit planaren Flächen (Polyeder), aber auch die Mantelflächen bestimmter dreidimensionaler Körper wie Zylinder oder Kegel. (Quelle) 1. Knoten sind eine Liste von Zahlen mit (Grad+N-1), wobei N für die Anzahl Kontrollpunkte steht. Manchmal wird diese Zahlenliste auch Kno- tenvektor genannt. In diesem Zusammenhang bedeutet das Wort Vektor nicht 3D-Richtung. Für den Designer sind Knoten gewöhnlich nicht hilfreich; sie werden nur für interne Berechnungen benötigt. Aus diesem Grund sind Knoten in vielen Graphik-Design-Programmen nicht änder- bar oder überhaupt sichtbar. Einige CAD Programme erlauben interaktive Änderungen an Knotenpositionen, was allerdings bedeutend weniger intuitiv ist als Änderungen an Kontrollpunkten. 40 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 5.5 – Abwicklung der Mantelfläche eines Zylin- ders 5.3.2 – Regelfläche In der Geometrie heißt eine Fläche Regelfläche, wenn durch jeden Punkt der Fläche eine Gera- de geht, die ganz in der Fläche enthalten ist. Hyperboloide und Hyperbolische Paraboloide sind auch Regelflächen. Abbildung 5.6 – Regelfläche: einschaliges Hyperboloid. An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=114#h5p-11 5.4 – Parametrische Flächen 5.4.1 – Flä chenparameter Eine parametrische Flä che ist eine Funktion zweier unabhä ngiger Parameter (meist u, v genannt) ü ber einer zweidimensionalen Domä ne. 5.4.2 – Flä chendomä ne Eine Flä chendomä ne wird definiert als der Bereich von (u,v)-Parametern, die zu 3D- Punkten auf dieser Flä che ausgewertet werden. Die Domä ne in jeder Dimension (u oder v) wird gewö hn- lich als zwei reelle Zahlen beschrieben (u_min bis u_max) und (v_min bis v_max) 41 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 5.4.3 – Flä chenauswertung Die Auswertung einer Flä che auf einem Parameter innerhalb der Flä chendomä ne ergibt einen Punkt auf der Flä che. Bedenken Sie, dass die Mitte der Domä ne (midu, midv) nicht unbedingt dem metrischen Mittelpunkt der 3D-Flä che entspricht (siehe auch Kurvendomände). Auch wird die Auswertung der u- und v-Werte, die sich außerhalb der Flä chendomä ne befinden, kein gutes Ergebnis erbringen. Abbildung 5.7 – NURBS-Fläche in 3D-Modellierungsraum (links). Das Flächen- parameterrechteck mit Domäne, die von u0 bis u1 in der ersten Richtung und von v0 bis v1 in der zweiten Richtung reicht (rechts). Flächenauswertung. 5.4.4 – Geometrische Flä chenstetigkeit Viele Modelle kö nnen nicht anhand einer einzigen Flä che erzeugt werden. Stetigkeit zwischen verbundenen Flä chen ist von Bedeutung fü r visuelle Glä tte, Lichtreflektierung und Luftströ - mung. Die folgende Tabelle enthä lt verschiedene Stetigkeiten und ihre Definitionen: G0 (Positionsstetig) Zwei miteinander verbundene Flä chen. Die einander entsprechenden Tangenten der beiden Flä chen entlang ihrer G1 (Tangentenstetig) Verbindungskante sind sowohl in u- als auch v- Richtung parallel. Krü mmungen wie auch Tangenten stimmen fü r G2 (Krü mmungsstetig) beide Flä chen an der gemeinsamen Kante ü berein. Abbildung 5.8 – Prüfung der Flächenstetigkeit mit der Lichtlinienanalyse. 5.5 – NURBS Flächen Man kann sich NURBS-Flä chen als ein Raster von NURBS-Kurven vorstellen, die in zwei Rich- tungen verlaufen. Die Form einer NURBS-Flä che wird durch eine Zahl von Kontrollpunkten bestimmt, sowie den Grad dieser Flä che in jede dieser beiden Richtungen (u- und v-Richtun- gen). NURBS-Flä chen sind effizient bei der Speicherung und Darstellung von Freiformflä chen mit hohem Genauigkeitsgrad. Die mathematischen Gleichungen und Details von NURBS-Flä - chen gehen ü ber den Rahmen dieses Texts hinaus. Stattdessen konzentrieren wir uns lieber auf die fü r Designer relevantesten Eigenschaften. (Quelle) Isolinien (Iso ist die Kurzform für isoparametrisch) sind im NURBS Modellierung, Linien mit konstantem Parameter wert, ähnlich zu einer Konturlinie. Isolinien werden beim Darstellen von NURBS Flaechen verwendet. Man kann NURBS kurven basierend auf den Isolinien von U-werten oder V-werten erzeugen. 42 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 5.5.1 – Getrimmte NURBS-Flä chen NURBS-Flä chen kö nnen getrimmt oder ungetrimmt sein. Getrimmte Flä chen verwenden eine darunterliegende NURBS-Flä che und geschlossene Kurven, um einen Teil dieser Flä che her- auszutrimmen. Jede Flä che hat eine geschlossene Kurve, welche die ä ußere Kante (ä ußere Schleife) bestimmt, und sie kann nicht- ü berschneidende, geschlossene innere Kurven zur Bestimmung von Öffnungen (innere Schleifen) haben. Eine Flä che mit einer ä ußeren Schleife, welche die gleiche wie die ihrer darunterliegenden NURBS-Flä che ist und keine Öffnungen hat, ist was wir eine ungetrimmte Flä che nennen. Abbildung 5.9 – Getrimmte Fläche in Modellierungsraum (links) und in Para- meterrechteck (rechts). 5.5.2 – Flä chenverbä nde Ein Flä chenverband besteht aus zwei oder mehr (mö glicherweise getrimmten) miteinander verbundenen NURBS-Flä chen. Jede Flä che hat ihre eigene Struktur, Parametrisierung und Iso- kurven-Richtungen, die nicht ü bereinstimmen mü ssen. Flä chenverbä nde werden unter Ver- wendung des Begrenzungsflä chenmodells (BRep engl. Abk. für Boundary Representation) dargestellt. Die BRep-Struktur beschreibt Flä chen, Kanten und Scheitelpunkte mit Trimmdaten und Verbindung unterschiedlicher Teile. Getrimmte Flä chen werden auch unter Verwendung von BRep-Datenstruktur dargestellt. Abbildung 5.10 – Die oberen und unteres Seiten des Zylinders im folgenden Beispiel sind aus planaren Flächen getrimmt. Die Abbildung zeigt die Kontroll- punkte der darunterliegenden Flächen. 43 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 5.6 – Bildtafeln Dreidimensionale NURBS-Flächen Kurven einer Achterbahn können komplexe, organische Toyota Aizuma Hall, Aichi – Kazuyo Formen aufweisen. Kontrollpunkte Sejima & Associates beeinflussen die Richtungen der Oberfläche. Autobahnkreuz, Los Angeles BMW Gina, Design Chris Bangle Zeichnen einer Spline Enric Ruiz-Geli created the Villa Nurbs in the coastal town Empuriabrava at the Costa Brava, Spain. A ship’s body plan comprised of superimposed construction geometry. Cross sections such as these recorded vessels on contractual order. The outer member (marked Fig. E/F) is the midships mould. Portions of each cross section are indexed to corresponding pieces on the reconfigurable mould. Source: William Sutherland, The 44 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Shipbuilders Assistant: or, Some Essays Towards Completing the Art of Marine Architecture (London, 1711), 82. 45 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 6 Geometrische Strukturen 6.1 – Punktwolken Eine Punktwolke (englisch point cloud) ist eine Menge von Punkten eines Vektorraums, die eine unorganisierte räumliche Struktur („Wolke“) aufweist. Eine Punktwolke ist durch die enthaltenen Punkte beschrieben, die jeweils durch ihre Raumkoordinaten erfasst sind. Punktwolken mit Georeferenzierung enthalten Punkte in einem erdbezogenen Koordinatensystem. Zu den Punkten können zusätzlich Attribute, wie z. B. geometrische Normalen, Farbwerte, Aufnahmezeitpunkt oder Messgenauigkeit, erfasst sein. Die Erzeugung kann grundsätzlich über Scanning-Verfahren (z. B. terrestrisches oder flugzeug- gestütztes Laserscanning) oder photogrammetrische Verfahren erfolgen sowie allgemein mittels Abtastung von Objektoberflächen durch Systeme wie Koordinatenmessmaschinen oder tastende 3D-Scanner. Optische Scanner untergliedert man in Lasertechnologie, die nach dem Triangulationsprinzip arbeiten, und Normallicht-Scanner, die nach dem Streifenlichtverfahren („coded-light“) arbeiten. Einen zusammenfassenden Überblick über die Vielfalt und Leistungs- fähigkeit aktueller optischer Scanning-Methoden und die Weiterverarbeitung der resultieren- den 3D-Daten/Punktwolke gibt beispielsweise C. Teutsch. Durch die mehrfache Erfassung eines räumlichen Ausschnitts zu unterschiedlichen Zeitpunkten lässt sich ein vierdimensiona- les (zeitvariantes) diskretes räumliches Modell einer Umgebung aufbauen. Jeder Punkt der Wolke wird dabei zeitlich und räumlich (XYZ-Koordinaten) lokalisiert und kann in weiterer Folge auch georeferenziert werden. (Quelle) An interactive H5P element has been excluded from this version of the text. You can view it online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=124#h5p-8 Es gibt viele Möglichkeiten um aus einer Punktwolke eine geschlossene 3D-Oberfläche zu erstellen (z.B. Shrink Wrap, Ball Pivoting oder Point2CAD). Punktewolken und deren Zurückfüh- rung in bearbeitbare CAD-Geometrie gewinnt in der Architektur immer wie mehr an Bedeutung, da dies ein effizientes und genaues Mittel der Bestandesaufnahme von existierenden Gebäu- den ist. 46 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Abbildung 6.1 – Animiertes Punktwolkenmodell eines Torus 6.2 – Mesh – Diskrete Flächennetze Untereinander mit Kanten und Flächen verbundene Punkte bilden in der Computergrafik ein Polygonnetz oder Mesh, das die Gestalt eines Polyeders definiert. Dreiecksnetze und Vierecksnetze sind hier am geläufigsten. In der 3D-Computergrafik und der Volumenmodellierung ist ein Polygonnetz eine Sammlung von Scheitelpunkten, Kanten und Flächen, die die Form eines polyedrischen Objekts definieren. Die Flächen bestehen normalerweise aus Dreiecken (Triangle Mesh), Vierecken (Quads) oder anderen einfachen konvexen Polygonen (n-Gons), da dies das Rendern vereinfacht, können aber auch allgemeiner aus konkaven Polygonen oder sogar Polygonen mit Löchern zusammen- gesetzt sein. Die Untersuchung von Polygonnetzen ist ein großes Teilgebiet der 3D-Computergrafik und der geometrischen Modellierung. Für unterschiedliche Anwendungen und Ziele werden unter- schiedliche Darstellungen von Polygonnetzen verwendet. Die Vielfalt der an Netzen durch- geführten Operationen kann umfassen: Boolesche Logik (konstruktive Festkörpergeometrie), Glättung, Vereinfachung und viele andere. Es gibt auch Algorithmen für Raytracing, Kollisions- erkennung und Starrkörperdynamik mit Polygonnetzen. Wenn die Kanten des Netzes anstelle der Flächen gerendert werden, wird das Modell zu einem Drahtgittermodell. Volumetrische Netze unterscheiden sich von Polygonnetzen dadurch, dass sie explizit sowohl die Oberfläche als auch das Volumen einer Struktur darstellen, während Polygonnetze nur explizit die Oberfläche darstellen (das Volumen ist implizit). Volumetrische Netze finden z.B. in der finiten Elementanalyse Methode (FEA) Anwendung wo zwecks Ermitteln der Verformung oder der Tragfähigkeit eines Elementes dessen Geometrie in viele kleine Polyeder (oft Tetraeder oder Würfel) unterteilt wird. Abbildung 6.2 – Unterschiedliche Drahtgittermodelle, die einfachste Möglichkeit, ein Polygonnetz darzustellen. 47 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. One or more interactive elements has been excluded from this version of the text. You can view them online here: https://wp-prd.let.ethz.ch/computationaldesignwip/?p=124#oem- bed-1 Video von Rebecca Allen für Kraftwerk’s „Musique Non Stop“ (1986). Mehr information über das making-of hier. 6.3 – Voxel – Diskrete Volumen Bei einem räumlichen Datensatz, der in diskretisierter Form in kartesischen Koordinaten vorliegt, bezeichnet Voxel den diskreten Wert an einer XYZ-Koordinate des Datensatzes. Voxel(zusammengesetzt aus dem englischen volume vox und el von elements, auch in Anlehnung an das 2D Pendant „Pixel“) bezeichnet in der Computergrafik einen Gitterpunkt („Bild“punkt, Datenelement) in einem dreidimensionalen Gitter. Dies entspricht einem Pixel in einem 2D-Bild, einer Rastergrafik. Wie bei Pixeln wird bei Voxeln üblicherweise die Position nicht explizit gespeichert, sondern implizit aus der Position zu anderen Voxeln hergeleitet. Ein Voxelraum hat eine Auflösung (m,n,o), also Anzahl Zeilen, Spalten und Ebenen. Im Gegensatz dazu werden bei Punkten oder Polygonen die Positionen der Eckkoordinaten gespeichert. (Quelle) Abbildung 6.3 – Eine Menge von gestapelten Voxeln. Ein einziges ist hervorgehoben. 48 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. 6.4 – Implizite Flächen Implizite Flächen sind Flächen, die im Raum benachbarte Punkte gleicher Merkmale oder Werte einer bestimmten Größe wie zum Beispiel Temperatur oder Dichte miteinander verbinden. Sie sind das dreidimensionale Gegenstück zu Isolinien, die Punkte auf einer Fläche verbinden. Die Bedeutung von Isoflächen liegt in der computergraphischen Visualisierung von Skalarfeldern bzw. Gittern. (Quelle) Isolinien werden für die wissenschaftliche Visualisierung verwendet. In geografischen Karten wird die Topographie üblicherweise mit Hilfe von Höhenstufen (d. h. Kurven konstanter Höhe über dem Meeresspiegel) visualisiert (Abbildung 12.41). In Wetterkarten wird die Visualisierung oft durch Isolinien wichtiger Messdaten wie Temperatur oder Luftdruck ergänzt. Abbildung 6.5 – Video loop of isallobars showing the motion of a cold front Es gibt viele Wege, 3d Isoflächen zu rendern, die beiden gebräuchlichsten sind Raycasting und der Marching-Cubes-Algorithmus der die implizite Fläche zuerst in ein Mesh / Polygonnetz über- setzt. 6.4.1 – Signed Distance Functions Signed Distance Function oder kurz SDFs geben, wenn sie die Koordinaten eines Punktes im Raum übergeben, den kürzesten Abstand zwischen diesem Punkt und einer Oberfläche zurück. Das Vorzeichen des Rückgabewerts gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder außerhalb dieser Oberfläche befindet (daher vorzeichenbehaftete Abstandsfunktion). 49 Printed for personal class use only, do not copy or distribute. Beispiel Schauen wir uns ein Beispiel an. Stellen Sie sich eine Kugel vor, die im Ursprung zentriert ist. Die Distanzfunktion der Kugel mit Zentrum C und radius r für Punkt P ist wie folgt: Punkte innerhalb der Kugel haben einen Abstand vom Ursprung, der kleiner als der Radius ist, Punkte auf der Kugel haben einen Abstand, der gleich dem Radius ist, und Punkte außerhalb der Kugel haben einen Abstand, der größer als der Radius ist. Also sieht

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