Chapitre 1 : Rappels mathématiques PDF

Table des matières 1 Rappels mathématiques 1 1 Notion de grandeur physique............................. 1 2 Analyse dimensionnelle................................ 1 2.1 Dimension, étalon...

Table des matières 1 Rappels mathématiques 1 1 Notion de grandeur physique............................. 1 2 Analyse dimensionnelle................................ 1 2.1 Dimension, étalon et unité......................... 1 2.2 Équation aux dimensions........................... 2 3 Erreurs et incertitudes................................ 5 3.1 Notion de mesure et d’erreur......................... 5 3.2 Notion d’incertitude............................. 5 3.2.1 Incertitude absolue......................... 5 3.2.2 Incertitude relative......................... 6 3.3 Théorème des incertitudes.......................... 6 3.3.1 Incertitude absolue sur une somme algébrique.......... 6 3.3.2 Incertitude relative d’un produit ou d’un quotient........ 7 4 Algèbre vectorielle.................................. 8 4.1 Notation et représentation graphique.................... 8 4.2 Système orthonormé de coordonnées cartésiennes............. 8 4.3 Somme vectorielle............................... 10 4.4 Produit scalaire............................... 12 4.5 Produit vectoriel............................... 14 4.6 Produit mixte................................. 15 4.7 Moment d’un vecteur............................ 16 4.8 Propriétés de la dérivation des vecteurs................... 17 4.9 Gradient, divergence, rotationnel et laplacien................ 19 i Chapitre 1 Rappels mathématiques 1 Notion de grandeur physique Une grandeur physique est un paramètre mesurable (parfois variable) qui sert à définir un état ou un objet dans des conditions bien déterminées. On utilise deux types de grandeurs : les grandeurs scalaires et les grandeurs vectorielles. Une grandeur est dite scalaire lorsqu’elle est exprimée par une valeur numérique liée à une unité de mesure. Par exemple : le temps, la masse, la température, l’énergie,... Les opérations arithmétiques classiques sont possibles entre différentes grandeurs sca- laires : La somme (différence) de deux grandeurs scalaires est également une grandeur scalaire de même unité. Le produit (quotient) de deux grandeurs scalaires est également une grandeur scalaire (les unités de mesure subissent la même opération). Une grandeur est dite vectorielle si, en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module, elle nécessite un point d’application, une direction et un sens. Par exemple, le déplacement, la vitesse, la force,... On la représente, géométriquement, par un vecteur ayant la même direction, le même sens et de module (selon une échelle graphique bien déterminée) égal à sa valeur numérique. Les opérations arithmétiques entre grandeurs vectorielles seront détaillées à la fin de ce chapitre dans la section dédiée à l’algèbre vectorielle (cf. §4). 2 Analyse dimensionnelle 2.1 Dimension, étalon et unité La dimension d’une grandeur G est une propriété caractéristique de la nature physique de cette grandeur. C’est l’approche qualitative, qui répond à la question : “qu’est ce que la grandeur G ? ”. Un exemple de réponse pourrait être : “G est homogène à une longueur ”. 1 2 Rappels mathématiques Pour mesurer une grandeur, on fait appel à la métrologie 1. On définit un phénomène de ré- férence, ou étalon, qui va permettre de dire : ”tel phénomène fait x fois le phénomène de référence”. Pour simplifier l’énoncé, on définit une unité et on dit : ”tel phénomène fait x unités”. Par exemple : pour mesurer une longueur, on a défini l’étalon mètre. Une unité permet d’évaluer la mesure d’une grandeur physique. C’est l’approche quantitative, qui répond à la question : “Combien vaut la grandeur G ? ”. Un exemple de réponse pourrait être : “G vaut tant de mètres”. La métrologie internationale a choisi un certain nombre d’étalons dits de référence (unités fondamentales) qui permettent d’exprimer toutes les grandeurs physiques mesurables. À partir de ces étalons de référence, on peut construire d’autres étalons (unités dérivées). Ces étalons de références sont au nombre de 07 (voir Tableau ci-dessous). Le choix de ces 07 grandeurs est une construction historique. Elles ont été choisies depuis le XVIIIème siècle en fonction des besoins et des étalons que l’on pouvait fabriquer de manière simple et précise : Ce système d’unités (dit Système International SI) est adopté au début des années 1960 pour remplacer le système MKSA (initiales de Mètre, Kilogramme, Seconde et Ampère) existant depuis le début du XXème siècle. Il faut cependant signaler qu’il existait avant le système MKSA, le système CGS (initiales de Centimètre, Gramme et Seconde) utilisé par les physiciens à partir de la fin du XIXème siècle pour exprimer certaines grandeurs physiques. Ces trois systèmes sont actuellement les systèmes les plus utilisés et on peut aisément passer de l’un à l’autre. Symbole de la Symbole de Grandeur Unité (SI) dimension l’unité Longueur (L) L Mètre m Masse (M ) M Kilogramme kg Temps (T ) T Seconde s Intensité électrique (I) I Ampère A Température (Θ) Θ Kelvin K Quantité de matière (N ) N Mole mol Intensité lumineuse (J) J Candela cd 2.2 Équation aux dimensions L’équation aux dimensions est la relation qui permet de déterminer l’unité dans laquelle doit être exprimé le résultat d’une formule. 1. La métrologie est une branche de la physique concernant la science des mesures et ses applications. Elle comprend tous les aspects théoriques et pratiques des mesurages, quels que soient l’incertitude de mesure et le domaine d’application. 2. Analyse dimensionnelle 3 C’est une équation de grandeurs dans laquelle on représente les phénomènes mesurés par un symbole. Par exemple : une longueur est représentée par la lettre ”L”, un temps est représenté par la lettre ”T ”,... Dans l’écriture d’une équation aux dimensions, la dimension d’une grandeur G est notée [G]. Par exemple, la dimension de la vitesse v s’écrit [v]. Les équations aux dimensions permettent de : déterminer l’unité d’une grandeur en fonction des unités fondamentales ; faire des conversions d’unité : déterminer la relation existant entre une unité dérivée et les unités de base dont elle dépend ; tester l’homogénéité d’une formule physique : une équation de type A = B est dite homogène si [A] = [B] ; retrouver des expressions ou des formules physiques. Exemples 1. La dimension d’une vitesse v est une distance d divisée par un temps t. L’équation aux dimensions correspondante est : [d] [v] = = L · T −1 [t] L’unité de la vitesse dans le système MKSA est donc le m · s−1. L’unité de la vitesse dans le système CGS est donc le cm · s−1. 2. La dimension d’une accélération a est une vitesse v divisée par un temps t. L’équation aux dimensions correspondante est : [v] L · T −1 [a] = = = L · T −2 [t] T L’unité de l’accélération dans le système MKSA est donc le m · s−2. L’unité de l’accélération dans le système CGS est donc le cm · s−2. 3. La dimension d’une force F est une masse m multipliée par une accélération a. L’équation aux dimensions correspondante est : [F ] = [m] · [a] = M · L · T −2 L’unité de la force dans le système MKSA est donc le kg · m · s−2. On lui a donné le nom de N ewton (N). L’unité de l’accélération dans le système CGS est donc le g · cm · s−2. On lui a donné le nom de dyne (dyn). 4. La dimension d’une énergie E est une force multipliée par une distance d. L’équation aux dimensions correspondante est : [E] = [F ] · [d] = M · L2 · T −2 L’unité de l’énergie dans le système MKSA est donc le kg · m2 · s−2. On lui a donné le nom de Joule (J). L’unité de l’énergie dans le système CGS est donc le g · cm2 · s−2. On lui a donné le nom de erg (erg). 4 Rappels mathématiques Exemples 1 1. De la formule x = 2 g · t2 (x est une distance et t une durée), déterminons la dimension de g : [x] [g] = 2 = L · T −2 [t] On déduit que g est une accélération. 2. Déterminons la relation existant entre l’unité de la force dans le système MKSA et son unité dans le système CGS : L’unité de la force dans le système MKSA est le kg · m · s−2 L’unité de la force dans le système CGS est le g · cm · s−2. Le rapport des unités de la force étant : FMKSA kg · m · s−2 103 · 102 g · cm · s−2 = −2 = = 105 FCGS g · cm · s g · cm · s−2 On en déduit que : 1 N = 105 dyn. De même, nous déterminons la relation existant entre les unités de l’énergie dans les deux systèmes MKSA et CGS : L’unité de l’énergie dans le système MKSA est le kg · m2 · s−2 L’unité de l’énergie dans le système CGS est le g · cm2 · s−2. Le rapport des unités de l’énergie étant : EMKSA kg · m2 · s−2 103 · 104 g · cm2 · s−2 = = = 107 ECGS g · cm2 · s−2 g · cm2 · s−2 On en déduit que : 1 J = 107 erg. 3. Testons l’homogénéité de l’expression de la vitesse v suivante : 3 v= m · x (mest une masse et xune distance) 2 [v] = L · T −1 et [m · x] = [m] · [x] = M · L. L’équation de la vitesse est non homogène ([v] 6= [m] · [x]). Elle est donc fausse ! 4. Soit à retrouver l’expression de la période d’un pendule simple sachant que celle-ci dépend de la longueur ` du pendule et de la pesanteur g au terme 2π près : L’équation aux dimensions de la période T sera donc de la forme : α β [T ] = [`] · [g] L’homogénéité de cette expression impose ce qui suit : T = Lα · (L · T −2 )β = Lα+β · T −2β soit : ( α+β = 0 −2β = 1 ainsi, on doit avoir : ( 1 α = 2 β = − 12 q ` L’expression à retrouver aura, en multipliant par le terme 2π, la forme : T = 2π g. 3. Erreurs et incertitudes 5 Remarques Les facteurs numériques apparaissant dans les formules physiques sont sans dimension. Les fonctions trigonométriques, logarithmiques et exponentielles sont sans dimension. Leurs argu- ments sont aussi sans dimension. Une équation non homogène est obligatoirement fausse, alors qu’une équation homogène n’est pas nécessairement vraie. Une des raisons à cela provient de l’existence de grandeurs sans dimension de sorte que leur présence, ou non, ne peut être vérifiée par l’équation aux dimensions. Ces grandeurs sans dimensions correspondent au rapport de deux grandeurs de même espèce et s’expriment par un nombre indépendant du système d’unités choisi. On peut citer comme exemples la densité (rapport de deux masses), l’indice de réfraction (rapport de deux célérités) ou le rendement chimique (rapport de deux quantités de matière). 3 Erreurs et incertitudes 3.1 Notion de mesure et d’erreur De la mesure de toute grandeur physique X ne peut résulter qu’une valeur approchée de la valeur exacte en raison des différentes erreurs qui pourraient être commises. Deux types d’erreurs contribuent à surévaluer ou sous-évaluer la valeur mesurée : Les erreurs systématiques qui sont la conséquence de l’emploi de méthodes ou d’instru- ments imparfaits. Elles peuvent être atténuées par un contrôle régulier des instruments de mesure et par l’emploi de différentes méthodes. Les erreurs accidentelles et aléatoires qui sont imputables à l’imperfection des sens de l’expérimentateur. Elles peuvent être minimisées par la répétition des mesures et en s’exerçant à la pratique de ces mesures. La valeur exacte x0 étant en pratique inaccessible, on l’approche par une moyenne statistique sur une série de mesures de la grandeur physique mesurée. La différence δx = |x − x0 | entre la valeur exacte x0 et la valeur approchée x s’appelle erreur absolue. δx Le quotient de l’erreur absolue à la valeur exacte s’appelle erreur relative. x0 3.2 Notion d’incertitude 3.2.1 Incertitude absolue Il est maintenant admis que l’erreur commise lors de la mesure d’une grandeur est gé- néralement inconnue. Partant des caractéristiques de l’appareil et de la méthode utilisée, nous pouvons toujours nous assurer de faire en sorte que l’erreur commise ne dépasse pas une valeur limite absolue (δx ≤ ∆x). Cette valeur limite s’appelle incertitude absolue. Ainsi, la valeur mesurée sera comprise entre deux valeurs limites connues : x − ∆x ≤ x ≤ x + ∆x 6 Rappels mathématiques On écrit toujours le résultat d’une mesure sous la forme : x ± ∆x 3.2.2 Incertitude relative L’incertitude relative est le rapport entre l’incertitude absolue ∆x et la valeur mesurée ∆x x, soit. On l’exprime souvent en pourcentage. Elle permet de connaitre le niveau de précision x d’une mesure et ne dépend pas du choix de l’unité. 3.3 Théorème des incertitudes Supposons que des mesures aient donné des valeurs x, y et z avec les incertitudes absolues ∆x, ∆y et ∆z. Considérons une grandeur f (x, y, z) fonction des grandeurs mesurées. Quelle est l’incertitude absolue sur f ? On définit la différentielle totale de cette fonction comme : ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ , et sont, respectivement, les dérivées partielles par rapport à x, y et z. ∂x ∂y ∂z L’incertitude absolue ∆f sur cette grandeur est majorée par la valeur absolue de la différentielle totale (∆f ≤ |df |) : ∂f ∂f ∂f ∆f ≤ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Comme la valeur absolue d’une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues, l’incertitude absolue ∆f s’écrit alors comme : ∂f ∂f ∂f ∆f ≤ ∆x + ∆y + ∆z ∂x ∂y ∂z 3.3.1 Incertitude absolue sur une somme algébrique Soit à considérer la somme algébrique A = n.x + p.y + q.z + k en fonction des variables x, y et z avec des incertitudes absolues ∆x, ∆y et ∆z respectivement. k est une constante connue avec exactitude et n, p et q des coefficients constants (positifs ou négatifs). En appliquant la formule de majoration de l’incertitude absolue, on obtient : ∆A = |n| · ∆x + |p| · ∆y + |q| · ∆z L’incertitude absolue d’une grandeur, somme algébrique de grandeurs appro- chées, est la somme arithmétique des incertitudes absolues de ces grandeurs. 3. Erreurs et incertitudes 7 Exemple Dans un circuit électrique comprenant trois résistances en série (R1 = (100 ± 2) Ω et R2 = R3 = (50 ± 0.5 Ω)), déterminons la résistance équivalente : Req = R1 + 2.R2 = 200 Ω L’incertitude absolue sur cette résistance équivalente est : ∆Req = ∆R1 + 2.∆R2 = 3 Ω On écrit alors : Req = (200 ± 3) Ω ∆Req 3 L’incertitude relative est donnée par : = = 1, 5 · 10−2 = 1, 5 % Req 200 3.3.2 Incertitude relative d’un produit ou d’un quotient Soit à considérer le produit A = k · xn · y p · z q en fonction des variables indépendantes x, y et z avec des incertitudes absolues ∆x, ∆y et ∆z respectivement. k est une constante connue avec exactitude et n, p et q des nombres réels constants (positifs ou négatifs). En appliquant la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation, on obtient : ln (A) = ln (k) + n · ln (x) + p · ln (y) + q · ln (z) La différentielle logarithmique s’écrit : dA dx dy dz =n· +p· +q· A x y z En appliquant la formule de majoration de l’incertitude absolue, on obtient l’expression de l’incertitude relative : ∆A ∆x ∆y ∆z = |n| · + |p| · + |q| · A x y z L’incertitude relative d’une grandeur, produit ou quotient de grandeurs appro- chées et indépendantes les unes des autres, est la somme arithmétique des in- certitudes relatives de ces grandeurs. Exemple D2 Soit à calculer l’incertitude absolue sur le volume d’un cylindre (V = π · 4 · h) après la mesure de son diamètre D = (2, 00 ± 0, 02) cm et de sa hauteur h = (5, 00 ± 0.01) cm : L’incertitude relative sur le volume du cylindre s’écrit : ∆V ∆D ∆h =2· + V D h On en déduit l’expression de l’incertitude absolue : 8 Rappels mathématiques       ∆D ∆h π·h·D π · D2 ∆V = V 2· + = ∆D + ∆h D h 2 4 soit :     π · 5, 00 · 2, 00 π · 2, 002 ∆V = 0, 02 + 0, 01 = 0, 35 cm3 2 4 4 Algèbre vectorielle 4.1 Notation et représentation graphique → − −→ B Un vecteur V = AB est un segment de droite orienté avec quatre − → V caractéristiques : − → u une origine ou point d’application : le point A. b une direction : celle de la droite (AB) contenant le segment. A un sens : de A vers B. un module ou une intensité V~ = V~ = V : longueur du segment orienté. Un vecteur unitaire → − u est un vecteur de module égal à l’unité. → − Tout vecteur V parallèle au vecteur unitaire ~u peut s’exprimer sous la forme : → − V =V → − u 4.2 Système orthonormé de coordonnées cartésiennes Un système orthonormé de coordonnées cartésiennes est formé de trois axes orientés, orthogonaux deux à deux entre eux (Ox, Oy et Oz), se coupant à l’origine O et munis des → − → − → − → − → − → − vecteurs unitaires i , j et k constituant la base cartésienne orthonormée ( i , j , k ). z Vz − → V θ − → k − → j Vy y − → i O ϕ ρ Vx x 4. Algèbre vectorielle 9 → − On peut décomposer tout vecteur V sur cette base comme suit : → − → − → − → − V = Vx i + Vy j + Vz k → − Vx , Vy et Vz sont les projections algébriques du vecteur V sur les trois axes orientés. On  les appelle  composantes ou coordonnées du vecteur dans le repère cartésien ~ ~ ~ O, i, j, k. On note :   Vx → −   V  Vy  Vz Dans ce repère cartésien, nous définissons : → − ρ la projection du vecteur V dans le plan (Oxy), ϕl’angle formé par cette projection avec l’axe (Ox) → − θ l’angle formé par le vecteur V avec l’axe (Oz) tel que :   Vx   cos ϕ =   ρ     V  sin ϕ = y ρ   V   cos θ = z   V     sin θ = ρ V d’où :    V = V · sin θ · cos ϕ  x Vy = V · sin θ · sin ϕ    Vz = V · cos θ → − le module du vecteur V est le réel positif : → − → − q V = V = V = Vx2 + Vy2 + Vz2 Remarque → − En considérant, en plus, les angles α et β formés par le vecteur V avec les axes (Ox) et (Oy) respectivement, on peut déduire que :    V =V · cos α  x Vy =V · cos β    Vz = V · cos θ En sommant les carrés, on obtient : cos2 α + cos2 β + cos2 θ = 1 10 Rappels mathématiques → − On pourra écrire le vecteur V comme suit : → −  → − → − − → V =V →− u = V cos α i + cos β j + cos θ k On en déduit l’expression du vecteur unitaire : → − → − → − → − u = cos α i + cos β j + cos θ k On note :   cos α → −   u  cos β  cos θ → − Les coordonnées du vecteur unitaire → − u porté par le vecteur V s’appellent les cosinus directeurs → − du vecteur V. α, β et θ sont les angles directeurs. 4.3 Somme vectorielle Forme géométrique → − → − Géométriquement, le vecteur V1 + V2 , résultant de la somme vec- → − → − torielle de deux vecteurs V1 et V2 , est obtenu de la manière suivante : − → →2 − V2 →1 + V − V On fait coı̈ncider les deux origines des deux vecteurs en un θ α même point. − → V1 On trace ainsi un parallélogramme contenant les deux vecteurs. Le vecteur somme vectorielle appelé résultante est alors le vecteur diagonal du parallélogramme en partant de l’origine des deux vecteurs. → − → − on peut aussi obtenir le vecteur V1 + V2 de la manière suivante : → − On fait coı̈ncider, par glissement, l’origine du vecteur V2 avec l’extrémité du vecteur et → − V1. → − Le vecteur résultante est alors le vecteur joignant l’origine du vecteur V1 à l’extrémité → − du vecteur V2. L’expression du module du vecteur résultant (qui sera démontrée plus tard) est donnée par : q → − → − V1 + V2 = V12 + V22 + 2 · V1 · V2 · cos θ → − → − θ est l’angle intérieur formé par les deux vecteurs V1 et V2. V1 et V2 sont leurs modules respectifs. La direction du vecteur résultant est déterminée par le calcul de l’angle qu’il fait avec un axe de référence ou avec un des deux vecteurs objet de la somme vectorielle (par exemple l’angle α dans la figure ci-dessus). 4. Algèbre vectorielle 11 → − → − Géométriquement, le vecteur V1 − V2 , résultant de la soustraction du − → → − → − V2 vecteur V2 au vecteur V1 , est obtenu de la même manière que la somme −  → → − → − θ vectorielle en considérant l’addition V1 + −V2 entre les vecteurs V1 → − − → et −V2. V1 − →V 1 − − → → − → − −V2 − →V 2 L’expression du module du vecteur différence V1 − V2 est donnée par : q → − → − V1 − V2 = V12 + V22 − 2 · V1 · V2 · cos θ Forme analytique   Soient, dans un repère orthonormé O, ~i, ~j, ~k , les deux vecteurs :     V1x V2x → −   → −   V1  V1y  et V2  V2y  V1z V2z La somme de ces deux vecteurs est donnée par :       V1x V2x V1x + V2x → −   → −   → −  V1  V1y  + V2  V2y  = R  V1y + V2y  V1z V2z V1z + V2z Leur différence est donnée par :       V1x V2x V1x − V2x → −   → −   → −  V1  V1y  − V2  V2y  = D  V1y − V2y  V1z V2z V1z − V2z → − Les expressions des modules des vecteurs addition et différence des deux vecteurs V1 et → − V2 sont données, respectivement, par : q → − → − → − R = V1 + V2 = (V1x + V2x )2 + (V1y + V2y )2 + (V1z + V2z )2 q → − → − → − D = V1 − V2 = (V1x − V2x )2 + (V1y − V2y )2 + (V1z − V2z )2 Propriétés − → − → − → − → L’addition vectorielle est commutativité : V1 + V2 = V2 + V1.  − → − → − → → − La soustraction vectorielle est anticommutative : V1 − V2 = − V2 − V1. 12 Rappels mathématiques Exemple   Dans un repère orthonormé O, ~i, ~j , soient les deux vecteurs : ! ! − → 1 − → 2 V1 et V2 2 3 Le vecteur résultante de ces deux vecteurs est : ! ! ! ! − → 1 − → 2 → − 1+2 → − 3 V1 + V2 =R =⇒ R 2 3 2+3 5 Le vecteur différence entre ces deux vecteurs est : ! ! ! ! − → 1 − → 2 → − 1 − 2 → − −1 V1 − V2 =D =⇒ D 2 3 2 − 3 −1 → − → − Les modules des vecteurs R et D sont : → − √ √ R = 32 + 52 = 34 q √ → − 2 2 D = (−1) + (−1) = 2 → − La direction du vecteur R est déterminée par l’angle α formé avec l’axe (Ox) tel que : Ry 5 tan (α) = = =⇒ α ≈ 59◦ Rx 3 4.4 Produit scalaire → − → − → − → − Le produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 est un scalaire réel noté V1 · V2 défini par : → − → − → − → − → − → − V1 · V2 = V1 · V2 · cos V1 , V2 → − → − → − → − V1 , V2 est l’angle formé par les deux vecteurs V1 et V2. Propriétés Le produit scalaire est indépendant du repère − choisi. − → − → → − → π − → − → Si les vecteurs V1 et V2 sont orthogonaux, V1 , V2 = , alors : V1 · V2 = 0. − 2 − → − → → − → − → − → Si les vecteurs V1 et V2 sont parallèles, V1 , V2 = 0, alors : V1 · V2 = V1 · V2. − → − → − → − → Le produit scalaire est commutatif : V1 · V2 = V2 · V1. Le produit scalaire est distributif par rapport à la somme vectorielle : → − − → − → − → − → − → − → V1 · V2 + V3 = V1 · V2 + V1 · V3. − → −  → −→   − → − → − → V1 · V2 · V3 6= V1 · V2 · V3. → −   → − Tout vecteur V peut s’exprimer, dans un repère quelconque O, ~i, ~j, ~k , par la relation : V = → − → − → −  −  → V · i ~i + V · ~j ~j + V · ~k ~k 4. Algèbre vectorielle 13 Démonstration Démontrons maintenant l’expression du module de la somme de deux vecteurs : → − − → − → → − − → − → − → − → V = V1 + V2 =⇒ V 2 = V1 2 + V2 2 + 2 V1 · V2 soit : − → − → V 2 = V12 + V22 + 2 V1 · V2 · cos V1 , V2 il vient : r − → − → V = V12 + V22 + 2 V1 · V2 · cos V1 , V2 → − →  − → − → − → − Dans un repère orthonormé O, i , j , k , si les vecteurs V1 et V2 sont exprimés en fonction de leurs composantes : → − → − V1 = V1x ~i + V1y ~j + V1z ~k et V2 = V2x ~i + V2y ~j + V2z ~k le produit scalaire peut alors s’écrire comme : → − → −       V1 · V2 = (V1x · V2x ) ~i · ~i + (V1x · V2y ) ~i · ~j + (V1x · V2z ) ~i · ~k       + (V1y · V2x ) ~j · ~i + (V1y · V2y ) ~j · ~j + (V1y · V2z ) ~j · ~k       ~ ~ ~ ~ + (V1z · V2x ) k · i + (V1z · V2y ) k · j + (V1z · V2z ) k · k~ ~ Les propriétés et la définition du produit scalaire font que : ~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1 ~i · ~j = ~j · ~i = ~i · ~k = ~k · ~i = ~j · ~k = ~k · ~j = 0 soit : → − → − V1 · V2 = (V1x · V2x ) + (V1y · V2y ) + (V1z · V2z ) Exemple Soit à déterminer l’angle θ formé par les vecteurs : − → − → V1 = 2~i + ~j + ~k et V2 = ~i + ~j On a : − → − → − → − → V1 · V2 = V1 · V2 · cos (θ) d’où : − → − → V1 · V2 (2 · 1) + (1 · 1) + (1 · 0) 3 cos (θ) = − → → = √22 + 12 + 12 · √12 + 12 = √6 · √2 − V1 · V2 ainsi : √ √ √ 3 3· 3 3 cos (θ) = √ √ = √ √ = =⇒ θ = 30◦ 6· 2 3·2· 2 2 14 Rappels mathématiques 4.5 Produit vectoriel → − → − → − → − → − → − Le produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 est un vecteur noté V1 ∧ V2 ou V1 × V2 tel que : → → − → − − → − → − Sa direction est perpendiculaire au plan formé par V1 et V2 : V1 ∧ V2 ⊥ V1 et → − → − → − V1 ∧ V2 ⊥ V2. → − → − → − → − Son sens est tel que le trièdre V1 , V2 , V1 ∧ V2 est direct. Il est donné par la règle de la main droite ouverte sur le premier vecteur et se refermant sur le deuxième suivant le plus petit angle entre eux. Le pouce donne alors le sens du vecteur produit vectoriel. Son module est défini par : → − → − → − → − → − → − → − → − V1 ∧ V2 = V1 · V2 · sin V1 , V2 avec 0 ≤ V1 , V2 ≤ π − → − → V1 ∧ V2 − → V2 − → − → θ V1 ∧ V2 − → V1 Propriétés Le produit vectoriel est indépendant durepère choisi. − → − → − → − → − → − → Si les vecteurs V1 et V2 sont parallèles, V1 , V2 = 0, alors : V1 ∧ V2 = 0. − → − →  − → − →  π Si les vecteurs V1 et V2 sont perpendiculaires, V1 , V2 = , alors : 2 − → − → − → − → V1 ∧ V2 = V1 · V2. − → − → −→ −→ Le produit vectoriel est anticommutatif : V1 ∧ V2 = − V2 ∧ V1. → − − → − → − → − → − → − → Le produit vectoriel est distributif : V1 ∧ V2 + V3 = V1 ∧ V2 + V1 ∧ V3. − → − → − → − → V1 ∧ V2 représente l’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs V1 et V2. → − − → − →  − → − → − → − → − → − → V1 ∧ V2 ∧ V3 = V1 ∧ V3 · V2 − V1 ∧ V2 · V3.   → − → − Dans un repère orthonormé O, ~i, ~j, ~k , si les vecteurs V1 et V2 sont exprimés en fonction de leurs composantes : → − → − V1 = V1x~i + V1y~j + V1z~k et V2 = V2x~i + V2y~j + V2z~k le produit vectoriel peut s’exprimer comme suit : → − → −     V1 ∧ V2 = V1x~i + V1y~j + V1z~k ∧ V2x~i + V2y~j + V2z~k       = ~ ~ ~ ~ ~ (V1x · V2x ) i ∧ i + (V1x · V2y ) i ∧ j + (V1x · V2z ) i ∧ k ~       + (V1y · V2x ) ~j ∧ ~i + (V1y · V2y ) ~j ∧ ~j + (V1y · V2z ) ~j ∧ ~k       + (V1z · V2x ) ~k ∧ ~i + (V1z · V2y ) ~k ∧ ~j + (V1z · V2z ) ~k ∧ ~k 4. Algèbre vectorielle 15 Les propriétés et la définition du produit vectoriel font que : ~i ∧ ~i = ~j ∧ ~j = ~k ∧ ~k = → − 0   → − ~i ∧ ~j = − ~j ∧ ~i = k   → − ~k ∧ ~i = − ~i ∧ ~k = j   → − ~j ∧ ~k = − ~k ∧ ~j = i soit : → − → − V1 ∧ V2 = (V1y V2z − V1z V2y )~i + (V1z V 2x − V1x V 2z ) ~j + (V1x V 2y − V1y V 2x ) ~k On montre aussi que le produit vectoriel peut s’obtenir plus rapidement, par la méthode du déterminant, comme suit : ~i ~j ~k → − → − V1 ∧ V2 = V1x V1y V1z = (V1y V2z − V1z V2y )~i − (V1x V 2z − V1z V 2x ) ~j + (V1x V 2y − V1y V 2x ) ~k V2x V2y V2z Exemple − → Soit à déterminer le vecteur W produit vectoriel des deux vecteurs : − → − → V1 = 2~i + ~j + ~k et V2 = ~i + ~j Le vecteur produit vectoriel peut s’obtenir comme suit : ~i ~j ~k − → − → − → W = V1 ∧ V2 = 2 1 1 = (0 − 1) ~i − (0 − 1) ~j + (2 − 1) ~k = −~i + ~j + ~k 1 1 0 − → − → Pour déterminer l’angle θ entre les deux vecteurs V1 et V2 , d’après l’expression du module du vecteur produit vectoriel, on a : − → W sin (θ) = −→ − → V1 · V2 avec : q − → 2 √ W = (−1) + 12 + 12 = 3 − → √ √ V1 = 22 + 12 + 12 = 6 − → √ √ V2 = 12 + 12 = 2 ainsi : √ √ 3 3 1 sin (θ) = √ √ = √ √ = =⇒ θ = 30◦ 6· 2 3 · 2 · 2· 2 4.6 Produit mixte → − → − → − − → → − → − Le produit mixte de trois vecteurs V1 , V2 et V3 est un scalaire réel, noté V1 · V2 ∧ V3 , défini par : − → → − → − → − → − → − → − → − → −  V1 · V2 ∧ V3 = V1 · V2 ∧ V3 · cos V1 , V2 ∧ V3 → − → − → −  → − → − → − V1 , V2 ∧ V3 est l’angle formé par les vecteurs V1 et V2 ∧ V3. 16 Rappels mathématiques Propriétés → − − → − → − → − → − → − → −→ − → V1 · V2 ∧ V3 = V3 · V1 ∧ V2 = V2 · V3 ∧ V1. → − − → − → − → − → V1 · V2 ∧ V3 représente le volume du parallélépipède construit par les trois vecteurs V1 , V2 et − → V3.   → − → − → − Dans un repère orthonormé O, ~i, ~j, ~k , si les vecteurs V1 , V2 et V3 sont exprimés en fonction de leurs composantes : → − → − → − V1 = V1x~i + V1y~j + V1z~k ; V2 = V2x~i + V2y~j + V2z~k et V3 = V3x~i + V3y~j + V3z~k le produit mixte peut s’exprimer, en exploitant les définitions du produit scalaire et vectoriel, comme suit : − → → − → −   h   i V1 · V2 ∧ V3 = V1x~i + V1y~j + V1z~k V2x~i + V2y~j + V2z~k ∧ V3x~i + V3y~j + V3z~k   h = V1x~i + V1y~j + V1z~k (V2y V3z − V2z V3y )~i + (V2z V 3x − V2x V 3z ) ~j i ~ + (V2x V 3y − V2y V 3x ) k soit : − → → − → − V1 · V2 ∧ V3 = V1x (V2y V3z − V2z V3y ) + V1y (V2z V 3x − V2x V 3z ) + V1z (V2x V 3y − V2y V 3x ) On montre aussi que le produit mixte peut s’obtenir plus rapidement, par la méthode du déterminant, comme suit : V1x V1y V1z − → → − → − V1 · V2 ∧ V3 = V2x V2y V2z = (V2y V3z −V2z V3y ) V 1x −(V2x V3z −V2z V3x ) V1y +(V2x V3y −V 2y V3x ) V1z V3x V3y V3z 4.7 Moment d’un vecteur → − Soit un axe orienté (∆), de vecteur unitaire → − u , contenant un point O. Soit le vecteur V de point d’application M. Moment d’un vecteur par rapport à un point → − → → − − Le moment du vecteur V par rapport au point O est le vecteur MO V défini par : → → − −  −−→ →− MO V = OM ∧ V Son module est : → → − − −−→ → − −−→ →− MO V = OM · V · sin θ avec θ = OM , V 4. Algèbre vectorielle 17 soit : → → − − → − −−→ MO V = OH · V avec OH = OM · sin θ → − OH est la distance entre le point O et la droite portant le vecteur V. (∆)   → → − − MO V b − → u b O − → V θ M H Moment d’un vecteur par rapport à un axe → − → − Le moment du vecteur V par rapport à l’axe (∆) est le scalaire M∆ V défini par : → − −→ → − − −−→ →− − M∆ V = MO V · → u = OM ∧ V · → u Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est la projection sur cet axe du moment de ce même vecteur par rapport à un point quelconque de cet axe. 4.8 Propriétés de la dérivation des vecteurs   → − ~ ~ ~ Dans un repère O, i, j, k , un vecteur V dépend du temps si ses composantes sont elles-mêmes fonctions du temps : → − V (t) = Vx (t) ~i + Vy (t) ~j + Vz (t) ~k Comme pour une fonction réelle à une variable, la dérivée par rapport au temps du vecteur → − → − dV V (t) est le vecteur défini par : dt → − → − → − dV V (t + ∆t) − V (t) = lim dt ∆t−→0 ∆t On montre que : → − dV dVx (t) ~ dVy (t) ~ dVz (t) ~ = i+ j+ k dt dt dt dt 18 Rappels mathématiques Propriétés → − d  → −  dλ → − dV λ· V = · V +λ· , λ est un réel qui peut dépendre de t. dt dt →− dt → − d → − −  dV 1 → dV 2 V1+V2 = + dt → −dt dt → − d → − → −  dV 1 → − → − dV 2 V1·V2 = ·V2+V1· dt dt → − dt → − d → − → −  dV 1 →− →− dV 2 V1∧V2 = ∧V2+V1∧ dt dt dt Complément : Cas d’un vecteur unitaire tournant   Considérons le cas d’un vecteur unitaire → − u , dépendant du temps, dans un repère O, ~i, ~j : → − → − → − u (t) = cos θ (t) i + sin θ (t) j θ (t) est l’angle formé par ce vecteur avec l’axe Ox à l’instant t. L’angle θ étant variable au cours du temps, le vecteur →−u est dit vecteur tournant. Sa dérivée par rapport → − à l’angle θ est le vecteur v tel que : → − d→ − u → − → − π →− π → − v = = − sin θ i + cos θ j = − cos − θ i + sin −θ j dθ 2 2 On obtient un vecteur v orthogonal, dans le sens trigonométrique, au vecteur → → − − u (leur produit scalaire est nul) :  → − −  → → − − → → − u ·→ − v = cos θ i + sin θ j · − sin θ i + cos θ j = − cos θ · sin θ + cos θ · sin θ = 0 Si l’on dérive à nouveau le vecteur → − v par rapport à l’angle θ, on obtient le vecteur (−→ − u ) qui lui est orthogonal toujours dans le sens trigonométrique : d→ − v d → − d → − → − → −  → − − → = (− sin θ) i + (cos θ) j = − cos θ i − sin θ j = − cos θ i + sin θ j = −→ − u dθ dθ dθ y − → v − → − → u j π 2 −θ θ O → − i x −− → u de même, la dérivée par rapport au temps du vecteur → − u peut s’écrire comme : d→ −u dθ → − dθ → −  → − −  dθ → = (− sin θ) i + (cos θ) j = − sin θ i + cos θ j dt dt dt dt soit : d→ −u d→− u dθ = · dt dθ dt Nous exploiterons ces propriétés du vecteur unitaire tournant en cinématique du point matériel. 4. Algèbre vectorielle 19 4.9 Gradient, divergence, rotationnel et laplacien Le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien   sont définis à l’aide de l’opérateur → − différentiel vectoriel ∇ (nabla) défini dans la base ~i, ~j, ~k comme : → − ∂~ ∂ ∂ ~ ∇= i + ~j + k ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ , et sont, respectivement, les dérivées partielles par rapport à x, y et z. ∂x ∂y ∂z Gradient d’une fonction scalaire Soit une fonction scalaire f à plusieurs variables f (x, y, z). Le gradient de la fonction scalaire f est le vecteur défini par : −−→ → − ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ grad f = ∇f = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Divergence d’une fonction vectorielle → − Soit une fonction vectorielle V (Vx , Vy , Vz ). → − La divergence de la fonction vectorielle V est le scalaire défini par : → − → − → − ∂Vx ∂Vy ∂Vz div V = ∇ · V = + + ∂x ∂y ∂z Rotationnel d’une fonction vectorielle → − Soit une fonction vectorielle V (Vx , Vy , Vz ). → − Le rotationnel de la fonction vectorielle V est le vecteur défini par : ~i ~j ~k       −→→− → − → − ∂ ∂ ∂ ∂Vz ∂Vy ~ ∂Vz ∂Vx ~ ∂Vy ∂Vx ~ rot V = ∇ ∧ V = ∂x ∂y ∂z = − i− − j+ − k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Vx Vy Vz Laplacien d’une fonction scalaire Soit une fonction scalaire f à plusieurs variables f (x, y, z). Le laplacien de la fonction scalaire f , noté 4f est le scalaire défini par la divergence de son gradient : → − → − → − ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f 4f = ∇ · ∇f = ∇ 2 f = + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 20 Rappels mathématiques Exemple → − Soient les fonctions scalaire f et vectorielle V définies par : f (x, y, z) = x2 y + 2xy + z → − V (x, y, z) = xy~i − 2yz 2 ~j + zx3 ~k Le gradient de f est alors : −−→ ∂
∂
∂
grad f = x2 y + 2xy + z ~i + x2 y + 2xy + z ~j + x2 y + 2xy + z ~k ∂x ∂y ∂z → −
→− → − = (2xy + 2y) i + x2 + 2x j + k → − La divergence de V est alors : → − ∂ ∂
∂
div V = (xy) + −2yz 2 + zx3 ∂x ∂y ∂z = y − 2z 2 + x3 → − Le rotationnel de V est alors : ~i ~j ~k −→→− rot V = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = 4yz~i − 3zx2 ~j − x ~k xy −2yz 2 zx 3 Le laplacien de f est alors : ∂2 2
∂2 2
∂2
4f = 2 x y + 2xy + z + 2 x y + 2xy + z + 2 x2 y + 2xy + z ∂x ∂y ∂z = 2y