Chapitre 3_esilv PDF

Contents 1 2 3 4 5 6 7 Propriétés.............................. 1.1 Propriétés immédiates.................... 1.2 Transformation de Fourier et convolution.......... 1.3 Continuité de fˆ........................ Transformation de Fourier et dérivation............... 2.1 Dérivation........................... 2.2 Transformation de Fourier et produit tensoriel de fonctions Théorème d’inversion de Fourier dans L1 (RN )........... Cas de l’espace de Schwartz S(RN )................. Isomorphisme isométrique de Fourier dans L2 (RN )......... Applications.............................. 6.1 Une équation différentielle reliée à l’opérateur de Laplace 6.2 Equation de la Chaleur dans RN.............. 6.3 Equation des ondes en une dimension d’espace....... 6.4 Equation de Schrödinger................... 6.5 Une équation intégrale.................... Appendice............................... 7.1 Topology sur S(RN )..................... 7.2 Opérations continues sur S(RN )............... 7.3 Isomorphisme de Fourier sur S(RN )............. 1.................................................................................................... 3 4 5 6 7 7 9 10 14 15 18 18 20 22 23 24 25 25 26 27 2 CONTENTS Transformation de Fourier Dans ce Chapitre nous allons étudier les propriétés de la transformation de Fourier dans différents cadres fonctionnels et donner quelques applications en équation aux dérivées partielles. Définition 1. Soit f ∈ L1 (RN ). On définit la transformation de Fourier fˆ (on dit aussi transformée de Fourier de f ) par Ff (ξ) = fˆ(ξ) = Ici xξ = x.ξ = N X Z RN f (x)e−ixξ dx ∀ξ ∈ RN. xj ξj désigne le produit scalaire de x et ξ. On note dans la suite j=1  |x| = N X  1 2 x2j  la norme euclidienne de x dans RN. j=1 Remarque 1. On appelle x la variable spatiale tandis que ξ est la variable fréquentielle. Proposition 1. Si f ∈ L1 (RN ) alors fˆ est bien définie et fˆ ∈ L∞ (RN ). Preuve. Comme x → e−ixξ ∈ L∞ (RN ) avec |e−ixξ | = 1, alors x → f (x)e−ixξ ∈ L1 (RN ) et on a |fˆ(ξ)| = | Z RN f (x)e −ixξ dx| ≤ Z RN |f (x)||e−ixξ |dx ≤ ||f ||L1 (RN ) Ce qui implique que supess |fˆ(ξ)| = ∥f ∥L∞ (RN ) ≤ ||f ||L1 (RN ) et donc fˆ est bornée, on verra ξ∈RN plus loin qu’elle est en fait continue et donc mesurable. 1 Propriétés Notations. a. f (x) = f (x) où f est la conjuguée de f. b. fˇ(x) = f (−x) c. τα f (x) = f (x−α) la fonction α−translatée de f , τα est dit l’opérateur de translation. 3 4 CONTENTS 1.1 Propriétés immédiates Proposition 2. Soit f ∈ L1 (RN ), on a les propriétés suivantes: \ a. ∀ α ∈ RN ; eixα f (x)(ξ) = fˆ(ξ − α) = τα fˆ(ξ) −iαξ ˆ f (ξ) b. τd α f (ξ) = e c. Soit g(x) = f (λx) avec λ ∈ R∗ on a alors 1 ˆ ξ ĝ(ξ) = f |λ|N λ ! ∀ξ ∈ RN. ˆ¯ ¯ d. fˇ = fˆ(ξ) ∀ξ ∈ RN. e. L’opérateur transformée de Fourier F est un opérateur linéaire c’est à dire ˆ ˆ (λf\ 1 + βf2 ) = λf1 + β f2. Preuve. Voir exercise 1 TD 3. Exemple 1. Soit H(x) = e−|x| , ∀x ∈ R et pour λ > 0 soit Hλ (x) = H(λx) = e−λ|x|. d. Calculer H λ Solution. H et Hλ sont continues sur R, donc mesurables. D’autre part Z |Hλ (x)|dx = R Z 0 −∞ e dx + λx Z +∞ 0 e−λx dx = 2 < +∞. λ Donc f ∈ L1 (R). On calcule d (ξ) H λ = Z R e −λ|x| −iξx e dx = Z 0 e x(λ−iξ) −∞ dx + Z +∞ e−x(λ+iξ) dx 0 1 1 + λ − iξ λ + iξ 2λ 1 2 = = 2 λ+ξ λ 1+ ξ 2 λ = 1c ξ = H λ λ ! c et en déduire H d par la propriété c. de la On aurait pu calculer, simplement H λ 1 x d (x) = H( c ). proposition 2, puisque H λ λ λ 1. 5 PROPRIÉTÉS 1.2 Transformation de Fourier et convolution Proposition 3. Soit f ∈ L1 (RN ) et g ∈ L1 (RN ); on a alors a. f[ ∗ g(ξ) = fˆ(ξ)ĝ(ξ) b. Z RN Preuve. fˆ(ξ) g(ξ) dξ = Z RN (1) f (x) ĝ(x) dx (2) a. Comme f, g ∈ L1 (RN ) alors f ∗ g ∈ L1 (RN ). On a f[ ∗ g(ξ) = Z f ∗ g(x)e −ixξ RN dx = Z Z RN RN f (y)g(x − y)dy e−ixξ dx On sait que F (x, y) = f (y)g(x − y)e−ixξ ∈ L1 (RN × RN ), en effet Z RN ×RN |F (x, y)|dxdy = T onelli = Z N N Z R ×R |f (y)||g(x − y)|dxdy |f (y)|dy RN Z |g(x − y)|dx RN ≤ ||f ||L1 (RN ) ||g||L1 (RN ) D’où par Fubini f[ ∗ g(ξ) = Z f (y) Z R −ixξ g(x − y)e dx dy R On pose u = x − y, il vient f[ ∗ g(ξ) = = Z f (y) R Z Z −iξ(u+y) g(u)e du dy R f (y)e −iξy Z dy g(u)e R −iξu du = fˆ(ξ)ĝ(ξ) R b. On vérifie facielement, en utilisant le théorème de Tonelli, que la fonction (x, ξ) −→ f (x)g(ξ)e−ixξ ∈ L1 (RN × RN ), en fait Z RN ×RN |f (x)g(ξ)e−ixξ |dx dξ = Z |f (x)||g(ξ)|dx dξ RN ×RN T onelli = Z RN |f (x)| dx Z RN |g(ξ)| dξ Maintenant on peut utiliser Fubini pour établir l’égalité (2), comme suit Z RN fˆ(ξ)g(ξ) dξ = RN F ubini = = Z Z RN Z RN Z RN f (x)e −ixξ Z RN g(ξ)e f (x)ĝ(x) dx. dx g(ξ) dξ −ixξ dξ f (ξ) dx 6 CONTENTS 1.3 Continuité de fˆ Théorème 1. Si f ∈ L1 (RN ) alors fˆ est continue et lim fˆ(ξ) = 0, i.e. fˆ ∈ C0 (RN ). |ξ|→+∞ Remarque 2. Le résultat f ∈ L1 (RN ) alors fˆ est continue et lim fˆ(ξ) = 0, est |ξ|→+∞ appelé le lemme de Riemann-Lebesgue. Preuve. fˆ est continue: Soit ξ ∈ RN et (ξn )n ⊂ RN tel que ξn −→ ξ. Montrons que fˆ(ξn ) −→ fˆ(ξ). On n→+∞ n→+∞ a fˆ(ξn ) = Z f (x)e−iξn x dx, RN f (x)e−iξn x −→ f (x)e−iξx , avec la domination pour presque tout x ∈ R on a n→+∞ |f (x)e−iξn x | ≤ |f (x)| ∈ L1 (R). Par le théorème de convergence dominée on obtient lim fˆ(ξn ) = n→+∞ Z f (x)e−ixξ dx = fˆ(ξ) R Donc fˆ est continue. Pour montrer que lim fˆ(ξ) = 0, On écrit |ξ|→+∞ fˆ(ξ) = Z f (x)e −iξx dx = − Z R π f (x)e−iξ(x+ ξ ) dx ; ξ ̸= 0. R On utilise le changement de variable u = x + πξ , il vient fˆ(ξ) = − Z =− Z −iξ(x+ πξ ) f (x)e dx = − R R Z R f (u − π −iξu )e du ξ τ πξ f (u)e−iξu du On écrit 1 |fˆ(ξ)| = | (fˆ(ξ) + fˆ(ξ))| 2 Z 1Z −iξu = f (u)e du − τ πξ f (u)e−iξu du 2 R R 1Z 1 |f (u) − τ πξ f (u)||e−iξu |du = ||τ πξ f − f || 1 −→ 0 ≤ L |ξ|→+∞ 2 R 2 La dernière affirmation provient de la continuité de l’opérateur de translation sur les espace Lp , 1 ≤ p < +∞ (voir théorème de translation de Lebesgue, appendice du chapitre 2). Remarque 3. On peut aussi faire la démonstration du théorème 1 par densité de l’espace Cc1 (RN ) dans L1 (RN ). 2. TRANSFORMATION DE FOURIER ET DÉRIVATION 7 On peut utiliser de manière très simple le théorème 1 pour démonter la proposition suivante Proposition 4. L’algèbre (L1 (RN ), ∗) ne possède pas d’élément neutre, i.e. ∄ g ∈ L1 (RN ) telle que f ∗ g = f ∀ f ∈ L1 (RN ). Remarque 4. (L1 (RN ), ∗) est dite une algèbre convolutive car vérifie la propriété: f, g ∈ L1 (RN ) alors f ∗ g ∈ L1 (RN ). Preuve. En effet s’il y en avait un élément neutre qu’on noterai g, par exemple, on aurait f ∗ g = f ∀ f ∈ L1 (RN ), par conséquence fb(1 − gb) = 0 ∀ f ∈ L1 (RN ) et donc gb = 1, or ceci est impossible puisque g ∈ L1 (RN ), le théorème 1 impliquerait que gb ∈ C0 (R) absurde car 1 ∈ / C0 (RN ). 2 Transformation de Fourier et dérivation 2.1 Dérivation Théorème 2. Soit f ∈ L1 (RN ) tel que x → xj f ∈ L1 (RN ) alors fˆ est dérivable par rapport à ξj et on a la formule N ∂ξj fˆ(ξ) = −ixd j f (ξ) , ∀ξ ∈ R. c (ξ) , ∀ξ ∈ R). (Dans R, la formule s’écrit: (fˆ)′ (ξ) = −ixf Preuve. Pour simplifier les écritures, nous allons écrire la démonstration dans le cas N = 1, i.e. en supposant que x, ξ ∈ R. En fait, comme il s’agit de dérivée partielle par rapport à ξj la preuve est complètement transposable pour ξ ∈ RN. Soit ξ ∈ R tel que ξn −→ ξ, n→+∞ Z 1 fˆ(ξn ) − fˆ(ξ) −iξn x −iξx = f (x)(e −e )dx ξn − ξ ξn − ξ R ξ → e−iξx est C ∞ , par le théorème des accroissements finis, il existe ξn0 ∈]ξn , ξ[ tel que 0 e−iξn x − e−iξx = (ξn − ξ)(−ix)e−iξn x. Alors ça nous donne fˆ(ξn ) − fˆ(ξ) Z 0 = f (x)(−ix)e−iξn x dx, ξn − ξ R Pour presque tout x ∈ R 0 (−ix)e−iξn x f (x) −→ (−ix)e−iξx f (x). n→+∞ 8 CONTENTS d’autre part 0 −ixe−iξn x f (x) ≤ |xf (x)| ∈ L1 (R). Le théorème de convergence dominée de Lebesgue implique fˆ(ξn ) − fˆ(ξ) c (ξ) = −ixf fˆ′ (ξ) = lim ξn →ξ ξn − ξ Théorème 3. Soit f ∈ L1 (RN ) dérivable avec ∂xj f ∈ L1 (RN ) alors N ˆ ∂d xj f (ξ) = iξj f (ξ) ∀ξ ∈ R. (Dans R la formule devient: fb′ (ξ) = iξ fˆ(ξ)). Preuve. Ici aussi, nous écrirons la démonstration en dimension un, i.e. x, ξ ∈ R. fˆ′ (ξ) = Z f ′ (x)e−iξx dx = lim Z a a→+∞ −a R f ′ (x)e−iξx dx Intégrons par parties pour obtenir Z a fb′ (ξ) = lim − a→+∞ −a (−iξ)f (x)e−iξx dx + lim [f (a)e−iξa − f (−a)eiξa ] a→+∞ = iξ fˆ(ξ) + lim φ(a) avec |φ(a)| ≤ |f (a)| + |f (−a)|. a→+∞ Or içi f ∈ L1 (R) et f ′ ∈ L1 (R). On écrit f (a) = f (0) + Z a 0 f ′ (x)dx, donc lim |f (a)| = f (0) + a→+∞ Z +∞ 0 f ′ (x)dx < +∞ car f ′ ∈ L1 (R). Ce qui montre que lim f (a) existe. De même pour lim f (−a). Par le lemme 1 (voir a→+∞ a→+∞ plus loin), on a φ(a) −→ 0. a→+∞ Lemme 1. Si f ∈ L (R) et lim f (x) existe alors 1 x→±∞ lim f (x) = 0. |x|→+∞ Généralisation aux dérivées d’ordre supérieur. Proposition 5. Soient α = (α1 , α2 ,..., αN ) ∈ NN , xα = x1 α1...xN αN. a. Si f ∈ L1 (RN ) et xα f ∈ L1 (RN ) ∀ |α| ≤ m alors α f (ξ). fˆ ∈ C m (RN ) ; ∂ α fˆ(ξ) = (−i)|α| xd b. Si f ∈ C m (RN ) et ∂ α f ∈ L1 (RN ) ∀ |α| ≤ m alors α f (ξ) = (i)|α| ξ α fˆ(ξ). |ξ|m fˆ(ξ) −→ 0 et ∂d |ξ|→+∞ Preuve. Par récurrence sur m (utiliser le cas m = 1). 9 2. TRANSFORMATION DE FOURIER ET DÉRIVATION 2.2 Transformation de Fourier et produit tensoriel de fonctions Soit fi ∈ L1 (RNi ), i = 1, 2, on rappelle la définition du produit tensoriel de f1 et f2 : pour (x1 , x2 ) ∈ RN1 × RN2 , f1 ⊗ f2 (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ). Proposition 6. Si fi ∈ L1 (RN ), i = 1, 2. Alors f1 ⊗ f2 ∈ L1 (RN × RN ) et ˆ ˆ ˆ ˆ f\ 1 ⊗ f2 (ξ1 , ξ2 ) = f1 ⊗ f2 (ξ1 , ξ2 ) = f1 (ξ1 )f2 (ξ2 ) ∀(ξ1 , ξ2 ) ∈ RN × RN. Preuve. Vérifions d’abord que f1 ⊗ f2 ∈ L1 (RN × RN ), en fait : Z RN ×RN Z |f1 ⊗ f2 (x1 , x2 )| dx1 dx2 = RN ×RN T onelli = |f1 (x1 )||f2 (x2 )| dx1 dx2 Z RN |f1 (x1 )|dx1 Z RN |f2 (x2 )|dx2 = ||f1 ||L1 ||f2 ||L1 < +∞. Montrons maintenant l’égalité sur les tranformées de Fourier. Soit RN × RN , on a f\ 1 ⊗ f2 (ξ) = Z RN ×RN F ubini = ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ e−i(x1 ,x2 )·(ξ1 ,ξ2 ) f1 (x1 )f2 (x2 )dx1 dx2 Z RN e −ix1 ξ1 f1 (x1 )dx1 Z −ix2 ξ2 RN = fˆ1 (ξ1 )fˆ2 (ξ2 ) = (fˆ1 ⊗ fˆ2 )(ξ) e f2 (x2 )dx2 Le résultat précédent se généralise au pproduit de m fonctions de la manière suivante: Proposition 7. Soit fi ∈ L1 (RN ), i = 1, 2,..., m. Alors m O fj ∈ L1 (RN × RN ×... × RN ) et j=1 m [ O m O j=1 j=1 fj = fcj. Preuve. On utilise prposition 6, pour faire une récurrence sur m. Exemple 2. Pour x ∈ RN on définit la fonction gaussienne ρ(x) = e− |x|2 2 , |x|2 = N X x2j. j=1 Calculons la transformée de Fourier de cette fonction. 1) N = 1. x2 En dimension 1, ρ(x) = e− 2 , x ∈ R qui est une fonction C ∞ (R) ∩ Lp (R) ∀ 1 ≤ p ≤ +∞ et sa dérivée ρ′ (x) = −xρ(x), qu’on peut l’écrire ρ′ (x) = (−i)(−ix)ρ(x). Comme la fonction x −→ xρ(x) ∈ L1 (R) on peut appliquer la transformation de 10 CONTENTS [ Fourier à l’égalité précédente, il vient ρb′ (ξ) = (−i)−ixρ(ξ) et donc que ρ̂ vérifie ′ l’équation différentielle iξ ρ̂(ξ) = −iρ̂ (ξ) qui s’écrit encore ′ ρ̂ (ξ) = −ξ ρ̂(ξ). −ξ2 On intègre cette equation, il vient ρ̂(ξ) = Ce 2 , C ∈ R. Pour déterminer la Z 1 x2 constante C, on écrit C = ρ̂(0) = e− 2 dx = (2π) 2 , d’où finalement ρ̂(ξ) = 1 2 (2π) e R 2 − x2. 2) N ∈ N∗. Bien sur, ici encore ρ ∈ C ∞ (RN ) ∩ Lp (RN ) ∀ 1 ≤ p ≤ +∞, on écrit que b ρ(ξ) = m \x2j O m d x2 O j j=1 j=1 e− 2 = e− 2 et donc |ξ|2 [ |·|2 N b ρ(ξ) = e− 2 (ξ) = (2π) 2 e− 2 ∀ ξ ∈ RN. 2 3) Soit λ ∈ R∗+ et ρλ (x) = e−λ|x| , on a N π −λ|·|2 (ξ) = ρcλ (ξ) = e\ λ 2 |ξ|2 (3) e− 4λ. √ Pour démontrer la formule (3), il suffit de constater que ρλ (x) = ρN ( 2λ x) et donc par la propriété c. de la proposition 2, 1 ξ π ρcλ (ξ) = ( √ )N ρc )= N(√ λ 2λ 2λ N 3 2 |ξ|2 e− 4λ. Théorème d’inversion de Fourier dans L1(RN ) Dans ce paragraphe On démontrera le théorème d’inversion de Fourier dans L1 (R) puis on donnera sa généralisation à RN. Pour λ > 0 , on définit hλ (x) = 1 Z λ H(λξ)eixξ dξ =. 2 2π R π(x + λ2 ) On rappelle que H(t) = e−|t| et que (hλ )λ>0 est une approximation de l’identité (voir TD 3 exercice 3). Par conséquence, on a les convergences suivantes (voir chapitre 2 produit de convolution): a. Si f ∈ Cb (R) on a, hλ ∗ f −→ f uniformément sur tout compact de R. λ→0 b. Si f ∈ Lp (R), on a hλ ∗ f −→ f dans Lp (R) , λ→0 ∀ 1 ≤ p < +∞. 3. THÉORÈME D’INVERSION DE FOURIER DANS L1 (RN ) Proposition 8. Soit f ∈ L1 (R) , 11 ∀x ∈ R, 1Z hλ ∗ f (x) = H(λξ)fˆ(ξ)eiξx dξ 2π R Preuve. On a Z 1Z hλ ∗ f (x) = f (x − y)hλ (y)dy = f (x − y) H(λξ)eiyξ dξdy 2π R R R Z La fonction (ξ, y) → f (x − y)H(λξ)eiyξ ∈ L1 (R × R), donc par Fubini 1Z H(λξ) 2π R Z hλ ∗ f (x) = f (x − y)eiyξ dy dξ R On pose u = x − y, il vient 1Z hλ ∗ f (x) = H(λξ) 2π R Z f (u)e i(x−u)ξ du dξ = R 1Z H(λξ)fˆ(ξ)eiξx dξ 2π R Ce qui finit la preuve. Pour f ∈ L1 (R) tel que fˆ ∈ L1 (R), on définit 1Z ˆ g(x) = f (ξ)eiξx dξ 2π R A x fixé, on a F (x, ξ) = fˆ(ξ)eiξx ∈ L1 (R). On effectue le changement de variable u = −ξ, il vient 1 ˆˇˆ 1Z ˆ 1 Z ˇˆ −iux f (u)e−iux du = f (x). g(x) = f (−u)e du = 2π R 2π R 2π Énnonçons maintenant le théorème d’inversion de Fourier. Théorème 4. (d’inversion de Fourier) ˆ 1 ˇ Soit f ∈ L1 (R) tel que fˆ ∈ L1 (R), et soit g = 2π fˆ. Alors f = g presque partout (et si f est continue alors f = g, partout sur R) et on a la formule d’inversion de Fourier 1Z ˆ f (x) = f (ξ)eiξx dξ 2π R ˇ Preuve. f ∈ L1 (R) et fˆ ∈ L1 (R) alors fˆ ∈ L1 (R) et lim+ hλ ∗ f (x) = lim+ λ→0 λ→0 (4) ˆ 1 ˇ fˆ = 2π g ∈ C0 (R). Calculons 1Z H(λξ)fˆ(ξ)eiξx dξ 2π R On a ∀x, ξ ∈ R, H(λξ)fˆ(ξ)eiξx −→+ H(0)fˆ(ξ)eiξx = fˆ(ξ)eiξx λ→0 12 CONTENTS Et la domination |H(λξ)fˆ(ξ)eiξx | ≤ |H(λξ)||fˆ(ξ)| ≤ |fˆ(ξ)| ∈ L1 (R). Le théorème de convergence dominée implique que lim+ hλ ∗ f (x) = λ→0 1 ˆˇˆ 1Z ˆ f (ξ)eiξx dξ = g(x) = f (x) 2π R 2π Or f ∈ L1 (R) alors lim+ hλ ∗ f = f dans L1 (R). λ→0 Pour conclure, on utilise le théorème d’intégration suivant (voir chapitre 1) Théorème 5. Soit (fn )n ⊂ Lp , 1 ≤ p < +∞ tel que fn −→ f dans Lp (Ω). Alors il n→+∞ existe une sous-suite (fnk )k de (fn )n et une fonction h ∈ Lp (Ω) tel que a. fnk (x) → f (x) presque partout x ∈ Ω. b. |fnk (x)| ≤ h(x) presque partout x ∈ Ω. Définition 2. On définit alors, lorsque f et fb ∈ L1 (RN ), l’opérateur d’inversion de Fourier F −1 tel que F −1 ◦F = Id par F −1 1Z f (ξ)eiξx dξ (f )(x) = 2π R On a F −1 1Z ˆ f (ξ)eiξx dξ = f (x). ◦ F(f )(x) = 2π R Remarque 5. L’opérateur inverse F −1 est similaire à l’opérateur F et possède des propriétés semblables, notamment les mêmes formules de dérivations et de convolution! Exemple 3. 1) Calculer fˆ où f (x) = 1. 1 + x2 Solution. On a déjà démontré que F(e−|x| )(ξ) = 2. 1+ξ 2 On écrit 2 (x), 1 + ξ2 ! F −1 −|·| ◦ F(e )(x) = F −1 alors e −|x| 1Z 2 = eiξx dξ. 2π R 1 + ξ 2 On utilise le changement de variable u = −ξ pour obtenir 1Z 1 e−iξx dξ π R 1 + ξ2 ! 1 \ 1 = (x), π 1 + ξ2 e−|x| = 3. THÉORÈME D’INVERSION DE FOURIER DANS L1 (RN ) 13 d’où ! \ 1 (x) = πe−|x| , 1 + ξ2 et par suite on a fˆ(ξ) = 2) Déduire Z R \ 1 (ξ) = πe−|ξ|. 2 1+x cos(x) dx. 1 + x2 Solution. On écrit Z Z Z 1 cos(xξ) sin(xξ) 1 −iξx (ξ) = F e dx = dx − i dx = πe−|ξ|. 2 2 2 2 1+x R 1+x R 1+x R 1+x Par comparaison on obtient Z R cos(xξ) dx = πe−|ξ| 1 + x2 et Z R sin(xξ) dx = 0, 1 + x2 de plus, pour ξ = 1 on a Z R cos(x) π dx =. 2 1+x e Théorème 6. L’opérateur de Fourier F : L1 (R) → C0 (R) f → fˆ est linéaire injective. Preuve. F est linéaire déjà vu. Montrons que Ker F={0}, supposons que f ∈ L1 (R) avecZ Ff = 0, alors fˆ ∈ L1 (R) aussi et par le théorème d’inversion on a que f (x) = 1 fˆ(ξ)eixξ dξ = 0 p.p. et donc f=0 dans L1 (R). 2π R Le théorème 4 d’inversion de Fourier se généralise à RN comme suit : Théorème 7. (d’inversion de Fourier dans L1 (RN )) ˆˇ 1 ˆ Soit f ∈ L1 (RN ) tel que fˆ ∈ L1 (RN ), Alors f = (2π) N f et on a la formule d’inversion de Fourier 1 Z ˆ f (x) = f (ξ)eiξx dξ. (5) N (2π) R 14 4 CONTENTS Cas de l’espace de Schwartz S(RN ) Définition 3. On appelle espace de Schwartz l’espace S(RN ) = { f ∈ C ∞ (RN ) ; ∀α, β ∈ NN xα ∂ β f ∈ L∞ (RN )} = { f ∈ C ∞ (RN ) ; ∀n ∈ N, max|| 1 + |x|2 n 2 |α|≤n ∂ α f || ∞ < +∞} = { f ∈ C ∞ (RN ) ; ∀n ∈ N, Pn (f ) < +∞} Où l’on a posé Pn (f ) = max|| 1 + |x|2 n 2 ∂ α f ||. ∞ |α|≤n D(RN ) ,→ S(RN ). Exemple 4. φ ∈ D(RN ) =⇒ φ ∈ C ∞ (RN ) , ∀α ∈ NN , d’autre part φ ∈ D(RN ) =⇒ ∂ α φ ∈ D(RN ) =⇒ xβ ∂ α φ ∈ D(RN ) ,→ L∞ (RN ) f (x) = e− |x|2 2 alors f ∈ S(RN ). En effet f ∈ C ∞ (RN ) et ∂ α f (x) = Pα (x)f (x) où Pα polynôme de degré |α| (par récurrence!). Il vient, xβ ∂ α f (x) = Pα+β (x)f (x) ∈ L∞ (RN ) ∀α, β. Remarque 6. Si f ∈ S(RN ), alors f et toutes ses dérivées tendent vers zéro à l’infini, i.e. lorsque |x| −→ +∞, plus rapidement que n’importe quel polynôme, pour cette raison on appelle S l’espace des fonctions à décroissance rapide à l’infinie. En effet xα ∂ β f ∈ L∞ (RN ) =⇒ ∃M > 0 , |∂ β f | ≤ M −→ 0 |xα | |x|→+∞ Proposition 9. Si f ∈ S(RN ) alors f ∈ Lp (RN ), ∀ 1 ≤ p ≤ +∞ et fˆ ∈ S(RN ). Preuve. Soit f ∈ S. On a Z RN |f |p dx = Z RN 1 + |x|2 ≤ (Pm (f )) p |f |p m 2 Z RN 1 + |x| 1 2 1 + |x|2 0 (1 + r2 ) m 2 ∼ m dx 2 1 + |r|2 Or rN −1 2 rN −1 Z +∞ ≤ (Pm (f ))p |SN −1 | m dx 1 +∞ r m−N +1 m dr. 2 5. ISOMORPHISME ISOMÉTRIQUE DE FOURIER DANS L2 (RN ) 15 Elle est intégrable si m−N +1 > 1 =⇒ m > N. On choisit m > N , prendre m = N +1. Ce qui implique Z |f |p dx ≤ (Pm (f ))p |SN −1 |Cm,N < +∞ RN Montrons maintenant que fb ∈ S. D’abord, fb ∈ C ∞ (RN ), en effet f ∈ S =⇒ f ∈ L1 et xα f ∈ S ∀α ∈ NN =⇒ xα f ∈ L1 ∀α ∈ NN On en déduit que fb ∈ C ∞ (RN ) par la proposition 5. Il reste à montrer que ξ α ∂ β fb ∈ L∞ , ∀α, β ∈ NN. ∂ β fb = F((−i)|β| xβ f ) Alors ξ α ∂ β fˆ = ξ α F((−i)|β| xβ f ) = (−i)|α|+|β| F(∂ α (xβ f )) Donc ||ξ α ∂ β fˆ||∞ = ||F(∂ α (xβ f ))||∞ ≤ ||∂ α (xβ f )||L1 < +∞ Donnons maintenant un théorème fondamental de l’analyse de Fourier : Théorème 8. (fondamental) F : S → S est un isomorphisme topologique (i.e. continue à inverse continue). Preuve. Nous venons de voir que F opère bien de S(RN ) dans S(RN ) et que S(RN ) ⊂ L1 (RN ) par conséquence le théorème d’inversion de Fourier dans L! s’applique et on vérifie de la même façon que F −1 : S(RN ) −→ S(RN ). La preuve de la continuité demande de connaissances suplémentaires en mathématiques, est donnée avec des compléments, dans la section Appendice en fin de ce chapitre. 5 Isomorphisme isométrique de Fourier dans L2(RN ) Pour terminer ce chapitre regardons comment étendre la transformation de Fourier de S(RN ) à l’espace L2 (R2 ). On a vu dans l’appendice du chapitre 1 que l’espace D(RN ) est dense dans les Lp (RN ), 1 ≤ p < +∞, en particulier donc, dans L2 (RN ). D’autre part D(RN ) ,→ S(RN ) ,→ L2 (RN ), on en déduit que S(RN ) est aussi dense dans L2 (RN ). Nous allons utiliser cette densité pour étendre la transformation de Fourier (i.e. l’opérateur de Fourier) de S(RN ) à L2 (RN ). Nous avons le théorème suivant N Théorème 9. L’opérateur (2π)− 2 F est un isomorphisme isométrique de L2 (RN ) dans lui même (on dit aussi automorphisme isométrique de L2 (RN )). On a aussi l’égalité de Plancherel (2π) −N Z RN fˆ(ξ)ĝ(ξ) dξ = Z RN f (x)g(x) dx, ∀f, g ∈ L2 (RN ). (6) 16 CONTENTS Remarque 7. Pour f = g l’égalité (6) implique la propriété d’isométrie, en fait elle devient N (2π)− 2 ∥fˆ∥L2 = ∥f ∥L2 ∀ f ∈ L2 (RN ). Preuve. La preuve se fait en deux étapes. Etape 1 Nous montrons (6) dans l’espace S(RN ) : (2π)−N fˆ(ξ)ĝ(ξ) dξ = Z RN Z RN f (x)g(x) dx, ∀f, g ∈ S(RN ). (7) On sait par l’égalité (2) de la proposition 3 que Z RN fˆ(ξ) h(ξ) dξ = Z RN f (x) ĥ(x) dx, ∀f, g ∈ L1 (RN ) ⊃ S(RN ). On pose h = ĝ = Fg. Alors Z RN fˆ(ξ) Fg(ξ) dξ = Z RN f (x) Fh(x) dx On a Fh = F(Fg) = FFg = (2π)N g, où F(g)(x) = dans (8) il vient fˆ(ξ)ĝ(ξ) dξ = Z RN et donc (2π)−N Z RN Z RN Z RN (8) g(ξ)eixξ dξ. On remplace f (x)(2π)N g(x) dx fˆ(ξ)ĝ(ξ) dξ = Z RN f (x)g(x) dx. N On pose H = (2π)− 2 F, alors l’égalité (8) implique que Z RN Hf (ξ) Hg(ξ) dξ = Z RN f (x) g(x) dx d’où ∥Hf ∥L2 = ∥f ∥L2 ∀f ∈ S(RN ). (9) Soit maintenant f ∈ L (R ) comme S(R ) est dense dans L (R ), il existe alors une suite de fonctions (fn )n ⊂ S(RN ); fn −→ f dans L2 (RN ). La suite gn = Hfn 2 N ets de Cauchy dans L2 (RN ), car N 2 N n→+∞ ∥Hfn − Hfm ∥L2 = ∥fn − fm ∥L2 −→ 0. n→+∞ On en déduit qu’il existe g ∈ L2 (RN ) telle que Hfn −→ g dans L2 (RN ). n→+∞ On définit alors Hf = g, on vérifie aisément que cette déninition (i.e. g) ne dépend pas de la suite choisie (fn )n mais seulement de f. On peut passer maintenant à la limite sur l’égalité (7) pour obtenir (6). En particulier on a aussi que l’égalité (9) est vraie dans L2 (RN ), i.e. ∥Hf ∥L2 = ∥f ∥L2 ∀f ∈ L2 (RN ). (10) 5. ISOMORPHISME ISOMÉTRIQUE DE FOURIER DANS L2 (RN ) 17 N −2 Etape 2 Pour montrer F où Z que H (qui est linéaire!) est bijective, on définit H = (2π) F(g)(x) = g(ξ)eixξ dξ et on montre de la même manière, que H, que H L2 (RN ) −→ RN L2 (RN ) et que H ◦ H = H ◦ H = IdL2. Remarque 8. (a) L’égalité de Plancherel implique que l’opérateur de Fourier F est continue ainsi que son inverse sur L2 (RN ). (b) On peut montrer qu’on peut définir la transormation de Fouriée dans L2 (RN ) comme suit Z n ˆ Ff (ξ) = f (ξ) = lim f (x)e−ixξ dξ n→+∞ −n limite dans L2 (RN ) et que l’inverse de Ff est donnée par 1 Zn ˆ f (ξ)e−ixξ dx n→+∞ (2π)N −n F −1 Ff (x) = f (x) = lim limite dans L2 (RN ). Un dernier résultat qui peut être utile Proposition 10. Soit, f et g ∈ L2 (RN ). Alors f g ∈ L1 (RN ) et 1 b f ∗ gb. (2π)N fcg = (11) Preuve. f g ∈ L1 (RN ) découle de l’inégalité de Holder. Montrons l’égalité (11) d’abord pour f, g ∈ S(RN ) puis par densité de S(RN ) dans L2 (RN ) on l’étend à L2 (RN ). On écrit fcg(ξ) = Z f (x)g(x)e −ixξ RN dx = Z RN ! 1 Z ˆ iyx f (y)e dy g(x)e−ixξ dx N N (2π) R On peut utiliser le théorème de Fubini, puisque la fonction (x, y) −→ fˆ(y)eiyx g(x)e−ixξ ∈ L1 (RN × RN ). On obtient fcg(ξ) Z 1 Z ˆ f (y) dy g(x)e−ix(ξ−y) dx dy = N N N (2π) R R 1 Z ˆ = f (y)ĝ(ξ − y) dy (2π)N RN 1 ˆ = f ∗ ĝ(ξ). (2π)N Maintenant pour f, g ∈ L2 (RN ) il existe (fn )n et (gn )n ⊂ S(RN ) tels que fn −→ f et gn −→ g dans L2 (RN ). n→+∞ n→+∞ 18 CONTENTS On écrit ||fn gn − f g||L1 = ∥fn (gn − g) − (f − fn )g∥L1 ≤ ∥fn ∥L2 ∥(gn − g)∥L2 + ∥g∥L2 ∥(fn − f )∥L2 −→ 0. n→+∞ Par consequence fn gn −→ f g dans L1 (RN ) et par le théorème 5, il vient qu’il n→+∞ existe une sous-suite (fnk gnk )nk , pour simplifier, on continue à la noter (fn gn )n et une fonction h ∈ L1 (RN ) tels que : (i) (fn gn )(x) −→ (f g)(x) p.p. en x. n→+∞ (ii) ∃h ∈ L (RN ) |(f g)(x)| ≤ h(x) p.p. x ∈ RN. 1 On applique maintenant le théorème de la convergence dominée à la suite (fd n gn )n cg dans L1 (RN ). On peut donc en extraire, par le pour conclure que fd g −→ f n n n→+∞ théorème 5, une sous suite, qu’on continue à noter (fd n gn )n converge presque partout vers f g. De même fcn ∗ gcn −→ fb ∗ gb dans L∞ (RN ). En fait, n→+∞ ||fcn ∗ gcn − fb ∗ gb||L∞ = ||fcn ∗ (gcn − gb) − (fb − fcn ) ∗ gb||L∞ ≤ ∥fcn ∥L2 ∥gcn − gb∥L2 + ∥gb∥L2 ∥fcn − fb∥L2 −→ 0. n→+∞ La dernière affirmation vient de la continuité de l’opérateur de Fourier sur L2 (RN ) (ou encore de l’égalité de Plancherel). 6 Applications Dans cette section nous allons donner quelques applications indicatives de la pertinence et de l’utilité de l’analyse de Fourier pour résoudre de problèmes, entre autre, reliés à la physiques. 6.1 Une équation différentielle reliée à l’opérateur de Laplace Soit H(x) = e−|x| et pour λ > 0 soit Hλ (x) = H(λx) = e−λ|x|. On rappelle que d== H λ λ2 1 2 2λ = 2 +ξ λ 1+ ξ 2 λ 1c ξ = H. λ λ ! On va utiliser maintenant le résultat précédent pour résoudre une équation différentielle ordinaire de second ordre dans R. On verra plus loin ( et en TD) que cette méthode permet de résoudre le même type déquation dans RN , c’est à dire des équations aux 19 6. APPLICATIONS dérivées partielles. L’équation est la suivante: −λu′′ (x) + u(x) = f (x) ∀x ∈ R, lim u(x) = 0. ( conditions aux limites).  |x|→+∞   (12) avec λ > 0 et f ∈ L1 (R) ∩ C(R). Remarque 9. l’hypothèse f ∈ C(R) est pour assurer que u ∈ C 2 (R). On peut s’affranchir de cette hypothèse assez forte dans les applications réelles si on travaille dans l’espace des distributions dans lequel il y a une notion de dérivabilité beaucoup plus faible que celle que nous connaissons et qui est dite au sens de Fréshet. Supposons que u ∈ L1 (R) ∩ C 2 (R) solution de l’équation (12), on applique l’opérateur de Fourier à cette équation, il vient ′′ + u = fˆ, \ −λu −λuc′′ + û = fˆ et par linéarité (13) Et puisque u est supposé C 2 (R), il vient =⇒ et donc −(iλξ)2 û + û = fˆ (1 + λξ 2 )û(ξ) = fˆ(ξ) û(ξ) = (14) fˆ(ξ) √ (1 + ( λξ)2 ) Comme f ∈ L1 (R) alors fˆ ∈ C0 (R) et par consequence û ∈ L1 (R). Ici, on peut écrire, par identification que √ √ 1 1 c −|x| ( λξ) = fˆ(ξ)H(( û(ξ) = fˆ(ξ)ed λξ) 2 2 que l’on peut encore écrire 1 1 F(u)(ξ) = √ F(f ∗ H( √ ·))(ξ) 2 λ λ On utilise que F est injectif (déjà vu), il vient alors que 1 − √1 |·| u(x) = √ (f ∗ e λ )(x) 2 λ (15) Comme f ∈ L1 (R) et e−|·| ∈ Lp (R) ∀1 ≤ p ≤ +∞ (même C0 (R)) alors u ∈ Lp (R) ∩ Cb (R). En fait, u ∈ C0 (R), pour le montrer, on considère une suite (xn )n ∈ R telle que − √1 |x −y| lim |xn | = +∞ alors pour p.p. y ∈ R on a lim f (y)e λ n = 0. D’autre part n→+∞ − √1 |xn −y|| n→+∞ 1 p.p y ∈ R, |f (y)e λ ≤ |f (y)| avec f ∈ L (R), alors le théorème de convergence dominée de Lebesgue appliqué à l’expression de u donnée par (15) implique que la limite de u en ±∞ vaut zéro. On peut remonter le calcul précèdent jusqu’á (14) puis un calcul de distribution (hors programme ici!) permet de justifier que u vévrifie l’équation (13) 20 CONTENTS et vérifier que u est bien solution de l’équation (12) dans un sens faible (au sens des distributions). Puis de l’équation (12)1 , on déduit que u ∈ C 2 (R) (c’est ici qu’on utilise l’hypothèse f ∈ C(R)). Bien sur, on peut aussi, toujours en passant dans l’espace des distributions, prouver directement en utilisant l’expression (15) de u , puisque f ∈ C(R), que u ∈ C 2 (R) est bien solution classique de notre equation. Toutes ces difficultés disparaissent si on suppose que f est assez régulière. Prenons le cas extrème, f ∈ S(R) alors de (15) on a xm u(k) (x) = xm f (k) ∗ e−|·| (x) =⇒ ||xm u(k) ||L∞ ≤ ||xm f (k) ||L∞ ||e−|·| ||L1 , ∀m , k ∈ N. Ce qui implique que u ∈ S(R) et on peut donc procéder par équivalence dans le calcul de (13) à (15). Pour finir, on va montrer que la condition aux limites dans (12) sont là pour assurer l’unicité de la solution. En fait, supposons que u1 et u2 sont deux solutions de l’équation (12), il vient que u = u1 − u2 est solution de l’éqution homogène associé ‘a (15), i.e. solution de   −λu′′ (x) + u(x) = 0 ∀x ∈ R, (16) lim u(x) = 0. ( conditions aux limites).  |x|→+∞ − √1 x √1 x Or la solution générale de (16) est donnée par u(x) = C1 e λ + C2 e λ. u doit vérifier les conditions aux limites lim u(x) = 0, or ceci n’est possible que si C1 = C2 = 0 et |x|→±∞ donc que u = 0 d’où l’unicité de la solution. 6.2 Equation de la Chaleur dans RN On désire étudier et résoudre l’équation de la chaleur à N variables ∂u (t, x) − λ∆u(t, x) = f (t, x)  ∂t u(0, x) = u0 (x) ∀x ∈ RN ,   ∀x ∈ RN , t > 0. (17) u : R+ × RN −→ R est l’inconnue et represente la valeur de la chaleur à l’instant t et à la position x, f : R+ × RN −→ R, on suppose que f ∈ L2 (R∗+ × RN ), est la source de chaleur extérieure à l’instant t et à la position x. u0 ∈ L1 (RN ) ( ou ∈ L2 (RN )) est la chaleur initiale, i.e. à l’instant t = 0, λ > 0 est un coeficient relié à la capacité calorifique de l’environement étudié (ici c’est l’espace tout entier!). On rappelle la définition de N X ∂ 2u l’opérateur de Laplace ∆u =. 2 j=1 ∂xj Supposons que u est une solution de l’équation (17) assez régulière, ainsi que u0 et f , au moins pour pouvoir faire les calculs qui vont suivre. On pourra discuter cette question de régularité suffisante a postiori. Appliquons l’opérateur de Fourier, par rapport à la variable x au système (17), il vient dub (t, ξ) + λ|ξ|2 ub(t, ξ) = fb(t, ξ). dt  ub(0, ξ) = uc0 (ξ) ∀ξ ∈ RN ,   (18) 21 6. APPLICATIONS À ξ ∈ RN fixé, c’est une équation différentielle ordinaire en temps, qu’on peut intégrer 2 par rapport au temps. Pour cela on la multiplie par eλt|ξ| et on l’écrit sous la forme d λt|ξ|2 2 ub(t, ξ) = eλt|ξ| fb(t, ξ). e dt On intègre entre 0 et t, on obtient ub(t, ξ) −λt|ξ|2 =e uc0 (ξ) + Z t 0 2 e−λ(t−s)|ξ| fb(s, ξ)ds. (19) (La forume (19) est dite formule de Duhamel ). Rappelons maintenant que par l’égalité (3), on a pour δ > 0 N π −δ|·|2 (ξ) = ρcδ (ξ) = e[ δ Pour δ = 2 e− |ξ|2 4δ. 1 , (t > 0), on aura 4λt N 2 2 1 \ e− 4λt |·| (ξ) = (4λπt) 2 e−λt|ξ| , D’où on tire que 1 2 e−λt|ξ| = (4λπt) N 2 2 1 \ e− 4λt |·| (ξ). On repporte dans (19), il vient ub(t, ξ) = = 1 1 2 Z t 1 2 Z t e− 4λt |·| ∗ u0 (ξ) + F N F (4λπt) 2 1 (4λπt) N 2 F e− 4λt |·| ∗ u0 (ξ) + F 0 2 F −1 e−λ(t−s)|ξ| fb(s, ξ) ds F −1 e−λ(t−s)|·| 2 0 ∗ f (s, ·)(x) ds. Ici, on a utilisé que pour u, v ∈ L2 (RN ) (on peut montrer voir démonstration cas Fourier: F) que F −1 (u v) = F −1 u ∗ F −1 v. Comme e −λ(t−s)|ξ|2 = 1 N (4λπ(t − s)) 2 On obtient que F −1 e−λ(t−s)|ξ| ub(t, ξ) = 1 N (4λπt) 2 1 − 4λt |·|2 F e 2 (x) = ∗ u0 (ξ) + F F e 1 − 4λ(t−s) |·|2 1 1 (4λπ(t − s)) N 2 , 2 e− 4λ(t−s) |x| , Z t 1 0 (4λπ(t − s)) 2 N e 1 − 4λ(t−s) |·|2 ! ∗ f (s, ·)(x) ds. On en déduit que la solution de l’équation de la chaleur (17) est donée par la formule u(t, x) = 1 N (4λπt) 2 1 − 4λt |·|2 e ∗ u0 (x) + Z t 1 0 (4λπ(t − s)) 2 N 1 − 4λ(t−s) |·|2 e ! ∗ f (s, ·) (x)ds. (20) 22 CONTENTS Maintenant, si on suppose que u0 ∈ S(RN ) et f ∈ C(R∗+ ; S(RN )) alors u ∈ C 1 (R∗+ ; S(RN )) est une solution unique de l’équation (17) (on peut remonter le calcul précécdent). Bien sur, on peut largement affaiblir les conditions de régularités sur u0 et f. Par exemple pour u0 ∈ L2 (RN ) et f ∈ Cb (R∗+ ; L2 (RN ) alors par la formule (20) u est C(R+ ; L2 (RN )) avec lim u(t, x) = 0, mais pour cela il faudrait encore passer dans l’espace des distri|x|→+∞ butions! Dans le cas f = 0, la formule (20) de u est bien plus simple et devient u(t, x) = 1 N 1 2 e− 4λt |·| ∗ u0 (x) (21) (4λπt) 2 = ρ√2λt ∗ u0 (x), (22) On a déjà vu que (ρϵ )ϵ>0 est une suite de S(RN ) qui constitue une approximation de l’identité (voir chapitre 2). ce qui montre que u est C(R∗+ × RN )) avec lim u(t, x) = 0. |x|→+∞ D’autre part on en déduit aussi que lim+ u(t, ·) = u0 dans L (R ) dès que u0 ∈ Lp (RN ) p N t→0 et uniformément sur les compacts si u0 ∈ Cb (RN ) ( voir théorème 3 chapitre 2). Le fait que u devient C ∞ dès que t > 0 est dit effet de dissipativité en physique et pour cette raison, on dit que l’opérateur −∆ est un opérateur dissipatif. 6.3 Equation des ondes en une dimension d’espace On considère léquation des ondes linéaires              ∂ 2u (t, x) − c2 ∆u(t, x) = 0 ∀x ∈ R, t > 0. ∂t2 u(0, x) = ϕ(x) ∀x ∈ R, ∂u (0, x) = ψ(x) ∀x ∈ R, ∂t (23) u : R+ × R −→ R est l’inconnue et représente la valeur de l’amplitude de l’onde à l’instant t et à la position x. ϕ ∈ L1 (R)∩C 2 (R) et ψ ∈ L1 (R)∩C 1 (R) sont respectivement l’amplitude et la vistesse initiales, i.e. à l’instant t = 0. c ̸= 0 est la célérité de l’onde. On applique la transformation de Fourier au système (23), on obtient à ξ ∈ R fixé, d2 ub (t, ξ) + (cξ)2 ub(t, ξ) = 0 ∀ξ ∈ R, t > 0, ∂t2 b (24) ub(0, ξ) = ϕ(ξ) ∀ξ ∈ R,    b ∂ u  b   (0, x) = ψ(ξ) ∀ξ ∈ R. ∂t La solution générale de cette équation différentielle est donnée par la formule ub(t, ξ) = A cos (cξt) + B sin (cξt), on utilise les conditions initiales pour calculer A et B, il vient        sin (cξ) b ψ(cξ) cξ eicξ + e−icξ b sin(cξ) b = ϕ(ξ) + ψ(ξ). 2 cξ b ub(t, ξ) = cos (cξ) ϕ(ξ) + (25) 23 6. APPLICATIONS \ Par la proposition 2 on sait que e−iαξ fb(ξ) = τd α f (ξ) = f (· − α)(ξ) et d’autre part sin(cξ) 1\ 1[−ct,ct] (ξ) = 2 ξ. Il vient en remplacant dans (25) que ub(t, ξ) 1 1\ b \ \ = ϕ(x + ct)(ξ) + ϕ(x − ct)(ξ) + 1[−ct,ct] (ξ) ψ(ξ), 2 2c 1 1 =F (ϕ(x + ct) + ϕ(x − ct)) + 1[−ct,ct] ∗ ψ (ξ). 2 2c (26) On en déduit, par l’injectivité de F, la formule de D’Alembert donnant la solution de l’équation des ondes linéaires. 1 1 Z x+ct u(x, t) = (ϕ(x + ct) + ϕ(x − ct)) + ψ(y) dy. (27) 2 2c x−ct De l’expression donnée par (27), on peut facilement déduire toutes les propriétés de la solutuion u. Par exemple que la solition est constituée par la superposition de deux ondes se déplaçant en sens inverse à vitesse −c et c (pour bien le voir on peut prendre ψ = 0). C’est le phénomène de propagation qui est toujours à vitesse finie. Constatons un fait remarquable par rapport à l’équation de la chaleur est que la solution des ondes peut etre définie pour les temps négatifs, i.e. la solution est réversible en temps ce qui n’est pas le cas de la solution de léquation de la chaleur. D’autre part, on n’a pas non plus le phénomène de régularisation constaté sur la solution de l’équation de la chaleur. Ici la ˚ ’egularité de la solution dépend de celle de la position et de la vitesse initiales ϕ et ψ. 6.4 Equation de Schrödinger ∂u (t, x) − i ∆u(t, x) = 0  ∂t u(0, x) = ϕ(x) ∀x ∈ R,   ∀x ∈ RN , t > 0. (28) Ici, u et ϕ sont à valeur complexes. Formelement si on remplace dans l’équation de la chaleur λ par i et on prend le second membre f = 0 et on fait le même calcul, il vient que 2 b ub(t, ξ) = e−it|ξ| ϕ(ξ) u(t, x) = i 2 1 (4πit) N 2 i 2 (29) e 4t |·| ∗ ϕ (x) (30) Ici |e−itξ | et |e 4t |·| | = 1 et donc ces deux fonctions sont seulement L∞ (RN ) en la variable ξ, la conséquence est qu’on ne peut pas justifier la formule (30) à partrir de l’égalité (29) sans passer par le calcul des distributions (ici ce sont les distributions tempérées qui sont concernées!). Cependant, comme pour l’équation de la chaleur, si on suppose que ϕ est suffisament régulière (ici il suffit de supposer que ϕ et |x|2 ϕ ∈ L( RN )), alors on vérifie par calcul directe sur l’expression de u donnée par (30), que u vérfifie bien l’équation de Schrödinger (28). Constatons aussi que le produit de convolution dans (30) n’a de sens, a 24 CONTENTS b priori, que si ϕ ∈ L1 (RN ). Mais en fait, par (29) on a que ∥ub(t, ·)∥L2 (RN ) = ∥ϕ(ξ)∥ L2 (RN ) et 2 N par l’isomorphisme de Fourier sur L (R ), on déduit qu’il existe un unique u ∈ L2 (RN ), 2 b tel que u(t, x) = F −1 e−it|ξ| ϕ(ξ). En utilisant l’égalité de Plancherel (6), qui nous a permis aussi d’étendre la transformation de Fourier à L2 (RN ), il vient N (2π) 2 ∥u(t, ·)∥L2 (RN ) = ∥ub(t, ·)∥L2 (RN ) et de (29), on déduit qu’il y a conservation de la norme L2 (RN ), i.e. ∥u(t, ·)∥L2 (RN ) = ∥ϕ∥L2 (RN ) ∀t > 0. (31) Cette égalité montre que le flot associé à l’équation, i.e. l’application: ϕ −→ u est une isométrie (linéaire) et on peut alors étendre la formule (30) aux fonctions ϕ ∈ L2 (RN ), comme nous l’avons fait pour la transformation de Fourier. Dans le cas où ϕ ∈ L1 (RN )∩L2 (RN ), le théorème 1 du chapitre 2 implique l’éstimation ∥u(t, ·)∥L∞ ≤ 1 (4π|t|) ∥u(t, ·)∥L∞ ≤ 2 i N 2 ∥e 4t |·| ∥L∞ ∥ϕ∥L1. 1 N (4π|t|) 2 ∥ϕ∥L1. (32) On constate ici un effet régularisant, on part d’une condition initiale ϕ ∈ L1 et on est tout de suite à valeur dans Cb (RN ) (i.e C(RN ) ∩ L∞ (RN )). D’autre part cette derniére inégalité implique que lim ∥u(t, ·)∥L∞ = 0 , t→+∞ en même temps la norme ∥u(t, ·)∥L2 (RN ) est conservée d’après (31) pour tout temps t > 0. On parle alors de l’effet dispersive de l’équation de Schrödinger et l’éstimation (32) est appelée éstimation de dispersion. 6.5 Une équation intégrale Soit β > 0, on considère l’ équation suivante: u(x) = e −|x| +β Z +∞ e−|x−s| u(s)ds −∞ (33) Ici encore l’inconnu est la fonction u : R −→ R. Commencons par constater que l’équation (33) s’écrit aussi, u(x) = H(x) + βH ∗ u(x), avec H(x) = e−|x|. Si u ∈ L1 (R), on peut appliquer la transformation de Fourier à cette 2 c c u c b(ξ) et puisque H(ξ) équation, il vient ub(ξ) = H(ξ) + β H(ξ) = = h(ξ), on en 1 + ξ2 déduit que (1 − 2β + ξ 2 )ub(ξ) = 2, ∀ξ ∈ R et donc ub(ξ) = 2 (1 + ξ 2 − 2β) à condition que 1 − 2β + ξ 2 ̸= 0 ∀ξ ∈ R. (en fait, puisqu’on a supposé u ∈ L1 (R) alors ub ∈ C0 (R) d’où cette condition). Cette condition est assurée si et ssi 1 − 2β > 0. On 25 7. APPENDICE suppose désormais que 0 < β < 21. On vérifie facielement que ub ∈ L1 (R) puisque c’est une 2 fonction continue sur R, donc intégrable sur tout compact et d’autre part ub ∼ 2. Par ±∞ ξ le théorè,me d’inversion de Fourier, il vient que u(x) = F −1 2  ! = F −1   (1 + ξ 2 − 2β) 1 2 1 − 2β 1 + ( √ ξ 1−2β  )2   1 ξ 1 F −1 √ h( √ ) 1 − 2β 1 − 2β 1 − 2β √ 1 =√ F −1 F e− 1−2β|·| (x) 1 − 2β ! =√ D’où finalement on a u(x) = √ √ 1 e− 1−2β |x| 1 − 2β Cette solution est unique dans L1 (R). En fait, supposons qu’il y a deux solutions u1 et u2 , notons u = u1 − u2 , alors u vérifie l’équation u(x) = βH ∗ u(x), et donc c c = 1 or ceci est impossible ub(ξ)(1 − β H(ξ)) = 0 ∀ξ ∈ R, comme ub ̸= 0, on déduit que H β 1 puisque ∈ / C0 (R). β 7 7.1 Appendice Topology sur S(RN ) Soient α, β ∈ NN , on définit la famille de semi-normes Pα,β (f ) = ||xα ∂ β f ||∞ ∀f ∈ S(RN ) Alors (S(RN ), (Pα,β )α,β ) est un espace localement convexe (on utilise en général l’abréviation elc). On peut définir aussi une famille de semi-normes équivalente à la précédente par: Pn (f ) = max|| 1 + |x|2 n 2 |α|≤n ∂ α f || ∞ ∀n ∈ N. Alors (S(RN ), (Pn )n∈N ) est un espace localement convexe. Dans la suite, pour montrer les propriétés de l’espace S, on utilisera inopinément l’une ou l’autre des précédentes familles de semi-normes. On démontre la caractérisation suivante de la continuité des applications linéaires entre deux espaces localement convexes. Soit (E, (Pi )i∈I ) et (F, (Qj )j∈J ) deux espace localement convexe et T : (E, (Pi )i∈I ) → (F, (Qj )j∈J ) une application linéaire. Alors T est continue si et seulement si ∀j ∈ J, ∃c > 0 et I ′ ⊂ I finie tel que |Qj (T x)| ≤ c Pi (x) X i∈I ∀x ∈ E. 26 CONTENTS Pour S: on a T : S(RN ) → S(RN ) est linéaire. Alors T est continue si et seulement si ∀n ∈ N, ∃c > 0 et n′ ∈ N tel que Pn (f ) ≤ cPn′ (f ) ∀n ≤ n′. Remarque 10. Pn croît avec n. Théorème 10. (S(RN ), (Pn )n∈N ) est un espace de Fréchet. 7.2 Opérations continues sur S(RN ) Proposition 11. Si f ∈ S alors ∂ α f ∈ S et ∂ α : S(RN ) → S(RN ) f → ∂ αf est linéaire et continue. Preuve. La dérivation est linéaire. Soit (α, β) ∈ NN × NN. Pγ,δ (∂ α f ) = ||xγ ∂ δ (∂ α f )||∞ = ||xγ ∂ δ+α f ||∞ = Pγ,δ+α (f ) Multiplication Définition 4. On définit Oµ = { f ∈ C ∞ (RN ), α ∈ NN , mα > 0 et cα > 0 tel que : |∂ α f (x)| ≤ cα (1 + |x|2 ) mα 2 } Remarque 11. Oµ est l’espace de fonctions tel que si f ∈ Oµ alors f et toutes ses dérivées ne croissent pas plus que les polynômes en +∞, pour cette raison on les appelle l’espace des fonctions à croissance lente. Exemple 5. f (x) = sin(x2 ) ∈ C ∞ et f (k) (x) = pk (x)sin(x2 ) + qk (x)cos(x2 ) avec p et q sont deux polynomes de degré ≤ k alors f ∈ Oµ. Proposition 12. Si g ∈ Oµ alors S→S f → gf est linéaire et continue. Preuve. Il est clair que l’application est linéaire. Continuité. Soit m ∈ N , |α| ≤ m. Pm (f g) = max || 1 + |x|2 m |α|≤m ≤ max || |α|≤m ! X α β β≤α 2 ∂ α (f g)|| ∞ 1 + |x|2 m 2 ! ≤ max X |α|≤m β≤α Remarque 12. Oµ × S ,→ S ∞ m+mα −β α 2 || 1 + |x|2 ∂ β f || ∞ β ≤ max Cα−β |α|≤m ∂ β f ∂ α−β g|| X β≤α Pm+mα −β (f ) 27 7. APPENDICE 7.3 Isomorphisme de Fourier sur S(RN ) Proposition 13. Si f ∈ S(RN ) alors f ∈ L1 (RN ) et fˆ ∈ S(RN ). De plus S(RN ) → L1 (RN ) f →f est linéaire continue i.e. ∃c > 0 et m > 0 tel que ||f ||L1 ≤ cPm (f ). Remarque 13. La proposition reste vraie dans les Lp , ∀ 1 ≤ p ≤ +∞. Preuve. Soit f ∈ S. On a Z RN |f |dx = Z RN ≤ Pm (f ) Z RN |f | m 1 + |x|2 2 m dx 1 + |x|2 1 m dx 2 2 1 + |x| rN −1 Z +∞ ≤ Pm (f )|SN −1 | 0 2 1 + |r|2 m dr 2 Or rN −1 (1 + r2 ) m 2 ∼ +∞ 1 rm−N +1 Elle est intégrable si m−N +1 > 1 =⇒ m > N. On choisit m > N , prendre m = N +1. Montrons maintenant que fˆ ∈ S. En effet fˆ ∈ C ∞ (RN ) puisque f ∈ S =⇒ f ∈ L1 et xα f ∈ S (puisque xα ∈ Oµ ) =⇒ xα f ∈ L1 ∀α ∈ N Alors on en déduit que fˆ ∈ C ∞ (RN ). Montrons maintenant que ξ α ∂ β fˆ ∈ L∞ , ∀α, β ∈ NN. \ |β| xβ f ∂ β fˆ = (−i) Alors \ |β| xβ f = (−i)|α|+|β| ∂ \ α (xβ f ) ξ α ∂ β fˆ = ξ α (−i) Donc α β α (xβ f )|| ||ξ α ∂ β fˆ||∞ = ||∂ \ ∞ ≤ ||∂ (x f )||L1 < +∞ Proposition 14. La transformation de Fourier F :S→S f → fˆ est continue. 28 CONTENTS Preuve. On sait que S → L1 f →f est continue, et S→S f → xβ f est continue car xβ ∈ Oµ. De plus S→S f → ∂ αf est continue. Donc par composition, ∃c > 0 et mα,β > 0 tel que ||∂ α (xβ f )||L1 ≤ cPmα,β (f ) Par suite on peut conclure en utilisant la derniére relation. Théorème 11. (fondamental) F : S → S est un isomorphisme topologique (i.e. continue à inverse continue). Preuve. F : S → S est linéaire continue. On définit F(f )(ξ) = Z RN eixξ f (x)dx De la même manière que pour F on montre que F : S → S est linéaire continue. D’autre part, puisque S ,→ L1 , par le théorème d’inversion f (x) = 1 F(fˆ)(ξ) (2π)N Donc FF(f ) = (2π)N Id = FF(f ) Par suite, F est inversible et 1 F = F −1 (2π)N

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