40 Questions
Quel est le résultat de la formule d’inversion de Fourier pour f ∈ L1 (RN)?
f (x) = (2π)N fˆ(ξ)eixξ dξ
Quel est l’espace de fonctions qui contient les fonctions à décroissance rapide à l’infini?
S(RN)
Quel est le théorème qui permet de retrouver une fonction à partir de sa transformée de Fourier?
Théorème d’inversion de Fourier
Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui signifie que la transformée de Fourier d’une fonction est également dans L1 (RN)?
Linéarité de la transformée de Fourier
Quel est l’espace de fonctions qui contient les fonctions à décroissance rapide à l’infini et toutes leurs dérivées?
S(RN)
Quel est le résultat de la transformation de Fourier de la fonction f(u - πξ) ?
fˆ(ξ)e^{-iξπ}
Quelle est la propriété de l'opérateur de translation sur les espaces Lp ?
La continuité
Quel est le résultat de la convolution de deux fonctions f et g dans L1(RN) ?
f ∗ g ∈ L1(RN)
Quelle est la propriété de la transformation de Fourier pour une fonction f ∈ L1(RN) ?
fˆ est dérivable par rapport à ξ
Quel est le résultat de la transformation de Fourier de la fonction f(x) ?
fˆ(ξ) = ∫f(x)e^{-iξx}dx
Quelle est la propriété de l'opérateur de Fourier F selon le théorème 6?
C'est un opérateur linéaire et injectif
Quel est le résultat de la transformée de Fourier de f(x) = 1 / (1 + x²) ?
fˆ(ξ) = πe^(-|ξ|)
Quel est le domaine de la fonction f(x) = 1 / (1 + x²) ?
L¹(ℝ)
Quel est le résultat de la transformée de Fourier inverse de fˆ(ξ) = πe^(-|ξ|) ?
f(x) = 1 / (1 + x²)
Quelle est la propriété de l'opérateur d'inversion de Fourier F⁻¹ ?
C'est un opérateur similaire à l'opérateur de Fourier F
Si ρ ∈ C ∞ (RN ) ∩ Lp (RN ) ∀ 1 ≤ p ≤ +∞, qu'est-ce que l'on peut dire de b ρ(ξ) ?
b ρ(ξ) = e− 2 (ξ) = (2π)2 e− 2
Quelle est la propriété de la transformée de Fourier utilisée pour démontrer la formule (3) ?
La propriété de modulation
Qu'est-ce que l'on peut dire de la suite de fonctions (hλ )λ>0 ?
C'est une approximation de l'identité
Quelle est la condition de convergence de la convolution hλ ∗ f pour f ∈ Cb (R) ?
λ → 0
Quel est le nom du théorème démontré dans ce paragraphe ?
Théorème d'inversion de Fourier
Quelle est la propriété de l'espace Oµ ?
L'espace des fonctions à croissance lente
Quelle est la propriété de l'application f → gf lorsque g ∈ Oµ ?
L'application est linéaire et continue
Quelle est la propriété de la transformée de Fourier sur S(RN ) ?
f ∈ S(RN ) alors f ∈ L1 (RN )
Quelle est la propriété de l'application f → ∂ αf ?
L'application est linéaire et continue
Quelle est la propriété de l'espace S(RN ) ?
S(RN ) est un espace de fonctions à croissance lente
Si f ∈ S(RN), alors f∈ Lp (RN) pour quelles valeurs de p?
1 ≤ p ≤ +∞
Soit f ∈ S(RN). Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui implique que fˆ ∈ S(RN)?
La linéarité de la transformée de Fourier
Pour quelle valeur de m est-ce que l'intégrale ∫RN |f|p dx est finie?
m > N
Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui implique que F : S → S est un isomorphisme topologique?
La continuité de la transformée de Fourier
Quel est l'espace de fonctions où la transformée de Fourier est injective?
S(RN)
Dans quel espace fonctionnel prend valeurs u(t, x) si u0 ∈ L2 (RN ) et f ∈ Cb (R∗+ ; L2 (RN )) ?
C(R+ ; L2 (RN ))
Quelle est la fonction qui apparaît dans la formule (20) de u lorsque f = 0 ?
e^(−4λt) ∗ u0 (x)
Quel est le nom donné à l'effet de régularisation de l'opérateur −∆ ?
Effet de dissipativité
Quel est l'espace de fonctions où u converge lorsque t tend vers 0 ?
Lp (RN )
Quelle est la forme de l'équation des ondes en une dimension d'espace ?
∂2u/∂t2 - c2 ∆u = 0
Quel est le domaine de définition de la fonction u ?
R+ × RN
Quelle est la valeur de limite de u lorsque x tend vers l'infini ?
0
Quel est l'espace de fonctions qui contient ϕ et ψ ?
L1 (R) ∩ C2 (R)
Quel est le rôle de la célérité c dans l'équation des ondes ?
C'est la vitesse d'onde
Quelle est la propriété de l'opérateur −∆ qui fait que u devient C ∞ dès que t > 0 ?
L'opérateur est dissipatif
Démonstration de la transformation de Fourier et propriétés des espaces de Schwartz. Application à l'espace L1(R) et RN.
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