CM 3:Transformation de Fourier et espaces de Schwartz

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Questions and Answers

Quel est le résultat de la formule d’inversion de Fourier pour f ∈ L1 (RN)?

  • f (x) = (2π)N/2 fˆ(ξ)eixξ dξ
  • f (x) = 1 fˆ(ξ)eixξ dξ
  • f (x) = 1 (2π)N fˆ(ξ)eixξ dξ
  • f (x) = (2π)N fˆ(ξ)eixξ dξ (correct)

Quel est l’espace de fonctions qui contient les fonctions à décroissance rapide à l’infini?

  • D(RN)
  • L∞ (RN)
  • S(RN) (correct)
  • L1 (RN)

Quel est le théorème qui permet de retrouver une fonction à partir de sa transformée de Fourier?

  • Théorème de convolution
  • Théorème d’inversion de Fourier (correct)
  • Théorème de Parseval
  • Théorème de Plancherel

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui signifie que la transformée de Fourier d’une fonction est également dans L1 (RN)?

<p>Linéarité de la transformée de Fourier (C)</p> Signup and view all the answers

Quel est l’espace de fonctions qui contient les fonctions à décroissance rapide à l’infini et toutes leurs dérivées?

<p>S(RN) (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la transformation de Fourier de la fonction f(u - πξ) ?

<p>fˆ(ξ)e^{-iξπ} (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'opérateur de translation sur les espaces Lp ?

<p>La continuité (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la convolution de deux fonctions f et g dans L1(RN) ?

<p>f ∗ g ∈ L1(RN) (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformation de Fourier pour une fonction f ∈ L1(RN) ?

<p>fˆ est dérivable par rapport à ξ (A)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la transformation de Fourier de la fonction f(x) ?

<p>fˆ(ξ) = ∫f(x)e^{-iξx}dx (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'opérateur de Fourier F selon le théorème 6?

<p>C'est un opérateur linéaire et injectif (C)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la transformée de Fourier de f(x) = 1 / (1 + x²) ?

<p>fˆ(ξ) = πe^(-|ξ|) (A)</p> Signup and view all the answers

Quel est le domaine de la fonction f(x) = 1 / (1 + x²) ?

<p>L¹(ℝ) (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le résultat de la transformée de Fourier inverse de fˆ(ξ) = πe^(-|ξ|) ?

<p>f(x) = 1 / (1 + x²) (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'opérateur d'inversion de Fourier F⁻¹ ?

<p>C'est un opérateur similaire à l'opérateur de Fourier F (D)</p> Signup and view all the answers

Si ρ ∈ C ∞ (RN ) ∩ Lp (RN ) ∀ 1 ≤ p ≤ +∞, qu'est-ce que l'on peut dire de b ρ(ξ) ?

<p>b ρ(ξ) = e− 2 (ξ) = (2π)2 e− 2 (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier utilisée pour démontrer la formule (3) ?

<p>La propriété de modulation (D)</p> Signup and view all the answers

Qu'est-ce que l'on peut dire de la suite de fonctions (hλ )λ>0 ?

<p>C'est une approximation de l'identité (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la condition de convergence de la convolution hλ ∗ f pour f ∈ Cb (R) ?

<p>λ → 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le nom du théorème démontré dans ce paragraphe ?

<p>Théorème d'inversion de Fourier (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'espace Oµ ?

<p>L'espace des fonctions à croissance lente (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'application f → gf lorsque g ∈ Oµ ?

<p>L'application est linéaire et continue (D)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier sur S(RN ) ?

<p>f ∈ S(RN ) alors f ∈ L1 (RN ) (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'application f → ∂ αf ?

<p>L'application est linéaire et continue (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'espace S(RN ) ?

<p>S(RN ) est un espace de fonctions à croissance lente (B)</p> Signup and view all the answers

Si f ∈ S(RN), alors f∈ Lp (RN) pour quelles valeurs de p?

<p>1 ≤ p ≤ +∞ (A)</p> Signup and view all the answers

Soit f ∈ S(RN). Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui implique que fˆ ∈ S(RN)?

<p>La linéarité de la transformée de Fourier (D)</p> Signup and view all the answers

Pour quelle valeur de m est-ce que l'intégrale ∫RN |f|p dx est finie?

<p>m &gt; N (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de la transformée de Fourier qui implique que F : S → S est un isomorphisme topologique?

<p>La continuité de la transformée de Fourier (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'espace de fonctions où la transformée de Fourier est injective?

<p>S(RN) (B)</p> Signup and view all the answers

Dans quel espace fonctionnel prend valeurs u(t, x) si u0 ∈ L2 (RN ) et f ∈ Cb (R∗+ ; L2 (RN )) ?

<p>C(R+ ; L2 (RN )) (B)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la fonction qui apparaît dans la formule (20) de u lorsque f = 0 ?

<p>e^(−4λt) ∗ u0 (x) (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le nom donné à l'effet de régularisation de l'opérateur −∆ ?

<p>Effet de dissipativité (D)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'espace de fonctions où u converge lorsque t tend vers 0 ?

<p>Lp (RN ) (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la forme de l'équation des ondes en une dimension d'espace ?

<p>∂2u/∂t2 - c2 ∆u = 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Quel est le domaine de définition de la fonction u ?

<p>R+ × RN (C)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la valeur de limite de u lorsque x tend vers l'infini ?

<p>0 (A)</p> Signup and view all the answers

Quel est l'espace de fonctions qui contient ϕ et ψ ?

<p>L1 (R) ∩ C2 (R) (C)</p> Signup and view all the answers

Quel est le rôle de la célérité c dans l'équation des ondes ?

<p>C'est la vitesse d'onde (A)</p> Signup and view all the answers

Quelle est la propriété de l'opérateur −∆ qui fait que u devient C ∞ dès que t > 0 ?

<p>L'opérateur est dissipatif (B)</p> Signup and view all the answers

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