Analysis and Synthesis of Waveforms using Fourier Transform (Greek PDF)

Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε μορφής, περιοδικής ή όχι, μπορεί να περιγραφεί θεωρητικά ως το άθροισμα μιας απειροστής σειράς ημιτονικών και συνημιτονικών κυματομορφών (οι οποίες λέγο...

Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε μορφής, περιοδικής ή όχι, μπορεί να περιγραφεί θεωρητικά ως το άθροισμα μιας απειροστής σειράς ημιτονικών και συνημιτονικών κυματομορφών (οι οποίες λέγονται αρμονικές). Οι αρμονικές έχουν συγκεκριμένη συχνότητα και πλάτος και όλες μαζί, συναποτελούν την αρχική κυματομορφή. Όσο μεγαλύτερος αριθμός αρμονικών συναθροίζεται, τόσο πιο ακριβής γίνεται η ανασύσταση της αρχικής κυματομορφής Κάθε περιοδική κυματομορφή που περιγράφεται με την συνάρτηση: 𝒇 𝒕 =𝒇 𝒕+𝑻 μπορεί να αναπτυχθεί σε μια σειρά Fourier εφόσον πληροί τις συνθήκες του Dirichlet, οι οποίες συνοψίζονται ως εξής:  Η συνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής, στο διάστημα μιας περιόδου, ή να έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας.  Να έχει πεπερασμένη μέση τιμή στο διάστημα μιας περιόδου.  Να έχει πεπερασμένο πλήθος μέγιστων και ελάχιστων. Υπό τις προϋποθέσεις αυτές, η κυματομορφή μπορεί να γραφεί υπό την γενική μορφή μιας τριγωνομετρικής σειράς (που ονομάζεται και σειρά Fourier): 𝟏 𝐟 𝒕 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 + 𝒂𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛚𝒕 + 𝒂𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝛚𝒕 + ⋯ 𝟐 + 𝒃𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 + 𝒃𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛚𝒕 + 𝒃𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛚𝒕 + ⋯ Οι συντελεστές 𝜶𝒏 και 𝒃𝒏 λέγονται συντελεστές Fourier και μπορούν να υπολογιστούν από την κυματομορφή (από την συνάρτησή της).  𝟐𝝅 Η περίοδος 𝜯 = είναι η περίοδος της 𝝎 τριγωνομετρικής σειράς. Λέγεται και περίοδος της θεμελιώδους αρμονικής. Όλοι οι όροι της σειράς (οι αρμονικές της κυματομορφής δηλαδή) έχουν συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας ω της θεμελιώδους. Για τον υπολογισμό των συντελεστών 𝜶𝒏 πολλαπλασιάζουμε με 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου:  𝟏 𝐟 𝒕 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 + 𝒂𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝛚𝒕 + 𝒂𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝛚𝒕 + ⋯ 𝟐 + 𝒃𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 + 𝒃𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝛚𝒕 + 𝒃𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛚𝒕 + ⋯ 2𝜋 𝜔 𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0 2𝜋 2𝜋 1 𝜔 𝜔 = 𝑎0 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡 2 0 0 2𝜋 2𝜋 𝜔 𝜔 + 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎3 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠 3𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ⋯ 0 0 2𝜋 2𝜋 𝜔 𝜔 + 𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ⋯ + 𝑏1 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 0 2𝜋 2𝜋 𝜔 𝜔 + 𝑏2 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏3 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛 3𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ⋯ 0 0 Όλα τα ορισμένα ολοκληρώματα είναι 0, εκτός από το: 2𝜋 𝜔 𝜶=𝒏 𝛼𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝒙 = 𝝎𝒕 0 2𝜋 𝛵 𝜔 𝜔𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑛𝜔𝑡 𝛼𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝛼𝑛 + 0 2 4𝑛 0 𝛵 𝑠𝑖𝑛2𝑛𝛵 0 𝑠𝑖𝑛2𝑛0 = 𝛼𝑛 + − − 2 4𝑛 2 4𝑛 2𝜋 𝛵 𝛵 𝜔 𝜋 = 𝛼𝑛 + 0 − 0 − 0 = 𝛼𝑛 = 𝛼𝑛 = 𝛼𝑛 2 2 2 𝜔 Αφού: 2𝜋 𝜔 𝜋 𝛼𝑛 𝑐𝑜𝑠 2 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝛼𝑛 0 𝜔 Άρα: 2𝜋 𝜔 𝜋 𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝛼𝑛 ⇒ 𝑎𝑛 = 0 𝜔 2𝜋 𝑇 𝜔 𝜔 2 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝜋 0 𝛵 0 Ο συντελεστής 𝜶𝟎 προκύπτει από τον συντελεστή 𝜶𝒏 για n=0. 𝟏 Καθώς η τιμή 𝒂είναι η μέση τιμή της 𝟐 𝟎 κυματομορφής στην διάρκεια μιας περιόδου, η τιμή του 𝒂𝟎 μπορεί να υπολογισθεί σχετικά εύκολα από την μορφή της κυματομορφής. Για τον υπολογισμό των συντελεστών 𝒃𝒏 πολλαπλασιάζουμε αντίστοιχα με 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 και ολοκληρώνουμε κατά μέλη για την διάρκεια μιας περιόδου. Δηλαδή οι συντελεστές 𝒃𝒏 θα είναι αντίστοιχα:  𝟐𝝅 𝑻 𝝎 𝝎 𝟐 𝒃𝒏 = 𝒇 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝝅 𝟎 𝚻 𝟎 Μια άλλη μορφή των συντελεστών 𝛼𝑛 𝜅𝛼𝜄 𝑏𝑛 με μεταβλητή 𝜔𝑡 είναι η: 𝟐𝝅 𝟏 𝜶𝒏 = 𝒇 𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝝅 𝟎 𝟐𝝅 𝟏 𝒃𝒏 = 𝒇 𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝝅 𝟎 Στους ανωτέρω υπολογισμούς των συντελεστών η ολοκλήρωση για την διάρκεια μιας περιόδου, δεν είναι απαραίτητο να γίνεται από 0 έως 𝜯 ή από 0 έως 𝟐𝝅. Τα ίδια αποτελέσματα θα πάρουμε αν η ολοκλήρωση γίνει από – 𝜯/𝟐 έως 𝟐/𝜯 , − 𝝅 έως 𝝅 , ή σε οποιοδήποτε άλλο χρονικό διάστημα που αντιστοιχεί σε μια περίοδο. Ή σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα στη συνάρτηση, σε όλα τα σημεία συνέχειας, ενώ στα σημεία ασυνέχειας συγκλίνει στο ημιάθροισμα των τιμών της συνάρτησης από δεξιά και αριστερά. Καθώς οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς κυματομορφές με την ίδια συχνότητα, στην ουσία είναι ίδιες (έχοντας μια διαφορά φάσης), μπορούν να συνδυαστούν σε μία κυματομορφή (ημιτονοειδή ή συνημιτονοειδή) με μία διαφορά φάσης. Έτσι η σειρά Fourier, μπορεί να εκφρασθεί και με δύο άλλες μορφές, δηλαδή ως έκφραση μόνον ημιτονοειδών ή μόνον συνημιτονοειδών κυματομορφών:  𝟏 𝒇 𝒕 = 𝒂𝟎 + 𝒄𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 − 𝜽𝒏 𝟐 με όρους συνημιτονικούς 𝟏 𝒇 𝒕 = 𝒂𝟎 + 𝒄𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 + 𝝋𝒏 𝟐 με όρους ημιτονικούς Όπου: 𝒄𝒏 = 𝒂𝟐𝒏 + 𝒃𝟐𝒏 είναι το πλάτος της κυματομορφής 𝜽𝒏 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒃𝒏 /𝒂𝒏 είναι η φάση της αρμονικής 𝝋𝒏 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝜶𝒏 /𝒃𝒏 είναι η φάση της αρμονικής Καθώς το ημίτονο και το συνημίτονο μπορούν να εκφρασθούν και σε εκθετική μορφή σύμφωνα με τους τύπους: 𝒆𝒋𝝎𝒕 + 𝒆−𝒋𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 = 𝟐 𝒆𝒋𝝎𝒕 − 𝒆−𝒋𝝎𝒕 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 = 𝟐𝒋 Αντικαθιστώντας, μπορούμε να εκφράσουμε και κάθε όρο της σειράς Fourier σε εκθετική μορφή: 𝑎0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗2𝜔𝑡 + 𝑒 −𝑗2𝜔𝑡 𝑓 𝑡 = + 𝑎1 + 𝑎2 2 2 2 +⋯ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 − 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑒 𝑗2𝜔𝑡 − 𝑒 −𝑗2𝜔𝑡 + 𝑏1 + 𝑏2 +⋯⇒ 2𝑗 2𝑗 ⇒𝑓 𝑡 𝑎2 𝑏2 −𝑗2𝜔𝑡 𝛼1 𝑏1 −𝑗𝜔𝑡 𝛼0 = ⋯+ − 𝑒 + − 𝑒 + 2 2𝑗 2 2𝑗 2 𝛼1 𝑏1 𝑗𝜔𝑡 𝛼2 𝑏2 𝑗2𝜔𝑡 + + 𝑒 + + 𝑒 +⋯ 2 2𝑗 2 2𝑗 Θέτουμε: 𝒃𝒏 𝒋𝒃𝒏 𝒋𝒃𝒏 = =− 𝟐𝒋 𝟐𝒋𝒋 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝜜𝟎 = 𝜶𝟎 , 𝜜𝒏 = 𝒂𝒏 − 𝒋𝒃𝒏 , 𝑨−𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒋𝒃𝒏 𝟐 𝟐 𝟐 Και η εκθετική μορφή της σειράς Fourier γίνεται: 𝒇 𝒕 = … + 𝑨−𝟐 𝒆−𝒋𝟐𝝎𝒕 + 𝑨−𝟏 𝒆−𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟎 + 𝑨𝟏 𝒆𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟐 𝒆𝒋𝟐𝝎𝒕 + ⋯ Για να βρούμε τους συντελεστές 𝜜𝒏 , πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 και ολοκληρώνουμε σε διάστημα μιας περιόδου: 𝒇 𝒕 = … + 𝑨−𝟐 𝒆−𝒋𝟐𝝎𝒕 + 𝑨−𝟏 𝒆−𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟎 + 𝑨𝟏 𝒆𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟐 𝒆𝒋𝟐𝝎𝒕 +⋯ 𝟐𝝅 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 = 𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝝅 =⋯ 𝑨−𝟐 𝒆−𝒋𝟐𝒏𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 + 𝜜−𝟏 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝟎 𝟎 𝟐𝝅 + 𝜜𝟎 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝝅 + 𝜜𝟏 𝒆𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 + … + 𝜜𝒏 𝒆𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 + ⋯ 𝟎 𝟎 Τα ολοκληρώματα στο δεξιό μέρος είναι 0 εκτός 𝟐𝝅 από το 𝜜𝒏 𝒅 𝝎𝒕 , που είναι 𝟐𝝅𝜜𝒏. 𝟎  Άρα: 𝟐𝝅 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 = 𝟐𝝅𝜜𝒏 ⇒ 𝟎 𝟐𝝅 𝟏 𝜜𝒏 = 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝟐𝝅 𝟎 ή με μεταβλητή το 𝑡 𝑻 𝟏 𝜜𝒏 = 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅𝒕 𝑻 𝟎 Όπως και για τα 𝜶𝒏 𝜅𝛼𝜄 𝒃𝒏 η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει σε διάστημα μιας περιόδου και όχι απαραίτητα από 0 έ𝜔𝜍 2𝜋 ή 𝛼𝜋ό 0 έ𝜔𝜍 𝑇. Οι συντελεστές της τριγωνομετρικής σειράς Fourier μπορούν εύκολα να υπολογιστούν από τους συντελεστές 𝜜𝒏 𝜅𝛼𝜄 𝜜−𝒏 της εκθετικής μορφής: 𝟏 𝟏 𝟏 𝜜𝟎 = 𝜶𝟎 , 𝜜𝒏 = 𝒂𝒏 − 𝒋𝒃𝒏 , 𝑨−𝒏 = 𝒂𝒏 + 𝒋𝒃𝒏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝜜𝒏 + 𝜜−𝒏 = 𝜶𝒏 − 𝒋𝒃𝒏 + 𝒂𝒏 + 𝒋𝒃𝒏 = 𝜶𝒏 𝟐 ⇒ 𝒂𝒏 = 𝜜𝒏 + 𝜜−𝒏 𝟏 𝟏 𝜜𝒏 − 𝜜−𝒏 = 𝜶𝒏 − 𝒋𝒃𝒏 − 𝒂𝒏 − 𝒋𝒃𝒏 = −𝟐𝒋𝒃𝒏 𝟐 𝟐 = −𝒋𝒃𝒏 ⇒ 𝒃𝒏 = 𝒋 𝑨𝒏 − 𝑨−𝒏 Στην ανάπτυξη της σειράς Fourier, σημαντικό ρόλο παίζει η συμμετρία της κυματομορφής, κατά τρόπο ώστε –ανάλογα με την συμμετρία- η σειρά μπορεί να έχει ή να μην έχει κάποιους από του όρους (π.χ. ημιτονικούς ή συνημιτονικούς). Η ιδιότητα αυτή, μιας κυματομορφής, διευκολύνει τον υπολογισμό της σειράς Fourier. Τα διάφορα είδη των κυματομορφών ως προς την συμμετρία τους είναι: Άρτιας συμμετρίας Περιττής συμμετρίας Συμμετρίας ημιπεριόδου Συμμετρίας τετάρτου περιόδου Μια συνάρτηση 𝑓 𝑡 καλείται άρτια αν ισχύει: 𝒇 𝒕 = 𝒇 −𝒕. Το συνημίτονο για παράδειγμα είναι άρτια συνάρτηση.  To άθροισμα δύο ή περισσότερων άρτιων συναρτήσεων, είναι άρτια συνάρτηση. Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, η συνάρτηση παραμένει άρτια (σχήμα d). Οι άρτιες συναρτήσεις, είναι όλες συμμετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Κυματομορφές με άρτια συμμετρία Μια συνάρτηση 𝑓 𝑡 είναι περιττή, αν ισχύει: 𝒇 𝒕 = −𝒇 −𝒕. Το ημίτονο για παράδειγμα είναι μια περιττή συνάρτηση.  Το άθροισμα δύο η περισσότερων περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση (b). Με την πρόσθεση μιας σταθεράς συνιστώσας, σε αντίθεση με το ότι συμβαίνει με την άρτια συμμετρία, η συνάρτηση παύει να είναι περιττή, γιατί η 𝒇 𝒕 δεν είναι πλέον ίση με την – 𝒇 −𝒕. Το γινόμενο δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Κυματομορφές με περιττή συμμετρία Μια περιοδική συνάρτηση 𝒇 𝒕 , λέμε ότι έχει συμμετρία ημιπεριόδου εάν ισχύει η σχέση: 𝒇 𝒕 = −𝒇 𝒕 + 𝑻/𝟐 , όπου Τ είναι η περίοδος. Δηλαδή αν η κυματομορφή μετακινηθεί κατά T/2 πάνω στον άξονα του χρόνου, θα γίνει ίση με το αντίθετο της κυματομορφής. Κυματομορφές με συμμετρία ημιπεριόδου Η αναφορά στην συμμετρία των κυματομορφών έχει ιδιαίτερη σημασία στην ανάλυσή τους κατά Fourier. Ανάλογα με την συμμετρία τους οι κυματομορφές έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: Αν η κυματομορφή είναι άρτια, τότε όλοι οι όροι της αντίστοιχης σειράς θα είναι μόνον συνημιτονοειδείς ( 𝜶𝒏 ) και άρα δεν υπολογίζουμε τους ημιτονοειδείς όρους. Σταθερός όρος θα υπάρχει, αν η κυματομορφή έχει μέση τιμή διάφορη του μηδενός.  Αν η κυματομορφή είναι περιττή η σειρά έχει μόνον ημιτονοειδείς όρους (𝒃𝒏 ). Ενδεχομένως μία κυματομορφή μπορεί να είναι περιττή, αν της αφαιρεθεί ο σταθερός όρος. Στην περίπτωση αυτή η σειρά Fourier περιέχει, εκτός από το σταθερό όρο, μόνο ημιτονοειδείς όρους.  Αν η κυματομορφή έχει συμμετρία ημιπεριόδου η σειρά θα έχει μόνον αρμονικές περιττής τάξεως (ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όρους), εκτός αν η συνάρτηση είναι παράλληλα περιττή η άρτια. Τα 𝜶𝒏 𝜅𝛼𝜄 𝒃𝒏 είναι 0, για 𝑛 = 2,4,6 …, για κάθε κυματομορφή με συμμετρία ημιπεριόδου. Συνοψίζοντας: Άρτια: 𝜶𝒏 Περιττή: 𝒃𝒏 Ημιπεριόδου: Μόνο οι περιττές αρμονικές Μερικές κυματομορφές μπορεί να είναι περιττές ή άρτιες, ανάλογα με την θέση του κατακόρυφου άξονα. Η τετραγωνική κυματομορφή (a) είναι άρτια [𝒇 𝒕 = 𝒇 −𝒕 ]. Η ίδια κυματομορφή μετατοπισμένη στον κατακόρυφο άξονα (b) μετατρέπεται σε περιττή, γιατί τότε θα ισχύει η σχέση: [𝒇 𝒕 = −𝒇 −𝒕 ]. Τετραγωνική κυματομορφή με άρτια και περιττή συμμετρία Η θέση του οριζόντιου άξονα μπορεί επίσης να απλοποιήσει την σειρά της κυματομορφής. Για παράδειγμα, η κυματομορφή (a) δεν είναι περιττή συνάρτηση. Στην περίπτωση (b) με μετατοπισμένο τον οριζόντιο άξονα, τότε γίνεται περιττή συνάρτηση. Η αρχική δηλαδή θα γίνει περιττή, αφού της αφαιρεθεί η συνεχής συνιστώσα, ή διαφορετικά, θα έχει έναν σταθερό όρο και τους ημιτονοειδείς μόνον. Όλα τα ανωτέρω που ορίστηκαν για την σειρά Fourier των κυματομορφών, ανάλογα με την συμμετρία τους, ισχύουν και για την εκθετική μορφή της σειράς. Μια άρτια κυματομορφή περιέχει μόνο συνημιτονοειδείς όρους στην τριγωνομετρική της σειρά και άρα οι συντελεστές της εκθετικής σειράς είναι καθαρά πραγματικοί αριθμοί. Μια περιττή συνάρτηση που η τριγωνομετρική της σειρά αποτελείται από ημιτονοειδείς όρους έχει καθαρά φανταστικούς συντελεστές στην εκθετική της σειρά. Εάν παραστήσουμε πάνω στους άξονες x,y τα πλάτη των αρμονικών της σειράς Fourier μιας κυματομορφής, τότε η αποτύπωση αυτή λέγεται γραμμικό φάσμα. Γενικώς, οι χαμηλές αρμονικές έχουν μεγαλύτερα πλάτη από τις υψηλότερες, ενώ τα πλάτη μικραίνουν γρήγορα για κυματομορφές, με σειρές που συγκλίνουν γρήγορα. Όταν οι κυματομορφές έχουν ασυνέχειες (όπως η πριονωτή, η τετραγωνική, η τριγωνική, κ.λ.π.), τότε τα φάσματά τους έχουν αρμονικές των οποίων τα πλάτη μειώνονται αργά, καθώς οι σειρές τους έχουν αξιόλογες υψηλές αρμονικές. Γενικότερα οι κυματομορφές που έχουν ασυνέχειες, δηλαδή παρουσιάζουν απότομες εναλλαγές, για να περιγραφούν, απαιτούν υψηλές αρμονικές. Αντίθετα οι σειρές κυματομορφών χωρίς ασυνέχειες και γενικά χωρίς απότομες μεταβολές, συγκλίνουν γρήγορα και μερικές μόνο αρμονικές είναι αρκετές για να αποδώσουν ικανοποιητικά την κυματομορφή. Αυτή η γρήγορη σύγκλιση φαίνεται από το γραμμικό φάσμα, όταν τα πλάτη των αρμονικών ελαττώνονται γρήγορα ώστε πέρα από την 5η και 6η αρμονική να είναι ασήμαντα. Οι διαπιστώσεις αυτές θα γίνουν πιο εμφανείς και κατανοητές στα παραδείγματα που θα ακολουθήσουν.  𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟐𝝅 𝒇 𝒕 = 𝝎𝒕 ή 𝜶𝜿ό𝝁𝜶 𝒇 𝒕 = 𝒕 = 𝟓𝒕 𝝁𝜺 𝜯 = 𝟐 sec ή 𝝎 = = 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒 𝒓/𝒔𝒆𝒄 𝟐𝝅 𝜯 𝜯 Η κυματομορφή είναι περιττή αν αφαιρεθεί η συνεχής συνιστώσα DC=5 v Για 0 < 𝜔𝑡 < 2𝜋 ή κυματομορφή είναι συνεχής 𝟏𝟎 και δίνεται από την 𝒇 𝒕 = 𝝎𝒕. 𝟐𝝅 Σε ένα μεγαλύτερο διάστημα έχει σημεία ασυνέχειας στα 𝜔𝑡 = 𝑛2𝜋, όπου 𝑛 = 0,1,2, … Οι συνθήκες Dirichlet ικανοποιούνται.  𝑇 𝑇 2 2 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 5𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝛵 0 𝛵 0 ⇒ 𝑎0 2 2 2 2 10 𝑡 = 𝑡 cos 0𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 5 𝑡 𝑑𝑡 = 5 = 10 2 0 0 2 0 𝒂𝟎 Δηλαδή η μέση τιμή της κυματομορφής θα είναι: =𝟓 𝟐 Οι συντελεστές αn: 𝟐𝝅 𝟏 𝟏𝟎 𝒂𝒏 = 𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝝎𝒕 = 𝝅 𝟎 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝟐𝝅 = 𝟐 𝟎 𝝎𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝝎𝒕 = 𝟐𝝅 0 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝝎𝒕 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 = 𝟐𝝅 𝒏 𝒏 𝟎 𝟏𝟎 1 1 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝟐𝝅 − 𝒄𝒐𝒔𝟎 = 𝟎 𝟐𝝅 𝒏 Δηλαδή η σειρά δεν θα έχει όρους συνημιτόνων (αφού είναι περιττή). Οι συντελεστές bn: 𝟐𝝅 𝟏 𝟏𝟎 𝒃𝒏 = 𝛚𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝝎𝒕 𝝅 𝟎 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝟐𝝅 = 𝟐 𝛚𝒕 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝒅𝝎𝒕 𝟐𝝅 𝟎 0 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝝎𝒕 𝟏 = 𝟐 − 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝝎𝒕 + 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 𝟐𝝅 𝒏 𝒏 𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝟐 [−𝟐𝝅 + 𝟎] = − 𝟐𝒏𝝅 𝝅𝒏 Δηλαδή η σειρά Fourier θα είναι τελικά:  𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒇 𝒕 =𝟓− 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟑𝝎𝒕 𝝅 𝟐𝝅 𝟑𝝅 ∞ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟒𝝎𝒕 − ⋯ = 𝟓 − 𝟒𝝅 𝝅 𝒏 𝒏=𝟏 Στο ίδιο αποτέλεσμα θα οδηγηθούμε αν αναπτύξουμε την εκθετική σειρά Fourier της κυματομορφής.  𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝟏 𝟏𝟎 −𝒋𝒏𝝎𝒕 𝟏𝟎 𝜜𝒏 = 𝝎𝒕 𝒆 𝒅 𝝎𝒕 = 𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒅 𝝎𝒕 𝟐𝝅 𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝟐 𝟎 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝝎𝒕. 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒆 −𝒋𝒏𝝎𝒕 = − 𝒙 = 𝝎𝒕 𝟐𝝅 𝟐 −𝒋𝒏 −𝒋𝒏 𝟐 𝟎 𝒂 = −𝒋𝒏 𝟐𝝅 𝟏𝟎 −𝒋𝒏 𝝎𝒕. 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 = − 𝟐𝝅 𝟐 −𝒋𝒏 𝟐 −𝒋𝒏 𝟐 𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 𝟏𝟎 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝒕 = −𝒋𝒏𝝎𝒕 − 𝟏 = −𝒋𝒏𝝎𝒕 − 𝟏 𝟐𝝅 𝟐 𝒋𝒏 𝟐 𝟎 𝟐𝝅𝒏 𝟐 𝒋 𝟐 𝟎 𝟏𝟎 −𝒋𝒏𝝎𝒕 𝟐𝝅 = 𝒆 𝒋𝒏𝝎𝒕 + 𝟏 𝟎 𝟐𝝅𝒏 𝟐 𝟏𝟎 −𝒋𝒏𝟐𝝅 = 𝒆 𝒋𝒏𝟐𝝅 + 𝟏 − 𝟏 𝟐𝝅𝒏 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 = 𝒋𝒏𝟐𝝅 + 𝟏 − 𝟏 = 𝒋𝒏𝟐𝝅 = 𝒋 𝟐𝝅𝒏 𝟐 𝟐𝝅𝒏 𝟐 𝟐𝝅𝒏 𝒆±𝒋𝒏𝟐𝝅 = 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝟐𝝅 ± 𝒋𝒔𝒊𝒏 𝒏𝟐𝝅 = 𝟏 ± 𝒋𝟎 = 𝟏  Η εκθετική μορφή της f(t) θα είναι, σύμφωνα με την σχέση που υπολογίστηκε: 𝒇 𝒕 = … + 𝑨−𝟐 𝒆−𝒋𝟐𝝎𝒕 + 𝑨−𝟏 𝒆−𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟎 + 𝑨𝟏 𝒆𝒋𝝎𝒕 + 𝑨𝟐 𝒆𝒋𝟐𝝎𝒕 + ⋯ 𝟏𝟎 𝜜𝒏 = 𝒋 𝟐𝝅𝒏 𝟏𝟎 −𝒋𝟐𝝎𝒕 𝟏𝟎 −𝒋𝝎𝒕 𝟏𝟎 𝒋𝝎𝒕 𝒇 𝒕 = ⋯− 𝒋 𝒆 −𝒋 𝒆 +𝟓+𝒋 𝒆 𝟒𝝅 𝟐𝝅 𝟐𝝅 𝟏𝟎 𝒋𝟐𝝎𝒕 + 𝒋 𝒆 + … 𝟒𝝅 Μπορούμε από τα 𝑨𝒏 και 𝑨−𝒏 να υπολογίσουμε την τριγωνομετρική μορφή της σειράς: Οι συντελεστές των συνημιτινοειδών όρων της τριγωνομετρικής σειράς είναι: 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝜶𝒏 = 𝑨𝒏 + 𝑨−𝒏 = 𝒋 +𝒋 =𝟎 𝟐𝝅𝒏 𝟐𝝅 −𝒏 Άρα η τριγωνομετρική σειρά δεν έχει συνημιτονοειδείς όρους, αφού 𝜶𝒏 = 𝟎 για κάθε 𝑛. Οι συντελεστές των ημιτονοειδών όρων: 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒃𝒏 = 𝒋 𝑨𝒏 − 𝑨−𝒏 =𝒋 𝒋 −𝒋 =− 𝟐𝝅𝒏 𝟐𝝅 −𝒏 𝝅𝒏 𝛢0 = 1 2𝜋 10 10 2𝜋 𝜔𝑡 𝑒 −𝑗0𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 = 2 𝜔𝑡 𝑑 𝜔𝑡 = 2𝜋 0 2𝜋 2𝜋 0 2𝜋 10 𝜔𝑡 2 10 2𝜋 2 = − 0 =5 2𝜋 2 2 0 2𝜋 2 2 Η μέση τιμή είναι 5 και η σειρά είναι: 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒇 𝒕 =𝟓− 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟑𝝎𝒕 𝝅 𝟐𝝅 𝟑𝝅 ∞ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏𝟒𝝎𝒕 − ⋯ = 𝟓 − 𝟒𝝅 𝝅 𝒏 𝒏=𝟏 Όπως υπολογίστηκε και με την άλλη μέθοδο Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής Εάν επιλέξουμε την εκθετική μορφή της σειράς Fourier, τότε οι όροι θα έχουν συχνότητες + 𝒏𝝎 και – 𝒏𝝎 και το πλάτος της αρμονικής τάξεως 𝑛 θα είναι το άθροισμα των δύο πλατών για +𝑛𝜔 και για – 𝑛𝜔. Στο φάσμα βρίσκουμε γραμμές 𝟏𝟎 πλάτους για 𝑛 = −2 και 𝟒𝝅 𝑛 = +2. Αν τις προσθέσουμε, βρίσκουμε το πραγματικό πλάτος της αρμονικής 2, που είναι το ίδιο με το πλάτος που βρήκαμε πριν: 𝟏𝟎/𝟐𝝅. Γραμμικό φάσμα πριονωτής κυματομορφής Ανασύσταση της πριονωτής κυματομορφής με 5 αρμονικές+DC Είναι προφανές πως όσο περισσότερες αρμονικές συνεισφέρουν στην ανασύσταση της κυματομορφής, τόσο βελτιώνεται και προσεγγίζει στην αρχική. Στα σημεία ασυνέχειας η σειρά συγκλίνει στο ημιάθροισμα των ορίων της συναρτήσεως από δεξιά και αριστερά. Στην περίπτωσή μας, στο 0 και στο 2π, η σειρά έχει τιμή 5 (όσο ο σταθερός όρος δηλαδή), γιατί εκεί, όλοι οι ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς όροι είναι 0. Αυτά είναι τα σημεία ασυνέχειας και η τιμή της συνάρτησης σ’ αυτά είναι 10, όταν πλησιάζουμε από αριστερά, και 0 όταν πλησιάζουμε από δεξιά, με μέση τιμή 5.