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Introduction :Historique Ensembles ordonnés Ensemble R des nombres réels Densité de Q et de R \ Q dans R Ch.1 : Nombres Réels Troncc ommun MIP(Mathématique, Physique, Informatique) et IA(Informatique Appliquée)...

Introduction :Historique Ensembles ordonnés Ensemble R des nombres réels Densité de Q et de R \ Q dans R Ch.1 : Nombres Réels Troncc ommun MIP(Mathématique, Physique, Informatique) et IA(Informatique Appliquée) Abdelkhalek El amrani Department de mathématiques Faculté des Sciences Dhar El Mahraz Atlas Fès, Maroc. [email protected] 17 octobre 2023 1/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Ensemble R des nombres réels Densité de Q et de R \ Q dans R Plan 1. Introduction :Historique 3. Ensemble R des nombres réels 1.1 Un peu d’histoire 3.1 Définition de R et bornes supérieure Votre histoire et inférieure Histoire du concept Q est Archimédien 3.2 Partie entière et approximation d’un 1.2 Insuffisance de Q : nombre réel par des décimaux Partie entière d’un nombre réel 2. Ensembles ordonnés Valeur absolue d’un nombre réel 2.1 Définitions et exemples Approximation d’un nombre réel par 2.2 Le corps Q des nombres rationnels des décimaux 3.3 Propriétés topologiques de R Intervalles de R Voisinage d’un nombre réel 4. Densité de Q et de R \ Q dans R 2/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance : 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance :On commence à manipuler les entiers naturels sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont rarement utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance :On commence à manipuler les entiers naturels sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont rarement utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. Primaire : 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance :On commence à manipuler les entiers naturels sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont rarement utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. Primaire : Dès la première année du primaire on commence à manipuler les entiers naturels et leurs écritures comme des êtres absolus, à partir des objets, et les opérations + et × ainsi que l’ordre , on introduit par la suite les nombres décimaux et les rationnels positifs et les durant les trois dernières années de ce cycle ; l’introduction de, 3, 14 la valeur décimale (approchée) du nombre irrationnel π se fait en géométrie en calculant le périmètre et la surface d’un cercle, on introduit aussi le nombre rationnel 22 7 valeur (approchée) rationnel de ce nombre. 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance :On commence à manipuler les entiers naturels sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont rarement utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. Primaire : Dès la première année du primaire on commence à manipuler les entiers naturels et leurs écritures comme des êtres absolus, à partir des objets, et les opérations + et × ainsi que l’ordre , on introduit par la suite les nombres décimaux et les rationnels positifs et les durant les trois dernières années de ce cycle ; l’introduction de, 3, 14 la valeur décimale (approchée) du nombre irrationnel π se fait en géométrie en calculant le périmètre et la surface d’un cercle, on introduit aussi le nombre rationnel 22 7 valeur (approchée) rationnel de ce nombre. Collège : 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire Dès la naissance :On commence à manipuler les entiers naturels sous forme matériels, ainsi que l’opération somme(rassemblement des objets), la différence et la division sont rarement utilisées, on manipule aussi les décimaux et les rationnels positifs sous forme d’objets. La notion d’ordre et l’opération multiplication sont vécues dans cet age sans pouvoir les remarquer. Primaire : Dès la première année du primaire on commence à manipuler les entiers naturels et leurs écritures comme des êtres absolus, à partir des objets, et les opérations + et × ainsi que l’ordre , on introduit par la suite les nombres décimaux et les rationnels positifs et les durant les trois dernières années de ce cycle ; l’introduction de, 3, 14 la valeur décimale (approchée) du nombre irrationnel π se fait en géométrie en calculant le périmètre et la surface d’un cercle, on introduit aussi le nombre rationnel 22 7 valeur (approchée) rationnel de ce nombre. Collège :Introduction des nombres entiers et décimaux relatifs ainsi que les quatre opérations et l’ordre, en première année. Au début du deuxième année, on introduit les nombres rationnels, les opérations et l’ordre sur cette classe des nombres ; vers la fin de cette année et 3/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire grâce au théorème de Pythagore, √ √ on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3,.... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. 4/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire grâce au théorème de Pythagore, √ √ on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3,.... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. Lycée : Tronc commun : 4/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire grâce au théorème de Pythagore, √ √ on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3,.... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. Lycée : Tronc commun : On introduit les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R : on écrit N et Z en extension , D et Q en compréhension tandis que R est défini comme réunion de Q et l’ensemble de tous les nombres irrationnels. On en déduit la fameuse suite d’inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Toutes les définitions et propriétés concernant les nombres réels (vus comme éléments de R) ( les quatre opérations, l’ordre et opérations et ordre sont rappelées et mathématisées). Les concepts de la valeur absolue et intervalle sont introduit grâce au concept de l’ordre et la droite numérique. 4/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire grâce au théorème de Pythagore, √ √ on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3,.... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. Lycée : Tronc commun : On introduit les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R : on écrit N et Z en extension , D et Q en compréhension tandis que R est défini comme réunion de Q et l’ensemble de tous les nombres irrationnels. On en déduit la fameuse suite d’inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Toutes les définitions et propriétés concernant les nombres réels (vus comme éléments de R) ( les quatre opérations, l’ordre et opérations et ordre sont rappelées et mathématisées). Les concepts de la valeur absolue et intervalle sont introduit grâce au concept de l’ordre et la droite numérique. Lycée : Deuxième année du baccalauréat science mathématique : 4/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Votre histoire grâce au théorème de Pythagore, √ √ on introduit des exemples de nombres irrationnels de la forme 2, 3,.... Le concept de nombres réels est ainsi introduit, les quatre opérations et l’ordre sur ces nombres sont effectués. Lycée : Tronc commun : On introduit les ensembles de nombres N, Z, D, Q et R : on écrit N et Z en extension , D et Q en compréhension tandis que R est défini comme réunion de Q et l’ensemble de tous les nombres irrationnels. On en déduit la fameuse suite d’inclusions N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Toutes les définitions et propriétés concernant les nombres réels (vus comme éléments de R) ( les quatre opérations, l’ordre et opérations et ordre sont rappelées et mathématisées). Les concepts de la valeur absolue et intervalle sont introduit grâce au concept de l’ordre et la droite numérique. Lycée : Deuxième année du baccalauréat science mathématique : On présente (Z, +, ×) comme exemple d’anneau commutatif unitaire intègre et (Q, +, ×) et (R, +, ×) comme exemples de corps commutatifs. 4/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Babylone, - 1800 av.J.C. : Quelques tablettes babyloniennes donnent à résoudre, sous la forme de problèmes concrets, ce que nous appelons maintenant des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues à coefficients rationnels. Par exemple :   x y x − y = 10 7 + 11 = 1 (1) 2 y 1 6x 10y 3x − 2 = 8 + 3 7 = 11 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Babylone, - 1800 av.J.C. : Quelques tablettes babyloniennes donnent à résoudre, sous la forme de problèmes concrets, ce que nous appelons maintenant des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues à coefficients rationnels. Par exemple :   x y x − y = 10 7 + 11 = 1 (1) 2 y 1 6x 10y 3x − 2 = 8 + 3 7 = 11 Époque de Pythagore (6eme siècle av.J.C.) (Grecs) : 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Babylone, - 1800 av.J.C. : Quelques tablettes babyloniennes donnent à résoudre, sous la forme de problèmes concrets, ce que nous appelons maintenant des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues à coefficients rationnels. Par exemple :   x y x − y = 10 7 + 11 = 1 (1) 2 y 1 6x 10y 3x − 2 = 8 + 3 7 = 11 Époque de Pythagore (6eme siècle av.J.C.) √ (Grecs) :La découverte du premier nombre irrationnel 2. 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Babylone, - 1800 av.J.C. : Quelques tablettes babyloniennes donnent à résoudre, sous la forme de problèmes concrets, ce que nous appelons maintenant des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues à coefficients rationnels. Par exemple :   x y x − y = 10 7 + 11 = 1 (1) 2 y 1 6x 10y 3x − 2 = 8 + 3 7 = 11 Époque de Pythagore (6eme siècle av.J.C.) √ (Grecs) :La découverte du premier nombre irrationnel 2. Euclide (3eme siècle av.J.C.) (Grecs) : 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Babylone, - 1800 av.J.C. : Quelques tablettes babyloniennes donnent à résoudre, sous la forme de problèmes concrets, ce que nous appelons maintenant des systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues à coefficients rationnels. Par exemple :   x y x − y = 10 7 + 11 = 1 (1) 2 y 1 6x 10y 3x − 2 = 8 + 3 7 = 11 Époque de Pythagore (6eme siècle av.J.C.) √ (Grecs) :La découverte du premier nombre irrationnel 2. Euclide (3eme siècle av.J.C.) (Grecs) : On sait construire à la règle et au compas, un carré du plan dont l’aire est le double de celle du carré unité par exemple. La longueur l des cotés de ce carré vérifie l’équation x2 = 2.1 = 2. Il est facile de voir que l est aussi égal à la longueur de la diagonale du carré unité. 5/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : 6/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : 7/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Ce nombre est facile à construire à la règle et au compas et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. 7/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Ce nombre est facile à construire à la règle et au compas et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. Époque de P eano, Dedekind et Cantor (19eme siècle siècle ) : Les mathématiciens aboutissent par une démarche rigoureuse à la première construction du corps des nombres réels. 7/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Ce nombre est facile à construire à la règle et au compas et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. Époque de P eano, Dedekind et Cantor (19eme siècle siècle ) : Les mathématiciens aboutissent par une démarche rigoureuse à la première construction du corps des nombres réels. On a d’abord défini les nombres entiers naturels de manière axiomatique (Peano), puis à partir des nombres entiers naturels, on a construit successivement les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et décimaux et enfin les nombres réels. 7/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Ce nombre est facile à construire à la règle et au compas et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. Époque de P eano, Dedekind et Cantor (19eme siècle siècle ) : Les mathématiciens aboutissent par une démarche rigoureuse à la première construction du corps des nombres réels. On a d’abord défini les nombres entiers naturels de manière axiomatique (Peano), puis à partir des nombres entiers naturels, on a construit successivement les nombres entiers relatifs, les nombres rationnels et décimaux et enfin les nombres réels. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916)(Allemand ) : C’est à ce mathématicien, vers la fin du 19eme siècle (1872) , que revient le mérite de présenter la première construction basée sur la notion de section ou coupure. 7/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : 8/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)(Allemand) : 8/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)(Allemand) : Une autre méthode, basée sur les suites de Cauchy, est donnée par ce grand mathématicien. 8/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)(Allemand) : Une autre méthode, basée sur les suites de Cauchy, est donnée par ce grand mathématicien. Figure – Georg Kantor 8/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)(Allemand) : Une autre méthode, basée sur les suites de Cauchy, est donnée par ce grand mathématicien. Figure – Georg Kantor Il existe plusieurs méthodes, au moins cinq, de construction de l’ensemble des nombres réels R à partir des nombres rationnels qui reposent, presque toutes, sur la notion d’ordre, et non seulement sur les opérations comme pour les ensembles Z, D et Q. 8/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : 9/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : On démontre heureusement que toute ces méthodes sont équivalentes au sens où les objets construits ont une structure de "corps commutatif archimédien complet" et qu’un tel objet est unique à isomorphisme près (théorème difficile à démontrer). 9/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : On démontre heureusement que toute ces méthodes sont équivalentes au sens où les objets construits ont une structure de "corps commutatif archimédien complet" et qu’un tel objet est unique à isomorphisme près (théorème difficile à démontrer). Dans ce cours, on ne s’attachera donc pas à une construction précise du corps des nombres réels mais plutôt à ses propriétés telles qu’elles sont énoncées par la suite et notamment la propriété de la borne supérieure, étroitement liée à l’ordre, qui distingue Q de R. C’est l’absence de cette borne supérieure dans Q pour certaines parties non vides et majorées de Q qui matérialise les "trous" de Q. 9/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Histoire du concept : On démontre heureusement que toute ces méthodes sont équivalentes au sens où les objets construits ont une structure de "corps commutatif archimédien complet" et qu’un tel objet est unique à isomorphisme près (théorème difficile à démontrer). Dans ce cours, on ne s’attachera donc pas à une construction précise du corps des nombres réels mais plutôt à ses propriétés telles qu’elles sont énoncées par la suite et notamment la propriété de la borne supérieure, étroitement liée à l’ordre, qui distingue Q de R. C’est l’absence de cette borne supérieure dans Q pour certaines parties non vides et majorées de Q qui matérialise les "trous" de Q. Ainsi, en plus des deux opérations + et · qui prolongent celles dans Q et qui ont les mêmes propriétés, le concept d’ordre est aussi fondamental dans la construction de R ; ce qui explique son introduction et utilisation tout au long de ce chapitre, en particulier, et dans tout ce cours d’une manière générale. 9/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien Proposition 1.1 (Propriété d’Archimède) Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b. 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien Proposition 1.1 (Propriété d’Archimède) Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b. Preuve. Soient a ∈ Q et b ∈ Q telles que a > 0, alors : Si b ⩽ 0 la propriété est trivialement vraie avec n = 1 (par exemple). Si b > 0. Alors na > b est équivalente à n > ba−1. Comme ba−1 ∈ Q et que ba−1 > 0, alors il existe (p, q) ∈ N∗2 tel que ba−1 = pq , et l’entier n = p + 1 vérifie l’inégalité n > p ⩾ ba−1. 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien Proposition 1.1 (Propriété d’Archimède) Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b. Preuve. Soient a ∈ Q et b ∈ Q telles que a > 0, alors : Si b ⩽ 0 la propriété est trivialement vraie avec n = 1 (par exemple). Si b > 0. Alors na > b est équivalente à n > ba−1. Comme ba−1 ∈ Q et que ba−1 > 0, alors il existe (p, q) ∈ N∗2 tel que ba−1 = pq , et l’entier n = p + 1 vérifie l’inégalité n > p ⩾ ba−1. Remarques 1.1 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien Proposition 1.1 (Propriété d’Archimède) Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b. Preuve. Soient a ∈ Q et b ∈ Q telles que a > 0, alors : Si b ⩽ 0 la propriété est trivialement vraie avec n = 1 (par exemple). Si b > 0. Alors na > b est équivalente à n > ba−1. Comme ba−1 ∈ Q et que ba−1 > 0, alors il existe (p, q) ∈ N∗2 tel que ba−1 = pq , et l’entier n = p + 1 vérifie l’inégalité n > p ⩾ ba−1. Remarques 1.1 1 Cette propriété est fondamentale. Elle signifie que dans Q il y a des nombres rationnels aussi petits que l’on veut. On dit que (Q, +,., ⩽) est un "corps archimédien". 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R L’ensemble Q est Archimédien Proposition 1.1 (Propriété d’Archimède) Pour tous a ∈ Q et b ∈ Q avec a > 0, il existe un entier naturel n tel que na > b. Preuve. Soient a ∈ Q et b ∈ Q telles que a > 0, alors : Si b ⩽ 0 la propriété est trivialement vraie avec n = 1 (par exemple). Si b > 0. Alors na > b est équivalente à n > ba−1. Comme ba−1 ∈ Q et que ba−1 > 0, alors il existe (p, q) ∈ N∗2 tel que ba−1 = pq , et l’entier n = p + 1 vérifie l’inégalité n > p ⩾ ba−1. Remarques 1.1 1 Cette propriété est fondamentale. Elle signifie que dans Q il y a des nombres rationnels aussi petits que l’on veut. On dit que (Q, +,., ⩽) est un "corps archimédien". 2 Pour tout b ∈ Q, il existe n ∈ N tel que n > b. 10/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : 11/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche √ géométrique : Le nombre 2 est facile à construire à la règle et au compas, grâce au théorème de Pythagore, et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. 11/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche √ géométrique : Le nombre 2 est facile à construire à la règle et au compas, grâce au théorème de Pythagore, et pourtant nous allons démontrer qu’il n’est pas rationnel. 11/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : 12/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : Par le même procédé on peut réaliser la spirale de Pythagore ou de Théodore de Cyrène qui permet de construire successivement à la règle et au compas toutes les grandeurs réelles dont le carré est un entier naturel non nul n. 12/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : 13/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : ou de Théodore de Syrène En effet, si le côté est et , alors, le théorème de Pythagore nous donne que l'hypothénuse est de mesure. Spirale de Pythagore ou de Théodore de Cyrène 13/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : 14/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : Spirale 14/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : Spirale D’un point de vue géométrique il existe bien des grandeurs réelles mesurables √ (correspondant à des longueurs) mais non rationnelles r notées m dont le carré est m. Ces grandeurs seront représentées par des nombres réels irrationnels, éléments d’un nouvel ensemble noté R et appelé ensemble des nombres réels. 14/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : Spirale D’un point de vue géométrique il existe bien des grandeurs réelles mesurables √ (correspondant à des longueurs) mais non rationnelles r notées m dont le carré est m. Ces grandeurs seront représentées par des nombres réels irrationnels, éléments d’un nouvel ensemble noté R et appelé ensemble des nombres réels. Et l’ensemble R peut être représenté géométriquement par une droite munie d’un repère (O, I) (O :origine symbolisant 0 et I : extrémité symbolisant 1 ), notée D (O, I) et appelée droite numérique, et Chaque nombre réel x est représenté par un point unique M de D (O, I) et inversement, de telle sorte que OM =| x | si OI = 1. 14/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : Spirale D’un point de vue géométrique il existe bien des grandeurs réelles mesurables √ (correspondant à des longueurs) mais non rationnelles r notées m dont le carré est m. Ces grandeurs seront représentées par des nombres réels irrationnels, éléments d’un nouvel ensemble noté R et appelé ensemble des nombres réels. Et l’ensemble R peut être représenté géométriquement par une droite munie d’un repère (O, I) (O :origine symbolisant 0 et I : extrémité symbolisant 1 ), notée D (O, I) et appelée droite numérique, et Chaque nombre réel x est représenté par un point unique M de D (O, I) et inversement, de telle sorte que OM =| x | si OI = 1. Il en résulte que l’ensemble R est d’une certaine façon "continu" (sans "trou") à l’image de la droite qui le représente géométriquement. 14/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : Densité de Q et de R \ Q dans R Approche géométrique : 15/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : 16/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : Proposition 1.2 Il n’existe pas de nombre rationnel x tel que x2 = 2. 16/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : Proposition 1.2 Il n’existe pas de nombre rationnel x tel que x2 = 2. Preuve. Par l’absurde, supposons qu’il existe x ∈ Q tel que x2 = 2. 2 Comme (−x) = x2 , on peut supposer que x > 0, il existe donc p ∈ N∗ et q ∈ N tel que x = pq avec p et q sont premiers entre eux (c-à-d : ∗ p ∧ q = 1). D’où p p2 x= =⇒ x2 = 2 = 2 q q =⇒ 2q 2 = p2 (∗) =⇒ p2 est un nombre pair =⇒ p est un nombre pair car sinon c − à − d p est impair on a : 16/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : il existe n ∈ N : p = 2n + 1, d’où p2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 2n2 + 2n + 1,
d´où p2 est impair, ce qui est absurde.  ′  ′ D’où p est un nombre pair et alors ∃p ∈ N : p = 2p , donc  ′ 2 (∗) =⇒ 2q 2 = 4 p  ′ 2 =⇒ q 2 = 2 p =⇒ 2 divise q 2 =⇒ 2 divise q. Enfin 2 divise p et 2 divise q, c-à-d : 2 est un diviseur commun à p et q, ce qui est absurde (car p ∧ q = 1 ). Donc l’hypothèse de départ est fausse. Donc il n’existe aucun rationnel x vérifiant x2 = 2. 17/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : 18/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : Remarque 1.1 Le raisonnement précédent peut se généraliser en utilisant le théorème fondamental de l’arithmétique (Théorème d’Euclide) pour démontrer que si m est un nombre entier naturel qui n’est pas le carré d’un autre entier 2 ,en particulier un nombre premier, alors √ l’équation x = m n’a pas de solution dans Q, en d’ autres termes m/ ∈ Q. 18/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Un peu d’histoire Ensemble R des nombres réels Insuffisance de Q : √ √ Densité de Q et de R \ Q dans R
2 n’est pas rationnel 2∈ /Q : Remarque 1.1 Le raisonnement précédent peut se généraliser en utilisant le théorème fondamental de l’arithmétique (Théorème d’Euclide) pour démontrer que si m est un nombre entier naturel qui n’est pas le carré d’un autre entier 2 ,en particulier un nombre premier, alors √ l’équation x = m n’a pas de solution dans Q, en d’ autres termes m/ ∈ Q. En conclusion, on peut dire que l’ensemble Q des nombres rationnels possède des "trous" (une infinité) et ne suffit pas pour traiter des problèmes simples de géométrie classique et aussi d’analyse comme nous allons voir dans la suite de ce chapitre. 18/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant : 19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant :   (i) ⩽ est ref lexive : (∀x ∈ E) x ⩽ x,
2 (ii) ⩽ est antisymtrique : ∀ (x, y) ∈ E
(x ⩽ y et y ⩽ x) ⇒ x = y, 3 (iii) ⩽ est transitive : ∀ (x, y, z) ∈ E (x ⩽ y et y ⩽ z) ⇒ x ⩽ z.  19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant :   (i) ⩽ est ref lexive : (∀x ∈ E) x ⩽ x,
2 (ii) ⩽ est antisymtrique : ∀ (x, y) ∈ E
(x ⩽ y et y ⩽ x) ⇒ x = y, 3 (iii) ⩽ est transitive : ∀ (x, y, z) ∈ E (x ⩽ y et y ⩽ z) ⇒ x ⩽ z.  Une relation d’ordre ⩽ sur un ensemble E est dite totale et E est dit totalement ordonné si, et seulement si, 19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant :   (i) ⩽ est ref lexive : (∀x ∈ E) x ⩽ x,
2 (ii) ⩽ est antisymtrique : ∀ (x, y) ∈ E
(x ⩽ y et y ⩽ x) ⇒ x = y, 3 (iii) ⩽ est transitive : ∀ (x, y, z) ∈ E (x ⩽ y et y ⩽ z) ⇒ x ⩽ z.  Une relation d’ordre ⩽ sur un ensemble E est dite totale et E est dit totalement ordonné
si, et seulement si, ∀ (x, y) ∈ E 2 (x ⩽ y ou y ⩽ x). 19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 2.1 Un ensemble ordonné est la donnée d’un ensemble non vide E, et d’une relation d’ordre sur E, c’est-à-dire d’une relation binaire dans E, notée ⩽ et vérifiant :   (i) ⩽ est ref lexive : (∀x ∈ E) x ⩽ x,
2 (ii) ⩽ est antisymtrique : ∀ (x, y) ∈ E
(x ⩽ y et y ⩽ x) ⇒ x = y, 3 (iii) ⩽ est transitive : ∀ (x, y, z) ∈ E (x ⩽ y et y ⩽ z) ⇒ x ⩽ z.  Une relation d’ordre ⩽ sur un ensemble E est dite totale et E est dit totalement ordonné
si, et seulement si, ∀ (x, y) ∈ E 2 (x ⩽ y ou y ⩽ x). Notation : Soit (E, ⩽) un ensemble ordonné, alors pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩾ y signifie que y ⩽ x. x < y signifie que x ⩽ y et x ̸= y. x > y signifie que y < x. 19/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.1 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.1 1 Les ensembles N des entiers naturels et Z des entiers relatifs sont totalement ordonnés par la relation définie par : Pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩽ y ⇔ (∃z ∈ N) : y = x + z; où E = N ou Z. 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.1 1 Les ensembles N des entiers naturels et Z des entiers relatifs sont totalement ordonnés par la relation définie par : Pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩽ y ⇔ (∃z ∈ N) : y = x + z; où E = N ou Z. 2 L’ensemble Q des nombres rationnels est totalement ordonné par la relation définie par : 2 + n (x, y) ∈ Q x ⩽ y ⇔ y − x ∈ Q o Pour tout ; où p Q+ = r ∈ Q : r = avec p ∈ N et q ∈ N∗. q n o On rappelle que Q = pq : p ∈ Z et q ∈ N∗. 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.1 1 Les ensembles N des entiers naturels et Z des entiers relatifs sont totalement ordonnés par la relation définie par : Pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩽ y ⇔ (∃z ∈ N) : y = x + z; où E = N ou Z. 2 L’ensemble Q des nombres rationnels est totalement ordonné par la relation définie par : 2 + n (x, y) ∈ Q x ⩽ y ⇔ y − x ∈ Q o Pour tout ; où p Q+ = r ∈ Q : r = avec p ∈ N et q ∈ N∗. q n o On rappelle que Q = pq : p ∈ Z et q ∈ N∗. 3 Si X est un ensemble non vide et non réduit à un élément, la relation définie sur P (X) , par : 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.1 1 Les ensembles N des entiers naturels et Z des entiers relatifs sont totalement ordonnés par la relation définie par : Pour tout (x, y) ∈ E 2 x ⩽ y ⇔ (∃z ∈ N) : y = x + z; où E = N ou Z. 2 L’ensemble Q des nombres rationnels est totalement ordonné par la relation définie par : 2 + n (x, y) ∈ Q x ⩽ y ⇔ y − x ∈ Q o Pour tout ; où p Q+ = r ∈ Q : r = avec p ∈ N et q ∈ N∗. q n o On rappelle que Q = pq : p ∈ Z et q ∈ N∗. 3 Si X est un ensemble non vide et non réduit à un élément, la relation définie sur P (X) , par : 2 pour tout (A, B) ∈ (P (X)) A ⩽ B ⇔ A ⊆ B est une relation d’ordre non totale (dite partielle) sur l’ensemble P (X) des parties de X : ils existent A et B de P (X) tels que A ⊈ B et B ⊈ A. 20/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 2 i. Un élément m de E est dit minorant de A ou minore A si et seulement si (∀x ∈ A) m ⩽ x. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 2 i. Un élément m de E est dit minorant de A ou minore A si et seulement si (∀x ∈ A) m ⩽ x. ii. A est dite minorée signifie qu’elle possède un minorant. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 2 i. Un élément m de E est dit minorant de A ou minore A si et seulement si (∀x ∈ A) m ⩽ x. ii. A est dite minorée signifie qu’elle possède un minorant. iii. Un élément m de E est dit le plus petit élément(unique) ou le minimum de A si et seulement si m minore A et m ∈ A, on le note m = min (A). 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.1 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 i. Un élément M de E est dit majorant de A ou majore A si et seulement si (∀x ∈ A) x ⩽ M. ii. A est dite majorée signifie qu’elle possède un majorant. iii. Un élément M de E est dit le plus grand élément (unique) ou le maximum de A si et seulement si M majore A et M ∈ A, on le note M = M ax (A). 2 i. Un élément m de E est dit minorant de A ou minore A si et seulement si (∀x ∈ A) m ⩽ x. ii. A est dite minorée signifie qu’elle possède un minorant. iii. Un élément m de E est dit le plus petit élément(unique) ou le minimum de A si et seulement si m minore A et m ∈ A, on le note m = min (A). 3 A est dite bornée signifie qu’elle est à la fois majorée et minorée. 21/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 1 L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N). 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 1 L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N). 2 Le sous-ensemble Z− de Z est majoré par zéro et 0 = max (Z− ). 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 1 L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N). 2 Le sous-ensemble Z− de Z est majoré par zéro et 0 = max (Z− ). 3 Toute partie finie de Q est bornée. 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 1 L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N). 2 Le sous-ensemble Z− de Z est majoré par zéro et 0 = max (Z− ). 3 Toute partie finie de Q est bornée. Soit A la partie de Q définie par : A = n1 : n ∈ N∗ , alors A est  4 bornée, 0 est un minorant de A; 1 = max (A). 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Exemples 2.2 1 L’ensemble N des entiers naturels est minoré par zéro et 0 = min (N). 2 Le sous-ensemble Z− de Z est majoré par zéro et 0 = max (Z− ). 3 Toute partie finie de Q est bornée. Soit A la partie de Q définie par : A = n1 : n ∈ N∗ , alors A est  4 bornée, 0 est un minorant de A; 1 = max (A). Remarque 2.1 Tout élément plus grand qu’un majorant est aussi un majorant et tout élément plus petit qu’un minorant est aussi un minorant. 22/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 3 Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 3 Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. Ces propriétés font partie des hypothèses de la construction de N. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 3 Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. Ces propriétés font partie des hypothèses de la construction de N. Exercice 2.1 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 3 Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. Ces propriétés font partie des hypothèses de la construction de N. Exercice 2.1 1 Montrer que (Z , ⩽) vérifie les propriétés 2. et 3. ci-dessus et que toute partie non vide et minorée A de Z admet un plus petit élément. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.1 Dans (N , ⩽) on a : 1 Toute partie non vide A de N admet un plus petit élément. 2 N n’est pas majoré. 3 Toute partie non vide et majorée A de N admet un plus grand élément. Ces propriétés font partie des hypothèses de la construction de N. Exercice 2.1 1 Montrer que (Z , ⩽) vérifie les propriétés 2. et 3. ci-dessus et que toute partie non vide et minorée A de Z admet un plus petit élément. 2 Montrer que dans (Z , ⩽) , Z n’est ni majoré, ni minoré. 23/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). Remarque 2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique. Exemple 2.1  Soit A = x ∈ Q+ / 1 ⩽ x2 ≺ 5. Alors : 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). Remarque 2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique. Exemple 2.1  Soit A = x ∈ Q+ / 1 ⩽ x2 ≺ 5. Alors : A est bornée dans Q. 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). Remarque 2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique. Exemple 2.1  Soit A = x ∈ Q+ / 1 ⩽ x2 ≺ 5. Alors : A est bornée dans Q. inf (A) = min (A) = 1; 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). Remarque 2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique. Exemple 2.1  Soit A = x ∈ Q+ / 1 ⩽ x2 ≺ 5. Alors : A est bornée dans Q. √ inf (A) = min (A) = 1; sup (A) = 5 et 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Définitions 2.2 Soient (E, ⩽) un ensemble ordonné et A une partie non vide de E. 1 Si A est majorée, on appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s’il existe, de l’ensemble des majorants de A; on le note sup (A). 2 Si A est minorée, on appelle borne inférieure de A le plus grand élément, s’il existe, de l’ensemble des minorants de A; on le note inf (A). Remarque 2.2 La borne supérieure (res. la borne inférieure) d’une partie non vide d’un ensemble ordonné (E, ⩽) si elle existe est unique. Exemple 2.1  Soit A = x ∈ Q+ / 1 ⩽ x2 ≺ 5. Alors : A est bornée dans Q. √ inf (A) = min (A) = 1; sup (A) = 5 et max (A) n’existe pas. 24/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R 25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, 25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d : 25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :              25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :   (i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d´algèbre).            25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :   (i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d´algèbre).  (ii) (Q, ⩽) est totalement ordonné.          25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :   (i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d´algèbre).  (ii) (Q, ⩽) est totalement 3ordonné.    (iii) P our tout (a, b, c) ∈ Q on a :       25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :   (i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d´algèbre).  (ii) (Q, ⩽) est totalement 3ordonné.    (iii) P our tout (a, b, c) ∈ Q on a:  (a ⩽ b) =⇒ (a + c ⩽ b + c) ⩽ est compatible avec l′́ addition.       25/61  Introduction :Historique Ensembles ordonnés Définitions et exemples Ensemble R des nombres réels Le corps Q des nombres rationnels Densité de Q et de R \ Q dans R Proposition 2.2 (Q , + , × , ⩽) est un corps commutatif totalement ordonné, où +, ×, et ⩽ sont les opérations et l’ordre usuels dans Q c-à-d :   (i) (Q, +, ×) est un corps commutatif (voir cours d´algèbre).  (ii) (Q, ⩽) est totalement 3ordonné.    (iii) P our tout (a, b, c) ∈ Q on a:  (a ⩽ b) =⇒ (a + c ⩽ b + c) ⩽ est compatible avec l′́ addition.      (a ⩽ b et 0 ⩽ c) =⇒ (a.c ⩽ b.c) (⩽ est compatible avec la multiplication  25/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E , ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E , ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si toute partie non vide majorée A de E admet une borne supérieure dans E (∈ E). 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E , ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si toute partie non vide majorée A de E admet une borne supérieure dans E (∈ E). Exemples 3.1 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E , ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si toute partie non vide majorée A de E admet une borne supérieure dans E (∈ E). Exemples 3.1 1 N et Z vérifient la propriété de la borne supérieure. 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Définition 3.1 On dit qu’un ensemble ordonné (E , ⩽) vérifie la propriété de la borne supérieure, si et seulement si toute partie non vide majorée A de E admet une borne supérieure dans E (∈ E). Exemples 3.1 1 N et Z vérifient la propriété de la borne supérieure. 2 (Q , ⩽) ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure. 26/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Preuve. La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Preuve.  Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Preuve.  Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Preuve.  Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et A est majorée par 2; mais 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Preuve. La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et A est majorée par 2; mais A n’admet pas de borne supérieure dans Q (∈ Q). 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Preuve.  La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et A est majorée par 2; mais A n’admet pas de borne supérieure dans Q (∈ Q). En effet, 27/61  Introduction :Historique Définition de R et bornes supérieure et inférieure Ensembles ordonnés Partie entière et approximation d’un nombre réel par des décimaux Ensemble R des nombres réels Propriétés topologiques de R Densité de Q et de R \ Q dans R Preuve.  La propriété 1 est simple à vérifier, montrons alors 2. Soit A = x ∈ Q / x > 0 et x2 < 2 ; alors A est non vide (1 ∈ A) , A ⊂ Q et A est majorée par 2; mais A n’admet pas de borne supérieure dans Q (∈ Q). En effet, Sinon, soit M ∈ Q tel que M = sup (A). 27/61  Introduction :Historique