Cours de mathématiques - Les nombres réels PDF

Chapitre 1 Les nombres réels Vidéo partie 1. L'ensemble des nombres rationnels Q Vidéo partie 2. Propriétés de R Vidéo partie 3....

Chapitre 1 Les nombres réels Vidéo partie 1. L'ensemble des nombres rationnels Q Vidéo partie 2. Propriétés de R Vidéo partie 3. Densité de Q dans R Vidéo partie 4. Borne supérieure Fiche d'exercices ‡ Propriétés de R Motivation Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers chapitres de ce cours d’analyse. Aux temps des Babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était b en base 60, c’est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la forme a + 60 + 60c 2 + · · ·. On peut imaginer que pour les applications pratiques c’était largement suffisant (par exemple estimer la surface d’un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage moderne cela correspond à compter uniquement avec des nombres rationnels Q. p Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent que 2 n’entre pas dans ce cadre là. C’est-à-dire p p que 2 ne peut s’écrire sous la forme q avec p et q deux entiers. C’est un double saut conceptuel : d’une p part concevoir que 2 est de nature différente mais surtout d’en donner une démonstration. p Le fil rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres 10 et 1, 101/12. Le premier représente par exemple la diagonale d’un rectangle de base 3 et de hauteur 1 ; le second correspond par exemple au taux d’intérêt mensuel d’un taux annuel de 10 %. Dans ce premier chapitre vous allez apprendre p p à montrer que 10 n’est pas un nombre rationnel mais aussi à encadrer 10 et 1, 101/12 entre deux entiers consécutifs. Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons besoin d’outils beaucoup plus sophistiqués : une construction solide des nombres réels, l’étude des suites et de leur limites, l’étude des fonctions continues et des fonctions dérivables. Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons € enŠ 1 10 étudiant la fonction f (x) = x − 10 que la suite des rationnels (un ) définie par u0 = 3 et un+1 = 2 un + un 2 p p tend très vite vers 10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de 10 et de certifier qu’elles sont exactes : p 10 = 3, 1622776601683793319988935444327185337195551393252168... LES NOMBRES RÉELS 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS Q 2 1. L’ensemble des nombres rationnels Q 1.1. Écriture décimale Par définition, l’ensemble des nombres rationnels est § ª p Q= | p ∈ Z, q ∈ N∗. q On a noté N∗ = N \ {0}. 2 −7 3 Par exemple : 5 ; 10 ; 6 = 12. a Les nombres décimaux, c’est-à-dire les nombres de la forme 10n , avec a ∈ Z et n ∈ N, fournissent d’autres exemples : 1234 345 1, 234 = 1234 × 10−3 = 0, 00345 = 345 × 10−5 =. 1000 100 000 Proposition 1. Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie. Par exemple : 3 1 = 0, 6 = 0, 3333... 1, 179 325 325 325... 5 3 ←→ ←→ ←→ Nous n’allons pas donner la démonstration mais le sens direct ( =⇒ ) repose sur la division euclidienne. Pour la réciproque (⇐=) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons que x = 12, 34 2021 2021... ←−→ ←−→ est un rationnel. L’idée est d’abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence deux chiffres après la virgule, donc on multiplie par 100 : 100x = 1234, 2021 2021... (1) ←−→ ←−→ Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d’une période, donc ici on multiplie encore par 10 000 pour décaler de 4 chiffres : 10 000 × 100x = 1234 2021, 2021... (2) ←−→ Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant (2)-(1) alors les parties décimales s’annulent : 10 000 × 100x − 100x = 12 342 021 − 1234 donc 999 900x = 12 340 787 donc 12 340 787 x=. 999 900 Et donc bien sûr x ∈ Q. p 1.2. 2 n’est pas un nombre rationnel Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, les irrationnels. Les nombres irrationnels apparaissent naturellement dans les figures géométriques : par exemple la diagonale d’un carré de côté 1 est le nombre p irrationnel 2 ; la circonférence d’un cercle de rayon 12 est π qui est également un nombre irrationnel. Enfin e = exp(1) est aussi irrationnel. LES NOMBRES RÉELS 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS Q 3 π p 2 1 2 1 p Nous allons prouver que 2 n’est pas un nombre rationnel. Proposition 2. p /Q 2∈ p Démonstration. Par l’absurde supposons que 2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiers p ∈ Z p p et q ∈ N∗ tels que 2 = q , de plus –ce sera important pour la suite– on suppose que p et q sont premiers p entre eux (c’est-à-dire que la fraction q est sous une écriture irréductible). p p En élevant au carré, l’égalité 2 = q devient 2q2 = p2. Cette dernière égalité est une égalité d’entiers. L’entier de gauche est pair, donc on en déduit que p2 est pair ; en terme de divisibilité 2 divise p2. Mais si 2 divise p2 alors 2 divise p (cela se prouve par facilement l’absurde). Donc il existe un entier p′ ∈ Z tel que p = 2p′. Repartons de l’égalité 2q2 = p2 et remplaçons p par 2p′. Cela donne 2q2 = 4p′2. Donc q2 = 2p′2. Maintenant cela entraîne que 2 divise q2 et comme avant alors 2 divise q. Nous avons prouvé que 2 divise à la fois p et q. Cela rentre en contradiction avec le fait que p et q sont p premiers entre eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse : 2 n’est pas un nombre rationnel. Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente, mais toujours par l’absurde. p p p Autre démonstration. Par l’absurde, supposons 2 = q , donc q 2 = p ∈ N. Considérons l’ensemble p N = n ∈ N∗ | n 2 ∈ N.  p Cet ensemble n’est pas vide car on vient de voir que q 2 = p ∈ N donc q ∈ N. Ainsi N est une partie non vide de N, elle admet donc un plus petit élément n0 = min N. Posons p p n1 = n0 2 − n0 = n0 ( 2 − 1), p il découle de cette dernière égalité et de 1 < 2 < 2 que 0 < n1 < n0. p p p p De plus n1 2 = (n0 2 − n0 ) 2 = 2n0 − n0 2 ∈ N. Donc n1 ∈ N et n1 < n0 : on vient de trouver un élément n1 de N strictement plus petit que n0 qui était le minimum. C’est une contradiction. p Notre hypothèse de départ est fausse, donc 2 ∈ / Q. Exercice 1. p / Q. Montrer que 10 ∈ On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » : p 2 e π −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 LES NOMBRES RÉELS 2. PROPRIÉTÉS DE R 4 p Il est bon de connaître les premières décimales de certains réels 2 ≃ 1, 4142... π ≃ 3, 14159265... e ≃ 2, 718... Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique. Définition 1. R = R ∪ {−∞, ∞} Mini-exercices. 1. Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un rationnel. Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel. Qu’en est-il pour les irrationnels ? 2. Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : 0, 1212 ; 0, 12 12... ; 78, 33 456 456... ← → ←→ p p 3. Sachant 2 ∈ / Q, montrer 2 − 3 2 ∈ / Q, 1 − p12 ∈ / Q. a 1 4. Notons D l’ensemble des nombres de la forme 2n avec a ∈ Z et n ∈ N. Montrer que 3 / D. Trouver ∈ x ∈ D tel que 1234 < x < 1234, 001. p 5. Montrer que p2 / Q. ∈ 3 / Q (log 2 est le logarithme décimal de 2 : c’est le nombre réel tel que 10log 2 = 2). 6. Montrer que log 2 ∈ 2. Propriétés de R 2.1. Addition et multiplication Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Pour a, b, c ∈ R on a : a+b= b+a a×b= b×a 0+a = a 1 × a = a si a ̸= 0 a + b = 0 ⇐⇒ a = −b a b = 1 ⇐⇒ a = 1b (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c) a × (b + c) = a × b + a × c a × b = 0 ⇐⇒ (a = 0 ou b = 0) On résume toutes ces propriétés en disant que : Propriété (R1). (R, +, ×) est un corps commutatif. 2.2. Ordre sur R Nous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d’ordre est générale et nous allons définir cette notion sur un ensemble quelconque. Cependant gardez à l’esprit que pour nous E = R et R =⩽. Définition 2. Soit E un ensemble. 1. Une relation R sur E est un sous-ensemble de l’ensemble produit E × E. Pour (x, y) ∈ E × E, on dit que x est en relation avec y et on note xR y pour dire que (x, y) ∈ R. LES NOMBRES RÉELS 2. PROPRIÉTÉS DE R 5 2. Une relation R est une relation d’ordre si R est réflexive : pour tout x ∈ E, xR x, R est antisymétrique : pour tout x, y ∈ E, (xR y et yR x) =⇒ x = y, R est transitive : pour tout x, y, z ∈ E, (xR y et yRz) =⇒ xRz. Définition 3. Une relation d’ordre R sur un ensemble E est totale si pour tout x, y ∈ E on a xR y ou yR x. On dit aussi que (E, R) est un ensemble totalement ordonné. Propriété (R2). La relation ⩽ sur R est une relation d’ordre, et de plus, elle est totale. Nous avons donc : pour tout x ∈ R, x ⩽ x, pour tout x, y ∈ R, si x ⩽ y et y ⩽ x alors x = y, pour tout x, y, z ∈ R si x ⩽ y et y ⩽ z alors x ⩽ z. Remarque. Pour (x, y) ∈ R2 on a par définition : x ⩽ y ⇐⇒ y − x ∈ R+ x < y ⇐⇒ (x ⩽ y et x ̸= y). Les opérations de R sont compatibles avec la relation d’ordre ⩽ au sens suivant, pour des réels a, b, c, d : (a ⩽ b et c ⩽ d) =⇒ a + c ⩽ b + d (a ⩽ b et c ⩾ 0) =⇒ a × c ⩽ b × c (a ⩽ b et c ⩽ 0) =⇒ a × c ⩾ b × c. On définit le maximum de deux réels a et b par : ( a si a ⩾ b max(a, b) = b si b > a. Exercice 2. Comment définir max(a, b, c), max(a1 , a2 ,... , an ) ? Et min(a, b) ? 2.3. Propriété d’Archimède Propriété (R3, Propriété d’Archimède). R est archimédien, c’est-à-dire : ∀x ∈ R ∃n ∈ N n > x « Pour tout réel x, il existe un entier naturel n strictement plus grand que x. » Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de définir la partie entière d’un nombre réel : Proposition 3. Soit x ∈ R, il existe un unique entier relatif, la partie entière notée E(x), tel que : E(x) ⩽ x < E(x) + 1 LES NOMBRES RÉELS 2. PROPRIÉTÉS DE R 6 Exemple 1. E(2, 853) = 2, E(π) = 3, E(−3, 5) = −4. E(x) = 3 ⇐⇒ 3 ⩽ x < 4. Remarque. On note aussi E(x) = [x]. Voici le graphe de la fonction partie entière x 7→ E(x) : y y = E(x) E(2, 853) = 2 1 0 1 2, 853 x Pour la démonstration de la proposition 3 il y a deux choses à établir : d’abord qu’un tel entier E(x) existe et ensuite qu’il est unique. Démonstration. Existence. Supposons x ⩾ 0, par la propriété d’Archimède (Propriété R3) il existe n ∈ N tel que n > x.  L’ensemble K = k ∈ N | k ⩽ x est donc fini (car pour tout k dans K, on a 0 ⩽ k < n). Il admet donc un plus grand élément kma x = max K. On a alors kmax ⩽ x car kmax ∈ K, et kmax + 1 > x car kmax + 1 ∈/ K. Donc kma x ⩽ x < kma x + 1 et on prend donc E(x) = kmax. Unicité. Si k et ℓ sont deux entiers relatifs vérifiant k ⩽ x < k + 1 et ℓ ⩽ x < ℓ + 1, on a donc k ⩽ x < ℓ + 1, donc par transitivité k < ℓ + 1. En échangeant les rôles de ℓ et k, on a aussi ℓ < k + 1. On en conclut que ℓ − 1 < k < ℓ + 1, mais il n’y a qu’un seul entier compris strictement entre ℓ − 1 et ℓ + 1, c’est ℓ. Ainsi k = ℓ. Le cas x < 0 est similaire. Exemple 2. p Encadrons 10 et 1, 11/12 par deux entiers consécutifs. p p Nous savons 32 = 9 < p 10 donc 3 = 32 < 10 (la fonction racine carrée est croissante). De même p p p
42 = 16 > 10 donc 4 = 42 > 10. Conclusion : 3 < 10 < 4 ce qui implique E 10 = 3. On procède sur le même principe. 112 < 1, 10 < 212 donc en passant à la racine 12-ième (c’est-à-dire à 1
la puissance 12 ) on obtient : 1 < 1, 11/12 < 2 et donc E 1, 11/12 = 1. 2.4. Valeur absolue Pour un nombre réel x, on définit la valeur absolue de x par : ( x si x ⩾ 0 |x| = −x si x < 0 Voici le graphe de la fonction x 7→ |x| : LES NOMBRES RÉELS 2. PROPRIÉTÉS DE R 7 y y = |x| 1 0 1 x Proposition 4. 1. |x| ⩾ 0 ; | − x| = |x| ; |x| > 0 ⇐⇒ x ̸= 0 p 2. x 2 = |x| 3. |x y| = |x|| y| 4. Inégalité triangulaire |x + y| ⩽ |x| + | y| 5. Seconde inégalité triangulaire |x| − | y| ⩽ |x − y| Démonstration des inégalités triangulaires. −|x| ⩽ x ⩽ |x| et −| y| ⩽ y ⩽ | y|. En additionnant − (|x| + | y|) ⩽ x + y ⩽ |x|+| y|, donc |x + y| ⩽ |x|+| y|. Puisque x = (x − y) + y, on a d’après la première inégalité : |x| = (x − y) + y ⩽ |x − y| + | y|. Donc |x| − | y| ⩽ |x − y|, et en intervertissant les rôles de x et y, on a aussi | y| − |x| ⩽ | y − x|. Comme | y − x| = |x − y| on a donc |x| − | y| ⩽ |x − y|. Sur la droite numérique, |x − y| représente la distance entre les réels x et y ; en particulier |x| représente la distance entre les réels x et 0. |x| |x − y| | | | 0 x y De plus on a : |x − a| < r ⇐⇒ a − r < x < a + r. Ou encore, comme on le verra bientôt, |x − a| < r ⇐⇒ x ∈]a − r, a + r[. — ” / / / / / / /|/ / / / / / / a−r a a+r Exercice 3. Soit a ∈ R\{0} et x ∈ R tel que |x − a| < |a|. Montrer que x ̸= 0 et ensuite que x est du même signe que a. Mini-exercices. 1. On munit l’ensemble P (R) des parties de R de la relation R définie par AR B si A ⊂ B. Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre. Est-elle totale ? 2. Soient x, y deux réels. Montrer que |x| ⩾ |x + y| − | y|. 3. Soient x 1 ,... , x n des réels. Montrer que |x 1 + · · · + x n | ⩽ |x 1 | + · · · + |x n |. Dans quel cas a-t-on égalité ? 4. Soient x, y > 0 des réels. Comparer E(x + y) avec E(x) + E( y). Comparer E(x × y) et E(x) × E( y). E(x) E(x) 5. Soit x > 0 un réel. Encadrer x. Quelle est la limite de x lorsque x → +∞ ? LES NOMBRES RÉELS 3. DENSITÉ DE Q DANS R 8 6. On note {x} = x − E(x) la partie fractionnaire de x, de sorte que x = E(x) + {x}. Représenter les graphes des fonctions x 7→ E(x), x 7→ {x}, x 7→ E(x) − {x}. 3. Densité de Q dans R 3.1. Intervalle Définition 4. Un intervalle de R est un sous-ensemble I de R vérifiant la propriété : ∀a, b ∈ I ∀x ∈ R (a ⩽ x ⩽ b =⇒ x ∈ I) Remarque. Par définition I = ∅ est un intervalle. I = R est aussi un intervalle. Définition 5.  Un intervalle ouvert est un sous-ensemble de R de la forme ]a, b[= x ∈ R | a < x < b , où a et b sont des éléments de R. Même si cela semble évident il faut justifier qu’un intervalle ouvert est un intervalle ( !). En effet soient a′ , b′ des éléments de ]a, b[ et x ∈ R tel que a′ ⩽ x ⩽ b′. Alors on a a < a′ ⩽ x ⩽ b′ < b, donc x ∈]a, b[. La notion de voisinage sera utile pour les limites. Définition 6. Soit a un réel, V ⊂ R un sous-ensemble. On dit que V est un voisinage de a s’il existe un intervalle ouvert I tel que a ∈ I et I ⊂ V. V V I [ ] [ ] | [ ] a 3.2. Densité Théorème 1. 1. Q est dense dans R : tout intervalle ouvert (non vide) de R contient une infinité de rationnels. 2. R\Q est dense dans R : tout intervalle ouvert (non vide) de R contient une infinité d’irrationnels. Démonstration. On commence par remarquer que tout intervalle ouvert non vide de R contient un intervalle du type ]a, b[, a, b ∈ R. On peut donc supposer que I =]a, b[ par la suite. 1. Tout intervalle contient un rationnel. On commence par montrer l’affirmation : ∀a, b ∈ R (a < b =⇒ ∃r ∈ Q a < r < b) (3) p Donnons d’abord l’idée de la preuve. Trouver un tel rationnel r = q, avec p ∈ Z et q ∈ N∗ , revient à trouver de tels entiers p et q vérifiant qa < p < qb. Cela revient à trouver un q ∈ N∗ tel que l’intervalle ouvert ]qa, q b[ contienne un entier p. Il suffit pour cela que la longueur qb − qa = q(b − a) de l’intervalle 1 dépasse strictement 1, ce qui équivaut à q > b−a. LES NOMBRES RÉELS 4. B ORNE SUPÉRIEURE 9 Passons à la rédaction définitive. D’après la propriété d’Archimède (propriété R3), il existe un entier 1 q tel que q > b−a. Comme b − a > 0, on a q ∈ N∗. Posons p = E(aq) + 1. Alors p − 1 ⩽ aq < p. On en p p p p déduit d’une part a < q , et d’autre part q − 1q ⩽ a, donc q ⩽ a + 1q < a + b − a = b. Donc q ∈]a, b[. On a montré l’affirmation (3). 2. Tout intervalle contient un irrationnel. Partant de a, b réels tels que a < b, on peut appliquer l’implication de l’affirmation (3) au couple p p p p (a − 2, b − 2). On en déduit qu’il existe un rationnel r dans l’intervalle ]a − 2, b − 2[ et par p p translation r + 2 ∈]a, b[. Or r + 2 est irrationnel, car sinon comme les rationnels sont stables par p p somme, 2 = −r + r + 2 serait rationnel, ce qui est faux d’après la proposition 2. On a donc montré que si a < b, l’intervalle ]a, b[ contient aussi un irrationnel. 3. Tout intervalle contient une infinité de rationnels et d’irrationnels. On va déduire de l’existence d’un rationnel et d’un irrationnel dans tout intervalle ]a, b[ le fait qu’il existe une infinité de chaque dans un tel intervalle ouvert. En effet pour un entier N ⩾ 1, on considère l’ensemble de N sous-intervalles ouverts disjoints deux à deux : — b − a” — b−a 2(b − a) ” — (N − 1)(b − a) ” a, a + , a+ ,a+ ,... a+ ,b. N N N N Chaque sous-intervalle contient un rationnel et un irrationnel, donc ]a, b[ contient (au moins) N rationnels et N irrationnels. Comme ceci est vrai pour tout entier N ⩾ 1, l’intervalle ouvert ]a, b[ contient alors une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels. Mini-exercices. 1. Montrer qu’une intersection d’intervalles est un intervalle. Qu’en est-il pour une réunion ? Trouver une condition nécessaire et suffisante afin que la réunion de deux intervalles soit un intervalle. a 2. Montrer que l’ensemble des nombres décimaux (c’est-à-dire ceux de la forme 10n , avec n ∈ N et a ∈ Z) est dense dans R. 3. Construire un rationnel compris strictement entre 123 et 123, 001. Ensuite construire un irrationnel. Sauriez-vous en construire une infinité ? Et entre π et π + 0, 001 ? 4. Montrer que si z = e iα et z ′ = e iβ sont deux nombres complexes de module 1, avec α < β, il existe un entier n ∈ N∗ et une racine n-ième de l’unité z = e iγ avec α < γ < β. 4. Borne supérieure 4.1. Maximum, minimum Définition 7. Soit A une partie non vide de R. Un réel α est un plus grand élément de A si : α∈A et ∀x ∈ A x ⩽ α. S’il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors max A. Le plus petit élément de A, noté min A, s’il existe est le réel α tel que α ∈ A et ∀x ∈ A x ⩾ α. Le plus grand élément s’appelle aussi le maximum et le plus petit élément, le minimum. Il faut garder à l’esprit que le plus grand élément ou le plus petit élément n’existent pas toujours. Exemple 3. max[a, b] = b , min[a, b] = a. L’intervalle ]a, b[ n’a pas de plus grand élément, ni de plus petit élément. LES NOMBRES RÉELS 4. B ORNE SUPÉRIEURE 10 L’intervalle [0, 1[ a pour plus petit élément 0 et n’a pas de plus grand élément. Exemple 4. Soit A = 1 − 1n | n ∈ N∗.  Notons un = 1 − 1n pour n ∈ N∗. Alors A = un | n ∈ N∗. Voici une représentation graphique de A sur la  droite numérique : 0 = u1 1 = u2 u3 u4 u5 1 2 1. A n’a pas de plus grand élément : Supposons qu’il existe un plus grand élément α = max A. On aurait alors un ⩽ α, pour tout un. Ainsi 1 − 1n ⩽ α donc α ⩾ 1 − 1n. À la limite lorsque n → +∞ cela implique α ⩾ 1. Comme α est le plus grand élément de A alors α ∈ A. Donc il existe n0 tel que α = un0. Mais alors α = 1 − n10 < 1. Ce qui est en contradiction avec α ⩾ 1. Donc A n’a pas de maximum. 2. min A = 0 : Il y a deux choses à vérifier tout d’abord pour n = 1, u1 = 0 donc 0 ∈ A. Ensuite pour tout n ⩾ 1, un ⩾ 0. Ainsi min A = 0. 4.2. Majorants, minorants Définition 8. Soit A une partie non vide de R. Un réel M est un majorant de A si ∀x ∈ A x ⩽ M. Un réel m est un minorant de A si ∀x ∈ A x ⩾ m. Exemple 5. 3 est un majorant de ]0, 2[ ; −7, −π, 0 sont des minorants de ]0, +∞[ mais il n’y a pas de majorant. Si un majorant (resp. un minorant) de A existe on dit que A est majorée (resp. minorée). Comme pour le minimum et le maximum il n’existe pas toujours de majorant ni de minorant, en plus on n’a pas l’unicité. Exemple 6. Soit A = [0, 1[. minorants A majorants [ [ 0 1 1. les majorants de A sont exactement les éléments de [1, +∞[, 2. les minorants de A sont exactement les éléments de ] − ∞, 0]. 4.3. Borne supérieure, borne inférieure Définition 9. Soit A une partie non vide de R et α un réel. 1. α est la borne supérieure de A si α est un majorant de A et si c’est le plus petit des majorants. S’il existe on le note sup A. 2. α est la borne inférieure de A si α est un minorant de A et si c’est le plus grand des minorants. S’il existe on le note inf A. LES NOMBRES RÉELS 4. B ORNE SUPÉRIEURE 11 Exemple 7. Soit A =]0, 1]. 1. sup A = 1 : en effet les majorants de A sont les éléments de [1, +∞[. Donc le plus petit des majorants est 1. 2. inf A = 0 : les minorants sont les éléments de ] − ∞, 0] donc le plus grand des minorants est 0. Exemple 8. sup[a, b] = b, inf[a, b] = a, sup]a, b[= b, ]0, +∞[ n’admet pas de borne supérieure, inf]0, +∞[= 0. Théorème 2 (R4). Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. De la même façon : Toute partie de R non vide et minorée admet une borne inférieure. Remarque. C’est tout l’intérêt de la borne supérieure par rapport à la notion de plus grand élément, dès qu’une partie est bornée elle admet toujours une borne supérieure et une borne inférieure. Ce qui n’est pas le cas pour le plus grand ou plus petit élément. Gardez à l’esprit l’exemple A = [0, 1[. Proposition 5 (Caractérisation de la borne supérieure). Soit A une partie non vide et majorée de R. La borne supérieure de A est l’unique réel sup A tel que (i) si x ∈ A, alors x ⩽ sup A, (ii) pour tout y < sup A, il existe x ∈ A tel que y < x. Exemple 9. 1 | n ∈ N∗.  Reprenons l’exemple de la partie A = 1 − n 0 = u1 1 = u2 u3 u4u5 1 2 1. Nous avions vu que min A = 0. Lorsque le plus petit élément d’une partie existe alors la borne inférieure vaut ce plus petit élément : donc inf A = min A = 0. 2. Première méthode pour sup A. Montrons que sup A = 1 en utilisant la définition de la borne supérieure. Soit M un majorant de A alors M ⩾ 1 − 1n , pour tout n ⩾ 1. Donc à la limite M ⩾ 1. Réciproquement si M ⩾ 1 alors M est un majorant de A. Donc les majorants sont les éléments de [1, +∞[. Ainsi le plus petit des majorants est 1 et donc sup A = 1. 3. Deuxième méthode pour sup A. Montrons que sup A = 1 en utilisant la caractérisation de la borne supérieure. (i) Si x ∈ A, alors x ⩽ 1 (1 est bien un majorant de A) ; (ii) pour tout y < 1, il existe x ∈ A tel que y < x : en effet prenons n suffisamment grand tel que 0 < 1n < 1 − y. Alors on a y < 1 − 1n < 1. Donc x = 1 − 1n ∈ A convient. Par la caractérisation de la borne supérieure, sup A = 1. Démonstration. LES NOMBRES RÉELS 4. B ORNE SUPÉRIEURE 12 1. Montrons que sup A vérifie ces deux propriétés. La borne supérieure est en particulier un majorant, donc vérifie la première propriété. Pour la seconde, fixons y < sup A. Comme sup A est le plus petit des majorants de A alors y n’est pas un majorant de A. Donc il existe x ∈ A tel que y < x. Autrement dit sup A vérifie également la seconde propriété. 2. Montrons que réciproquement si un nombre α vérifie ces deux propriétés, il s’agit de sup A. La première propriété montre que α est un majorant de A. Supposons par l’absurde que α n’est pas le plus petit des majorants. Il existe donc un autre majorant y de A vérifiant y < α. La deuxième propriété montre l’existence d’un élément x de A tel que y < x, ce qui contredit le fait que y est un majorant de A. Cette contradiction montre donc que α est bien le plus petit des majorants de A, à savoir sup A. Nous anticipons sur la suite pour donner une autre caractérisation, très utile, de la borne supérieure. Proposition 6. Soit A une partie non vide et majorée de R. La borne supérieure de A est l’unique réel sup A tel que (i) sup A est un majorant de A, (ii) il existe une suite (x n )n∈N d’éléments de A qui converge vers sup A. Remarques historiques Les propriétés R1, R2, R3 et le théorème R4 sont intrinsèques à la construction de R (que nous admettons). Il y a un grand saut entre Q et R : on peut donner un sens précis à l’assertion « il y a beaucoup plus de nombres irrationnels que de nombres rationnels », bien que ces deux ensembles soient infinis, et même denses dans R. D’autre part, la construction du corps des réels R est beaucoup plus récente que celle de Q dans l’histoire des mathématiques. La construction de R devient une nécessité après l’introduction du calcul infinitésimal (Newton et Leibniz vers 1670). Jusqu’alors l’existence d’une borne supérieure était considérée comme évidente et souvent confondue avec le plus grand élément. Ce n’est pourtant que beaucoup plus tard, dans les années 1860-1870 (donc assez récemment dans l’histoire des mathématiques) que deux constructions complètes de R sont données : — Les coupures de Dedekind : C est une coupure si C ⊂ Q et si ∀r ∈ C on a r ′ < r =⇒ r ′ ∈ C. — Le suites de Cauchy : ce sont les suites (un )n∈N vérifiant la propriété ∀ε > 0 ∃N ∈ N (m ⩾ N , n ⩾ N ) =⇒ |um − un | ⩽ ε. Les réels sont l’ensemble des suites de Cauchy (où l’on identifie deux suites de Cauchy dont la différence tend vers 0). Mini-exercices. 1. Soit A une partie de R. On note −A = {−x|x ∈ A}. Montrer que min A = − max(−A), c’est-à-dire que si l’une des deux quantités a un sens, l’autre aussi, et on a égalité. 2. Soit A une partie de R. Montrer que A admet un plus petit élément si et seulement si A admet une borne inférieure qui appartient à A. 3. Même exercice, mais en remplaçant min par inf et max par sup. n  4. Soit A = (−1)n n+1 | n ∈ N. Déterminer, s’ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément, les majorants, les minorants, la borne supérieure et la borne inférieure.  1 5. Même question avec A = 1+x | x ∈ [0, +∞[. LES NOMBRES RÉELS 4. B ORNE SUPÉRIEURE 13 Auteurs du chapitre Arnaud Bodin, Niels Borne, Laura Desideri  Chapitre 2 Les suites Vidéo partie 1. Premières définitions Vidéo partie 2. Limite Vidéo partie 3. Exemples remarquables Vidéo partie 4. Théorèmes de convergence Vidéo partie 5. Suites récurrentes Fiche d'exercices ‡ Suites Introduction L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l’on place une somme S à un taux annuel de 10%. Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a S0 = S S1 = S × 1, 1... Sn = S × (1, 1)n. Au bout de n = 10 ans, on possédera donc S10 = S × (1, 1)10 t S × 2, 59 : la somme de départ avec les intérêts cumulés. 1. Définitions 1.1. Définition d’une suite Définition 1. Une suite est une application u : N → R. Pour n ∈ N, on note u(n) par un et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite. La suite est notée u, ou plus souvent (un )n∈N ou simplement (un ). Il arrive fréquemment que l’on considère des suites définies à partir d’un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un )n⩾n0. Exemple 1. p p p ( n)n⩾0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3,... ((−1)n )n⩾0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,... La suite (Sn )n⩾0 de l’introduction définie par Sn = S × (1, 1)n , (Fn )n⩾0 définie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ∈ N (suite de Fibonacci). Les premiers termes sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...Chaque terme est la somme des deux précédents. 1 1 1 1
n2 n⩾1. Les premiers termes sont 1, 4 , 9 , 16 ,... LES SUITES 1. DÉFINITIONS 16 1.2. Suite majorée, minorée, bornée Définition 2. Soit (un )n∈N une suite. (un )n∈N est majorée si ∃M ∈ R ∀n ∈ N un ⩽ M. (un )n∈N est minorée si ∃m ∈ R ∀n ∈ N un ⩾ m. (un )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire : ∃M ∈ R ∀n ∈ N |un | ⩽ M. + M + + + + + + + + + + 0 1 2 + + + m 1.3. Suite croissante, décroissante Définition 3. Soit (un )n∈N une suite. (un )n∈N est croissante si ∀n ∈ N un+1 ⩾ un. (un )n∈N est strictement croissante si ∀n ∈ N un+1 > un. (un )n∈N est décroissante si ∀n ∈ N un+1 ⩽ un. (un )n∈N est strictement décroissante si ∀n ∈ N un+1 < un. (un )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante. (un )n∈N est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante. Voici un exemple d’une suite croissante (mais pas strictement croissante) : + + + + + + + + Remarque. (un )n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∈ N un+1 − un ⩾ 0. un+1 Si (un )n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n ∈ N un ⩾ 1. LES SUITES 2. LIMITES 17 Exemple 2. La suite (Sn )n⩾0 de l’introduction est strictement croissante car Sn+1 /Sn = 1, 1 > 1. La suite (un )n⩾1 définie par un = (−1)n /n pour n ⩾ 1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2 (borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1). 1 1 2 + + + 1 2 3 4 5 6 + + − 21 -1 + 1
La suite n n⩾1 est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte. Mini-exercices. n
1. La suite n+1 n∈N est-elle monotone ? Est-elle bornée ? n sin(n!)
2. La suite 1+n 2 n∈N est-elle bornée ? 3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune des phrases. (a) La suite (un )n∈N est majorée par 7. (b) La suite (un )n∈N est constante. (c) La suite (un )n∈N est strictement positive à partir d’un certain rang. (d) (un )n∈N n’est pas strictement croissante. 4. Est-il vrai qu’une suite croissante est minorée ? Majorée ? n
5. Soit x > 0 un réel. Montrer que la suite xn! n∈N est décroissante à partir d’un certain rang. 2. Limites 2.1. Introduction Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d’abonnement de train à 50 euros et on obtient chaque billet à 10 euros. La publicité affirme « 50% de réduction ». Qu’en pensez-vous ? Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entier n ⩾ 1 : un = 20n vn = 10n + 50 un est le prix payé au bout de n achats au tarif plein, et vn celui au tarif réduit, y compris le prix de l’abonnement. La réduction est donc, en pourcentage : vn un − vn 10n − 50 5 1− = = = 0, 5 − −−−−→ 0, 5 un un 20n 2n n→+∞ Il faut donc une infinité de trajets pour arriver à 50% de réduction ! LES SUITES 2. LIMITES 18 50% + + + + + + + + 2.2. Limite finie, limite infinie Soit (un )n∈N une suite. Définition 4. La suite (un )n∈N a pour limite ℓ ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n ⩾ N alors |un − ℓ| ⩽ ε : ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ⩾ N =⇒ |un − ℓ| ⩽ ε) On dit aussi que la suite (un )n∈N tend vers ℓ. Autrement dit : un est proche d’aussi près que l’on veut de ℓ, à partir d’un certain rang. ℓ+ε + + + ℓ + + + un + ℓ−ε + + + + + + N n Définition 5. 1. La suite (un )n∈N tend vers +∞ si : ∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ⩾ N =⇒ un ⩾ A) 2. La suite (un )n∈N tend vers −∞ si : ∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ⩾ N =⇒ un ⩽ −A) Remarque. 1. On note limn→+∞ un = ℓ ou parfois un −−−−→ ℓ, et de même pour une limite ±∞. n→+∞ 2. limn→+∞ un = −∞ ⇐⇒ limn→+∞ −un = +∞. 3. On raccourcit souvent la phrase logique en : ∀ε > 0 ∃N ∈ N (n ⩾ N =⇒ |un − ℓ| ⩽ ε). Noter que N dépend de ε et qu’on ne peut pas échanger l’ordre du « pour tout » et du « il existe ». 4. L’inégalité |un − ℓ| ⩽ ε signifie ℓ − ε ⩽ un ⩽ ℓ + ε. On aurait aussi pu définir la limite par la phrase : ∀ε > 0 ∃N ∈ N (n ⩾ N =⇒ |un − ℓ| < ε), où l’on a remplacé la dernière inégalité large par une inégalité stricte. LES SUITES 2. LIMITES 19 Définition 6. Une suite (un )n∈N est convergente si elle admet une limite finie. Elle est divergente sinon (c’est-à-dire soit la suite tend vers ±∞, soit elle n’admet pas de limite). On va pouvoir parler de la limite, si elle existe, car il y a unicité de la limite : Proposition 1. Si une suite est convergente, sa limite est unique. Démonstration. On procède par l’absurde. Soit (un )n∈N une suite convergente ayant deux limites ℓ ̸= ℓ′. |ℓ−ℓ′ | Choisissons ε > 0 tel que ε < 2. Comme limn→+∞ un = ℓ, il existe N1 tel que n ⩾ N1 implique |un − ℓ| < ε. De même limn→+∞ un = ℓ′ , il existe N2 tel que n ⩾ N2 implique |un − ℓ′ | < ε. Notons N = max(N1 , N2 ), on a alors pour ce N : |uN − ℓ| < ε et |uN − ℓ′ | < ε Donc |ℓ − ℓ′ | = |ℓ − uN + uN − ℓ′ | ⩽ |ℓ − uN | + |uN − ℓ′ | d’après l’inégalité triangulaire. On en tire |ℓ − ℓ′ | ⩽ ε + ε = 2ε < |ℓ − ℓ′ |. On vient d’aboutir à l’inégalité |ℓ − ℓ′ | < |ℓ − ℓ′ | qui est impossible. Bilan : notre hypothèse de départ est fausse et donc ℓ = ℓ′. 2.3. Propriétés des limites Proposition 2. 1. limn→+∞ un = ℓ ⇐⇒ limn→+∞ (un − ℓ) = 0 ⇐⇒ limn→+∞ |un − ℓ| = 0, 2. limn→+∞ un = ℓ =⇒ limn→+∞ |un | = |ℓ|. Démonstration. Cela résulte directement de la définition. Proposition 3 (Opérations sur les limites). Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes. 1. Si limn→+∞ un = ℓ, où ℓ ∈ R, alors pour λ ∈ R on a limn→+∞ λun = λℓ. 2. Si limn→+∞ un = ℓ et limn→+∞ vn = ℓ′ , où ℓ, ℓ′ ∈ R, alors lim (un + vn ) = ℓ + ℓ′ n→+∞ lim (un × vn ) = ℓ × ℓ′ n→+∞ 1 3. Si limn→+∞ un = ℓ où ℓ ∈ R∗ = R\ {0} alors un ̸= 0 pour n assez grand et limn→+∞ un = 1ℓ. Nous ferons la preuve dans la section suivante. Nous utilisons continuellement ces propriétés, le plus souvent sans nous en rendre compte. Exemple 3. Si un → ℓ avec ℓ ̸= ±1, alors 1 1 un (1 − 3un ) − −−−−→ ℓ(1 − 3ℓ) −. u2n − 1 n→+∞ ℓ2 − 1 Proposition 4 (Opérations sur les limites infinies). Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites telles que limn→+∞ vn = +∞. 1 1. limn→+∞ vn =0 2. Si (un )n∈N est minorée alors limn→+∞ (un + vn ) = +∞. LES SUITES 2. LIMITES 20 3. Si (un )n∈N est minorée par un nombre λ > 0 alors limn→+∞ (un × vn ) = +∞. 1 4. Si limn→+∞ un = 0 et un > 0 pour n assez grand alors limn→+∞ un = +∞. Exemple 4. p La suite ( n) tend vers +∞, donc la suite ( p1n ) tend vers 0. 2.4. Des preuves ! Nous n’allons pas tout prouver mais seulement quelques résultats importants. Les autres se démontrent de manière tout à fait semblable. Commençons par prouver un résultat assez facile (le premier point de la proposition 4) : « Si lim un = +∞ alors lim u1n = 0. » Démonstration. Fixons ε > 0. Comme limn→+∞ un = +∞, il existe un entier naturel N tel que n ⩾ N implique un ⩾ 1ε. On obtient alors 0 ⩽ u1n ⩽ ε pour n ⩾ N. On a donc montré que limn→+∞ u1n = 0. Afin de prouver que la limite d’un produit est le produit des limites nous aurons besoin d’un peu de travail. Proposition 5. Toute suite convergente est bornée. Démonstration. Soit (un )n∈N une suite convergeant vers le réel ℓ. En appliquant la définition de limite (définition 4) avec ε = 1, on obtient qu’il existe un entier naturel N tel que pour n ⩾ N on ait |un − ℓ| ⩽ 1, et donc pour n ⩾ N on a |un | = |ℓ + (un − ℓ)| ⩽ |ℓ| + |un − ℓ| ⩽ |ℓ| + 1. ℓ+1 + + + ℓ + + + + + ℓ−1 + + + + + N Donc si on pose M = max(|u0 |, |u1 |, · · · , |uN −1 |, |ℓ| + 1) on a alors ∀n ∈ N |un | ⩽ M. Proposition 6. Si la suite (un )n∈N est bornée et limn→+∞ vn = 0 alors limn→+∞ (un × vn ) = 0. Exemple 5. Si (un )n⩾1 est la suite donnée par un = cos(n) et (vn )n⩾1 est celle donnée par vn = p1 , alors n limn→+∞ (un vn ) = 0. LES SUITES 2. LIMITES 21 Démonstration. La suite (un )n∈N est bornée, on peut donc trouver un réel M > 0 tel que pour tout entier naturel n on ait |un | ⩽ M. Fixons ε > 0. On applique la définition de limite (définition 4) à la suite (vn )n∈N pour ε′ = Mε. Il existe donc un entier naturel N tel que n ⩾ N implique |vn | ⩽ ε′. Mais alors pour n ⩾ N on a: |un vn | = |un ||vn | ⩽ M × ε′ = ε. On a bien montré que limn→+∞ (un × vn ) = 0. Prouvons maintenant la formule concernant le produit de deux limites (voir proposition 3). « Si lim un = ℓ et lim vn = ℓ′ alors lim un vn = ℓℓ′. » Démonstration de la formule concernant le produit de deux limites. Le principe est d’écrire : un vn − ℓℓ′ = (un − ℓ)vn + ℓ(vn − ℓ′ ) D’après la proposition 6, la suite de terme général ℓ(vn − ℓ′ ) tend vers 0. Par la même proposition il en est de même de la suite de terme général (un − ℓ)vn , car la suite convergente (vn )n∈N est bornée. On conclut que limn→+∞ (un vn − ℓℓ′ ) = 0, ce qui équivaut à limn→+∞ un vn = ℓℓ′. 2.5. Formes indéterminées Dans certaines situations, on ne peut rien dire à priori sur la limite, il faut faire une étude au cas par cas. Exemple 6. 1. « +∞ − ∞ » Cela signifie que si un → +∞ et vn → −∞ il faut faire faire l’étude en fonction de chaque suite pour déterminer lim(un + vn ) comme le prouve les exemples suivants. lim (e n − ln(n)) = +∞ n→+∞ lim n − n2 = −∞
n→+∞ 1  ‹ ‹ lim n+ −n =0 n→+∞ n 2. « 0 × ∞ » 1 lim × e n = +∞ n→+∞ln n 1 lim × ln n = 0 n→+∞ n 1 lim × (n + 1) = 1 n→+∞ n ∞ 0 3. « ∞ », « 0 », « 1∞ »,... 2.6. Limite et inégalités Proposition 7. 1. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites convergentes telles que : ∀n ∈ N, un ⩽ vn. Alors lim un ⩽ lim vn n→+∞ n→+∞ 2. Soient (un )n∈N et (vn )n∈N deux suites telles que limn→+∞ un = +∞ et ∀n ∈ N, vn ⩾ un. Alors limn→+∞ vn = +∞. 3. Théorème des « gendarmes » : si (un )n∈N , (vn )n∈N et (w n )n∈N sont trois suites telles que ∀n ∈ N un ⩽ vn ⩽ w n et limn→+∞ un = ℓ = limn→+∞ w n , alors la suite (vn )n∈N est convergente et limn→+∞ vn = ℓ. LES SUITES 2. LIMITES 22 ℓ wn + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + vn + + + + + + + un + Remarque. 1. Soit (un )n∈N une suite convergente telle que : ∀n ∈ N, un ⩾ 0. Alors limn→+∞ un ⩾ 0. 2. Attention, si (un )n∈N est une suite convergente telle que : ∀n ∈ N, un > 0, on ne peut affirmer que la limite est strictement positive mais seulement que limn→+∞ un ⩾ 0. Par exemple la suite (un )n∈N donnée 1 par un = n+1 est à termes strictement positifs, mais converge vers zéro. Démonstration de la proposition 7. 1. En posant w n = vn − un , on se ramène à montrer que si une suite (w n )n∈N vérifie ∀n ∈ N, w n ⩾ 0 et converge, alors limn→+∞ w n ⩾ 0. On procède par l’absurde en supposant que ℓ = limn→+∞ w n < 0. En prenant ε = | 2ℓ | dans la définition de limite (définition 4), on obtient qu’il existe un entier naturel N tel que n ⩾ N implique |w n − ℓ| < ε = − 2ℓ. En particulier on a pour n ⩾ N que w n < ℓ − 2ℓ = 2ℓ < 0, une contradiction. 0 ε ℓ N ℓ+ = + 2 2 + + wn ⩽ ℓ 0 et N un entier naturel tel que n ⩾ N implique |vn | < ε. Comme |un | = un ⩽ vn = |vn |, on a donc : n ⩾ N implique |un | < ε. On a bien montré que limn→+∞ un = 0. Exemple 7 (Exemple d’application du théorème des « gendarmes »). Trouver la limite de la suite (un )n∈N de terme général : (−1)n un = 2 + 1 + n + n2 Mini-exercices. 1. Soit (un )n∈N la suite définie par un = 2n+1 n+2. En utilisant la définition de la limite montrer que limn→+∞ un = 2. Trouver explicitement un rang à partir duquel 1, 999 ⩽ un ⩽ 2, 001. n+cos n 2. Déterminer la limite ℓ de la suite (un )n∈N∗ de terme général : n−sin n et trouver un entier N tel que si n ⩾ N , on ait |un − ℓ| ⩽ 10−2. 3. La suite (un )n∈N de terme général (−1)n e n admet-elle une limite ? Et la suite de terme général u1n ? p p 4. Déterminer la limite de la suite (un )n⩾1 de terme général n + 1 − n. Idem avec vn = sincos n n+ln n. Idem avec w n = nn!n. LES SUITES 3. EXEMPLES REMARQUABLES 23 3. Exemples remarquables 3.1. Suite géométrique Proposition 8 (Suite géométrique). On fixe un réel a. Soit (un )n∈N la suite de terme général : un = a n. 1. Si a = 1, on a pour tout n ∈ N : un = 1. 2. Si a > 1, alors limn→+∞ un = +∞. 3. Si −1 < a < 1, alors limn→+∞ un = 0. 4. Si a ⩽ −1, la suite (un )n∈N diverge. Démonstration. 1. est évident. n
2. Écrivons a = 1 + b avec b > 0. Alors le binôme de Newton s’écrit a n = (1 + b)n = 1 + nb + 2 b2 + · · · + n k
k b + · · · + b. Tous les termes sont positifs, donc pour tout entier naturel n on a : a ⩾ 1 + nb. Or n n limn→+∞ (1 + nb) = +∞ car b > 0. On en déduit que limn→+∞ a n = +∞. 3. Si a = 0, le résultat est clair. Sinon, on pose b = | 1a |. Alors b > 1 et d’après le point précédent limn→+∞ b n = +∞. Comme pour tout entier naturel n on a : |a|n = b1n , on en déduit que limn→+∞ |a|n = 0, et donc aussi limn→+∞ a n = 0. 4. Supposons par l’absurde que la suite (un )n∈N converge vers le réel ℓ. De a2 ⩾ 1, on déduit que pour tout entier naturel n, on a a2n ⩾ 1. En passant à la limite, il vient ℓ ⩾ 1. Comme de plus pour tout entier naturel n on a a2n+1 ⩽ a ⩽ −1, il vient en passant de nouveau à la limite ℓ ⩽ −1. Mais comme on a déjà ℓ ⩾ 1, on obtient une contradiction, et donc (un ) ne converge pas. 3.2. Série géométrique Proposition 9 (Série géométrique). Pn Soit a un réel, a ̸= 1. En notant k=0 a k = 1 + a + a2 + · · · + a n , on a : n X 1 − a n+1 ak = k=0 1−a Démonstration. En multipliant par 1 − a on fait apparaître une somme télescopique (presque tous les termes s’annulent) : (1 − a) 1 + a + a2 + · · · + a n = 1 + a + a2 + · · · + a n − a + a2 + · · · + a n+1 = 1 − a n+1.


Remarque. Pn 1 Si a ∈] − 1, 1[ et (un )n∈N est la suite de terme général : un = k=0 a k , alors limn→+∞ un = 1−a. De manière plus frappante, on peut écrire : 1 1 + a + a2 + a3 + · · · = 1−a Enfin, ces formules sont aussi valables si a ∈ C \ {1}. Si a = 1, alors 1 + a + a2 + · · · + a n = n + 1. LES SUITES 3. EXEMPLES REMARQUABLES 24 Exemple 8. 1 L’exemple précédent avec a = 2 donne 1 1 1 1+ + + + · · · = 2. 2 4 8 Cette formule était difficilement concevable avant l’avènement du calcul infinitésimal et a été popularisée sous le nom du paradoxe de Zénon. On tire une flèche à 2 mètres d’une cible. Elle met un certain laps de temps pour parcourir la moitié de la distance, à savoir un mètre. Puis il lui faut encore du temps pour parcourir la moitié de la distance restante, et de nouveau un certain temps pour la moitié de la distance encore restante. On ajoute ainsi une infinité de durées non nulles, et Zénon en conclut que la flèche n’atteint jamais sa cible ! L’explication est bien donnée par l’égalité ci-dessus : la somme d’une infinité de termes peut bien être une valeur finie ! ! Par exemple si la flèche va à une vitesse de 1 m/s, alors elle parcoure la première moitié en 1 s, le moitié de la distance restante en 12 s, etc. Elle parcoure bien toute la distance en 1 + 12 + 14 + 18 + · · · = 2 secondes ! 2 1 1 1 2 4 un+1 3.3. Suites telles que un ℓ > 1, 1 alors la suite (un )n∈N diverge. En effet, il suffit d’appliquer le théorème à la suite de terme général |un | pour voir que limn→+∞ |un | = +∞. 2. Toujours avec les notations du théorème, si ℓ = 1 on ne peut rien dire. Exemple 10. p Pour un nombre réel a, a > 0, calculer limn→+∞ n a. p On va montrer que limn→+∞ n a = 1. Si a = 1, c’est clair. Supposons a > 1. Écrivons a = 1 + h, avec h > 0. Comme h n  ‹ h 1+ ⩾1+n =1+h= a n n p (voir la preuve de la proposition 8) on a en appliquant la fonction racine n-ème, n · : h p 1 + ⩾ a ⩾ 1. n n p On peut conclure grâce au théorème « des gendarmes » que limn→+∞ n a = 1. Enfin, si a < 1, on applique le cas précédent à b = 1a > 1. 3.4. Approximation des réels par des décimaux Proposition 10. Soit a ∈ R. Posons E(10n a) un =. 10n −n Alors un est une approximation décimale de a à 10 près, en particulier limn→+∞ un = a. Exemple 11. π = 3, 14159265... E(100 π) u0 = 100 = E(π) = 3 E(101 π) E(31,415...) u1 = 101 = 10 = 3, 1 E(102 π) E(314,15...) u2 = 102 = 100 = 3, 14 u3 = 3, 141 Démonstration. D’après la définition de la partie entière, on a E(10n a) ⩽ 10n a < E(10n a) + 1 donc 1 un ⩽ a < un + 10n LES SUITES 4. THÉORÈME DE CONVERGENCE 26 ou encore 1 0 ⩽ a − un <. 10n 1 1 Or la suite de terme général 10n est une suite géométrique de raison 10 , donc elle tend vers 0. On en déduit que limn→+∞ un = a. Exercice 1. Montrer que la suite (un )n∈N de la proposition 10 est croissante. Remarque. 1. Les un sont des nombres décimaux, en particulier ce sont des nombres rationnels. 2. Ceci fournit une démonstration de la densité de Q dans R. Pour ε > 0, et I =]a − ε, a + ε[, alors pour n assez grand, un ∈ I ∩ Q. Mini-exercices. 1. Déterminer la limite de la suite (un )n∈N de terme général 5n − 4n. 2. Soit vn = 1 + a + a2 + · · · + a n. Pour quelle valeur de a ∈ R la suite (vn )n⩾1 a pour limite 3 (lorsque n → +∞) ? 1+2+22 +···+2n 3. Calculer la limite de 2n. 4. Montrer que la somme des racines n-èmes de l’unité est nulle. sin((n+ 12 )θ ) 5. Montrer que si sin( θ2 ) ̸= 0 alors 1 + cos(θ ) + cos(2θ ) + · · · + cos(nθ ) = (penser à ei θ ). 2 2 sin( θ2 ) 6. Soit (un )n⩾2 la suite de terme général un = ln(1 + 12 ) × ln(1 + 13 ) × · · · × ln(1 + 1n ). Déterminer la limite u de un+1 n. Que peut-on en déduire ? πn 7. Déterminer la limite de 1×3×5×···×(2n+1) (où π = 3, 14...). 8. Soit a un réel. Montrer que pour tout ε > 0 il existe un couple (m, n) ∈ Z × N (et même une infinité) tel que a − 2mn ⩽ ε. 4. Théorème de convergence 4.1. Toute suite convergente est bornée Revenons sur une propriété importante que nous avons déjà démontrée dans la section sur les limites. Proposition 11. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse mais nous allons ajouter une hypothèse supplémentaire pour obtenir des résultats. 4.2. Suite monotone Théorème 2. Toute suite croissante et majorée est convergente. LES SUITES 4. THÉORÈME DE CONVERGENCE 27 Remarque. Et aussi : Toute suite décroissante et minorée est convergente. Une suite croissante et qui n’est pas majorée tend vers +∞. Une suite décroissante et qui n’est pas minorée tend vers −∞. Démonstration du théorème 2. Notons A = {un |n ∈ N} ⊂ R. Comme la suite (un )n∈N est majorée, disons par le réel M , l’ensemble A est majoré par M , et de plus il est non vide. Donc d’après le théorème R4 du chapitre sur les réels, l’ensemble A admet une borne supérieure : notons ℓ = sup A. Montrons que limn→+∞ un = ℓ. Soit ε > 0. Par la caractérisation de la borne supérieure, il existe un élément uN de A tel que ℓ − ε < uN ⩽ ℓ. Mais alors pour n ⩾ N on a ℓ − ε < uN ⩽ un ⩽ ℓ, et donc |un − ℓ| ⩽ ε. 4.3. Deux exemples La limite ζ(2) Soit (un )n⩾1 la suite de terme général : 1 1 1 un = 1 + 2 + 2 + ··· + 2. 2 3 n 1 La suite (un )n⩾1 est croissante : en effet un+1 − un = (n+1)2 > 0. 1 Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ⩾ 1 on a un ⩽ 2 − n. 1 — Pour n = 1, on a u1 = 1 ⩽ 1 = 2 − 1. — Fixons n ⩾ 1 pour lequel on suppose un ⩽ 2 − 1n. Alors un+1 = un + (n+1) 1 2 ⩽ 2 − 1 n + 1 (n+1)2. Or 1 1 1 1 1 ⩽ (n+1)2 n(n+1)= − n donc un+1 ⩽ 2 − n+1 , n+1 , ce qui achève la récurrence. Donc la suite (un )n⩾1 est croissante et majorée par 2 : elle converge. 2 On note ζ(2) cette limite, vous montrerez plus tard qu’en fait ζ(2) = π6. Suite harmonique C’est la suite (un )n⩾1 de terme général : 1 1 1 un = 1 + + + ··· +. 2 3 n Calculons limn→+∞ un. 1 La suite (un )n⩾1 est croissante : en effet un+1 − un = n+1 > 0. 1 1 1 1 1 1 Minoration de u2p − u2p−1. On a u2 − u1 = 1 + 2 − 1 = 2 ; u4 − u2 = 3 + 4 > 4 + 4 = 12 , et en général : 1 1 1 1 1 u2p − u2p−1 = + + ··· + > 2 p−1 × p = 2 p−1 | +1 {z+ 2 2 p−1 p 2} 2 2 2 p−1 =2 p −2 p−1 termes ⩾ 21p limn→+∞ un = +∞. En effet p u2p − 1 = u2p − u1 = (u2 − u1 ) + (u4 − u2 ) + · · · + (u2p − u2p−1 ) ⩾ 2 donc la suite (un )n⩾1 est croissante mais n’est pas bornée, donc elle tend vers +∞. 4.4. Suites adjacentes Définition 7. Les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont dites adjacentes si 1. (un )n∈N est croissante et (vn )n∈N est décroissante, 2. pour tout n ⩾ 0, on a un ⩽ vn ,