Chapitre 1 - Topologie de Rn PDF

Chapitre 1 Topologie de Rn 1.1 Espace vectoriel normé et normes sur Rn Définition 1.1.1. Soit E un espace vectoriel sur K(K = R ou C). On appelle norme sur E toute application k · k: E −→ R+ vérifiant les conditions suivantes : 1) k x k= 0 ⇔ x = 0 2) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, k λx k=| λ |k x k 3) ∀x...

Chapitre 1 Topologie de Rn 1.1 Espace vectoriel normé et normes sur Rn Définition 1.1.1. Soit E un espace vectoriel sur K(K = R ou C). On appelle norme sur E toute application k · k: E −→ R+ vérifiant les conditions suivantes : 1) k x k= 0 ⇔ x = 0 2) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, k λx k=| λ |k x k 3) ∀x, y ∈ E, k x + y k≤k x k + k y k. (E, k · k) est dit espace vectoriel normé. Exemple 1.1.1. Soit E = Rn. Pour tout x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn on pose k x k1 =| x1 | + · · · + | xn |. q k x k2 = x21 + · · · + x2n. k x k∞ = max(| x1 | + · · · + | xn |). Les applications k · k1 , k · k2 et k · k∞ sont des normes sur Rn. k · k2 est appelée norme euclidienne sur Rn. Définition 1.1.2. Soit E un espace vectoriel sur K(K = R ou C). 0 On dit que deux normes k · k et k · k sont équivalentes sur E s’il existe deux nombres α > 0, β > 0 tels que 0 α k x k≤k x k ≤ β k x k pour tout x ∈ E. Exemple 1.1.2. Pour tout x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn on a √ k x k∞ ≤k x k1 ≤ n k x k2 ≤ n k x k∞. Les trois normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ sont équivalentes sur Rn. 1 1.2 Espace métrique et distances sur Rn Définition 1.2.1. Soit E un ensemble quelconque. On appelle distance sur E toute application d : E × E −→ R+ vérifiant les conditions suivantes : 1) ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y 2) ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x) 3) ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (E, d) est dit espace métrique. Exemple 1.2.1. Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé. L’application : d : E × E −→ R+ (1.1) (x, y) 7−→ d(x, y) =k x − y k (1.2) est une distance sur E appelée distance associée à k · k. Définition 1.2.2. Soit E un espace métrique. On dit que deux distances d et d0 sont équivalentes sur E s’il existe deux nombres α > 0, β > 0 tels que αd(x, y) ≤ d0 (x, y) ≤ βd(x, y) pour tout x, y ∈ E. Exemple 1.2.2. Les distances d1 , d2 et d∞ associées respectivement aux trois normes k · k1 , k · k2 et k · k∞ sont équivalentes sur Rn. Ces distances sont données, pour tout x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn et pour tout y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn par : n X d1 (x, y) =k x − y k1 = | xi − y i |. i=1 v u n uX d2 (x, y) =k x − y k2 = t | xi − yi |2 (distance euclidienne). i=1 et d∞ (x, y) = max | xi − yi |. 1≤i≤n 2 1.3 Boule, voisinage, ouvert et fermé Définition 1.3.1. Soit (E, d) un espace métrique. Soit a ∈ E et r > 0. 1) On appelle boule ouverte (resp. fermée) de centre a et de rayon r l’ensemble B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) < r} (resp. B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) ≤ r}) 2) On appelle sphère de centre a et de rayon r l’ensemble S(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) = r}. Exemples 1) On considère le plan E = R2 muni de la distance d1. La figure ci-contre représente une boule B 1 (a, r) = {x ∈ E : d1 (a, x) ≤ r} 2) On considère le plan E = R2 muni de la distance d2. La figure ci-contre représente une boule B 2 (a, r) = {x ∈ E : d2 (a, x) ≤ r} 3) On considère le plan E = R2 muni de la distance d∞. La figure ci-contre représente une boule B ∞ (a, r) = {x ∈ E : d∞ (a, x) ≤ r} Définition 1.3.2. Soit (E, d) un espace métrique. 1) On dit que O ⊂ E est un ouvert si O = ∅ ou ∀a ∈ U, ∃r > 0 : B(a, r) ⊂ O. 2) On dit que F ⊂ E est fermé si son complémentaire est ouvert. 3 Exemple 1.3.1. La boule ouverte B(a, r) est un ouvert de E. Définition 1.3.3. Soit (E, d) un espace métrique et a ∈ E. On dit qu’une partie U ⊂ E est un voisinage du point a si U contient une boule ouverte B(a, r). Remarque 1.3.1. Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points. 1.4 Suites convergentes et suites de Cauchy Définition 1.4.1. Soit (E, d) un espace métrique. 1) On appelle suite d’éléments de E toute application ϕ : m ∈ N 7−→ ϕ(m) = Xm ∈ E. 2) On dit qu’une suite (Xm ) de E converge vers une limite L ∈ E si ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N : ∀m ∈ N, m > n(ε) =⇒ d(Xm , L) < ε Proposition 1.4.1. Soit (E, d) un espace métrique. Si (Xm ) est une suite de E qui converge vers une limite L ∈ E alors la limite L est unique. Remarque 1.4.1. Dans l’espace Rn , muni de la distance associée à une norme, une (m) (m) suite (Xm ) définie par Xm = (x1 , · · · , xn ) converge vers L = (l1 , · · · , ln ) si et seule- (m) ment si pour tout i = 1, · · · , n, la suite (xi ) converge vers li. Définition 1.4.2. Soit (E, d) un espace métrique. 1) On dit qu’une suite (Xm ) de E est de Cauchy si ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N : ∀p, q ∈ N, q > p > n(ε) =⇒ d(Xp , Xq ) < ε. 2) (E, d) est dit complet si toute suite de Cauchy de E converge vers une limite L ∈ E. 3) Si (E, N ) est un espace vectoriel normé complet pour la distance dN , associée à la norme N , alors (E, N ) est dit espace de Banach. Remarque 1.4.2. Rn (muni d’une norme quelconque) est un espace de Banach. Définition 1.4.3. On considère l’espace Rn muni d’une norme quelconque. 1) On dit que F ⊂ Rn est fermé si la limite de toute suite convergente de F appartient à F. 2) On dit que F ⊂ Rn est bornée s’il existe r > 0 telle que F ⊂ B(a, r). 3) On dit que F ⊂ Rn est compacte si F est fermée et bornée. La boule fermée B(a, r) est compacte dans Rn. 4 1.5 Intérieur, adhérence et frontière d’une partie Définition 1.5.1. Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. 1) On dit que a ∈ E est intérieur à A si A est un voisinage de a (∃r > 0 : B(a, r) ⊂ A). 2) On appelle intérieur de A, noté Å, l’ensemble Å = {a ∈ E : a intérieur à A}. Exemple 1.5.1. Dans l’espace E = R on a Q̊ = ∅. Définition 1.5.2. Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. 1) On dit que a ∈ E est adhérent à A si chaque voisinage de a rencontre A(ou ∀r > 0 : B(a, r) ∩ A 6= ∅). 2) On appelle adhérence (ou fermeture) de A, noté A, l’ensemble A = {a ∈ E : a adhérent à A}. 3) Si A = E on dit que A est dense dans E. Exemple 1.5.2. Dans l’espace E = R on a Q = R. Définition 1.5.3. Soit (E, d) un espace métrique. Soit A ⊂ E. 1) On dit que a ∈ E est un point frontière de A si chaque voisinage de a rencontre A et son complémentaire. 2) On appelle frontière de A, noté ∂A, l’ensemble ∂A = {a ∈ E : a point frontière de A}. Exemple 1.5.3. Dans l’espace E = R on a ∂Q = R. 5