Polycopié Analyse V - Février 2022 PDF

École Supérieure d'Education et de Formation Analyse V Ilyas NAJI(∗) Février 2022 (∗) Equipe d'Ingénierie Mathématique (E.I.MA./LIRNE), B.P.133-Kénitra -...

École Supérieure d'Education et de Formation Analyse V Ilyas NAJI(∗) Février 2022 (∗) Equipe d'Ingénierie Mathématique (E.I.MA./LIRNE), B.P.133-Kénitra - Maroc 2 Avant-Propos Avant-propos Après une première année, en quelque sorte de transition entre le lycée et l'univer- sité, le programme de deuxième année marque traditionnellement une rupture dans le rythme de l'acquisition des connaissances scientiques : étudiantes et étudiants doivent aller plus vite et plus loin pour atteindre, en un temps raisonnable, le degré de compétence requis par les professions qu'ils souhaitent exercer plus tard. Ce Polycopié est une version étoée de notes de cours d'analyse donnés par l'auteur auprès des étudiants de deuxième année de l'ESEF. Il couvre entre autres l'intégralité du bagage d'Analyse 5 cours réservé aux étudiants de spécialité Mathèmatiques. Il contient également des résultats qui permettent d'approfondir certaines thématiques ou de redécouvrir des notions classiques sous une nouvelle perspective. Ce module d'Analyse V couvre particulièrement les chapitres suivants : espaces vectoriels normés et topologie, limites et continuité, diérentiabilité, formule de Taylor et extremums. Pour ce programme, en plus des séances de Cours des séances Travaux Dirigés (TD), sont prévus, et l'auteur propose un recueil d'exercices avec corrections, per- mettant l'application de l'ensemble des techniques vues dans le cours. À la n de ce manuscrit se trouvent ces séries d'exercices de TD. La présentation suit de prés les livres de base : Cours de mathématiques de deuxième année de Topologie d'Hervé Queélec, et le livre "Topologie" de G. Chirstol, A. Cot et C-M. Marle et le livre Analyse 2éme année de Françoic Liret et Domonique Martinais. Comme la plupart des démonstrations sont reproduites dans ce cours, les références sont omises, et les lecteur intéressés par les diérentes références pourront consulter ces livres. Bien qu'un soin particulier ait été apporté à la rédaction des notes de cours, des erreurs ou imprécisions peuvent subsister. Nous accueillerons avec reconnaissance les éventuelles remarques que le lecteur voudra bien nous faire parvenir. Ilyas NAJI Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - Table des matières Avant-propos 2 1 Espaces vectoriels normés et topologie 5 1.1 Espaces métriques, distance....................... 5 1.2 Normes des espaces vectoriels...................... 7 1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée............... 9 1.4 Ouverts et fermés............................ 10 1.5 Position d'un point par rapport à une partie de E........... 13 1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé........... 17 1.6.1 Partie dense........................... 18 1.6.2 Continuité............................. 19 1.7 Ensemble compact............................ 21 3 4 TABLE DES MATIÈRES Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - Chapitre 1 Espaces vectoriels normés et topologie 1.1 Espaces métriques, distance Nous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctions f : U ⊂ R → R (p, q ∈ N ). p q ∗ Pour cela il faudra étudier tout d'abord la structure du domaine U car le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons. Nous allons done dénir de nouvelles notions : distances, normes, ouverts, fermés, etc. dans les domaines inclus dans R qui nous seront utiles tout au long de ce semestre n pour tous les nouveaux outils abordés. Toutefois, même si nous travaillerons principalement dans R , R ou de façon 2 3 générale R , nous pourrons de temps à autre donner des résultats plus généraux qui n resteront valables dans des espaces autres que ceux-ci (ce sera le cas de ce premier chapitre). Dénition 1. (DISTANCE) Soit E un ensemble non vide (on utilisera le plus souvent Rn ici). On dit qu'une application d : E × E → R+ , (x, y) 7→ d(x, y). est une distance sur E si elle vérie 1. (SEPARATION) pour tout (x, y) ∈ E × E, {x = y} ⇐⇒ {d(x, y) = 0}, 2. (SYMETRIE) pour tout (x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x), 3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour tout (x, y, z) ∈ E × E × E , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) 5 6 Espaces vectoriels normés et topologie Dénition 2. (ESPACE METRIQUE) On appelle espace métrique tout couple (E, d) où E ̸= ∅ est un ensemble et d est une distance. Exemple 1. 1. E = R, muni de la distance d dénie pour tour (x, y) ∈ R2 par d(x, y) = |x − y| est un espace métrique. 2. E = Rn , moni de la DISTANCE DE MANHATTAN d1 dénie pour tout (x, y) ∈ Rn × Rn par n X d1 (x, y) = |xi − yi |. i=1 3. E = R , muni de la DISTANCE EUCLIDIENNE d2 denie pour tout (x, y) ∈ n Rn × Rn par n !1/2 X d2 (x, y) = |xi − yi |2. i=1 4. E = Rn , muni de la DISTANCE DE MINKOWSKI dp denie pour tout (x, y) ∈ Rn × Rn par n !1/p X dp (x, y) = |xi − yi |p. i=1 5. E = Rn , muni de la DISTANCE INFINIE ou distance TCHEBYCHEV d dénie pour tout (x, y) ∈ Rn × Rn par d∞ (x, y) = sup |xi − yi |. i=1,...,n Pour rendre le cours plus simple, nous utiliserons plutôt la notion de norme dans tout le reste de notre cours, et les espaces vectoriels normés plutôt que les espaces métriques. Il se trouve que toute norme induit une distance (mais attention tout distance induit n'induit pas nécessairement une norme). Donc ce qui va suivre peut s'adapter parfaitement dans le cadre des espaces métriques, tout en étant plus faci- lement compréhensible. La notion d'une norme fait intervenir des combinaisons entre eux des éléments d'un même espace, des multiplications par des scalaires, etc. Par conséquent il est nécessaire que cet espace reste stable par combinaison linéaires de ses éléments, et les plus appropriés ici seront les espaces vectoriels que nous rappelons ci-dessous. Dénition 3. Soit E un ensemble. On dispose sur cet ensemble d'une opération (notée additivement) et on dispose par ailleurs d'une application K ×E → E qui à tout couple (λ, x) associe λx. On dit que E est un espace vectoriel lorsque Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.2 Normes des espaces vectoriels 7 1. E est un groupe commutatif (pour l'addition) 2. pour tout vecteur x de E, 1.x = x (1 désignant le neutre de la multiplication de K ). 3. pour tous λ, µ ∈ K et pour tout vecteur x de E, (λµ)x = λ(µx) 4. pour tous λ, µ ∈ K et pour tout vecteur x de E, (λ + µ)x = λx + µx 5. pour tout λ ∈ K et tous vecteurs x, y ∈ E, λ(x + y) = λx + λy. Exemple 2... × R} = {x = (x1 ,... , xn ) , tel que xi ∈ R, pour tout i ∈ {1,... , n}}. L'espace Rn = |R ×.{z n− fois Rn est un espace vectoriel de dimension n. C'est celui que nous utiliserons le plus sou- vent ici. 1.2 Normes des espaces vectoriels Dénition 4. Soit E un espace vectoriel sur R (on utilisera en général E = Rn ). On appelle nome sur E une application E → R+ x 7→ ∥x∥ et vérie 1. (Séparation) pour tout x ∈ E, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0, 2. (Homogénieté Positive) pour tout λ ∈ R, pour tout x ∈ E∥λx∥ = |λ| · ∥x∥, 3. (Inégalité Triangulaire pour tous x, y ∈ E , ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Dénition 5. (ESPACE VECTORIEL NORME) Un espace vectoriel sur R muni de la norme est appelé espace vectoriel normé, que l'on notera souvent e.v.n. On a la relation entre norme et distance dans le résultat suivant. Proposition 1. (DISTANCE INDUITE PAR UNE NORME) Soit E un e.v.n. L'application d : E × E → R+ , (x, y) 7→ d(x, y) := ∥x − y∥1 est une distance sur E. On l'appelle DISTANCE INDUITE sur E par la NORME. Proposition 2. (Propriété des Distances Induites par des normes) Cette distance possède les proprictés suivantes : Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 8 Espaces vectoriels normés et topologie 1. pour tout x ∈ E, d(0, x) = ∥x∥, 2. pour tout (x, y) ∈ E 2 , pour tout λ ∈ R, d(λx, λy) = |λ|d(x, y), 3. pour tout (x, y, z) ∈ E 3 , d(x + z, y + z) = d(x, y). Remarques 1. ATTENTION : toute norme induit une distance, mais toutes les dis- tances ne proviennent pas d'une norme. L'exemple de la distance discrète est un bon moyen de comprendre pourquoi une distance n'induit pas nécessairement une norme. La distance discrète est dénie sur un ensemble quelconque X , qu'il s'agisse d'un espace vectoriel ou non. Supposons que X = {a, b, c} soit un ensemble avec trois éléments. La distance discrète d entre deux points x et y de X est dénie par : ( 0 si x = y, d(x, y) = 1 si x ̸= y. La distance discrète est dénie sur un ensemble X , où la distance entre deux points est 0 s'ils sont identiques et 1 s'ils sont diérents. Cependant, elle ne peut pas induire une norme car une norme nécessite une structure d'espace vectoriel, où des opérations comme l'addition et la multiplication par des scalaires sont dénies. Une norme doit aussi respecter la propriété d'homogénéité, c'est-à-dire que ∥αv∥ = |α|∥v∥ pour tout scalaire α. Or, dans un ensemble muni de la distance discrète, il n'y a ni addition ni multiplication dénie, donc cette propriété ne peut pas être vériée. De ce fait, la distance discrète ne respecte pas les conditions nécessaires pour être associée à une norme. Ainsi, la distance discrète ne peut pas induire de norme car elle n'est pas compa- tible avec les exigences structurelles d'un espace vectoriel. Exemple 3. IMPORTANT : normes classiques sur Rn : Soient x ∈ Rn , x = (x1 ,... , xn ), avec xi ∈ R pour tout i ∈ {1,... , n}, et p ∈ R tel que p ≥ 1, 1. ∥x∥1 = n1 |xi | ( NORME MANHATTAN), P
1/2 2. ∥x∥2 = (NORME EUCLIDIENNE), Pn 1 |xi |2 3. ∥x∥p = ( n1 |xi |p )1/p (N ORM Ep, p ≥ 1), P 4. ∥x∥∞ = max1≤i≤n |xi | (NORME INFINIE), sont des normes sur Rn. Proposition 3. (PROPRIETE DES NORMES) Toute norme ∥ · ∥ dans un e.v.n (E, ∥ · ∥) vérie, pour tous x, y ∈ E |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée 9 Dénition 6. (NORMES EQUIVALENTES) Deux normes ∥ · ∥ et ∥ · ∥′ sur E sont EQUIVALENTES s'il existe deux constantes réelles λ > 0 et µ > 0 telles que pour tout x ∈ E λ∥x∥ ≤ ∥x∥′ ≤ µ∥x∥. On note alors : ∥ · ∥ ∼ ∥ · ∥′. Proposition 4. Sur Rn (et tout autre espace vectoriel normé de dimension nie) TOUTES les normes sont équivalentes. Remarques 2. Dans la suite du cours on notera donc (sauf précision) ∥ · ∥ pour désigner une norme quelconque sur Rn. Nous nous plaçons désormais dans des espaces vectoriels normés (E, ∥.∥). En gé- néral nous prendrons E = R. Il nous faudra ensuite nous approcher d'un élément de n cet espace et regarder ce qu'il se passe autour de lui (comme par exemple, le dénir comme la limite d'une suite d'éléments de l'espace métrique). Il nous faudra donc dénir la notion de voisinage. Et les outils que nous utiliserons ici sont les boules. 1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée Dénition 7. (BOULE OUVERTE, FERMEE, SPHERE) Soit (E, ∥.∥) un e.v.n. Soient a un point de E et r ∈ R, r > 0. 1. B̄∥·∥ (a, r) = {x ∈ E; ∥x − a∥ ≤ r} est appelé boule FERMEE de centre a et de rayon r. 2. B∥·∥ (a, r) = {x ∈ E; ∥x − a∥ < r} est appelé boule OUVERTE de centre a et de rayon r 3. S∥·∥ (a, r) = {x ∈ E; ∥x − a∥ = r} est appelé SPHERE de centre a et de rayon r. Dans le cas où a = 0 (vecteur nul) et r = 1 on a ce qu'on appelle les boules ou sphères unités. Dénition 8. (BOULE UNITE OUVERTE, FERMEE, SPHERE) Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n. 1. B̄∥·∥ (0, 1) = {x ∈ E∥x∥ ≤ 1} est appelé boule UNITE FERMEE. 2. B∥·∥ (0, 1) = {x ∈ E; ∥x∥ < 1} est appelé boule UNITE OUVERTE. 3. S∥·∥ (0, 1) = {x ∈ E; ∥x∥ = 1} est appelé SPHERE UNITE. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 10 Espaces vectoriels normés et topologie Remarques 3. Dans la suite et pour éviter les lourdeurs d'écriture nous ne mettrons pas la norme en indice et nous écrirons juste B̄(a, r), B(a, r), et S(a, r) lorsque l'on désignera respectivement la boule fermée, ouverte ou la sphère de centre a et de rayon r pour une norme ∥ · ∥ quelconque. Si jamais la norme devait être spéciée, nous l'ajouterons alors en indice. Voici un exemples sur R avec la norme de Minkowski p de la sphère unité (centrée 2 en 0 et de rayon 1, avec p = 1; 2, ∞. Dénition 9. Soit (E; ∥ · ∥) un e.v.n. Une partie bornée P de E est une partie de E pour laquelle on peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient tous les points de P (voir la gure suivante). 1.4 Ouverts et fermés Dénition 10. (PARTIE OUVERTE) Soit ( E, ∥.∥) un e.v.n. Une partie ouverte (ou un ouvert) de E est une partie U de Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.4 Ouverts et fermés 11 E telle que pour tout x ∈ U , il existe r > 0 réel, tel que B(x, r) ⊂ U. Autrement dit, tout point de U est le centre d'une boule ouverte de rayon non-nul, incluse dans U (voir la gure suivante pou un exemple). Dénition 11. (PARTIE FERMEE) Soit ( E, ∥.∥ ) un e.v.n. Une partie fermée (ou un fermé) de E est une partie telle que son complémentaire U de E est un ouvert. Proposition 5. (BOULES OUVERTES, FERMEES) Soit (E, ∥.∥) un e.v.n. On a alors : 1. une boule ouverte est un ouvert, 2. une boule fermée est un fermé. Exemple 4. Dans R2 muni de la norme euclidienne. Considérons U1 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 /x1 > 0}. La partie U1 est un ouvert, en eet, soit a = (a1 , a2 ) ∈ U1 alors a1 > 0. Posons ε = a1 /2 on a B(a, ε) ⊂ U1 Exemple 5. Considérons U2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 /x1 ≥ 0}. Dans R2 muni de la norme euclidienne. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 12 Espaces vectoriels normés et topologie La partie U2 n'est pas un ouvert : en eet, considérons le point O
= (0, 0) ∈ U2. Pour tout réel ε > 0, la boule B(O, ε) déborde de U2 : le point − 2c , 0 appartient à cette boule mais pas à U2. Exemple 6. Une boule ouverte B(a, r) est ouverte En eet, soit x appartenant à cette boule et d = d(a, x) : on a 0 ⩽ d < r. Alors, pour tout réel ε < r − d la boule B(x, ε) est incluse dans B(a, r) car, sì y appartient à cette boule, alors d(a, y) ⩽ d(a, x) + d(x, y) < d + r − d = r. Exemple 7. Une boule fermée Bf (a, r) n'est pas ouverte : en eet, les points x de la sphère (a, r) ne vérient pas la condition : toute boule ouverte de centre x et de rayon ε, aussi petit ce dernier soit-il, *déborder de la boule Bf (a, r). Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.5 Position d'un point par rapport à une partie de E 13 Proposition 6. (Intersection, Reunions D'Ouverts, De Fermés) Soit (E; ∥ · ∥) un e.v.n. 1. toute union nie ou innie d'ouverts de E est un ouvert, 2. toute intersection FINIE d'ouverts de E et un ouvert, 3. toute union FINIE de fermés de E est un fermé, 4. toute intersection nie ou innie de fermés de E est un fermé, 5. les ensembles à la fois ouverts et fermés de E sont ∅ ; et E , 6. un ensemble ni de points de E est fermé. Remarques 4.  Une intersection innie d'ouverts peut ne pas être un ouvert. Par exemple, # \ 1 1 − , [= {0} n∈N∗ n n  De même, une réunion innie de fermés peut ne pas être un fermé. Par exemple, # # [ 1  , 1 = 0, 1 n∈N ∗ n Proposition Q 7. Soient E1 ,... , En des espaces vectoriels normés. On munit ni=1 Ei d'une norme produit.  QSi pour tout i ∈ J1, nK, Ui est un ouvert de Ei , alors ni=1 Ui est un ouvert de Q i=1 Ei. n  QSi pour tout i ∈ J1, nK, Fi est un fermé de Ei , alors ni=1 Fi est un ouvert de Q i=1 Ei. n 1.5 Position d'un point par rapport à une partie de E Avant toute chose, énonçons la dénition de voisinage d'un point. Toutes les autres dénitions découleront de cette notion Dénition 12. (Voisinnage) On dit qu'une partie V de E est un voisinage de x ∈ E si V contient un ouvert contenant x. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 14 Espaces vectoriels normés et topologie Remarques 5. Cette dénition revient à dire qu'une partie V de E est un voisinage de x ∈ E si V contient une boule ouverte contenant x (la boule peut être ou non centrée en x) Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n. Soit A ⊂ E une partie quelconque de E. Alors A contient au-moins un ouvert (en eet ∅ ⊂SA). Soit O l'ensemble de toutes les parties ouvertes de E contenues dans A. Alors P est un ouvert (comme réunion de parties A quelconques d'ouverts). P ∈σA Dénition 13. Soient (E, ∥.∥) un e.v.n. et A ⊂ E. Un point x de E est (Intérieur) dit intérieur à A si A est un voisinage de x, autrement dit, si A contient une boule ouverte contenant x. L'intérieur de A, noté Å ou Int(A) est l'ensemble des points intérieurs à A. Proposition 8. (Proprièté de l'intérieur) Soient (E, ∥.∥) un e.v.n. et A ⊂ E. L'intérieur de A est la plus grande partie ouverte incluse dans A. Remarques 6. On a : ◦ 1. A= P. S P ∈OA ◦ 2. A est un ouvert, ◦ 3. A⊂ A, ◦ 4. A est un ouvert ⇐⇒A= A Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n. Soit A une partie quelconque de E. Alors E contient au-moins une partie fermée contenant A (en eet E est fermé). Soit F l'ensemble des parties fermées contenant A. Alors T F est la plus petite partie fermée contenant A. Et T F est bien une partie fermée (comme F ∈F intersection de familles fermées). F ∈F Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.5 Position d'un point par rapport à une partie de E 15 Dénition 14. (Adherence) Soient (E, ∥.∥) un e.v.n. et A ⊂ E. Un point x de E est dit adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A, i.e ∀V ∈ V(x), V ∩ A ̸= ∅ autrement dit, si toute boule ouverte contenant x contient au-moins un élément de A. L'adhérence de A ⊂ E , notée Ā ou adh(A), est l'ensemble des points adhérents à A. Proposition 9. (Propriété de l'adherence) Soient (E, ∥ · ∥) un e.v.n. et A ⊂ E. L'adhérence de A est la plus petite fermée contenant A. Remarques 7. On ax ∈ Ā = T F ∈F F Remarques 8. On a : 1. A est un fermé, 2. A ⊂ Ā, 3. A est un fermé ⇐⇒ A = Ā. Proposition 10. (Adherence du complemntaire) Soit (E, ∥.∥) un e.v.n. et A ⊂ E. Alors CE A = ∁◦E A Démonstration.  Montrons que A ⊆ (int(A)) c c Soit x ∈ A. Par dénition de l'adhérence, cela signie que tout voisinage de c x rencontre A , c'est-à-dire que pour tout voisinage U de x, on a U ∩ A ̸= ∅. c c Si x ∈ int(A), alors il existe un voisinage V de x tel que V ⊆ A. Mais cela contredit le fait que tout voisinage de x doit intersecter A. Donc, x ∈/ int(A). c Ainsi, x ∈ (int(A)). Donc, on a bien : c A ⊆ (int(A)). c c  Montrons que (int(A)) ⊆ A c c Soit x ∈ (int(A)). Cela signie que x n'appartient pas à l'intérieur de A, c c'est-à-dire qu'il n'existe pas de voisinage de x contenu entièrement dans A. Autrement dit, pour tout voisinage U de x, on a U ̸⊆ A, ce qui implique que U ∩ A ̸= ∅ (car si U ne peut pas être entièrement contenu dans A, il doit avoir c une intersection non vide avec A ). c Donc, par dénition de l'adhérence, x ∈ A. c Ainsi, (int(A)) ⊆ A. c c Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 16 Espaces vectoriels normés et topologie Dénition 15. Frontière Soit (E, ∥.∥) un e.v.n. On appelle frontière de A ⊂ E , notée Fr(A) l'ensemble déni par Fr(A) = Ā − Ȧ. On dit que x est un point frontière de A si et seulement si x ∈ Fr(A). Proposition 11. (Intersection ouvert et fermé) Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n. Soient A ⊂ E et P un ouvert de E. Alors A ∩ P ̸= ∅ ⇐⇒ Ā ∩ P ̸= ∅ Démonstration.  Sens direct : A ∩ P ̸= ∅ =⇒ A ∩ P ̸= ∅ Evident puisque A ⊂ A  Sens réciproque : A ∩ P ̸= ∅ =⇒ A ∩ P ̸= ∅ Supposons maintenant que A ∩ P ̸= ∅, c'est-à-dire qu'il existe un point y ∈ A ∩ P. Puisque y ∈ P et que P est un ouvert, il existe un voisinage V ⊆ P autour de y. y Par dénition de l'adhérence, y ∈ A signie que tout voisinage de y ren- contre A. En particulier, le voisinage V doit contenir un point de A, donc V ∩ A ̸= ∅. y Puisque V ⊆ P , cela implique que y y A ∩ P ̸= ∅. Proposition 12. (Ouvert, Fermé, Frontière) Soit (E, ∥.∥) un e.v.n. Soient A ⊂ E, x ∈ E et r > 0, r ∈ R. On a alors : 1. x ∈ Å ⇐⇒ il existe r > 0, tel que B(x, r) ⊂ A, 2. x ∈ Ā ⇐⇒ pour tout r > 0, B(x, r) ∩ A ̸= ∅, 3. x ∈ Fr(A) ⇐⇒ pour tout r > 0, B(x, r) ∩ A ̸= ∅ et B(x, r) ∩ ∁E A ̸= ∅. Proposition 13. (Boule Unité) Soit (E, ∥ · ∥) un e.v.n. 1. Adh(B(0, 1)) = B̄(0, 1), 2. Int(B(0, 1)) = B(0, 1), 3. Fr(B(0, 1)) = {x ∈ E; d(0, x) = 1}. Maintenant que les notions de bases qui nous intéressent sont établies, nous pou- vons nous intéresser à des outils qui nous seront utiles dans certaines preuves du cours : les suites et la notion d'ensemble compact. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 17 1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé Dans cette section, nous nous plaçons (sauf exception spéciée) dans un (E, ∥ · ∥) un e.v.n quelconque. Dénition 16. On appelle suite dans E toute application  N → E n 7→ xn On note une telle application (xn )n∈N. Dénition 17. (Suite Bornée) Soit (xn )n∈N , une suite de E muni de la norme ∥ · ∥. La suite (xn )n∈N est dite bornée si et seulement si l'ensemble {xn , n ∈ N} est borné. Autrement dit, il existe M > 0 tel que pour tout n ∈ N, ∥xn ∥ ≤ M. Proposition 14. (Suites et Espace Vectoriel) L'ensemble des suites bornées dans un espace vectoriel normé est un espace vectoriel. Dénition 18. ( Suite et Convergence) Soit (xn )n∈N , une suite de E muni de la norme ∥ · ∥. On dit que (xn )n∈N converge dans (E, ∥ · ∥) , si et seulement s'il existe l ∈ E , tel que pour tout ε > 0, il existe N ∈ N, tel que pour tout n ≥ N, ∥xn − l∥ < ε. Proposition 15. (Limite et Unicité) La limite de la suite (xn )n∈N dénie ci-dessus est UNIQUE. Proposition 16. (Suites Convergentes Et Espace vectoriel) L'ensemble des suites convergentes dans un espace vectoriel normé est un espace vectoriel. Proposition 17. (Convergences et Normes-Dimension Finie) Sur R , comme toutes les normes sont équivalentes, toute suite convergente pour l'une n des normes est convergente pour l'autre. Dénition 19. (Suites et Parties) Soit A ⊂ E. On dit que (xn )n∈N est une suite de points de A si et seulement si pour tout n ∈ N , xn ∈ A. Proposition 18. (Limite et Adherence) Si (xn )n∈N est une suite de points de A et (xn )n∈N converge vers l, alors l ∈ Ā Proposition 19. (Caractérisation des fermés par les suites) Soit A ⊂ E , alors A est fermé si et seulement TOUTE suite de points de A qui converge a sa limite qui appartient à A. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 18 Espaces vectoriels normés et topologie Dénition 20. (Suites de Cauchy) Soit (xn )n∈N une suite de E. On dit que (xn )n∈N est une suite de Cauchy si et seule- ment si pour tout ε > 0, il existe N ∈ N, tel que pour tous n, m ≥ N , ∥xn − xm ∥ < ε Proposition 20. (Cauchy et convergence) Si une suite est convergente alors elle est de Cauchy Remarques 9. Attention : la réciproque n'est pas vraie en général. Par contre, le fait de travailler sur un espace où la réciproque est vraie serait bien pratique. En eet nous pourrions montrer la convergence d'une suite sans avoir à calculer la limite de cette suite. Les espaces dont la réciproque de la propriété ci-dessus. Dénition 21. (Espace Complet) Si dans un ensemble, toute suite de Cauchy est convergente, on dit que l'ensemble est complet Remarques 10.  Tout espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach  Les e.v.n (Rn , ∥·∥) dans lesquels nous travaillerons pratiquement tout le temps, sont des espaces de Banach. Donc toute suite de Cauchy dans ces espaces sera convergente. Dans cette section, nous supposons que la dimension de l'espace est nie. Nous allons considérer les espaces R ici. Soit {e , e ,... , e ) une base dePR. Pour p p tout x ∈ R , il existe un unique p-uplet (x , x ,... , x ) ∈ R tel que x = x e. 1 2 p p p p 1 2 p i=1 i i Proposition 21. (Suites et dimension finie) Soit (xn )n∈N une suite convergente vers l = (l1 ,... , lp ) dans Rp , ∥ · ∥). Alors lim xn = l ⇔ lim xin = li , i = 1,... , p. n→+∞ n→+∞ 1.6.1 Partie dense Dénition 22. (Partie dense) Une partie A de E est dense dans E si l'adhérence de A est égale à E (A = E). Autrement dit, A est dense dans E si et seulement si tout x ∈ E est limite d'une suite (xn ) d'éléments de A. Exemple 8.  Q est dense dans R. En eet, pour tout x ∈ R, la suite de terme général de terme ⌊nx⌋ n est à valeurs dans Q et de limite x. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 19  Pour tout n ≥ 1, GLn (R) est dense dans (Mn (R), ∥ · ∥∞ ). Dénition 23. Soit A une partie de E.  On appelle ouvert relatif de A l'intersection d'un ouvert de E avec A.  On appelle fermé relatif de A l'intersection d'un fermé de E avec A. Un fermé relatif de A est aussi le complémentaire dans A d'un ouvert relatif de A. Exemple 9. 1. [0, 1 [ est un ouvert relatif à R+ car [0, 1[=] − 1, 1 [∩R+ est ]−1, 1[ est un ouvert de R. 2. ]0, 1] est un fermé relatif à R∗+ car ]0, 1] = [0, 1] ∩ R∗+ est [0, 1] est un ouvert de R. Proposition 22. Soit A une partie de E et F une partie de A. Alors F est un fermé relatif de A si, pour toute suite (xn ) d'éléments de F qui converge vers un élément ℓ de A, alors ℓ ∈ F. 1.6.2 Continuité (E, ∥·∥) et (F, ∥·∥) désignent deux espaces vectoriels normés. A est une partie de E On dit que f : A → F est continue en a ∈ A si f admet une limite en a (nécessaire- ment égale à f (a) ). On dit que f est continue sur A si elle est continue en chaque point de A. Théorème 1. f : A → F est continue en a ∈ A si et seulement si, pour toute suite (xn ) de A qui tend vers a, alors (f (xn )) tend vers f (a). Exemple 10. Considérons la fonction f : R → R dénie par ( 1 si x ≥ 0, f (x) = 0 si x < 0. Pour montrer que f est discontinue en 0, Il sut de considérer la suite yn = − n1. Corollaire 1. Deux applications continues f, g : A → F qui coïncident sur une partie dense de A sont égales. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 20 Espaces vectoriels normés et topologie Exemple 11. Considérons les fonctions suivantes dénies sur R :  f (x) = ( x2 x2 si x ̸= 0  g(x) = 1 si x = 0 Les fonctions f et g sont continues sur R. Considérons la partie dense D = R\{0}. Sur cette partie, Exemple 12. Déterminer les fonctions f : R → R continues vériant ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y). Solution Soit f une fonction solution. On a f (0 + 0) = f (0) + f (0) donc f (0) = 0 Par une récurrence facile, ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, f (nx) = nf (x) De plus, puisque f (−x + x) = f (−x) + f (x), on a f (−x) = −f (x). Par suite, ∀n ∈ Z, ∀x ∈ R, f (nx) = nf (x) Pour x = p/q ∈ Q,       p 1 1 f (x) = f =f p× = pf. q q q Aussi,     q 1 f (1) = f = qf q q donc f (x) = ax avec a = f (1). Les fonctions x 7→ f (x) et x 7→ ax sont continues et coïncident sur Q partie dense dans R donc ces deux fonctions sont égales sur R. Au nal, f est une fonction linéaire. Inversement, une telle fonction est évidemment solution. Proposition 23. La somme, la composée de deux applications continues est une application continue. De même, si f : A → F est continue et u : A → K est continue, alors u × f est continue. Théorème 2. L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert. L'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 - 1.7 Ensemble compact 21 1.7 Ensemble compact La notion de compacité sera utile dans la théorie de fonctions de plusieurs va- riables. Il est donc utile de la rappeler ici. Et pour la dénir, nous utilisons les sous- suites, d'où l'intérêt d'avoir rappeler quelques résultats sur les suites dans la section précédente. Encore une fois, dans tout ce qui suit, nous nous placerons dans l'e.v.n : (E; ∥ · ∥). Dénition 24. (Sous-suite ou suite extraite) Soient (xn )n∈N une
suite de E et φ : N → N une application strictement croissante, alors la suite xφ(n) n∈N dénie pour tout n ∈ N est appelée suite extraite ou sous-suite de la suite (xn )n∈N Dénition 25. (Recouvrement Ouvert) Soit A ⊂ E , un recouvrement ouvert de A est une famille d'ouverts (Oi )i tels que A⊂ Dénition 26. (Sous-Recouvrement ouvert) Considérer un sous-recouvrement ouvert d'un recouvrement S donné  d'une partie A ⊂ E , consiste à prendre une partie J ⊂ I tel que A ⊂ j∈J Cj. Proposition 24. (Sous-Suite et Sous recouvrement) Soit A ⊂ E , alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes 1. De toute suite de points de A on peut extraire une sous-suite qui converge vers un point de A. 2. De tout recouvrement ouvert de A on peut extraire un sous-recouvrement ni. Dénition 27. (Compact) Une partie A qui vérie une de ces deux propriétés est un COMPACT. Dénition 28. (Compact en Dimension) Soit A ⊂ E. Si A est FERME et BORNE dans E on dit qu'il est COMPACT. Remarques 11.  Si A est compact alors A est un FERME BORNE.  MAIS la réciproque n'est pas toujours vraie en dimension innie (elle l'est TOUJOURS par contre dans Rn (ce qui nous intéresse ici)).  Nous verrons quels sont les avantages de la compacité un peu plus tard. Notam- ment la compacité et la continuité : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (nous verrons ce que cela veut dire) sur ce compact et toute fonction continue sur un compact admet un minimum et un maximum. Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 22 Espaces vectoriels normés et topologie  On peut également énoncer la propriété suivante grâce à la compacité : Soit E un espace vectoriel normé de dimension nie n, alors E est ISO- MORPHE à Rn (un corollaire à ce résultat nous permettrait de montrer l'équi- valence des normes en dimension nie). Ilyas NAJI - École Supérieure d'Education et de Formation - Berrechid - Février 2022 -