Topologie de R^n - Chapitre 1
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Questions and Answers

Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée dans un espace métrique?

Une boule ouverte de centre a et de rayon r est l'ensemble des x tels que $d(a, x) < r$, tandis qu'une boule fermée inclut les points tels que $d(a, x) eq r$ avec $d(a, x) eq r$.

Comment se définit une suite convergente dans un espace métrique?

Une suite $(X_m)$ converge vers une limite L si, pour tout $ eq 0$, il existe un entier $n( eq 0)$ tel que pour tout $m > n( eq 0)$, on a $d(X_m, L) < eq 0$.

Quelle condition doit satisfaire un ensemble O pour être qualifié d'ouvert dans un espace métrique?

Pour qu'un ensemble O soit ouvert, il doit contenir, pour chaque point a de O, une boule ouverte B(a, r) entièrement contenue dans O.

Que signifie qu'une suite de Cauchy converge dans un espace métrique?

<p>Une suite de Cauchy converge si pour tout $ eq 0$, il existe un entier N tel que pour tous $m,n &gt; N$, la distance $d(X_m, X_n) &lt; eq 0$.</p> Signup and view all the answers

Quel est le rapport entre une partie fermée et son complémentaire dans un espace métrique?

<p>Une partie F est fermée si son complémentaire dans E est un ensemble ouvert.</p> Signup and view all the answers

Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une application soit considérée comme une norme sur un espace vectoriel?

<p>Les conditions nécessaires sont : 1) $| x | = 0 \Leftrightarrow x = 0$, 2) $\forall x \in E, \forall \lambda \in K, | \lambda x | = |\lambda| | x |$, et 3) $\forall x, y \in E, | x + y | \leq | x | + | y |$.</p> Signup and view all the answers

Comment définiriez-vous la norme euclidienne sur Rn?

<p>La norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$ est définie par $| x |_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}$.</p> Signup and view all the answers

Quelles normes sont équivalentes dans l'espace vectoriel Rn selon l'exemple 1.1.2?

<p>Les normes $| \cdot |_1$, $| \cdot |<em>2$, et $| \cdot |</em>\infty$ sont équivalentes sur $\mathbb{R}^n$.</p> Signup and view all the answers

Comment une distance est-elle définie sur un ensemble selon la définition 1.2.1?

<p>Une distance est une application $d : E \times E \rightarrow \mathbb{R}^+$ vérifiant : 1) $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$, 2) $d(x,y) = d(y,x)$, et 3) $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$.</p> Signup and view all the answers

Quelle est la relation entre les distances $d_1$, $d_2$, et $d_\infty$ selon l'exemple 1.2.2?

<p>Les distances $d_1$, $d_2$, et $d_\infty$ associées aux normes $| \cdot |_1$, $| \cdot |<em>2$, et $| \cdot |</em>\infty$ sont équivalentes sur $\mathbb{R}^n$.</p> Signup and view all the answers

Study Notes

Chapitre 1 : Topologie de Rn

  • Espace vectoriel normé et normes sur Rn:

    • Définition d'une norme sur un espace vectoriel E sur K (K = R ou C).
    • Une norme est une application ||.|| : E → R+ vérifiant trois conditions :
      • ||x|| = 0 si et seulement si x = 0
      • ||λx|| = |λ| ||x|| pour tout λ ∈ K et x ∈ E
      • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| pour tous x, y ∈ E
    • (E, ||.||) est appelé espace vectoriel normé.
    • Exemples de normes sur Rn:
      • Norme 1 : ||x||1 = |x1| + ... + |xn|
      • Norme 2 (norme euclidienne) : ||x||2 = √(x12 + ... + xn2)
      • Norme ∞ : ||x||∞ = max(|x1|, ..., |xn|)

  • Espaces métriques et distances sur Rn:

    • Définition d'une distance sur un ensemble E.
    • Une distance est une application d : E × E → R+ vérifiant trois conditions :
      • d(x, y) = 0 si et seulement si x = y
      • d(x, y) = d(y, x) pour tous x, y ∈ E
      • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) pour tous x, y, z ∈ E
    • (E, d) est un espace métrique.
    • Exemple de distance:
      • Distance associée à une norme ||.|| : d(x, y) = ||x - y||

  • Boules, voisinages, ouverts et fermés:

    • Définition de la boule ouverte et fermée de centre a et de rayon r dans un espace métrique (E, d).
    • B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) < r} (boule ouverte)
    • B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) ≤ r} (boule fermée)
    • Définition d'un ouvert.
    • Définition d'un fermé.
    • Définition du voisinage d'un point.

  • Suites convergentes et suites de Cauchy:

    • Définition d'une suite convergente dans un espace métrique.
    • Une suite (xn) converge vers L ∈ E si pour tout ε > 0, il existe un entier n(ε) tel que pour tout n > n(ε), d(xn, L) < ε.
    • Définition d'une suite de Cauchy dans un espace métrique.
    • Une suite (xn) est de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe un entier n(ε) tel que pour tous p, q > n(ε), d(xp, xq) < ε.
    • Définition d'un espace métrique complet.
    • Si (E, ||.||) est un espace vectoriel normé complet, c'est un espace de Banach.
    • Rn muni d'une norme quelconque est un espace de Banach.

  • Intérieur, adhérence et frontière d'une partie:

    • Définition du point intérieur à une partie A dans un espace métrique.
    • Définition de l'intérieur d'une partie (denoté A).
    • Définition du point adhérent à une partie A dans un espace métrique.
    • Définition de l'adhérence d'une partie (denoté A).
    • Définition du point frontière d'une partie A dans un espace métrique.
    • Définition de la frontière d'une partie (denoté dA).

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Description

Ce quiz porte sur la topologie de l'espace R^n, y compris les concepts d'espace vectoriel normé et de normes. Il couvre les définitions et exemples de différentes normes ainsi que les distances dans R^n. Testez vos connaissances sur ces notions fondamentales en analyse mathématique.

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