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Questions and Answers
Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée dans un espace métrique?
Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée dans un espace métrique?
Une boule ouverte de centre a et de rayon r est l'ensemble des x tels que $d(a, x) < r$, tandis qu'une boule fermée inclut les points tels que $d(a, x) eq r$ avec $d(a, x) eq r$.
Comment se définit une suite convergente dans un espace métrique?
Comment se définit une suite convergente dans un espace métrique?
Une suite $(X_m)$ converge vers une limite L si, pour tout $ eq 0$, il existe un entier $n( eq 0)$ tel que pour tout $m > n( eq 0)$, on a $d(X_m, L) < eq 0$.
Quelle condition doit satisfaire un ensemble O pour être qualifié d'ouvert dans un espace métrique?
Quelle condition doit satisfaire un ensemble O pour être qualifié d'ouvert dans un espace métrique?
Pour qu'un ensemble O soit ouvert, il doit contenir, pour chaque point a de O, une boule ouverte B(a, r) entièrement contenue dans O.
Que signifie qu'une suite de Cauchy converge dans un espace métrique?
Que signifie qu'une suite de Cauchy converge dans un espace métrique?
Quel est le rapport entre une partie fermée et son complémentaire dans un espace métrique?
Quel est le rapport entre une partie fermée et son complémentaire dans un espace métrique?
Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une application soit considérée comme une norme sur un espace vectoriel?
Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une application soit considérée comme une norme sur un espace vectoriel?
Comment définiriez-vous la norme euclidienne sur Rn?
Comment définiriez-vous la norme euclidienne sur Rn?
Quelles normes sont équivalentes dans l'espace vectoriel Rn selon l'exemple 1.1.2?
Quelles normes sont équivalentes dans l'espace vectoriel Rn selon l'exemple 1.1.2?
Comment une distance est-elle définie sur un ensemble selon la définition 1.2.1?
Comment une distance est-elle définie sur un ensemble selon la définition 1.2.1?
Quelle est la relation entre les distances $d_1$, $d_2$, et $d_\infty$ selon l'exemple 1.2.2?
Quelle est la relation entre les distances $d_1$, $d_2$, et $d_\infty$ selon l'exemple 1.2.2?
Flashcards
Norme sur un espace vectoriel
Norme sur un espace vectoriel
Une application qui associe à chaque vecteur d'un espace vectoriel un nombre réel positif, vérifiant des propriétés spécifiques.
Norme euclidienne sur Rn
Norme euclidienne sur Rn
La norme k·k2, définie par la racine carrée de la somme des carrés des composantes d'un vecteur.
Norme équivalente
Norme équivalente
Deux normes sont équivalentes si l'une peut être majorée et minorée par l'autre, à une constante multiplicative près
Distance sur un ensemble
Distance sur un ensemble
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Distance associée à une norme
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Boule ouverte
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Boule fermée
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Sphère
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Ouvert
Ouvert
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Fermé
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Study Notes
Chapitre 1 : Topologie de Rn
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Espace vectoriel normé et normes sur Rn:
- Définition d'une norme sur un espace vectoriel E sur K (K = R ou C).
- Une norme est une application ||.|| : E → R+ vérifiant trois conditions :
- ||x|| = 0 si et seulement si x = 0
- ||λx|| = |λ| ||x|| pour tout λ ∈ K et x ∈ E
- ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| pour tous x, y ∈ E
- (E, ||.||) est appelé espace vectoriel normé.
- Exemples de normes sur Rn:
- Norme 1 : ||x||1 = |x1| + ... + |xn|
- Norme 2 (norme euclidienne) : ||x||2 = √(x12 + ... + xn2)
- Norme ∞ : ||x||∞ = max(|x1|, ..., |xn|)
-
Espaces métriques et distances sur Rn:
- Définition d'une distance sur un ensemble E.
- Une distance est une application d : E × E → R+ vérifiant trois conditions :
- d(x, y) = 0 si et seulement si x = y
- d(x, y) = d(y, x) pour tous x, y ∈ E
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) pour tous x, y, z ∈ E
- (E, d) est un espace métrique.
- Exemple de distance:
- Distance associée à une norme ||.|| : d(x, y) = ||x - y||
-
Boules, voisinages, ouverts et fermés:
- Définition de la boule ouverte et fermée de centre a et de rayon r dans un espace métrique (E, d).
- B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) < r} (boule ouverte)
- B(a, r) = {x ∈ E : d(a, x) ≤ r} (boule fermée)
- Définition d'un ouvert.
- Définition d'un fermé.
- Définition du voisinage d'un point.
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Suites convergentes et suites de Cauchy:
- Définition d'une suite convergente dans un espace métrique.
- Une suite (xn) converge vers L ∈ E si pour tout ε > 0, il existe un entier n(ε) tel que pour tout n > n(ε), d(xn, L) < ε.
- Définition d'une suite de Cauchy dans un espace métrique.
- Une suite (xn) est de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe un entier n(ε) tel que pour tous p, q > n(ε), d(xp, xq) < ε.
- Définition d'un espace métrique complet.
- Si (E, ||.||) est un espace vectoriel normé complet, c'est un espace de Banach.
- Rn muni d'une norme quelconque est un espace de Banach.
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Intérieur, adhérence et frontière d'une partie:
- Définition du point intérieur à une partie A dans un espace métrique.
- Définition de l'intérieur d'une partie (denoté A).
- Définition du point adhérent à une partie A dans un espace métrique.
- Définition de l'adhérence d'une partie (denoté A).
- Définition du point frontière d'une partie A dans un espace métrique.
- Définition de la frontière d'une partie (denoté dA).
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