Préliminaires mathématiques PDF

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Préliminaires mathématiques Draft Version 0.0 Prof. A. F El Ouafdi Last updated : 25 novembre 2024 Table des matières Lecture 4 (Date) – Short title for this lecture 1 Généralités sur les surfaces 1 Surface paramétrée 2 Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels 4 ※ Généralités sur les surfaces La programmation linéaire est l’une des méthodes les plus classiques et les plus utilisées dans la recherche opérationnelle. Le terme "programmation" signifie essentiellement la planification de certaines activités soumises à des contraintes en vue d’obtenir un rendement optimal. Dans de nombreux domaines tels que la science, l’ingénierie et l’économie, les données recueillies révèlent souvent des relations complexes et non linéaires, par exemple, dans le cas d’images sphériques, la modélisation de données géogra- phiques se fait sur une surface sphérique. Par conséquent, il est impératif d’utili- ser des techniques d’analyse capables de saisir et de modéliser cette non-linéarité de manière adéquate. Ainsi, le calcul d’opérateurs différentiels comme le gra- dient impliqué dans les méthodes d’apprentissage profond est incontournable. Par exemple, le calcul du gradient stochastique sur la sphère est indispensable pour exécuter l’apprentissage profond sur des données sphériques. Comprendre 1 Short title of document Surface paramétrée la nature géométrique des données et adapter les techniques d’apprentissage en conséquence est donc indispensable. ※ Surface paramétrée Figure 1 – Paramétrisation d’une surface On appelle surface paramétrée toute application 𝐹 de 𝐷 ⊂ R2 dans R3 : (𝑢, 𝑣) → ( 𝑓 (𝑢, 𝑣), 𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣)). L’ensemble 𝑓 (𝐷) est appelé support de la surface. On dit que la surface est de classe 𝐶 𝑘 lorsque 𝐹, c’est-à-dire 𝑓 , 𝑔, ℎ, sont de classe 𝐶 𝑘. On dit aussi que : 𝑥 = 𝑓 (𝑢, 𝑣)       𝑦 = 𝑔(𝑢, 𝑣)   𝑧 = ℎ(𝑢, 𝑣)    est une représentation paramétrique du support de la surface comme c’est illus- tré dans la figure 1. Exemple 1 (Paramétrisation de la sphère). En notant 𝜙 la longitude et 𝜃 la latitude, la sphère de rayon 𝑅 centrée en Ω peut être paramétrée comme suit : 𝑥(𝜙, 𝜃) = 𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃)       𝑦(𝜙, 𝜃) = 𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃)   𝑧(𝜙, 𝜃) = 𝑅 sin(𝜃)    avec (𝜃, 𝜙) ∈ [0, 2𝜋] × [0, 𝜋]. Cette paramétrisation se désintègre aux pôles nord et sud où l’angle d’azimut 𝜃 n’est pas déterminé de manière unique. 2 Short title of document Surface paramétrée Figure 2 – Paramétrisation d’une surface Figure 3 – Paramétrisation d’une surface Exemple 2 (Paramétrisation du tore). L’équation paramétrique d’un tore avec 𝑢 et 𝑣 comme paramètres, 𝑅 comme le rayon du cercle central et 𝑟 comme le rayon du tube du tore est donnée par : 𝑥(𝑢, 𝑣) = (𝑅 + 𝑟 cos 𝑣) cos 𝑢       𝑦(𝑢, 𝑣) = (𝑅 + 𝑟 cos 𝑣) sin 𝑢   𝑧(𝑢, 𝑣) = 𝑟 sin 𝑣    avec (𝑢, 𝑣) ∈ [0, 2𝜋]2. comme c’est illustré dans la figure 4 3 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels Exemple 3 ( Graphe de fonction). Le type le plus simple de surfaces paramé- triques est donné par les graphes de fonctions de deux variables. En notation paramétrique, le graphe d’une fonction est souvent défini comme : 𝑥(𝑢, 𝑣) = 𝑢       𝑦(𝑢, 𝑣) = 𝑣   𝑧(𝑢, 𝑣) = 𝑓 (𝑢, 𝑣)    ou tout simplement (𝑢, 𝑣, 𝑓 (𝑢, 𝑣)). Chaque point du graphe correspond à un couple de valeurs (𝑢, 𝑣) dans le domaine de définition de la fonction, et la troisième composante 𝑓 (𝑢, 𝑣) détermine la hauteur du point dans la direction verticale, créant ainsi une surface. ※ Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels Figure 4 – Paramétrisation d’une surface Soit 𝑋 : 𝑈 → R3 un patch de surface régulier. Soit 𝑝 ∈ 𝑆 un point sur la surface. Le vecteur position 𝑋(𝑢, 𝑣) donne les coordonnées de chaque point 𝑝. L’espace tangent 𝑇𝑝 (𝑆) à la surface 𝑆 en 𝑝 est l’ensemble des vecteurs tangents possibles à la surface en ce point. Pour un point 𝑝 = 𝑋(𝑢, 𝑣), l’espace tangent 𝑇𝑝 (𝑆) est un sous-espace vectoriel de R2 engendré par les dérivées partielles 𝜕𝑋 𝜕𝑢 et 𝜕𝑋 𝜕𝑣. Pour chaque 𝑝 ∈ 𝑆, on peut définir une métrique riemannienne sur 𝑇 𝑝𝑆 représentée par une matrice (𝑔𝑖𝑗 ) dans un système de coordonnées locales (𝑥 ). 𝑖 Les composantes 𝑔𝑖𝑗 du tenseur métrique 𝑔 sont définies comme suit : 𝜕 𝜕   𝑔𝑖𝑗 = 𝑖 , 𝑗 𝜕𝑥 𝜕𝑥 4 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels     où ⟨, ⟩ est le produit scalaire induit sur la surface 𝑆. Pour 𝜕𝑥𝜕 𝑖 , 𝜕𝑥𝜕 𝑗 = 𝜕𝑢 𝜕 𝜕 , 𝜕𝑣 , les coefficients du tenseur métrique 𝑔 par rapport à la paramétrisation (𝑢, 𝑣) sont : ! 𝐸 𝐹 𝑔= (1) 𝐹 𝐺 où : 𝐸 = ⟨𝑋𝑢 , 𝑋𝑢 ⟩, 𝐹 = ⟨𝑋𝑢 , 𝑋𝑣 ⟩, 𝐺 = ⟨𝑋𝑣 , 𝑋𝑣 ⟩ 𝜕 𝜕 avec 𝑋𝑢 = 𝜕𝑢 et 𝑋𝑣 = 𝜕𝑣. Example 1.4. Tenseur de métrique sur la sphère −𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃) −𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃) 𝜕 𝜕   © ª © ª 𝐸= , = ­ 𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃) ® · ­ 𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃) ®® ­ ® ­ 𝜕𝜙 𝜕𝜙 « 0 ¬ « 0 ¬ = (−𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃))2 + (𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃))2 + 0 = 𝑅 2 sin2 (𝜙) cos2 (𝜃) + 𝑅 2 cos2 (𝜙) cos2 (𝜃) = 𝑅 2 cos2 (𝜃)(sin2 (𝜙) + cos2 (𝜙)) = 𝑅2 cos2 (𝜃) −𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃) −𝑅 cos(𝜙) sin(𝜃) 𝜕 𝜕   © ª © ª 𝐹= , = ­ 𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃) ® · ­ −𝑅 sin(𝜙) sin(𝜃) ®® ­ ® ­ 𝜕𝜙 𝜕𝜃 « 0 ¬ « 𝑅 cos(𝜃) ¬ = (−𝑅 sin(𝜙) cos(𝜃))(−𝑅 cos(𝜙) sin(𝜃)) + (𝑅 cos(𝜙) cos(𝜃))(−𝑅 sin(𝜙) sin(𝜃)) + 0 = 𝑅 2 sin(𝜙) cos(𝜙) sin(𝜃) cos(𝜃) − 𝑅 2 sin(𝜙) cos(𝜙) sin(𝜃) cos(𝜃) =0 5 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels −𝑅 cos(𝜙) sin(𝜃) −𝑅 cos(𝜙) sin(𝜃) 𝜕 𝜕   © ª © ª 𝐺= , = ­ −𝑅 sin(𝜙) sin(𝜃) ® · ­ −𝑅 sin(𝜙) sin(𝜃) ®® ­ ® ­ 𝜕𝜃 𝜕𝜃 « 𝑅 cos(𝜃) ¬ « 𝑅 cos(𝜃) ¬ = (−𝑅 cos(𝜙) sin(𝜃))2 + (−𝑅 sin(𝜙) sin(𝜃))2 + (𝑅 cos(𝜃))2 = 𝑅 2 cos2 (𝜙) sin2 (𝜃) + 𝑅 2 sin2 (𝜙) sin2 (𝜃) + 𝑅 2 cos2 (𝜃) = 𝑅 2 (cos2 (𝜙) sin2 (𝜃) + sin2 (𝜙) sin2 (𝜃) + cos2 (𝜃)) 𝑅 2 (sin2 𝜃 + cos2 𝜃) = 𝑅 2 Ainsi, les coefficients du tenseur de métrique pour la sphère sont : 𝐸 = 𝑅 2 cos2 𝜃 𝐹=0 𝐺 = 𝑅2 Ainsi ! 𝑅 2 cos2 𝜃 0 𝑔= 0 𝑅2 Exemple 1.5. Tenseur de métrique sur le torus En considérant la paramétrisation du torus, les dérivées partielles sont : 𝑋𝑢 = (−(𝑅 + 𝑟 cos 𝑣) sin 𝑢, (𝑅 + 𝑟 cos 𝑣) cos 𝑢, 0), 𝑋𝑣 = (−𝑟 sin 𝑣 cos 𝑢, −𝑟 sin 𝑣 sin 𝑢, 𝑟 cos 𝑣). Les coefficients du tenseur de métrique sont : 𝐸 = ⟨𝑋𝑢 , 𝑋𝑢 ⟩ = (𝑅 + 𝑟 cos 𝑣)2 , 𝐹 = ⟨𝑋𝑢 , 𝑋𝑣 ⟩ = 0, 𝐺 = ⟨𝑋𝑣 , 𝑋𝑣 ⟩ = 𝑟 2. Une surface élémentaire 𝑑𝑠 de 𝑆 est donnée par : 𝑑𝑠 2 = 𝐸 𝑑𝑢 2 + 2𝐹 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + 𝐺 𝑑𝑣 2. 6 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels Opérateurs différentiels : gradient, divergence et laplacien Le gradient d’une fonction différentiable 𝑓 : 𝑆 → R sur une surface 𝑆 est une application différentiable 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 : 𝑆 → R3 , notée couramment ∇ 𝑓 , qui affecte à chaque point 𝑝 ∈ 𝑆 un vecteur ∇ 𝑓 (𝑝) ∈ 𝑇𝑝 (𝑆) ⊂ R3 tel que : ⟨∇ 𝑓 (𝑝), 𝑤⟩𝑝 = 𝑑𝑓𝑝 (𝑤), pour tout 𝑤 ∈ 𝑇𝑝 (𝑆). En termes des coefficients du tenseur de métrique, le vecteur du gradient peut être formulé comme suit : 𝑓𝑢 𝐺 − 𝑓𝑣 𝐹 𝑓𝑣 𝐸 − 𝑓𝑢 𝐹 ∇𝑓 = 𝑋𝑢 + 𝑋𝑣 , 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑓 𝜕𝑓 où 𝑓𝑢 = 𝜕𝑢 et 𝑓𝑣 = 𝜕𝑣. Dans un système de coordonnées cartésiennes, le gradient d’une fonction 𝑓 différentiable au point 𝑎 = (𝑥1 , 𝑥2 ,... , 𝑥 𝑛 ) est le vecteur noté ∇ 𝑓 (𝑎) de compo- santes :  𝜕𝑓  𝜕𝑥1 (𝑎)   .  ∇ 𝑓 (𝑎) = .. .    𝜕𝑓   𝜕𝑥 (𝑎)  𝑛  En dimension 3, on obtient : 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ∇ 𝑓 (𝑎) = (𝑎)𝑒1 + (𝑎)𝑒2 + (𝑎)𝑒3. 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥3 Champ Vectoriel sur une Surface Imaginons une fourmi qui se déplace sur la surface d’une sphère. En chaque instant, la fourmi possède une vitesse qui peut être représentée par un vecteur 𝑉. Ce vecteur est tangent à la surface de la sphère en chaque position de la fourmi comme s’est illustré dans la figure. Si l’on associe à chaque point de la surface un vecteur vitesse décrivant le mouvement de la fourmi à cet endroit, alors ce que l’on obtient est un champ vectoriel. Un champ vectoriel 𝑉 sur une surface 𝑆 est une application qui associe à chaque point 𝑝 ∈ 𝑆 un vecteur 𝑉(𝑝) ∈ 𝑇𝑝 (𝑆), où 𝑇𝑝 (𝑆) est l’espace tangent à 𝑆 en 𝑝. Définition 3.1. Soit 𝑆 une surface paramétrée par une fonction 𝑋(𝑢, 𝑣) : 𝐷 ⊂ R2 → R3 et notons par 𝑇𝑝 (𝑆) est l’espace tangent à 𝑆 en 𝑝. Alors, un champ 7 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels (a) Une fourmi se déplace sur une (b) Représentation d’un champ vecto- sphère avec une vitesse 𝑉 riel sur une sphère Figure 5 – La figure 5(a) Illustre le champ vectoriel vitesse de la fourmi sur la sphère. La figure 5(b) montre les vecteurs tangents de composantes locales 𝑉1 et 𝑉2 sont représentés sur le plan tangent au point 𝑃. vectoriel 𝑉 sur une surface 𝑆 est une application qui associe à chaque point 𝑝 ∈ 𝑆 un vecteur 𝑉(𝑝) ∈ 𝑇𝑝 (𝑆), où 𝑇𝑝 (𝑆) est l’espace tangent à 𝑆 en 𝑝. Dans la base ( 𝜕𝑋 , 𝜕𝑋 ) de l’espace tangent 𝑇𝑝 (𝑆), le champ vectoriel 𝑉 peut 𝜕𝑢 𝜕𝑣 être exprimé comme : 𝜕𝑋 𝜕𝑋 𝑉(𝑢, 𝑣) = 𝑉1 (𝑢, 𝑣) + 𝑉2 (𝑢, 𝑣) , 𝜕𝑢 𝜕𝑣 où 𝜕𝑋 𝜕𝑋     𝑉1 (𝑢, 𝑣) = 𝑉 , , 𝑉2 (𝑢, 𝑣) = 𝑉 , , 𝜕𝑢 𝜕𝑣 sont des  fonctions  définissant les composantes du champ vectoriel dans la base 𝜕𝑋 𝜕𝑋 locale , 𝜕𝑢 𝜕𝑣. Ici, ⟨·, ·⟩ représente le produit scalaire sur le plan tangent 𝑇𝑝 (𝑆). Un exemple de champ vectoriel est illustré dans la figure 5. Divergence sur une Surface L’opérateur de divergence d’un champ vectoriel 𝑉(𝑝) ∈ 𝑇𝑝 (𝑆) sur une surface 𝑆 est définie comme : 𝜕 p 𝜕 p   1  div𝑆 (𝑉) = p det 𝑔 𝑉1 + det 𝑔 𝑉2 , det 𝑔 𝜕𝑢 𝜕𝑣 où det 𝑔 = 𝐸𝐺 − 𝐹 2 et 𝐸, 𝐹, 𝐺 sont les composantes du tenseur de métrique 𝑔 (1). 8 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels La divergence mesure le taux de variation du flux d’un champ vectoriel à partir d’un point donné. Elle indique si les vecteurs du champ « sortent » ou « entrent » dans un petit volume autour de ce point. — Divergence positive : Cela signifie qu’il y a plus de flux « qui sort » du volume qu’il n’en entre. On peut imaginer une source, par exemple, un point qui émet de la chaleur ou de la matière figure 6(a). — Divergence négative : Cela signifie que le flux « rentre » davantage dans le volume qu’il n’en sort. Cela correspond à une sorte de puits, par exemple, un point qui absorbe de la chaleur ou de la matière figure 6(b).. — Divergence nulle : Le flux entrant est exactement égal au flux sortant, ce qui signifie qu’il n’y a ni source ni puits localement. Un exemple typique est un écoulement incompressible, comme celui d’un fluide idéal figure 6(c). Exemple 4 (Divergence d’un champ vectoriel sur la surface d’un plan R2 ). Sur un plan de dimension 2 et en coordonnées cartésiennes, la divergence d’un champ de vecteurs ! ® = 𝑥 𝑉 𝑉 𝑉𝑦 a pour expression : 𝜕𝑉𝑦 ® = 𝜕𝑉𝑥 + ® := div 𝑉 ∇·𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Où ∇· est l’expression vectorielle de l’opérateur de divergence. Intuitivement, l’opérateur de divergence mesure le taux de dispersion d’un champ vectoriel à partir d’un point donné. Il permet ainsi de caractériser la nature du flux associé à un champ vectoriel autour de ce point, comme c’est illustré dans la figure 6. Exemple 5 (Divergence sur la sphère). En coordonnées sphériques, en suivant les conventions des notations physiques, les coordonnées cartésiennes (𝑥, 𝑦, 𝑧) s’expriment comme : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑, 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑟 cos 𝜃 ,
avec 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 (colatitude) et 0 ≤ 𝜑 < 2𝜋 (longitude). La divergence d’un champ vectoriel 𝑉 © 𝑟ª ® = ­𝑉𝜃 ® 𝑉 ­ ® «𝑉𝜑 ¬ 9 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels (a) Divergence positive (b) Divergence néga- (c) Divergence nulle (source) d’un champ ! tive (puits) d’un champ ! (incompressible) ® = 𝑥 ® −𝑥 d’un champ vectoriel vectoriel 𝑉. Les vectoriel 𝑉 =. ! 𝑦 −𝑦 ® = −𝑦. Les vecteurs 𝑉 vecteurs s’éloignent du Les vecteurs convergent 𝑥 centre, représentant un vers le centre, représen- montrent une rotation flux sortant. tant un flux entrant. sans flux entrant ni sortant. Figure 6 – Illustration des trois cas de divergence pour un champ vectoriel en 2D : (a) flux sortant, (b) flux entrant, (c) rotation sans divergence. en coordonnées sphériques est donnée par : 1 𝜕 𝑟 2𝑉𝑟 1 𝜕𝑉𝜑
® ® 1 𝜕 ∇·𝑉 = 2 + (sin 𝜃 𝑉𝜃 ) +. 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 Cette expression tient compte de la géométrie sphérique et de la variation des composantes du champ vectoriel en fonction des coordonnées sphériques. Cet exemple illustre trois cas distincts de divergence d’un champ vectoriel en fonction des composantes 𝑥 et 𝑦. Chaque cas est associé à une interprétation physique. Résumé Mathématique 𝜕𝑉𝑦 - **Divergence Positive** : La somme des taux de variation ( 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑥 + 𝜕𝑦 ) est positive. Cela correspond à une source. - **Divergence Négative** : La somme est négative, indiquant un puits. - **Divergence Nulle** : La somme est nulle, représentant un champ incompressible avec rotation. Le laplacien d’une fonction 𝑓 est donné par : 𝜕 𝑓𝑢 𝜕 𝑓𝑣      1 Δ𝑓 = √ 𝐸√ + 𝐺√ 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑢 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑣 𝐸𝐺 − 𝐹 2 10 Short title of document Espace tangent, métrique et opérateurs différentiels 𝜕𝑓 𝜕𝑓 où 𝑓𝑢 = 𝜕𝑢 et 𝑓𝑣 = 𝜕𝑣 sont les dérivées partielles de la fonction 𝑓. Laplacien comme divergence Le laplacien d’une fonction 𝑓 sur une surface paramétrée 𝑆 peut être obtenu comme la divergence du gradient de 𝑓 : Δ 𝑓 = div(∇ 𝑓 ) Le gradient ∇ 𝑓 d’une fonction 𝑓 est donné par : 𝑓𝑢 𝐺 − 𝑓𝑣 𝐹 𝑓𝑣 𝐸 − 𝑓𝑢 𝐹 ∇𝑓 = 𝑋 𝑢 + 𝑋𝑣 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑋 𝜕𝑋 où 𝑓𝑢 = 𝜕𝑢 et 𝑓𝑣 = 𝜕𝑣 sont les dérivées partielles de 𝑓 , et 𝑋𝑢 = 𝜕𝑢 , 𝑋𝑣 = 𝜕𝑣 sont les vecteurs tangents à la surface. Le laplacien Δ 𝑓 de 𝑓 est alors donné par la divergence du gradient : 𝜕 𝑓𝑢 𝜕 𝑓𝑣      1 Δ𝑓 = √ 𝐸√ + 𝐺√ 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑢 𝐸𝐺 − 𝐹 2 𝜕𝑣 𝐸𝐺 − 𝐹 2 11