Funciones Trigonométricas PDF

Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Álgebra y Trigonometría Alexis E. Almendras V. Un...

Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Álgebra y Trigonometría Alexis E. Almendras V. Universidad de Concepción Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Circulares Se define la función P : R → C ⊆ R2 , en donde a cada número real t se le asocia un punto P (t) = (x(t), y(t)) sobre la circun- ferencia unitaria C de ecuación x2 + y 2 = 1. R y 1 −1 0 1x −1 C : x2 + y 2 = 1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Circulares Se define la función P : R → C ⊆ R2 , en donde a cada número real t se le asocia un punto P (t) = (x(t), y(t)) sobre la circun- ferencia unitaria C de ecuación x2 + y 2 = 1. R y 1 t −1 0 1x −1 C : x2 + y 2 = 1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Circulares Se define la función P : R → C ⊆ R2 , en donde a cada número real t se le asocia un punto P (t) = (x(t), y(t)) sobre la circun- ferencia unitaria C de ecuación x2 + y 2 = 1. R y P 1 t −1 0 1x −1 C : x2 + y 2 = 1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Circulares Se define la función P : R → C ⊆ R2 , en donde a cada número real t se le asocia un punto P (t) = (x(t), y(t)) sobre la circun- ferencia unitaria C de ecuación x2 + y 2 = 1. R y P 1 P (t) = (x(t), y(t)) t −1 0 1x −1 C : x2 + y 2 = 1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas En la función P , se tiene P (0) = (1, 0) y dado t > 0 se define P (t) ∈ C como el punto al que llega luego de desplazarse en sentido antihorario sobre C, |t| unidades desde P (0), mientras que para t < 0 se desplaza |t| unidades desde P (0) en sentido horario. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas p R y 4 p 3 p 2 p 1 p 0 x −1 −2 p −3 p −4 p p Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas p R y 4 + p 3 p 2 p 1 p 0 x −1 −2 p −3 p − −4 p p Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas p R y 4 + p 3 p 2 P (0) = (1, 0) p 1 0 p 0 x −1 −2 p −3 p − −4 p p Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas p R y 4 π + p 3 p 2 P (π) = (−1, 0) P (0) = (1, 0) p 1 0 p 0 x −1 −2 p −3 p − −4 p p Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas p R y 4 π + p 3 p 2 P (π) = (−1, 0) P (0) = (1, 0) p 1 0 p 0 x −1 −2 p −π/2 −3 p − −4 p p P (−π/2) = (0, −1) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas De la definición, se tiene por ejemplo los siguientes valores: π  P (0) = (1, 0), P = (0, 1), 2  π P − = (0, −1), P (π) = (−1, 0),... 2 Además, cada “una vuelta” las imágenes se P se repiten, es decir, ∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : P (t) = P (t + 2π · k). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Observación Una función real, definida sobre todo R, se dice periódica de periodo p, si p es el menor número real positivo que satisface la propiedad: ∀t ∈ R : f (t) = f (t + p). Asi, la función P definida anteriormente es periódica de periodo 2π. Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas En la función P las imágenes son puntos (x(t), y(t)) ∈ R2 , en donde llamaremos al valor de la abscisa función coseno y el valor de la ordenada como función seno, y se denotará: x(t) = cos(t) y y(t) = sin(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas y B P (t) sin(t) t O cos(t) A x Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Además, en la figura se definen d(A, T ) = tan(t) y d(B, R) = cot(t), llamadas funciones tangentes y cotangentes de t, res- pectivamente. y B R T P (t) sin(t) t O cos(t) A x Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Teorema Para todo t ∈ R se tiene cos2 (t) + sin2 (t) = 1. Teorema Para todo t ∈ R se tiene sin(t) cos(t) tan(t) = y cot(t) =. cos(t) sin(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Observación Algunos valores de las funciones circulares: t P (t) cos(t) sin(t) tan(t) cot(t) −2π (1, 0) 1 0 0 ̸∃ − 3π 2 (0, 1) 0 1 ̸∃ 0 −π (−1, 0) −1 0 0 ̸∃ − π2 (0, −1) 0 −1 ̸∃ 0 0 (1, 0) 1 0 0 ̸∃ π 2 (0, 1) 0 1 ̸∃ 0 π (−1, 0) −1 0 0 ̸∃ 3π 2 (0, −1) 0 −1 ̸∃ 0 2π (1, 0) 1 0 0 ̸∃ Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Definición Se define la función seno como: sin : R −→ [−1, 1] t 7−→ y = sin(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Propiedad La función seno es impar, es decir: ∀t ∈ R : sin(t) = − sin(−t). La función seno es periódica, de periodo 2π, es decir: ∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : sin(t) = sin(t + 2π · k). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas La gráfica de y = sin(x) es: y 1 y = sin(x) −2π − 3π −π − π2 0 π 2 π 3π 2π x 2 2 −1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Definición Se define la función coseno como: cos : R −→ [−1, 1] t 7−→ y = cos(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Propiedad La función coseno es par, es decir: ∀t ∈ R : cos(t) = cos(−t). La función coseno es periódica, de periodo 2π, es decir: ∀t ∈ R, ∀k ∈ Z : cos(t) = cos(t + 2π · k). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas La gráfica de y = cos(x) es: y 1 y = cos(x) −2π − 3π −π − π2 0 π 2 π 3π 2π x 2 2 −1 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Definición Se define la función tangente como: nπ o tan : R \ (2k + 1) : k ∈ Z −→ R 2 t 7−→ y = tan(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Propiedad La función tangente es impar, es decir: ∀t ∈ Dom(tan) : tan(t) = − tan(−t). La función tangente es periódica, de periodo π, es decir: ∀t ∈ Dom(tan), ∀k ∈ Z : tan(t) = tan(t + π · k). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas La gráfica de y = tan(x) es: y 5 4 3 2 1 y = tan(x) −2π − 3π −π − π2 0 π 2 π 3π 2π x 2 −1 2 −2 −3 −4 −5 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Definición Se define la función cotangente como: cot : R \ {kπ : k ∈ Z} −→ R t 7−→ y = cot(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Propiedad La función cotangente es impar, es decir: ∀t ∈ Dom(cot) : cot(t) = − cot(−t). La función tangente es periódica, de periodo π, es decir: ∀t ∈ Dom(cot), ∀k ∈ Z : cot(t) = cot(t + π · k). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas La gráfica de y = cot(x) es: y 5 4 3 2 1 y = cot(x) −2π − 3π −π − π2 0 π 2 π 3π 2π x 2 −1 2 −2 −3 −4 −5 Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Definición Se define la función secante como: nπ o sec : R \ (2k + 1) : k ∈ Z −→ R\ ] − 1, 1[ 2 1 t 7−→ y = sec(t) = cos(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Definición Se define la función cosecante como: sec : R \ {kπ : k ∈ Z} −→ R\ ] − 1, 1[ 1 t 7−→ y = csc(t) = sin(t) Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B) Funciones Circulares Funciones Trigonométricas Propiedad La función secante y cosecante son funciones periódicas, de periodo 2π, es decir: ∀t ∈ Dom(sec), ∀k ∈ Z : sec(t) = sec(t + 2π · k), ∀t ∈ Dom csc), ∀k ∈ Z : csc(t) = csc(t + 2π · k). La función secante es par y la función cosecante es impar, es decir: ∀t ∈ Dom(sec) : sec(t) = sec(−t), ∀t ∈ Dom(csc) : csc(t) = − csc(−t). Alexis Almendras Valdebenito Universidad de Concepción Álgebra y Trigonometría (Mod B)