Cálculo I 2024-2025 S1 Caderno 1 PDF

Nova School of Business and Economics 2024 – 2025 S1 Cálculo I Caderno de Exercı́cios 1 Fundamentos Joana Matos João Farinha José Maria Cordeiro Maria João Braga Patrı́cia Xuf...

Nova School of Business and Economics 2024 – 2025 S1 Cálculo I Caderno de Exercı́cios 1 Fundamentos Joana Matos João Farinha José Maria Cordeiro Maria João Braga Patrı́cia Xufre Sofia Henriques Thomas Baier  Cálculo I 2024 – 2025 S1 Lista 1.1 Lógica Lista 1.1 Lógica 1. Em cada uma das seguintes alı́neas, escreva uma proposição verdadeira, utilizando A, B e uma implicação, e indique qual a condição suficiente e qual a condição necessária dessa proposição: (a) A: x é múltiplo de 3. (b) A: A Maria vive em Portugal. B: x é múltiplo de 9. B: A Maria vive na Europa. 2. Para cada uma das seguintes proposições, indique, justificando, o seu valor lógico e, caso seja falsa, apresente um contra - exemplo: (a) (x = 2 ∧ y = 7) ⇒ (x + y = 9) (g) xy = xz ⇒ y = z (b) (x + y = 9) ⇒ (x = 2 ∧ y = 7) (h) (x − 1)(x − 2)(x − 5) = 0 ⇒ x = 1 (c) x2 = 81 ⇒ x = 9 (i) x = 1 ⇒ (x − 1)(x − 2)(x − 5) = 0 (d) x2 + y 2 = 0 ⇒ (x = 0 ∨ y = 0) (e) x2 + y 2 = 9 ⇒ (x = 3 ∨ y = 3) (j) (x2 > y 2 ∧ x > 0) ⇒ x > y (f) x > y 2 ⇒ x > 0 (k) x > y ⇒ x2 ≥ y 2 3. Em cada uma das seguintes alı́neas, indique, justificando, se cada uma das proposições apresentadas, com a exceção de A, é suficiente para A, se é necessária para A, e se é equivalente a A: 2 (a) A : x2 − 4 ≥ 5 (b) A : xx8 −4 +1 > 0 B : x ≤ −3 ∨ x ≥ 3 B:x>2 C : x < −2 ∨ x > 1 C : x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 2 Cálculo I 2024 – 2025 S1 Lista 1.2 Topologia Lista 1.2 Topologia 1. Represente geometricamente as seguintes bolas: (a) B2 (1) (c) x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4z < 4 (b) B 32 (0, 1) 2. Descreva, se existirem, o conjunto dos minorantes, o conjunto dos majorantes, o ı́nfimo, o supremo, o mı́nimo e o máximo de cada um dos seguintes conjuntos em R:  (a) A = x ∈ N : 2x−3 > 8 (c) C = {x ∈ R \ Q : x ≤ 1} (b) B = x ∈ R : x−1  x ≥2 3. Considere a ∈ R e A ⊂ R. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: (a) A ser limitado não é condição suficiente para que A tenha supremo e mı́nimo. (b) Se o cardinal de A é infinito, então a ser majorante de A é uma condição necessária para a ser não inferior a uma infinidade de elementos de A. 4. Para cada um dos seguintes conjuntos em Rn , descreva o seu interior, a sua fronteira, o seu exterior, a sua aderência, o seu derivado, o conjunto dos pontos isolados, e indique, justificando, se é aberto, se é fechado, se é limitado, se é compacto, e se é convexo: (a) A = n1 ∈ R : n ∈ N   (e) E = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1  (b) B = (x, y) ∈ R2 : (y ≤ 2x) ∧ (y ≥ x) ∧ (y ≤ 8 − x)   (f) F = (x, y, z) ∈ R3 : (x2 + y 2 + z 2 ≤ 1) ∧ (y = x) 2 (c) C = (x, y) ∈ R : ln(xy) ≤ 0  (d) D = (x, y) ∈ R2 : |y| < 9 − x2 (g) G = {x ∈ Rn : ∥x∥ = 1}, para n = 1, 2, 3. 5. Considere A ⊂ Rn. Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições: (a) Um ponto isolado de A não pode ser um ponto aderente de A. (b) Um ponto de acumulação de A é, garantidamente, um ponto aderente de A. (c) Um ponto de acumulação de A não pode ser um ponto exterior de A. (d) Um ponto não ser interior de A é condição necessária para que esse ponto não seja ponto de acumulação de A. 3  Cálculo I 2024 – 2025 S1 Lista 1.2 Topologia 6. Considere os seguintes conjuntos em R: A = {x ∈ R \ Q : −4 ≤ ln x < −1} B = 1e , π ∩ Z   1 1   (a) Mostre que A = e4 , e ∩ (R \ Q). (b) Indique, justificando, se A é convexo. (c) Descreva o conjunto dos pontos isolados de A ∪ B. (d) Descreva o interior do derivado de A ∪ B. √ 7. Considere a ∈ R+ e o conjunto A = ]−a, 3 a] ∩ Q, em R, tais que: a é uma solução de x3 + 16x = 10x2 A não tem máximo (a) Encontre o valor de a. (b) Indique, justificando, se A é fechado. (c) Descreva o conjunto de pontos b ∈ R tais que ∃ε > 0 : A ∩ Bε (b) = {b}. 
8. Considere A ⊂ R2 tal que A = (x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 2 ∧ y x3 − y ≥ 0. (a) Represente A geometricamente. (b) Indique, justificando, se A é limitado. (c) Considere agora que:
fr(A) = fr A A é aberto i. Descreva fr(A). ii. Indique, justificando, se A é convexo. 4 Cálculo I 2024 – 2025 S1 Soluções Caderno de Exercı́cios 1 Soluções Lista 1.1 1. (a) B ⇒ A; B suficiente; A necessária (b) A ⇒ B; A suficiente; B necessária √
2. (a) V (b) F; Ex: (x, y) = (4, 5) (c) F; Ex: x = −9 (d) V (e) F; Ex: (x, y) = 2, 5 (f) V (g) F; Ex: (x, y, z) = (0, 1, 2) (h) F; Ex: x = 2 (i) V (j) V (k) F; Ex: (x, y) = (1, −2) 3. (a) B suficiente, necessária e equivalente; C necessária (b) B suficiente; C necessária Lista 1.2 9 1. (a) ] − 1, 3[ (b) x2 + (y − 1)2 < 4 (c) B3 (−1, 0, 2) 2. (a) {minorantes}A = ]−∞, 7]; {majorantes}A = ∅; inf(A) = 7; ∄sup(A); min(A) = 7; ∄max(A) (b) {minorantes}B = ]−∞, −1]; {majorantes}B = R+ 0 ; inf(B) = −1; sup(B) = 0; min(B) = −1; ∄max(B) (c) {minorantes}C = ∅; {majorantes}C = [1, +∞[; ∄inf(C); sup(C) = 1; ∄min(C); ∄max(C) 3. (a) V (b) F (a) int(A) = ∅; fr(A) = A ∪ {0}; ext(A) = n1 ∈ R : n ∈ R \ N ; A = A ∪ {0}; A′ = {0}; A; Não aberto; Não  4. fechado; Limitado; Não compacto; Não convexo  (b) int(B) = (x, y) ∈ R2 : x < y < 2x ∧ y < 8 − x ;  fr(B) = (x, y) ∈ R2 : ((y = x ∨ y = 2x) ∧ 0 ≤ y ≤ 8 − x) ∨ (y = 8 − x ∧ x ≤ y ≤ 2x) ; ext(B) = (x, y) ∈ R2 : y < x ∨ y > 2x ∨ y > 8 − x ; B = B; B ′ = B; ∅; Não aberto; Fechado; Limitado;  Compacto; Convexo    (c) int(C) = (x, y) ∈ R2 : 0 < xy < 1 ; fr(C) = (x, y) ∈ R2 : xy ∈ {0, 1} ; ext(C) = (x, y) ∈ R2 : xy < 0 ∨ xy > 1 ; C = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ xy ≤ 1 ; C ′ = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ xy ≤ 1 ; ∅; Não aberto; Não fechado; Ilimitado;   Não compacto; Não convexo   (d) int(D) = D; fr(D) = (x, y) ∈ R2 : |y| = 9 − x2 ; ext(D) = (x, y) ∈ R2 : |y| > 9 − x2 ; D = (x, y) ∈ R2 : |y| ≤ 9 − x2 ; D′ = (x, y) ∈ R2 : |y| ≤ 9 − x2 ; ∅; Aberto; Não fechado; Limitado; Não   compacto; Convexo    (e) int(E) = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| < 1 ; fr(E) = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| = 1 ; ext(E) = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| > 1 ; E = E; E ′ = E; ∅; Não aberto; Fechado; Limitado; Compacto; Convexo (f) int(F ) = ∅; fr(F ) = F ; ext(F ) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 > 1 ∨ y ̸= x ; F = F ; F ′ = F ; ∅; Não  aberto; Fechado; Limitado; Compacto; Convexo (g) int(G) = ∅; fr(G) = G; ext(G) = {x ∈ Rn : ∥x∥ = ̸ 1}; G = G; G′ = ∅ se n = 1 e G′ = G se n > 1; {−1, 1} se n = 1 e ∅ se n > 1 ; Não aberto; Fechado; Limitado; Compacto; Não convexo 5. (a) F (b) V (c) V (d) V (c) {1, 2, 3} (d) e14 , 1e   6. (b) Não 7. (a) 2 (b) Não (c) ∅ 5  Cálculo I 2024 – 2025 S1 Soluções Caderno de Exercı́cios 1 y 8 x −2 2 8. (a) −8 (b) Sim (c) i. 


(x, y) ∈ R2 : |x| = 2 ∧ y x3 − y ≥ 0 ∨ y x3 − y = 0 ∧ |x| ≤ 2
ii. Não 6