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Piccolo riminder : TRACCI : Somma dei valori nelle diagonali Lezione 1 NOTAZIONE TENSORALE QUANTITA : ·...

Piccolo riminder : TRACCI : Somma dei valori nelle diagonali Lezione 1 NOTAZIONE TENSORALE QUANTITA : · SCALARI a EIR a = Vettoree Il all = a + az + as · VETTORALI = = lanze · TENSORALI ↑ I An A12 - - And ad Azi And ER A ! = = ! Ad1 Add OPERAZIONI PRODOTTO dimensione le INTERNI Diminuiscono di una quantità su cui si opera VETTORE VETTORE (praticamente è il prodotto scalare - geometricamente è la proiezione di b) d & b ER -b = Ribi ER · VEITORE MATRICE ↳ ERd AERaxd I #b b = = Aijd , ERo a proiezione di una matrice su un vettore - MATRICE : MATRICE I due punti perchè è come fare due prodotti interni in serie ad A , Beraxd A B= : s AijBij ER ESTERNO (DIADICO) X ! D è quello vettoriale 9 , b ERa ↳ = aibj e Rad OPERATORI DIFFERENZIALI · GRADIENTE Il ara = P - Re & Era da... e : --- DIVERGENZA T Diminuisce di la una dimensione guantità & *E ER- Ra D... I & · A = epaxd * E Ro M2 ! LAPLACIANO = D M. NON è gradiente al quadrato, ma è una derivata seconda La dimensione della quantità resta la stessa a E-T = Ox ER +... & & ERRO = S+... & i Er Gli da Einstein NOTAZIONE DI EINSTEIN operatori Non sono molto semplici usare quindi la ha semplificato notazione a A = = Ai A = Aij a. b-aibi = aibi Aobijbj = Rijb A : B = AijBij ab = aibj Ma = Ma = Equazioni fondamentali : -Conservazione della massa (meccanica NO , quantistica -Conservazione dell'energia -Bilancio di galm - La parte esterna importante, le condizioni importanti solo al contorno DOMINI NON è ma sono quelle OMOGENEO Tutte le proprietà sono associate al centro di massa (con una media pesatal. Queste proprietà possono avere una variazione temporale CONTINUO Si ha campo scalare delle proprietà funzioni dello spazio un e del tempo poiché ogni punto ha proprietà diverse L'assunzione di un dominio continuo è molto forte perchè. si sta dicendo che lo spazio è continue  e le proprietà non variano senza interruzioni SBAGLIATO perchè gli atomi sono distinti (NON è un problema la meccanical per CONSERVAZIONE DELLA MASSA In certo dominio entra della parte un se massa in eser e in parte si accumula Prima equazione del sistema "Navier-Stolles-Fourier" alla , base della termomeccanica dei capi continui Non esistono "buchi" di massa nello spazio , che è dunque considerato continuo e non discreto. Questo vale per tutte le proprietà del materiale considerato, non solo la massa , con questa assunzione , si che le modo può supporre proprietà varino in continuo nello sporzio. Corpo omogeneo o j = = O p(P-A * Densità tele e Per passare da continuo si lavora infinitesimi omogencoor con p(P) line (m) -m (differenziale = esatto Non derivatae , · generalizzando p(x , t) = d diventando così un campo p = g(t , ) con XE funzione dello spazio e del tempo Approccio enleriano, ossia fissato un volume di controllo arbitrario e finito , il ci contorno è d la tempo si vuole studiare come varia massa mr in funzione del , ossia Mr = Mr(t). Si noti che l è arbitrario, ma è fissato nel tempo per l'approccio scelto Il Il-1 ortogonale OM direzione ussente ogni punto a versore a in e con 1 , ↳ Mr = Mr(t) -( ds ( -E / , componente della velocità normale comportente della velocità tangenziale Ipotesi : Non ci sono variazioni di massa da reazioni nucleari variazione massa nel volume di controlla = flussi metti che attraversomo la frontiera del volume 1 & m -ds = Or t Equazione componente normale alla superficie infinitesima, è l'unica responsabile della scambio di massa al bordo Conta anche il numero di particelle (denital e non solo la loro relacità Per convenzione : & U -0 U. Ea = pu M Prosportatore" Quantità trasformata Avendo definito il termine di flusso avvettivo si sostituber in Equazione 3 (dV =- (pd ↓ Altri termini : Es , Ed , S T Solo su normale elemento S protezione su # campo di moto che trasporta D Quantità trasportata # Tensore E IRYx Applicando il teorema della divergenza (av (pdV = 4 ( Toa-4 · (pu I dV + Per capire fa l'analisi dimensionale quali altri termini devo aggiunger si [m j2 Dunque si sta parlando di un bilancio di forze lo forzi devidendo per la superficial. Le forte esterne dr possono : su agire oppur su · Es volumetrica 1 & : Forza - campo gravitazionale OR E : Forza superficiale (sforzo normale o tangenziale - forzi clantici P na Per le forze di volume esterne si può introduce il termine sorgente / pozzo S pa = [Nm3] = [Ug/m3] [Nclog] Per le forze di superficie si può introduce il tensore degli sforzi II , per cui : Tensore degli sforzi # [N/m2] Proiezione del tenore lungo la normale della superficie I· [N/m2] Forza su de dovuta agli ifazi esterni IndS [N]  Si completa l'equazione D con questi termini ↓[ 4. (p) J dV = I -P Si applica il teorema della divergenza : I [P()]dV -(PdV = + /pad L'equazione deve valer e per 5 + (p) D. EQUAZIONE DI BIANCO DELA QUANTITÀ DI MOTO ( IN FORMA LOCALE , DIFFERENZALE) Si l'equazione può dimostrare ca ⑤ è invariante galileiana Approfondimento su #I Il fluso dovuto alle forze esterne di superficie può ener suddiviso in due componenti : · statiche (4 d) = · dinamiche (1 + 0) H d I = IS + FLUSSO STATICO : U = 0 fluido fermo, dungue solo sfarzi normali su al e cheI restituisce solo Il è trasmette , significar forze parallele a Questo è possible solo I'" è diagonale e isotropo , assia indipendente dalla direzione di applicazione (s) i pE-POM) (S # = p - - matric identità * pressione Dove Fig = dij con diz = 11 it e s Jij : DELTA DI KRONECKER FLUSSO DINAMICO Uo - Gli sforzi all'interno di fluido neutoniano devomo di velocità un essere proporzionali di gradienti Per trovare un modello adatto a rappresentare questo contributo al bilancio della gam buogna for alcune ipotesi : 1) I - > Hij ~ Qui va bene recupera il perde caso è proporzionale statico per 1 al = 0 gradente di veloatà però mo e * Gui 2) = I-I- Tig-pdij > ~ - ancora da migliorare perché non da un risultato indipendente &xj dalla XA scelta degli assi di riferimento Ya U U > # > > X Y =- 3) I stiz-patiz ridu meglio perché pressione simmetrica, idrostatico si deve ancora imporre la definizione di p = ft(I) tr(t) ptz(I) - = 3p 3p -  t (i) -2 =2 te -I) * 4) = Tij-pdij ~ Qui dij Ora rispetta la definizione di p in guan a e te (+ dij) -. = Dunque in forma tensoriale I - PEN [na (Du)T ET. E] + - Resta da determinare la costante di proporzionalità tra i dur termini : 5) Analisi dimensionale [N/m2) = [x] [mm] => [x] = [ Sm] [mm] I ] = = densità d viscosità cinematica y d viscosità dinamica Mzje Si può serivere I = pz = p([Tu + (Du)T - 37 42]. È possibile" dimostrare che il segno da assegnare è negativo per aver soluzioni stabli e non divergenti INFATTI : F = M [Du + (DulT-D. UE] Tensore degli sforzi dato da componenti dinamiche Analogia formale l'equazione di Fourer -XXT con q = ↳ "perturbazione" · proprietà termofisica · "effetto" È il intuitivo che segno negativo serva a "contrastare" la perturbazione così da tornare in di Condizioni equilibrio Equazione 5 alla luc della definizione di I ( P) # = = + + = pE M[Th - + (Du)T - M -4 El * I = - Allora : 6 (p PE) - Equazione bilancio +pa go. + Le di pao si ottiene un'analoga equazione conservazione della gam Dato che : 4. (pE) = 4. (pdij) = G (pdij) =  Allora l'equazione 6 talvolta si trova espressa come : + D. (pu) + +p = DeTu +p Lezione 3 EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA TOTALE diverse che Esistono forme di "energia" , ma solo l'energia totale è una grandezza si conserva durante processi termodinamici Al Contrario. durante i termodinamici Al contrario durante i termodinamici processi. processi si ( moto ordinato delle assiste a un progressivo degradamento dell'energia meccanica = particelle) in energia interna ( moto ordinato delle particelle in interna = moto disordinato delle parti alle energia = Et = Ei + Em Energia totale Em = Ep + En Energia meccomica b cinetica energia * energia potenziale Queste (scalari) forma specifica del corpo considerato quantità possono anche esser espresse in , riferite alla massa et = E Per corpi omogenei queste energie specifiche erano state calcolate come : li = CrT lp gz= lk = 14 Il primo principio della termodinamica dice che solo l'energia totale sia una grandezza conservata. e S pal La variazione nel tempo di E' : ame) pe Ot do (n) In un sistema isolato , e El si conserva Per sistemi E può flussi continui e aperti , variare in seguito a attraverso OM : 7 ped = Gl · hanno termini Non si sorgente/pozzo : equazione conservativa so , dato che vettorale es è scalare (termodinamica dell'equilibrio Con E = E(pee) = Ea + Eterm + Fie i Flusso dovuto a energia meccanica : fluso meccanico Flusso dovuto interna fluno termico a energia : Flusso avvettivo dovuto a compo di moto I · FLUSSO AVVETTIVO PlAER3 e dunque : Fa Pe = · FLUSSO TERMICO (DIFFUSIVO term = = - XXT Modello DI FOURIER Anche espresso come q -CADT : = conducibilità Data la diffusività termica L 1 X : termia : Calore specifico A Cp p Costante = : PCp 1) trasporto di quantità di è moto governata da J [m/s] , uneosità cinematica mentre il trasporto di calore ( = en interna) da : ↓ [m2/s] diffusività termea , Dunque Prante forze" tra questi fenomeni trasporto il numero di regolerà il "rapporto di due di : Pr = = M = Il modello di Fourier , enendo fenomenologico e non ricavato da principi primi , ha alcune limitazioni. Ad esempio , con questo modello le perturbazioni del campo di temperatura si trasportano con velocità infinita ossia istantaneamente , questa enonca approssimazione non è tollerabile alla nomoscala , in cui anche eventi su vala temporale dei 10-s sono "importanti" : in questo loso si al modello diCattaneo (derivate secondo ordine ( passa Il flusso meccanico deriva dalle deformazioni esterne sulla frontiera e può ener calcolato : Emech =I -I Riprendendo l'equazione 7 e rostituendo i flessi trovati o ped (pe ped = D (pe)d FORMA INTEGRA. & (e +I e) + FORMA LOCALE Si può esprimere I = Il #P + = - Tu PE-In = Dunque pey) ( +D (pe + = ↳ U & (-q +) e) (pet pU) Equazione Do totale + + = di conservazione dell'energia in forma locale (o differenziale) Com 9--XXT SISTEMA DI EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES-FOURIER sforzi l'equazione della di Farcier modello Navier corresse il tensore degli , Stolles introdusse quantità moto e il flusso di calore +D (pu I Opu)D(p) +1. (peu pe) + +Dp =M. =D p ( / Com i modelli Iv = -I = p) (Du + ut- ME) XXT q = - = - g(2DT Questo è un problema ben posto, in quanto si hanno 5 equazioni lineamente indipendenti per 5 incognite. Come incognite si può ecogliere (p , 1 , Ct) oppure (p. U, T) Dove la prima scelta è più semplice da risolvere ma pui difficile da misurare , e viavesa la seconda. Si vuole dimostrare che il sistema NSF appena introdotto sia un invariante galileano. Data la forma molto simile delle tre del sistema analizza equazioni NSF , si una grandezza I generica 204 (pp) 1 Al momento ci troneurono altri componenti dell'equazione di +. = generici bilancio/conservazione +4 (pui + p = = p +y ( +D (py)) pu = + +p 44 = p) o per conservazione della massa ↓ derivata lagangioma Dunque : - Derivate culerione + flussi avvettivi Derivate lagrangiame t invarianti galileioni da compo di moto derivate - Altri componenti delle > - parziali nello spazio - invarianti galileiome equazioni del sistema NSF Perciò il sistema NSF è invariante galileiamo Applicando il precedente procedimento alle tre equazioni di NSF , raccogliendo le derivate lagrangione : S = Sistema - p NSF , approccio lagrangiamo = & -D. (Si racroghe I = PE-Mu) pet = -D. (  EQUAZIONI DI BILANCIO DELL'ENERGA MECCANICA discriminare le base Non è possibile prestazioni di due dispositivi sulla dell'energia totale base di conservata ossia sulla una quantità. Dispositivo 1 · flusso in usata 1 Flusso in ingresso flusso in useita 2 · Dispositivo 2 a (7(1) ) indipendentemente In condizioni stazionarie :. ndS = f(4) - S dal dispositiv e In questi casi è qui interessante riscrivere l'equazione dell'energia in or forme rapporto conservate ad Non , quali esempio l'energia meccanica Cm = 2x + lp Anche perché la forma "utile" l'energia meccanica è di energia più nella progettazione mecronica Sull'energia cinetica : en = 1 u = 24 - 1(u = + 42 + u5) E riprendendo l'equazione di bilancio della quantità di moto in forma lagrangiana plu -D. = + pu = -D I. Per calcolare l'energia cinetica (R) , si proietta la quantità di moto (IR") su p + D). N = + p utilizzando la notazione di Einstein diventa : S pini (puy. )ui = iji + + il i per definizione en = U - 4 = qui li & (iii) = Geniii) i Den : = Inoltre : Uj -UjU  Sostituendo in equazione 8 Si ottiene : g = (DoE) H + pa 4 - - - In forma più espliata i termini a destra dell'equazione 9 si considera che il compo esterno sia conservativo che significa che Non ha tutti i suoi componenti liberi ma alcuni sono vincolati : considerando la forza di gravità : è diretta verso il centro della Terra , allora & Tep con a= accelerazione di gravità 8 - = , Dunque l'equazione 9 diventa : O (D) · -prep e = p(den + ter) = DI)- P & [de + u Tektep)(D). Visto che ep non varia nel tempo Dep = o den = Dem 10 ↑ Analizzando il destra estrae ancora termine a dell'uguale si dalla divergenza la quantità non conservata dell'equazione dell'energia meccanica : (5)Ui↓ Quiij =E CjUi) (7 Il =i) Ti = - - & Oxj XJ * Derivata prodotto ha due funzioni # è simmetrica Dunque : (DE). U = D (4). - I : DU ↑ doppio prodotto realore Sostituendo in 10 equazione (I) pClem = -D. oppure utilizzando la definizione di derivata lagrangiama &em Equazione di bilomeno dell' + M.