Éléments d'analyse vectorielle PDF

Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Éléments d'analyse vectorielle Mohamed Mebrouki EPST Tlemcen 1 septembre...

Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Éléments d'analyse vectorielle Mohamed Mebrouki EPST Tlemcen 1 septembre 2015 Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Grandeur scalaire : Grandeur physique complètement dénie en un point de l'espace au moyen d'un nombre indépendamment de toute direction ; exemples : le temps, la masse, la pression, l'énergie cinétique, l'énergie potentielle, la température, etc... On peut les additionner, les soustraire, les multiplier, les diviser, etc... Grandeur vectorielle : Grandeur physique complètement dénie par sa longueur (module, norme), sa direction (droite portant le vecteur) et son sens de parcourir la direction ; exemples : la vitesse d'un mobile, son accélération, la force agissant sur le mobile, la variation de la température, etc... Grandeur tensorielle : On s'en che complètement...... ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Notions de référentiel et de repère En physique, un référentiel est un corps solide dans lequel un observateur fait des expériences (laboratoire, ascenseur, train, terre, etc· · · ) On dote ce corps solide d'un système de trois (03) axes (non coplanaires) de coordonnées de l'espace dont l'origine est xée sur ce même corps. Ce système d'axes de coordonnées est appelé repère spatial. En fait, ces trois axes de coordonnées n'ont aucune réalité physique ; ce ne sont que des outils mathématiques permettant d'étudier le mouvement d'un mobile. Il existe un autre repère dit repère temporel, qui sert à mesurer le temps par rapport à une origine (début). En mécanique classique, le temps est absolu (universel), c'est-à-dire qu'il est partout le même et quelle que soit l'état du mobile. Dans ce cas, on se limite au repère spatial. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Il est possible d'avoir des repères détachés du référentiel choisi. C'est ainsi, qu'on peut, dans un problème de mécanique, utiliser une multitude de repères attachés de manières arbitraires à des mobiles dans un seul référentiel ! Un cas particulier de référentiels est le référentiel galiléen doté d'une base orthogonale de trois vecteurs orthonormés (orthogonaux les uns aux autres avec une longueur égale à l'unité de mesure) d'espace. Un référentiel galiléen est un référentiel où un corps, soumis à aucune force (isolé), est en translation rectiligne uniforme. Le référentiel terrestre, centré en un point de la terre, peut être considéré comme galiléen lorsque la durée de l'expérience est très inférieure à la période de rotation de la terre. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Composantes d'un vecteur : En physique, on choisit (généralement, mais pas tout le temps !), pour l'espace à trois dimensions, un système d'axes rectangulaires d'origine O et muni d'une base orthonormée constituée de trois vecteurs unitaires (de module égal à l'unité) et perpendiculaires entre eux : ~, ~ et i j ~k. Ce qui permet de dénir les composantes suivant les coordonnées cartésiennes x, y et z , d'un vecteur A~ comme suit : A~ = Ax~i + Ay~j + Az ~k Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Composantes du vecteur A ~ dans un système de coordonnées cartésiennes Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Trièdre direct Par convention, un trièdre direct est construit sur la base de trois vecteurs i j unitaires ~, ~ et ~k i j en dirigeant ~ selon l'index , ~ selon le majeur et ~k selon le pouce de la main droite. On peut passer d'un trièdre direct vers un autre trièdre direct moyennant des rotations physiques autour d'un axe quelconque. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Trièdre indirect : Il est impossible de passer d'un trièdre direct vers un trièdre indirect à travers des rotations physiques. En eet, pour passer d'un trièdre direct vers un trièdre indirect on doit inverser la direction d'un des axes (opération non physique !) Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Module d'un vecteur : Le module (la norme ou la longueur) d'un vecteur A~ = Ax~i + Ay~j + Az ~k est donné par : |A A2x + A2y + A2z q ~| = Le module d'un vecteur est toujours positif ! ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Direction d'un vecteur : Le vecteur unitaire ~u indiquant la direction (et le sens) d'un vecteur A~ est donné par : A~ Ax~i + Ay~j + Az ~k ~u = = q |A~| A2x + A2y + A2z tel que A~ = |A~ |~u Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles On appelle cosinus directeurs du vecteur A~ les quantités suivantes :  Ax  cos α =q A2x + A2y + A2z      Ay     cos β = q  A2x + A2y + A2z Az     cos γ = q   A2x + A2y + A2z    tels que α A~ avec l'axe des x , β l'angle que est l'angle que fait le vecteur fait le vecteur A ~ avec l'axe des y et γ l'angle que fait le vecteur A ~ avec l'axe des z. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Produit scalaire Comme pour le cas où on multiplie un scalaire par un autre, il existe une opération mathématique faisant intervenir deux vecteurs A~ et B~ appelée produit scalaire et dénie comme suit : A~ · B~ ≡ |A~ ||B~ | cos θ scalaire où |A ~| et |B ~| sont les modules des vecteurs A~ et B~ , respectivement, et θ le plus petit angle entre eux. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles |A ~ | cos θ est la valeur de la projection du vecteur A~ sur le vecteur B~ en unité de B~ , c-à-d de combien le vecteur B~ contribue au vecteur A~ Produit scalaire Une autre manière de calculer le produit scalaire entre deux vecteurs A~ et B~ est donnée par : A~ · B~ = (Ax~i + Ay~j + Az ~k ) · (Bx~i + By~j + Bz ~k ) A~ · B~ = Ax Bx~i · ~i + Ax By~i · ~j + · · · + Ay Bz~j · ~k + · · · + Az Bz ~k · ~k ce qui donne A~ · B~ = Ax Bx + Ay By + Az Bz scalaire ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles puisque ~i · ~i = ~j · ~j = ~k · ~k = 1, et ~i · ~j = ~i · ~k = ~j · ~k = 0 i j car les vecteurs ~, ~ et ~k sont unitaires et perpendiculaires entre eux. En plus, le produit scalaire nous permet de réécrire un vecteur A~ = Ax~i + Ay~j + Az ~k sous la forme : A~ = (A~ · ~i )~i + (A~ · ~j )~j + (A~ · ~k )~k Comme il nous permet aussi d'écrire le module d'un vecteur sous la forme : |A A~ · A~ p ~| = Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Produit vectoriel C'est une combinaison entre deux vecteurs A~ et B~ qui donne un troisième vecteur C~ perpendiculaire au plan contenant les deux vecteurs A~ et B~. Par dénition C~ =A ~ ∧B ~ ≡ |A ~ ||B ~ | sin θ ~u θ est l'angle le plus petit entre les deux vecteurs et ~u le vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant les deux vecteurs A~ et B~. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles La direction de C~ est, par convention, choisie dans le sens de progression d'un tire-bouchon qui tournerait de A~ vers B~. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Le vecteur C~ est dit plutôt un pseudo-vecteur, puisque son sens est déni par convention (il n'a pas une réalité physique ! ! !) Produit vectoriel Le vecteur résultant d'un produit vectoriel peut être obtenu par la technique du déterminant : ~i ~j ~k C~ =A ~ ∧B ~ = Ax Ay Az. Bx By Bz tel que C~ =A ~ ∧B ~ = (Ay Bz − Az By )~i − (Ax Bz − Az Bx )~j + (Ax By − Ay Bx )~k Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Dans le cas où les deux vecteurs A~ et B~ sont parallèles (θ = 0) ou antiparallèles (θ = π) : A∧B =0 ~ ~ ~ Le produit vectoriel n'est pas commutatif : A~ ∧ B~ = −B~ ∧ A~ Géométriquement, le module du vecteur A~ ∧ B~ (|A~ ||B~ | sin θ) est une mesure de la surface délimitée par ces deux vecteurs A ~ et B ~. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Produit mixte : C'est une opération mathématique faisant intervenir trois vecteurs A~ , B~ et C~ de la manière suivante : V =A ~ · (B ~ ∧C ~) scalaire ! Le produit mixte est invariant par permutation circulaire, c-à-d : A~ · (B~ ∧ C~ ) = C~ · (A~ ∧ B~ ) = B~ · (C~ ∧ A~ ) Le produit mixte mesure le volume construit sur la base des trois vecteurs A~ , B~ et C~. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Produit vectoriel double : On le dénit par la formule suivante : D~ = A~ ∧ (B~ ∧ C~ ) vecteur ! Selon la formule de Gibbs, le vecteur D~ s'écrit : D~ = B~ (A~ · C~ ) − C~ (A~ · B~ ) lire BAC-CAB ! Champs de vecteurs Généralement, les grandeurs vectorielles (et même les grandeurs scalaires !) sont dénies en tout point de l'espace. De ce fait, elles changent de module, de direction et de sens d'un point à un autre. Mathématiquement, on les représentent par des vecteurs en tout point : c'est ce qu'on appelle un champ vectoriel. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Exemple d'un champ vectoriel : A ~ (x , y , z ) = −y~i + x~j Exemple A~ (x , y , z ) = −y~i + x~j est un champ vectoriel avec les composantes Ax (x , y , z ) = −y et Ay (x , y , z ) = x varient d'un point à un autre (Az (x , y , z ) = 0). Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Au point (1,1,1), la grandeur vectorielle représentée par le champ vectoriel A~ est donnée par le vecteur : A~ (1, 1, 1) = −~i + ~j Remarque Le champ vectoriel est déni en tout point de l'espace (ex : variation de la température dans une pièce !), alors qu'un ensemble de vecteurs représentant, par exemple, l'état de mouvement d'un ensemble de particules n'est pas un champ vectoriel, car ces vecteurs ne sont dénis qu'aux points où se trouvent les particules elles-mêmes ! ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Pourquoi intéresse-t-on à d'autres systèmes de coordonnées ? Le système de coordonnées cartésiennes est très utile dans l'étude de mouvement rectiligne. Cependant, il existe des situations physiques (rotations en mécanique, calcul du champ électrique en électrostatique, magnétostatique, mécanique des uides, physique atomique...) où l'utilisation de ce système s'avère inutilement complexe. Il serait donc plus utile de se pencher sur d'autres systèmes de coordonnées an de faciliter l'étude de ces situations. Dans ce qui suit on s'intéresse à trois systèmes de coordonnées physiques, à savoir : système de coordonnées cartésiennes (dites rectangulaires) et systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques (dites curvilignes). Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Système de coordonnées cartésiennes Un point M de l'espace est repéré par trois coordonnées rectangulaires x, y et z , tel que : −−→ OM = x~i + y~j + z ~k (vecteur position ) i j où ~, ~ et ~k sont des vecteurs unitaires (de module égal à l'unité) et perpendiculaires entre eux, rapportés à l'origine xe O , et dont les directions respectives sont xes. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Les vecteurs unitaires ~, ~ eti j ~k vérient les relations suivantes : ~i ∧ ~j = ~k , ~k ∧ ~i = ~j , et ~j ∧ ~k = ~i Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Un déplacement innitésimal du point M vers un point M 0 est donné par : −−→0 MM = d~l = dx~i + dy~j + dz ~k Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Un volume innitésimal est un parallélépipède de volume : dV = dx dy dz En déplaçant ce parallélépipède dans toutes les directions, on peut recouvrir tout l'espace sans faille (vide) Ce parallélépipède a trois surfaces élémentaires : dSx = dy dz , dSy = dx dz et dSz = dx dy où l'indice en S indique la direction normale (perpendiculaire) à la surface ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Trois surfaces élémentaires limitant le volume élémentaire dV = dx dy dz dans le système de coordonnées cartésiennes Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Coordonnées cylindriques Un point M dans l'espace est repéré par trois coordonnées :ρ, θ et z auxquelles on accorde trois vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux, ~uρ , ~uθ et ~uz , respectivement, dirigés dans le sens de la variation des coordonnées (appelée ligne de coordonnée), tels que : 0 ≤ ρ ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π et −∞≤z ≤∞ et ~uρ ∧ ~uθ = ~uz , ~uz ∧ ~uρ = ~uθ , et ~uθ ∧ ~uz = ~uρ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Disposition des vecteurs du repère de coordonnées cylindriques par rapport au repère de coordonnées cartésiennes Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Le vecteur position d'un point M s'écrit : −−→ OM = ρ~uρ + z~uz On peut exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées cylindriques comme suit : x = ρ cos θ  x = ρ cos θ   z =z ainsi que les vecteurs unitaires  ~uρ = cos θ~i + sin θ~j   ~uθ = − sin θ~i + cos θ~j  ~u = ~k  z Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Un déplacement innitésimal entre les points M et M 0 est donné par : −−→0 MM = d~l = d ρ~uρ + ρd θ~uθ + dz ~uz Figure : déplacement innitésimal dans le système de coordonnées cylindriques Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Les surfaces élémentaires sont : dSρ = ρd θdz , dSθ = d ρdz , et dSz = ρd ρd θ Figure : Volume et surfaces élémentaires dans le système de coordonnées cylindriques Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Le volume élémentaire est égal à : dV = ρd ρd θdz Coordonnées sphériques Un point M dans l'espace est repéré par trois coordonnées : , r θ et ϕ auxquelles on accorde trois vecteurs unitaires perpendiculaires entre eux, ~ur , ~uθ et ~uϕ , respectivement, dirigés dans le sens de la variation des coordonnées (appelée ligne de coordonnée), tels que : 0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤θ≤π et 0 ≤ ϕ ≤ 2π et ~ur ∧ ~uθ = ~uϕ , ~uϕ ∧ ~ur = ~uθ , et ~uθ ∧ ~uϕ = ~ur Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Le vecteur position d'un point M s'écrit : −−→ OM = r ~ur Figure : Un point M repéré dans un système de coordonnées sphériques Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Contrairement au système de coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques ne sont pas xes ; leurs directions changent selon la position du point considéré Un déplacement innitésimal entre les points M et M 0 est donné par : −−→0 MM = d~r = dr ~ur + r d θ~uθ + r sin θ d ϕ~uϕ Le volume élémentaire est égal à : dV = r2 sin θ drd θd ϕ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Volume et surfaces élémentaires dans un système de coordonnées sphériques Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Les surfaces élémentaires sont : dSr = r2 sin θ d θd ϕ, dSθ = r sin θ drd ϕ, et dSϕ = r dr d θ On peut exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées sphériques comme suit : x =r  sin θ cos ϕ y =r  sin θ sin ϕ  z =r cos ϕ ainsi que les vecteurs unitaires  ~ur = sin θ cos ϕ~i + sin θ sin ϕ~j + cos θ~k   ~uθ = cos θ cos ϕ~i + cos θ sin ϕ~j − sin θ~k  ~u = − sin ϕ~i + cos ϕ~j  ϕ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Diérentielle totale Considérons une grandeur physique représentée par une fonction à trois variables de l'espace (champ scalaire) f (x , y , z ). La variation de f lorsqu'on fait un déplacement innitésimal le long d'un vecteur d ~` = dx~i + dy~j + dz ~k est dénie comme étant la somme des variations de f le long d'une variable tout en considérant les deux autres variables comme constantes, telle que : ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z Ceci est la diérentielle totale de la fonction f. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles ∂f ∂f ∂f , et sont les dérivées partielles de f par rapport à x, y et z, ∂x ∂y ∂z respectivement. Attention ! df est appelée diérentielle totale exacte car la fonction f ne dépend que des positions x, y et z (l'état actuel des choses) et non pas de l'historique qui a mené à cette valeur de f en ces coordonnées. Mathématiquement, cela a une conséquence sur les dérivées deuxièmes mixtes (croisées) de f par rapport aux coordonnées x, y et z , à savoir : ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f = , = et = ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Gradient d'une fonction Remarquons que la diérentielle totale df de f peut se mettre sous la forme : ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~   df = i+ j+ k · (dx~i + dy~j + dz ~k ) ∂x ∂y ∂z ou encore −−→ df (x , y , z ) = gradf · d~l −−→ f (gradf ) consiste à fabriquer un Le  gradient d'une fonction scalaire vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de f par rapport aux coordonnées x , y et z , soit : −−→ ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ gradf ≡ i+ j+ k (vecteur ) ∂x ∂y ∂z Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles On dénit un opérateur ~ ∇ (lire nabla !) comme suit : ~ = ∂ ~i + ∂ ~j + ∂ ~k ∇ ∂x ∂y ∂z tel que −−→ gradf ~f =∇ ~ ∇ est un vecteur dont les composantes ne sont que des dérivées ! ! ! df ~ f · d~l = |∇ =∇ ~ f ||d~l | cos θ La variation de d f est maximale lorsque cos θ = 1, c'est à dire lorsque ~f ∇ et d~l sont colinéaires (dans le même sens) Le gradient ~f ∇ donne la direction de la variation maximale de f Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Le gradient en coordonnées cylindriques : ~ f = ∂ f ~uρ + 1 ∂ f ~uθ + ∂ f ~uz ∇ ∂ρ ρ ∂θ ∂z. Le gradient en coordonnées sphériques : ~ f = ∂ f ~ur + ∇ 1 ∂f ~u + 1 ∂f ~u ∂r r ∂θ θ r sin θ ∂ϕ ϕ Divergence d'un vecteur En faisant opérer l'opérateur vecteur ~ ∇ sur un vecteur A~ à travers un produit scalaire, on trouve : ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az   ~ ·A ∂~ ∂ ∂ ∇ ~ ≡ i + ~j + ~k · (Ax~i + Ay~j + Az ~k ) = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Divergence en coordonnées cartésiennes On appelle ~ ·A ∇ ~ divergence du vecteur A~ : ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az div A~ = ∇ ~ ·A ~ = + + (scalaire ) ∂x ∂y ∂z Divergence en coordonnées cylindriques : 1 ∂ 1 ∂ Aθ ∂ Az ~ ·A ∇ ~ = (ρAρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂z Divergence en coordonnées sphériques : ~ ·A 1 ∂ 1 ∂(sin θAθ ) 1 ∂ Aϕ ∇ ~ = (r 2 Ar ) + + r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Attention ! ! ! Dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques, la divergence d'un vecteur A~ n'est plus un simple produit scalaire entre un opérateur ~ ∇ et le vecteur A~ , car les vecteurs unitaires dans ces deux systèmes de coordonnées changent de directions d'un point à un autre dans l'espace, contrairement aux vecteurs unitaires dans le système de coordonnées cartésiennes qui, eux, sont xes ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Rotationnel d'un vecteur En faisant opérer l'opérateur vecteur ~ ∇ sur un vecteur A~ à travers un produit vectoriel, on trouve :   ∂~ ∂ ∂ Rot ~ A ~ ∧A ~ =∇ ~ ≡ i + ~j + ~k ∧ (Ax~i + Ay~j + Az ~k ) ∂x ∂y ∂z ce qui donne ~i ~j ~k ~ ∧A ~ = ∂ ∂ ∂ ∇. ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Rotationnel en coordonnées cartésiennes A~ s'écrit : Le rotationnel de ∂ Az ∂ Ay ~ ∂ Az ∂ Ax ~ ∂ Ay ∂ Ax ~       ∇∧A= ~ ~ − i− − j+ − k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Rotationnel en coordonnées cylindriques : ∂ Az ∂ Aϕ ∂ Aρ ∂ Az ∂ Aρ       ~ A 1 1 ∂ ∇∧ ~ = − ~uρ − − ~uϕ + (ρAϕ ) − ~uz ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂ρ ρ ∂ρ ∂ϕ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Rotationnel en coordonnées sphériques : ∂(sin θAϕ ) ∂ Aθ ∂ Ar ∂(rAϕ )     1 1 1 ~ ∧A ∇ ~ = − ~ur + − ~uθ + r sin θ ∂ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ ∂r ∂(rAθ ) ∂ Ar   1 − ~uϕ r ∂r ∂θ Attention Dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques, le rotationnel d'un vecteurA~ n'est plus un simple produit vectoriel entre un ~ et le vecteur A opérateur ∇ ~ , car les vecteurs unitaires dans ces deux systèmes de coordonnées changent de directions d'un point à un autre dans l'espace, contrairement aux vecteurs unitaires dans le système de coordonnées cartésiennes qui, eux, sont xes ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Laplacien Par dénition, le Laplacien d'une fonction f est la divergence du vecteur gradient de cette même fonction : −−→ ∆f ≡ div (gradf ) = ∇ ~f)=∇ ~ · (∇ ~ 2f Laplacien en coordonnées cartésiennes ∂2f ∂2f ∂2f ∆f = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Le Laplacien d'un vecteur est donné par : ∆A ~ ≡ ∆Ax~i + ∆Ay~j + ∆Az ~k Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Laplacien en coordonnées cylindriques ∂f ∂2f ∂2f   ∂ 1 1 1 ∆f = + + ρ ∂ρ ρ ∂r ρ2 ∂θ2 ∂z 2 Laplacien en coordonnées sphériques f ∂f ∂2f     ∂ 1 2∂ ∂1 1 ∆f = 2 r + 2 sin θ + r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin2 θ ∂ϕ2 Quelques relations utiles 1 Le rotationnel d'un gradient est toujours nul : ~ ∧ (∇ ∇ ~ f ) = ~0 2 La divergence d'un rotationnel est toujours nulle : ∇ ~ ∧A ~ · (∇ ~) = 0 3 ~ fg ) = f ∇ ∇( ~ g + g∇~f 4 ~ · (f A ∇ ~) = f ∇ ~ ·A ~ + (A ~ f ~ · ∇) 5 ~ ∧A ~ ∧ (∇ ∇ ~ ) = ∇( ~ ∇~ ·A ~ ) − ∆A ~ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Circulation d'un vecteur le long d'un contour La circulation d'un vecteur A~ le long d'un chemin entre les points a et b est dénie comme suit : Zb C ≡ A~ · d ~` a d ~` est le vecteur d'un déplacement innitésimal le long du contour considéré. Exemple Le travail d'une force F~ le long d'une trajectoire est donné par : Zb W = F~ · d ~` a Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Pour un contour fermé, on écrit I C ≡ A~ · d ~` Figure : La circulation le long d'un contour fermé C du vecteur A~ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Cas particulier Si le vecteurA~ dérive d'une fonction scalaire U (un gradient d'une fonction U tel que A~ =∇ ~ U ) on aura : I Zb Za C = A~ · d~l = ~ U · d~l + ∇ ~ U · d~l ∇ a b Mais on sait que dU = ∇ ~ U · d~l ; ce qui donne : I Zb Za C = A~ · d~l = dU + dU = Ub − Ua + Ua − Ub = 0! a b La circulation le long d'un contour fermé d'un vecteur gradient est toujours nulle. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Flux d'un vecteur à travers une surface Le ux d'un vecteur A~ à travers une surface est déni comme suit : ZZ Φ≡ A~ · d ~S d ~S est le vecteur normal à la surface innitésimale appartenant à la surface à travers laquelle le ux est mesuré. Exemple Le débit d'une quantité de matière m à travers une surface : dm ZZ =ρ ~v · d ~S dt où ~v est la vitesse des particules de la matière et ρ sa masse volumique. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Pour une surface fermée, on écrit I Φ≡ A~ · d ~S Figure : Surface fermée à travers laquelle passe un ux du vecteur A ~ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles La convention consiste à prendre le vecteur de l'élément de surface d ~S pointant vers l'extérieur du volume délimité par la surface. Si le ux d'une grandeur vectorielle à travers une surface fermée est positif (le ux sortant est supérieur au ux entrant), on dit qu'on a une source (qui produit, par exemple, de la matière !) Si le ux d'une grandeur vectorielle à travers une surface fermée est négatif (le ux sortant est inférieur au ux entrant), on dit qu'on a un puits (qui avale, par exemple, de la matière !) Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Théorème de divergence (Green-Ostrogradsky) On peut montrer que le ux du vecteur A~ à travers une surface fermée innitésimale est donné par : d Φ = A~ · d ~S = (∇ ~ ·A ~ ) dV où dV est le volume délimité par la surface d ~S. ou encore ~ ·A ~ = dΦ ∇ dV La divergence d'un vecteur A~ en un point est nulle si le ux à travers une surface fermée délimitant un volume innitésimal centré sur ce même point est nul ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles En découpant un volume V en un ensemble de volumes innitésimaux adjacents, on voit bien que le ux d'une grandeur vectorielle A~ qui sort à travers une surface d'un volume innitésimal est considéré comme entrant à travers la même surface du volume innitésimal voisin. De cette manière les ux à l'intérieur du volume total sont tous nuls ; il ne reste que le ux à travers la surface délimitant le volume total. Figure : Les ux à travers les surfaces internes s'entre-annulent Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Cela nous permet d'écrire : I ZZZ Φ= A~ · d ~S = div A~ dV V où V est le volume délimitant la surface fermée. Ceci est la forme intégrale du théorème de divergence Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Théorème de Stokes On peut montrer que la circulation d'un vecteur A~ le long d'un contour fermé innitésimal est donné par : dC =A ~ · d~l = (∇ ~ ∧A ~ ) · d ~S où d ~S est le vecteur normal à la surface délimitée par le contour innitésimal dC. Ce qui donne encore ~ ∧A ~ = dC ∇ d ~S Le rotationnel d'un vecteur A~ en un point est nul si la circulation de A~ le long du contour innitésimal centré sur ce même point est nul ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Interprétation physique du rotationnel d'un vecteur Comme son nom l'indique, le rotationnel d'un vecteur A~ en un point nous renseigne sur la capacité du champ A~ à faire tourner autour d'un axe de rotation un objet mis en ce point ! Figure : Interprétation physique d'un rotationnel d'un vecteur A ~ Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles En découpant une surface S en un ensemble de surfaces innitésimales adjacentes, on voit bien que la circulation d'une grandeur vectorielle A~ le long d'un coté d'une surface innitésimale dans un sens est considérée comme une circulation dans le sens opposé le long du même coté de la surface innitésimale adjacente. Figure : Les circulations internes s'entre-annulent entres elles. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles De cette manière les circulations à l'intérieur de la surface totale S sont toutes nulles ; il ne reste que la circulation le long du contour délimitant la surface totale. Cela nous permet d'écrire : I ZZ C = A~ · d~l = ~ ∧A (∇ ~ ) · d ~S S où S est la surface délimitant le contour fermé. Ceci est la forme intégrale du théorème de Stokes Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Notion d'angle solide La notion d'angle solide est l'extension naturelle dans l'espace de l'angle déni dans un plan dl dθ = R où dl est un arc innitésimal rapporté à un cercle de rayon R. En balayant le cercle ( et plus généralement le plan) à partir d'un point, on aurait fait un angle de 2π rad. Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles De la même manière, on dénit l'angle solide élémentaire d Ω délimité par un cône coupant un élément de surface élémentaire dS située à une distance R de son sommet O comme suit : dS dΩ = R2 indépendant de R et est mesuré en stéradian ( str ). Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles En balayant l'espace à partir d'un point, on aurait fait un angle solide égal à : 4π R2 Ω= = 4π str R2 Pour une surface quelconque (ne faisant pas partie d'une surface d'une sphère), on va imaginer un point d'observation O et un élément de surface dS orienté dans une direction quelconque ~n telle que d ~S = dS ~n. A cet élément de surface on associe un angle solide relatif au point d'observation O : dS 0 dΩ = R2 dS 0 est la projection de la surface élémentaire dS sur le plan dont la normale est suivant le vecteur unitaire ~ur émanant de O , de telle sorte que dS = d ~ S · ~ur. 0 Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles Figure : Une surface quelconque (réelle) dS 0 en rouge et la surface apparente dS (régulière : appartenant à une sphère de rayon R) en noir Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique  Généralités Systèmes de coordonnées physiques Opérateurs mathématiques et théorèmes utiles d ~S · ~ur dS dS~n · ~ur dΩ = = cos θ = R2 R2 R2 n et ~ur. où θ est l'angle entre les deux vecteurs unitaires ~ On peut voir la surface dS comme la surface apparente de dS 0 à un observateur en O. C'est le cas quand vous masquez l'image de la lune par la toute petite doigt de votre main ! ! ! En fait, c'est la surface apparente (à vous) de la lune que vous venez de masquer et non pas la surface réelle de la lune ! Mohamed Mebrouki Électrostatique et magnétostatique