ANALISIzero - Limiti e Derivate PDF

LEZIONE 3 1. LIMITI, cosa sono e a cosa servono…… e perché esistono? Ew. I limiti studiano il comportamento dei valori di y in base ai valori che assume la x Esempio: consideriamo la retta y=x+2 lim 𝑥𝑥 + 2 = 4 𝑥𝑥→2...

LEZIONE 3 1. LIMITI, cosa sono e a cosa servono…… e perché esistono? Ew. I limiti studiano il comportamento dei valori di y in base ai valori che assume la x Esempio: consideriamo la retta y=x+2 lim 𝑥𝑥 + 2 = 4 𝑥𝑥→2 Tradotto : ‘Quanto vale la y (la quantità x+2) quando il valore di x si avvicina a 2?’ Altri esempi: lim 𝑥𝑥 2 ; lim 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥→−1 Semplice, dov’è il problema? lim −2𝑥𝑥−5 Questa funzione ha un asintoto verticale per x=5 𝑥𝑥→5 𝑥𝑥−5 e questo si può notare sia dal grafico che dal dominio della funzione. E cosa succede se volessimo calcolare questo limite? Se si sostituisce x=5 all’equazione, il risultato 15 sarebbe − 0 (questo problema si riscontra anche nelle funzioni con i salti e i punti di discontinuità) La x di una funzione può tendere o a ±∞ o a un numero finito 𝒙𝒙𝟎𝟎. Nel primo caso abbiamo 4 possibili finali: 1. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→+∞ 2. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞ 𝑥𝑥→+∞ 1. 2. 3. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = L numero finito 𝑥𝑥→+∞ 4. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∄ (come seno e coseno) 𝑥𝑥→+∞ 3. 4. Fino a qui tutto semplice, no? Limiti di funzioni tendenti a + ∞ lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→+∞ Requisito principale affinchè una funzione, con x tendente ad infinito, tenda anch’essa ad infinito: Fissiamo una qualsiasi ordinata M, con conseguente ascissa 𝑥𝑥0. Quando x> 𝑥𝑥0 , il resto della funzione deve essere sempre al di sopra della quota fissata M. Per cui y>M. Stessa cosa avviene per i limiti di funzioni tendenti a -∞ Gli intorni Si chiama Intorno centrato in 𝒙𝒙𝟎𝟎 , di raggio σ, l’intervallo aperto (𝒙𝒙𝟎𝟎 - σ , 𝒙𝒙𝟎𝟎 + σ) Si chiama Intorno di -∞, l’intervallo aperto (-∞, M) = {x ∈ R : x < M} Si chiama Intorno di +∞, l’intervallo aperto (M, + ∞) = {x ∈ R : x > M}  Diamo ora la definizione ufficiale del limite! Sia f: Dom(f) ⊆ ℝ→ ℝ * punto di accumulazione del Dominio e sia 𝑥𝑥0 ∈ ℝ Diciamo che: lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 ∈ ℝ 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Se a ogni intorno di 𝑦𝑦0 corrisponde un intorno di 𝑥𝑥0 all’interno del dominio. o R esteso : comprende sia i numeri finiti L sia i valori ±∞ *ℝ Quindi, se riprendiamo la slide di prima... lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→+∞ , diciamo che: Sia f: Dom(f) ⊆ ℝ→ ℝ lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ 𝑥𝑥→+∞ Se per ogni M>0, esiste 𝑥𝑥0 >0 tale che: 𝑥𝑥 ∈ 𝑥𝑥0 , +∞ ∩ Dom f ⇒ f(x)>M intorno di +∞ intorno di +∞ nelle ordinate nelle ascisse Limiti di funzioni continue Una funzione è continua in un punto 𝑥𝑥0 quando: 1. 𝑥𝑥0 appartiene al dominio della funzione 2. Limite destro e limite sinistro della funzione coincidono 3. lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 Questa è una funzione continua nell’intervallo [0,20] ALT, questa funzione ha un buco… Si tratta di un punto di discontinuità! È una funzione discontinua.  Punti di Discontinuità I specie: il salto II specie: II specie: il buco Per 𝑥𝑥 → 0, almeno uno dei due limiti, Esiste il limite di f(x) per 𝑥𝑥 → 0 lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙1 ≠ lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙2 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑥𝑥→𝑥𝑥0 + destro o sinistro, ed è finito è infinito o non esiste. MA o la funzione non è definita in 𝑥𝑥0 oppure 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 ≠ 𝑙𝑙  Ma ehy, ci sono FUNZIONI SEMPRE CONTINUE! Ovvero funzioni come polinomi, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche Insieme alle loro composizioni eh sì amici, loro saranno una delle poche certezze che avrete nella vostra vita  METTIAMO TUTTO IN PRATICA Se nella risoluzione del limite, sostituendo 𝑥𝑥0 a x, il denominatore non si annulla… …è la cosa più bella che possa capitarvi  𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥 Esempi: lim ; lim 𝑥𝑥→2 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥+2 Se il denominatore si annulla… possiamo distinguere due casi: 1. Si annulla SOLO il denominatore 2. Si annullano denominatore e numeratore Quindi otteniamo la Per cui bisogna calcolare sia il limite destro, 0 che il limite sinistro della funzione FORMA INDETERMINATA 0 𝑥𝑥+1 Es. lim Cosa facciamo? Scomponiamo il limite. 𝑥𝑥→2 2−𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 −3𝑥𝑥+2 Es. lim 𝑥𝑥→1 𝑥𝑥 2 −1 E se nel limite dobbiamo sostituire ±∞ a x? Spoiler: incapperete brutalmente in forme indeterminate… senza pietà. Chi sono le forme indeterminate? 𝑛𝑛 𝑛𝑛 0 ∞ Forme utilissime per la risoluzione dei limiti: =∞ ; =0 ; =0 ; =∞ 0 ∞ ∞ 0 E se nel limite dobbiamo sostituire ±∞ a x? In questi casi è utile osservare il comportamento dei termini di grado massimo della funzione. Ci troviamo nel caso della forma indeterminata ∞ − ∞. lim 𝑥𝑥 3 − 5𝑥𝑥 2 + 1 Il termine di grado massimo in questo caso è 𝑥𝑥 3 , che 𝑥𝑥→+∞ Si avvicina a ±∞ molto più velocemente rispetto agli altri termini Per cui possiamo prevedere che il limite sia uguale a +∞ Nel caso delle funzioni razionali? ∞ Ci troviamo nel caso della forma indeterminata. ∞ Abbiamo il termine di grado massimo 𝑥𝑥 3 a numeratore 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 − 3 lim e il termine 𝑥𝑥 2 a denominatore. 𝑥𝑥→+∞ 2𝑥𝑥 2 − 5 Il numeratore arriva a ±∞ molto più velocemente rispetto al denominatore ∞ Per cui possiamo prevedere che il limite sia uguale a = ∞ 0  ∞ Ci troviamo nel caso della forma indeterminata. ∞ Abbiamo il termine di grado massimo 𝑥𝑥 6 a denominatore 𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 lim e il termine 𝑥𝑥 3 a denominatore. 𝑥𝑥→−∞ 5𝑥𝑥 6 − 1 Il denominatore arriva a ±∞ molto più velocemente rispetto al numeratore 0 Per cui possiamo prevedere che il limite sia uguale a = 0 ∞ ∞ Ci troviamo nel caso della forma indeterminata. ∞ 2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 lim Abbiamo il termine di grado massimo 𝑥𝑥 2 sia a numeratore che a denominatore. 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥 2 + 1 In questo caso valutiamo solo i coefficienti dei suddetti termini. 2 Per cui possiamo prevedere che il limite sia uguale a = 1 1 E se nel limite dobbiamo sostituire ±∞ a x con logaritmi, potenze ed esponenziali? Qui avremo le seguenti priorità da seguire: log 𝑎𝑎 𝑥𝑥 0, 𝑐𝑐 > 1 Per cui l’esponenziale si avvicinerà ad infinito molto più velocemente rispetto alla potenza, che a sua volta arriverà ad infinito più velocemente rispetto all’esponenziale. E lo possiamo vedere pure dal grafico! Ora saprai sempre qual è il termine preponderante in assoluto! e𝑥𝑥 −𝑥𝑥 2 Es. lim 𝑥𝑥 6 − 6𝑥𝑥 ; lim 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥→+∞ 3𝑥𝑥+ln 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 +3 lim 𝑥𝑥→+∞ log2 𝑥𝑥−2𝑥𝑥 Limiti di funzioni composte Una funzione h(x) si dice composta quando si presenta come un insieme di più funzioni, “una dentro l’altra”, cioè quando l’argomento di una funzione è un’altra funzione: h(x)=f(g(x)). Valutiamo il comportamento delle funzioni dalla più interna a quella più esterna: 1. Calcoliamo il limite della funzione interna g(x) e la rinominiamo y (cambio di variabile) 2. Calcoliamo poi il limite della funzione esterna f(y) x2 +1 3 Es. lim cos =1 ; lim e 2x2 −x x→+∞ ex x→+∞  Strumenti utili per la risoluzione dei limiti Teorema dei Carabinieri : date le tre funzioni f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) se lim 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥→+∞ allora anche lim ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 𝑥𝑥→+∞  Strumenti utili per la risoluzione dei limiti Limiti notevoli: 2. Le derivate La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto considerato. Ricordate la formula della retta passante per un punto? y-f(𝑥𝑥0 )=m(x- 𝑥𝑥0 ) E come trovo m? Fissiamo un secondo punto nel grafico, così da trovare la retta secante: Δ𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 𝑚𝑚 = = Δ𝑥𝑥 ℎ rapporto incrementale Ipotizziamo di far avvicinare il secondo punto al primo punto finchè non coincidono: ora possiamo trovare la derivata 𝑓𝑓 𝑥𝑥 +ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥0 lim 0 ℎ→0 ℎ  Attention please Una funzione non è derivabile quando il limite destro e sinistro della derivata prima non coincidono. Un punto in cui i suddetti limiti non coincidono prende il nome di punto di non derivabilità.  Attention please Esistono anche le derivate di ordine superiore al primo: Si tratta di derivate di derivate, e alcune funzioni possono essere anche infinitamente derivabili! (in realtà è uno scam, semplicemente da un certo punto in poi, non importa quante volte si derivi una funzione, avranno sempre valore pari a 0) Derivate di funzioni elementari Derivate di funzioni composte 3. Limiti e Derivate per lo … STUDIO DI FUNZIONII Consiglio per lo studio di funzioni: il grafico è essenziale. In base al grafico potrete intuire gli eventuali asintoti e i vari comportamenti della funzione! 3.1. ASINTOTI Ci sono 3 tipi di asintoti : Verticali, Orizzontali e Obliqui e possono essere solo a destra, solo a sinistra o bilateri Se il dominio è formato da uno o più intervalli aperti limitati dobbiamo calcolare i limiti in tutti gli estremi degli intervalli di definizione, sia da destra sia da sinistra e controllare se ci sono asintoti verticali. 1 Es. f(x) = , con Dom = (+∞,0)(0,-∞) per cui 0 non fa parte del dominio 𝑥𝑥 Sia da destra che da sinistra, il limite per 𝑥𝑥 → 0 esiste ed è uguale a ±∞ L’ASINTOTO VERTICALE ESISTEE E qui l’asintoto verticale esiste??  Es. f(x) = 𝑥𝑥 2 Se il dominio è illimitato inferiormente o superiormente si dovranno calcolare i limiti per 𝑥𝑥→±∞ e controllare se ci sono asintoti orizzonali. Anche qui, controlliamo se il limite esiste solo a destra, solo a sinistra o da entrambi i lati. !!! Per esistere l’asintoto orizzontale, il limite per 𝑥𝑥→±∞ deve tendere a un numero finito!!! E se l’asintoto orizzontale non esiste (e quindi il limite tende ad ∞) che succede?  EASY! C’è sicuramente l’asintoto obliquo!! Ricordate l’equazione della retta? y = mx+q 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑚𝑚 = lim = 𝑙𝑙 𝑞𝑞 = lim f x − mx = k 𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥 𝑥𝑥→+∞ Sostituiamo i valori nell’equazione, e il gioco è fatto! !!! Alcune volte l’asintoto orizozntale può esistere a destra ma non a sinistra per cui l’asintoto obliquo esisterà solo a sinistra e non a destra (o viceversa) !!!  E le derivate a che servono? Studiamo la Derivata prima (nei punti del dominio in cui 𝑓𝑓(x) è derivabile) per stabilire la monotonia di 𝑓𝑓(x). Negli intervalli in cui 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)>0 , 𝑓𝑓(x) è crescente Negli intervalli in cui 𝑓𝑓′(𝑥𝑥)0 , 𝑓𝑓 è convessa (sta sopra la retta tangente) Negli intervalli in cui 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)