نتائج دراسة معادلات لاگرانج و أنظمة القيود PDF

‫اهم النتائج بعد دراسه معادالت الجرانج وانظمه القيود ‪:‬‬ ‫‪ )1‬عندما نقول اقصر مسافه بين نقطتين في المستوى خط مستقيم المعنى الفيزيائي لذلك انه هذا المسار‬ ‫له قيمه صغرى‬ ‫‪ )2‬بعد دراسه معادالت الجرانج اتضح ان قانون نيو...

‫اهم النتائج بعد دراسه معادالت الجرانج وانظمه القيود ‪:‬‬ ‫‪ )1‬عندما نقول اقصر مسافه بين نقطتين في المستوى خط مستقيم المعنى الفيزيائي لذلك انه هذا المسار‬ ‫له قيمه صغرى‬ ‫‪ )2‬بعد دراسه معادالت الجرانج اتضح ان قانون نيوتن الثاني يكافي معادالت الجرانج إليجاد معادالت‬ ‫الحركه‬ ‫‪ )3‬بعد دراسه القيد أنواعه ومعادالته ظهرت لنا درجات الحريه والتي تعني عدد االحداثيات المستقلة‬ ‫واذاكان النظام مقيد تقلةدرجات الحريه بمعدل واحد مثال البندول البسيط احداثيات كارتيزيه لمن‬ ‫مقيد قوه الشد لذلك بدل احداثيين اصبح احداثي واحد والتقييد يكون بنوع من القوه مثل قوه الشد‬ ‫‪ )4‬في معادالت الجرانج النذكر نوع القيد لذلك لمعرفه نوع القيد وإيجاده قمنا بتعديل معادالت اويلي‬ ‫للجرانج وذلك باضافه بارامتر‪ λ‬وهو يمثل نوع قوه القيد‪.‬‬ ‫‪ )5‬في معادالت الجرانج ان االحداثيات المعممه ̇𝑗𝑞 يعطي زخم معمم وقد يكون الزخم ام زخما مداري‬ ‫‪ L‬او زخم قطري 𝑟𝑝 او زخم خطي 𝑥𝑝 بينما يمكن التعميم بان االحداثيات المعمم 𝑗𝑞 ترتبط بقوه‬ ‫معمم‪ F‬راجعي جدول صفحه ‪18‬‬ ‫‪ )6‬اذا كان لدينا نظام غير مقيد فاننا نقول عن االحداثيات انها مستقله ومعممه بحيث معادله‬ ‫‪2‬‬ ‫الفعل𝑡‪ S = ∫1 (𝑞, 𝑞̇ 1 ) ⅆ‬يكون ثابتا بالتالي تحقق معادله اويلر الجرانج ‪.‬‬ ‫‪ )7‬اإلحداثيات المعممة هي أي مجموعة من اإلحداثيات المستقلة 𝑗𝑞 (غير متصلة بأي معادالت قيد)‬ ‫‪ )8‬والعكس اذا كانت االحداثيات مقيده بمعادله قيد تصبح تابعه لهذا القيد وتقل درجات الحريه بمقدار‬ ‫واحد‬ ‫‪ )9‬انه اذا كان المسار محدد حسب قانون نيوتن الثاني فانه ثابت وفريد بالتالي تغير الفعل ‪𝛿𝑆 = 0‬‬ ‫انه ينتج عن المسارات الفعليه الثابته تحقق معادالت الجرانج‬ ‫‪)10‬‬ ‫مبدأ هاملتون هو المسار الفعلي الذي يسلكه جسم بين نقطه ‪ 1‬الى نقطه ‪2‬خالل زمن يتراوح‬ ‫‪)11‬‬ ‫بين ‪𝑡1‬الى ‪𝑡2‬‬ ‫لحل أي معادله حركه باستخدام معادله الجرانج نتبع اربع خطوات‬ ‫‪)12‬‬ ‫ الخطوه (‪: )1‬تحديد االحداثيات المعممه‬ ‫ الخطوه (‪)3()2‬تحديد الالجرانيجيان (وهو عباره عن الفرق بين طاقه الحركهوطاقه الوضع )‬ ‫‪2‬‬ ‫طاقه الوضع تعرف بالعالقه التاليه تكامل الشغل المبذول في مقدار االزاحه )⃗𝑟(‪U(r)=− ∫ 𝐹⃗ (𝑟⃗) ⅆ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حيث الشغل المبذول ‪ F‬يكون محفوظا ‪.‬‬ ‫ الخطوه (‪)4‬نحقق معادله اويلر الجرانج‬ ‫درسنا انه عندما يكون الزخم محفوظا 𝑗𝑝فحسب نظريه نوذير يكون الالجرانجيان ‪L‬‬ ‫‪)13‬‬ ‫مستقل بمعني اذا كانت االحداثي المعمم 𝑗𝑞 غائب فان اللجرانجيان اليتغير بتغير 𝑗𝑞 الى ‪𝑞𝑗 +‬‬ ‫𝑖 𝑞𝛿‬ ‫في القيود التفاضليه تظهر السرعات صراحه بينما في القيود الهندسيه التظهر‬ ‫‪)14‬‬  ‫يطلق على القيود الهندسيه القيود الهولونوميه بينما القيود التفاضليه غير هولونوميه‬ ‫‪)15‬‬ ‫القيد المستقر اليظهر الزمن صراحه بينما الغير مستقر زمنيا يظهر صراحه‬ ‫‪)16‬‬ ‫االحداثيات المعممه 𝑗𝑞 قد تكون زاويه او مسافه‬ ‫‪)17‬‬ ‫عندما يتحرك الجسم بدون قيد فان اال حداثيات تكون مستقله و درجات الحريه ‪:‬‬ ‫‪)18‬‬ ‫ في الفراغ درجات الحريه تساوي ‪3N‬‬ ‫ على سطح او مستو فتكون له درجتان حريه ‪2N‬‬ ‫ وان كان يتحرك في خط مستقيم فتكون لد درجه حريه واحده‪1N‬‬ ‫يمكن تقسيم المجموعات الميكانيكيه ام محافظه او غير محافظه حيث يقصد بالمجموعه‬ ‫‪)19‬‬ ‫المحافظه يكون دوران القوه يساوي صفرا ⃗‪𝑐𝑢𝑟𝑙𝐹⃗ = ⃗0‬‬