حل تمرین های سری چهارم، دینامیک (PDF)

# سجاد بائر تمرین های سری چهارم ## بخش 1 ### سوال (1) ابتدا دیاگرام آزاد را برای میله رسم می کنیم. * $$ΣFx = max ⇒ KxA - KxB = mx ⇒ +K(x - \frac{L}{2}o) - K(x + \frac{L}{2}o) = m\ddot{x}$$ * $$=> mx + K(x + \frac{L}{2}O) - K(x - \frac{L}{2}o) = 0$$ برای نوشتن معادله دوم حول مرکز جرم میله گشتا...

# سجاد بائر تمرین های سری چهارم ## بخش 1 ### سوال (1) ابتدا دیاگرام آزاد را برای میله رسم می کنیم. * $$ΣFx = max ⇒ KxA - KxB = mx ⇒ +K(x - \frac{L}{2}o) - K(x + \frac{L}{2}o) = m\ddot{x}$$ * $$=> mx + K(x + \frac{L}{2}O) - K(x - \frac{L}{2}o) = 0$$ برای نوشتن معادله دوم حول مرکز جرم میله گشتاور می نوییسیم. * $$ΣMo = Iσα ⇒ K(x - \frac{L}{2}O) (\frac{L}{2}) - K(x+\frac{L}{2}O) (\frac{L}{2}) = ICo \ddot{θ}$$ * $$IG = \frac{1}{12}mL^2 ⇒ -K(x - \frac{L}{2}O)(\frac{L}{2}) - K(x+\frac{L}{2}O) (\frac{L}{2}) = m\ddot{x}\frac{L^2}{12}$$ در نهایت دو معادله داریم که بر حسب دو متغیر درجه آزادی انتخابی می باشد. * $$ ① → mx + Kx +\frac{KL}{2}O =\frac{1}{12}mL^2 \ddot{θ}$$ * $$ ② ⇒ \frac{1}{12}mL^2 \ddot{θ} + Kx\frac{L}{2} - Kx \frac{L}{2} + Kx \frac{L}{2} + Kx \frac{L}{2} = 0 $$ * $$ ① > mx + Kx + \frac{KL}{2}o = 0$$ * $$ m\ddot{x}L^2 + 6KXL^2+ 12KL^2o = 0$$ * $$ m\ddot{x}L^2 + 6KXL^2 + 12KL^2o ⇒ m\ddot{x}L^2 + 6KXL^2 + 12KL^2o ⇒ m\ddot{x}L^2 + 6KXL^2 = 0 $$ _معادله ی هاکم بر حسب x و θ بدست آمد._ ## بخش 2 ### سوال (2) ابتدا دیرام آزاد را برای هر دو جرم رسم می کنیم. * $$ΣFx = max ⇒ KxA + TA = -Tmx/A ⇒ TA = -m\ddot{x}A - KxA$$ * $$ ΣFx = max ⇒ -TB -KxB = m\ddot{x}B ⇒ TB = -m\ddot{x}B - KxB$$ ### سوال (3) بر اساس روش لاگرانژ باید انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل را ابتدا محاسبه کنیم. * $$ I = \frac{1}{12}mr^2, Tr = \frac{1}{2}I\dot{θ}^2, I = \frac{1}{2}mw^2r^2$$ * $$ x_r = \frac{L}{2}sin θ$$ * $$ x_r = \frac{L}{2}sin θ = L sin(θr)$$ طبق روش لاگرانژ داریم: * $$\frac{d}{dt} (\frac{∂T}{∂\dot{θ}}) - \frac{∂T}{∂θ} = \frac{∂U}{∂θ} ⇒ \frac{1}{2}m\dot{L}^2 · θK \frac{L}{2} \dot{θ} - K L \dot{θ} = 0$$ * $$\frac{d}{dt} (\frac{∂T}{∂\dot{x}}) - \frac{∂T}{∂x} = \frac{∂U}{∂x} ⇒ \frac{1}{2}m\dot{L}^2 · \dot{L} - \dot{L} θK \frac{L}{2} + KL \dot{L} θ = 0$$ _معادلات حاکم به این مشکل بدست خواهد آمد. ران به ذکراست که در محاسات Sin θ را برابر با θ در نظر می گیریم، به علت کوچک بودن زاویه._ ## بخش 3 ### سوال (4) ابتدا دیاگرام آزاد را رسم می کنیم، فرض می کنیم میله و حروم به سمت پایین بیاید. * $ΣFx = max ⇒ K(x-\frac{L}{2}O) = mx$ * $$ΣFx = max ⇒ K(x-\frac{L}{2}o) = mx$$ * $$ ⇒ mx - K (x - \frac{L}{2}o) = 0 $$ نهایتا برای میله ی بالایی رسم می کنیم. گشته در حول لولا می گیریم. در استاتیک تیر. * $$ΣM_o = Iσα ⇒ (\frac{1}{2})(x - \frac{L}{2}O)(x - \frac{L}{2}O)(-k(x-\frac{L}{2}o) (\frac{L}{2} - K(0)(\frac{L}{2} = \frac{1}{12}mL^2\ddot{θ}$$ * $$ ① m\ddot{x} + Kx + KLO = 0 $$ * $$ ② ⇒ x(x - \frac{L}{2}o)(-Kx + KLO + K(x - xL)o + K(0)o = 0$$ نهایتا ۳ معادله به خواهیم داشت: ## بخش 4 ### سوال (5) برای این شکل ۳ درجه آزادی خواهیم داشت _جابه جایی عمودی_ جرم M، _جابه جایی عمودی_ فنر و _چرخش_ میله. برای هر جرم جداگانه دیاگرام آزاد را رسم نموده و معادلات را استخراج می کنیم. * $K(x_r)C(x_r - x_1)$ * $$ ΣFx = max ⇒ PK (x_r-x_1)+c(x_r-x_1)=-mx_r ++ F(t)$$ * $$ ⇒ m\ddot{x}_r + K(x_r-x_1) + C(x_r-x_1) = f(t)$$ * $$ ↑ ↑ K(x_r-x_1)$$ * $$ΣFx = max ⇒ K(x_r-x_1(0) +K(x_r-x_1)+C(x_r-x_1) = m\ddot{x}_r$$ * $$ ⇒ m\ddot{x}_r + K(x_r-x_1)+K(x_r-x_1(0) +C(x_r-x_1) = 0 $$ _با فرض اینکه جابه جایی فنر متصل بین میله و جرم x_r - x_1 (0) خواهد بود._ ## بخش 5 ### سوال (6) فرکانس طبیعی و شکل موت را برای سیستم زیر بدست آورید. ابتدا معادله ی حاکم را پیدا می کنیم. سیستم دو درجه آزادی است و تغییرات در دو آرزوی را x و θ در نظر می گیریم. * $$T= \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{θ}^2 $$ * $$ U= \frac{1}{2}K(x-aθ)^2 + \frac{1}{2}K(x+bθ)^2 ⇒ U = \frac{1}{2}K(x-aθ)^2 + \frac{1}{2}K(x+bθ)^2$$ * $$L= T_U= \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}I\dot{θ}^2 - \frac{1}{2}K(x-aθ)^2 - \frac{1}{2}K(x+bθ)^2$$ * $$\frac{d}{dt}(\frac{∂L}{∂\dot{x}}) - \frac{∂L}{∂x} = 0 ⇒ m\ddot{x} = -K(x-aθ) - K(x+bθ)$$ * $$=> m \ddot{x} + 2Kx-K(a+b) θ =0$$ * $$\frac{d}{dt} (\frac{∂L}{∂\dot{θ}}) - \frac{∂L}{∂θ} = 0 ⇒ \ddot{θ} = \frac{-K(a-b)x}{I} ⇒ - \ddot{θ} = \frac{K(a-b)x -K(a+b)θ}{I} $$ * $$=> I\ddot{θ} + K(a+b)x - k(a^2 + b^2)θ =.0 $$ * $$=> \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{x} \\\ddot{θ} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2K & -K(a-b)\\ K(a+b) & -k(a^2 + b^2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ * $$=> \begin{bmatrix} 2000 & -2000(1) \\ 2000 (8) & 2000 (12.25 - 20.25) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\θ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ * $$=> \begin{bmatrix} 2000 & -2000 \\ 16000 & -16000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\θ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ * $$=> \begin{bmatrix} 2000 & -2000 \\ 16000 & -16000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\θ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ _ادامه صفحه ی بعد_ ### سوال (7) پاسخ $(x_1,x_2)$ را برای سیستم زیر محاسبه کنید. $F_o = 1, w = 10 \frac{rad}{s} , K = 20, m = 1 , r = 1$ ابتدا برای هر کدام از جرم ها معادله حاکم بدست می آوریم با رسم دیاگرام آزاد هر دو جرم. - $$x = m\ddot{x} _r + Kr(x_r - x) = - x_r = m\ddot{x} + Kr(x_r-x) ==> \ddot{x}_r + 3(x_r - x) = 0$$ - $$ x_1 → m\ddot{x}_1 + K(x_1-x_2) - Kr(x_r-x_1)=F_oSinwt $$ - $$ → m\ddot{x}_1 + 2K(x_1) - K(x_r-x_1) = F_oSinwt $$ - $$ → \ddot{x}_1 + 3(x_1) - K(x_r-x_1) = F_oSinwt $$ - $$=> \ddot{x}_r + 3(x_r - x_1) = F_oSinwt $$ _بدست آوردن باتر شکل مد و ما ترین سختی: _ _ملترین جواب ماتریسی جابه جایی ماتریس سختی_ _ما ترین شاپ ما ترین جرم امید اسنوا_ _پاریس_ _حالا باید جواب ابن عبارت را محاسبه کنیم._ - $$[Z(w)] = _\omega^2[M] + [K]$$ - $$ => [Z(w)] = \begin{bmatrix} -100 & 0\\ 0 & -100 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & -1\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$ * $$ => [Z(w)] = \begin{bmatrix} -97 & -1 \\ -1 & -97 \end{bmatrix} $$ _حالا باید این ماتریس را وارون کنیم_ _حالا کافیست صورت این عبارت را در هر دو جواب ضرب کنیم_ _ادامه ی خب صفحه ی بعد_ ### سوال (8) سه پاسخ : * $x_1 = -\frac{1}{19197} (-97Sin lot) \approx 0.01.\omega^2 x_1 = \frac{1}{19197} Sinlot $ * $x_2 = \frac{1}{19197}(xSin lot) \approx -0.09x_1 = \frac{1}{19197} Sinlot $ _در نهایت جواب ها به صورت زیر خواهد بود._