Appunti di Ingegneria Meccanica: Applicazioni Elettriche - PDF

Laurea triennale in Ingegneria Meccanica Applicazioni Industriali Elettriche Appunti tratti dalle lezioni frontali del Prof. Fabio Crescimbini e dai testi ”Elettrotecnica 1 - Principi” e ”Elettrotecnica 2 - Applicazioni” di G. Chitarin, F. Gnesotto, M. Gu...

Laurea triennale in Ingegneria Meccanica Applicazioni Industriali Elettriche Appunti tratti dalle lezioni frontali del Prof. Fabio Crescimbini e dai testi ”Elettrotecnica 1 - Principi” e ”Elettrotecnica 2 - Applicazioni” di G. Chitarin, F. Gnesotto, M. Guarnieri, A. Maschio e A. Stella Scritti e redatti da Carlo Del Bono Indice 1 Introduzione 1 1.1 Grandezze alternate........................ 3 1.2 Analisi di Fourier......................... 5 1.3 Spettro elettromagnetico..................... 7 2 Elettricità 8 2.1 Cariche elettriche......................... 8 2.2 Densità di carica......................... 9 2.3 Correnti elettriche......................... 10 2.4 Campo di corrente........................ 11 2.5 Corrente nei conduttori filiformi................. 12 2.6 Legge di continuità........................ 13 2.7 Ampèrometro........................... 14 2.8 Legge di Coulomb......................... 15 2.9 Campo elettrostatico e potenziale................ 15 2.10 Campo elettrico.......................... 17 2.11 Tensione elettrica......................... 18 2.12 Voltmetro............................. 20 3 Reti elettriche 21 3.1 Bipoli............................... 22 3.2 n-poli, m-poli e doppi bipoli................... 24 3.3 Resistenza elettrica e legge di Ohm............... 24 1  3.4 Classificazione dei materiali elettrici............... 26 3.5 Legge costitutiva del campo di corrente............. 28 3.6 Resistenza e forma del conduttore................ 29 3.7 Resistori.............................. 31 3.8 Valori efficaci delle grandezze elettriche............. 32 3.9 Generatori elettrici........................ 33 3.10 Forza elettromotrice....................... 34 3.11 Classificazione dei generatori elettrici.............. 37 3.12 Caratteristica statica esterna................... 39 3.13 Potenza scambiata ad una porta................. 41 3.14 Lavoro elettrico.......................... 42 3.15 Wattmetro e contatore...................... 43 3.16 Proprietà generali delle reti elettriche.............. 43 3.17 Leggi di Kirchoff......................... 45 3.18 Sistemi di equazioni topologiche................. 46 3.19 Reti in regime stazionario.................... 47 3.20 Misurazione industriale della resistenza............. 53 3.21 Metodi di analisi delle reti lineari................ 55 3.22 Teoremi sui generatori equivalenti................ 57 3.23 Rendimento e adattamento di un carico............. 61 3.24 Circuiti con doppi bipoli lineari passivi............. 63 4 Fenomeni dielettrici 67 4.1 Legge costitutiva del campo dielettrico............. 67 4.2 Legge di Gauss.......................... 68 4.3 Conduttori in regime elettrostatico............... 69 4.4 Polarizzazione dei dielettrici................... 70 4.5 Rigidità dielettrica........................ 73 4.6 Condensatori e capacità..................... 74 4.7 Bipoli capacitivi.......................... 80 4.8 Condensatori in regime stazionario............... 82  4.9 Energia elettrostatica....................... 85 4.10 Densità di energia elettrostatica................. 87 4.11 Altri esempi di condensatori................... 88 4.12 Perdite dielettriche........................ 92 4.13 Corrente di spostamento..................... 93 5 Fenomeni magnetici 96 5.1 Induzione magnetica....................... 97 5.2 Legge di Biot/Savart....................... 98 5.3 Legge di Gauss.......................... 99 5.4 Flusso concatenato........................ 101 5.5 Legge di Faraday/Neumann/Lenz................ 102 5.6 Campo elettrico indotto..................... 104 5.7 Legge costitutiva del campo magnetico............. 105 5.8 Magnetizzazione.......................... 106 5.9 Materiali amagnetici....................... 107 5.10 Materiali ferromagnetici..................... 108 5.11 Legge di Ampère......................... 112 5.12 Legge di Ampère/Maxwell.................... 114 5.13 Campo magnetico e conduttori cilindrici............ 116 5.14 Induttori e induttanza...................... 117 5.15 Bipoli induttivi.......................... 125 5.16 Induttori in regime stazionario.................. 126 5.17 Energia magnetostatica...................... 129 5.18 Densità di energia magnetostatica................ 131 5.19 Perdite per isteresi nei ferromagnetici.............. 132 5.20 Altri esempi di induttori..................... 134 6 Circuiti magnetici 137 6.1 Tubi di flusso dell’induzione magnetica............. 137 6.2 Tensione magnetica........................ 138  6.3 Riluttanza e legge di Hopkinson................. 139 6.4 Nuclei ferromagnetici e traferri.................. 142 6.5 Circuiti magnetici......................... 145 6.6 Leggi dei circuiti magnetici.................... 146 6.7 Analisi dei circuiti magnetici................... 149 6.8 Magneti permanenti....................... 150 6.9 Mutua induzione tra circuiti elettrici.............. 153 6.10 Doppi bipoli induttivi....................... 157 7 Elettromeccanica 162 7.1 Forze mozionali.......................... 162 7.2 Forze ponderomotrici elettrodinamiche............. 164 7.3 Conversione elettromeccanica.................. 166 7.4 Spira rotante in un campo di induzione............. 168 8 Reti alternate sinusoidali 171 8.1 Funzioni isofrequenziali...................... 173 8.2 Fasori e trasformata di Steinmertz................ 173 8.3 Espressione e rappresentazione dei fasori............ 175 8.4 Operazioni fondamentali sui fasori................ 177 8.5 Fasori nell’analisi delle reti alternate.............. 182 8.6 Reti alternate sinusoidali..................... 183 8.7 Bipoli in regime sinusoidale e potenza.............. 183 8.8 Bipoli attivi ideali in regime sinusoidale............. 189 8.9 Bipoli passivi ideali in regime sinusoidale............ 190 8.10 Impedenza............................. 194 8.11 Ammettenza............................ 196 8.12 Leggi di Kirchoff simboliche................... 198 8.13 Serie di bipoli passivi....................... 198 8.14 Parallelo di bipoli passivi..................... 200 8.15 Stella e triangolo di bipoli passivi................ 201  8.16 Reti simboliche.......................... 202 8.17 Teoremi sulle reti simboliche................... 203 8.18 Carichi in regime sinusoidale................... 206 8.19 Rifasamento............................ 209 8.20 Risposta in frequenza delle reti RLC.............. 211 8.21 Nuclei in regime sinusoidale................... 219 8.22 Doppi induttori in regime sinusoidale.............. 225 8.23 Effetto pelle............................ 225 9 Reti trifasi 228 9.1 Terne simmetriche di f.e.m.................... 229 9.2 Collegamenti tra generatori e utilizzatori............ 230 9.3 Terne simmetriche di tensione.................. 232 9.4 Generatori trifasi di tensione ideali............... 233 9.5 Carichi e utenze trifasi...................... 234 9.6 Terne simmetriche di corrente.................. 234 9.7 Reti trifasi simmetriche ed equilibrate.............. 236 9.8 Wattmetro e collegamento alle reti trifasi............ 240 9.9 Potenza, carichi a stella e a triangolo.............. 241 9.10 Potenza istantanea trifase.................... 242 9.11 Inserzione Aron.......................... 245 9.12 Rifasamento trifase........................ 247 10 Trasformatori 250 10.1 Valori nominali.......................... 251 11 Trasformatori monofasi 253 11.1 Nucleo e avvolgimenti monofasi................. 253 11.2 Trasformatore ideale....................... 255 11.3 Trasferimento di impedenza................... 257 11.4 Trasformatore reale........................ 257  11.5 Circuito equivalente completo.................. 261 11.6 Funzionamento a vuoto...................... 262 11.7 Funzionamento in cortocircuito................. 264 11.8 Parametri dei circuiti equivalenti................ 268 11.9 Funzionamento a carico...................... 269 11.10Rendimento............................ 272 11.11Dati di targa........................... 273 11.12Parallelo di trasformatori..................... 274 12 Trasformatori trifasi 278 12.1 Nucleo e avvolgimenti trifasi................... 278 12.2 Gruppo orario e collegamenti.................. 280 12.3 Circuito equivalente monofase.................. 282 12.4 Dati di targa........................... 283 12.5 Parallelo di trasformatori trifasi................. 283 12.6 Autotrasformatori......................... 284 12.7 Trasformatori di misura..................... 287 13 Macchine elettriche rotanti 290 13.1 Induttore e campo magnetico rotante.............. 291 13.2 Struttura delle macchine rotanti................. 294 13.3 Rendimento di una macchina rotante.............. 298 13.4 Indotto e campo magnetico pulsante.............. 299 14 Macchine sincrone 307 14.1 Rotore e circuito induttore.................... 308 14.2 Statore e circuito indotto..................... 309 14.3 Valori nominali.......................... 309 14.4 Macchina sincrona trifase..................... 310 14.5 Funzionamento a vuoto...................... 312 14.6 Funzionamento a carico...................... 315  14.7 Rendimento............................ 317 14.8 Comportamento elettromeccanico................ 322 14.9 Equilibrio elettromeccanico e stabilità.............. 324 14.10Regolazione e avviamento.................... 326 14.11Compensatore rotante...................... 328 15 Macchine asincrone 329 15.1 Statore e circuito induttore.................... 329 15.2 Rotore e circuito indotto..................... 330 15.3 Valori nominali.......................... 331 15.4 Induttore e campo magnetico rotante.............. 331 15.5 Macchina con il rotore fermo................... 332 15.6 Macchina con il rotore in moto................. 334 15.7 Parametri dei circuiti equivalenti................ 337 15.8 Rendimento............................ 340 15.9 Coppia elettromagnetica..................... 343 15.10Caratteristica elettromeccanica................. 344 15.11Avviamento............................ 345 15.12Regolazione della velocità.................... 347 15.13Generatori asincroni....................... 348 16 Sistemi di potenza 349 16.1 Linee elettriche.......................... 350 16.2 Schemi equivalenti delle linee elettriche............. 353 16.3 Caduta di tensione industriale.................. 355 16.4 Dimensionamento delle linee elettriche............. 357 16.5 Sovratensioni........................... 358 16.6 Sovracorrenti........................... 359 16.7 Apertura dei circuiti elettrici................... 360 16.8 Chiusura dei circuiti elettrici................... 363 16.9 Relè................................ 364  16.10Fusibili............................... 367 16.11Impianti di terra......................... 368 17 Impianti utilizzatori 372 17.1 Cabine di trasformazione..................... 373 17.2 Quadri elettrici.......................... 373 17.3 Selettività delle protezioni.................... 373 17.4 Sicurezza degli utenti....................... 374 17.5 Contatti diretti e indiretti.................... 377 17.6 Impianti utilizzatori sotto ai 1000 V............... 378 17.7 Impianti utilizzatori industriali................. 382 Capitolo 1 Introduzione L’energia è una grandezza universale necessaria alla vita di qualunque organismo o alla funzionalità di qualsiasi oggetto costruito per compiere un determinato lavoro. In natura esistono varie forme di un’unica energia e ci sono metodi per calcolarne la quantità. Si può effettuare una sua conversione tramite processi in cui è in parte degradata in forma termica. Feymann affermava che il principio di conservazione dell’energia (secondo cui l’energia non varia nei molteplici cambiamenti che la natura subisce) regola tutti i fenomeni conosciuti. Questa idea associa un principio matematico astratto e costante ad un fenomeno fisico in divenire e dunque, sommando le quantità di energia associate ai diversi contributi, il bilancio non cambia se non in termini dell’energia che entra o esce dal sistema. Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura dell’energia è il Joule [J]. Tra le unità di misura più diffuse per esprimere la quantità di energia in ambito elettrico c’è il kilowattora [kW h], (1 kW h = 3, 6 · 106 J = 3, 6 M J). All’inizio del Novecento, le attività industriali erano basate principalmente sullo sfruttamento massiccio e diretto del carbone per alimentare le macchine termiche destinate a svolgere il compito di motori primi. Il motore primo più diffuso era la motrice a stantuffo, macchina termica alimentata dal vapore prodotto dall’acqua a contatto con il calore rilasciato dalla combustione del carbone che, con un accoppiamento biella/manovella, consentiva di realizzare un moto alternativo che veniva convertito in un moto rotatorio. La meccanizzazione dell’industria portò ad un enorme numero di piccoli motori primi presenti in ogni stabilimento, attraverso cui si provvedeva per via meccanica, spesso con accoppiamenti a cinghia di trasmissione derivati da un asse motore, alla distribuzione della potenza alle macchine utilizzatrici. 1  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Per aumentare la produttività era essenziale realizzare la conversione tra le forme di energia in precisi luoghi di produzione, le centrali energetiche, ove fosse possibile ottenere la maggiore convenienza tecnica ed economica e migliorare l’efficienza del trasporto di energia verso i centri di consumo. Esclusa la trasmissione mediante i cinematismi, adatta solo per le brevissi- me distanze tipiche dei motori, le alternative erano le seguenti: L’utilizzo di fluidi in pressione, possibile solo per distanze contenute. L’utilizzo dell’energia elettrica, che garantiva più ampie possibilità di trasmissione a distanza e di distribuzione capillare e di poter sfruttare le varie forme di energia disponibili in natura (idraulica, chimica, eolica, solare e cosı̀ via), le quali potevano essere convertite in energia elettrica mediante degli idonei insediamenti produttivi, le centrali elettriche. La distribuzione capillare dei grandi quantitativi di energia richiesti dalle diverse attività produttive trova la massima convenienza tecnica ed economica nella possibilità di trasportare a distanza l’energia elettrica mediante degli impianti denominati elettrodotti, percorsi composti da conduttori elettrici. In tali impianti fluisce l’energia elettrica erogata dai generatori elettrici installati nelle centrali elettriche, utilizzata in ogni ambito della civiltà odierna. Negli impianti di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica un ruolo fondamentale è svolto dal trasformatore elettrico, macchina che consente di adeguare alle funzioni dell’impianto le grandezze elettriche (tensione e corrente) che determinano la potenza elettrica trasmessa. È riassunto il percorso dell’energia elettrica dalla generazione all’utilizzo: La generazione, che avviene nelle centrali elettriche, dove si ha la conversione della forma primaria di partenza in energia elettrica. Esse sono situate ove è agevole trovare l’energia primaria da convertire. La trasmissione tra i vari stadi, che avviene con gli elettrodotti. La distribuzione, suddivisa in distribuzione primaria, in cui si trasporta l’energia dagli elettrodotti ai centri di carico, ovvero delle stazioni poste ai confini degli agglomerati urbani e in distribuzione secondaria, in cui si trasporta l’energia verso le utenze finali. Tra i vari step del percorso dell’energia elettrica c’è sempre un trasformatore che regola la tensione in modo tale che la trasmissione sia compatibile con gli ingressi successivi della catena. Infatti, essa deve diminuire dall’ordine dei 102 kV (alta tensione) della generazione, ai 10 kV (media tensione) della trasmissione, fino all’ordine di 1 kV (bassa tensione) della distribuzione. 2  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 1.1 Grandezze alternate Una forma d’onda è la rappresentazione di come una grandezza fisica A varia nel tempo t. È possibile associare una funzione A(t) alla forma d’onda e in base a ciò, classificare i seguenti tipi di grandezze fisiche: Le grandezze aperiodiche sono quelle il cui andamento della funzione d’onda A(t) è irregolare e non presenta alcuna ripetitività. Le grandezze periodiche sono quelle il cui andamento della funzione d’onda A(t) è regolare e si ripete dopo un periodo T. Nella presente sede interessano le grandezze periodiche e, definendo un intero k ∈ Z da moltiplicare al periodo T , esse si esprimono come segue: A(t) = A(t + kT ) I seguenti parametri caratterizzano le grandezze periodiche: La frequenza f , inverso del periodo T , si misura in Hertz [Hz]: 1 f= T La pulsazione ω, concettualmente associabile ad una velocità angolare, è definita come il prodotto dell’angolo giro in radianti [rad] (ossia 2π) con la frequenza f e si misura in radianti al secondo [rad/s]: 2π ω = 2πf = T La posizione angolare ϑ(t) è definita come il prodotto tra la pulsazione ω e il tempo t e si misura in radianti [rad]: 2π ϑ(t) = ωt = t T É possibile definire alcuni valori tipici delle grandezze periodiche A(t): Il valore medio Aave , associabile alla sua media integrale: ˆ 1 T Aave = A(t)dt T 0 3  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Il valore efficace Arms , associabile alla sua deviazione standard, indice fondamentale perché da esso dipendono numerosi fenomeni fisici tipici del comportamento delle grandezze elettriche: ˆ s 1 T 2 Arms = A (t)dt T 0 Se A(ϑ) è una grandezza costante rispetto alla posizione angolare ϑ(t), i suoi valori medio ed efficace sono coincidenti (Aave = Arms ). Se invece A(ϑ) è una grandezza alternata, ossia una grandezza periodica il cui valore medio è nullo (Aave = 0), le funzioni che bene si prestano a descrivere tale comportamento sono quelle trigonometriche del seno e del coseno, aventi una media integrale nulla. Tali funzioni sono caratterizzate da un picco (o ampiezza massima) AM e da uno sfasamento ϕ. Pertanto, ogni grandezza alternata è esprimibile con la seguente forma: A(ϑ) = AM sin[ϑ(t) + ϕ] Le grandezze alternate cosı̀ espresse hanno il seguente valore efficace: AM Arms = √ 2 Una semi-onda è il ramo di A(t) ove essa assume un determinato segno: Vale che A(ϑ) = sin[ϑ(t)] > 0 per 0 < ϑ(t) < π. Vale che A(ϑ) = sin[ϑ(t)] < 0 per π < ϑ(t) < 2π. Ipotizzando che il periodo della grandezza alternata A(ϑ) sia pari all’angolo giro 2π, è definito il valore medio Aave,sem di una semi-onda: ˆ 1 π Aave,sem = A(ϑ)dϑ π 0 È possibile dimostrare che più il valore medio Aave,sem di una semi-onda si avvicina a una soglia Asin ave,sem riferita ad un’onda sinusoidale e più la forma d’onda A(ϑ) approssima bene una sinusoide: 2AM Asin ave,sem = π 4  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Il fattore di cresta kf è definito come il rapporto tra il valore efficace Arms della forma d’onda A(ϑ) e il valore medio Aave,sem di una sua semi-onda: Arms kf = Aave,sem È possibile dimostrare che più kf si avvicina a una certa soglia kfsin e più la forma d’onda A(ϑ) tende ad approssimare bene una curva sinusoidale: π kfsin = √ 2 2 1.2 Analisi di Fourier Secondo il teorema di Fourier, tutte le funzioni periodiche possono essere determinate attraverso la sovrapposizione di un certo numero di segnali sinusoidali di determinate ampiezze e frequenze, tutti opportunamente sfasati. Uno sviluppo in serie di Fourier è la rappresentazione di una funzione periodica A(ϑ) mediante una combinazione lineare di funzioni goniometriche di ϑ, dette armoniche. Ogni funzione periodica A(ϑ) è esprimibile come somma tra il suo valore medio (il termine integrale Aave ) e il suo contenuto armonico (esplicato dal termine di sommatoria Aarm ), come mostrato: ˆ 2π ∞ 1 X A(ϑ) = Aave + Aarm = A(ϑ)dϑ + fh (ϑ) 2π 0 h=1 Per quanto riguarda il contributo armonico Aarm , esso è pari alla somma di tutte le h-esime armoniche fh (ϑ), definibili in modo analogo: Come la somma di due contributi goniometrici distinti e sfasati, aventi la medesima pulsazione: fh (ϑ) = ah cos(hϑ) + bh sin(hϑ) I coefficienti ah e bh sono definiti dalle seguenti relazioni integrali: ˆ 1 2π ah = A(ϑ) cos(hϑ)dϑ π 0 ˆ 1 2π bh = A(ϑ) sin(hϑ)dϑ π 0 5  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Sfruttando il fatto che una funzione sinusoidale è sempre riconducibile allo sfasamento di una funzione cosinusoidale: √ fh (ϑ) = 2Fh cos(hϑ − ϕh ) I coefficienti Fh e ϕh sono definiti a partire dai precedenti ah e bh : p a2h + b2h Fh = √ 2   bh ϕh = arctan − ah Il primo termine della serie (per h = 1) definisce l’armonica fondamenta- le f1 (ϑ), il secondo la seconda armonica f2 (ϑ), il terzo la terza armonica f3 (ϑ) e cosı̀ via fino all’h-esima armonica fh (ϑ). Si noti che la fondamentale f1 (ϑ) ha la stessa pulsazione della funzione d’onda A(ϑ), che la seconda armonica f2 (ϑ) ha pulsazione doppia, che la terza armonica f3 (ϑ) tripla e cosı̀ via. Si possono effettuare le seguenti osservazioni sullo sviluppo in serie: Se A(ϑ) è una funzione pari (A(ϑ) = A(−ϑ)), allora bh è nullo per la sua definizione integrale e le armoniche sono tutte cosinusoidi: ∞ X A(ϑ) = Aave + ah cos(hϑ) h=1 Se A(ϑ) è una funzione dispari (A(ϑ) = −A(ϑ)), allora ah è nullo per la sua definizione integrale e le armoniche sono tutte sinusoidi: ∞ X A(ϑ) = Aave + bh sin(hϑ) h=1 Si nota da tali considerazioni che in tutti i segnali con funzione d’onda è pari lo sviluppo in serie di Fourier restituisce solo armoniche di ordine h dispari (seni) mentre nei casi in cui la funzione d’onda è dispari la serie restituisce solo armoniche di ordine h pari (coseni). Adoperando il teorema di Fourier, si può analizzare qualsiasi segnale periodico e determinare esattamente le sue singole armoniche. Le ampiezze e le fasi di ciascuna armonica possono poi essere riportate su dei diagrammi rappresentanti gli spettri di ampiezza e di fase del segnale analizzato. 6  CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Osservando le precedenti relazioni si può notare come, pur essendo infiniti i termini della serie di Fourier, le armoniche di pulsazione elevata hanno un’ampiezza progressivamente decrescente e quindi il loro contributo diventa trascurabile anche se, tanto è maggiore il numero di armoniche considerate e tanto maggiore è la precisione con cui la serie approssima il segnale originario. Per avere indicazioni sul contenuto armonico della forma d’onda A(ϑ), si definisce come segue la distorsione armonica totale T HDA , i cui valori de- vono sempre essere contenuti entro dei limiti accettabili, dove A1 è l’armonica fondamentale e le Ah sono le h-esime armoniche del segnale: s ∞ A2h P h=2 T HDA = A1 Siccome l’ampiezza delle armoniche decresce con l’ordine h, quelle di ordine più basso incidono maggiormente sulla distorsione armonica totale. 1.3 Spettro elettromagnetico È fondamentale conoscere le proprietà delle grandezze alternate sinusoidali poiché le onde elettromagnetiche sono determinate proprio da tale anda- mento. Lo spettro elettromagnetico indica l’insieme di tutte le possibili frequenze e radiazioni elettromagnetiche. Pur essendo esso continuo, si può effettuare una suddivisione convenzionale in intervalli, o bande di frequenza, dettata a partire dallo spettro ottico. L’intero spettro è suddiviso nella parte visibile, che dà vita alla luce percepita dall’occhio umano e nelle parti non visibili, a lunghezze d’onda maggiori e minori rispetto a quelle dello spettro visibile. Le onde comprese nell’intervallo tra il visibile e le onde radio sono a bassa intensità, hanno poca energia e sono poco dannose mentre quelle comprese tra l’ultravioletto e i raggi gamma hanno molta più energia e sono dette onde ionizzanti. 7 Capitolo 2 Elettricità La conoscenza dei fenomeni elettrici e magnetici, nella forma presentata è relativamente recente. Tuttavia, nozioni relative alcuni fenomeni legati all’elettricità ed al magnetismo erano note anche ai popoli dell’antica Grecia. Per arrivare ad una prima conoscenza dei fenomeni elettromagnetici come intesi oggi bisogna attendere le ricerche dell’inglese Gilbert, nel diciassettesimo secolo, in cui sono menzionati il magnetismo terrestre e l’orientamento degli aghi magnetici, nonché dell’elettricità per strofinio. La nascita dell’elettricità moderna si fonda, in ogni caso, sui lavori del francese Coulomb. La storia dell’elettricità e del magnetismo, come tutte le storie relative al progresso della conoscenza umana non è mai dovuta al contributo di pochi ed è difficile compendiare gli sforzi dei molti che hanno consegnato ai posteri i loro risultati. Queste storie si sono mescolate con la storia della costituzione della materia e con quella della scoperta della natura della luce. La materia è composta da atomi dotati di un nucleo in cui risiedono i neutroni ed i protoni e di elettroni, diffusi in modo probabilistico attorno ad esso. Questo modello fu proposto da Rutherford e Bohr nel 1917. Elettroni e protoni posseggono una carica elettrica uguale e opposta, che viene per convenzione posta negativa per i primi e positiva per i secondi. 2.1 Cariche elettriche La carica elettrica, che sarà indicata nel seguito con q, è una proprietà fisica fondamentale, intimamente legata all’esistenza di particelle quali elettroni e protoni, che costituiscono e caratterizzano la materia e ha la dimensione fisica del Coulomb [C], pari all’Ampère per il secondo [As]. 8  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ Le azioni F⃗ di mutua interazione che si manifestano tra più corpi solidi o tra più particelle sono da attribuirsi alle cariche elettriche. Tali azioni, dette forze elettrostatiche o Coulombiane, sono attrattive o repulsive. Si considerano i seguenti tipi di cariche elettriche: Le cariche positive q + , rappresentate da un reale positivo q + > 0. Le cariche negative q − , rappresentate da un reale negativo q − < 0. Si assume che cariche di segno uguale si respingono mentre quelle di segno opposto si attraggono, come riscontrato dall’esperienza di Coulomb. La forza d’interazione F⃗ che subisce un corpo è legata alla quantità di carica complessiva ∆q in esso contenuta, bilancio algebrico delle cariche: ∆q = q + + q − A livello microscopico le cariche hanno valori discreti, multipli della carica elementare e = 1, 6021 · 10−19 C, corrispondente alla carica del protone e al modulo della carica dell’elettrone. I fenomeni elettrici dovuti al moto su larga scala degli elettroni e la presenza delle forze elettrostatiche suscitano uno spostamento ordinato delle cariche elettriche che, a livello macroscopico, si presenta come una corrente elettrica. 2.2 Densità di carica La carica netta ∆q può essere ipotizzata concentrata oppure distribuita. Con il limite, si passa da quantità di carica finite ∆q a quantità infinitesime dq. La densità volumica di carica ρc (P, t) in un punto P è definita come il limite del rapporto tra la carica netta ∆q e il volume ∆τ che la contiene, per ∆τ tendente a zero: ∆q ∂q ρc (P, t) = lim = ∆τ →0 ∆τ ∂τ La densità superficiale di carica σc (P, t) in un punto P è definita come il limite del rapporto tra la carica netta ∆q e la superficie ∆S che la contiene, per ∆S tendente a zero: ∆q ∂q σc (P, t) = lim = ∆S→0 ∆S ∂S 9  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ La densità lineare di carica λc (P, t) in un punto P è definita come il limite del rapporto tra la carica netta ∆q e il segmento ∆l che la contiene, per ∆l tendente a zero: ∆q ∂q λc (P, t) = lim = ∆l→0 ∆l ∂l Se una carica è contenuta in un volume avente dimensioni lineari trascurabili rispetto alla distanza tra essa e tutte le altre cariche, è lecito considerarla come localizzata in un punto, ovvero come una carica puntiforme q(P, t). 2.3 Correnti elettriche Le cariche elettriche in grado di compiere degli spostamenti complessivamente osservabili a livello macroscopico e dare luogo a delle separazioni macroscopiche di carica sono dette cariche libere, presenti in tutti i materiali. In base a tale definizione si considerano la carica libera ql (P, t) e la densità di carica libera volumica ρl (P, t), superficiale σl (P, t) o lineare λl (P, t). Oltre alle cariche libere, capaci di spostamenti macroscopici, esistono le cariche di polarizzazione, capaci soltanto di spostamenti microscopici in conseguenza alla modifica delle configurazioni atomiche e molecolari. Il moto delle cariche libere dà luogo a correnti elettriche di varie tipologie: Le correnti di conduzione sono quelle più rilevanti e si manifestano nei solidi quando le cariche libere, non vincolate, possono muoversi all’interno del reticolo cristallino. Esse hanno luogo nei metalli, in cui accanto agli elettroni strettamente legati ai rispettivi nuclei ci sono anche degli elettroni liberi che possono essere pensati naturalmente in moto disordinato per via dell’agitazione termica. A tale movimento si può sovrapporre un moto ordinato indotto da un campo vettoriale esterno, che provoca una corrente elettrica macroscopica. Le correnti di convezione sono dovute a dei portatori di carica come corpi o particelle elettricamente carichi che si muovono portando con sé anche le cariche, libere o meno, su di essi depositate. Le correnti di convezione si hanno in particolare nelle soluzioni elettrolitiche per il moto delle particelle elettricamente cariche, dette ioni. Nei gas invece, in opportune condizioni di temperatura e di pressione, le molecole possono essere ionizzate, ossia scisse in ioni positivi ed elettroni. Questi portatori si possono mettere in moto producendo una corrente di convezione. 10  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ 2.4 Campo di corrente Considerata una generica superficie S orientata tramite il versore normale n̂, l’intensità di corrente elettrica i(t) è pari al rapporto tra la carica netta ∆q che transita attraverso S nel verso di n̂ con l’intervallo di tempo ∆t in cui il transito è avvenuto, facendo tendere esso ad essere nullo: ∆q ∂q i(t) = lim = ∆t→0 ∆t ∂t L’intensità della corrente elettrica i(t) ha la dimensione fisica dell’Ampère [A], una delle unità fondamentali nel Sistema Internazionale. La corrente elettrica i(t) è una grandezza scalare di carattere integrale, in generale variabile nel tempo e, a parità di moto delle cariche, dipende dalla superficie S e dalla sua orientazione in termini del versore n̂ ad essa normale. Invertendone l’orientazione, il numero reale che la esprime cambia il segno. La descrizione locale, in ogni punto P e in ogni istante t, in termini di una superficie infinitesima dS, del moto delle cariche elettriche è fornita da un vettore che viene detto densità di corrente elettrica J(P,⃗ t). Considerando che le cariche opposte si muovono in modo differente (la densità positiva ρ+c (P, t) si muove con una sua velocità ⃗ vρ+ (P, t) e quella negativa ρ− ⃗ t) è: vρ− (P, t)), la densità di corrente J(P, c (P, t) lo fa con una ⃗ ⃗ t) = ρ+ (P, t)⃗v + (P, t) + ρ− (P, t)⃗v − (P, t) J(P, c ρ c ρ Vale la seguente relazione per la densità di corrente, al netto della carica: ⃗ t) = ρc (P, t)⃗vρ (P, t) J(P, ⃗ t) costituisce un campo vettoriale detto campo di corrente. Il vettore J(P, Il suo modulo ha la dimensione fisica del Coulomb sul secondo per metro quadrato [C/sm2 ], vale a dire dell’Ampère sul metro quadrato [A/m2 ]. Dato che le densità di carica di segno opposto hanno in generale delle ⃗ t) può essere velocità ⃗vρ+ (P, t) e ⃗vρ− (P, t) diverse, la densità di corrente J(P, non nulla anche nei punti in cui è nulla la densità di carica. Nei metalli, ad esempio, anche se essi sono elettricamente neutri, si ma- nifesta una corrente elettrica quando avviene la migrazione degli elettroni liberi, mentre restano fermi al loro posto i nuclei dotati di carica positiva e legati al reticolo cristallino assieme agli elettroni più interni. Nelle soluzioni 11  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ elettrolitiche e nei gas ionizzati invece, seppur neutri, la corrente è dovuta sia agli ioni positivi che negativi, che si muovono a delle velocità diverse. ⃗ t) rappresenta la corrente i(t) per unità dS di La densità di corrente J(P, superficie attraverso la stessa, orientata rispetto al verso positivo di n̂ e si può dimostrare che la corrente i(t) attraverso la superficie S orientata da n̂ ⃗ t) attraverso essa: rappresenta il flusso della densità di corrente J(P, ¨ i(t) = ⃗ t) · n̂dS = J(P, t)S J(P, S Sostituendo quanto detto precedentemente, si ottiene che: ¨ i(t) = ρc (P, t) ⃗vρ (P, t) · n̂dS = ρc (P, t)vρ (P, t)S S 2.5 Corrente nei conduttori filiformi Spesso il moto delle cariche elettriche è canalizzato in dei volumi conduttori filiformi, caratterizzati da una lunghezza l molto maggiore delle altre due dimensioni spaziali, che si considerano trascurabili. n tali volumi, la densità ⃗ t) è parallela a un versore tangenziale t̂ che definisce la di corrente J(P, direzione di percorrenza del conduttore, detto riferimento di corrente. Invertendo la sua orientazione cambia il segno di i(t). Scegliendo una sezione del conduttore di superficie S, in modo che il relativo versore normale n̂ coincida con il riferimento di corrente t̂, si arriva ⃗ t) attraverso tale sezione: ad una formulazione per la densità di corrente J(P, ⃗ t) = i(t) t̂ J(P, S Si vedrà che il passaggio di corrente in un conduttore aumenta la tempera- tura dello stesso per via delle vibrazioni e del moto delle cariche e sarà dunque necessario limitare il campo di corrente diminuendo la densità di corrente ⃗ t) o aumentando la sezione S del conduttore. La prima strategia ha J(P, l’inconveniente di ridurre la capacità del trasferimento di energia elettrica mentre la seconda ha un notevole impatto sulle dimensioni dei sistemi elettrici. 12  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ 2.6 Legge di continuità La definizione dell’intensità della corrente elettrica come la derivata della carica complessiva rispetto al tempo è valida anche per una superficie chiusa Sc. Si consideri il volume τ racchiuso in tale superficie chiusa. Per il principio di conservazione della carica elettrica, la carica uscente ∂qusc che esce da τ nell’intervallo temporale ∆t transitando attraverso Sc deve eguagliare la contemporanea diminuzione di carica −∂qint interna a τ stesso. Tale relazione definisce la legge di continuità integrale: ∂qusc = −∂qint Differenziando rispetto al tempo t e sfruttando la definizione dell’intensità di corrente, si ottiene la corrente iusc (t) uscente dalla superficie chiusa Sc : ∂qusc ∂qint iusc (t) = =− ∂t ∂t Ipotizzando che la carica qint sia distribuita in τ con densità ρc (P, t), si ha: ˚ ˚ ∂ ∂ρc (P, t) iusc = − ρc (P, t)dτ = − dτ ∂t τ τ ∂t È noto che tale corrente uscente deve essere uguale al flusso della densità ⃗ t) attraverso la superficie chiusa Sc , orientata rispetto al di corrente J(P, versore normale n̂ uscente da essa e, applicando il teorema della divergenza, si tramuta l’integrale superficiale chiuso in uno di volume: ‹ ˚ iusc = ⃗ t) · n̂dS = J(P, ⃗ · J(P, ∇ ⃗ t)dτ S τ Confrontando le espressioni di iusc si ottiene la legge di continuità locale: ⃗ t) = − ∂ρc (P, t) ⃗ · J(P, ∇ ∂t ⃗ t) e il campo scalare Essa mostra come il campo vettoriale di corrente J(P, della densità di carica ρc (P, t) non sono indipendenti l’uno dall’altro. In particolare, il primo diverge o converge (dunque nasce o muore) nei punti in cui il secondo varia nel tempo (rispettivamente diminuisce o aumenta). Questi punti sono detti rispettivamente sorgenti e pozzi del campo di corrente. 13  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ Dalla legge di continuità locale si deduce che se il campo della densità di carica ρc è costante nel tempo (∂ρc (P, t)/∂t = 0), allora il campo di corrente ⃗ t) è solenoidale e ha una divergenza ovunque nulla (∇ J(P, ⃗ · J(P, ⃗ t) = 0). Ne consegue che un campo vettoriale è solenoidale se ha delle linee vettoriali sempre prive di sorgenti o di pozzi e perciò chiuse. Questa proprietà è sempre verificata in condizioni stazionarie, ossia quando è costante nel tempo ⃗ ) oltre a quella di carica ρc (P ), per cui la anche la densità di corrente J(P dipendenza dal tempo t è omessa. Molti fenomeni elettromagnetici sono descritti da un campo solenoidale stazionario. Quanto detto vale anche in quelle regioni spaziali dove la densità di carica − è complessivamente nulla, per cui si ha che ρc (P, t) = ρ+ c (P, t) + ρc (P, t) = 0. Se un campo vettoriale è solenoidale in un dominio R, in esso si può considerare una linea chiusa lc non coincidente con una sua linea vettoriale. L’insieme delle linee vettoriali che la intersecano individua una superficie Slat in cui è contenuto un volume cilindrico, detto tubo di flusso. In particolare, nessuna linea vettoriale attraversa la superficie Slat del tubo di flusso e la sua portata Φ(t) è la stessa per qualunque i-esima superficie di taglio Si , dunque è la stessa per qualsiasi superficie aperta che tagli tutte le linee del tubo di flusso, orlata da una linea chiusa appartenente a Slat. La portata Φ(t) è una grandezza che caratterizza un tubo di flusso di un campo vettoriale ed è sempre costante se esso è solenoidale e stazionario. 2.7 Ampèrometro È necessario misurare la corrente elettrica poiché consente di valutare il regime di funzionamento e di rilevare altre grandezze interessanti nello studio di un sistema elettrico. L’intensità di corrente nei conduttori filiformi si misura con un ampèrometro, strumento che comprende due morsetti e un visualizzatore. Esso indica istantaneamente l’intensità e il verso della corrente elettrica. La connessione al conduttore di cui si intende misurare la corrente si effettua tagliandolo in una sezione S e connettendo ciascuno dei due capi ad un morsetto. In tal modo la corrente può attraversare lo strumento. Il visualizzatore indica la corrente relativa alla sezione S del conduttore, riferita al verso di che va dal morsetto + al morsetto − per una corretta lettura. L’ampèrometro è detto ideale se non modifica l’intensità di corrente relativa alla sezione in cui è inserito, ossia se non ostacola il moto delle cariche 14  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ e non provoca delle perdite energetiche nel flusso. Inoltre, se le correnti sono alternate, lo strumento è costruito per rilevarne il valore efficace. 2.8 Legge di Coulomb Si ipotizza d’ora in poi che il comportamento di un materiale immerso in un campo vettoriale sia uniforme, ossia che tale mezzo sia omogeneo (le sue proprietà non variano nello spazio), isotropo (non dipendono dalla direzione del campo) e lineare (non dipendono dall’intensità del campo). L’esperienza di Coulomb dimostra che in un materiale uniforme una carica puntiforme q posta nel punto Q esercita una forza elettrica ∆F⃗c (P ) su una carica di prova ∆q posta in un generico punto P a distanza rQP da Q. La forza elettrica è vettorialmente esprimibile con la legge di Coulomb, relazione in cui ûQP è il versore che indica la direzione del segmento rQP , orientato dal punto Q al punto P , mentre ε è la permittività dielettrica del materiale uniforme in cui sono immerse le cariche: q∆q ∆F⃗c (P ) = 2 ûQP 4πεrQP La permittività dielettrica ε ha la dimensione del Farad sul metro [F/m], ove si definisce il Farad come il Coulomb al quadrato sul Joule [F ] = [C 2 /J]. Il vuoto ha una permittività di ε0 = 8, 85 · 10−12 F/m mentre ogni altro materiale ha una permittività maggiore sicché, a parità di altre condizioni, l’interazione elettrica è attenuata rispetto a quella che si avrebbe nel vuoto. In base a tale legge, la forza è attrattiva se le due cariche sono discordi ed è repulsiva nel caso contrario. È possibile dimostrare che la forza elettrica ∆F⃗c (P ) cosı̀ definita è una forza conservativa e dipende solo dalla posizione istantanea nello spazio del punto P e non dalla sua storia passata. 2.9 Campo elettrostatico e potenziale Piuttosto che la forza elettrica ∆F⃗c (P ) che la carica q esercita sulla carica di prova ∆q, è conveniente andare a definire la forza elettrica per unità di carica E⃗ c (P ), definita come il limite del rapporto tra la forza ∆F⃗c (P ) e la carica di prova ∆q ad essa associata, facendo tendere questa a zero: ⃗ ⃗ ⃗ c (P ) = lim ∆Fc (P ) = ∂ Fc (P ) E ∆q→0 ∆q ∂q 15  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ Applicando le proprietà di derivazione rispetto a ∆q alla ∆F⃗c (P ), si osserva che il vettore E⃗ c (P ) è indipendente dalla carica di prova ∆q ed, essendo funzione del punto P ove è posizionata, costituisce un campo vettoriale detto campo elettrostatico, con la dimensione del Newton sul Coulomb [N/C], unità derivata espressa come Volt su metro [V /m], dove il Volt è definito dal rapporto tra il Joule ed il Coulomb [V ] = [J/C]. ⃗ c (P ) = q E 2 ûQP 4πεrQP ⃗ c (P ) è prodotto dalle cariche elettriche, In generale, il campo elettrostatico E puntiformi o distribuite e, in particolare, la precedente relazione esprime il campo prodotto dalla carica puntiforme q posta nel punto Q appartenente ad un materiale uniforme di permittività dielettrica ε. Si osserva che se la distribuzione di carica non è puntiforme, allora la sua espressione sarà diversa. Si nota anche che se la carica q è dipendente dal tempo t e dunque q = q(t), tale dipendenza è estesa al campo elettrostatico E⃗ c (P, t). Tuttavia, se si è in condizioni stazionarie essa è irrilevante. Il campo E ⃗ c (P ) ha la dimensione fisica del Newton sul Coulomb [N/C], unità derivata che viene espressa come Volt su metro [V /m], dove il Volt è definito come il rapporto tra il Joule ed il Coulomb [V ] = [J/C]. Il campo elettrostatico E ⃗ c (P ), essendo associato ad una forza conservativa, è anche esso conservativo e quindi il suo integrale di linea lungo qualsiasi linea aperta C(A → B) dipende solo dalla posizione dei suoi estremi: ˆ B ⃗ c (P ) · t̂dl non dipende da C(A → B) E A Infatti, la sua circuitazione lungo ogni linea chiusa l che delimita una qualsiasi superficie S deve essere sempre nulla, come mostrato dalle seguenti espressioni, eguagliate applicando il teorema di Stokes: ˛ ¨ ⃗ c (P ) · t̂dl = 0 E → ⃗ ×E [∇ ⃗ c (P )] · t̂dS = 0 l S Tale proprietà è sempre verificata per ogni possibile distribuzione di carica che produce il campo E ⃗ c (P ) e per qualsiasi natura dei mezzi in cui esso si sviluppa, anche se non uniformi. Essendo questo conservativo, vale che: È ovunque irrotazionale (∇ ⃗ ×E ⃗ c (P ) = ⃗0). 16  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ È ovunque potenziale, ossia esprimibile con il gradiente di un campo ⃗ c (P ) = −∇U scalare U (P ) detto potenziale elettrico (E ⃗ (P )). Il suo integrale di linea lungo un generico percorso C(A → B) che si sviluppa tra i punti A e B, restituisce semplicemente la differenza tra i valori che il potenziale elettrico U (P ) assume in A e in B: ˆ B E⃗ c (P ) · t̂dl = U (A) − U (B) A Il potenziale elettrico U (P ) è una funzione scalare definita in ogni punto P del mezzo, a meno di una costante, alla quale solitamente si attribuisce il valore che rende il campo scalare U (P ) nullo ad un’infinita distanza da P (tale punto nella pratica è associato al terreno). L’ultima relazione mostra che la differenza tra i valori del potenziale nelle posizioni A e B è pari all’integrale di linea di E ⃗ c (P ) tra A e B stessi. Pertanto, imponendo che il potenziale sia nullo all’infinito (U (∞) = 0), vale che: ˆ ∞ E⃗ c (P ) · t̂dl = U (P ) P Il potenziale elettrico U (P ) ha la dimensione del Volt [V ] ed è fisicamente ⃗ c (P ) di compiere un lavoro un indice della capacità del campo elettrostatico E e quindi di trasferire spazialmente l’energia elettrostatica. Le superfici isolivello del potenziale, luoghi per cui U (P ) è costante, defini- scono le superfici equipotenziali del campo elettrostatico E ⃗ c (P ) e, data la natura dell’operatore gradiente, tale campo è sempre ortogonale ad esse ed è diretto da quelle a potenziale maggiore verso quelle a potenziale minore. Ogni campo vettoriale è rappresentabile tramite delle linee vettoriali o di flusso, curve ideali tangenti in ogni punto alla direzione del vettore del campo stesso e perpendicolari alle superfici equipotenziali. In ogni punto di tale campo, passa una sola linea vettoriale e la densità delle linee disegnate è un indice quantitativo della sua intensità 2.10 Campo elettrico La forza elettrica specifica complessiva ∆F⃗e (P, t) sperimentabile da una carica elettrica di prova ∆q, ferma e priva di supporto materiale, costituisce il campo ⃗ elettrico E(P, t), campo vettoriale che in generale non è conservativo: ⃗ ∆F⃗e (P, t) ∂ F⃗e (P, t) E(P, t) = lim = ∆q→0 ∆q ∂q 17  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ Infatti, al pari della forza elettrica ∆F⃗e (P, t), che agisce su ∆q a prescindere dalla presenza di supporti materiali, il campo elettrico E(P, ⃗ t) trae origine soltanto da fenomeni elettromagnetici esterni, ossia da altre cariche elettriche che possono essere in moto e dare luogo ad accumuli variabili nel tempo t. A tal proposito, si analizzano i seguenti scenari: Quando tutte le cariche sono ferme nello spazio, si è in condizioni elettrostatiche, per cui la densità volumica di carica ρc (P, t) è costante ⃗ t) è nulla. Invece, quando tutte le cariche e la densità di corrente J(P, si muovono ad una velocità costante, si è in condizioni stazionarie, per cui sia la densità volumica di carica ρc (P, t) che quella di corrente ⃗ t) sono costanti rispetto al tempo t. In entrambi gli scenari il campo J(P, ⃗ E(P, t) è conservativo e coincide con quello elettrostatico E⃗ c (P, t): ⃗ E(P, ⃗ c (P, t) t) = E Si osserva che, quando le distribuzioni di carica variano nel tempo t esprimendosi come q(P, t), ρc (P, t), σc (P, t) e λc (P, t), risulta variabile nel tempo anche il campo elettrostatico E ⃗ c (P, t) ad esse associato. Se sia la densità volumica di carica ρc (P, t) che la densità di corrente ⃗ t) variano con arbitrarie leggi in P e t, si è in condizioni variabili J(P, generiche. In tal caso, E ⃗ c (P, t) costituisce il termine conservativo del campo elettrico complessivo E(P, ⃗ t) perché c’è un addendo non conservativo, detto campo elettrico indotto E ⃗ i (P, t): ⃗ E(P, ⃗ c (P, t) + E t) = E ⃗ i (P, t) 2.11 Tensione elettrica Si definisce la tensione elettrica v(t) come l’integrale di linea del campo ⃗ elettrico E(P, t) lungo il percorso l, aperto o chiuso, orientato dal riferimento di tensione, costituito da un versore τ̂ tangente a tale percorso: ˆ ⃗ v(t) = E(P, t) · t̂dl l Si assume che il percorso l sia rigido e immobile, altrimenti alla definizione della tensione v(t) contribuirebbe un ulteriore addendo che trae origine da una forza elettrica specifica associata al moto del percorso stesso. 18  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ La tensione è espressa da un numero reale v(t) che, a parità di campo ⃗ elettrico E(P, t), dipende solo dalla linea l e dalla sua orientazione in termini del versore tangente t̂. In particolare, invertendone l’orientazione, si cambia il ⃗ segno di v(t). È evidente che se E(P, t) varia nel tempo t, lo farà anche v(t). Nel caso in cui il percorso l(A → B) sia aperto e orientato dal punto A al punto B, la tensione è scritta nel seguente modo, ove i pedici ordinati in vAB (t) specificano che il percorso è orientato da A verso B e che dunque il versore tangente t̂ è diretto dalla posizione A a quella B: ˆ B vAB (t) = ⃗ E(P, t) · t̂dl A ⃗ Spesso, invece di usare i pedici, si indica l’orientazione di E(P, t) ponendo un segno + vicino al punto di inizio della linea l e un − vicino alla sua fine. A livello internazionale trova impiego il riferimento per mezzo di una freccia la cui orientazione rispetto ai punti A e B cambia in base alla convenzione. Ci si riferirà al primo metodo per indicare la tensione, ovvero quello relativo ai pedici, onde evitare equivoci con i riferimenti delle correnti. Ricordando che il campo elettrico E(P, ⃗ t) esprime una forza specifica prodotta dai fenomeni elettromagnetici, la tensione v(t) rappresenta il lavoro elettrico specifico ∂Le /∂q svolto da ogni contributo elementare ∂ F⃗e (P, t) di forza elettrica nell’interazione della carica elementare ∂q lungo la linea l: ˆ ⃗ ˆ ∂ Fe (P, t) ∂ ∂Le v(t) = · t̂dl = F⃗e (P, t) · t̂dl → v(t) = l ∂q ∂q l ∂q Al pari del potenziale elettrico U (P ), la tensione elettrica v(t) ha la dimensione fisica del Volt [V ], unità di misura omogenea al Joule sul Coulomb [J/C]. Si intuisce quindi il legame intrinseco che sussiste tra le due grandezze. Si consideri una regione ove il campo elettrico E(P, ⃗ t) è conservativo in quanto costituito dal solo addendo elettrostatico E ⃗ c (P, t) e quindi di essere in un regime elettrostatico o stazionario. Per ogni linea l appartenente a tale regione, la tensione vAB (t) non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B. Infatti, essendo E⃗ c (P, t) conservativo, si ha che: ˆ B vAB (t) = ⃗ E(P, t) · t̂dl = U (B) − U (A) A Quindi la tensione vAB (t) in un campo conservativo è pari alla differenza tra i valori che il potenziale U (P ) assume in A e B. In tali condizioni, la tensione è una differenza di potenziale (o d.d.p.). 19  CAPITOLO 2. ELETTRICITÀ Se U (A) = U (B), la tensione vAB (t) tra A e B è nulla e, siccome E ⃗ c (P, t) è conservativo, sono nulle la tensione lungo ogni linea chiusa di tali estremi e la tensione tra ogni coppia di punti sulla stessa superficie equipotenziale. Dato che il potenziale elettrico è nullo all’infinito, il potenziale U (P ) nel punto P rappresenta la tensione v∞ (t) tra esso e l’infinito, pari al lavoro elet- trico specifico ∂Lc /∂q che le forze elementari del campo E ⃗ c (P, t) svolgerebbero per trasportare una carica elementare dq dal punto P all’infinito: ∂Lc v∞ (t) = U (P ) = ∂q 2.12 Voltmetro Le tensioni si misurano con uno strumento detto voltmetro, che comprende un visualizzatore che può essere una lancetta mobile lungo una scala gra- duata, un display digitale oppure un oscilloscopio. Lo strumento restituisce istantaneamente la tensione in termini del suo valore e del suo segno. Un voltmetro comprende due conduttori filiformi flessibili, che terminano in due puntali P + e P − marcati uno con il segno + e l’altro con il −. Per misurare la tensione relativa alla linea l(A → B) aperta e orientata da A a B tramite il versore tangente t̂, i due conduttori vanno adagiati sulla linea con il puntale P + nel punto A e il puntale P − nel punto B. Infatti, in questo modo, il visualizzatore indica la tensione definita come in precedenza. Un voltmetro è detto ideale se con la sua presenza non influenza il campo elettrico e non provoca alcun moto di cariche elettriche lungo i suoi conduttori. ⃗ Se il campo elettrico E(P, t) è conservativo e la tensione dipende solo dagli estremi A e B della linea l, il percorso dei conduttori è ininfluente e conta solo la posizione dei puntali. Se invece il campo E(P,⃗ t) non è conservativo, allora il percorso dei conduttori determina il valore della tensione. 20 Capitolo 3 Reti elettriche Una rete elettrica costituisce il modello semplificato di un qualsiasi sistema in cui avvengono dei fenomeni di tipo elettrico. Una rete elettrica è costituita da contenitori chiusi riconducibili a delle scatolette, forniti in generale di un certo numero n di terminali elettrici. In base al numero di terminali, i contenitori sono detti bipoli se hanno ne due, tripoli se ne hanno tre, quadripoli se ne hanno quattro, o in generale n-poli se hanno n terminali. L’utilità di una rete elettrica è di consentire la manipolazione delle gran- dezze elettriche per rendere i loro valori ottimali all’utilizzo o alla conversione. I terminali della rete sono connessi tramite dei materiali conduttori disposti in modo filiforme, realizzati in metallo, sedi di correnti di conduzione perché le cariche sono libere di muoversi all’interno del reticolo cristallino. I soli conduttori non bastano perché la loro presenza genera un campo elettrico relativo all’interazione tra più conduttori nelle vicinanze e tra essi e il terreno. Pertanto, è richiesto anche l’impiego di materiali isolanti (o dielettrici) che schermano la rete da questo campo elettrico e che separano fisicamente i vari elementi. Entro essi circolano le correnti di polarizzazione. Di seguito sono elencate le ipotesi alla base del modello della rete elettrica. Lungo i conduttori le cariche sono libere e quindi essi sono equipotenziali, ⃗ per cui il campo elettrico E(P, t) entro gli stessi è trascurabile. Il mezzo all’esterno degli n-poli e dei conduttori è un isolante, per cui il ⃗ t) fuori dalla rete risulta sempre trascurabile. campo di corrente J(P, All’esterno degli n-poli il campo elettrico è soltanto quello conservativo ⃗ (E(P, ⃗ c (P, t)) e siccome il mezzo è un isolante, ivi non è presente t) = E alcun tipo di accumulo di carica (ρc (P, t) = 0). 21  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE 3.1 Bipoli Nel seguito della trattazione verranno spesso considerati i bipoli, dispositivi a due terminali. Essi potranno rappresentare elementi circuitali diversi come i resistori, i condensatori, gli induttori, i generatori elettrici, i diodi e cosı̀ via. In ogni caso, un bipolo è completamente identificato dalla relazione tra la tensione v(t) e la corrente i(t) che si stabiliscono suoi terminali, detta caratteristica statica esterna. In generale, tali grandezze dipendono dal tempo t e possono essere legate da un’equazione algebrica o differenziale. Per una qualsiasi rete di bipoli, si definiscono i seguenti elementi topologici: Un nodo è una giunzione in cui convergono almeno due conduttori. Un lato è un tratto limitato da due nodi in cui c’è almeno un bipolo. Una maglia è un insieme di lati che formano un percorso chiuso. I bipoli presentano le seguenti proprietà fondamentali: La corrente i(t) entrante in un terminale è uguale alla corrente uscente dall’altro, ovvero la somma delle correnti entranti nel bipolo è nulla. ⃗ · J(P, Quindi la corrente che lo attraversa è solenoidale (∇ ⃗ t) = 0). La tensione vAB (t) tra i due terminali è a tutti gli effetti una differenza di potenziale. In altre parole, il campo elettrico nella regione spaziale ⃗ prossima al bipolo è conservativo (E(P, t) = E⃗ c (P, t)). I riferimenti della tensione e della corrente ai terminali di un bipolo possono essere fissati in modo arbitrario. Tuttavia, per evitare di compiere degli errori, è conveniente indicare al più presto sul circuito i riferimenti scelti sia per la tensione che per la corrente e si raccomanda di non modificarli. A seconda dell’orientazione dei riferimenti, sono possibili due combinazioni: Con la convenzione del generatore, il riferimento di corrente esce dal terminale contrassegnato positivo per la tensione. Con la convenzione dell’utilizzatore, il riferimento di corrente entra nel terminale contrassegnato positivo per la tensione. È noto che la differenza di potenziale vAB (t) è riconducibile ad un lavoro fornito alle forze elettriche nello spostare le cariche da un punto A al punto B in un conduttore per unità di carica, mentre l’intensità di corrente i(t) è riconducibile alla carica elettrica netta nell’unità di tempo. 22  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE A tal proposito, si osserva che, considerando un generico bipolo, il prodotto dei valori della corrente i(t) e della differenza di potenziale vAB (t), misurati ai terminali A e B, è dato dalla potenza elettrica istantanea p(t): ∂LAB ∂q ∂LAB vAB (t)i(t) = = → vAB (t)i(t) = p(t) ∂q ∂t ∂t Essa è analoga ad una potenza in quanto è espressa da un lavoro LAB per unità di tempo, che può essere positivo o negativo, in dipendenza dai valori di vAB (t) ed i(t) e che si può caratterizzare in base alla convenzione scelta: Utilizzando la convenzione del generatore, p(t) è la potenza uscente e se essa è positiva, è la potenza erogata dal bipolo. Applicando tale convenzione, LAB è il lavoro fornito alle forze elettriche conservative agenti sulle cariche, che consente loro di fluire attraverso il bipolo. Utilizzando la convenzione dell’utilizzatore, p(t) è la potenza entrante e se essa è positiva, è la potenza assorbita dal bipolo. Applicando tale convenzione, LAB è il lavoro speso dalle forze elettriche conservative agenti sulle cariche al fine di farle fluire attraverso il bipolo. Ipotizzando che la corrente i(t) e la tensione vAB (t) siano delle grandezze alternate, allora lo sarà anche la potenza istantanea p(t). Fissando un certo intervallo temporale ∆t = tB −tA , il valore medio pave della potenza istantanea p(t) è detto potenza media ed è definito come segue: ˆ tB ˆ tB 1 1 ∆LAB pave = p(t)dt = dLAB → pave = ∆t tA ∆t tA ∆t La differenza finita ∆LAB indica il lavoro complessivo scambiato nel- l’intervallo temporale ∆t e determina una variazione dell’energia elettrica complessiva W dovuta al trasferimento di potenza nel bipolo: ∆LAB = WB − WA L’energia elettrica istantanea w(τ ) di un bipolo dopo un tempo τ è: ˆ τ w(τ ) = vAB (t)i(t)dt −∞ In base al segno di w(τ ), si può effettuare la seguente classificazione: Il bipolo è detto passivo se w(τ ) ≥ 0 in qualunque istante t nell’inter- vallo τ. Significa che esso non è in grado di erogare potenza. Il bipolo è detto attivo se w(τ ) ≤ 0 in qualunque istante t nell’intervallo τ. Significa che esso è in grado di erogare potenza. 23  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE 3.2 n-poli, m-poli e doppi bipoli Esistono dei componenti elettrici nei quali sono presenti più tubi di flusso ⃗ t) o dei tubi ramificati. Essi presentano n i-esime sezioni della corrente J(P, terminali Si attraverso cui può avvenire la conduzione di corrente e sono schematizzabili con degli n-poli aventi n terminali, uno per ogni sezione Si. Un n-polo ha un numero n di correnti ai terminali, la determinazione delle quali richiede di fissarne i riferimenti. Tra ogni coppia di terminali è poi presente una determinata tensione della quale deve essere fissato il riferimento. Gli n-poli hanno delle proprietà fondamentali generalizzate dai bipoli: La somma netta delle correnti uscenti dai terminali è nulla. La tensione tra ogni coppia di terminali è una differenza di potenziale. Si definisce un m-bipolo come un n–polo, per cui n sia pari, i cui n terminali siano raggruppati in m = n/2 porte ben definite. Un esempio di m-bipolo è il trasformatore elettrico. Si parla specificamente di bipolo se ci sono m = 1 porte, di doppio bipolo se ci sono m = 2 porte, di triplo bipolo se ci sono m = 3 porte e in generale di m-bipolo se ci sono m porte. Le grandezze che si considerano in un m-bipolo sono le m tensioni e le m correnti di porta, che verificano sempre le proprietà degli n-poli. In un doppio bipolo si individuano due tensioni di porta e due correnti di porta. Non interessano le tensioni esistenti fra terminali delle due porte. Il comportamento di un doppio bipolo è completamente determinato da una coppia di equazioni tra le due tensioni e le due correnti di porta che impongono due vincoli alle quattro grandezze elettriche e lasciano loro due gradi di libertà. 3.3 Resistenza elettrica e legge di Ohm La corrente elettrica, ossia il moto delle cariche elettriche, dipende dalle forze che agiscono sulle stesse. Tali sono le forze elettromagnetiche alle quali è ⃗ associato il campo elettrico E(P, t). In questa sezione si considererà soltanto ⃗ t) che la corrente elettrica di conduzione descritta dal campo di corrente J(P, ⃗ si manifesta nei materiali conduttori per effetto del campo elettrico E(P, t). In seguito, si studieranno altri tipi di azioni che consentono tale moto. Ci si pone in condizioni stazionarie, per cui le grandezze sono costanti nel tempo t ed è omessa tale dipendenza. Sotto tale ipotesi la corrente è 24  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE ⃗ · J(P solenoidale (∇ ⃗ ) = 0) e il campo elettrico è conservativo (E(P ⃗ )=E⃗ c (P )). Per convenzione, si indicheranno le grandezze stazionarie in maiuscolo. Si consideri un conduttore cilindrico omogeneo di sezione normale S colle- gato ad un generatore elettrico stazionario. Esso è sede di un campo di ⃗ ) al quale corrisponde la corrente I, costante nel tempo t. corrente J(P Si assume che il cilindro delimiti completamente il campo di corrente, in ⃗ ) non attraversino mai la sua superficie modo che le linee di forza di J(P laterale. Esso è per quanto detto un tubo di flusso del campo di corrente. Tra due punti A e B del conduttore distanti l, che individuano le sezioni normali SA ed SB , si misura una tensione V riconducibile a una d.d.p. per la ⃗ ). conservatività del campo elettrico E(P La tensione e la corrente sono misurate rispettivamente con un voltmetro e con un ampèrometro e, in riferimento a quanto detto, il conduttore può essere considerato come un bipolo a cui è applicata la convenzione dell’utilizzatore. In tali condizioni, si osserva che esiste una relazione di proporzionalità diretta tra i valori della corrente I con quelli della d.d.p. V. Si può quindi definire la resistenza elettrica R, che ha la dimensione fisica dell’Ohm [Ω], riconducibile al Volt sull’Ampère [V /A], tramite la legge di Ohm: V = RI La legge di Ohm può essere espressa allo stesso modo tramite la con- duttanza elettrica G, reciproco della resistenza R, con la dimensione del Siemens [S], inverso dell’Ohm [Ω−1 ] e pari all’Ampère sul Volt [A/V ]: I = GV L’esperienza dimostra che il cilindro percorso da corrente si riscalda ed è sede di dissipazioni energetiche secondo l’effetto Joule. Si osserva che il tratto di cilindro lungo l, di resistenza R, se percorso dalla corrente I, induce una potenza dissipata Pdis. Dalla legge di Ohm, valgono le: Pdis = V I = RI 2 = GV 2 D’altro canto, la potenza dissipata Pdis dal conduttore deve coincidere con la potenza assorbita Pass da esso, proveniente dal generatore (Pass = Pdis ). Pdis e Pass si misurano in Watt [W ] e, in regime stazionario, la potenza istantanea p(t) = v(t)i(t) coincide con quella media pave = P = V I. I parametri R e G sono delle caratteristiche estrinseche del tratto di conduttore tra le sezioni SA ed SB e dipendono dalla sezione normale S e 25  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE dalla lunghezza l del cilindro tramite la seguente relazione, valida per un conduttore filiforme, in cui ρ definisce la resistività elettrica, caratteristica intrinseca del materiale, con la dimensione dell’Ohm per metro [Ωm]: l R=ρ S Il reciproco γ è la conducibilità elettrica, in Siemens sul metro [S/m]: S G=γ l Si intuisce come la resistenza sia una grandezza integrale, relativa all’esten- sione fisica del conduttore mentre la resistività sia una caratteristica intrinseca di ogni suo elemento infinitesimo e quindi del materiale stesso. La maggior parte dei materiali ha un legame lineare tra la tensione e la corrente e dunque ha resistività ρ costante per un certo loro range, a parità di altre condizioni fisiche come la temperatura. Sta qui l’essenza della legge di Ohm ed essi sono detti materiali ohmici. Esistono anche dei materiali non lineari, con una resistività ρ variabile in modo diverso al variare della corrente e della tensione, detti materiali non ohmici. Peraltro, la resistività ρ risulta funzione della temperatura θ. Se le variazio- ni di essa sono limitate ad alcune decine di gradi Kelvin [K], tale dipendenza può essere ritenuta lineare ed espressa dalla seguente relazione, in cui θ0 è la temperatura alla quale la resistività vale ρ0 mentre α è un parametro caratteristico di ogni materiale, detto coefficiente di temperatura: ρ = ρ0 [1 + α(θ − θ0 )] 3.4 Classificazione dei materiali elettrici La resistività ρ può assumere dei valori molto diversi da materiale a materiale ed in relazione a ciò i diversi materiali sono classificati come mostrato. Esistono diverse classi di superconduttori, per natura e utilizzo: Ai superconduttori del primo tipo sono riconducibili dei metalli puri (Hg, P b, Sn, N b, In) che a temperature di pochi [K] hanno resistività nulla. Tale proprietà è persa se il materiale è immerso in un campo magnetico o è percorso da una piccola corrente. 26  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE I superconduttori del secondo tipo sono delle leghe (N b/T i, N b3 /Sn, N b3 /Al, M g/B2 ) che mantengono una resistività nulla fino a dei cam- pi magnetici di diversi Tesla e delle densità di corrente fino a diversi kA/mm2. Sono utilizzati per realizzare dei magneti ad alto campo nei dispositivi per la risonanza magnetica nucleare (diagnostica medica e analisi chimiche), negli acceleratori di particelle e negli esperimenti di confinamento di plasmi ad alta temperatura, come il Tokamak. Ceramici contenenti terre rare come Y Ba2 Cu2 O7 e Bi2 Sr2 CaCu2 O8 sono detti superconduttori ad alta temperatura poiché assumono tale proprietà già a temperature dell’ordine di 77 K, punto di ebollizione dell’azoto liquido. Essi hanno limiti dei campi magnetico e di corrente piuttosto bassi e sono poco utilizzati. Metalli I metalli sono i materiali più utilizzati per realizzare la conduzione elettrica. In essi la corrente è dovuta ad un gas di elettroni liberi, costituito dagli elettroni periferici, meno vincolati dai legami con i nuclei atomici, che possono muoversi nei reticoli cristallini in conseguenza di un campo elettrico. Le forze elettriche esterne modificano lo stato cinetico dovuto all’agitazione termica delle particelle, disordinato e caratterizzato da una velocità media nulla, provocando una debole velocità ordinata degli elettroni liberi che dà luogo ad una corrente elettrica di conduzione. La velocità di agitazione termica può essere dell’ordine dei 105 m/s, mentre la velocità media di migrazione elettronica dovuta alle forze elettriche può essere di 10−3 m/s. Ottimi conduttori, importanti per le frequentissime applicazioni, sono Cu e Al, le cui resistività a temperatura ambiente valgono rispettivamente 1, 8·10−8 Ωm e 2, 6 · 10−8 Ωm. D’altro canto, vi sono dei tipi di leghe per elementi riscaldanti usati nei forni elettriche (N i/Cr) che presentano delle resistività dell’ordine dei 10−11 Ωm. Non a caso, nei metalli la resistività aumenta con la temperatura e il coefficiente di temperatura α è positivo. Esistono anche conduttori non metallici come la grafite, con una resistività compresa tra 4 · 10−5 Ωm e 2 · 10−5 Ωm e un coefficiente α negativo. Soluzioni elettrolitiche Una soluzione elettrolitica è una soluzione in cui una parte delle molecole è scissa in ioni dotati di carica positiva o negativa, ovvero in dei portatori di carica. Le forze elettriche provocano il moto ordinato di ciascuno dei due tipi di ioni nel volume dell’elettrolita, dando luogo a una corrente elettrica. Alcune soluzioni elettrolitiche sono di notevole interesse applicativo nei 27  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE generatori elettrochimici, negli impianti di produzione di metalli per elettrolisi e cosı̀ via e presentano delle resistività relativamente basse, fino a 3 · 10−2 Ωm. Tra le soluzioni elettrolitiche vanno citate senza dubbio anche l’acqua di mare (ρ ≈ 0, 3 Ωm) e l’acqua dolce non demineralizzata (ρ ≈ 100 Ωm). Semiconduttori I semiconduttori, ed in particolare Ge e Si, atomi tetravalenti riguardo ai legami chimici, sono materiali che presentano delle resistività rispettivamente di 0, 47 Ωm e di 2300 Ωm. La loro importanza sta nel fatto che la resistività può essere ridotta se tali elementi vengono drogati mediante l’inserzione nel reticolo di atomi pentavalenti come P , As o Sb, o trivalenti come Al, B e Ir. Essi sono fondamentali nelle applicazioni elettroniche e in particolare: Gli atomi pentavalenti dispongono di cinque elettroni esterni, quattro dei quali vengono legati al reticolo mentre il quinto è libero. In tal caso si parla di conduzione di tipo N (o per elettroni). Gli atomi trivalenti dispongono di tre elettroni esterni e sono in difetto di un elettrone di legame rispetto ai tetravalenti. Questo difetto, detto lacuna, costituisce una carica libera fittizia positiva. In tal caso si parla di conduzione di tipo P (o per lacune). Isolanti Gli isolanti (o dielettrici) sono dei materiali con una resistività dell’ordine dei 108 Ωm o superiore. Tra essi hanno interesse gli oli minerali, i vetri, il quarzo, le ceramiche e svariate sostanze plastiche e il loro utilizzo è di schermatura dai campi elettrici, o di accumulo della loro energia. Dato che la resistività degli isolanti è molto maggiore di quella dei con- duttori anche di decine di ordini di grandezza, in molte applicazioni si può assumere che essi abbiano una conducibilità γ nulla. 3.5 Legge costitutiva del campo di corrente Considerando un cilindro infinitesimo di conduttore di sezione dS e lunghezza dl, la tensione ai suoi capi risulta dv(t) = Ec (P, t)dl, la sua resistenza risulta R = ρdl/dS e la corrente transitante entro esso risulta di(t) = J(P, t)dS. Pertanto, è possibile riscrivere la legge di Ohm come dv(t) = Rdi(t): dl Ec (P, t)dl = ρ J(P, t)dS → Ec (P, t) = ρJ(P, t) dS 28  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE Questa relazione è generalizzabile alla forma vettoriale e vale anche se il ⃗ campo elettrico E(P, t) presenta una componente non conservativa E ⃗ i (P, t) oltre a quella Coulombiana E ⃗ c (P, t). Quanto detto vale tuttavia solo in quei ⃗ mezzi ove l’unica fonte delle forze elettriche è associata al campo E(P, t). Si può quindi introdurre la relazione costitutiva del campo di corrente, espressione della legge di Ohm a livello infinitesimo, che sancisce il legame tra ⃗ il campo elettrico E(P, ⃗ t) tramite il coefficiente t) e il campo di corrente J(P, di proporzionalità della resistività ρ o della conducibilità γ: ⃗ E(P, ⃗ t) t) = ρJ(P, ⃗ t) = γ E(P, J(P, ⃗ t) Per quanto detto sulla conducibilità dei materiali isolanti, per i quali si assume conducibilità nulla (γ = 0), la densità di corrente J(P,⃗ t) che si sviluppa in essi può essere lecitamente trascurata per qualsiasi campo elettrico ⃗ E(P, t), rispetto a quella dei materiali conduttori e semiconduttori. Perciò, utilizzando un conduttore o semiconduttore circondato da un isolante, si ottiene un campo di corrente perfettamente confinato o canalizzato entro esso. Tale assunzione è lecita per il fatto che ogni cilindro di conduttore è assimilabile ad un tubo di flusso del campo di corrente J(P, ⃗ t). Si può calcolare la potenza infinitesima dissipata dPdis (t) in tale cilindretto infinitesimo di conduttore, sfruttandone la precedente definizione: dl dPdis (t) = R[di(t)]2 = ρ [J(P, t)dS]2 → dPdis (t) = ρJ 2 (P, t)dldS dS Se dτ = dldS è il volume infinitesimo di conduttore, la potenza specifica dissipata pdis (t), con le dimensioni del Watt sul metro cubo [W/m3 ], è: pdis (t) = ρJ 2 (P, t) 3.6 Resistenza e forma del conduttore Si ricordi che a seconda delle geometrie del tubo di flusso del campo di corrente ⃗ t) e dunque in base alla forma del conduttore, si possono ottenere diverse J(P, tipologie di fenomeni resistivi in termini di resistenza R, a parità di resistività, che è sempre tipica di ogni materiale conduttore. Si analizzano i conduttori filiformi, i conduttori cilindrici e infine quelli sferici, ipotizzando di considerare sempre dei fenomeni elettrici stazionari. 29  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE Conduttori filiformi Si consideri un conduttore filiforme di sezione S, con la dimensione trasver- sale molto minore della sua lunghezza l, realizzato con un mezzo omogeneo e isotropo di resistività ρ, immerso in un isolante di conducibilità γ nulla. ⃗ t) è Se la sezione S del conduttore è costante, la densità di corrente J(P, ⃗ uniforme lungo l e cosı̀ vale anche per il campo elettrico E(P, t) a causa della relazione costitutiva del campo di corrente. Sotto queste ipotesi, la tensione V ai capi del conduttore risulta pari a: ˆ ˆ ⃗ ⃗ t) · t̂dl = ρJ(P, t)l l v(t) = E(P, t) · t̂dl = ρJ(P, → V =ρ I l l S Confrontando la legge di Ohm V = RI con l’espressione della tensione V appena trovata, si giunge all’espressione della resistenza R già definita: l R=ρ S Conduttori cilindrici cavi Si consideri un mezzo conduttore uniforme di resistività ρ, posto tra due superfici cilindriche conduttrici perfettamente coassiali, di raggi rA ed rB e di lunghezza l, tra cui sia applicata una tensione V. È possibile dimostrare che tale conduttore cilindrico ha una resistenza R data dalla seguente espressione, ricavata dalla risoluzione di un integrale e dal confronto con la legge di Ohm:   ρ rA R= ln 2πl rB Conduttori sferici cavi Si consideri un conduttore uniforme di resistività ρ, posto tra due superfici sferiche concentriche conduttrici di raggi rA ed rB , tra cui sia applicata una tensione V. Si può dimostrare che tale conduttore abbia una resistenza R di:   ρ 1 1 R= − 4π rA rB Se il raggio esterno rB tende all’infinito, la resistenza del conduttore sferico è R = ρ/4πrA. Un esempio relativo ad un semispazio, per cui la resistenza va moltiplicata per due è il dispersore di terra (o messa a terra). 30  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE 3.7 Resistori Si definisce un resistore come un componente specificamente costruito al fine di verificare la legge di Ohm, anche in condizioni variabili, cosicché la relazione tra la tensione e la corrente, continue o alternate, sia in ogni istante esprimibile con le espressioni v(t) = Ri(t) o i(t) = Gv(t). In tali componenti, le superfici estreme SA ed SB costituiscono i terminali (o morsetti) A e B, che permettono la connessione con altri elementi. Tale peculiarità fa del resistore un bipolo. La corrente e la tensione sono riferite ad essi, per cui si parla di corrente e di tensione ai terminali. A seconda dei conduttori impiegati, la resistività ρ e quindi la resistenza R del resistore possono essere indipendenti o meno dalla tensione e dalla corrente. Si hanno rispettivamente: I resistori lineari, oggetti metallici come i resistori impiegati nei forni, in grado di dissipare potenze di molti kW , o resistori più piccoli, impiegati nei circuiti di segnale, tipicamente in grado di dissipare potenze della frazione del W. Si menzionano infine le lampade a incandescenza. I resistori non lineari, oggetti che proteggono i circuiti elettrici dalla saturazione della tensione e della corrente, quindi dai loro picchi, che possono essere dannosi. Tra essi possiamo distinguere i varistori, ossia resistori variabili realizzati in genere con ossido di zinco ed utilizzati come elementi di protezione per molti dispositivi elettrici, i diodi raddrizzatori, che presentano una resistenza bassa per le tensioni e le correnti positive ed elevata per le tensioni e le correnti negative e infine i tubi a scarica, che utilizzano gas ionizzati a bassa pressione. A causa dell’effetto Joule, i resistori sono soggetti a delle limitazioni oltre le quali, essendo oggetti fisici, subiscono danni critici. Il fenomeno va spesso minimizzato nella realizzazione dei dispositivi poiché ha l’effetto di convertire in calore parte dell’energia trasferita e questo va a inficiare sul rendimento dei dispositivi stessi. L’effetto è invece cruciale in quei sistemi basati sullo sfruttamento del calore dissipato (forni, asciugacapelli, e cosı̀ via). Si deduce che, poiché si ha una perdita di potenza nell’utilizzo di un resistore e non un guadagno, esso è a tutti gli effetti un bipolo passivo. 31  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE 3.8 Valori efficaci delle grandezze elettriche L’effetto Joule consente di dare un senso fisico a quanto introdotto sui valori efficaci delle grandezze alternate. Grazie ad essi è possibile confrontare gli effetti delle grandezze alternate con delle grandezze continue di riferimento. La corrente efficace irms e la tensione efficace vrms risultano: ˆ 2π s 1 irms = i2 (ϑ)dϑ 2π 0 ˆ 2π s 1 vrms = v 2 (ϑ)dϑ 2π 0 Se le grandezze alternate i(ϑ) e v(ϑ) sono seni di picchi iM e vM , si ha: iM irms = √ 2 vM vrms = √ 2 Si può confrontare l’effetto Joule per il passaggio di una corrente continua in un conduttore con quello dovuto ad una corrente alternata di periodo T = 2π nello stesso conduttore in termini dei suoi valori medio ed efficace. A tal proposito, è noto che la potenza media P dissipata per effetto Joule è definita dal valore medio pave della potenza istantanea p(ϑ): ˆ 2π 1 P = p(ϑ)dϑ 2π 0 Se il conduttore è un resistore soggetto alla legge di Ohm, essa: Si può esprimere come il prodotto della resistenza R del conduttore per il quadrato del valore efficace irms della corrente i(ϑ) nel bipolo: ˆ 2 R 2π 2 P = Rirms = i (ϑ)dϑ 2π 0 Si può esprimere come il prodotto della conduttanza G del conduttore per il quadrato del valore efficace vrms della tensione v(ϑ) ai morsetti: ˆ 2 G 2π 2 P = Gvrms = v (ϑ)dϑ 2π 0 I valori efficaci delle grandezze alternate corrispondono ai valori continui tali che nel periodo T = 2π sia dissipata la stessa potenza media P. 32  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE 3.9 Generatori elettrici È stata trattata la legge di Ohm, che per le grandezze alternate è v(t) = Ri(t) mentre per quelle stazionarie è semplificabile con la relazione V = RI. Essa caratterizza i tratti di tubo di flusso del campo di corrente stazionario e solenoidale (∇ ⃗ · J(P, ⃗ t) = 0) e presenta delle linee di forza chiuse. Sotto queste ipotesi, in tali tratti di tubo di flusso la tensione è una differenza di ⃗ potenziale, associata al campo elettrico conservativo (E(P, ⃗ c (P, t)). t) = E Al campo di corrente J(P, ⃗ t) = 0 sono associati degli effetti dissipativi dovuti alla resistività ρ dei conduttori e all’effetto Joule, che devono essere compensati da opportune forze che mantengono stazionario il moto delle cariche elettriche, sviluppando una potenza pari a quella dissipata Pd. Tali forze non possono essere associate soltanto al campo elettrico E ⃗ c (P, t): esso infatti è conservativo e non compie alcun lavoro sui percorsi chiusi come ⃗ t) = 0. possono esserlo le linee di forza della corrente solenoidale J(P, Per mantenere un campo di corrente stazionario, è necessario che compaiano anche delle forze non conservative, almeno in alcuni tratti del tubo di flusso. Tali forze possono avere un’origine non solo elettromagnetica, ma anche chimica, termica o meccanica e, a differenza delle forze Coulombiane, che agiscono sulle cariche, agiscono sui materiali in cui sono immerse le stesse. Analogamente a quanto fatto per la forza Coulombiana conservativa ⃗ Fc (P, t), gli effetti di una forza non conservativa sono esprimibili attraverso una forza elettrica specifica generatrice E ⃗ g (P, t), ottenuta dal rapporto tra la forza complessiva generatrice F⃗g (P, t) e la carica q su cui essa agisce: ⃗ ⃗ g (P, t) = Fg (P, t) E q ⃗ g (P, t) è assimilabile a un contributo non conservativo di campo Tale forza E elettrico, confrontabile con E ⃗ c (P, t). I componenti fisici in cui si sviluppano le forze elettriche specifiche generatrici E ⃗ g (P, t) sono i generatori elettrici. Essi sono sede di interazioni tra dei fenomeni elettrici e quelli di altra natura, che realizzano la generazione di energia elettrica attraverso la conversione da altre forme di energia (meccanica, chimica, termica, ecc..) e viceversa. I generatori elettrici sono dotati di terminali che consentono la loro connes- sione con altri componenti elettrici e le forze generatrici che si manifestano al loro interno agiscono sulle cariche elettriche, consentendo la separazione di quelle di segno opposto e accumulandole in prossimità dei terminali. 33  CAPITOLO 3. RETI ELETTRICHE Se un generatore ha due terminali A e B, allora è riconducibile a un bipolo. In tal caso, un terminale presenta un accumulo + di carica positiva e l’altro un accumulo − di carica negativa. Tali accumuli danno a loro volta luogo nel generatore a un campo Coulombiano conservativo E ⃗ c (P, t) che si oppone alle ⃗ g (P, t) che hanno causato la separazione delle cariche. forze generatrici E Il campo Coulombiano si estende alla regione esterna al generatore, creando tra i morsetti una differenza di potenziale, essendo conservativo. 3.10 Forza elettromotrice Si può procedere analogamente a quando è stata definita la tensione dovuta al campo elettrico conservativo, definendo la forza elettromotrice (o f.e.m.) e(t) come l’integrale della forza specifica generatrice E ⃗ g (P, t) lungo una linea l interna al bipolo e orientata da B ad A, rispetto al versore t̂: ˆ A