KSTEN.pdf Algebra och Geometri PDF

SF1624 Algebra och Geometri Kompendium med övningsuppgifter och lösningsförslag Institutionen för matematik, KTH 2017 Innehåll 1. Förord...

SF1624 Algebra och Geometri Kompendium med övningsuppgifter och lösningsförslag Institutionen för matematik, KTH 2017 Innehåll 1. Förord 7 I. Uppgifter 9 2. Kontrollskrivningar 11 2.1. Kontrollskrivningar 1........................................ 11 2.1.1. 2010-09-13......................................... 11 2.1.2. 2010-11-29......................................... 11 2.1.3. 2010-12-08......................................... 12 2.1.4. 2011-09-12......................................... 12 2.1.5. 2011-09-23......................................... 13 2.1.6. 2011-10-14......................................... 13 2.1.7. 2011-12-08......................................... 13 2.1.8. 2012-01-30......................................... 14 2.1.9. 2012-09-10......................................... 14 2.1.10. 2012-09-19......................................... 15 2.1.11. 2012-12-06......................................... 15 2.1.12. 2013-01-28......................................... 16 2.2. Kontrollskrivningar 2........................................ 16 2.2.1. 2010-09-27......................................... 16 2.2.2. 2011-01-28......................................... 17 2.2.3. 2011-02-14......................................... 17 2.2.4. 2011-09-26......................................... 17 2.2.5. 2011-10-27......................................... 18 2.2.6. 2011-11-09......................................... 18 2.2.7. 2012-02-06......................................... 19 2.2.8. 2012-02-13......................................... 20 2.2.9. 2012-09-24......................................... 20 2.2.10. 2013-02-04......................................... 21 2.2.11. 2013-02-11......................................... 21 3. Tentamen 23 3.1. 2010-10-22............................................. 23 3.2. 2011-01-10............................................. 24 3.3. 2011-03-16............................................. 26 3.4. 2011-06-09............................................. 27 3.5. 2011-10-17............................................. 29 3.6. 2012-01-09............................................. 30 3.7. 2012-03-12............................................. 32 3.8. 2012-06-12............................................. 33 3.9. 2012-10-16............................................. 35 3.10. 2012-12-13............................................. 37 3.11. 2013-01-07............................................. 38 3.12. 2013-03-11............................................. 39 3.13. 2013-06-04............................................. 41 3  3.14. 2013-10-28............................................. 42 3.15. 2014-01-13............................................. 44 3.16. 2014-03-14............................................. 45 3.17. 2014-05-20............................................. 47 3.18. 2014-10-29............................................. 49 3.19. 2015-01-19............................................. 50 3.20. 2015-03-13............................................. 52 3.21. 2015-06-10............................................. 54 3.22. 2015-10-23............................................. 55 3.23. 2016-01-13............................................. 57 3.24. 2016-01-18............................................. 59 3.25. 2016-03-17............................................. 60 3.26. 2016-06-09............................................. 62 3.27. 2016-10-21............................................. 63 3.28. 2017-01-11............................................. 64 3.29. 2017-03-13............................................. 65 II. Lösningar 67 4. Kontrollskrivningar 69 4.1. Kontrollskrivningar 1........................................ 69 4.1.1. 2010-09-13......................................... 69 4.1.2. 2010-11-29......................................... 69 4.1.3. 2010-12-08......................................... 71 4.1.4. 2011-09-12......................................... 72 4.1.5. 2011-09-23......................................... 73 4.1.6. 2011-10-14......................................... 73 4.1.7. 2011-12-08......................................... 74 4.1.8. 2012-01-30......................................... 74 4.1.9. 2012-09-10......................................... 75 4.1.10. 2012-09-19......................................... 76 4.1.11. 2012-12-06......................................... 76 4.1.12. 2013-01-28......................................... 77 4.2. Kontrollskrivningar 2........................................ 77 4.2.1. 2010-09-27......................................... 77 4.2.2. 2011-01-28......................................... 78 4.2.3. 2011-02-14......................................... 80 4.2.4. 2011-09-26......................................... 80 4.2.5. 2011-10-27......................................... 81 4.2.6. 2011-11-09......................................... 82 4.2.7. 2012-02-06......................................... 83 4.2.8. 2012-02-13......................................... 84 4.2.9. 2012-09-24......................................... 85 4.2.10. 2013-02-04......................................... 86 4.2.11. 2013-02-11......................................... 86 5. Tentamen 89 5.1. 2010-10-22............................................. 89 5.2. 2011-01-10............................................. 92 5.3. 2011-03-16............................................. 95 5.4. 2011-06-09............................................. 99 5.5. 2011-10-17............................................. 102  5.6. 2012-01-09............................................. 105 5.7. 2012-03-12............................................. 108 5.8. 2012-06-12............................................. 111 5.9. 2012-10-16............................................. 115 5.10. 2012-12-13............................................. 116 5.11. 2013-01-07............................................. 118 5.12. 2013-03-11............................................. 120 5.13. 2013-06-04............................................. 123 5.14. 2013-10-28............................................. 125 5.15. 2014-01-13............................................. 128 5.16. 2014-03-14............................................. 130 5.17. 2014-05-20............................................. 133 5.18. 2014-10-29............................................. 135 5.19. 2015-01-19............................................. 138 5.20. 2015-03-13............................................. 140 5.21. 2015-06-10............................................. 142 5.22. 2015-10-23............................................. 146 5.23. 2016-01-13............................................. 149 5.24. 2016-01-18............................................. 151 5.25. 2016-03-17............................................. 154 5.26. 2016-06-09............................................. 156 5.27. 2016-10-21............................................. 159 5.28. 2017-01-11............................................. 161 5.29. 2017-03-13............................................. 163 III. Ordlistor 165 6. Engelsk-Svensk ordlista 167 7. Svensk-Engelsk ordlista 169 1. Förord 7  Del I. Uppgifter 9 2. Kontrollskrivningar Åren 2010–2013 innehöll KTH:s kurs SF1624 två kontrollskrivningar. Dessa har ersatts med seminarieprov sedan hösten 2013. Denna avsnitt innehåller uppgifterna från kontrollskrivningar, som dels ingår i de rekommen- derade uppgifterna för kursen och dels är bra material att öva på. 2.1. Kontrollskrivningar 1 2.1.1. 2010-09-13 1. För varje tal a har vi ekvationssystemet i tre okända x, y och z som ges av   (a − 3)y = 1, (?) 2x − ax + ay − 3y + 2z − az = 1, (4 − 2a)x + (2a − 6)y + 5z − 2az = 3.  Visa att ekvationssystemet (?) har en unik lösning om och endast om a 6= 2 och a 6= 3. Lös sedan ekvationssystemet (?) då a = 2 med hjälp av radoperationer på totalmatrisen för systemet. 2. Bestäm en ekvation för det plan som innehåller punkterna (0, 1, −2), (3, 0, −1) och (2, 1, 0), och avgör om linjen (x, y, z) = (1, 1, −1) + t · (3, 1, 5) ligger i detta plan. 3. Förklara med hjälp av egenskaperna hos determinanter varför det för kvadratiska matriser, A, i allmänhet gäller att det(AT A) = (det(A))2 och använd sedan detta för att beräkna det(AT A) i specialfallet när   1 1 2 0 1 0 3 1 A= 2 3 0 0.  0 0 1 4 2.1.2. 2010-11-29 1. Betrakta det linjära ekvationssystemet   x1 + x2 + x3 = 7, x1 − x3 + x4 = 8, x2 + 2x3 + x4 = 9.  a) Använd Gausselimination för att överföra totalmatrisen för ekvationssystemet till reducerad trapp- stegsform. b) Ange lösningmängden för ekvationssystemet med hjälp av den reducerade totalmatrisen. c) Förklara hur det kommer sig att det finns lösningar till systemet även om man ändrar högerledet. 2. Betrakta triangeln ABC med hörn i punkterna A = (1, 0, 1), B = (2, −3, 2) och C = (4, 1, 0) i R3. a) Beräkna koordinaterna för vektorerna u = AB och v = AC. b) Använd kryssprodukten för att beräkna arean av triangeln ABC. c) Använd skalärprodukten för att beräkna cosinus för vinkeln vid hörnet A. 3. Bestäm alla tal t så att punkterna (1, 2, 3), (2, 3, 2), (t + 1, 3, t + 2) och (t, 2t, 2t + 5) ligger i samma plan i R3 och ange en ekvation för detta plan för något av dessa värden för t. 11 2.1.3. 2010-12-08 1. Betrakta det linjära ekvationssystemet   x1 − x2 + x3 + 2x4 = 3, x1 + x2 − x3 + x4 = 1, x1 − 3x2 + 3x3 + 3x4 = a.  där a är en konstant. a) Använd Gausselimination för att överföra totalmatrisen för ekvationssystemet till trappstegsform i fallet då a = 6. b) Bestäm det värde på konstanten a för vilket systemet har lösning. c) Ange tre olika lösningar till systemet för detta värde på a. 2. Matrisen   2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0   0 A= −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 är ett speciallfall av en typ av matriser som ofta förekommer i olika tillämpningar, exempelvis i samband med diskretisering av differentialekvationer för numerisk lösning. Använd rad- eller kolonnoperationer för att beräkna determinanten av matrisen A. 3. Betrakta de två linjerna i rummet, R3 , som på parameterform beskrivs av (x, y, z) = (1, 1, 0) + t · (1, −1, 1) och (x, y, z) = (1, 0, 1) + t · (1, 0, −1). a) Bestäm med hjälp av kryssprodukten en vektor som är ortogonal mot bägge dessa linjer. b) Kontrollera med hjälp av skalärprodukten att denna vektor verkligen är ortogonal mot bägge linjerna. c) Bestäm en ekvation för ett plan som ligger mellan dessa linjer, dvs ett plan som är parallellt med bägge linjerna och sådant att de två linjerna ligger på olika sidor om planet. 2.1.4. 2011-09-12 1. Betrakta ekvationssystemet   x + 3y − z + 3w = 4, (∗) 3x + 7y + 3z + 9w = 2, −x + 2y − 12z + 5w = 9.  a) Använd Gauss-Jordans metod för bestämma lösningsmängden till (∗). b) Avgör om det går att ändra högerledet i (∗) så att systemet blir inkonsistent. 2. Låt de tre vektorerna ~u, ~v och w ~ ges av       1 −1 −2 ~u = 1 ,  2  ~ =  1 . och w 2 0 3 a) Beräkna vektorprodukten, ~u × ~v. b) Bestäm den ortogonala projektionen av w ~ på ~u. 3. Bestäm en ekvation för det plan som består av punkter med lika långt avstånd till punkten A = (−1, 1, 2) som till punkten B = (1, 5, −4). (Ledning: Mittpunkten på sträckan mellan A och B ligger i planet.) 2.1.5. 2011-09-23 1. Betrakta de två linjära ekvationssystem som ges av totalmatriserna     1 −2 −2 −1 −1 1 −2 −2 −1 1  4 3 0 3 4  och  4 3 0 3 −5 . 3 −2 −3 0 0 3 −2 −3 0 1 a) Lösningen av det ena systemet ges av x1 = 7 − 3t, x2 = −11 + 3t, x3 = 14 − 5t och x4 = t, där t är en reell parameter. Vilket av systemen är det? b) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till det andra systemet, dvs det system som inte har lösningen som anges i (a). 2. De tre punkterna A = (2, 4, −3), B = (1, 0, 1) och C = (3, −2, 3) bildar en triangel i rummet. −−→ −→ a) Beräkna vektorprodukten av vektorerna ~u = AB och ~v = AC b) Använd resultatet i (a) för att beräkna arean av triangeln. 3. Bestäm skärningspunkten mellan planet med ekvation x + 2y + 4z − 5 = 0 och den linje som passerar genom punkterna (1, 1, 1) och (4, 0, 1). 2.1.6. 2011-10-14 1. Betrakta det linjära ekvationssystemet i de tre obekanta, x, y och z som ges av   3x − 7y − 3z = 4, −x + 4y + 2z = 4, x + y + z = a.  där a är en konstant. a) Bestäm det enda värde på konstanten a för vilket systemet har lösning, dvs är konsistent. b) Bestäm samtliga lösningar till systemet för detta värde på konstanten a. 2. Skriv om möjligt vektorerna     1 2 ~u =  1  ~ = 2  och w 2 1 som linjärkombinationer av vektorerna    0 2 f~ =  1  och ~g =  0 . 3 −5 3. Bestäm en ekvation för det plan som går genom punkten P = (2, 3, 0) och som innehåller linjen (x, y, z) = (1 − t, 2 − t, 3 + t). 2.1.7. 2011-12-08 1. a) Bestäm den reducerade trappstegsformen av matrisen   2 1 2 1  0 0 1 −2 A= .  2 1 3 −1 −4 −2 −8 3  b) Bestäm rangen av matrisen   0 1 1 0 2. 0 0 0 1 1 2. Två plan i rummet ges av ekvationerna 2x − 4y + 5z = 2 och 2x − y + 2z = 5. a) Skärningen mellan de båda planen är en linje. Bestäm en parameterframställning av denna linje. b) Förklara varför riktningsvektorn till skärningslinjen kan ges som vektorprodukten av normalvekto- rerna till planen. 3. Bestäm en ekvation för det plan som innehåller linjen (x, y, z) = (t, 2t, 3t) och som är parallellt med linjen (x, y, z) = (1 + t, 1 − t, 3 − t). 2.1.8. 2012-01-30 1. Betrakta det linjära ekvationssystem som ges av totalmatrisen   1 1 1 1 1 1 1  1 2 1 2 1 2 1 . 1 2 2 1 2 2 1 a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet. b) Hur ändras lösningsmängden om hela högerledet multipliceras med en konstant a? 2. En tetraeder är en tredimensionell kropp med fyra hörn och där sidorna är trianglar. De fyra punkterna O = (0, 0, 0), A = (1, 2, −3), B = (3, 1, 0) och C = (0, 2, 1) utgör hörnen i en tetraeder. Volymen av tetraedern kan beräknas som en sjättedel av absolutbeloppet av trippelprodukten, (~u × ~v ) · w, ~ av de tre vektorer som går från ett av hörnen till de tre andra. −→ −−→ a) Beräkna vektorprodukten av de två vektorerna ~u = OA och ~v = OB b) Beräkna volymen av den tetraeder som har hörn i punkterna O, A, B och C. 2 3. Låt H vara det plan som ges av ekvationen 3x + 4y + 5z = 0 och låt ~u = 1. 3 a) Bestäm den ortogonala projektionen av ~u på en normalvektor till planet H. b) Skriv vektorn ~u som en summa ~uH + ~uN , där ~uH ligger i planet H och ~uN är vinkelrät mot planet H. 2.1.9. 2012-09-10 1. Betrakta ekvationssystemet  17x − 13y + 2z − 7w = 5, (*) 13x + 6y − z + 11w = 3. a) Bestäm en lösning av systemet för vilken x = 0 och w = 1. b) Förklara varför systemet (*) har oändligt många lösningar. c) Finns det en lösning av systemet för vilken y = −2x och w = −3x ? 2. Betrakta de två vektorerna     4 −1 ~u = 2 och ~v = −2. 0 1 a) Bestäm vektorprodukten ~u × ~v och kontrollera att den är ortogonal mot både ~u och ~v.  ~ så att trippelprodukten (~u × ~v ) · w b) Bestäm en vektor w ~ är positiv (> 0). ~ så att trippelprodukten (~u × ~v ) · w c) Bestäm alla vektorer w ~ är noll. 3. Låt A = (1, 2, −3) och B = (4, 1, 2) vara två punkter i R3 och låt ` vara linjen genom A och B. a) Bestäm en ekvation för det plan som går genom A och som är vinkelrätt mot `. b) Bestäm avståndet mellan detta plan och punkten B. 2.1.10. 2012-09-19 1. Betrakta det linjära ekvationssystemet   x1 +2x2 +2x3 +x4 = 0, 2x1 +3x2 +3x3 +2x4 = 3, 3x1 +x2 +3x3 +4x4 = 12.  a) Bestäm den reducerade trappstegsformen till totalmatrisen för ekvationssystemet. b) Bestäm lösningsmängden till ekvationssystemet. c) Finns det något högerled då motsvarande ekvationssystem saknar lösning? 2. Låt A = (2, 3, 4), B = (1, 0, 1) och C = (3, 2, 2) vara tre punkter i R3. −−→ −→ a) Beräkna vektorprodukten AB × AC. −−→ −→ −−→ b) Beräkna skalärprodukten (AB × AC) · BC. c) Förklara varför reultat i (b) inte beror på vilka punkter A, B och C vi hade valt från början. 3. Planet H ges av ekvationen 3x + 2y + z = 0, och planet W ges på parameterform som     2t  W =  4s  : s, t reella tal. t + 2s   a) Bestäm en ekvation vars lösningsmängd är W. b) Bestäm en parameterfrämställning för skärningen av H och W. 2.1.11. 2012-12-06 1. Bestäm lösningarna till följande ekvationssystem   x − 2y −z = 0, −x + 2y + 3z = 0, 3x − 6y − 7z = 0.  2. Betrakta linjen ` i R2 definierad av ekvationen x − y + 2 = 0. Låt A = (0, 0) och B = (10, 0). Bestäm en punkt C på linjen ` så att triangeln ABC är rätvinklig i C. 3. Ett plan i rummet kan på parameterform beskrivas som alla punkter P = (x, y, z) så att         x 1 3 1 y  = 1 + s 1 + t 0 , z 0 0 1 där s och t är reella parametrar. a) Visa att punkten Q = (3, 3, −4) ligger i planet och bestäm motsvarande värden på parametrarna s och t. b) Visa att punkten R = (4, 4, 4) inte ligger i planet. c) Bestäm en ekvation för planet. 2.1.12. 2013-01-28 1. Betrakta det linjära ekvationssystemet   2x + 9y + 4z = 1+a −2x + 7y − 2z = a−1 2x + y + (a2 + 2)z = 2  i de tre obekanta x, y och z, där a är en reell konstant. Bestäm för vilka värden på a som systemet har oändligt många lösningar, ingen lösning, respektive precis en lösning. 2. a) Två punkter P och Q bildar tillsammans med origo, O, en triangel i R3. Ange ett uttryck för arean av denna triangel. b) Punkterna       1 −3 −1 A = 2 , B= 2  och C = −1 3 1 2 bildar hörnen i en triangel i R3. Bestäm dess area. 3. Betrakta de tre punkterna P = (0, 1, 0), Q = (2, 1, 1) och R = (0, −1, 2). a) Bestäm en ekvation för ett plan som innehåller alla tre punkterna, P , Q och R. b) Avgör om de tre punkterna ligger på samma linje. 2.2. Kontrollskrivningar 2 2.2.1. 2010-09-27 1. Beräkna dimensionerna av radrummet, kolonnrummet och nollrummet till matrisen   1 0 −1 1 −2 1 2 1   −3 −3 −1 −1.   3 2 1 −2 1 4 3 2 2. I nedanstående figur illustreras en bas B = {u, v} för R2 och en punkt P. Bestäm koordinaterna för P med avseende på basen B. u P v O 3. Speglingen i en linje genom origo i R2 med normalvektor n fås av u·n T (u) = u − 2 projn u = u − 2 n. ||n||2 Bestäm standardmatrisen för speglingen i linjen y = 2x i R2. 2.2.2. 2011-01-28 1. Låt V vara mängden av vektorer (x1 , x2 , x3 ) i R3 som uppfyller x1 + x2 + x3 = 0, dvs är ortogonala mot vektorn (1, 1, 1). a) Visa att V är ett underrum i R3. b) En bas för V ges av B = { (1, 0, −1), (1, −1, 0) }. Bestäm koordinaterna för vektorn v = (1, −2, 1) med avseende på basen B.   1 −1 2 2. I denna uppgift är A =. −3 3 −6 a) Bestäm en bas för nollrummet till A och en bas för radrummet till A. (Kontrollera gärna räkningarna genom att se att de båda rummens basvektorer är ortogonala mot varandra.) b) Bestäm en bas för kolonnrummet till A och en bas för nollrummet till AT. (Även här kan räkningarna kontrolleras på samma sätt som ovan.) 3. Den här uppgiften handlar om linjära avbildningar från R2 till R2 och deras standardmatriser. Låt (x, y) vara koordinaterna i ett rätvinkligt koordinatsystem i R2. a) Låt T1 : R2 → R2 vara rotationen kring origo med en vinkel på 90◦ (π/2 radianer) moturs. Bestäm standardmatrisen, A, för T1. b) Låt T2 : R2 → R2 vara speglingen i linjen y = −x. Bestäm standardmatrisen, B, för T2. c) Bestäm standardmatrisen, C, för sammansättningen T2 ◦ T1. d) Avbildningen T2 ◦ T1 är en spegling. I vilken linje? Motivera ditt svar. 2.2.3. 2011-02-14 1. Låt u = (1, 2) och v = (1, 1) vara två vektorer i R2. a) Visa att vektorerna u och v utgör en bas B för R2. b) Linjen L har ekvationen 2x − y = 1 när den uttrycks i koordinaterna (x, y) med avseende på stan- dardbasen i R2. Bestäm ekvationen för linjen om den uttrycks i koordinaterna (x0 , y 0 ) med avseende på basen B. 2. Låt T : R2 → R3 vara en linjär avbildning sådan att T (1, 2) = (3, 1, 2) och T (1, 1) = (1, 1, 3). a) Bestäm standardmatrisen för T. b) Bildrummet (eng. range) till T utgör ett plan W i R3. Bestäm en ekvation för W. 3. För de tre vektorerna u, v och w gäller att   u + 2v − w = (1, 2, 3), u + 3v − 2w = (0, 1, 1), 2u + v + 2w = (1, 0, 1).  Avgör om vektorerna u, v och w utgör en bas för R3. 2.2.4. 2011-09-26 1. Betrakta den inverterbara linjära avbildningen T : R3 −→ R3 , som ges av matrisen   0 3 2 A =  2 −5 1 . 1 5 6 Bestäm standardmatrisen för den inversa avbildningen, T −1.  2. Avbildningen T : R3 → R2 ges av matrisen   −1 2 1 A=. 2 −4 −2 a) Hitta två vektorer ~u och ~v som utgör en bas för nollrummet, ker(T ). b) Bestäm en ekvation för planet som utgör nollrummet till T. 3. De fyra vektorerna         1 1 2 3  1   2   3   5   −1  , ~u1 =    2 , ~u2 =   ~u3 =    2  och ~u4 =    3  2 −1 0 0 i R4 är linjärt beroende. Skriv en av dem som en linjärkombination av de andra. 2.2.5. 2011-10-27 1. Den linjära avbildningen T : R2 → R2 uppfyller         5 2 0 3 T = och T = 10 11 5 4 a) Bestäm matrisen A som hör till T. b) Kontrollera att A är sin egen invers. 2. Låt T : R3 −→ R3 vara den linjära avbildning som hör till matrisen   1 0 1  2 −1 1 . 3 −2 1 a) Bestäm en bas för nollrummet till T. b) Bestäm dimensionen för bilden av T. 3. Låt       1 2 1  1   −2   −2   0 , ~u =    4 , ~v =   och w ~ =  3   2 0 −1 vara tre vektorer i R4. a) Bestäm en bas för det delrum av R4 som vektorerna spänner upp. b) Bestäm en vektor i R4 som inte ligger i detta delrum. 2.2.6. 2011-11-09 1. Låt A vara den inverterbara matrisen   1 −2 1 A = −2 3 1. 3 −6 1 Bestäm inversen till A.  2. Betrakta matrisen   −1 −1 0 1 A =  −3 −1 1 1 . 2 0 −1 0 a) Bestäm en bas för nollrummet, ker(A). b) Bestäm en bas för bildrummet, im(A). 3. Låt T1 : R2 → R2 vara speglingen i linjen y = −x och låt T2 : R2 → R2 vara speglingen i x-axeln y = 0. a) Visa att sammansättningen T2 ◦ T1 innebär en rotation kring origo med ett kvarts varv moturs. b) Ge även den geometriska tolkningen för sammansättningen T1 ◦ T2. 2.2.7. 2012-02-06 1. Betrakta delmängderna U , V och W i R2 som ges av ekvationerna (x + y)(x − y) = 0, 2x = 1, respektive y = x2. y y y x x x a) Ge definitionen av vad som menas med ett delrum i R2. b) Förklara med hjälp av definitionen varför ingen av de tre givna delmängderna, U , V eller W, utgör ett delrum av R2. 2. Betrakta de linjära avbildningarna S, T : R2 → R2 som ges av matriserna     1 −2 2 4 A= respektive B =. 2 −4 1 2 a) Bestäm matrisprodukterna AB och BA. b) Vilken av de båda produkterna svarar mot sammansättningen T ◦ S? c) Bestäm en bas för nollrummet till en av de båda sammansättningarna S ◦ T eller T ◦ S. 3. Vi vet följande om en linjär avbildning T : R4 −→ R3. En bas för nollrummet, ker(T ), ges av     2 0 2 1 ~u1 =  1 och ~u2 = 0    0 1 och dessutom gäller att     1 2 1 T (~u3 ) = 3 , där ~u3 =  1.  4 1 4 a) Visa att vektorn ~v = 5 ligger i det linjära höljet span{~u1 , ~u2 , ~u3 }. 3 3 b) Använd linjäriteten hos T för att bestämma T (~v ), där ~v är vektorn i del (a). 2.2.8. 2012-02-13 1. Avbildningen T : R2 → R2 ges av matrisen   1 3 A=. 2 4   3 a) Bestäm T. 5   3 b) Bestäm alla vektorer ~v sådana att T (~v ) =. 5 2. Låt      2 3 1 ~u =  1  , ~v =  4  , och ~ = 2  w 1 −1 −1 vara tre vektorer i R3. a) Visa att dessa tre vektorer är linjärt beroende. b) Ange en ekvation för det plan som vektorerna spänner.     4 1 3. Betrakta vektorerna ~u = och ~v = i R2. 1 −4   2 4 a) Bestäm vektorn ~x i R som har koordinatvektorn med avseende på basen {~u, ~v }. 1   5 b) I R2 har vi vektorn ~y =. Bestäm koordinatvektorn för ~y med avseende på basen {~u, ~v }. 14 2.2.9. 2012-09-24 1. Låt T : R3 → R4 vara den linjära avbildningen med standardmatris   1 0 1  2 1 3  1 2 3.   −1 1 0 a) Bestäm en bas för bildrummet im(T ). b) Bestäm dimensionen för nollrummet ker(T ). 2. Låt T : R2 −→ R2 vara en linjär avbildning som avbildar kvadraten med hörn i punkterna (0, 0), (2, 1), (1, 3) och (−1, 2) på kvadraten med hörn i punkterna (0, 0), (3, −4), (7, −1), (4, 3) a) Bestäm matrisen för T. (Det finns två möjligheter.) b) Förklara varför alla kvadrater i planet avbildas på kvadrater av T. 3. Låt W vara det delrum som spänns upp av vektorerna       1 1 4 ~u = 2 , ~v = 1 ~ =  6 . och w 3 2 10 a) Bestäm en bas för W. b) Bestäm ett linjärt ekvationssystem vars lösningsmängd är W. 2.2.10. 2013-02-04 1. Låt T : R2 → R2 vara en linjär avbildning sådan att         0 1 3 4 T = och T =. 1 4 −2 −5 a) Bestäm standardmatrisen för T. b) Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildningen S : R2 → R2 som tvärtom uppfyller         1 0 4 3 S = och S =. 4 1 −5 −2 2. För att avgöra om vektorer är linjärt oberoende kan vi använda Gausselimination. Vi kan välja att antingen ställa upp vektorerna som rader eller som kolonner i en matris. Betrakta de tre vektorerna       1 3 2  2   5   −1  ~u =   −3  , ~v =  −7  och w    ~ =  4   2 6 4 a) Ställ upp vektorerna som kolonner i en matris A. Använd sedan Gausselimination på A för att avgöra om de är linjärt oberoende. b) Ställ också upp vektorerna som rader i en matris B. Använd sedan Gausselimination på B för att avgöra om de är linjärt oberoende. 3. Låt W vara det delrum i R4 som spänns upp av vektorerna       3 2 1 −6 10 −11  2  , ~v2 =  4  , och ~v3 =  0 . ~v1 =       5 8 1 a) Bestäm dimensionen för W. b) Bestäm en vektor ~u i R4 som inte ligger i W. 2.2.11. 2013-02-11 1. Den linjära avbildningen T : R2 −→ R3 ges av     3x + y x T = x − 2y . y y−x a) Bestäm matrisen för T. b) Avgör om någon av vektorerna     2 4 ~v =  3  ~ = −1 eller w −2 1 ligger i bildrummet im(T ). 2. Avbildningen T : R4 → R3 ges av matrisen   1 2 −1 3 A = 2 4 −2 6. 3 6 −3 9  a) Bestäm en bas för nollrummet ker(T ). b) Bildrummet im(T ) är en linje. Ge en parameterframställning av denna linje. 3. a) Visa att matrisen   1 1 0 1 1 A = −1 0 1 1 2 0 −1 −1 1 0 uppfyller att de tre första kolonnerna är linjärt beroende, liksom de tre sista kolonnerna, medan de tre mittersta inte är det. b) Ge ett exempel på en 3 × 5-matris B sådan att de tre första kolonnerna utgör en bas för R3 , liksom de tre sista kolonnerna, medan de tre mittersta inte gör det. 3. Tentamen In denna avsnitt hittar du ett stort antal gamla tentamina som kan användas för övningsändamål, speciellt inför tentamen. Innan år 2016 betod tentamen av nio uppgifter och var gick i fem timmar. Medan själva uppgifterna är repre- sentativa för aktuella tentor, så är omfånget i nuläget dock betydligt mindre. 3.1. 2010-10-22 1. Uttrycket (x, y, z) = (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. a) Bestäm en normalvektor till planet med hjälp av kryssprodukten av de bägge riktningsvektorerna (1, 3, 0) och (0, 5, 1). (1 p) b) Bestäm en ekvation för planet W på formen ax + by + cz + d = 0. (2 p) c) Bestäm det kortaste avståndet från planet W till origo, exempelvis genom att projicera vektorn från origo till punkten (1, 1, 1) på normalvektorn till planet. (1 p) 2. Låt T vara avbildningen från R2 till R2 som relativt standardbasen har matrisen   0 1 A=. −1 0 a) Beskriv i ord vad T gör. (1 p) b) Vilken matrisrepresentation får T i basen B = {(2, 1), (−1, 2)}? (3 p) 3. a) Använd Gausselimination för att bestämma en bas för nollrummet till matrisen   3 1 4 2  1 3 0 4  A= .  0 4 −2 5  1 −1 2 −1 (3 p) b) Använd räkningarna från del (a) för att bestämma dimensionen för kolonnrummet till A, dvs rangen av A. (1 p) 4. Visa hur Gram-Schmidts metod fungerar genom att bestämma en ortonormal bas för det underrum i R4 som spänns upp av vektorerna (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 3). (Använd den vanliga euklidiska inre produkten, dvs hu, vi = u · v.) (4 p) 5. Betrakta matrisen   11 4 B=. −30 −11 a) Visa att vektorerna e = (−2, 5) och f = (1, −3) är egenvektorer till B, och bestäm deras tillhörande egenvärden. (1 p) b) Uttryck vektorn u = (−8, 22) som en linjärkombination av e och f. (2 p) 23  c) Beräkna B 43 u med hjälp av resultaten från (a) och (b). (1 p) 6. Låt     1 2 1 0 A= och P = , 6 5 0 a där a är en positiv konstant. Bestäm a så att R2 har en ortogonal bas bestående av egenvektorer till matrisen B = P −1 AP. Ange även en sådan bas. (4 p) 7. Låt planet W vara definerat av ekvationen x+y+z = 0 och betrakta den linjära avbildningen T : R3 → R3 som definieras genom att varje punkt i R3 projiceras ortogonalt på planet W. a) Bestäm en matrisrepresentation för T med avseende på en bas där en av basvektorerna är normalvek- tor till planet och de andra två ligger i planet. (1 p) b) Använd basbytesmatris för att från svaret i (a) komma fram till standardmatrisen för avbildningen T. (3 p) 8. På julafton kokar Algot en tallrik gröt och ställer vid husknuten. För att vara säker på att den är genomkokt mäter han temperaturen, och den är mycket riktigt 100 grader enligt termometern. Efter en timme smyger han ut och ser att tomten inte har varit där ännu, och han passar på att mäta grötens temperatur igen: 10 grader. Efter ytterligare två timmar har tomten fortfarande inte varit framme. Algot mäter temperaturen ännu en gång och nu visar termometern bara 1 grad. Tomten har fastnat i en skorsten och det tar ytterligare tre timmar innan han hittar fram till gröten. Det är nollgradigt ute och enligt Newtons avsvalningslag gäller T = 10a−bt där T är temperaturen (i grader), t är tiden (i timmar) och a och b är reella konstanter. a) Logaritmera avsvalningslagen till log10 T = a − bt. Algots mätningar ger tre ekvationer men vi har bara två obekanta, a och b. Vad blir a och b om man löser ekvationssystemet med minsta- kvadratmetoden? (För positiva tal x är 10-logaritmen, log10 x, det tal som uppfyller 10log10 x = x. Exempelvis är log10 100 = 2 eftersom 100 = 102.) (3 p) b) Om vi ska lita på minsta-kvadratmetodens approximation, vad har gröten för temperatur när tomten kommer? Svara med ett bråk eller på decimalform. (1 p) 9. Låt V och W vara 3-dimensionella underrum i ett 5-dimensionellt vektorrum U. Visa att det måste finnas någon nollskild vektor u som tillhör både V och W. (4 p) 3.2. 2011-01-10 1. De tre totalmatriserna       1 0 3 −1 3 4 1 0 3 0 4 4 1 0 3 1 0 4  0 1 3 −1 2 1 ,  0 1 3 0 3 1  och  0 1 3 −3 0 1  0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 svarar mot linjära ekvationssystem i fem obekanta x1 , x2 , x3 , x4 , x5. a) En av matriserna är på reducerad trappstegsform. Vilken? (1 p) b) Välj någon av matriserna och använd denna för att bestämma lösningsmängden till motsvarande ekvationssystem. (2 p) c) Avgör om någon av de andra två matriserna svarar mot ett linjärt ekvationssystem med samma lösningsmängd. (1 p) 2. Den linjära avbildningen T : R2 −→ R3 uppfyller att T (1, 2) = (3, 1, 4) och T (1, 1) = (2, 1, 3). a) Bestäm standardmatrisen för avbildningen T. (3 p) b) Bestäm en bas för bildrummet till T. (1 p) 3. Vektorerna v = (1, 1, 0) och w = (0, −1, 1) spänner upp ett plan W i R3. a) Bestäm en vektor u1 som är parallell med v, och som har längd 1. (1 p) b) Bestäm en vektor u2 så att {u1 , u2 } utgör en ortonormal bas för planet W. (2 p) c) När vi beräknar kryssprodukten u1 × u2 får vi en normalvektor till W som redan är normerad, dvs som har längd 1. Varför? (1 p) 4. En linje y = kx + m ska anpassas till punkterna (−2, 1), (1, 2), (4, 2) och (7, 6). a) Bestäm de värden på konstanterna k och m som ger bäst anpassning i minsta-kvadratmening. (3 p) b) Rita ut linjen tillsammans med punkterna i ett koordinatsystem och illustrera vad det är som har minimerats för dessa värden på konstanterna. (1 p) 5. a) Förklara varför matrisen   2 0 4 A= 0 8 0  4 a 2 är ortogonalt diagonaliserbar precis bara om a = 0. (1 p) T b) Bestäm då a = 0 en ortogonal matris P sådan att P AP blir diagonal. (3 p) 6. För alla heltal n ≥ 2, låt An vara n × n-matrisen som man får om man skriver upp talen 1, 2,... , n2 i ordning, rad för rad. Till exempel är     1 2 3 1 2 A2 = och A3 =  4 5 6 . 3 4 7 8 9 a) Beräkna det A2. (1 p) b) Beräkna det A3 med hjälp av radoperationer. (1 p) c) Visa att det An = 0 för n > 3 genom att påvisa ett linjärt beroende mellan kolonnerna. (2 p) 7. Bestäm kortaste avståndet mellan punkten (7, 6, 5) och skärningslinjen mellan planen 2x − z = −1 och y = 2 i R3. (4 p) 8. Låt V vara vektorrummet av symmetriska 2 × 2-matriser, och låt T : V → V vara avbildningen som som ges av T (A) = P AP för alla A i V , där   0 1 P =. −1 0 a) Visa att       1 0 0 1 0 0 B= , , 0 0 1 0 0 1 är en bas för V. (1 p) b) Visa att T är en linjär avbildning från V till V. (1 p) c) Bestäm matrisen för T med avseende på basen B. (2 p)  9. Betrakta matrisekvationen A3 = 2A2 − A. a) Ge ett exempel på en 3 × 3-matris som uppfyller ekvationen och som varken är nollmatrisen eller identitetsmatrisen. (1 p) b) Visa att 0 och 1 är de enda möjliga egenvärdena för kvadratiska matriser som uppfyller ekvationen oavsett storlek. (3 p) 3.3. 2011-03-16 1. a) Använd Gauss-Jordanelimination för att beräkna inversen av matrisen   0 1 1 A =  −1 3 1 . 1 −1 0 (3 p) b) Använd resultatet från (a) för att lösa matrisekvationen XA = B, där   0 1 2 B=. 5 −3 1 (1 p) 2. Låt matrisen   1 2 3  1 5 7  A=  −1  1 1  3 0 1 representera en linjär avbildning T : R3 → R4 med avseende på standardbasen. a) Beräkna T (1, 2, −2). (1 p) b) Bestäm kärnan till T , dvs nollrummet till matrisen A. (2 p) c) Visa att T (1, 0, 0), T (0, 1, 0) och T (0, 0, 1) är linjärt beroende. (1 p) 3. Låt T vara den linjära avbildning från R2 till R2 som ges av standardmatrisen   1 4 A= 0 −1 a) Bestäm standardmatrisen för sammansättningen T ◦ T. (1 p) 2 b) Bestäm en bas för R som består av egenvektorer till A. (3 p) p 4. Om vi har en triangel med sidlängderna a, b och c kan vi beräkna arean som 41 − det(A) där   0 1 1 1  1 0 a2 b2  A=  1 a2 . 0 c2  1 b2 c2 0 √ √ √ Använd denna formel för att beräkna arean av en triangel med sidlängderna 2, 3 och 2 2. (4 p) 5. Studera R4 med den vanliga euklidiska inre produkten hu, vi = u · v. Låt W vara det delrum till R4 som ges av lösningsmängden till ekvationen x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 0.  a) Bestäm en bas för W. (1 p) b) Använd Gram-Schmidts metod för att utgående från basen i (a) hitta en ortonormal bas för W. (3 p) 6. a) Redogör för hur vi kan bestämma den punkt Q i ett givet plan med ekvation på formen ax+by +cz = d som ligger närmast en given punkt P i rummet. Illustrera metoden genom att för var och en av de tre punkterna P1 = (1, 1, 0), P2 = (1, 1, 1) och P3 = (2, −1, −1) bestämma motsvarande närmsta punkt i planet med ekvationen x − 2y + 2z = 1. (3 p) b) Använd räkningarna ovan för att avgöra vilka (om någon) av punkterna P1 , P2 och P3 som ligger på samma sida av planet som origo. (1 p) 7. Låt A vara en symmetrisk 3 × 3-matris som har ett egenvärde som är lika med 2. Anta att alla vektorer som uppfyller x − 2y + z = 0 är egenvektorer till A med egenvärdet 1. a) Bestäm en egenvektor med egenvärde 2. (1 p) 3 b) Bestäm matrisen A. (Ledning: Börja med att bestämma en ortogonal bas för R som består av egen- vektorer till A.) (3 p) 8. På campus finns det två studentpubar A och B. Varje fredag fördelar sig studenterna efter följande mönster, som enbart beror på pubvalet förra helg. Av de studenter som var på pub A kommer 60% välja pub A igen, medan de resterande 40% väljer pub B. Av dem som var på pub B förra helgen kommer enbart 20% välja pub B, medan 80% väljer pub A. Vid terminstart väljer 50% av studenterna pub A och 50% av studenterna väljer pub B. a) Låt an vara andelen studenter som väljer pub A fredag n och bn vara andelen studenter som väljer pub B fredag n. Visa att vi då har sambandet      an+1 0,60 0,80 an = bn+1 0,40 0,20 bn för n ≥ 0 om vi numrerar fredagarna 0, 1, 2.... (1 p) b) Vad blir fördelningen av studenterna på de olika pubarna vid slutet av studietiden (d.v.s. efter en mycket lång tid)? (3 p) 9. För alla vektorer u, v och w i R3 gäller att u × (v × w) + v × (w × u) + w × (u × v) = 0. Bevisa detta genom att a) Visa att vänsterledet, T (u, v, w), är linjärt i u när v och w fixerade. (1 p) b) Visa att vänsterledet är noll om u är en linjärkombination av v och w. (1 p) c) Visa att vänsterledet är noll om u är ortogonal mot både v och w. (1 p) d) Förklara varför man från (a)-(c) kan dra slutsatsen att påståendet gäller för alla vektorer u, v och w i R3. (1 p) 3.4. 2011-06-09 1. Betrakta ekvationssystemet   x − y − 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y − 3z = c  där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.  a) Visa att det inte finns någon lösning till ekvationssystemet om c = 2. (2 p) b) Bestäm det värde på konstanten c som gör att systemet har minst en lösning och ange lösningsmängden i detta fall. (2 p) 2. a) Definiera vad det betyder att tre vektorer u, v och w i R4 är linjärt oberoende. (1 p) 4 b) Avgör om följande tre vektorer i R är linjärt oberoende: u = (1, −1, 1, −1), v = (1, 2, −2, −1) och w = (1, −4, 4, −1). (2 p) 4 c) Bestäm en bas till det underrum (delrum) i R som spänns upp av de tre ovanstående vektorerna u, v och w. (1 p) 3. Betrakta den symmetriska matrisen   −2 −8 2 A =  −8 4 −10 . 2 −10 7 a) Visa att vektorerna u = (1, −2, 2) och v = (−2, 1, 2) är egenvektorer till A och ange motsvarande egenvärden. (2 p) b) Eftersom matrisen är symmetrisk kommer också u × v att vara en egenvektor. Kontrollera detta och använd det för att hitta en basbytesmatris P sådan att P −1 AP är en diagonalmatris. (2 p) 4. Två plan i rummet sägs skära varandra under rät vinkel om deras normalvektorer är ortogonala mot varand- ra. Bestäm en ekvation för det plan i R3 som innehåller linjen (x, y, z) = (2, 1, 0) + t · (1, 3, 1) och som skär planet med ekvation 2x + z − 3 = 0 under rät vinkel. (4 p) 5. Man vill använda minsta-kvadratmetoden för att uppskatta parametrarna i en modell där en storhet z beror på storheterna x och y enligt z = f (x, y) = ax + by + c. Efter nio mätningar har man följande tabell av mätvärden: x 0 0 0 1 1 1 2 2 2 y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 z −5 −3 1 −4 −2 1 −1 1 4 Tre olika ingenjörer har angripit problemet och kommit fram till tre olika lösningar. Ingenjör A säger att det bästa valet är (a, b, c) = (3, 3, −7), Ingenjör B talar för (a, b, c) = (2, 3, −6) och Ingenjör C för (2, 2, −5). a) Vilken av ingenjörerna har lyckats bäst i minsta-kvadratmening? (2 p) b) Har någon av dem räknat fram den korrekta minsta-kvadratlösningen? (2 p) 6. Vi har att B = {f1 , f2 } är en bas för ett underrum V i R5. Vi har två vektorer g1 och g2 i V som tillsammans med f1 och f2 uppfyller relationerna  f1 + 2g1 = 3g2 , 2f2 − 4g1 = f1. a) Visa att B 0 = {g1 , g2 } också bildar en bas för V. (2 p) 0 b) Bestäm koordinaterna till vektorn 2f1 − 5f2 i basen B = {g1 , g2 }. (2 p) 7. Låt V vara det tvådimensionella delrum av R4 som utgör lösningsmängden till det homogena linjära ek- vationssystemet  x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x1 − x2 + x3 + x4 = 0. Den ortogonala projektionen T : R4 −→ V är en linjär avbildning och kan beskrivas med hjälp av en matris om vi väljer en bas för domänen R4 och en bas för målrummet V. För R4 är det naturligt att välja standardbasen, men det går också att välja andra baser.  a) Bestäm en ortogonal bas B för V (2 p) 4 b) Bestäm matrisen för avbildningen T med avseende på någon vald bas för R och basen B för V. (2 p) 8. Låt S = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 = 1} vara enhetssfären i det tredimensionlla rummet R3. En storcirkel på S är skärningen mellan S och ett plan genom origo i R3. Låt P vara en given punkt på sfären S. a) Låt Q vara en annan punkt på sfären. Visa att det alltid finns minst en storcirkel genom P och Q. (2 p) b) Bestäm de punkter, Q, på sfären sådana att det finns en unik storcirkel genom P och Q. (2 p) 9. Om vi har en triangel med hörn i punkterna A, B och C i R3 är det intressant inom datorgrafik att avgöra om en ljusstråle från origo, O, till en punkt P passerar utanför triangeln, eller fångas upp av triangeln. a) Om triangeln inte ligger i ett plan genom origo kan vi byta bas till {u, v, w}, där u = OA, v = OB och w = OC. När vi uttrycker vektorn OP i denna bas kan vi se på koordinaterna ifall linjen genom O och P går genom triangeln. Hur? (1 p) b) Vi kan också se på dessa koordinater om P ligger på samma sida om triangeln som O, i vilket fall strålen ändå når till P utan att träffa triangeln. Hur? (1 p) c) Illustrera metoden ovan genom att utföra räkningarna för triangeln med hörn i A = (5, 5, 0), B = (5, 0, 5) och C = (0, 5, 5) och de tre punkterna P1 = (3, 5, 3), P2 = (3, 6, 2) och P3 = (2, 4, 3). (2 p) 3.5. 2011-10-17 1. Bestäm en ekvation för det plan som innehåller punkterna (3, 5, 5) och (4, 5, 7) och som är vinkelrätt mot planet med ekvation x + y + z − 7 = 0. (4 p) h1i h2i h1i 2. Givet vektorerna ~u1 = 1 , ~u2 = 1 och ~u3 = 0. 3 3 1 3 a) Visa att ~u1 , ~u2 och ~u3 utgör en bas för R. (2 p) h1i b) Skriv vektorn ~v = 1 som en linjärkombination av ~u1 , ~u2 och ~u3. (2 p) 6 3. Låt   1 2 0 A= 3 4 1 . 0 −1 −1 a) Beräkna determinanten för A. (2 p) b) Beräkna det((AT A)−5 ). (2 p) 4. Bestäm matrisen för en linjär avbildning T : R3 −→ R3 vars bildrum, im(T ), ges av planet med ekvation x + 3y − 7z = 0. (4 p) 5. Betrakta matrisen   3 0 0 A =  −3 0 3 . −6 −6 9 h1i a) Kontrollera att 2 är en egenvektor till A. (1 p) 3 b) Bestäm samtliga egenvärden till A och bestäm en bas för varje egenrum till A. (3 p)  6. Låt W vara delrummet i R4 som har en bas B som består av vektorerna     1 1 2 1 1 och ~u2 = 2. ~u1 =     2 1 a) Vilken av vektorerna      −1 −1 1  2   2  −2  ~v1 =  −4 ,  ~v2 =  −5   och ~v3 =   −6  3 2 1 ligger i W ? (2 p) b) Bestäm koordinatvektorn med avseende på basen B för den av vektorerna som ligger i W. (2 p) 7. Det finns många linjära avbildningar T : R2 −→ R2 som bevarar area och avbildar vektorn [ 11 ] på vektorn [ 43 ]. Bestäm alla sådana linjära avbildningar. (4 p) 8. Låt ~u vara en vektor i R3 med ett rätvinkligt koordinatsystem. Vinkeln mellan ~u och x-axeln är 60◦ och vinkeln mellan ~u och y-axeln är 45◦. Bestäm vinkeln mellen ~u och z-axeln. (4 p) 9. Visa att om det finns någon bas i Rn vars vektorer är egenvektorer till de båda n × n-matriserna A och B så kommuterar dessa, dvs AB = BA. 3.6. 2012-01-09 1. Bestäm ett tredje hörn, C, i en triangel ABC i planet så att arean av triangeln blir 10 areaenheter om A = (−1, 1) och B = (2, −3). (4 p) 2. Låt V vara det tredimensionella delrum i R4 som ges av 3x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 = 0 och låt S vara mängden som består av följande fem vektorer i R4.           1 1 2 3 2  0   1   3   2   −3   −1  ,  −1  ,  −2  ,  3 och  0 .            0 −1 −3 2 0 a) Bestäm alla vektorer i S som ligger i delrummet V. (2 p) b) Bestäm en bas för V som består av några av vektorerna från S. (2 p) 3. Låt T : R2 −→ R2 vara den linjära avbildning som representeras av matrisen   2 1 A=. 2 3 a) Bestäm egenvärden och tillhörande egenrum för avbildningen T. (3 p) 2 b) Bestäm en bas B för R så att matrisen för T med avseende på basen B blir en diagonalmatris. (1 p) 4. En ingenjör har vid ett experiment uppmätt följande värden för tre storheter x, y och z enligt följande tabell: x −1 −1 0 1 1 y −1 1 0 −1 1 z 3 5 4 4 7 Enligt en modell för förloppet ska storheterna uppfylla en ekvation z = ax + by + c.  a) Med hjälp av minsta kvadratmetoden leds ingenjören till att lösa ekvationssystemet med totalmatrisen   4 0 0 3  0 4 0 5 . 0 0 5 23 Förklara hur ingenjören kommit fram till detta. (2 p) b) Vilken slutsats drar ingenjören när det gäller vilket samband z = ax + by + c som i minsta- kvadratmening passar bäst till de gjorda mätningarna? (1 p) c) Jämför modellens värden med mätningarna och förklara vad det är som har minimerats med hjälp av minsta-kvadratmetoden. (1 p) 5. Låt W = ker(T ) vara nollrummet till avbildningen T : R4 −→ R3 som ges av matrisen   1 1 1 1 A= 1 2 3 4 . 3 4 5 6 a) Bestäm en ortogonal bas för W. (2 p)  T b) Beräkna den ortogonala projektionen på W av vektorn ~v = 1 1 2 2. (2 p) 6. Betrakta en linjär avbildning, T : R2 → R2 , sådan att lösningsmängden till   1 T (~x) = 2 ges av   t+1 ~x = , 3−t där t är en reell parameter. a) Bestäm nollrummet, ker(T ). (2 p) b) Bestäm bildrummet, im(T ). (2 p) 7. När vi har en triangel i rummet kan vi med hjälp av ortogonal projektion på de tre koordinatplanen xy- planet, xz-planet och yz-planet få tre olika trianglar. a) Beskriv hur vi kan bestämma arean av triangeln om vi känner till areorna av de tre projektionerna. (2 p) b) Illustrera metoden genom att beräkna arean av triangeln med hörn i punktern A = (1, 2, 3), B = (2, 2, 2) och C = (3, 1, 6) både direkt och genom areorna av de tre projektionerna. (2 p) 8. För varje heltal n ≥ 1, låt An vara n×n-matrisen med ettor på diagonalen och superdiagonalen, minusettor på subdiagonalen och nollor för övrigt. För n = 1 finns inga super- eller subdiagonaler så vi definierar A1 = (1). Exempelvis är     1 1 0 0 0   1 1 0 0  −1 1 1 0  −1 1 1 0 0  1 1 0    A3 = −1 1 1 , A4 =     , A5 =  0 −1  1 1 0  . 0 −1 1 1  0 −1 1  0 0 −1 1 1  0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 a) Det gäller att det An = det An−1 + det An−2 för alla n ≥ 3. Varför? (3 p) b) Beräkna det A10. (1 p) 9. Visa att en 3 × 3-matris A med rang rank(A) = 1 och spår tr(A) = 0 inte kan vara diagonaliserbar. (4 p) 3.7. 2012-03-12 1. Betrakta ekvationssystemet i de tre obekanta x, y och z, som ges av   x + (1 − a)y + 2z = 0 2x + ay + 3z = 1 x + (2a − 1)y + az = a  där a är en konstant. a) Bestäm lösningsmängden i det fall då a = 1. (2 p) b) Undersök för vilka värden på konstanten a som ekvationssystemet har precis en lösning, oändligt många lösningar, respektive ingen lösning. (2 p) 2. Låt T : R3 → R3 vara den ortogonala projektionen på planet x − 3y − 5z = 0. a) Bestäm en bas för nollrummet, ker(T ). (2 p) b) Bestäm en bas för bildrummet, im(T ). (2 p) 3. Betrakta matrisen   5 −2 A=. 7 −4 a) Bestäm egenvärdena till matrisen A och förklara varför A är diagonaliserbar. (2 p) b) Bestäm en matris S sådan att S −1 AS är en diagonalmatris. (2 p) 4. Låt W ⊆ R4 vara delrummet som ges av ekvationen x − 2y + 3z + w = 0. a) Bestäm en linjär avbildning T : R4 −→ R4 vars bildrum im(T ) är W. (3 p) b) Varför finns det ingen linjär avbildning S : R2 −→ R4 vars bildrum im(S) är W ? (1 p) 5. En linje (x, y, z) = (4 + 3t, 5t, t − 2) och ett plan med ekvation 2x + y − 2z − 3 = 0 är givna. När linjen projiceras på planet fås en ny linje som ligger i planet. Bestäm denna linje. (4 p) 6. Låt T : R2 −→ R2 vara den linjära avbildning som ges av matrisen   4 2 , 1 5 och låt B vara basen som ges av vektorerna     1 1 ~u1 = och ~u2 =. 1 2 a) Bestäm matrisen för avbildningen T med avseende på basen B. (2 p) b) Bestäm koordinatvektorn, [T (~x)]B , där ~x = [ 13 ]. (2 p) 7. Låt W vara delrummet i R4 som spänns upp av de två vektorerna  1   2  2 ~u1 = −2 och ~u2 = 30. −1 −2 a) Bestäm en bas för det ortogonala komplementet W ⊥. (2 p)  b) Skriv vektorn   1 1 ~x =   1 1 som en summa ~x = ~u + ~v , där ~u ligger i W och ~v ligger i W ⊥. (2 p) 8. Inom datorgrafiken är ett av de grundläggande problemen att projicera punkter i en tre-dimensionell scen på en två-dimensionell datorskärm. En vanlig projektionsmetod är att från den punkt Q i scenen som ska projiceras bilda en rät linje till en tänkt betraktare E. Den punkt Q0 där linjen skär skärmens plan är projektionspunkten av Q. I skärmens plan införs ett koordinatsystem genom att välja ett origo i punkten P och två basvektorer ~u1 och ~u2. E Q0 u2 Q P u1 −−→ a) Ange med hjälp av vektorerna OP , ~u1 och ~u2 ett uttryck för vektorn från origo O (i rummet) till en punkt Q0 som har koordinater (s1 , s2 ) i skärmens koordinatsystem. (1 p) b) Använd (a)-delen och linjen genom E och Q för att skriva upp en vektorekvation för punkten Q0. De tre obekanta i ekvationen kommer att vara s1 , s2 och linjens parameter. (1 p) c) Visa att punkten Q0 har koordinaterna −−→ −−→ −−→ −−→ ! P E · (EQ × ~u2 ) P E · (EQ × ~u1 ) −−→ , −−→ ~u1 · (EQ × ~u2 ) ~u2 · (EQ × ~u1 ) −−→ i skärmens koordinatsystem genom att ta skalärprodukten av ekvationen med EQ × ~u1 respektive −−→ EQ × ~u2. (2 p) 9. Låt T vara en linjär avbildning från R4 till R5 vars nollrum, ker(T ), har dimension 1. Låt V vara ett 3-dimensionellt delrum av R4. Låt S : V −→ R5 vara den avbildning som fås genom att använda avbild- ningen T bara på vektorer i V. Avgör vilka möjligheter det finns för dimensionen av bildrummet im(S). (4 p) 3.8. 2012-06-12 1. En triangel i rummet har hörnen i punkterna P = (−1, 2, 1), Q = (5, 2, 3) och R = (2, 1, −1). a) Använd skalärprodukten för att visa att triangeln är rätvinklig. (2 p) b) Bestäm arean av triangeln. (2 p) 2. a) Bestäm matrisen som representerar den linjära avbildningen T : R2 −→ R2 som uppfyller         1 1 0 0 T = och T =. −1 1 −1 1 (2 p)  b) Visa att det inte finns någon linjär avbildning T : R2 −→ R2 som uppfyller             1 1 0 0 1 1 T = , T = och T =. −1 1 −1 1 −2 4 (2 p) 3. Betrakta avbildningen T : R3 −→ R3 som ges av matrisen   −1 1 −1 A= 0 2 2 . 1 0 2 a) Bestäm en bas för nollrummet, ker(T ). (2 p) b) Bestäm en bas för bildrummet, im(T ). (2 p)        2  1 5   2 9 13 4. Låt W = span  , , . 2 9 13    2 1 5   a) Bestäm en ortonormal bas för W. (2 p) 4 4 b) Låt T : R −→ R vara den ortogonala projektionen på delrummet W. Bestäm matrisen för avbild- ningen T. (2 p) 5. Låt T : R3 −→ R3 vara avbildningen som ges av matrisen   2 −1 7 A = −1 7 2 . 7 2 −1 Det finns nollskilda vektorer ~u och ~v sådana att T (~u) = −7~u och T (~v ) = 7~v. a) Bestäm alla sådana vektorer ~u och ~v. (2 p) 3 b) Bestäm en ortogonal bas för R som består av egenvektorer till T. (2 p) 6. Efter mätningar leds en student till att bestämma ekvationen, y = ax2 +bx+c, för den parabel som i minsta- kvadratmening bäst anpassar till punkterna (−2, 5), (−1, 7), (0, 6), (1, 4) och (2, 3). Efter räkningar kom- mer studenten fram till ekvationssystemet med totalmatris   34 0 10 43  0 10 0 −7 . 10 0 5 25 a) Förklara hur man kommer fram till detta ekvationssystem. (2 p) b) Kontrollera att a = −0, 5, b = −0, 7 och c = 6 är en lösning och förklara vilken slutsats vi kan dra för det ursprungliga problemet. (2 p) 7.