Mathematik II Wirtschaftsinformatik WiSe2425 PDF

Mathematik II Wirtschaftsinformatik WiSe2425 Oldenburg Oldenburg, 02.09.2024 DOZENT Dipl. Math. Martin Menke Kontakt: [email protected] Sprechstunde: nach Vereinbarung in Präsenz – Kontakt per Mail Mathematik oder per ZOOM Angewandte Mathemati...

Mathematik II Wirtschaftsinformatik WiSe2425 Oldenburg Oldenburg, 02.09.2024 DOZENT Dipl. Math. Martin Menke Kontakt: [email protected] Sprechstunde: nach Vereinbarung in Präsenz – Kontakt per Mail Mathematik oder per ZOOM Angewandte Mathematik Fluiddynamik, Turbulenzforschung Lerncoach, Unterstützung im Raum: W113 - Westgebäude Bereich Mathematik 26.09.2024 2 GLIEDERUNG DER VORLESUNGSTHEMEN Grobe Gliederung: - Vektoren und Anwendung - Analytische Geometrie - Matrizen und Determinanten - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren - Eigenwerte/Eigenvektoren - Transformationen 26.09.2024 3 MATERIAL Es wird ein Skript zur Zu bestimmten Themen Verfügung gestellt werden Foliensätze genutzt Es werden ausgewählte Die Inhalte beruhen auf der Übungsaufgaben zur Modulbeschreibung – Teile Verfügung gestellt wurden aus dem Skript Hero Weber übernommen Es wird erwartet externe Literatur zu nutzen 26.09.2024 4 TERMINE Dienstag, im Doppelblock 10:15 Uhr – 11:45 Uhr, Raum S308 12:15 Uhr – 13:45 Uhr, Raum S308 Während der Vorlesung ist eine aktive Mitarbeit erwünscht. Zwischendurch werden auch immer wieder Übungen und Aufgabenstellungen im Plenum bearbeitet. Es soll kein reiner Frontalunterricht sein. Haben Sie bitte den Mut sich zu beteiligen. 5 WIE LERNEN? Kommen Sie regelmäßig in die Vorlesung und beteiligen sich aktiv Schreiben Sie sich Zusammenfassungen für den Stoff Bearbeiten Sie regelmäßig die angebotenen Übungsaufgaben und gleichen Ihre Lösungen ab Optional: Lesen Sie die den Stoff in externer Literatur nach (m.M.n. sehr wichtig!) 6 NOTWENDIGKEIT 26.09.2024 7 NOTWENDIGKEIT 26.09.2024 8 KLAUSUR 120 Minuten Klausur im Prüfungszeitraum 100 Punkte sind maximal zu erreichen, 50 Punkte genügen zum Bestehen Prüfungszeitraum 02.01. – 31.01. Anmeldezeitraum 04.11. – 22.11. Achten Sie selbständig auf Informationen der Hochschule Prüfungen betreffend Beachten Sie die Informationen der PK des FB Beachten Sie bitte entsprechende Fristen 9 DURCHFALLQUOTE Mathematik I (SoSe24) W-Inf Analysis II (SoSe24) Ag+G-Inf Beteiligung an Beteiligung an Vorlesungsterminen: Vorlesungsterminen: Im Schnitt 2 - 4 Studierende Im Schnitt 50 Studierende (ca.60 (ca.50 in Moodle) in Moodle) Durchfallquote über 80% Durchfallquote bei 5% 26.09.2024 10 FEEDBACKKULTUR Sie sind hier zum Lernen … und ich auch! Meine Bitte an Sie: falls es Fragen, Lob, Kritik oder Anregungen gibt, wie die Vorlesung besser werden kann, dann scheuen Sie bitte nicht, dieses auszusprechen Wie? Direkt im Plenum Nach der Vorlesung unter 4 Augen Per Email Anonym auf einem Zettel, den Sie in mein Fach legen oder unter meiner Bürotür durchschieben In der Evaluation am Ende der Vorlesung (hilft aber nur zukünftigen Studierenden) 11 Noch Fragen? Einführung Vektoren Wilhelmshaven, 20.03.2019 WAS IST EIN VEKTOR? In der Technik und in den Skalare Größe: Naturwissenschaften sowie Ist eine Größe nach der Geometrie wird zwischen Festlegung der Maßeinheit skalaren und vektoriellen allein durch ihren Größen unterschieden. Zahlenwert vollständig charakterisiert, so nennt man diese Größe skalare Größe oder Skalar. Bsp.: Länge, Zeit, Masse, Temperatur, Arbeit, Energie, etc. 10.10.2024 2 WAS IST EIN VEKTOR? In der Technik und in den Vektorielle Größe: Naturwissenschaften sowie Ist eine Größe zusätzlich zu der Geometrie wird zwischen ihrem Zahlenwert, dem skalaren und vektoriellen Betrag, zusätzlich durch ihre Größen unterschieden. Richtung charakterisiert, so nennt man diese Größe vektorielle Größe oder Vektor. Bsp.: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, etc. 10.10.2024 3 BEGRIFFE Ein Vektor ist eine Größe, die Die geometrische einen bestimmten Betrag Veranschaulichung eines (eine bestimmte Länge) und Vektors ist ein Pfeil (eine eine Richtung (Achsenlage) gerichtete Strecke) mit einer sowie einen Richtungssinn bestimmten Länge. (eine Orientierung) besitzt. In vielen Anwendungen reicht es aus, mit zweidimensionalen und dreidimensionalen Vektoren zu arbeiten. 10.10.2024 4 BEZEICHNUNG Die Bezeichnung von Die Bezeichnung 𝐴𝐴𝐴𝐴 steht für Vektoren erfolgt i.A. durch den Vektor von Punkt A zu Fettdruck 𝒂𝒂, 𝒃𝒃, 𝒄𝒄, … , 𝒙𝒙, 𝒚𝒚, 𝒛𝒛 oder Punkt B. durch Buchstaben, die mit einem darüber stehenden Pfeil Der Betrag (die Länge, die versehen sind, z.B. 𝑎𝑎, ⃗ 𝑏𝑏, …. Euklidische Norm) eines Vektors ist der Abstand zwischen seinem Anfangspunkt A und seinem Endpunkt B. 10.10.2024 5 BEZEICHNUNG Zur Bezeichnung des Im Euklidischen Vektorraum Betrages wird der Vektor in ist die Norm gleich dem gerade senkrechte Striche Betrag eines Vektors. eingeschlossen, z.B. 𝑎𝑎⃗. In der Literatur findet man bzgl. des Normbegriffes häufig die Notation 𝑎𝑎⃗. Die Norm eines Vektors kann je nach Vektorraum unterschiedlich definiert sein. 10.10.2024 6 GEBUNDENE UND FREIE VEKTOREN Man unterscheidet zwischen gebundenen Vektoren und freien Vektoren. Gebundene Vektoren starten in einem festen Punkt. Freie Vektoren sind durch Richtung, Richtungssinn und Betrag festgelegt (Richtungsvektor). Freie Vektoren können im Raum verschoben werden. 10.10.2024 7 SPEZIELLE VEKTOREN Nullvektor 0: Vektor mit dem Betrag null und einer unbestimmten Richtung, da Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Einheitsvektor 𝑒𝑒: ⃗ Vektor mit dem Betrag eins und einer bestimmten Richtung (meist durch die Achsen eines Koordinatensystems gegeben). Paralleler Vektor zu 𝑎𝑎: ⃗ Vektor mit der Eigenschaft, dass er durch Parallelverschiebung auf eine gemeinsame Gerade mit 𝑎𝑎⃗ übergeführt werden kann. Gleichgerichteter Vektor zu 𝑎𝑎: ⃗ Vektor, der parallel zu 𝑎𝑎⃗ ist und den gleichen Richtungssinn wie dieser besitzt. 10.10.2024 8 SPEZIELLE VEKTOREN Entgegengesetzter Vektor zu 𝑎𝑎: ⃗ Vektor der parallel zu 𝑎𝑎⃗ ist und den entgegengesetzten Richtungssinn wie dieser besitzt. Er wird mit −𝑎𝑎⃗ bezeichnet. Ortsvektor: Gebundener Vektor, dessen Anfangspunkt im Nullpunkt liegt. 10.10.2024 9 RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN - GEOMETRISCH Einige wichtige Wie so oft in der Mathematik Rechenoperationen mit werden identische Symbole Vektoren sind die für unterschiedliche Vektoraddition, die Operationen genutzt. Vektorsubtraktion und die Daher immer auf den Kontext Multiplikation eines Vektors und die Operanden achten. mit einem Skalar. 10.10.2024 10 VEKTORADDITION Bei der Addition zweier Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏 wird der Vektor 𝑏𝑏 so verschoben, dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkte von 𝑎𝑎⃗ zusammenfällt. Seine Richtung, sein Betrag und sein Richtungssinn dürfen dabei nicht verändert werden. 10.10.2024 11 VEKTORADDITION Die Resultierende der Vektoraddition ist der Vektor 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏, der vom Anfangspunkt von 𝑎𝑎⃗ zum Endpunkt des verschobenen Vektors 𝑏𝑏 weist. 10.10.2024 12 VEKTORSUBTRAKTION Die Subtraktion zweier Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏 erfolgt durch Addition von 𝑎𝑎⃗ und dem zum Vektor 𝑏𝑏 entgegengesetzten Vektor −𝑏𝑏. 10.10.2024 13 VEKTORSUBTRAKTION Die Differenz der Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏 (der Differenzvektor 𝑐𝑐) ⃗ ist als resultierender Vektor derjenige Vektor, der vom Anfangspunkt von 𝑎𝑎⃗ zum Endpunkt des zu 𝑏𝑏 entgegengesetzten und dann verschobenen Vektors weist. 10.10.2024 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Ist 𝜆𝜆 eine reelle Zahl und 𝑎𝑎⃗ ein Vektor, so versteht man unter dem Produkt 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎⃗ den Vektor 𝑏𝑏, der die Richtung von 𝑎𝑎⃗ hat, dessen Betrag 𝑏𝑏 = 𝜆𝜆 ⋅ |𝑎𝑎| ⃗ ist und dessen Richtungssinn durch das Vorzeichen von 𝜆𝜆 bestimmt wird. 10.10.2024 15 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Für 𝜆𝜆 > 0 hat 𝑏𝑏 den selben Richtungssinn wie 𝑎𝑎.⃗ Für 𝜆𝜆 < 0 den entgegengesetzten Richtungssinn. 10.10.2024 16 KOMPONENTEN- UND KOORDINATENDARSTELLUNG VON VEKTOREN Für den Umgang mit Vektoren Ein gebräuchliches ist es zweckmäßig, ein Koordinatensystem ist das Koordinatensystem kartesische zugrunde zu legen, um damit Koordinatensystem. Es ist eine Koordinaten- bzw. festgelegt durch seinen Komponentendarstellung Nullpunkt und in der Ebene von Vektoren zu erhalten und durch zwei, im Raum durch mit dieser Darstellung drei Achsen, die paarweise Rechenoperationen ausführen senkrecht aufeinander stehen. zu können. 10.10.2024 17 KOMPONENTEN- UND KOORDINATENDARSTELLUNG VON VEKTOREN Die Achsen werden In der Ebene: beschrieben durch die 1 0 kartesischen Einheitsvektoren. 𝑒𝑒1 = , 𝑒𝑒2 = 0 1 Diese bilden eine sogenannte Basis des Vektorraums. Im Raum: 1 0 0 𝑒𝑒1 = 0 , 𝑒𝑒2 = 1 , 𝑒𝑒3 = 0 0 0 1 10.10.2024 18 DARSTELLUNG EINES ORTSVEKTORS Ein Ortsvektor, dessen Endpunkt der Punkt 𝑃𝑃 ist, hat im kartesischen Koordinatensystem dieselben Koordinaten wie der Punkt 𝑃𝑃. Werden in der Ebene mit 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 bzw. im Raum mit 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 , 𝑎𝑎𝑧𝑧 die Koordinaten des Punktes 𝑃𝑃 bezeichnet und mit 0 der Nullpunkt des Koordinatensystems, dann kann der Vektor 𝑎𝑎⃗ = 0𝑃𝑃 − im zweidimensionalen Raum gebildet werden als − 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 , − im dreidimensionalen Raum als − 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 10.10.2024 19 DARSTELLUNG EINES ORTSVEKTORS 10.10.2024 20 DARSTELLUNG EINES ORTSVEKTORS Mit Hilfe der skalaren Eine Summe der Form Multiplikation und der Addition 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 , kann aus den beiden bzw. den bzw. 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 drei Einheitsvektoren jeder heißt Linearkombination von beliebige Punkt der Ebene Vektoren. bzw. des Raumes beschrieben Die Summanden 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 , 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 werden. oder 𝑎𝑎𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 heißen vektorielle Komponenten des Vektors 𝑎𝑎. ⃗ 10.10.2024 21 DARSTELLUNG EINES ORTSVEKTORS Komponentendarstellung Koordinatendarstellung 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 0 0 Nullvektor 0 = 0 bzw 0 = 0 0 10.10.2024 22 BETRAG VON VEKTOREN IN KOORDINATENDARSTELLUNG Für den Betrag von 𝑎𝑎⃗ (also die Länge des zugehörigen Pfeils) gilt 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧2 10.10.2024 23 RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN IN KOORDINATENDARSTELLUNG Für die Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar können die folgenden Rechenregeln angeführt werden. Betrachtet werden die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑏𝑏𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 10.10.2024 24 RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN IN KOORDINATENDARSTELLUNG 1. Für die Summe 𝑐𝑐⃗ der Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏 gilt: 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 und daher in Koordinatenschreibweise 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 d 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑧𝑧 10.10.2024 25 RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN IN KOORDINATENDARSTELLUNG 2. Für die Differenz 𝑑𝑑⃗ der Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏 gilt: 𝑑𝑑⃗ = 𝑎𝑎⃗ − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 ⋅ 𝑒𝑒1 + 𝑎𝑎𝑦𝑦 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 ⋅ 𝑒𝑒2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 − 𝑏𝑏𝑧𝑧 ⋅ 𝑒𝑒3 und daher in Koordinatenschreibweise 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 d 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎⃗ − 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 − 𝑏𝑏𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑏𝑏𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑧𝑧 − 𝑏𝑏𝑧𝑧 10.10.2024 26 RECHENOPERATIONEN MIT VEKTOREN IN KOORDINATENDARSTELLUNG 3. Für das Produkt 𝑝𝑝⃗ des Vektors 𝑎𝑎⃗ mit einem Skalar 𝜆𝜆 gilt: 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑝𝑝⃗ = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎𝑧𝑧 10.10.2024 27 BEISPIELE Gegeben sind die Vektoren 2 𝑎𝑎⃗ = 1 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 = −3 −4 𝑏𝑏 = 0 𝑎𝑎⃗ − 𝑏𝑏 = 5 7 𝑐𝑐⃗ = −5 3 ⋅ 𝑐𝑐⃗ = −2 10.10.2024 28 BEISPIELE Gegeben sind die Vektoren 2 −2 𝑎𝑎⃗ = 1 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 = 1 −3 2 −4 6 𝑏𝑏 = 0 𝑎𝑎⃗ − 𝑏𝑏 = 1 5 −8 7 21 𝑐𝑐⃗ = −5 3 ⋅ 𝑐𝑐⃗ = −15 −2 −6 10.10.2024 29 BEISPIELE Gegeben sind die Vektoren 2 𝑎𝑎⃗ = 1 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐⃗ = −3 −4 |𝑎𝑎| = 𝑏𝑏 = 0 5 2 ⋅ 𝑐𝑐⃗ − 3 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 7 𝑐𝑐⃗ = −5 −2 10.10.2024 30 BEISPIELE Gegeben sind die Vektoren 2 −9 𝑎𝑎⃗ = 1 𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐⃗ = 6 −3 4 −4 𝑎𝑎⃗ = 22 + 12 + −3 2 = 14 𝑏𝑏 = 0 5 8 2 ⋅ 𝑐𝑐⃗ − 3 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = −13 7 𝑐𝑐⃗ = −5 5 −2 10.10.2024 31 KOORDINATENDARSTELLUNG BELIEBIGER GEBUNDENER VEKTOREN Mit den Einheitsvektoren kann Vektoren zwischen zwei neben Ortsvektoren jeder Punkten können durch die beliebige gebundene Vektor in zugehörigen Ortsvektoren der der Ebene bzw. im Raum jeweiligen Punkte bestimmt dargestellt werden. werden. Zu beachten gilt: Zielpunkt minus Anfangspunkt. 10.10.2024 32 BEISPIEL Gegeben sind die Punkte Der Vektor 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 ergibt sich zu 𝑃𝑃1 = 2; 3; 4 und 3 2 𝑃𝑃2 = 3; −1; 2 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1 = −1 − 3 2 4 1 Die zugehörigen Ortsvektoren = −4 lauten −2 2 3 𝑃𝑃1 = 3 bzw. 𝑃𝑃2 = −1 4 2 10.10.2024 33 WICHTIG Wenn ein Vektor durch seine Koordinaten gegeben ist, dann ist nur aus dem Zusammenhang ersichtlich, ob ein freier oder ein bestimmter gebundener Vektor gemeint ist. Fehlt dieser Zusammenhang, dann geht man von einem freien Vektor aus. 10.10.2024 34 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit  Vektoren Teil 2 „Vektorproduktarten“ Wilhelmshaven, 02.03.2023 GLIEDERUNG Einführung Vektorproduktarten – Skalarprodukt Definition Geometrische Darstellung / Interpretation Rechenbeispiele / Anwendung Aufgaben – Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Definition Geometrische Darstellung / Interpretation Rechenbeispiele / Anwendung Aufgaben – Spatprodukt 10.10.2024 2  EINFÜHRUNG Im weiteren Verlauf gelten folgende Notationen: 𝑎𝑎1 n-dimensionaler Vektor: 𝑎𝑎⃗ = ⋮ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 3-dimensionaler Vektor: 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎2 und 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏2 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 Betrag eines Vektors: 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22 + 𝑎𝑎32 10.10.2024 3 EINFÜHRUNG Vektoraddition ist komponentenweise definiert 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎1 ± 𝑏𝑏1  𝑎𝑎⃗ ± 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 ± 𝑏𝑏2 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎3 ± 𝑏𝑏3 Skalare Multiplikation ist komponentenweise definiert 𝑎𝑎1 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎1  𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎2 = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎2 , 𝜆𝜆 ∈ ℝ 𝑎𝑎3 𝜆𝜆 ⋅ 𝑎𝑎3 Vektormultiplikation ist nicht komponentenweise definiert 𝑎𝑎1 ⋅ 𝑏𝑏1  𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ≠ 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑏𝑏2 𝑎𝑎3 ⋅ 𝑏𝑏3 10.10.2024 4 VEKTORPRODUKTARTEN Skalarprodukt (inneres Produkt) – Ergebnis liefert Skalar (Zahl) Vektorprodukt (Kreuzprodukt) – Ergebnis liefert Vektor Spatprodukt 10.10.2024 5 SKALARPRODUKT - DEFINITION 𝑛𝑛 ⃗ 𝑏𝑏 ∈ ℝ𝑛𝑛 gilt: Für Vektoren 𝑎𝑎, 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 3 ⃗ 𝑏𝑏 ∈ ℝ3 gilt: Für Vektoren 𝑎𝑎, 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 ⋅ 𝑏𝑏𝑖𝑖 = 𝑎𝑎1 ⋅ 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 ⋅ 𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎3 ⋅ 𝑏𝑏3 𝑖𝑖=1 Beispielrechnung: 1 −2 2 ∘ 1 = 1 ⋅ −2 + 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 = 12 4 3 Das Skalarprodukt ist kommutativ und liefert im Ergebnis einen Zahlenwert. 10.10.2024 6 AUFGABEN Berechnen Sie: −2 1 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 0 ∘ 3 = 3 2 1 0 𝑐𝑐⃗ ∘ 𝑑𝑑⃗ = 4 ∘ −2 = 2 4 10.10.2024 7 AUFGABEN - LÖSUNG Berechnen Sie: −2 1 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 0 ∘ 3 = −2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 4 3 2 1 0 𝑐𝑐⃗ ∘ 𝑑𝑑⃗ = 4 ∘ −2 = 1 ⋅ 0 + 4 ⋅ −2 + 2 ⋅ 4 = 0 2 4 10.10.2024 8 SKALARPRODUKT - GEOMETRISCH 10.10.2024 9 SKALARPRODUKT - GEOMETRISCH Man kann zeigen, dass mit 𝜑𝜑 ≔ 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 gilt: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ cos 𝜑𝜑 Durch umstellen erhält man: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 cos(𝜑𝜑) = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 10.10.2024 10 SKALARPRODUKT - GEOMETRISCH Man kann zeigen, dass mit 𝜑𝜑 ≔ 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 gilt: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ cos 𝜑𝜑 Durch umstellen erhält man: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 cos(𝜑𝜑) = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 Beispielrechnung: 1 2 1 2 2 ∘ 1 1 3 7 𝑎𝑎⃗ = 2 , 𝑏𝑏 = 1 liefert: 𝜑𝜑 = cos −1 1 2 = cos−1 = 40,20° 6⋅ 14 1 3 2 ⋅ 1 1 3 10.10.2024 11 SKALARPRODUKT – FOLGERUNG - AUFGABEN Für 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 0 gilt: 𝑎𝑎⃗ ⊥ 𝑏𝑏 Aufgaben: – Bestimmen Sie den eingeschlossenen Winkel zu 4 1 𝑎𝑎⃗ = 2 und 𝑏𝑏 = 1 1 2 10.10.2024 12 SKALARPRODUKT – FOLGERUNG – AUFGABEN - LÖSUNG Für 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 0 gilt: 𝑎𝑎⃗ ⊥ 𝑏𝑏 Aufgaben: – Bestimmen Sie den eingeschlossenen Winkel zu 4 1 𝑎𝑎⃗ = 2 und 𝑏𝑏 = 1 1 2 4 1 2 ∘ 1 1 2 8 – 𝜑𝜑 = cos −1 4 1 = cos −1 = cos −1 0,71 = 44,77° 21⋅ 6 2 ⋅ 1 1 2 10.10.2024 13 SKALARPRODUKT – ORTHOGONALE PROJEKTION Zur Berechnung einer Komponente in Richtung eines Vektors: 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ⋅ cos(𝛼𝛼) Mit 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ⋅ cos 𝛼𝛼 = 𝑏𝑏 folgt 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 10.10.2024 14  ANWENDUNG - BEISPIELE Die physikalische Arbeit W ist durch das Skalarprodukt definiert: 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃗ ∘ 𝑠𝑠⃗ = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑠𝑠 ⋅ cos 𝜑𝜑 = 𝐹𝐹𝑠𝑠 ⋅ 𝑠𝑠 Arbeit wird nur bei gewirkter Kraft in Wegrichtung verrichtet. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt 10.10.2024 15  ANWENDUNG - BEISPIELE Die physikalische Arbeit W ist durch das Skalarprodukt definiert: 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹⃗ ∘ 𝑠𝑠⃗ = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑠𝑠 ⋅ cos 𝜑𝜑 = 𝐹𝐹𝑠𝑠 ⋅ 𝑠𝑠 Arbeit wird nur bei gewirkter Kraft in Wegrichtung verrichtet. 𝑊𝑊 = 𝐹𝐹 ⋅ 𝑠𝑠 ⋅ cos 𝜑𝜑 = 5𝑁𝑁 ⋅ 3𝑚𝑚 ⋅ cos 63° = 6,81 𝐽𝐽 Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt 10.10.2024 16 VEKTORPRODUKT - DEFINITION ⃗ 𝑏𝑏 ∈ ℝ3 gilt: Für Vektoren 𝑎𝑎, 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎2 × 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 − 𝑎𝑎1 𝑏𝑏3 = 𝑐𝑐⃗ 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 „Eselsbrücken“: Permutationen (1,2,3) 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 Ersten beiden Zeilen nachtragen: 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑒𝑒1 𝑎𝑎 𝑏𝑏2 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 Determinante 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑒𝑒2 = 2 𝑒𝑒1 − 1 𝑒𝑒2 + 1 𝑒𝑒 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑒𝑒3 10.10.2024 17 VEKTORPRODUKT - DEFINITION ⃗ 𝑏𝑏 ∈ ℝ3 gilt: Für Vektoren 𝑎𝑎, 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎2 × 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 − 𝑎𝑎1 𝑏𝑏3 = 𝑐𝑐⃗ 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 „Eselsbrücken“: Permutationen (1,2,3) 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 Ersten beiden Zeilen nachtragen: 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑒𝑒1 𝑎𝑎 𝑏𝑏2 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 𝑎𝑎 𝑏𝑏1 Determinante 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑒𝑒2 = 2 𝑒𝑒1 − 1 𝑒𝑒2 + 1 𝑒𝑒 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑒𝑒3 10.10.2024 18 VEKTORPRODUKT - GEOMETRISCH 10.10.2024 19 VEKTORPRODUKT - GEOMETRISCH 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ⊥ 𝑎𝑎⃗ , 𝑏𝑏 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 entspricht Fläche 10.10.2024 20 VEKTORPRODUKT - GEOMETRISCH 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ⊥ 𝑎𝑎⃗ , 𝑏𝑏 Es gilt: 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 entspricht Fläche 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ sin(𝛼𝛼) 10.10.2024 21 VEKTORPRODUKT - GEOMETRISCH 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐⃗ 𝑏𝑏 × 𝑎𝑎⃗ = −𝑐𝑐⃗ Orientierung von 𝑐𝑐⃗ Rechte-Hand-Regel 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ⊥ 𝑎𝑎⃗ , 𝑏𝑏 Es gilt: 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 entspricht Fläche 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ sin(𝛼𝛼) 10.10.2024 22 VEKTORPRODUKT – BEISPIEL Beispielrechnung: 1 2 2⋅4 −3⋅3 −1 2 × 3 = 3⋅2−1⋅4 = 2 3 4 1⋅3−2⋅2 −1 2 1 3⋅3−4⋅2 1 −1 3 × 2 = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 = −2 = − 2 4 3 2⋅2−3⋅1 1 −1 10.10.2024 23 VEKTORPRODUKT – BEISPIEL Beispielrechnung: 1 2 2⋅4 −3⋅3 −1 2 × 3 = 3⋅2−1⋅4 = 2 3 4 1⋅3−2⋅2 −1 2 1 3⋅3−4⋅2 1 −1 3 × 2 = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 = −2 = − 2 4 3 2⋅2−3⋅1 1 −1 Aufgabe: 2 −1 1 × 2 = 3 −2 10.10.2024 24 VEKTORPRODUKT – BEISPIEL Beispielrechnung: 1 2 2⋅4 −3⋅3 −1 2 × 3 = 3⋅2−1⋅4 = 2 3 4 1⋅3−2⋅2 −1 2 1 3⋅3−4⋅2 1 −1 3 × 2 = 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 3 = −2 = − 2 4 3 2⋅2−3⋅1 1 −1 Aufgabe: 2 −1 1 ⋅ −2 − 3 ⋅ 2 −8 1 × 2 = 3 ⋅ −1 − 2 ⋅ (−2) = 1 3 −2 2 ⋅ 2 − 1 ⋅ (−1) 5 10.10.2024 25 AUFGABE Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes. 10.10.2024 26 AUFGABE - LÖSUNG Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes. 1 3 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 , 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 3 2 1 3 5⋅2−3⋅1 7 𝐴𝐴𝐴𝐴 × 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 5 × 1 = 3 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 = 7 3 2 1⋅1−5⋅3 −14 𝐴𝐴𝐴𝐴 × 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 72 + 72 + (−14)2 = 17,15 FE 1 𝐹𝐹△ = ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 × 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 8,575 FE 2 10.10.2024 27  VEKTORPRODUKT – PHYSIKALISCHE ANWENDUNG Das Drehmoment resultierend aus einer Kraft senkrecht zum Ortsvektor des Angriffspunktes. 𝑀𝑀 = 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ Der Drehimpuls kann durch folgenden Zusammenhang bestimmt werden: 𝐿𝐿 = 𝑟𝑟⃗ × 𝑝𝑝⃗ Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmoment 10.10.2024 28 SPATPRODUKT Das Spatprodukt ist eine Kombination aus Skalarprodukt und Vektorprodukt ⃗ 𝑏𝑏, 𝑐𝑐⃗ ∈ ℝ3 : Es gilt für 𝑎𝑎, 𝑎𝑎, ⃗ 𝑏𝑏, 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐⃗ Der Betrag des Spatprodukts liefert das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelopipeds (Spats). Anwendung: Volumenberechung eines Tetraeders. 1 𝑉𝑉 = ⋅ (𝑎𝑎,⃗ 𝑏𝑏, 𝑐𝑐) ⃗ 6 10.10.2024 29  PARALLELOPIPED Von Ag2gaeh - Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=74890096 10.10.2024 30 WEITERE RECHENREGELN Graßmann-Identität: 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑐𝑐⃗ ⋅ 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐⃗ ⋅ 𝑎𝑎⃗ Lagrange-Identität: 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐⃗ × 𝑑𝑑⃗ = 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑐𝑐⃗ 𝑏𝑏 ∘ 𝑑𝑑⃗ − 𝑏𝑏 ∘ 𝑐𝑐⃗ 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑑𝑑⃗ 10.10.2024 31 TRANSPONIEREN EINES VEKTORS Wird ein Vektor (oder später eine Matrix) transponiert, so werden Zeilen und Spalten vertauscht. Für Vektoren ergibt dies also: 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑇𝑇 𝑎𝑎⃗ 𝑇𝑇 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑇𝑇 = 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑎𝑎𝑧𝑧 10.10.2024 32 AUFGABEN Geben Sie die Komponentendarstellung des Vektors −2 𝑎𝑎⃗ = 3 mit Hilfe der Einheitsvektoren 𝑒𝑒𝑖𝑖 an. 1 10.10.2024 33 AUFGABEN Geben Sie die Koordinatendarstellung des Vektors 𝑎𝑎⃗ = 4 ⋅ 𝑒𝑒1 + 2 ⋅ 𝑒𝑒2 − 7 ⋅ 𝑒𝑒3 an. 10.10.2024 34 AUFGABEN 4 1 Gegeben sind die Vektoren 𝑎𝑎⃗ = 2 und 𝑏𝑏 = −1. 6 3 7 Ist der Vektor 𝑐𝑐⃗ = 5 eine Linearkombination der 9 Vektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏? 10.10.2024 35 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit  Vektorrechnung Teil 03 Beschreibung von Elementen Wilhelmshaven, 23.02.2022 EINFÜHRUNG Zunächst führen wir die Notation und Darstellung unterschiedlicher geometrischer Objekte ein, welche in verschiedenen Anwendungsgebieten benötigt werden. Diese Elemente werden in der Photogrammmetrie Standardformelemente genannt. 2 PUNKT Die Lage eines Punktes 𝑃𝑃 im Bsp.: Der Punkt 𝑃𝑃 = 1; 4; −2 Raum wird durch seinen besitzt den Ortsvektor Ortsvektor 𝑃𝑃 oder 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 1 beschrieben. 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 = 4 −2 Die zugehörige transponierte Schreibweise wird oft platzsparend genutzt: 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃𝑇𝑇 = 𝑥𝑥𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑃𝑃 𝑧𝑧𝑃𝑃 21.10.2024 3 GERADE Eine Gerade im Raum wird Es gibt unterschiedliche Formen eindeutig beschrieben, wenn einen Gerade zu beschreiben: zwei Punkte 𝑃𝑃1 und 𝑃𝑃2 auf 2-Punkt-Form dieser Geraden mit ihren Punkt-Richtungs-Form Ortsvektoren 𝑥𝑥⃗1 und 𝑥𝑥⃗2 bekannt sind. oder Parameterform Parameterfreie Form Für den Abstand 𝑑𝑑 der beiden Punkte gilt: 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥⃗1 − 𝑥𝑥⃗2 21.10.2024 4 2-PUNKT-FORM Gilt 𝑑𝑑 ≠ 0, so können alle Aufpunkt 𝑥𝑥⃗1 - Ursprung zu Punkte mit dem Lagevektor 𝑥𝑥,⃗ einem Punkt auf der Geraden. die auf der Geraden 𝑔𝑔 liegen Richtungsvektor zwischen über den Parameter 𝜆𝜆 zwei Punkten, die auf der beschrieben werden: Geraden liegen und mit einem Skalar multipliziert jeden 𝑔𝑔: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗1 + 𝜆𝜆 𝑥𝑥⃗2 − 𝑥𝑥⃗1 Punkt auf der Geraden trifft. 21.10.2024 5 PUNKT-RICHTUNGS-FORM Liegt ein Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ Es gilt: parallel zur Geraden, so kann die Gerade auch beschrieben 𝑔𝑔: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0 + 𝜆𝜆 𝑎𝑎⃗ werden durch einen Aufpunkt und diesem Richtungsvektor. 21.10.2024 6 VISUALISIERUNG 21.10.2024 7 PARAMETERFREIE FORM Mit Hilfe der Bedingung, dass Es gilt: wir einen parallelen Vektor 𝑎𝑎⃗ zu (𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 ) nutzen, können wir die 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 × 𝑎𝑎⃗ = 0 Geradengleichung auch ohne Parameter aufstellen. 𝑥𝑥⃗0 Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden. 𝑎𝑎⃗ Wir erhalten die parameterfreie Richtungsvektor der Länge 1 Form. parallel zur Richtung. In der Praxis wird der Vektor 𝑎𝑎⃗ 𝑥𝑥⃗ liegt auf der Geraden, falls die normiert auf die Länge 1 Gleichung erfüllt ist. gewählt. 21.10.2024 8 AUFGABE Gegeben sind die Punkte 𝑃𝑃1 = 1; 2; −1 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑃𝑃2 = 0; 1; 1. Geben Sie die Gerade 𝑔𝑔 auf der die Punkte 𝑃𝑃1 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑃𝑃2 liegen in 2-Punkt-Form Punkt-Richtungsform und Parameterfreier Form an. −1 Überprüfen Sie, ob der Punkt zu 𝑥𝑥⃗ = 0 auf der Geraden liegt. 3 21.10.2024 9 EBENE Eine Ebene im Raum wird Einschränkung: Die drei Punkte eindeutig beschrieben, wenn dürfen nicht auf einer Geraden drei Punkte 𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 und 𝑃𝑃3 auf liegen. dieser Ebene mit ihren Ortsvektoren 𝑥𝑥⃗1 , 𝑥𝑥⃗2 und 𝑥𝑥⃗3 Ist dies erfüllt, dann gilt mit zwei bekannt sind. Parametern 𝜆𝜆 und 𝜇𝜇: 𝑒𝑒: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗1 + 𝜆𝜆 𝑥𝑥⃗2 − 𝑥𝑥⃗1 + 𝜇𝜇 𝑥𝑥⃗3 − 𝑥𝑥⃗1 3-Punkt-Form 21.10.2024 10 EBENE 21.10.2024 11 PUNKT-RICHTUNGS-FORM (PARAMETERFORM) Weiter kann eine Ebene eindeutig durch einen Aufpunkt 𝑃𝑃0 mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥⃗0 und zwei Richtungsvektoren 𝑎𝑎⃗ und 𝑏𝑏, die parallel zur Ebene, aber nicht parallel zueinander verlaufen (𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ≠ 0), beschrieben werden. Es gilt: 𝑒𝑒: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0 + 𝜆𝜆 𝑎𝑎⃗ + 𝜇𝜇 𝑏𝑏 21.10.2024 12 HESS‘SCHE NORMALFORM Als Normalenvektor einer Für jeden beliebigen Punkt mit Ebene bezeichnen wir einen Ortsvektor 𝑥𝑥, ⃗ der auf der Ebene Vektor 𝑛𝑛, der senkrecht zu liegt, gilt beiden Richtungsvektoren der Ebene steht. 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 0 Es gilt: ⇒ 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗0 = 0 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 ⇒ 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗0 𝐷𝐷=const. Mit Hilfe des Normalenvektors können wir die hess‘sche Normalform der Ebene angeben. 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷 21.10.2024 13 PARAMETERFREIE GLEICHUNG Setzen wir die Komponenten ⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐷𝐷 des Normalenvektors zu ⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 − 𝐷𝐷 = 0 𝐴𝐴 ⇔ 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝐷𝐷1 = 0 𝑛𝑛 = 𝐵𝐵 𝐶𝐶 Diese Gleichung nennt man So erhalten wir parameterfreie Gleichung. 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷 𝐴𝐴 𝑥𝑥 ⇔ 𝐵𝐵 ∘ 𝑦𝑦 = 𝐷𝐷 𝐶𝐶 𝑧𝑧 21.10.2024 14 AUFGABEN (EBENE) Die drei Punkte 𝑃𝑃1 , 𝑃𝑃2 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑃𝑃3 mit Geben Sie 𝑒𝑒 mit Hilfe den Ortsvektoren – der 3-Punkt-Form, 1 2 −1 – der Parameterform, 𝑥𝑥⃗1 = 1 , 𝑥𝑥⃗2 = 3 , 𝑥𝑥⃗3 = 0 – der hess‘schen Normalform 1 4 2 – und der parameterfreien Form Liegen in einer Ebene 𝑒𝑒. an. Liegt der Punkt 𝑃𝑃4 = 2; 4; 7 in der Ebene 𝑒𝑒? 21.10.2024 15 ZYLINDER Ein Zylinder im Raum ist Punkte mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥, ⃗ definiert durch den Ortsvektor die auf der 𝑥𝑥⃗0 zu einem Punkt auf der Zylindermantelfläche liegen, Zylinderachse, den müssen die Gleichung Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ der Zylinderachse und dem 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 Zylinderradius 𝑅𝑅. = 𝑅𝑅 𝑎𝑎⃗ ⇔ 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 ⋅ 𝑎𝑎⃗ 2 ⇒ 𝑎𝑎⃗ × 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 2 ⋅ 𝑎𝑎⃗ 2 21.10.2024 16 EINSCHUB - NOTATION Es gilt: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑎𝑎⃗ ⋅ cos 𝜑𝜑 Da 𝜑𝜑 = 0 erhalten wir cos 0 = 1 Und es ergibt sich 2 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗ 2 21.10.2024 17 BEISPIEL ZYLINDER Für alle Punkte mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥⃗ auf der Mantelfläche des Zylinders, dessen Achse mit der 𝑧𝑧-Achse des Koordinatensystems zusammenfällt, gilt: 0 𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 −𝑦𝑦 −𝑦𝑦 0 × 𝑦𝑦 ∘ 0 × 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ∘ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 𝑅𝑅 2 1 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 0 0 (Implizite Form der Oberflächendarstellung) 21.10.2024 18 AUFGABE Bestimmen Sie die implizite Form der Oberflächendarstellung eines Zylinders mit der Achse entlang der 𝑦𝑦-Achse des Koordinatensystems und beliebigen Radius 𝑅𝑅. 21.10.2024 19 KEGEL Ein Kegel im Raum ist definiert durch den Ortsvektor 𝑥𝑥⃗0 zur Kegelspitze, den Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ der Kegelachse und dem halben Kegelöffnungswinkel 𝛼𝛼. 21.10.2024 20 KEGEL Punkte mit dem Lagevektor 𝑥𝑥, ⃗ die auf der Kegelmantelfläche liegen, erfüllen die Gleichung: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 ⋅ cos 𝛼𝛼 Spezialfall: Für alle Punkte mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥⃗ auf der Mantelfläche eines Kegels, dessen Spitze im Nullpunkt des Koordinatensystems gilt, gilt: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑥𝑥⃗ ⋅ cos 𝛼𝛼 21.10.2024 21 IMPLIZITE DARSTELLUNG DES KEGELMANTELS Wir legen die Kegelachse identisch zur 𝑧𝑧-Achse. Es gilt: 0 𝑥𝑥 0 ∘ 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ⋅ cos 𝛼𝛼 1 𝑧𝑧 ⇒ 𝑧𝑧 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ⋅ cos 2 𝛼𝛼 ⇔ 𝑧𝑧 2 − 𝑧𝑧 2 ⋅ cos 2 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥 2 cos 2 𝛼𝛼 + 𝑦𝑦 2 cos 2 𝛼𝛼 ⇔ 𝑧𝑧 2 1 − cos 2 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 cos 2 𝛼𝛼 2 2 2 2 cos 𝛼𝛼 ⇔ 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ⋅ sin2 𝛼𝛼 21.10.2024 22 IMPLIZITE DARSTELLUNG DES KEGELMANTELS Wir legen die Kegelachse identisch zur 𝑧𝑧-Achse. Es gilt: cos 2 𝛼𝛼 ⇔ 𝑧𝑧 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ⋅ sin2 𝛼𝛼 1 ⇔ 𝑧𝑧 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 ⋅ tan2 𝛼𝛼 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 2 ⇔ 2 − 𝑧𝑧 =0 tan 𝛼𝛼 und liefert die implizite Darstellung. 21.10.2024 23 KUGEL Eine Kugel im Raum ist definiert durch den Ortsvektor 𝑥𝑥⃗0 zum Kugelmittelpunkt und den Kugelradius 𝑅𝑅. Punkte mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥, ⃗ die auf der Kugeloberfläche liegen, müssen nachfolgende Gleichung erfüllen: 2 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑅𝑅 2 21.10.2024 24 Noch Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 1.4 – Abstand-, Winkel- und Schnittberechnungen WIEDERHOLUNG Skalarprodukt: 𝑛𝑛 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 = 𝑎𝑎⃗ ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ cos 𝜑𝜑 𝑖𝑖=1 Betrag eines Vektors: 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 2 WIEDERHOLUNG Vektorprodukt: 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐⃗ = 𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 − 𝑎𝑎1 𝑏𝑏3 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 Vektor zwischen zwei Punkten 𝑃𝑃1 und 𝑃𝑃2 : 𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1 09.12.2024 3 WIEDERHOLUNG Vektoren zueinander senkrecht: 𝑎𝑎⃗ ⊥ 𝑏𝑏 ⇔ 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏 = 0 𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐⃗ ⇔ 𝑎𝑎⃗ ⊥ 𝑐𝑐⃗ ∧ 𝑏𝑏 ⊥ 𝑐𝑐⃗ 09.12.2024 4 ABSTAND PUNKT - PUNKT Betrachten wir zwei Punkte 𝑃𝑃1 und 𝑃𝑃2 , so ist der Abstand die Länge des Richtungsvektors zwischen den beiden Punkten. Sei 𝑥𝑥⃗1 der Ortsvektor zu 𝑃𝑃1 und 𝑥𝑥⃗2 der Ortsvektor zu 𝑃𝑃2 , dann gilt mit der Notation 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥⃗1 = 𝑦𝑦1 und 𝑥𝑥⃗2 = 𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 𝑧𝑧3 5 ABSTAND PUNKT - PUNKT Für den Abstand 𝑑𝑑 erhalten wir somit: 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥⃗1 − 𝑥𝑥⃗2 = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 2 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦2 2 + 𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧2 2 Für den Abstand macht es keinen Unterschied, in welche Richtung der Richtungsvektor zwischen den Punkten zeigt, da wir nur an der Länge des Vektors interessiert sind. Somit darf auch die Reihenfolge der Vektoren getauscht werden. 6 ABSTAND PUNKT – GERADE Gegeben: Idee: Lotfußpunkt 𝐹𝐹 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑔𝑔: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0 + 𝜆𝜆 𝑎𝑎⃗ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃: 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 Der Richtungsvektor zwischen 𝐹𝐹 und 𝑃𝑃 steht senkrecht auf der Gesucht: Geraden 𝑔𝑔 und liefert so den Kürzester Abstand von 𝑔𝑔 zu 𝑃𝑃. kürzesten Abstand zum Punkt 𝑃𝑃. 09.12.2024 7 ABSTAND PUNKT – GERADE (LOTFUßPUNKT) Für den Ortsvektor des Lotfußpunktes 𝐹𝐹 gilt: 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹 = 𝑥𝑥⃗0 + 𝜆𝜆𝐹𝐹 ⋅ 𝑎𝑎⃗ Für den Abstandsvektor 𝑑𝑑⃗ zwischen 𝐹𝐹 und 𝑃𝑃 gilt: 𝑑𝑑⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹 = 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 + 𝜆𝜆𝐹𝐹 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 − 𝜆𝜆𝐹𝐹 ⋅ 𝑎𝑎⃗ mit der Bedingung, dass 𝑑𝑑⃗ senkrecht auf der Geraden steht, also 𝑑𝑑⃗ ∘ 𝑎𝑎⃗ = 0 09.12.2024 8 ABSTAND PUNKT – GERADE (LOTFUßPUNKT) Für den Parameter 𝜆𝜆𝐹𝐹 gilt der Zusammenhang: 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 𝜆𝜆𝐹𝐹 = 2 = 𝑎𝑎⃗ 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑎𝑎⃗ Für den Abstand 𝑑𝑑 ergibt sich dann 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹 = 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 − ⋅ 𝑎𝑎⃗ 𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑎𝑎⃗ Video unter https://studyflix.de/mathematik/lotfuspunktverfahren- 2010 09.12.2024 9 VISUALISIERUNG 09.12.2024 10 ABSTAND PUNKT – GERADE Eine weitere Möglichkeit den Der Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ der Abstand zwischen Punkt und Geraden 𝑔𝑔 und der Gerade zu bestimmen ist mit Richtungsvektor 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 Hilfe des Flächeninhalts eines spannen ein Parallelogramm aufgespannten auf. Parallelogramms. Wird der Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ normiert, so erhalten wir 𝑎𝑎⃗ 𝑒𝑒⃗𝑎𝑎 = 𝑎𝑎⃗ 09.12.2024 11 ABSTAND PUNKT – GERADE Somit kann die Fläche 𝐴𝐴 des Zusammen erhalten wir also für Parallelogramms beschrieben den Abstand 𝑑𝑑 werden über 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒⃗𝑎𝑎 × 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 𝐴𝐴 = 𝑑𝑑 ⋅ 𝑒𝑒⃗𝑎𝑎 = 𝑑𝑑 𝑎𝑎⃗ = × 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 Bzw. 𝑎𝑎⃗ 𝐴𝐴 = 𝑒𝑒⃗𝑎𝑎 × 𝑥𝑥⃗𝑃𝑃 − 𝑥𝑥⃗0 Leichte Herleitungen finden Sie unter Link. 09.12.2024 12 ABSTAND PUNKT – EBENE Gegeben sei ein Punkt 𝑃𝑃 mit Ortsvektor 𝑥𝑥. ⃗ Der Abstand zu einer Ebene 𝐸𝐸 mit Ortsvektor 𝑥𝑥⃗0 und Normalenvektor 𝑛𝑛 kann über folgende Zusammenhänge bestimmt werden: 𝑛𝑛 ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 = 𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 ⋅ cos 𝛼𝛼 𝑑𝑑 Der Abstand 𝑑𝑑 ergibt sich somit zu: 𝑛𝑛 𝑑𝑑 = ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 𝑛𝑛 09.12.2024 13 ABSTAND PUNKT – EBENE Der Abstand 𝑑𝑑 ergibt sich somit zu: 𝑛𝑛 𝑑𝑑 = ∘ 𝑥𝑥⃗ − 𝑥𝑥⃗0 𝑛𝑛 Für den Abstandsvektor 𝑑𝑑⃗ erhalten wir 𝑛𝑛 𝑑𝑑⃗ = ⋅ 𝑑𝑑 𝑛𝑛 09.12.2024 14 ABSTAND PUNKT – EBENE 09.12.2024 15 ABSTAND PUNKT – EBENE Der Abstand ergibt sich vorzeichenbehaftet: 𝑑𝑑 > 0 → 𝑃𝑃 liegt in Richtung des Normalenvektors 𝑛𝑛 𝑑𝑑 < 0 → 𝑃𝑃 liegt entgegen der Richtung des Normalenvektors 𝑛𝑛 𝑑𝑑 = 0 → 𝑃𝑃 liegt in der Ebene 09.12.2024 16 ABSTAND ZWEIER PARALLELER GERADEN Für den Abstand von 𝑔𝑔1 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.1 + 𝜆𝜆1 𝑎𝑎⃗ und 𝑔𝑔2 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.2 + 𝜆𝜆2 𝑎𝑎⃗ kann auf die Idee Abstand Punkt – Gerade zurückgegriffen werden und es gilt: 𝑎𝑎 𝑑𝑑 = × 𝑥𝑥⃗0.1 − 𝑥𝑥⃗0.2 𝑎𝑎 09.12.2024 17 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN Geraden im Raum können neben parallel, aufeinander oder schneidend auch windschief zueinander sein. Für zwei windschiefe Geraden existiert genau ein Vektor 𝑑𝑑⃗ der senkrecht auf beiden Geraden steht. Die Länge dieses Vektors stellt den kürzesten Abstand zweier windschiefer Gerade dar. 09.12.2024 18 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN 09.12.2024 19 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN Wir betrachten die beiden Geraden 𝑔𝑔1 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.1 + 𝜆𝜆1 𝑎𝑎⃗1 und 𝑔𝑔2 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.2 + 𝜆𝜆2 𝑎𝑎⃗ 2. Für die Lage der beiden Lotfußpunkte gilt: 𝐹𝐹1 : 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.1 = 𝑥𝑥⃗0.1 + 𝜆𝜆𝐹𝐹.1 𝑎𝑎⃗1 𝐹𝐹2 : 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.2 = 𝑥𝑥⃗0.2 + 𝜆𝜆𝐹𝐹.2 𝑎𝑎⃗ 2 Der senkrechte Abstandsvektor 𝑑𝑑⃗ ist der Richtungsvektor zwischen den Lotfußpunkten: 𝑑𝑑⃗ = 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.2 − 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.1 09.12.2024 20 ABSTAND ZWEIER WINDSCHIEFER GERADEN Der senkrechte Abstandsvektor 𝑑𝑑⃗ ist der Richtungsvektor zwischen den Lotfußpunkten: 𝑑𝑑⃗ = 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.2 − 𝑥𝑥⃗𝐹𝐹.1 Die Abstandsformel ergibt 𝑥𝑥⃗0.2 − 𝑥𝑥⃗0.1 ∘ 𝑎𝑎⃗1 × 𝑎𝑎⃗ 2 𝑥𝑥⃗0.2 − 𝑥𝑥⃗0.1 ∘ 𝑛𝑛 ⃗ 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 = = 𝑎𝑎⃗1 × 𝑎𝑎⃗ 2 𝑛𝑛 09.12.2024 21 WINKEL ZWISCHEN ZWEI GERADEN Möchte man den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen, so ergibt sich dieser über den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. Für 𝑔𝑔1 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.1 + 𝜆𝜆1 𝑎𝑎⃗1 𝑔𝑔2 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗0.2 + 𝜆𝜆2 𝑎𝑎⃗ 2 gilt: 𝑎𝑎⃗1 ∘ 𝑎𝑎⃗ 2 = 𝑎𝑎⃗1 ⋅ 𝑎𝑎⃗ 2 ⋅ cos 𝛼𝛼 𝑎𝑎⃗1 ∘ 𝑎𝑎⃗ 2 ⇔ 𝛼𝛼 = arccos 𝑎𝑎⃗1 ⋅ 𝑎𝑎⃗ 2 09.12.2024 22 WINKEL ZWISCHEN ZWEI EBENEN Für zwei Ebenen in hess‘scher Normalform ergibt sich der Schnittwinkel mit Hilfe der jeweiligen Normalenvektoren. 𝑒𝑒1 : 𝑛𝑛1 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷1 𝑒𝑒2 : 𝑛𝑛2 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷2 Für den Schnittwinkel 𝛼𝛼 erhalten wir 𝑛𝑛1 ∘ 𝑛𝑛2 𝛼𝛼 = arccos 𝑛𝑛1 ⋅ 𝑛𝑛2 09.12.2024 23 SCHNITT ZWEIER GERADEN Für zwei Geraden mit Parametern 𝜆𝜆, 𝜇𝜇 ∈ ℝ gilt die Darstellung 𝑔𝑔1 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗1 + 𝜆𝜆𝑎𝑎⃗1 𝑔𝑔2 : 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗2 + 𝜇𝜇𝑎𝑎⃗ 2 Existiert ein Schnittpunkt 𝑆𝑆 mit Ortsvektor 𝑥𝑥⃗𝑆𝑆 so gilt 𝑥𝑥⃗𝑆𝑆 = 𝑥𝑥⃗1 + 𝜆𝜆𝑎𝑎⃗1 = 𝑥𝑥⃗2 + 𝜇𝜇𝑎𝑎⃗ 2 Falls der Schnittpunkt existiert, so kann dieser über das LGS mit beiden unbekannten Parametern 𝜆𝜆 und 𝜇𝜇 bestimmt werden. 09.12.2024 24 SCHNITT ZWEIER GERADEN Wir erhalten mit der Notation 𝑥𝑥1 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥2 𝑎𝑎𝑥𝑥2 𝑥𝑥⃗1 = 𝑦𝑦1 , 𝑎𝑎⃗1 = 𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦 , 𝑥𝑥⃗2 = 𝑦𝑦2 , 𝑎𝑎⃗ 2 = 𝑎𝑎𝑦𝑦2 𝑧𝑧1 𝑎𝑎𝑧𝑧𝑧 𝑧𝑧2 𝑎𝑎𝑧𝑧2 die Gleichungen I. 𝑥𝑥1 + 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 + 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥 II. 𝑦𝑦1 + 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦 = 𝑦𝑦2 + 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑦𝑦𝑦 III. 𝑧𝑧1 + 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑧𝑧𝑧 = 𝑧𝑧2 + 𝜇𝜇𝑎𝑎𝑧𝑧𝑧 09.12.2024 25 LÖSUNGEN DES LGS 09.12.2024 26 SCHNITT ZWEIER EBENEN Für den Schnitt zweier Ebenen bietet sich erneut die hess‘sche Normalform an. Wir nutzen 𝑒𝑒1 : 𝑛𝑛1 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷1 𝑒𝑒2 : 𝑛𝑛2 ∘ 𝑥𝑥⃗ = 𝐷𝐷2 und erhalten zwei parameterfreie Gleichungen I. 𝐴𝐴1 𝑥𝑥𝑔𝑔 + 𝐵𝐵1 𝑦𝑦𝑔𝑔 + 𝐶𝐶1 𝑧𝑧𝑔𝑔 = 𝐷𝐷1 II. 𝐴𝐴2 𝑥𝑥𝑔𝑔 + 𝐵𝐵2 𝑦𝑦𝑔𝑔 + 𝐶𝐶2 𝑧𝑧𝑔𝑔 = 𝐷𝐷2 Das System besteht aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten. 09.12.2024 27 SCHNITT ZWEIER EBENEN 09.12.2024 28 SCHNITT GERADE – EBENE Sind eine Gerade und eine Ebene in Parameter-Form gegeben 𝑔𝑔: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑔𝑔 + 𝜆𝜆 𝑎𝑎⃗ 𝑒𝑒: 𝑥𝑥⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑒𝑒 + 𝜇𝜇 𝑏𝑏 + 𝜈𝜈 𝑐𝑐⃗ dann muss für die Koordinaten des Schnittpunktes 𝑆𝑆 für den Ortsvektor 𝑥𝑥⃗𝑆𝑆 gelten: 𝑥𝑥⃗𝑆𝑆 = 𝑥𝑥⃗𝑔𝑔 + 𝜆𝜆 𝑎𝑎⃗ = 𝑥𝑥⃗𝑒𝑒 + 𝜇𝜇 𝑏𝑏 + 𝜈𝜈 𝑐𝑐⃗ 09.12.2024 29 SCHNITT GERADE – EBENE Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem der Form: 09.12.2024 30 Noch Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 2.8 Orthogonale Matrizen ORTHOGONALE MATRIZEN - DEFINITION Unter einer orthogonalen Daher spricht man auch von Matrix A verstehen wir eine einer orthonormalen Matrix. Matrix, deren Spaltenvektoren paarweise orthogonal Für orthogonale Matrizen gilt: zueinander stehen. Die zugehörige Inverse ist gleich Die Spaltenvektoren sind ihrer Transponierten. normiert, haben also die Länge 1. 2 Bedeutet: Für die reelle quadratische orthogonal Matrix 𝑄𝑄𝑛𝑛,𝑛𝑛 gilt: 𝑄𝑄𝑇𝑇 ⋅ 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄 ⋅ 𝑄𝑄𝑇𝑇 = 𝐸𝐸 da 𝑄𝑄 −1 = 𝑄𝑄𝑇𝑇 15.11.2024 3 KRONECKER-DELTA Die Spaltenvektoren einer orthogonale Matrix stehen paarweise senkrecht zueinander. Bezeichnen wir die 𝑛𝑛 Spalten mit 𝑞𝑞𝑖𝑖 , so gilt 1 für 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑞𝑞𝑖𝑖 ∘ 𝑞𝑞𝑗𝑗 = 0 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 Man bezeichnet das 𝛿𝛿𝑖𝑖𝑖𝑖 als Kronecker-Delta. 15.11.2024 4 DETERMINANTE Für orthogonale Matrizen gilt Beachte: Tauscht man Zeilen det 𝑄𝑄 = 1 oder Spalten von Matrizen, so ändert sich das Vorzeichen der zugehörigen Determinante. Es gilt somit: det 𝑄𝑄 2 = det 𝑄𝑄 ⋅ det 𝑄𝑄 det 𝐴𝐴 = det 𝐴𝐴𝑇𝑇 = det 𝑄𝑄𝑇𝑇 ⋅ det 𝑄𝑄 = det 𝑄𝑄𝑇𝑇 ⋅ 𝑄𝑄 = det 𝐸𝐸 = 1 15.11.2024 5 BEISPIELE: 0 1 det 𝑄𝑄1 = −1 𝑄𝑄1 = ist orthogonal 1 0 3 4 1 𝑄𝑄2 = ⋅ ist orthogonal det 𝑄𝑄2 = −1 −4 3 5 1 0 𝑄𝑄3 = ist orthogonal 0 1 det 𝑄𝑄3 = 1 15.11.2024 6 WEITER GILT 0 1 1 0 Für 𝑄𝑄1 = und 𝑄𝑄3 = gilt: 1 0 0 1 𝑄𝑄1𝑇𝑇 = 𝑄𝑄1 Und 𝑄𝑄3𝑇𝑇 = 𝑄𝑄3 Somit ist 𝑄𝑄1 ⋅ 𝑄𝑄1𝑇𝑇 = 𝐸𝐸 und 𝑄𝑄3 ⋅ 𝑄𝑄3𝑇𝑇 = 𝐸𝐸 also 𝑄𝑄12 = 𝑄𝑄32 = 𝐸𝐸 15.11.2024 7 WICHTIGE ORTHOGONAL MATRIX Eine weitere wichtige orthogonale Matrix ist 𝑅𝑅𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 − sin 𝛼𝛼 𝑅𝑅𝛼𝛼 = sin 𝛼𝛼 cos 𝛼𝛼 Zeigen Sie, dass gilt: det 𝑅𝑅𝛼𝛼 = 1 15.11.2024 8 EIGENSCHAFTEN Eine orthogonale Matrix 𝑄𝑄 besitzt immer linear unabhängige Zeilen- und Spaltenvektoren. Daher ist jede orthogonale Matrix regulär und diagonalisierbar. Liegt ein LGS in der Form 𝑄𝑄 ⋅ 𝑥𝑥⃗ = 𝑏𝑏 Vor, so kann immer 𝑥𝑥⃗ = 𝑄𝑄𝑇𝑇 ⋅ 𝑏𝑏 genutzt werden. 15.11.2024 9 WEITERE ANWENDUNG Eine weitere Anwendung orthogonaler Matrizen ist die 𝑄𝑄𝑄𝑄-Zerlegung einer gegebenen Matrix 𝐴𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑚×𝑛𝑛 als Produkt 𝐴𝐴 = 𝑄𝑄 ⋅ 𝑅𝑅 einer orthogonalen Matrix 𝑄𝑄 und einer Dreiecksmatrix 𝑅𝑅. Weiter spielen orthogonale Matrizen bei der Koordinatentransformation eine wichtige Rolle. 15.11.2024 10 2.9 Eigenwerte und Eigenvektoren MOTIVATION Matrizen können als lineare Abbildungen verstanden werden (man bildet von einem höherdimensionalen Raum in einen anderen höherdimensionalen Raum ab, aber über einen linearen Zusammenhang). Somit ist die Berechnung 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗ eine Transformation des Punktes mit dem Ortsvektor 𝑥𝑥. ⃗ Es gilt 𝑥𝑥⃗ ′ = 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗ 12 MOTIVATION Nun kann es von Interesse sein, ob es Punkte oder Richtungen gibt, die diese Transformation „unbeschadet“ bis auf einen Faktor 𝜆𝜆 überstehen, so dass gilt: 𝜆𝜆 ⋅ 𝑥𝑥⃗ = 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗ Eine solche Zahl 𝜆𝜆 heißt Eigenwert zur Matrix 𝐴𝐴𝑛𝑛×𝑛𝑛 , wenn ein Vektor 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 ≠ 0 existiert, so dass gilt 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 Der Vektor 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 heißt in diesem Fall ein zu 𝜆𝜆 gehörender Eigenvektor der Matrix 𝐴𝐴. 13 WIE BESTIMMT MAN EIGENWERTE? Für Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Matrix 𝐴𝐴 gilt: 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 𝜆𝜆 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 𝜆𝜆 ⋅ 𝐸𝐸 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 ⇔ 𝐴𝐴 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 − 𝜆𝜆 ⋅ 𝐸𝐸 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 0 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆 ⋅ 𝐸𝐸 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 0 Da Eigenvektoren 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 ≠ 0 erfüllen, folgt „𝝀𝝀 ist genau dann Eigenwert der Matrix 𝑨𝑨, wenn die Matrix 𝑨𝑨 − 𝝀𝝀𝝀𝝀 nicht regulär, d.h. singulär ist, also 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝑨𝑨 − 𝝀𝝀𝝀𝝀 = 𝟎𝟎 gilt.“ 15.11.2024 14 CHARAKTERISTISCHE MATRIX Die Matrix 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 wird charakteristische Matrix genannt. Für die Determinante der charakteristischen Matrix gilt 15.11.2024 15 CHARAKTERISTISCHE GLEICHUNG Man erhält die charakteristische Gleichung als Polynom 𝑛𝑛-ter Ordnung der Variable 𝜆𝜆 (charakteristisches Polynom). Jede reelle (oder komplexe) Nullstelle dieses Polynoms 𝑃𝑃𝑛𝑛 (𝜆𝜆) ist Eigenwert der Matrix 𝐴𝐴. Die Menge aller Lösungen des charakteristischen Polynoms wird auch als Spektrum von 𝐴𝐴 bezeichnet. 15.11.2024 16 EIGENWERTE Eine (𝑛𝑛 × 𝑛𝑛)-Matrix 𝐴𝐴 hat mindestens einen und höchstens 𝑛𝑛 numerisch verschiedene Eigenwerte 𝜆𝜆𝑖𝑖. Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑖𝑖 sind linear unabhängig. Da die Eigenvektoren in ihrer Länge nicht eindeutig sind, werden sie meist auf die Länge 1 normiert. 15.11.2024 17 Noch Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 2.9 – Eigenwerte und Eigenvektoren Teil 2 EIGENWERTE - EIGENVEKTOREN „𝜆𝜆 ist genau dann Eigenwert der Matrix 𝐴𝐴, wenn die Matrix 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 nicht regulär, d.h. singulär ist, also det 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 0 gilt.“ Charakteristische Matrix: (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆) Charakteristisches Polynom: 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 Charakteristische Gleichung: 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝜆𝜆 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 = 0 2 EIGENWERTE - EIGENVEKTOREN Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte der Matrix 𝐴𝐴. Eigenvektoren ergeben sich über die Lösung des Systems 𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸 = 0 Die Lösung des homogenen LGS sind die Eigenvektoren. 3 EIGENWERTE SYMMETRISCHER MATRIZEN Die Eigenwerte 𝜆𝜆𝑖𝑖 symmetrischer Matrizen 𝐴𝐴 𝑛𝑛×𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑇𝑇𝑛𝑛×𝑛𝑛 sind reell, die zugehörigen Eigenvektoren 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑖𝑖 sind zueinander orthogonal. 19.11.2024 4 EIGENWERTE SYMMETRISCHER MATRIZEN Zeigen Sie, dass die Eigenwerte 𝜆𝜆𝑖𝑖 zur Matrix 𝐴𝐴 gehören und die zugehörigen Eigenvektoren orthogonal zueinander stehen. 19.11.2024 5 ÜBUNG 2 1 Gegeben sei die Matrix 𝐴𝐴 =. 1 2 Bestimmen Sie: Eigenwerte Eigenvektoren zur Matrix 𝐴𝐴. Überprüfen Sie, ob die Eigenvektoren orthogonal zueinander stehen. 19.11.2024 6 EINSCHUB – NICE TO KNOW Satz von Cayley-Hamilton: Was bringt uns das? (Unmathematisch ausgedrückt!) Wir haben eine weitere Methode Jede quadratische Matrix ist zur Bestimmung der Inversen. Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms. 19.11.2024 7 ÜBUNG 2 1 Gegeben sei die Matrix 𝐴𝐴 = mit charakteristischem Polynom 1 2 𝑃𝑃2 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆2 − 4𝜆𝜆 + 3. Nutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton zur Bestimmung der Inversen 𝐴𝐴−1. Tipp: Stellen Sie die resultierende Gleichung geschickt um. 19.11.2024 8 SPEKTRUM UND SPEKTRALMATRIX Unter dem Spektrum einer Matrix 𝐴𝐴 verstehen wir die Menge der Eigenwerte der Matrix. 𝜆𝜆1 ⋯ 0 ⋯ 0 Unter einer Spektralmatrix 𝑳𝑳 ⋮ ⋱ ⋮ zum Spektrum einer Matrix 𝐴𝐴 𝐿𝐿 = 0 𝜆𝜆𝑖𝑖 0 verstehen wir die Struktur ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 ⋯ 𝜆𝜆𝑛𝑛 19.11.2024 9 MODALMATRIX S Für die Modalmatrix 𝑆𝑆 gilt: Beispiel: 2 1 𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 = 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.1 ⋯ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑖𝑖 ⋯ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑛𝑛 1 2 𝑛𝑛×𝑛𝑛 1 mit 𝜆𝜆1 = 3, 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.1 = 1 (Die Matrix mit Spalten der 1 und 𝜆𝜆2 = 1, 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.2 = Eigenvektoren.) −1 3 0 𝐿𝐿 = 0 1 1 1 𝑆𝑆 = 1 −1 19.11.2024 10 EIGENSCHAFTEN Für die Summe der Eigenwerte 𝜆𝜆𝑖𝑖 gilt: Spur 𝐴𝐴 = Spur 𝐿𝐿 ⇒ ∑𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = ∑𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 Für das Produkt der Eigenwerte gilt: det 𝐴𝐴 = ∏𝜆𝜆𝑖𝑖𝑖𝑖 Somit gilt für obere bzw. untere Dreiecksmatrizen, dass die Eigenwerte die Diagonalelemente sind. 19.11.2024 11 EIGENSCHAFTEN Orthogonale Matrizen 𝑄𝑄 𝑛𝑛×𝑛𝑛 Die komplexen Eigenwerte haben nicht notwendiger treten immer paarweise Weise 𝑛𝑛 reelle Eigenwerte, sie konjugiert komplex auf haben aber alle den Betrag (𝜆𝜆1 = 𝑎𝑎 + 𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝜆𝜆2 = 𝑎𝑎 − 𝑖𝑖𝑖𝑖). 𝜆𝜆 = 1. Orthogonale Matrizen 𝑄𝑄 𝑛𝑛×𝑛𝑛 mit ungeraden 𝑛𝑛, besitzen also mindestens einen reellen Eigenwert. 19.11.2024 12 ÜBUNG 2 1 Bestimmen Sie zur Matrix 𝐴𝐴 = die zugehörigen Eigenwerte 6 1 sowie Eigenvektoren. 19.11.2024 13 ÜBUNG 1 1 2 Bestimmen Sie zur Matrix 𝐴𝐴 = 0 2 −1 die zugehörigen 0 0 3 Eigenwerte sowie Eigenvektoren. 19.11.2024 14 ÜBUNG 4 12 Bestimmen Sie zur Matrix 𝐴𝐴 = die zugehörigen 12 11 Eigenwerte sowie Eigenvektoren. Bilden Sie die Spektralmatrix 𝐿𝐿, berechnen Sie die 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐴𝐴 und zeigen Sie, dass die Modalmatrix 𝑆𝑆 eine orthogonale Matrix ist. 19.11.2024 15 Noch Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 2.10 – Diagonalisierung und Faktorisierung einer Matrix MOTIVATION Bei numerischen Angenommen: Es liegt die Rechenoperationen kann bei quadratische Matrix 𝐴𝐴 𝑛𝑛×𝑛𝑛 mit großen Systemen ein sehr 𝑛𝑛 linear unabhängigen hoher Rechenaufwand Eigenvektoren 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑙𝑙 vor. entstehen. Dann können die Um den Aufwand zu Eigenvektoren zur minimieren, kann es helfen die Modalmatrix Matrix 𝐴𝐴 in ein Produkt von zusammengefasst werden. Matrizen mit speziellen Eigenschaften zu zerlegen. 2 MOTIVATION 𝑆𝑆 𝑛𝑛×𝑛𝑛 = 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.1 ⋯ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑙𝑙 ⋯ 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.𝑛𝑛 Diese Eigenvektoren spannen ein 𝑛𝑛-dimensionales Koordinatensystem auf. Weiter gilt dann 𝑆𝑆 −1 ⋅ 𝐴𝐴 ⋅ 𝑆𝑆 = 𝐿𝐿 Sind die Eigenvektoren nicht linear unabhängig, ist eine Diagonalisierung unmöglich. 26.11.2024 3 FAKTORISIERUNG Faktorisierung von 𝐴𝐴 nennen wir den Vorgang: 𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 ⋅ 𝐿𝐿 ⋅ 𝑆𝑆 −1 Für symmetrische Matrizen gilt 𝑆𝑆 −1 = 𝑆𝑆 𝑇𝑇 und somit 𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 ⋅ 𝐿𝐿 ⋅ 𝑆𝑆 𝑇𝑇 26.11.2024 4 BEISPIEL Wir betrachten die symmetrische Für die Modalmatrix 𝑆𝑆 4 12 erhalten wir Matrix 𝐴𝐴 = mit 12 11 4 3 EWen: 𝜆𝜆1 = −5 und 𝜆𝜆2 = 20 1 4 3 𝑆𝑆 = 5 5 = Sowie 3 4 5 −3 4 − 1 5 5 4 3 1 EVen: 𝑥𝑥⃗𝐸𝐸.1 = 3 und 𝑥𝑥 ⃗𝐸𝐸.2 = 4 Dadurch 5 − 5 4 3 1 4 −3 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 5 3 4 26.11.2024 5 BEISPIEL Für die Spektralmatrix 𝐿𝐿 gilt Für die Modalmatrix 𝑆𝑆 𝐿𝐿 = −5 0 erhalten wir 0 20 4 3 Zeigen Sie rechnerisch: 1 4 3 𝑆𝑆 = 5 5 = 3 4 5 −3 4 − 𝑆𝑆 ⋅ 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 𝐸𝐸 5 5 Dadurch 𝑆𝑆 ⋅ 𝐿𝐿 ⋅ 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 𝐴𝐴 1 4 −3 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 5 3 4 26.11.2024 6 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 3 – Transformation MOTIVATION Insbesondere in CAD- Hierzu ist die Anwendungen wird angestrebt, Matrizenschreibweise alle Operatoren, mit denen der Anwender 3D-Objekte im Raum 𝑥𝑥⃗Trans = 𝑀𝑀 ⋅ 𝑥𝑥⃗ verändern bzw. transformieren kann, nach einer einheitlichen (Transformations-) Vorschrift zu das geeignete Hilfsmittel. berechnen. 2 3.1 HOMOGENE KOORDINATEN Um 3D-Operationen im Raum Kartesische Koordinaten eines einheitlich durch 𝑥𝑥 Matrixmultiplikation beschreiben Punktes im Raum 𝑥𝑥⃗ = 𝑦𝑦 zu können, werden homogene 𝑧𝑧 Koordinaten eingeführt. entsprechen den homogenen ℎ ⋅ 𝑥𝑥 ℎ ⋅ 𝑦𝑦 Koordinaten 𝑥𝑥⃗ =. ℎ ⋅ 𝑧𝑧 ℎ Im Weiteren rechnen wir mit ℎ = 1. 26.11.2024 3 MATRIXDARSTELLUNGEN Nachfolgend werden nun einige Matrixdarstellungen häufig benötigter Bewegungen beschrieben; Matrizen der entsprechenden Transformation ergeben sich als die jeweils inverse Matrixoperation. 26.11.2024 4 3.2 VERSCHIEBUNG (TRANSLATION) Die Matrixdarstellung 𝑇𝑇 der Die inverse Translationsmatrix Translation lautet: 𝑇𝑇 −1 lautet: 1 0 0 𝑣𝑣𝑥𝑥 1 0 0 −𝑣𝑣𝑥𝑥 0 1 0 𝑣𝑣𝑦𝑦 0 1 0 −𝑣𝑣𝑦𝑦 𝑇𝑇 = , det 𝑇𝑇 = 1 𝑇𝑇 −1 = 0 0 1 𝑣𝑣𝑧𝑧 0 0 1 −𝑣𝑣𝑧𝑧 0 0 0 1 0 0 0 1 Es gilt: 𝑇𝑇 −1 ⋅ 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 ⋅ 𝑇𝑇 −1 = 𝐸𝐸 26.11.2024 5 BEISPIEL TRANSLATION Geben Sie die Translationsmatrix 𝑇𝑇 an, die den Punkt 𝑥𝑥⃗ um zwei Einheiten in 𝑥𝑥-Richtung verschiebt. 1 0 0 2 𝑥𝑥 0 1 0 0 𝑦𝑦 Sei 𝑇𝑇 = und 𝑥𝑥⃗ = , dann erhalten wir 0 0 1 0 𝑧𝑧 0 0 0 1 1 1 0 0 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 0 1 0 0 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑇𝑇 ⋅ 𝑥𝑥⃗ = ⋅ = 0 0 1 0 𝑧𝑧 𝑧𝑧 0 0 0 1 1 1 26.11.2024 6 ÜBUNG Gegeben sei der Punkt 𝑃𝑃 = 2; −1; 4 mit zugehörigen Ortsvektor ⃗ Geben Sie die Translationsmatrix 𝑇𝑇 an, die die Verschiebung 𝑥𝑥. zum Punkt 𝑄𝑄 = 4; 0; 5 beschreibt. 1 0 0 4 0 1 0 −3 Gegeben sei die Translationsmatrix 𝑇𝑇 =. 0 0 1 1 0 0 0 1 Bestimmen Sie 𝑇𝑇 ⋅ 𝑥𝑥⃗𝑄𝑄. 26.11.2024 7 3.3 MAßSTABSÄNDERUNG (SKALIERUNG) Die Matrixdarstellung 𝑀𝑀 der Die inverse Skalierungsmatrix Skalierung lautet: 𝑀𝑀−1 lautet: 1 0 0 0 𝑚𝑚𝑥𝑥 0 0 0 𝑚𝑚𝑥𝑥 0 𝑚𝑚𝑦𝑦 0 0 1 𝑀𝑀 = , −1 0 0 0 0 0 𝑚𝑚𝑧𝑧 0 𝑀𝑀 = 𝑚𝑚𝑦𝑦 0 0 0 1 1 det 𝑀𝑀 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 ⋅ 𝑚𝑚𝑦𝑦 ⋅ 𝑚𝑚𝑧𝑧 0 0 0 𝑚𝑚𝑧𝑧 0 0 0 1 Es gilt: 𝑇𝑇 −1 ⋅ 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 ⋅ 𝑇𝑇 −1 = 𝐸𝐸 26.11.2024 8 BEISPIEL SKALIERUNG Die Skalierung in 𝑥𝑥-Richtung soll den Faktor 2 beschreiben. Wir erhalten 𝑀𝑀 durch: 2 0 0 0 0 1 0 0 𝑀𝑀 = 0 0 1 0 0 0 0 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Angewandt auf 𝑥𝑥⃗ = erhalten wir 𝑧𝑧 1 26.11.2024 9 BEISPIEL SKALIERUNG Die Skalierung in 𝑥𝑥-Richtung soll den Faktor 2 beschreiben. Wir erhalten 𝑀𝑀 durch: 2 0 0 0 𝑥𝑥 2𝑥𝑥 0 1 0 0 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑀𝑀 ⋅ 𝑥𝑥⃗ = ⋅ = 0 0 1 0 𝑧𝑧 𝑧𝑧 0 0 0 1 1 1 26.11.2024 10 ÜBUNG Durch die Anwendung einer Skalierungsmatrix wurden die 𝑥𝑥- Koordinaten durch den Faktor 3, die 𝑦𝑦-Koordinaten durch den 1 Faktor und die 𝑧𝑧-Koordinaten durch den Faktor −1 skaliert. 2 Diese Skalierung soll Rückgängig gemacht werden. Stellen Sie die inverse Skalierungsmatrix 𝑀𝑀−1 auf und bestimmen Sie die ursprünglichen Koordinaten des Punktes 6 durch 𝑥𝑥⃗ = 2. −5 26.11.2024 11 3.4 DREHUNG (ROTATION) UM ACHSEN DES KOORDINATENSYSTEMS Wir wollen die Rotation um die 𝑥𝑥-, 𝑦𝑦- und 𝑧𝑧-Achse mit den Winkel 𝛼𝛼𝑥𝑥 , 𝛼𝛼𝑦𝑦 und 𝛼𝛼𝑧𝑧 bezeichnen. Werden die Rotationen nacheinander ausgeführt, müssen wir beachten, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist und somit ihre Reihenfolge nicht vertauschbar ist. 26.11.2024 12 3.4 DREHUNG (ROTATION) UM ACHSEN DES KOORDINATENSYSTEMS Man unterschiedet bei Drehungen zwischen einer passiven Drehung und einer aktiven Drehung. Passive Drehung: Vektor bleibt fest, das Koordinatensystem wird gedreht. Man dreht das System im Uhrzeigersinn um den Winkel. Aktive Drehung: System bleibt fest, der Vektor wird gedreht. Man dreht den Vektor entgegen des Uhrzeigersinns um den Winkel. 26.11.2024 13 3.4 DREHUNG (ROTATION) UM ACHSEN DES KOORDINATENSYSTEMS Für die Vorstellung wichtig. Drehe ich das System, dann drehe ich im Uhrzeigersinn. Drehe ich den Vektor, dann drehe ich entgegen des Uhrzeigersinns. 26.11.2024 14 ROTATION UM DIE 𝑥𝑥-ACHSE MIT DEM WINKEL 𝛼𝛼𝑥𝑥 26.11.2024 15 ROTATION UM DIE 𝑦𝑦-ACHSE UM DEN WINKEL 𝛼𝛼𝑦𝑦 26.11.2024 16 ROTATION UM DIE 𝑧𝑧-ACHSE UM DEN WINKEL 𝛼𝛼𝑧𝑧 26.11.2024 17 EIGENSCHAFTEN VON DREHMATRIZEN Drehmatrizen 𝐷𝐷 (oder Rotationsmatrizen 𝑅𝑅) sind besondere Matrizen, die spezielle Eigenschaften besitzen: 𝐷𝐷 ist immer quadratisch und besitzt reelle Koeffizienten. Es gilt 𝐷𝐷−1 = 𝐷𝐷𝑇𝑇 (warum?) und somit auch 𝐷𝐷 ⋅ 𝐷𝐷𝑇𝑇 = 𝐷𝐷𝑇𝑇 ⋅ 𝐷𝐷 = 𝐸𝐸. Es gilt det 𝐷𝐷 = 1. Für die Drehachse 𝑎𝑎⃗ gilt 𝐷𝐷 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 𝑎𝑎⃗ oder 𝐷𝐷 − 𝐸𝐸 ⋅ 𝑎𝑎⃗ = 0. Damit ist die Drehachse 𝑎𝑎⃗ Eigenvektor zu 𝐷𝐷 mit dem Eigenwert 𝜆𝜆 = 1. 26.11.2024 18 Noch Fragen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 03 – Transformationen Teil 2 EULER-WINKEL Wollen wir mehrere Somit können wir ein Objekt Drehungen hintereinander im Raum von einer Winkellage ausführen, so erfolgt die erste in eine beliebige andere Drehung um eine raumfeste Winkellage überführen. Achse. Diese Winkel heißen Euler- Die nachfolgenden Drehungen Winkel. erfolgen um die mitgedrehten Achsen. 2 EULER-WINKEL Es gibt sechs verschiedene Wir betrachten den Kombinationen für drei Standardfall. aufeinander folgende Drehungen um drei 1. Drehung mit 𝛼𝛼 um die 𝑧𝑧- verschiedene Achsen. Achse 2. Drehung mit 𝛽𝛽 um die 𝑥𝑥𝑥- Achse 3. Drehung mit 𝛾𝛾 um die 𝑧𝑧 ′′ - Achse 03.12.2024 3 EULER-WINKEL Die Drehlage wird erzeugt, Eigentliche Eulerwinkel: indem der Körper aus seiner Die erste und dritte Drehung Ursprungslage heraus finden um die gleiche nacheinander um due drei Koordinatenachse statt. Eulerwinkel um die Koordinatenachsen gedreht Kardanwinkel: wird. Alle drei Drehungen werden um verschiedene Hier gibt es unterschiedliche Koordinatenachsen gedreht. Konventionen: 03.12.2024 4 EULER-WINKEL Die aus den drei Einzeldrehungen zusammengesetzte Drehung kann durch eine Matrix beschrieben werden, die sich entsprechend als Produkt von drei elementaren Drehmatrizen darstellen lässt. 03.12.2024 5 EULER-WINKEL STANDARDFALL 03.12.2024 6 VORSTELLUNG Link 03.12.2024 7 STANDARDFALL 03.12.2024 8 3.5 ROTATION UM EINE BELIEBIGE ACHSE Möchten wir die Rotation mit dem Winkel 𝜑𝜑 um eine Achse durchführen, die mit dem Richtungsvektor 𝑎𝑎⃗ durch den Nullpunkt des Koordinatensystems verläuft, so benötigen wir die folgende Rotationsmatrix 𝑅𝑅𝑎𝑎 : 03.12.2024 9 3.6 PROJEKTIONEN Projektionen können sehr unterschiedlich auftreten, daher beschränken wir uns auf einige Beispiele: Orthogonale Projektion auf eine Ebene des Koordinatensystems Parallelprojektion entlang eines Vektors auf eine Ebene Parallelprojektion in beliebiger Richtung auf eine beliebige Ebene 03.12.2024 10 ORTHOGONALE PARALLELPROJEKTION Durch die Matrix 𝑃𝑃𝑂𝑂𝑥𝑥𝑥𝑥 projizieren wir auf die 𝑥𝑥𝑥𝑥-Ebene des Koordinatensystems. Es gilt: 1 0 0 0 0 1 0 0 𝑃𝑃𝑂𝑂𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 0 0 0 0 0 0 1 (die 𝑧𝑧-Koordinate wird auf 0 gesetzt) 03.12.2024 11 BEISPIEL: Sei ein beliebiger Punkt im Raum beschrieben durch den 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Ortsvektor 𝑥𝑥⃗ =. Die zugehörige Projektion in die 𝑥𝑥𝑥𝑥-Ebene 𝑧𝑧 1 ergibt sich durch: 1 0 0 0 𝑥𝑥 𝑥𝑥 0 1 0 0 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑂𝑂𝑥𝑥𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥⃗ = ⋅ = 0 0 0 0 𝑧𝑧 0 0 0 0 1 1 1 03.12.2024 12 PARALLELPROJEKTION ENTLANG 𝑎𝑎⃗ AUF DIE 𝑥𝑥𝑥𝑥-EBENE 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑦𝑦 Wir betrachten den Vektor 𝑎𝑎⃗ = und projizieren entlang dieses 𝑎𝑎𝑧𝑧 1 Vektors auf die 𝑥𝑥𝑥𝑥-Ebene mit der Matrix 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑥𝑥 durch 𝑎𝑎𝑥𝑥 1 0 − 0 𝑎𝑎𝑧𝑧 𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 1 − 0 𝑎𝑎𝑧𝑧 0 0 0 0 0 0 0 1 03.12.2024 13 BEISPIEL