Temario del Cuerpo General Administrativo de la Administración del Estado, especialidad Estadística (CAMBIO RÉGIMEN JURÍDICO) PDF

Temario del Cuerpo General Administrativo de la Administración del Estado, especialidad Estadística (CAMBIO RÉGIMEN JURIDICO) Tema 5: Fenómenos aleatorios. Conceptos de probabilidad. Propiedades. ÍNDICE Tema 5. Fenómenos aleatorios. Conceptos de probabilidad. Propiedades........... 3 5.1 Fenómen...

Temario del Cuerpo General Administrativo de la Administración del Estado, especialidad Estadística (CAMBIO RÉGIMEN JURIDICO) Tema 5: Fenómenos aleatorios. Conceptos de probabilidad. Propiedades. ÍNDICE Tema 5. Fenómenos aleatorios. Conceptos de probabilidad. Propiedades........... 3 5.1 Fenómenos aleatorios.......................................................................................... 3 5.2 Conceptos de probabilidad.................................................................................. 6 5.2.1 Propiedades...................................................................................................... 7 Tema 5 2 Tema 5. Fenómenos aleatorios. Conceptos de probabilidad. Propiedades. 5.1 Fenómenos aleatorios Uno de los objetivos de cualquier disciplina científica, es poder establecer leyes que describan los fenómenos observados que pertenecen a su ámbito de estudio. En algunos casos estas leyes establecen las consecuencias que se van a presentar cuando se observa un fenómeno concreto, en este caso estamos ante fenómenos deterministas. Por ejemplo, si mezclamos dos productos químicos concretos, estos reaccionarán en unas condiciones determinadas, y además se puede saber cuánto tiempo necesitarán para dicha reacción, la energía que desprenderá la mezcla, etc... Pero en otras ocasiones no es posible prever lo que va a ocurrir. Veamos algunos ejemplos de esto: 1. Si se lanza una moneda equilibrada al aire, sabemos que caerá, pero no sabemos a priori si caerá del lado de la cara o de la cruz. 2. Si se colocan diversas bolas numeradas, de las mismas dimensiones, en una bolsa y se extrae una de ellas, es imposible predecir cuál será la bola numerada seleccionada. 3. Si nos dice un médico que una gripe nos puede durar entre 4 y 6 días, ¿cuánto nos va a durar exactamente? ¿Y podría durar más de 7 días? En definitiva, hay ocasiones en las que podemos conocer con certeza el resultado concreto que se va a producir, como sucede en ámbitos como la física y la química. Pero en otras muchas esferas de la realidad no siempre es posible determinar que va a suceder. Tales experimentos se denominan fenómenos aleatorios; en ellos el resultado depende del azar. Podríamos decir, que en términos generales el objeto de estudio del Cálculo de Probabilidades lo constituyen este tipo de fenómenos. A continuación vamos a enunciar una serie de propiedades que caracterizan a los fenómenos aleatorios: 1. Se conocen de antemano todos los resultados posibles pero no tenemos la certeza del resultado concreto que se va a producir. Tema 5 3  2. Un resultado concreto no es predecible dadas unas mismas condiciones. 3. Existe una regularidad estadística, es decir, si se dan las mismas condiciones en que se produce el fenómeno, cuando se repite muchas veces se observa que cada resultado se obtiene en un porcentaje estable de casos. Por ejemplo, si lanzo una moneda tres veces, las tres me podría salir cara (es decir un 100%), pero si la lanzo 1.000 veces, entonces saldrá cara entorno al 50% de las veces, y este porcentaje se mantiene si se va incrementando el número de tiradas. Así pues, nuestra intención es describir lo que puede suceder cuando acaece un fenómeno a través de probabilidades. Es decir, asignar una probabilidad a cada uno de los acontecimientos posibles, que informe de la frecuencia con que hay que esperar que se presente cada uno, después de numerosas observaciones del fenómeno. Espacio Muestral Dado un experimento aleatorio, se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de la experiencia aleatoria. En adelante lo designaremos por Ω. Obsérvese que asociados a un mismo experimento aleatorio pueden considerarse diferentes espacios muestrales; así en el lanzamiento de un dado, un posible espacio muestral podría ser Ω1 = {par; impar}, otro Ω2= {menor que 4; mayor o igual que 4}, y otro Ω3 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Todo depende de lo que queramos estudiar en nuestro experimento aleatorio y de la facilidad que tengamos en asignar la probabilidad a los sucesos del espacio muestral que consideremos. Sucesos Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. En el caso del lanzamiento del dado un posible suceso será “que salga tres”. Otro posible suceso podría ser: “que salga par”. O por ejemplo “que salga mayor que 4”. Como vemos, se pueden considerar sucesos que incluyen a otros sucesos (“que salga par” contiene a los sucesos “que salga dos”, “que salga cuatro” y “que salga seis”. Por lo tanto, podemos definir dos tipos de sucesos: Sucesos elementales: sucesos formados por un solo elemento del espacio muestral (por ejemplo, que salga dos). Sucesos compuestos: sucesos formados por más de un elemento del espacio muestral (por ejemplo, que salga par). Operaciones con sucesos Tema 5 4 Sea Ω el espacio muestral correspondiente a una experiencia aleatoria. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos sucesos cualesquiera de Ω. Se definen las siguientes operaciones con sucesos: Unión: 𝐴 ∪ 𝐵, representa otro suceso que resulta de unir los sucesos elementales de 𝐴 con los de 𝐵. El suceso 𝐴 ∪ 𝐵 sucede siempre que el resultado pertenezca a 𝐴 a 𝐵, o a ambos simultáneamente. Intersección: 𝐴 ∩ 𝐵, es también un nuevo suceso formado por todos los sucesos que son a la vez de 𝐴 𝑦 𝐵.Si la intersección de dos sucesos 𝐴 𝑦 𝐵 es vacía, A ∩ B =𝜙, ambos sucesos no pueden ocurrir simultáneamente; se dice entonces que 𝐴 𝑦 𝐵 son incompatibles. Diferencia: 𝐴 − 𝐵, es un nuevo suceso formado por los sucesos de 𝐴 que no son de 𝐵. Complementario: Ac = Ω − A, de cualquier suceso 𝐴, es el suceso contrario de A y significa que el resultado del fenómeno no pertenece al suceso 𝐴. También se le suele designar con 𝐴̅. Dos sucesos 𝐴 𝑦 𝐵 pueden estar relacionados de modo que siempre que ocurre 𝐴, ocurre 𝐵; lo que equivale a que se verifique la relación: A ⊂ B; esto es, cualquier elemento de A pertenece también a 𝐵. Se verifica por tanto que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 y que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. Dado cualquier suceso 𝐴, siempre se cumple que 𝜙 ⊂ 𝐴 ⊂ Ω. El complementario de la unión es la intersección de los complementarios, (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 El complementario de la intersección es la unión de los complementarios (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 Ejercicio 5.1: En el conjunto de los números naturales menores de 12 (excluido el 0) se definen los subconjuntos A = {números menores de 6} y B = {números primos menores de 12}. Determina los elementos que forman los siguientes conjuntos. a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐴𝑐 d) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 e) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 Solución 5.1: Tema 5 5 En primer lugar el subconjunto A está formado por los siguientes elementos A = {1, 2, 3, 4, 5} y el B= {2, 3, 5, 7, 11}. Teniendo en cuenta esto pasamos a resolver los distintos apartados: a) 𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,7,11} b) 𝐴 ∩ 𝐵 = {2,3,5} c) 𝐴𝑐 = {6,7,8,9,10,11} d) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = {1.4,6,7,8,9,10,11} e) 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 = {6,8,9} 5.2 Conceptos de probabilidad El concepto de probabilidad admite varias definiciones, según el punto de partida que se tome. La definición que adoptaremos será la definición axiomática que planteó el matemático ruso Kolmogorov. La definición axiomática supone definir la probabilidad como cualquier asignación de un número a cada posible suceso del espacio muestral, el cual representa el grado de credibilidad de que vaya a ocurrir dicho suceso, y además debe verificarse una serie axiomas Definición: Sea Ω un espacio muestral. Sea 𝑆 el conjunto de todos los sucesos de Ω. Llamaremos probabilidad a toda aplicación 𝑃 definida entre 𝑆 y el conjunto de los números reales ℝ 𝑃: 𝑆 → ℝ que verifica los axiomas siguientes: Axioma 1: para cualquier suceso 𝐴 del espacio muestral, su probabilidad es un número no negativo, 𝑃(𝐴) ≥ 0 Axioma 2: la probabilidad del espacio muestral es 1. 𝑃(Ω) = 1 Axioma 3: Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de probabilidades. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝜙 ⟹ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃(𝐵) Tema 5 6 5.2.1 Propiedades Las propiedades que se enuncian a continuación se pueden demostrar fácilmente haciendo uso de los axiomas anteriores. 1. Para cualquier suceso 𝐴 𝑦 𝐴𝑐 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 , 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑐 Demostración: Por ser sucesos contrarios, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝜙. Y por la misma 𝑐 razón, 𝐴 ∪ 𝐴 = Ω 𝑐 𝑐 𝑐 Según el axioma 3, 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝜙 ⟹ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴 ) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃(𝐴 ) Según el axioma 2, 𝑃 (Ω) = 1, 𝑃 (Ω) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴𝑐 ) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 Y de esta última igualdad se deduce de manera inmediata que 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴) Por ser sucesos contrarios 2. 𝑃(𝜙) = 0 Demostración: El suceso contrario de 𝜙, es el denominado suceso seguro, Ω. Así teniendo en cuenta la propiedad 1, 𝑃(𝜙) = 1 − 𝑃(𝜙𝐶 ) = 1 − 𝑃(Ω). Y aplicando el axioma 2 𝑃 (𝜙) = 1 − 𝑃(Ω) = 1 − 1 = 0 3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ Ω 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝐵 − 𝐴) = 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴) Demostración: Si A ⊂ B entonces 𝐵 = 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴). Los sucesos 𝐴 y 𝐵 − 𝐴 son incompatibles, 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐴) = 𝜙.Por tanto, teniendo en cuenta el axioma 3 𝑃 (𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴)) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴) 4. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ Ω 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 5. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son sucesos compatibles, 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ 𝜙, entonces la probabilidad de la unión 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) Regla de Laplace Aunque hemos definido probabilidad por medio de la definición axiomática, la regla de Laplace, es tal vez la primera definición de probabilidad que se estableció. El problema que plantea es que esta regla sólo resulta válida cuando todos los sucesos elementales del espacio muestral tiene la misma probabilidad, es decir, son equiprobables. Por ello, no es una definición que podamos generalizar a todas las experiencias aleatorias. Tema 5 7 Definición: Sea un espacio muestral Ω = {𝑎1, 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 }. Y sea 𝐴 un suceso de Ω. Si todos los sucesos elementales son equiprobables, la Regla de Laplace dice: La probabilidad del suceso 𝐴 es igual al cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados posibles. Así, 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝐴 𝑃 (𝐴 ) = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠(𝑛) Esta regla podríamos aplicarla en juegos de azar tales como el lanzamiento de un dado o una moneda equilibrada,… Tema 5 8