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AUTOMATIQUE 7TE03 FASCICULE DE COURS Spécialité Technologies pour l’Energie, l’Aérospatial et la Motorisation (TEAM) ANNÉE 2018-2019 Guillaume COLIN...

AUTOMATIQUE 7TE03 FASCICULE DE COURS Spécialité Technologies pour l’Energie, l’Aérospatial et la Motorisation (TEAM) ANNÉE 2018-2019 Guillaume COLIN Gérard BLOCH Automatique Partie 1 : Signaux et systèmes 1 SIGNAUX ET SYSTEMES.........................................................................................1 1.1 Introduction générale à l'automatique............................................................................................................ 1 1.1.1 Exemple introductif et intuitif..................................................................................................................... 1 1.1.2 Notion de système - Définitions.................................................................................................................. 1 1.1.3 Classification des systèmes dynamiques..................................................................................................... 3 1.1.4 Boucle ouverte - boucle fermée................................................................................................................... 5 1.1.5 Synthèse d'un asservissement...................................................................................................................... 6 1.2 Notion de signal................................................................................................................................................. 8 1.3 Signaux continus de base.................................................................................................................................. 9 1.4 Transformation de Laplace............................................................................................................................ 11 1.4.1 Propriétés................................................................................................................................................... 11 1.4.2 Transformées de Laplace usuelles............................................................................................................. 14 1.5 Fonctions de transfert..................................................................................................................................... 16 1.5.1 Equations différentielles et fonctions de transfert..................................................................................... 16 1.5.2 Produit de convolution, réponse impulsionnelle et fonction de transfert................................................... 17 1.5.3 Composition des fonctions de transfert..................................................................................................... 19 1.6 Réponses fréquentielles................................................................................................................................... 20 1.7 Réponses temporelles...................................................................................................................................... 21 1.8 Fonctions MATLAB de base de la boite à outils CONTROL...................................................................... 22 1.9 Les modèles de base......................................................................................................................................... 25 1.9.1 Gain (pur).................................................................................................................................................. 25 1.9.2 Dérivateur.................................................................................................................................................. 25 1.9.3 Intégrateur.................................................................................................................................................. 26 1.9.4 Système du premier ordre.......................................................................................................................... 27 1.9.5 Système du deuxième ordre....................................................................................................................... 31 1.9.6 Retard pur.................................................................................................................................................. 39 1.10 Linéarisation.................................................................................................................................................. 41 1 SIGNAUX ET SYSTEMES 1.1 INTRODUCTION GENERALE A L'AUTOMATIQUE 1.1.1 Exemple introductif et intuitif On considère une douche dont la température est réglée par un mitigeur à commande manuelle. Si le réglage est effectué à l'extérieur de la douche, il s'agit d'une commande en boucle ouverte et il peut y avoir une différence importante entre la température souhaitée et la température réelle. Si le réglage est effectué par une personne plaçant sa main dans le jet de la douche, il y a prise d'information (observation, mesure) sur la température de l'eau de sortie et il peut y avoir action sur la commande en fonction de l'écart (erreur) par rapport à la consigne. Si la douche n'a pas été utilisée récemment, il s'écoule un certain temps entre le moment où on règle le mitigeur et celui où l'eau arrive à la bonne température. Ce retard a deux causes : le retard pur (dépendant de la longueur des canalisations entre chaudière et douche et du débit, indépendant de la température) et le temps de réponse, lié à la constante de temps du système (échange thermique entre l'eau et les tuyauteries froides, refroidissement de l'eau qui diminue jusqu'à l'équilibre). Si, à l'équilibre, la température n'est pas correcte, l'utilisateur adapte son réglage : il y a réaction et commande en boucle fermée. Cette réaction permet un ajustement du réglage en cas de perturbation (autre utilisateur d'eau chaude, baisse de la pression et donc du débit d'eau chaude, variation de température). Le système a des caractéristiques non linéaires, de type saturation (température comprise entre celle de l'eau froide et celle de l'eau chaude en sortie de chaudière). Couramment, pour limiter le temps de réponse, le débit d'eau chaude est fixé au début à une valeur élevée, ce qui conduit à un dépassement, rattrapé par un ajustement du débit jusqu'à atteinte de la consigne. Des (ré)actions trop vives sur le débit d'eau chaude peuvent se traduire en "douche écossaise" (oscillations importantes de la température, dues à un grand gain associé à un retard pur, instabilité). La régulation est manuelle, avec intervention de l'opérateur humain. Si la détection des variations de température est réalisée par un thermostat commandant le débit d'eau chaude par un régulateur, on a une régulation ou asservissement, automatiques. 1.1.2 Notion de système - Définitions On appelle système (system) ou processus (process) un ensemble de relations causales entre des grandeurs d'entrée (causes) et des grandeurs de sortie (effets). Un système correspond alors à un ensemble d'objets ou de phénomènes liés entre eux, que l'on sépare intellectuellement du monde extérieur : processus matériels, physiques ou chimiques, systèmes économiques, sociaux, problèmes de trafic ou de flux... Perturbations Information Information Energie Energie SYSTEME Matière Matière Figure 1 : Représentation générale d'un système. - I.1 -  Un système peut avoir une existence physique isolable (composant, unité industrielle...) ou représenter une expérience (ex. : caractéristiques d'un produit en fonction de ses constituants). La délimitation ou la construction d'un système fixe ses liens d'entrée et de sortie avec son environnement. Production T112 Reflux 114 °C, 0.01 bar Concentration de tête Alimentation 134 °C Température plateau sens. Concentration 160 °C, de fond 0.4 bar Production T4 Figure 2 : Un exemple d'unité industrielle : une colonne à distiller. Les entrées (inputs) sont les variables qui agissent sur le processus, de plusieurs types. Certaines sont commandées, donc connues (commandes, control variables, manipulated variables). D’autres, non commandées, sont les perturbations ((load) disturbances). Parmi ces perturbations, certaines sont mesurées et leur effet peut, parfois, être compensé. Les sorties (outputs) sont des variables mesurées, qui caractérisent l'effet du système sur son environnement. Les variables d'état sont des variables internes du système, dont l'action sur l'environnement n'est pas nécessairement directement perceptible, mais dont l'évolution régit celle du système. Perturbations Commandes SYSTEME Sorties Figure 3 : Le système et ses variables. Un système comportant une seule entrée et une seule sortie est dit monovariable (Single Input Single Output, SISO). u(t) y(t) SYSTEME Figure 4 : Système monovariable. Dans les autres cas, il est dit multivariable. Un système comportant plusieurs entrées et une seule sortie est dit MISO (Multiple Input Single Output). Un système comportant plusieurs entrées et plusieurs sorties est dit MIMO (Multiple Input Multiple Output). - I.2 -  Un système est dit statique ou instantané si sa sortie à un instant donné ne dépend que de l'entrée au même instant. Un système statique est régi par une (des) équation(s) algébrique(s). Exemples : y(t)  a(t) u(t), y(k)  a(k) u(k). Un système est dynamique ou à mémoire si sa sortie à un instant donné dépend des valeurs antérieures de l'entrée et/ou de la sortie. Un système dynamique est régi par une (des) équation(s) différentielle(s) ou par une (des) équation(s) récurrente(s). dy(t) Exemples : y(t)  a u(t t 0), y(t)  a u(t)  b , y(k)  a u(k)  b u(k 1)  c y(k 1). dt Un système est dit causal, s'il ne répond pas avant d'être excité, c'est-à-dire si sa sortie à un instant ne dépend pas de son entrée après cet instant : le futur n'affecte pas le passé. Tout système physique jouit de cette propriété. Pour un système monovariable en temps continu, on aura pour un système causal : u(t)  0, t  0  y(t)  0, t  0. Un système est invariant si un décalage temporel sur l'entrée décale la sortie d'autant. du(t) Exemples : Un système décrit par : y(t)  a u(t) est invariant ; un système décrit par dt du(t) du(t) y(t)  a(t) u(t) ou par y(t)  a t ne l'est pas. dt dt Un système linéaire est un système qui respecte le principe de superposition (propriétés d'additivité et d'homogénéité) : u1,u 2 ,a,b, ya u1 (t)  b u 2 (t)  a yu1 (t)  b yu 2 (t). Un système non linéaire est un système qui ne respecte pas le principe de superposition. Dans la suite, sauf indication contraire, on considère les systèmes continus linéaires invariants (linear time invariant, LTI) à coefficients constants et donc décrits par une équation différentielle à coefficients constants. 1.1.3 Classification des systèmes dynamiques On peut établir une classification des systèmes dynamiques (et/ou de leurs modèles) selon le cardinal de l’ensemble de leurs états possibles et selon la nature du temps dont ils sont fonctions. Systèmes à états continus Un système à états continus est un système dont l’ensemble X des états x possibles est non dénombrable. Dans les systèmes à états continus, on distingue les systèmes à temps continu (continuous time) ou systèmes continus et les systèmes à temps discret (discrete time) ou systèmes échantillonnés. Les modèles associés sont les suivants. - I.3 - Système à temps continu ( t  R ) (linéaire, stationnaire) n m Expression temporelle, équation différentielle d’ordre n :  a i y (i) (t)   b i u (i) (t), u, y  X  R i0 i0 n m Transformée de Laplace et transmittance en s : Y(s)  a i s  U(s)  b i si , Y(s)  F(s) U(s) i i0 i0 Forme d’état temporelle, système de n équations différentielles d’ordre 1 : x˙ (t)  A x(t)  B u(t)  , x  X  Rn, u  Rl , y  Rm y(t)  C x(t)  D u(t) s X(s)  A X(s)  B U(s) Forme d’état en s :   Y(s)  C X(s)  D U(s) Système à temps discret ( k  Z, t k  kT) (linéaire, stationnaire) n m Expression temporelle, équation récurrente d’ordre n :  a i y(k  i)   b i u(k  i) , y  X  R i0 i0 n m Transformée en z et transmittance en z : Y(z)  a i z i  U(z)  b i z i , Y(z)  F(z) U(z) i0 i0 x(k  1)  A x(k)  B u(k) Forme d’état discrète :  , x  X  R n, u  R l , y  R m  y(k)  C x(k)  D u(k) z X(z)  A X(z)  B U(z) Forme d’état en z :   Y(z)  C X(z)  D U(z) Systèmes à états discrets Un système à états discrets est un système dont l’ensemble X des états x possibles est fini (c.a.d. « si et seulement s'il existe un entier n et une bijection de X sur l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n »), par exemple 0,1 ou 1,, n ou état1,, état n . Une machine d’état est un système (dynamique) à états discrets, qui peut être décrit par :   Q(t  )  T(Q(t), U(t))   Y(t)  S(Q(t), U(t)) où Q(t)  0,1 n est l’état courant, avec n dépendant du codage de l’état, U(t)  0,1 p le vecteur des entrées et Y(t)  0,1 m le vecteur des sorties et T est la fonction de transition d’état et S la fonction de sortie. Ce modèle simplifié ne précise pas le mode de prise en compte des événements entraînant des transitions entre états et la nature du temps t (synchrone, asynchrone, par événements,…). De nombreux systèmes associent des dynamiques continues et discrètes. On parle alors de systèmes hybrides. Un système à états continus séquencé par un automate est un système hybride. - I.4 - 1.1.4 Boucle ouverte - boucle fermée On représente les systèmes et leurs interconnections par des schémas-blocs (block diagrams). u Système y ou Processus u(t) y(t) 0 t 0 t Figure 5 : Le schéma-bloc élémentaire. Un cascade de sous-systèmes constitue une boucle ouverte (open loop). Une boucle ouverte comporte souvent : un actionneur (actuator), un processus à contrôler (process, system), un capteur (sensor). ACTIONNEUR PROCESSUS CAPTEUR u(t) Système (t) (t) y(t) Navire Compas Signal de hydraulique Angle Cap Cap commande de barre vrai mesuré Figure 6 : Une boucle ouverte concernant le pilotage d'un navire. Idéalement, les capteurs et actionneurs réalisent une proportionnalité parfaite, sans retard, ni distorsion, entre leurs entrées et leurs sorties. On omet alors parfois de les représenter dans les schémas. On peut souvent les approximer par un simple gain, mais, de façon générale, ce sont des systèmes dynamiques non linéaires. Un objectif majeur de l'automatique est la conception des lois de commande destinées à élaborer le signal u(t). Ces lois seront mise en œuvre par des systèmes concrets, analogiques ou numériques. Elles définissent donc des systèmes causaux, représentables par schémas-blocs. Un bloc de commande a pour sortie le signal de commande u(t) (control signal, manipulated variable). Il a pour entrées la mesure de la sortie du système à commander y(t) (process variable, controlled variable) et un signal de consigne ou signal de référence ( yc ( t ) ou r(t) ) (reference, set point). Le système global constitué du processus à commander et du système de commande est un système en boucle fermée (closed loop system). Consigne Commande Sortie r(t) Système u(t) y(t) Processus de commande Figure 7 : Système en boucle fermée. - I.5 -  La commande peut être effectuée en boucle ouverte, à partir du seul signal de consigne. Cependant, seule la boucle fermée peut : - stabiliser un système instable en boucle ouverte (navire par exemple), - compenser les perturbations externes (vent, houle, courant…) - compenser les incertitudes internes au processus lui-même. 1.1.5 Synthèse d'un asservissement Un même système de commande, appelé régulateur ou correcteur (controller), peut réaliser deux fonctions distinctes : - l'asservissement (servo control), c'est-à-dire la poursuite (tracking), par la sortie d'une consigne variable dans le temps, - la régulation (regulation), c'est-à-dire la compensation ou le rejet de l'effet de perturbations variables (disturbance rejection) sur la sortie, que l'on cherche à maintenir à une consigne fixe. L'automatique permet d'analyser les systèmes et de concevoir et d'analyser des régulations en tenant compte de multiples objectifs et des compromis résultants : - maintenir ou obtenir la stabilité, - faire poursuivre rapidement une consigne par un système naturellement lent, - obtenir des réponses rapides sans brutaliser les actionneurs, - rejeter les perturbations non mesurées, - tenir compte du spectre (distribution en fréquence) des consignes et perturbations, - filtrer les bruits de capteurs pour les actionneurs et donc les grandeurs à contrôler, - concevoir des systèmes de commande relativement simples à mettre en œuvre, - tenir compte des incertitudes dans le modèle du processus à commander et les caractéristiques des bruits et perturbations. Perturbation d(t) Consigne Erreur Commande Sortie + r(t) e(t) u(t) y(t) C G + + - REGULATEUR PROCESSUS Figure 8 : La boucle fermée classique. Le schéma de principe d'un système asservi est donné à la figure 8, où l'on distingue : - un comparateur, mesurant la différence sortie mesurée - consigne, - le correcteur proprement dit C, - le processus G, où la perturbation d(t) est "ramenée" à la sortie. Ne sont pas figurés : - le capteur permettant l'estimation ou la mesure de la grandeur de sortie à contrôler, placé soit dans la boucle de retour, soit après la perturbation, - l'actionneur, qui permet l'application de la commande au processus, en réalisant l'amplification de puissance, - des transmetteurs (transmitters), assurant la communication entre les composants et l'adaptation des signaux. La transmission s'effectue parfois sous forme pneumatique (200 à 1000 mb, avec 200 mb correspondant à un signal nul), le plus souvent sous forme électrique, en courant (1-5 mA, 4-20 mA, 10-50 mA …) ou en tension (0-10 V par exemple). En cas de - I.6 -  transmission électrique, les signaux transmis peuvent être analogiques ou numériques (continus échantillonnés), requérant des convertisseurs, numérique-analogique (CNA, D/A) et analogique-numérique (CAN, A/D). - des alarmes et sécurités, pour les disfonctionnements ou les pannes. La plupart des méthodes de synthèse d'un régulateur, mais pas toutes, nécessite l'utilisation d'un modèle du processus, c'est-à-dire un ensemble de relations liant les diverses variables et régissant leur évolution. Très souvent, le modèle est une simplification, parfois grossière, de la réalité. La figure 9 résume alors la démarche de synthèse d'une régulation, où la construction du modèle prend une place importante. Définition du processus et des objectifs Schéma, entrées, sortie Hypothèses, lois physiques, bilans Modèle de connaissance Choix du type de modèle Type de modèle de conduite Identification Paramètres Validation du modèle Modèle de conduite retenu Synthèse de la régulation Régulateur, capteurs, actionneurs Validation de la régulation Mise en oeuvre de l’asservissement Figure 9 : Démarche de synthèse d'un asservissement. L'automatique ne se résume pas à la théorie permettant la synthèse des asservissements. Elle s'applique également pour l'identification des systèmes, leur simulation, la prévision, le traitement du signal… - I.7 - 1.2 NOTION DE SIGNAL En Automatique (modélisation, commande de processus) ou en Traitement du Signal, on appelle signal toute variable ou source d'information évoluant en fonction du temps. Quand, à chaque instant, la valeur du signal peut être déterminée avec précision, le signal est dit déterministe. Quand l'information délivrée est de nature statistique (distribution de probabilité, valeur moyenne…), le signal est dit aléatoire. Très souvent, un signal comprend une composante déterministe (la partie "utile", la valeur "vraie" de la variable) et une composante aléatoire (bruits, notamment de mesure, perturbations). Un signal est dit causal s'il est nul pour t  0. Selon la nature de la variable temps, on distingue le signal continu ou analogique et le signal numérique ou discret. Quand le signal x, réel ou complexe, dépend du temps, variable continue réelle, le signal est continu (plus rigoureusement à temps continu) ou analogique :. Un tel signal est très souvent une grandeur physique, délivrée par un capteur : température, pression, vitesse, position…, couramment traduite sous forme d'un signal électrique, tension ou courant. Le signal est porteur d'énergie. Sa puissance est proportionnelle à x 2 (t)  x(t) x(t), où x(t) 2t est le conjugué de x(t) et l'énergie sur un intervalle t1,t 2  à  x 2 (t) dt. t1 Quand le signal x, réel ou complexe, dépend d'une variable discrète, il est dit discret (à temps discret) : x : k  Z x(k)  R ou C. k est un entier (positif ou négatif). Par exemple, x représente les gains d'un jeu à l'issue de chaque partie (x(1) à l'issue de la première partie, x(2) à l'issue de la seconde partie, …) ou la population d'une espèce animale à l'issue de chaque génération, la valeur d'un indice boursier à la clôture ou encore, plus couramment, une valeur produite par un algorithme itératif… En fait, le plus souvent, les signaux discrets correspondent à l'observation à des instants discrets t k de signaux continus, on parle alors de signal échantillonné (sampled signal). Lorsque la durée entre deux instants d'échantillonnage est fixe ( t k1  t k  T, k), l'échantillonnage est dit à période fixe T. Dans ce cas, on note de façon équivalente le signal échantillonné : x(k), x k , x(t k ), x(kT), x(t 0  kT) k  Z x(t) x(tk) 0 tk t Figure 10 : Echantillonnage d'un signal. Par ailleurs, les valeurs des signaux discrets peuvent être quantifiées. On parle alors de signaux numériques. - I.8 - 1.3 SIGNAUX CONTINUS DE BASE Rampe unité à t 0 La rampe unitaire (causale) est définie par : r(t  t 0 )  0 si t  t 0   r(t  t 0 )  t  t 0 si t  t0 En pratique, la pente, qui exprime la vitesse de variation de la grandeur considérée, est rarement de 1. r(t-t0) 0 t0 t Figure 11 : Rampe unité. Echelon unité à t 0 L'échelon unité, ou fonction de Heaviside, est défini par : (t  t 0 )  0 si t  t 0  (t  t 0 )  1 si t  t 0 L'échelon unité est la dérivée, discontinue à t 0, de la rampe unité. (t-t0) 1 0 t0 t Figure 12 : Echelon unité. Signal impulsionnel Un signal impulsionnel a une durée très courte relativement aux variables de son environnement, mais son intégrale sur , est finie et non nulle. Par exemple, le signal  (t  t 0 ) est tel que :    (t  t 0 ) dt  1.  (t-t0) 1/ 0 t0- t0+ t Figure 13 : Signal impulsionnel. - I.9 - Impulsion de Dirac à t 0 L'impulsion de Dirac (Dirac, 1926) n'est pas une fonction, mais une distribution (L. Schwartz, 1950). Elle peut être définie comme : d(t  t 0 ) ou comme la dérivée de l'échelon unité : (t  t 0 )  dt  (t  t 0 )  0 si t  t 0 On a alors :  (t  t 0 ) dt  1 et   (t 0 )   (t-t0) 0 t0 t Figure 14 : Impulsion de Dirac. Signal sinusoïdal ou harmonique Le signal sinusoïdal est le signal périodique par excellence : x(t)  a sin( 0 t  ) 2 où  0  2 f0  , avec  0, f0 et T0, respectivement la pulsation, la fréquence et la période, et où T0  est la phase. Figure 15 : Signal sinusoïdal. - I.10 - 1.4 TRANSFORMATION DE LAPLACE La transformation (monolatère) de Laplace L est une application définie par :  F(s)  L f(t)   f(t) es t dt 0 La transformation est monolatère, car l'intégrale s'étend de 0 à . Les fonctions f sont des fonctions à valeurs réelles de la variable t réelle. Les fonctions F sont des fonctions à valeurs complexes de la variable complexe s    j (ou p). La transformation n'existe que si l'intégrale existe, c'est-à-dire pour des fonctions f de croissance majorée par une exponentielle : f(t) es t  f(t) e t   0 ,    0. t Pour les signaux f le plus souvent considérées, nuls pour t  0, la transformation monolatère équivaut à la transformation bilatère dont l'intégrale s'étend de  à . F(s) est l'image de f(t) et f(t) et l'original de F(s). La transformation de Laplace inverse est définie par : 1  j f(t)  L1(F(s))   F(s) e tsds 2j  j Une méthode simple de détermination de la transformée inverse consiste à décomposer la fraction rationnelle en s constituant la transformée de Laplace en éléments simples et chercher leurs inverses dans une table de transformées. 1.4.1 Propriétés Soient X(s)  L  x(t) et Y(s)  L  y(t), avec x(t)  y(t)  0, t  0. Linéarité L(a x(t)  b y(t))  a X(s)  b Y(s), a,b  R La linéarité de L découle directement de celle de l'intégration. Dérivation (temporelle) dx(t)  L  L  x˙ (t)  s X(s)  x(0)  dt  dx(t)   dx(t) s t    L    dt  0 dt e dt   es t dx(t)  es t x(t) 0 0    x(t) (s es t dt) 0 - I.11 -  d 2 x(t)   L  ˙x˙(t)  s X(s)  s x(0)  x˙ (0) 2 L  2   dt  d n x(t)  n1 L  n   dt   L x(n) (t) s n X(s)   si x (ni1) (0) i0 Cette propriété fondamentale permet de transformer une équation différentielle linéaire à coefficients constants en une équation algébrique de la variable s. Intégration (temporelle) t  X(s) L x()d 0  s t dy(t) On pose y(t)   x()d et donc  x(t) et y(0)  0 : 0 dt dy(t)  t  L  L  x(t)  X(s)  s Y(s)  s L x()d (dérivation temporelle)  dt  aussi 0  Théorème de la valeur initiale (dérivation temporelle) Théorème de la valeur finale - I.12 - Retard temporel Soit un signal x ( t ) tel que x(t)  0, t  0. Soit x(t  ) le signal x(t) retardé de . L  x(t  )  es  X(s) x(t) x(t-) 0  t Figure 16 : Retard temporel.    L  x(t  )   x(t  ) es t dt   x(u) es (u) du  es   x(u) es u du 0 0 0 Changement d'échelle temporelle 1 s  L  x(a t)  X  a a    u s s t s u 1   u L  x(a t)   x(a t) e dt   x(u) e a d   x(u) e a du 0 0 a a 0 Translation en s   L ea t x(t)  X(s  a)     L ea t x(t)   x(t) ea t es t dt   x(t) e(sa) t dt  X(s  a) 0 0 - I.13 -  Produit de convolution Le produit de convolution entre x et y, noté  x  y(t) ou x(t)  y(t), est défini par :  x(t)  y(t)   x() y(t  ) d  Il est commutatif pour des signaux causaux : t t x(t)  y(t)   x() y(t  ) d   x(t  ) y() d, car x()  0,   0, y(t  )  0, t    0 ou t  . 0 0 Par le théorème de Borel, sa transformée de Laplace est : L  x(t)  y(t)  X(s)Y(s)      L  x(t)  y(t)  L  x(t  ) y() d    x(t  ) y() des t dt   0           y()   x(t  ) es t dt d   y()   x(u) es (u)dud   0       s    y() e d.  x(u) es udu  X(s). Y(s) 0 0 1.4.2 Transformées de Laplace usuelles xt , t  0 Xs f t  F s s Impulsion de Dirac (t) 1 cos(t) s2   2 1  Echelon unité (t) sin(t) s s2   2 1 s sin()   cos() Rampe unité t sin(t  ) s2 s2   2 n! a2  2   s a t n , n  1, 2, 3, sin(t  ) ,   Arctg  sn1 2 a  s2   2 eat 1 sa 1 ba  (c  a) eat  (c  b) ebt  s c (s  a)(s  b) n! 1  n t 1 t neat n1 e sin( pt) ,  p   n 1  2 s  a  p s2  2   n s   2n n ea it   i1 ji (a j  a i ) , ai  a j 1  ni1 (s  a i ) 1 a 2 a t 1 ea t  2 1 s (s  a) a 1 eat s s  a  Table 1 : Transformées de Laplace usuelles. Ces transformées se calculent en utilisant la définition. Par ailleurs, combinant les propriétés définies plus haut et ces transformées élémentaires, on obtient facilement de nombreuses autres transformées. - I.14 -     L (t)   (t) es t dt   (t) es 0 dt   (t) dt  1 (Démonstration peu rigoureuse) 0     es t  1 s t s t L (t)   (t) e dt   e dt     , pour   0 0 0  s   0 s Les transformées de t, la rampe unité, ou de t n, s'obtiennent en appliquant la propriété d'intégration temporelle au résultat précédent. La transformée de ea t s'obtient en appliquant la propriété sur la translation en s au résultat précédent. La transformée de t neat s'obtient en combinant les deux résultats. 1 La transformée inverse de s'obtient par décomposition en éléments simples.  ni1 (s  a i ) 1 A B Par exemple,   (s  a)(s  b) (s  a) (s  b) 1 1 (s  a), puis s  a donne A  ; (s  b), puis s  b donne B  . ba ba a La transformée inverse de s'obtient par décomposition en éléments simples : s (s  a) a A B   ;  s, puis s  0 donne A  1 ; (s  a), puis s  a donne B  1. s (s  a) s s  a s a s sin()   cos() La transformée inverse de s'obtient à partir de celle de : 2 2 s  s2   2  s s sin()   cos() tg()  2 tg 2 ()  sin() 2 , puis a  et sin ()  s2   2 s  2 tg() 1 tg 2 () - I.15 - 1.5 FONCTIONS DE TRANSFERT 1.5.1 Equations différentielles et fonctions de transfert d n x(t)  n1 La propriété : L  n   dt   L x (n) (t)  s  n X(s)   si x (ni1) (0) permet de transformer une i0 équation différentielle linéaire à coefficients constants en une équation algébrique de la variable s. On considère un système régi par l’équation différentielle, où m  n (causalité) : a 0 y(t)  a1 y (1) (t)    a n y (n) (t)  b 0 u(t)  b1 u (1) (t)    b m u (m) (t) Si l’on prend la transformée de Laplace de cette équation, on obtient :  a 0 Y(s)  a1 s Y(s)    a n sn Y(s)  Pn1 s,y(0),,y (n1) (0)    b 0 U(s)  b1 sU(s)    b m s m U(s)  Pm1 s,u(0),,u (m1) (0)  c’est-à-dire, si CI désigne les conditions initiales :  n   m   Pm1s, CI(u)  Pn1 s, CI(y) i i  i  Y(s)  a s  U(s)  i   b s i0  i0  m  b i si P s, CI(u) Pn1 s, CI(y) ou : Y(s)  i0 n U(s)  m1n  n  a i si  a i si  a i si i0   i0   i0     régime forcé régime libre On note que les CI apparaissent sous forme d’impulsions. B(s) Si les conditions initiales sont nulles : Y(s)  F(s) U(s) , où F(s)  est la fonction de transfert A(s) (ou transmittance) du système. Le polynôme A(s), dénominateur de la fonction de transfert, est appelé aussi polynôme caractéristique. L’équation A(s)  0 est appelée équation caractéristique. Les racines de A(s), c'est-à-dire les valeurs de s telles que A(s)  0, sont appelés les pôles du système. Par ailleurs, les racines du numérateur B(s) sont appelées les zéros du système. Dans le domaine temporel, on a : y(t)  y u (t)  y 0 (t), où y u (t) est le régime forcé et y 0 (t) le régime libre. - I.16 - 1.5.2 Produit de convolution, réponse impulsionnelle et fonction de transfert Tout signal u(t) peut être considéré comme la superposition d'une infinité d'impulsions de Dirac d'intensité u() d :  u(t)   u() (t  ) d  Si l'impulsion est définie comme la limite du "signal impulsionnel" , cette relation se comprend mieux à partir du signal échantillonné u(t k ), où l'on peut écrire :  u(t)   (t  t k ) u(t k ) T, puis par passage à la limite. k u(t) u(tk) tk tk+1 t T Figure 17 : Approximation impulsionnelle d'un signal. On note f(t) la réponse impulsionnelle du filtre (ou système) linéaire invariant F, c'est-à-dire l'évolution de la sortie de ce filtre soumis en entrée à l'instant 0 à une impulsion de Dirac (t). impulse(tf(1,[1.5])) Figure 18 : Réponse impulsionnelle. Le filtre étant invariant, sa réponse à une impulsion (t  ) à l'instant  est f(t  ). Figure 19 : Réponse impulsionnelle retardée. - I.17 -    On a alors : y(t)  Fu(t)  F  u() (t  ) d.   Le filtre étant linéaire (principe de superposition), sa réponse y(t) à une entrée u(t) peut s'écrire :   y(t)   u() F(t  ) d   u() f(t  ) d   La réponse y(t) d'un filtre (système) linéaire invariant à une entrée u(t) est le produit de convolution entre sa réponse impulsionnelle f(t) et l'entrée : y( t )  f ( t )  u ( t ) Par application du théorème de Borel sur la convolution, on peut alors écrire : Y (s)  F(s) U (s) La fonction de transfert F(s) d'un système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle f(t) : F (s )  L f ( t ) . La réponse des systèmes linéaires invariants est donnée, dans le domaine temporel, par une convolution et, dans le domaine de Laplace, par un produit. * f(t) x F(s) Figure 20 : Filtre linéaire. On rappelle que si les conditions initiales sont nulles ( y (i)(0)  0, i  1,,n, u (i)(0)  0, i  1,,m), Y(s)  F(s) U(s). Si l'entrée est une impulsion de Dirac ( u(t)  (t), U(s)  1), on a Y(s)  F(s) et la réponse temporelle f(t) est l'original de la fonction de transfert, c'est-à-dire la réponse impulsionnelle. - I.18 - 1.5.3 Composition des fonctions de transfert F1 + u y u y F1+F2 + F2 Figure 21 : Systèmes en parallèle. u y u y F1 F2 F1 F 2 Figure 22 : Systèmes en série ou en cascade. à retour unitaire r y  F + r F y - 1 GF G à retour non unitaire Figure 23 : Boucle de contre-réaction. - I.19 - 1.6 REPONSES FREQUENTIELLES Si l'on applique à l'entrée d'un système (ou filtre) de fonction de transfert F(s) une entrée harmonique u(t)  sin( t) , la réponse en régime permanent est un signal harmonique de même pulsation : y(t)  a() sin( t  ()) où a() et () sont respectivement le gain (en fréquence) et le déphasage (ou phase), qui sont donnés par le module et l'argument du complexe F(j )  ReF(j )  ImF(j )  F(j ) e j (). Diagramme de Nyquist Un diagramme de Nyquist (Nyquist diagrams) est le lieu de F(j ) dans le plan complexe, quand  croît de 0 à  , gradué en . Diagramme de Black-Nichols Un lieu de Black (Nichols chart) est la représentation cartésienne de F(j ), avec le gain G dB ()  20 log F() , en décibels, en ordonnée et la phase ()  argF(j) , en degrés, en 10 abscisse. Diagramme de Bode Un diagramme de Bode (Bode plot) est composé de deux graphes donnant le gain et le déphasage, en fonction de . Pour les deux graphes, l'abscisse , en rad/s, est en échelle logarithmique. Pour le gain, l'ordonnée est en échelle logarithmique, si le gain a()  F(j ) est donné   directement. Elle est linéaire, s'il est exprimé en décibels : G dB ()  20 log F( j). 10 Pour la phase, l’ordonnée ()  argF(j) , en radians ou en degrés, est en échelle linéaire. Le choix d'une échelle logarithmique pour le gain et d'une échelle linéaire pour la phase présente deux avantages. - Les courbes restent lisibles pour de grandes variations du gain. - Pour les systèmes en cascade F  F1 F2, les gains, ainsi que les phases, s'additionnent : G dB ()  G dB 1 ()  G dB 2 () , ()  1 ()   2 () Eléments caractéristiques Le gain statique (steady state gain, DC gain) d'un système peut être vu comme le gain pour une entrée harmonique à fréquence nulle u(t)  u cos(0 t) , avec la réponse en régime permanent y(t)  F(0) u , c'est-à-dire : Gain statique  F(s)s0 - I.20 -  La fréquence de coupure (corner frequency, breakpoint frequency) est la fréquence ( fc) (ou la pulsation  c  2 fc) à partir de laquelle le gain statique est atténué de plus de 3 dB : G(c )dB  G(0)dB  3dB F(c )  F(0) / 2  0.7071 F(0) Cette notion est parfois assimilée à celle de bande passante (bandwidth), qui est plus générale. On définit aussi la fréquence de coupure à N dB : G(c NdB )dB  G(0)dB  N dB Le facteur de résonance (resonant peak) est le rapport entre le gain maximal et le gain statique. Pour un diagramme de Bode, la pente est la tangente à la caractéristique fréquentielle du gain dans une plage donnée. Elle dépend du nombre de pôles et de leur distribution fréquentielle. 1.7 REPONSES TEMPORELLES On étudie les réponses transitoires (transient responses) impulsionnelle (à une impulsion) (impulse response), indicielle (à un échelon) (step response) et à une rampe (échelon de vitesse) pour différents systèmes linéaires élémentaires. La réponse d'un système linéaire à une combinaison de ces entrées est la combinaison des réponses. D'autre part, une fonction de transfert F(s) peut toujours se décomposer en éléments simples F(s)   i Fi (s)et la réponse du filtre à une entrée donnée est la somme des réponses des différents éléments à cette entrée. Eléments caractéristiques Le gain statique (steady state gain, DC gain) d'un système est le gain entre l'entrée et la sortie (variation de la sortie sur variation de l'entrée) en régime permanent (une fois l'équilibre atteint). Il peut être vu comme le gain pour une entrée constante (échelon unitaire), de transformée de 1 Laplace U(s)  à C.I. nulles, avec la réponse Y(s)  F(s) U(s), c'est-à-dire en régime permanent s (théorème de la valeur finale) :. La réponse à un échelon est caractérisée par un certain nombre de paramètres :  t M : temps de montée ( t R : rise time). C’est le temps nécessaire pour que la sortie atteigne 90% (ou 100%) de la valeur finale (VF) (ou pour que la sortie passe de 10% à 90% de la valeur finale),  t PIC : temps de pic (peak time). C’est le temps nécessaire pour que la sortie atteigne sa valeur maximale y max,  t R : temps d’établissement ou de réponse ( t S : settling time). C’est le temps nécessaire pour que la sortie atteigne et reste à l’intérieur d’une zone de tolérance autour de la valeur finale ( 10%,  5%,  2%,  1%),  DM : dépassement maximal (overshoot), souvent exprimé en pourcentage de la valeur finale : y  VF DM  max. VF Notons que la terminologie et les définitions associées aux temps de montée, de pic, de réponse et d’établissement sont fluctuantes. - I.21 - 1.8 FONCTIONS MATLAB DE BASE DE LA BOITE A OUTILS CONTROL Boite à outils CONTROL (fonctionnalités ou groupes de fonctions) Control System Toolbox. Version 4.1 05-Dec-1997 Creation of LTI models. Data extraction. Model characteristics. Conversions. Overloaded arithmetic operations. Model dynamics. State-space models. Time response. Frequency response. System interconnections. Classical design tools. LQG design tools. Matrix equation solvers. Demonstrations. Fonctions Matlab TF,ZPK (extraits) (Creation of LTI models) TF Creation of transfer functions or conversion to transfer function. You can create SISO or MIMO transfer functions by SYS = TF(NUM,DEN) Continuous-time model NUM(s)./DEN(s) For SISO models, NUM and DEN are row vectors listing the numerator and denominator coefficients in descending powers of s or z by default ZPK Create zero-pole-gain models or convert to zero-pole-gain format. You can create SISO or MIMO zero-pole-gain (ZPK) models by: SYS = ZPK(Z,P,K) Continuous-time model sys1=tf(3,[1 -2 1]) Transfer function: 3 ------------- s^2 - 2 s + 1 sys2=zpk([],[1 1],3) Zero/pole/gain: 3 ------- (s-1)^2 Fonctions Matlab BODE, NICHOLS, NYQUIST (extraits) (Frequency response) BODE Bode frequency response of LTI systems. BODE(SYS) draws the Bode plot of the LTI system SYS (created with either TF, ZPK, or SS). The frequency range and number of points are chosen automatically. NICHOLS Nichols frequency response of LTI systems. NICHOLS(SYS) draws the Nichols chart of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, or SS). The frequency range and number of points are chosen automatically. NYQUIST Nyquist frequency response of LTI systems. NYQUIST(SYS) draws the Nyquist plot of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, or SS). The frequency range and number of points are chosen automatically. Fonction Matlab DCGAIN, POLE, PZMAP (extraits) (Model dynamics) DCGAIN DC gain of LTI systems. K = DCGAIN(SYS) computes the steady state (D.C. or low frequency) gain of the system SYS. POLE Find the poles of an LTI system. P = POLE(SYS) returns the poles of SYS (P is a column vector). - I.22 - - I.23 - PZMAP Pole-zero map of linear systems. For a SISO system, PZMAP(SYS) computes the poles and zeros of SYS and plots them in the complex plane. The poles are plotted as x's and the zeros are plotted as o's. Fonctions Matlab IMPULSE, STEP, LSIM (extraits) (Time response) IMPULSE Impulse response of LTI systems. IMPULSE(SYS) plots the impulse response of each input channel of the LTI model SYS (created with either TF, ZPK, or SS). The time range and number of points are chosen automatically STEP Step response of LTI systems. STEP(SYS) plots the step response of each input channel of the LTI system SYS (created with either TF, ZPK, or SS). The time range and number of points are chosen automatically. LSIM Simulation of the time response of LTI systems to arbitrary inputs. LSIM(SYS,U,T) plots the time response of the LTI model SYS to the input signal described by U and T. The time vector T consists of regularly spaced time samples and U is a matrix with as many columns as inputs and whose i-th row specifies the input value at time T(i). For instance, t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t) simulates the response of SYS to u(t) = sin(t) during 5 seconds. Fonctions Matlab SERIES, PARALLEL, FEEDBACK (extraits) (System interconnections) SERIES Series interconnection of the two LTI models. SYS = SERIES(SYS1,SYS2,OUTPUTS1,INPUTS2) connects the two systems in series such that the outputs of SYS1 specified by OUTPUTS1 are connected to the inputs of SYS2 specified by INPUTS2. If OUTPUTS1 and INPUTS2 are omitted, SERIES connects SYS1 and SYS2 in cascade and returns: SYS = SYS2 * SYS1. PARALLEL Parallel interconnection of two LTI systems. SYS = PARALLEL(SYS1,SYS2,INP1,INP2,OUT1,OUT2) connects the two LTI systems SYS1 and SYS2 in parallel such that the inputs specified by INP1 and INP2 are connected and the outputs specified by OUT1 and OUT2 are summed If INP1,INP2,OUT1,OUT2 are jointly omitted, PARALLEL forms the standard parallel interconnection of SYS1 and SYS2 and returns SYS = SYS2 + SYS1. FEEDBACK Feedback connection of two systems. SYS = FEEDBACK(SYS1,SYS2) produces the feedback loop u --->O---->[ SYS1 ]----+---> y | | +-----[ SYS2 ] ° dénominateur, - système propre : ° numérateur  ° dénominateur, - système strictement propre : ° numérateur < ° dénominateur 40 20 Phase (deg); Magnitude (dB) 0 -20 91 90.5 90 89.5 89 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Figure 24 : Diagrammes de Bode d'un dérivateur bode(tf([1 0],1)). - I.25 - 1.9.3 Intégrateur 1 La fonction de transfert d'un intégrateur est : F(s) . s G dB ()   20 log (droite de pente -20 dB par décade ou de -6 dB par octave) 10 ()   /2 20 0 Phase (deg); Magnitude (dB) -20 -40 -89 -89.5 -90 -90.5 -91 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) Figure 25 : Diagrammes de Bode d'un intégrateur bode(tf(1,[1 0])). La réponse impulsionnelle d'un intégrateur est un échelon, sa réponse indicielle est une rampe. - I.26 - 1.9.4 Système du premier ordre b0 K La fonction de transfert d'un système du premier ordre est : F(s)  ou F(s)  , qui a1 s  a 0 1 s  correspond à l'équation différentielle :  dy(t) /dt  y(t)  K u(t). K  F(0) est le gain statique et  la constante de temps (time constant). Caractéristiques fréquentielles G dB ()  20 logK 10 log 1  2  2 10 10    K  car : G dB ()  20 log 2 2 1/ 2  20 log K (1   ) 10 1 j  10   ()  Arctg( ) 0 -3 -5 -10 Phase (deg); Magnitude (dB) -15 -20 1/ -20 -40 -45 -60 -80 -1 0 1 10 10 10 Frequency (rad/sec) Figure 26 : Diagrammes de Bode d'un système du premier ordre ( K    1) bode(tf(1,[1 1])). asymptote horizontale lim G dB ()  20 log K  20 log   20 log        10 10 10 droite de pente -20 dB par décade ou de -6 dB par octave 1 1 Pulsation et fréquence de coupure :  c  fc   2    1:   0 ,   1 (   c ) :    /4 ,    1:    /2 - I.27 -  Figure 27 : Diagramme de Black d'un système du premier ordre ( K    1) nichols(tf(1,[1 1])). Figure 28 : Diagramme de Nyquist d'un système du premier ordre. Caractéristiques temporelles Réponse impulsionnelle K K/ La réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre F(s)  est son original : 1 s  s  1/ K t /  y(t)  e  Pour u(t)  0 et y(0)  y 0 (régime libre), il y a amortissement exponentiel de la condition initiale quand. - I.28 -  Figure 29 : Réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre ( K    1) impulse(tf(1,[1 1])). Réponse indicielle K La réponse indicielle d'un système du premier ordre F(s)  est l'original de 1 s  1 K K (1/ ) Y(s)  F(s)   : s s (1 s ) s (s  1/ )  y(t)  K 1 et /   1 0.95 0.9 0.87 0.8 0.7 0.63 Amplitude 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0  2 3 4 5 Time Figure 30 : Réponse indicielle d'un système du premier ordre ( K  1) step(tf(1,[1 1])). La tangente à l'origine n'est pas nulle. Il n'y a pas de dépassement et on peut noter les caractéristiques temporelles suivantes : - I.29 -  Temps de montée de 0 à 63% : Temps de montée de 0 à 90% : t R 10%  2.2  (ou temps de réponse à 10%, car pas de dépassement) Temps de montée de 0 à 95% : t R 5%  3  (ou temps de réponse à 5%, car pas de dépassement) On peut noter de plus le lien entre la fréquence de coupure et le temps de montée : 1 fc  2  De façon générale, la bande passante et le temps de montée varient en sens inverse. Augmenter la rapidité (diminuer le temps de montée) (propriété temporelle) revient à augmenter la bande passante (propriété fréquentielle). Réponse à une rampe K La réponse à une rampe a t d'un système du premier ordre F(s)  est l'original de 1 s  a Ka K a (1/ ) Y(s)  F(s) 2  2  2 : s s (1 s ) s (s  1/ )  y(t)  K a t     et /   4 3.5  3 2.5 Amplitude 2 1.5 1 0.5 0 0  1 2 3 4 5 Time (sec.) Ka Figure 31 : Réponse à une rampe d'un système du premier ordre ou réponse indicielle de F(s)  s (1 s ) step(tf(1,[1 1 0]),0:.05:5) ( K  a    1). L'erreur en régime permanent, c'est-à-dire après amortissement du régime transitoire, appelée erreur de traînage, est égale à K a  , pour une entrée en rampe a t :   Ka t  Ka (t  ).  - I.30 - 1.9.5 Système du deuxième ordre b0 La fonction de transfert d'un système du deuxième ordre est : F(s)  ou a 2 s2  a1 s  a 0 K  20 F(s)  2 , qui correspond à l'équation différentielle : s  2   0 s   20 d 2 y(t) dy(t ) 2  2  0   20 y(t)  K  20 u(t) dt dt où K  F(0) est le gain statique,  0 est la pulsation naturelle ou pulsation propre non amortie (  n : undamped natural frequency),  est le coefficient d’amortissement (  ou Z : damping ratio, damping factor). Caractéristiques fréquentielles  20 1 Pour un gain K unitaire, F(j)    2  2 j   0    20 1  / 0  2  2 j   / 0    1 2   / 0   a()  F(j)  , ()  Arctg 1  / 2    0   1  / 0   2 2  4  2  / 0  2 La pulsation propre non amortie  0 joue un rôle essentiel. Elle fixe l'ordre de grandeur de la pulsation des signaux auxquels le système sera sensible. Pour    0, 1 ()  Arctg   /2, , la sortie est en retard de 90° sur l'entrée et a() . Ce gain est 2 dénommé facteur de qualité en électronique et désigné par Q.   2 La pulsation de coupure (à 3 dB) est donnée par :  c   0 1 2  2  1 1 2  2. Dans les différentes courbes, le point remarquable est le phénomène de résonance : pour   1/ 2  0.707 , a() passe par un maximum à la pulsation de résonance  r (resonant frequency) :  r   0 1 2  2 A cette pulsation, on peut calculer le facteur de résonance (rapport entre le gain maximal et le gain statique), d'autant plus grand que  est petit : a a( r ) 1 m  max   a(0) a(0) 2  1 2  2 La résonance disparaît pour   1/ 2  0.707. - I.31 - Diagramme de Bode  2 G dB ()  20 loga()  10 log1  / 0  10 10  2 2    4  2  / 0    asymptote horizontale  2  2       G dB ()   10 log   / 0   40 log  / 0 40 log 0 40 log          10   10 10 10 droite de pente -40 dB par décade ou de -12 dB par octave , qui coupe l’asymptote horizontale pour   0. On a pour la phase :  / 0 1:   0 ,  / 0  1 (   0 ) :    /2 ,  / 0 1:    10 Amplitude (dB) 0 -10 -20 -30 -40 0 -50 Phase (deg) -100 -150 -1 0 1 10 10 10 Pulsation (rad/sec) Figure 32 : Diagramme de Bode de système du second ordre pour  .1 ,.3,.5,.7, 1, 1.5 et les pulsations réduites  / 0. close;hold on; for xi=[.1.3.5.7 1 1.5];bode(tf(1,[1 2*xi 1]),{.1,10} );end - I.32 -  1 0.5 Axe imaginaire 0  0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Axe réel Figure 33 : Diagramme de Nyquist de systèmes du second ordre pour  . 38,.7, 1.5. axis equal;hold on;for xi=[.38.7 1.5];nyquist(tf(1,[1 2*xi 1]));end;grid 10 0 0 Gain (dB) -10 -20 -30 -40  -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 Phase (deg) Figure 34 : Diagramme de Black de système du second ordre pour  .1 ,.3,.5,.7, 1, 1.5. close;hold on; for xi=[.1.3.5.7 1 1.5];nichols(tf(1,[1 2*xi 1]));end;grid - I.33 - Réponses indicielles Les pôles de F(s) sont les racines de l'équation caractéristique : s2  2   0 s   20  0. On a : s2  2   0 s   20  (s  s1 )(s  s2 )  s2  (s1  s2 ) s  s1 s2 La réponse indicielle est donnée, pour K=1, par :  20 s1s2 1 1  s2 s  Y(s)       1   s s2  2   0 s   20  s (s  s1 )(s  s2 ) s s1  s2 s  s1 s  s2  et, pour t  0 : y(t)  1 1 s1  s2  s 2 es1t  s1 es 2 t    1 : pôles réels, réponse indicielle apériodique (overdamped   1) s1,2    0   0  2 1 La réponse indicielle est donnée, pour K=1, par : y(t)  1 1 s1  s2  s 2 es1t  s1 es 2 t  En fait, ce système n'est pas vraiment caractéristique du deuxième ordre, puisqu'il peut résulter de 0 0 la mise en cascade de deux systèmes du premier ordre et. Au bout d'un certain temps, s  s1 s  s2 l'exponentielle la "plus lente" l'emporte sur l'autre.  20 1 1 0 Pour   1, il y a un pôle réel double s1,2   0, Y(s)     et la 2 s s  2 s s   0  0 s   0  réponse indicielle est apériodique critique : y(t)  1 (1  0t) e 0 t.  1 : pôles complexes conjugués, réponse indicielle pseudo-périodique, oscillatoire (underdamped, oscillatory 0    1) s1,2    0  j  0 1  2 s1,2    j   r cos()  j sin()  r e j      0,    0 1  2 , r   2  2   0 (le module est indépendant de )       Arctg 1  2 / Arccos  Arcsin 1  2      Par ailleurs : s1  s2  2 j   2 j  0 1  2 - I.34 -  y(t)  1 1 s1  s2   s2 es1t  s1 es 2 t  1 1 2 j  0 1  2   0 e j e j t   0 e j e j t     j t   j t   1 e e 1 y(t)  1 e t   1 e t sin t   2  2j  2 1    1  sin t    sin   t    sin t  (  ) ; cos(  )  cos    cos La réponse indicielle est donc donnée, pour K=1, par: 1 y(t)  1 e  0 t sin( p t  ) 1  2 2 où   Arccos() et  p   0 1  est la pseudo-pulsation ou pulsation propre amortie. On en   déduit la pseudo-période : Tp  2   / p  2   / 0 1  . Le premier terme de la réponse 2   indicielle représente le régime permanent et le second le régime transitoire de période Tp.  20 Pour   0, les pôles sont imaginaires purs : s1,2   j  0, Y(s)  et la réponse juste  s s2   20  oscillatoire (undamped): y(t)  1 sin( 0t   /2)  1 cos( 0t). Système stable Système instable Figure 35 : Lieu des pôles d'un système du second ordre. zetas=[-1.05 -1 -.5 0.5.8 1 1.05]; wns=[.5 1 2]; close; axis([-3 3 -3 3]); sgrid(zetas,wns);hold on;wn=2 for zeta=zetas;pzmap(tf(wn^2,[1 2*zeta*wn wn^2]));end - I.35 -  wn=1; xi=.8;roots([1 2*xi*wn wn^2]) » wn=2;xi=.5;damp(tf(wn^2,[1 2*xi*wn wn^2])) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -1.00e+000 + 1.73e+000i 5.00e-001 2.00e+000 -1.00e+000 - 1.73e+000i 5.00e-001 2.00e+000 » wn=2;xi=1;damp(tf(wn^2,[1 2*xi*wn wn^2])) Eigenvalue Damping Freq. (rad/s) -2.00e+000 1.00e+000 2.00e+000 -2.00e+000 1.00e+000 2.00e+000 2.5  pseudo-périodique, instable 2  pseudo-périodique 1.5 juste oscillant  pseudo-périodique, amorti 1  apériodique critique 0.5  apériodique 0 0 2 4 6 8 10 Figure 36 : Réponses indicielles normalisées d'un système du second ordre (K=1, temps réduit  0 t). close;hold on; for xi=[-.05 0.3 1 1.5];step(tf(1,[1 2*xi 1]),0:.05:10);end;grid Il faut noter que la tangente à l'origine est toujours nulle. On peut noter par ailleurs les temps et grandeurs caractéristiques des réponses indicielles de systèmes du second ordre. D1 Tp D2 VF+n% VF VF-n% 0.9 VF 0 tM tPIC tR t Figure 37 : Valeurs caractéristiques d'une réponse indicielle d'un système du second ordre. - I.36 -  Temps de montée :  Temps de pic : t PIC   0 1  2 1 Temps de réponse : t R n%  Ln(100 /n),   0.7 (approximation, voir abaque) 0    1 2 Dépassement maximal : DM  e 2 D1 2 Rapport entre deux maxima successifs :  e 1 D2 Il existe par ailleurs de nombreuses abaques liant temps caractéristiques et dépassements à  et  0. Noter sur la figure 38 le minimum pour   0,7 et les discontinuités pour   0,7 , conséquences de la définition du temps de réponse et du comportement pseudo-périodique. Figure 38 : Abaque donnant t R 5%  0 en fonction de l'amortissement . Figure 39 : Dépassement maximal DM en fonction de l'amortissement . xi=0:.01:.99;plot(xi,exp(-pi*xi./(sqrt(1-xi.^2))));set(gca,'YTick',[0:.1:1]);grid - I.37 -  1.4 y/K 1.2   1  0.8   0.6   0.4  0.2 0 0 5 10 15 0 t 20 Figure 40 : Réponses indicielles normalisées d'un système du second ordre. hold on;for xi=[.3.5:.1:1 1.5];step(tf(1,[1 2*xi 1]));end;grid Dans la conception des contrôleurs, on veut souvent spécifier le comportement du système corrigé à partir d'un modèle du second ordre de réponse indicielle pseudo-périodique amortie. On cherche alors  0 et  pour des temps caractéristiques et des dépassements donnés. On peut calculer  à partir de DM :  ln(DM) 2 ln(DM) 2   2 ou par la courbe de la figure 39, puis, avec ,  0 à partir de t PIC ou de t R :  1 0  0  Ln(100 /n),   0.7 t PIC 1  2 t R n%  ou par l’abaque de la figure 39. La figure 40 permet soit de déterminer la réponse d'un système du second ordre donné, soit de déterminer à  et  0 pour obtenir un système ayant un temps de montée ou d'établissement et un dépassement donnés. La figure suivante résume le comportement d’un système du second ordre en fonction de . Elle montre l’intérêt de choisir comme modèle de système bouclé : 0.7    1. Système asymptotiquement stable Système pseudo-périodique Système apériodique (pôles complexes, réponse oscillatoire) (pôles réels, réponse apériodique) Système instable 0 0.7 1  Système résonant Système sans résonance Figure 41 : Caractéristiques d'un système du second ordre en fonction de . - I.38 - 1.9.6 Retard pur Beaucoup de systèmes, en particulier industriels, ont une réponse indicielle de la forme représentée à la figure 42. 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Temps (sec.) 6 Figure 42 : Réponse indicielle de F(s)  e s , avec   1. (s  3)(s  2)(s  1) sys=zpk([],[-1 -2 -3],6);sys.td=1;step(sys,0:.05:8);grid Le temps  pendant lequel la sortie ne réagit pas à la commande est appelé retard pur ((pure) (time) delay, (pure) dead time). Un tel retard peut provenir du processus lui-même, mais est très souvent introduit par la mesure de la sortie (temps de mesure ou placement adéquat du capteur impossible). La commande de systèmes à retard est compliquée par la présence du retard pur, s'il ne peut être négligé. La fonction de transfert d'un retard pur s'écrit : F(s)  es  Sa réponse fréquentielle est donnée par F(j)  e j   , de gain unitaire : a()  F(j)  1, G dB ()  20 log F(j)   0, et de phase proportionnelle à la pulsation et au retard : 10 ()  argF(j)   . Le déphasage vaut  /2, pour    /(2 ),  , pour    / . Il est utile et parfois indispensable, en simulation et en commande, de disposer d'une bonne approximation du retard par une fraction rationnelle. On peut développer le retard en série : s  es  1 s  s2  2 /2  s3  3/6   et approximer e par 1/ 1 s  1 s  s2  2  s3  3  . Les  1 s /2 approximations de Padé sont meilleures : e s    1 s  s2  2 / 2  s3  3/ 4   (ordre 1, 1 s /2  1 s /2  s2  2 /12 convenable pour   2 / ), e s   (ordre 2), etc… 1 s /2  s 2  2 /12 - I.39 -  1 0.8 0.6 Amplitude 0.4 0.2 0 -0.2 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 Temps (sec.) e3 s Figure 43 : Réponse indicielle de F(s)  , réelle s 1 et avec les approximations de Padé à l'ordre 1, 2, 3, 4, 10. sys=tf(1,[1 1]);sys.td=3; step(sys,pade(sys,1),pade(sys,2),pade(sys,3),pade(sys,4),pade(sys,10));grid for i=[1:4 10];[num,den]=pade(1,i);sys=tf(num,den),end Transfer function: -s + 2 ------ s + 2 Transfer function: s^2 - 6 s + 12 -------------- s^2 + 6 s + 12 Transfer function: -s^3 + 12 s^2 - 60 s + 120 -------------------------- s^3 + 12 s^2 + 60 s + 120 Transfer function: s^4 - 20 s^3 + 180 s^2 - 840 s + 1680 ------------------------------------- s^4 + 20 s^3 + 180 s^2 + 840 s + 1680 - I.40 - 1.10 LINEARISATION Très souvent, les équations différentielles décrivant le comportement de systèmes sont non linéaires. On montre alors comment déduire des modèles linéaires, locaux, valables autour d’un point, à partir de ces modèles non linéaires généraux, par linéarisation. Pour une variable X(t) impliquée dans l’équation différentielle non linéaire, on considère de peti