3ème M (Nombres complexes ).pdf

Douma Ali 3ème Maths 03/02/2024 Nombres complexes Exercice N 1 soit z un nombre complexe tel que:zi. On pose z = x + iy avec (x; y) ∈ R. Soit le nombre complexe: z+2 Z= z−i...

Douma Ali 3ème Maths 03/02/2024 Nombres complexes Exercice N 1 soit z un nombre complexe tel que:zi. On pose z = x + iy avec (x; y) ∈ R. Soit le nombre complexe: z+2 Z= z−i x2 + y 2 + 2x − y x − 2y + 2 1 Montrer que: Re(Z) = 2 2 et Im(Z) = 2 x + (y − 1) x + (y − 1)2 2 Déterminer l’ensemble des points M (z) du plan tels que Z est réel 3 Déterminer l’ ensemble des points M (z) du plan tels que Z est imaginaire pur. 4 Déterminer l’ ensemble des points M (z) du plan tels que |Z| = 1. Exercice N 2 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 8z + 25 = 0. 2 On considère dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v. On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 4 + 3i; b = 4 − 3i et c = 10 + 3i. −−→ Soit t la translation de vecteur BC. a Montrer que l’affixe du point D l’image du point A par la translation t est d = 10 + 9i. b−a 1 1 b Vérifier que: = − (1 + i) et Écrire − (1 + i) sous forme trigonométrique. d−a 2 2   −−→ \ −→ 5π c Montrer que: AD, AB ≡ [2π] 4 Exercice N 3 Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct → − → − √ √ (O, u , v ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 2i , b = 3 + i et c = 3 + 3i. 1 Écrire les deux nombres complexes b et c sous forme trigonométrique. b−a 2 Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe. c−a En déduire la nature du triangle ABC. 3 Vérifier que: b = c − a puis en déduire la nature du quadrilatère OBCA. 4 Montrer que c2007 est un réel négatif. Exercice N 4 Le plan complexe est rapport à un → − → − √ repère orthonormé direct (O, u , v ) On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = − 2, b = 1 + i et c = 1 − i. b−a 1 a Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe: c−a 1  −→ −→ b En déduire une mesure de l’angle AC, AB −→ −→ π 2 Vérifier que (OA) est la médiatrice du segment [BC] Et en déduire que: AO, AB ≡ [2π] 8 a−b 3 a Écrire sous forme algébrique puis trigonométrique le nombre complexe:. a π  π  b En déduire les valeurs de cos et sin. 8 8 Exercice N 5 √ √ 3+1 3−1 On considère les nombres complexes suivants: a = 1 − i , b = +i et √ √ 2 2 3−1 3+1 c= +i 2 2 √ c 1 3 c 1 a Montrer que: = − + i. Puis Déterminer un argument du nombre. a 2 2 a b Déterminer un argument du nombre a puis déduire un argument du nombre c. c Vérifier que: c = b − a 2 Dans Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v). On considère les points A(a), B(b) et C(c). a Montrer que le triangle ABC est isocèle en B. −−→ −→ b Déterminer une mesure de l’angle orienté BC, BA. c Déterminer l’ensemble des points M (z) tels que: |z − c| = |z − a|. Exercice N 6 On considère √ dans √ le plan complexe √ les points √ A et B d’affixes respectives: a = 3 + 1 + i( 3 − 1) et b = 3 − 1 + i( 3 + 1) √ 1 Montrer que: a2 = 4( 3 + i) et que: b = iā. √ 2 Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe 4( 3 + i) 3 Déduire la forme trigonométrique des nombres complexes a et b.   b 4 Calculer arg puis déduire la nature du triangle OAB. a Exercice N 7 Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé √ direct √ (O, → − u ,→ − v ). → − √ 2 − √ 2 + i(2 − 6). Soit la translation t de vecteur u d’affixe Et on considère le point A d’affixe a = 2 + i 6. 1 Donner l’écriture complexe de la translation t. 2 Déterminer b l’affixe du point B image du point A par la translation t. 2  a 3 on pose c =.Écrire les nombres a; b et c sous la forme trigonométrique b 4 Écrire sous la forme algébrique le nombre c. π π 5 En déduire les valeurs de: cos et sin 12 12 6 Écrire sous la forme algébrique le nombre c2007 Exercice N 8 Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v ). On considère les points A, B, S etΩ d’affixes respectives: a = −2 + 4i, b = −4 + 2i, s = −5 + 5i et ω = −2 + 2i soit h l’homothétie de centre S et de rapport 3. On désigne par C l’image de A par l’homothétie h et D l’image de B par l’homothétie h. 1 a Déterminer l’écriture complexe de l’homothétie h. b Montrer que l’affixe du point C est c = 4 + 2i et l’affixe du point D est d = −2 − 4i. c Montrer que les points A, B, C et D sont cocycliques. 2 soit P le milieu du segment [AC]. a Déterminer p l’affixe du point P.   ω−p 1 −−\ → −→ π b Montrer que: = i. En déduire que: DB = 2P Ω et que: DB, P Ω ≡ [2π] d−p 2 2 Exercice N 9 1 2 √ 1 Résoudre dans C l’équation: z − 3z + 4 = 0. 4 2 Dans Le plan complexe rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v). On considère √ les points √ A, B et C d’affixes respectives: a = 2 3 + 2i, b = 2 3 − 2i et c = −8i. a Écrire sous la forme trigonométrique le nombre a et en déduire que a2022 est un réel négatif. √ a 1 3 b Montrer que: = + i. Et en déduire que le triangle OAB est équilatéral. b 2 2 3 Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation R de 2π centre O et d’angle. 3 √ ! 1 3 a Montrer que: z 0 = − + i z 2 2 √ b Vérifier que d = 4 3 + 4i est l’affixe du point D l’image du point C par la rotation R. d c Calculer et en déduire que les points O, A et D sont alignés. a 3  Exercice N 10 √ √ √ On considère les nombres complexes a et b tels que: a = 3 + i et b = 3 − 1 + ( 3 + 1)i. 1 a Vérifier que: b = (1 + i)a. √   5π b En déduire que: |b| = 2 2 et arg(b) ≡ [2π] 12   √ √ 5π 6− 2 c Déduire de ce qui précède que: cos =. 12 4 2 Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ −v ). On considère √ les points A et B d’affixes respectives a et b et le point C d’affixe c telle que c = −1 + i 3.   −→ \ −→ π a Vérifier que c = ia et en déduire que: OA = OC et OA, OC ≡ [2π]. 2 −→ b Montrer que le point B est l’image du point A par la translation t de vecteur OC. c En déduire que le quadrilatère OABC est un carré. Exercice N 11 1 Résoudre dans C l’équation: 2z 2 + 2z + 5 = 0 2 Dans le plan complexe rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v ), 2π on considère la rotation R de centre O et d’angle. 3 √ 1 3 a Écrire sous la forme trigonométrique le nombre complexe d = − + i. 2 2 b On considère le point A d’affixe et le point B image du point A par la rotation R. Soit b l’affixe du point B. Montrer que: b = d.a −→ 3 Soit t la translation de vecteur OA et C l’image de B par la translation t et c l’affixe du point C. √ ! 1 3 a Vérifier que: c = b + a et en déduire que: c = a +i. 2 2 c b Déterminer arg puis en déduire que le triangle OAC est équilatéral. a Exercice N 12 √ 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 2 2z + 4 = 0. 2 Dans le plan complexe rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v ), on considère le point √ π A d’affixe a = 2(1 − i) et la rotation R de centre O et d’angle. 3 a Écrire a sous forme trigonométrique. b Vérifier  que  l’affixe du point  π B l’image du point A par la rotation R est: π b = 2 cos + i sin 12 12 4  √ 3 a On considère le point C d’affixe c = 1 + i ,Montrer que: b2 − c2 = 2 3. −−→ b Soit t la translation de vecteur OD et D l’image de B par la translation t Montrer que: OD = |b + c| √ c En déduire que: OD.BC = 2 3 Exercice N 13 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ −v ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 7 + 2i, b = 4 + 8i et c = −2 + 5i. c−a 1 a Vérifier que: (1 + i)(−3 + 6i) = −9 + 3i , puis montrer que: = 1 + i. b−a √ −→ −→ b En déduire que: AC = AB 2 et donner une mesure de l’angle orienté AB, AC. π 2 Soit R la rotation de centre B et d’angle. 2 a Montrer que l’affixe du point D image du point A par la rotation R est d = 10 + 11i. d−c b Calculer et en déduire que les points B, C et D sont alignés. b−c Exercice N 14 1 a Résoudre dans £C l’équation: z 2 − 8z + 32 = 0. b On considère le nombre complexe: a = 4 + 4i. Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique, puis en déduire que a12 est un réel négatif. 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, →− u ,→ −v ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 4 + 4i, b = 2 + 3i et c = 3 + 4i. Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation R de π centre C et d’angle 2 a Montrer que: z 0 =iz + 7 + i. b Vérifier que l’affixe du point D image du point A par la rotation R est d = 3 + 5i. c Montrer que l’ensemble des points M (z) tels que:|z − 3 − 5i| = |z − 4 − 4i| est la droite (BC). Exercice N 15 1 Résoudre dans C , l’équation: z 2 + 10z + 26 = 0. 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → −u ,→− v ). On considère les points A, B, C et Ω d’affixes respectives: a = −2 + 2i, b = −5 + i, c = −5 − i et ω = −3. b−ω a Montrer que: =i. a−ω b En déduire la nature du triangle ΩAB. 5 3 Soit D l’image du point C par la translation t du vecteur → − u d’affixe 6 + 4i. a Montrer que l’affixe d du point D est: d = 1 + 3i. b−d b Montrer que = 2 : puis déduire que le point A est le milieu du segment [BD]. a−d Exercice N 16 √ 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 2z + 2 = 0. √ √ 2 6 2 On considère le nombre complexe: u = +i. 2 2 √ π a Montrer que le module de u est 2 et que : arg(u) ≡ [2π]. 3 b En utilisant l’écriture de u sous forme trigonométrique. Montrer que: u6 est un nombre réel. 3 Le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − →− √ u , v ). On considère les points A et B d’affixes respectives a = 4 − 4i 3 et b = 8. Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation R de π centre O et d’angle. 3 a Exprimer z 0 en fonction de z. b Vérifier que B est l’image de A par la rotation R et en déduire que le triangle OAB est équilatéral. Exercice N 17 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 8z + 41 = 0. 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v ). On considère les points A, B, C et Ω d’affixes respectives: a = 4 + 5i, b = 3 + 4i, c = 6 + 7i et ω = 4 + 7i. c−b a Calculer puis en déduire que les points A, B et C sont alignés. a−b b Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation π R de centre Ω et d’angle −. Montrer que: z 0 = −iz − 3 + 11i 2 c Déterminer l’image du point C par la rotation R ,puis donner une forme trigonométrique a−ω du nombre complexe c−ω Exercice N 18 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 4z + 29 = 0. 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, →−u ,→ − v ). On considère les points Ω, A et B d’affixes respectives: ω = 2 + 5i, a = 5 + 2i et b = 5 + 8i. a Soit u le nombre complexe tel que u = b − ω. π Vérifier que u = 3 + 3i puis montrer que arg(u) ≡ [2π]. 4 6  b Déterminer un argument du nombre complexe ū.   b−ω π c Vérifier que: a − ω = ū puis en déduire que:ΩA = ΩB et arg ≡. a−ω 2 π d On considère la rotation R de centre Ω et d’angle. 2 Déterminer l’image du point A par la rotation R. Exercice N 19 √ √  2 1 On considère dans l’ensemble des nombres complexes C l’ équation: (E) : z −2 2 + 6 z+ 16 = 0. √ √ 2 a Vérifier que: ∆ = −4 6− 2. b En déduire les solutions de l’équation (E). √ √ √ √ √ √ √ 2 On considère les nombres complexes: a = ( 6+ 2)+i( 6− 2) , b = 1+i 3 et c = 2+i 2. a Vérifier que: bc̄ = a puis déduire que: ac = 4b. b Écrire les deux nombres complexes a et b sous forme trigonométrique.  π  π  c En déduire que:a = 4 cos + isin 12 12 3 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ − v ). On considère les points B; C et D d’affixes respectives b; c et d tel que d = a4. Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation R de π centre O et d’angle. 12 1 a Vérifier que: z 0 = az. 4 b Déterminer l’image du point C par la rotation R. c Déterminer la nature du triangle OBC. d Montrer que a4 = 128b et en déduire que les points O; B et D sont alignés. Exercice N 20 √ 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 2z + 1 = 0. √ √ 2 2 2 On pose : a = +i. 2 2 a Écrire a sous forme trigonométrique puis en déduire que a2020 est un nombre réel. π  π  b Soit le nombre complexe : b = cos + i sin. Montrer que: b2 = a. 8 8 3 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ −v). On considère les points A, B et C d’affixes respectives a; b et c tel que c = 1. π Soit R la rotation de centre O et d’angle et qui est transformer le point M d’affixe z au 8 point M 0 d’affixe z 0. 7  a Vérifier que: z 0 = bz. b Déterminer l’image du point C par la rotation R , et Montrer que le point A est l’image du point B par la rotation R. 4 a Montrer que: |a − b| = |b − c| puis en déduire la nature du triangle ABC. −→ −−→ b Déterminer une mesure de l’angle BA, BC. 5 On considère la translation t de vecteur → − u , et soit le point D l’image du point A par la translation t. a Vérifier que l’affixe du point D est b2 + 1. b2 + 1 b Montrer que : = b + b̄ puis en déduire que les points O; B et D sont alignés. b Exercice N 21 1 a Résoudre dans C l’équation: z 2 − 3z + 3 = 0. √ 3 3 b On pose a = + i. Écrire a sous forme trigonométrique. 2 2 √ 2 2 On considère le nombre complexe b = (1 + i).Vérifier que b2 = i. 2 π π 3 On pose : h = cos + i sin.Montrer que h4 + 1 = a. 12 12 4 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → −u ,→ − v). π On considère le point B d’affixe b et R la rotation de centre O et d’angle. 2 a Soit c l’affixe du point C image du point B par la rotation R. Montrer que: c = ib. b En déduire la nature du triangle OBC. Exercice N 22 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 8z + 25 = 0. 2 On considère dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → −u ,→ − v). On considère les points A; B; C et D d’affixes respectives: a = 3 + 4i; b = 3 − 4i; c = 2 + 3i et d = 5 + 6i d−c a Calculer et en déduire que les pointsA, C et D Sont alignés. a−c b Montrer que le nombre complexe p = 3 + 8i est l’affixe du point P l’image du point A 3 par l’homothétie de centre B et de rapport. 2 d−p 3 Écrire le nombre sous forme trigonométrique. a−p π −→ −−→ √ En déduire que est la mesure de l’angle P A, P D et P A = 2P D. 4 8  Exercice N 23 √ 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 2z + 1 = 0. √ √ 2 2 2 On pose a = +i. 2 2 Écrire a sous forme trigonométrique puis en déduire que a8 est un nombre réel. 3 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → −u ,→ − v√). On considère les points A, B et C d’affixes respectives a; b et c tels que: b = 2 + 1 + i et c = b Soit z l’affixe du point M du plan et z 0 l’affixe du point M 0 image de M par la rotation R de π centre O et d’angle. 4 a Montrer que: z 0 = az. b Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R et en déduire la nature du triangle OBC. 1 c En déduire que arg b ≡ arg a[2π] puis déterminer un argument du nombre complexe b. 2 π  π  √ 4 On pose : h = cos + i sin. Montrer que: h4 + a8 + 2 = b 8 8 Exercice N 24 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct √ (O, → −u ,→ − v). √ On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 3 + i, b = 1 + i et c = 1 − i 3. 1 Déterminer la forme trigonométrique de a; b et c. 2 Montrer que: a24 + b24 est un nombre réel. c 3 Donner la forme trigonométrique de et en déduire la nature du triangle OAC. a −→ 4 Soit t la translation de vecteur CO et D l’image de A par la translation T avec d l’affixe de D √ √ a Montrer que: d = 3 − 1 + i( 3 + 1). b Vérifier que: d = ab.     7π 7π c En déduire cos et sin 12 12 5 Déterminer l’ensemble des points M (z) tels que:|z − 1 − i| = 6 Exercice N 25 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, → − u ,→ −v ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives: a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11 − i. c−b 1 a Montrer que: = −i. a−b b En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B 2 Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe 4(1-i). 3 Montrer que: (c-a)(c-b)=4(1-i) et en déduire que: ACBC=42. 9  Exercice N 26 √ √ 1 On considère les nombres complexes suivants: a = − 2(1 + i) et b = − 3 + i. a Déterminer la forme trigonométrique des nombres a et b. b Montrer que: a1 2 + b1 2 = 0. c Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe Z = ab2. √ !2016 √ !37 √ 1 3 i+ 3 i+ 3 2 Montrer les égalités suivantes: +i = 1 et =. 2 2 2 2 √ √ q q 3 On considère le nombre complexe: z = 2 − 3 − i 2 + 3. a Calculer z 2 puis déterminer |z 2 | et arg(z 2 ). b En déduire une écriture trigonométrique du nombre complexe z.     5π 5π c Déduire de ce qui précède, les valeurs de cos et sin π π 12 12 puis celle de cos et sin. 12 12 d Vérifier que: z 2016 ∈ R+ Exercice N 27 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 12z + 61 = 0. 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, →−u ,→ − v ). On considère les points A, Bet C d’affixes respectives: a = 6 − 5i, b = 4 − 2i et c = 2 + i. a−c a Calculer et en déduire que les points A, B et C Sont alignés. b−c b On considère la translation t de vecteur → − u 1 + 5i. Vérifier que l’affixe du point D image du point C par La translation t est d = 3 + 6i. d−c 3π c Montrer que: = −1 + i et que est un argument du nombre complexe −1 + i. b−c 4 −−→ −−→ d En déduire la mesure de l’angle CB, CD. Exercice N 28 1 Résoudre dans C l’équation: z 2 − 6z + 18 = 0 2 Dans le plan complexe est rapport à un repère orthonormé direct (O, →−u ,→ − v ). On considère les points A et B d’affixes respectives: a = 3 + 3i et b = 3 − 3i. a Écrire les nombres complexes a et b sous forme trigonométrique. −→ b Montrer que b0 l’affixe du point B 0 l’image du point B par la translation de vecteur OA est 6. b − b0 c Montrer que: 0 = i et en déduire le triangle AB 0 B est isocèle et rectangle en B 0. a−b d En déduire que le quadrilatère OAB 0 B est un carré. 10