Geometria e Algebra Lineare - Vettori, rette e piani PDF

Geometria e Algebra Lineare Vettori, rette e piani. Maurizio Citterio Ugo Buslacchi Achille Frigeri Politecnico di Milano 2024/2025, I semestre...

Geometria e Algebra Lineare Vettori, rette e piani. Maurizio Citterio Ugo Buslacchi Achille Frigeri Politecnico di Milano 2024/2025, I semestre AVVERTENZA: quanto segue è soltanto l’elenco di definizioni, proposizioni, osservazioni, esempi ed esercizi che sono stati discussi in aula. Questo non sostituisce in alcun modo la lezione, le esercitazioni, gli appunti, le dispense, il testo. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 1 /50 Richiami. Relazione Definizione Una relazione (binaria) dall’insieme A all’insieme B è un (qualsiasi) sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Una relazione sull’insieme A è un (qualsiasi) sottoinsieme del prodotto cartesiano A2 = A × A. Per indicare che la coppia ordinata (a, b) è un elemento della relazione R da A a B , cioè (a, b) ∈ R ⊆ A × B , useremo la notazione aRb e diremo che “ a è in relazione R con b ”. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 2 /50 Richiami. Esempi di relazioni ▷ I sottoinsiemi impropri di X × Y definiscono la relazione vuota ∅ e la relazione totale X × Y. ▷ Su un insieme X , la relazione identica IX è definita dall’uguaglianza di elementi: xRy se e solo se x = y. ▷ Data una funzione f : A → B , il grafico di f Gf = {(a, f (a)) : a ∈ A} è una relazione da A a B. In particolare, la relazione identica IX è il grafico della funzione identità IdX : X → X. ▷ Sia f : X → Y una funzione; la relazione N (f ) = {(x1 , x2 ) ∈ X × X| f (x1 ) = f (x2 )} ⊆ X × X è detta nucleo di equivalenza di f. Osserviamo che la condizione di iniettività di f equivale a N (f ) = IX. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 3 /50 Richiami. Esempi di relazioni ▷ La relazione D ⊆ N × N definita da D = {(n, m) ∈ N × N| esiste k ∈ N : kn = m} ⊆ N × N è detta relazione di divisibilità. Se (n, m) ∈ D , diremo che n divide m e scriveremo n|m. ▷ Sull’insieme PX la relazione ⊆X = {(U, V ) ∈ PX × PX| U ⊆ V } ⊆ PX × PX. ▷ Un’altra nota relazione è la relazione d’ordine su N ; ≤ = {(i, j) ∈ N × N| i ≤ j} ⊆ N × N. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 4 /50 Richiami. Relazioni d’ordine Una relazione R su un insieme X si dice relazione d’ordine quando verifica le seguenti proprietà: 1. (riflessività): per ogni x ∈ X : xRx ; 2. (antisimmetria): per ogni x, y ∈ X , se xRy e yRx , allora x = y ; 3. (transitività): per ogni x, y, z ∈ X , se xRy e yRz , allora xRz. Solitamente si indica una relazione d’ordine con il simbolo ≤. La relazione < definita da “ x < y se e solo se x ≤ y e x ̸= y ” si dice relazione d’ordine in senso stretto e verifica le proprietà: 1. (antisimmetria forte): per ogni x, y ∈ X , se x è in relazione con y , allora y non è in relazione con x ; 2. (transitività): per ogni x, y, z ∈ X , se xRy e yRz , allora xRz. Esercizio Quali delle relazioni precedentemente elencate sono relazioni d’ordine? Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 5 /50 Richiami. Relazioni di equivalenza Una importante nozione è quella di relazione di equivalenza su un insieme X. In molte circostanze si è condotti naturalmente a definire su un insieme X una relazione, che indichiamo con ∼ , che ha le stesse proprietà formali della relazione di uguaglianza: 1. (riflessività): per ogni x ∈ X : x ∼ x. 2. (simmetria): per ogni x, y ∈ X , se x ∼ y , allora y ∼ x. 3. (transitività): per ogni x, y, z ∈ X , se x ∼ y e y ∼ z , allora x ∼ z. Un esempio immediato è il nucleo di equivalenza N (f ) = {(x1 , x2 ) ∈ X × X| f (x1 ) = f (x2 )} ⊆ X × X di una funzione f : X → Y. Possiamo dire che il dato della funzione f ci conduce a considerare una diversa nozione di uguaglianza sugli elementi di X : due elementi x1 e x2 vengono considerati uguali, non più quando sono lo stesso elemento di X , ma quando diventano lo stesso elemento di Y dopo l’applicazione della funzione f. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 6 /50 Richiami. Classi di equivalenza Data una relazione di equivalenza ∼ su un insieme (non vuoto) X , si definisce la classe di equivalenza di un elemento x ∈ X come l’insieme [x] = {y ∈ X|y ∼ x}. Osserviamo che ogni elemento di X sta in una ed una sola classe di equivalenza e ricordiamo che una partizione {Ui }i∈I di un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti Ui di X tale che ogni elemento di X sta in uno ed un solo sottoinsieme della famiglia. Teorema Ogni relazione d’equivalenza su un insieme X individua una partizione dell’insieme X e, vicersa, ogni partizione di X individua una relazione d’equivalenza su X L’insieme delle classi di equivalenza è detto insieme quoziente e viene indicato con X/ ∼. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 7 /50 Richiami. Esempi di relazioni d’equivalenza Parallelismo Sull’insieme delle rette del piano (o dello spazio), la relazione di parallelismo è di equivalenza; una classe di equivalenza è una direzione. Congruenza Sull’insieme dei segmenti del piano (o dello spazio), introduciamo la relazione di congruenza: due segmenti sono congruenti quando esiste un movimento rigido che porta gli estremi di uno a coincidere con gli estremi dell’altro. La relazione di congruenza è di equivalenza; una classe di equivalenza è una lunghezza. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 8 /50 Vettori geometrici Sull’insieme dei segmenti orientati (del piano o dello spazio), introduciamo la relazione di equipollenza: il segmento orientato AB è equipollente al segmento orien- tato A′ B ′ quando esiste un movimento rigido e parallelo che faccia coincidere A con A′ e B con B ′. In altro modo, possiamo dire che: il segmento orientato AB è equipollente al segmento orien- tato A′ B ′ quando entrambi hanno lunghezza nulla oppu- re hanno la stessa direzione, lo stesso verso, la stessa lunghezza. La relazione di equipollenza è di equivalenza. Definizione Un vettore geometrico è una classe di equipollenza. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 9 /50 Somma Consideriamo due vettori u e v e rappresentiamo u con il segmento orientato AB e v con il segmento orientato BC −−→ −−→ u = AB , v = BC. La somma di vettori è definita dalla “regola del parallelogramma”: −−→ −−→ −→ u + v = AB + BC = AC. Si prova facilmente (esercizio) che: ▶ la somma di vettori geometrici è associativa; ▶ la somma di vettori geometrici è commutativa; ▶ la somma di vettori geometrici ammette come elemento neutro il vettore nullo 0 , rappresentato dal segmento orientato di lunghezza nulla; ▶ ogni vettore u ha come opposto il vettore −u che ha la stessa direzione di u , la stessa lunghezza di u , ma verso opposto a u. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 10 /50 Prodotto esterno Dato un vettore non nullo u e uno scalare (cioè un numero reale) non nullo t , si definisce il prodotto esterno (o prodotto di un vettore per uno scalare) il vettore tu che ha come lunghezza la lunghezza di u moltiplicata per |t| (modulo di t ), la stessa direzione di u , lo stesso verso di u se t > 0 , verso opposto a quello di u se t < 0. Si pone infine t0 = 0 per ogni scalare t e 0u = 0 per ogni vettore u. Si prova facilmente (esercizio) che, per ogni vettore u e s, t ∈ R , risulta: ▶ 1u = u ; ▶ s(tu) = (st)u. Inoltre, per ogni u, v e s, t ∈ R , valgono le proprietà distributive: ▶ t(u + v) = tu + tv ; ▶ (s + t)u = su + tu. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 11 /50 Spazio vettoriale reale: definizione generale Uno spazio vettoriale reale consiste di: ▶ un insieme V i cui elementi sono detti vettori; ▶ un’operazione interna + : V × V → V , che ad una coppia di vettori v , w associa la somma v + w ; ▶ un’operazione “esterna” · : R × V → V che ad ogni numero reale k e ogni vettore v associa il prodotto kv ; e dei seguenti assiomi: proprietà della somma: proprietà del prodotto: 1. associatività; 5. per ogni v ∈ V risulta 2. commutatività; 1·v =v; 3. esistenza del vettore nullo; 6. per ogni h, k ∈ R , v ∈ V 4. esistenza dell’opposto; risulta h · (k · v) = (hk) · v ; proprietà distributive: 7. per ogni k ∈ R , u, v ∈ V risulta k · (u + v) = k · u + k · v ; 8. per ogni h, k ∈ R , v ∈ V risulta (h + k) · v = h · v + k · v. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 12 /50 Rappresentazione analitica dei vettori geometrici Fissato nello spazio un punto origine O e rappresentando i vettori come segmenti orientati uscenti dall’origine, stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra i vettori geometrici dello spazio e i punti −−→ dello spazio: ad ogni vettore v = OP corrisponde il punto P e, −−→ viceversa, ad ogni punto P corrisponde il vettore v = OP. Fissato un sistema di riferimento, è nota la corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio e le terne ordinate di numeri reali. Abbiamo dunque che l’insieme dei vettori geometrici dello spazio è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle terne ordinate di numeri reali: {vettori geometrici dello spazio} ⇄ R3. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 13 /50 Rappresentazione analitica dei vettori geometrici Note le coordinate (ascissa, ordinata e quota) del punto P P = (xP , yP , zP ) , −−→ identifichiamo il vettore v = OP con questa terna e scriviamo v = (xP , yP , zP ). −−→ Il vettore OP è detto “vettore posizione” del punto P e viene spesso indicato con la stessa lettera P sottolineata P , o in grassetto P , o → − con una freccetta P. Le coordinate del punto P sono dette componenti del vettore −−→ posizione OP. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 14 /50 Espressione analitica di somma e prodotto esterno Considerati i vettori u = (x0 , y0 , z0 ) , v = (x1 , y1 , z1 ) e lo scalare t ∈ R , si ha (esercizio) la seguente espressione della somma e del prodotto esterno di vettori geometrici attraverso le terne ordinate di numeri reali: u + v = (x0 , y0 , z0 ) + (x1 , y1 , z1 ) = (x0 + x1 , y0 + y1 , z0 + z1 ) , tu = t(x0 , y0 , z0 ) = (tx0 , ty0 , tz0 ). Il vettore nullo è 0 = (0, 0, 0) , mentre l’opposto del vettore u = (x0 , y0 , z0 ) è −u = (−x0 , −y0 , −z0 ). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 15 /50 Modulo Attraverso il teorema di Pitagora, siamo in grado di calcolare il modulo |u| , cioè la misura della lunghezza di un vettore geometrico u = (x0 , y0 , z0 ) : q |u| = |(x0 , y0 , z0 )| = x20 + y02 + z02. Esercizio Provare che, per ogni vettore u e per ogni scalare t , risulta: ▶ |u| ≥ 0 ; ▶ |u| = 0 se e solo se u = 0 ; ▶ |tu| = |t||u|. Un vettore con modulo 1 , viene detto versore, o vettore unitario. Ogni vettore u non nullo può essere normalizzato moltiplicando u per il reciproco del modulo |u| , ottenendo il versore 1 u. |u| Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 16 /50 Distanza di due punti. Punto medio Osserviamo che, dati due punti A = (xA , yA , zA ) , B = (xB , yB , zB ) , il vettore rappresentato dal segmento orientato AB è −−→ −−→ −→ AB = OB − OA = B − A = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) , e abbiamo −−→ p |AB| = |B − A| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2. Il punto medio M del segmento AB ha come vettore posizione 1 M= (A + B) 2 quindi le coordinate di M sono xA + xB yA + yB zA + zB xM = , yM = , zM =. 2 2 2 Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 17 /50 Vettori paralleli Due vettori u e v sono paralleli, e scriviamo u ∥ v , quando hanno la stessa direzione. Si conviene che il vettore nullo sia parallelo ad ogni vettore, mentre per vettori non nulli si ha: u∥v se e solo se esiste k ∈ R tale che u = kv ; dunque u è parallelo a v quando le terne di numeri reali u e v sono proporzionali. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 18 /50 Rappresentazione parametrica della retta Rappresentazione vettoriale e scalare Una retta r si può individuare assegnando un punto P , per cui passa, e un vettore v che determina la direzione. I punti X della retta r sono tutti e soli i punti che verificano l’equazione vettoriale X = P + tv , (t ∈ R). Il vettore v prende il nome di vettore direttore e le componenti di v sono dette parametri direttori. Nel caso in cui il vettore direttore v sia unitario, i parametri direttori sono detti coseni direttori della retta. Dall’equazione vettoriale, scrivendo componente per componente, si hanno le equazioni parametriche (scalari) della retta r per P (x0 , y0 , z0 ) con la direzione di v = (α, β, γ) :   x = x0 + αt y = y0 + βt , (t ∈ R). z = z0 + γt  Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 19 /50 Retta per due punti in rappresentazione parametrica La retta passante per due punti assegnati A(xA , yA , zA ) , B(xB , yB , zB ) si può rappresentare con l’equazione vettoriale −−→ X = A + tAB , (t ∈ R). e quindi in forma parametrica (scalare)   x = xA + (xB − xA )t y = yA + (yB − yA )t , (t ∈ R). z = zA + (zB − zA )t  Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 20 /50 Condizione di parallelismo di rette in rappresentazione parametrica Due rette r : X = P + tv , r′ : X = P′ + tv′ sono parallele quando hanno la stessa direzione, cioè quando i vettori direttori v e v′ sono paralleli. Quindi: r e r′ sono parallele se e solo se esiste k ∈ R tale che v = kv′. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 21 /50 Reciproca posizione di rette Nel piano, due rette possono essere parallele (eventualmente coincidenti) oppure incidenti (in un solo punto). Nello spazio, date due rette r e r′ , diciamo che queste sono complanari quando esiste un piano che contenga entrambe; mentre sono dette sghembe quando non sono complanari. Nel caso di rette complanari, distinguiamo ancora tra rette parallele e rette incidenti. Per stabilire la reciproca posizione di due rette nello spazio, basta allora studiare il parallelismo e l’incidenza; se le rette sono non parallele e non incidenti, allora sono sghembe. Avvertenza Nel cercare l’eventale intersezione di due rette, il sistema tra le rappresentazioni parametriche richiede una certa cautela. Se r e s hanno un punto P in comune, non è necessario che il P sia individuato con lo stesso valore del parametro sulle due rette. Occorre allora scrivere la rappresentazione di r con un parametro (per esempio t ), e la rappresentazione di s con un parametro di nome diverso (per esempio k ). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 22 /50 Dipendenza e indipendenza Definizione (Combinazione lineare) Dati i vettori v1 ,..., vk e gli scalari α1 ,..., αk ∈ R , il vettore w = α1 v1 +.... + αk vk si dice combinazione lineare dei vettori v1 ,..., vk. Definizione (Dipendenza, indipendenza) I vettori v1 ,..., vk si dicono linearmente dipendenti quando uno di questi si può scrive come combinazione lineare degli altri. Altrimenti diciamo che i vettori sono linearmente indipendenti. Osservazione ▶ Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali. ▶ Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se sono “complanari”. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 23 /50 Base Definizione Definizione (Base) Si dice che un insieme ordinato di vettori B = (v1 ,..., vn ) di uno spazio vettoriale V è una base di V se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B. Si proverà che, per quanto non sia unica la base, è però costante il numero di elementi di una base; questo numero è la dimensione. Inoltre si proverà che se la dimensione è n , allora n vettori linearmente indipendenti formano una base. Quindi abbiamo una base del piano considerando due vettori non paralleli; mentre una base per lo spazio è una terna di vettori non complanari. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 24 /50 Versori fondamentali Base canonica di R2 I vettori i = (1, 0) , j = (0, 1) formano una base di R2 , detta base canonica di R2. I versori i , j sono detti versori fondamentali del piano. Ogni vettore del piano u = (x, y) si scrive in un unico modo come combinazione lineare dei versori fondamentali: (x, y) = xi + yj. Base canonica di R3 I vettori i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) formano una base di R3 , detta base canonica di R3. I versori i , j , k sono detti versori fondamentali dello spazio. Ogni vettore del spazio u = (x, y, z) si scrive in un unico modo come combinazione lineare dei versori fondamentali: (x, y, z) = xi + yj + zk. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 25 /50 Rappresentazione parametrica del piano Rappresentazione vettoriale e scalare Un piano π si può individuare assegnando un punto P , per cui passa, e una coppia di vettori non paralleli v , u che determinano la giacitura del piano. I punti X del piano π sono tutti e soli i punti che verificano l’equazione vettoriale X = P + tv + su , (t, s ∈ R). Dall’equazione vettoriale, scrivendo componente per componente, si hanno le equazioni parametriche (scalari) del piano π per P (x0 , y0 , z0 ) con la giacitura determinata dai vettori v = (α, β, γ) e u = (α′ , β ′ , γ ′ ) :  x = x0 + αt + α′ s  y = y0 + βt + β ′ s , (t, s ∈ R). z = z0 + γt + γ ′ s  Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 26 /50 Piano per tre punti in rappresentazione parametrica Il piano passante per tre punti non allineati assegnati A(xA , yA , zA ) , B(xB , yB , zB ) , C(xC , yC , zC ) si può rappresentare con l’equazione vettoriale −−→ −→ X = A + tAB + sAC , (t, s ∈ R). e quindi in forma parametrica (scalare)   x = xA + (xB − xA )t + (xC − xA )s y = yA + (yB − yA )t + (yC − yA )s , (t, s ∈ R). z = zA + (zB − zA )t + (zC − zA )s  Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 27 /50 Prodotto scalare standard Nello spazio ordinario definiamo il prodotto scalare (o interno) standard di vettori geometrici u e v non nulli come il numero reale u v = |u||v| cos α , dove |u| e |v| sono i moduli di u e v , mentre α è l’angolo compreso tra u e v (normalmente si considera 0 ≤ α ≤ π ); nel caso uno dei vettori sia nullo, si pone u v = 0. Osserviamo che due vettori u e v sono ortogonali ( u ⊥ v ) quando il loro prodotto scalare è nullo. Inoltre √ u v |u| = u u, cos α =. |u||v| Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 28 /50 Rappresentazione analitica del prodotto scalare Il prodotto scalare standard verifica le seguenti fondamentali proprietà per ogni u , v e w e ogni scalare k : ▶ simmetria: u v = v u ; ▶ omogeneità: (ku) v = k(u v) = u (kv) ; ▶ distributività: u (v + w) = u v + u w ; ▶ positività: u u ≥ 0 e inoltre u u = 0 se e solo se u = 0. Osservato che i i=j j=k k=1, i j=i k=j k=0, dalle proprietà sopra elencate si ricava (lavagna) che: il prodotto scalare di vettori si esprime come somma dei prodotti delle componenti omonime: (a, b, c) (x, y, z) = ax + by + cz. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 29 /50 Prodotto scalare: definizione generale Su uno spazio vettoriale reale V , un prodotto scalare è una funzione :V ×V →R che verifichi i seguenti assiomi: per ogni u, v, w ∈ V e ogni scalare k ∈ R , ▶ simmetria: u v =v u; ▶ omogeneità: (ku) v = k(u v) = u (kv) ; ▶ distributività: u (v + w) = u v + u w ; ▶ positività: u u ≥ 0 e inoltre u u = 0 se e solo se u = 0. Uno spazio vettoriale con prodotto scalare viene detto spazio euclideo In ogni spazio euclideo ha senso parlare di modulo (o norma), ortogonalità, coseno dell’angolo tra due vettori, distanza di due punti,... Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 30 /50 Vettori ortogonali L’ortogonalità di due vettori è espressa dall’annularsi del loro prodotto scalare: u e v sono ortogonali se e solo se u v = 0. Siamo ora in grado di esprimere analiticamente la condizione di ortogonalità: (a, b, c) ⊥ (x, y, z) se e solo se ax + by + cz = 0. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 31 /50 Proiezione ortogonale Nel caso in cui il vettori v sia unitario, il prodotto scalare u v = |u| cos α è la misura con segno della proiezione ortogonale di u su v. In generale la misura con segno della proiezione ortogonale di u su v si ottiene attraverso il prodotto scalare di u con il normalizzato del vettore v : u v. |v| Il vettore che è proiezione ortogonale di u su v è: u v v. |v|2 Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 32 /50 Osservazioni È semplice dimostrare quanto segue: ▶ Teorema di Carnot: |u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2u v. ▶ Teorema di Pitagora: se u ⊥ v , allora |u|2 + |v|2 = |u + v|2. ▶ Diseguaglianza di Schwarz: |u v| ≤ |u||v|. ▶ Diseguaglianza triangolare: |u + v| ≤ |u| + |v|. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 33 /50 Equazione cartesiana del piano Un piano π si può individuare assegnando un punto P , per cui passa, e un vettore (non nullo) v che determina la direzione ortogonale al piano. −−→ I punti X del piano π sono tutti e soli i punti per cui il vettore P X è ortogonale al vettore v , quindi −−→ v PX = 0. Dunque l’equazione del piano π passante per il punto P (x0 , y0 , z0 ) e ortogonale al vettore v = (a, b, c) è a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0. Scrivendo d per −ax0 − by0 − cz0 , abbiamo l’equazione cartesiana del piano (nello spazio): ax + by + cz + d = 0. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 34 /50 Parallelismo e ortogonalità tra rette Due rette r : X = P + tv , r′ : X = P′ + tv′ sono parallele quando hanno la stessa direzione, cioè quando i vettori direttori v e v′ sono paralleli. Quindi: r e r′ sono parallele se e solo se esiste k ∈ R tale che v = kv′. Le due rette r e r′ sono ortogonali quando i vettori direttori v e v′ sono ortogonali. Quindi: r e r′ sono ortogonali se e solo se v v′ = 0. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 35 /50 Parallelismo e ortogonalità tra piani Due piani π : v (X − P) = 0 , π ′ : v′ (X − P′ ) = 0 sono paralleli quando hanno la stessa direzione ortogonale, cioè quando i vettori ortogonali v e v′ sono paralleli. Quindi: π e π ′ sono paralleli se e solo se esiste k ∈ R tale che v = kv′. I due piani π e π ′ sono ortogonali quando i vettori ortogonali v e v′ sono tra loro ortogonali. Quindi: π e π ′ sono ortogonali se e solo se v v′ = 0. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 36 /50 Parallelismo e ortogonalità tra retta e piano Un piano π ed una retta r π : v (X − P) = 0 , r : X = Q + tu sono paralleli quando la direzione ortogonale di π è ortogonale alla direzione di r , cioè quando i vettori ortogonali v e u sono ortogonali. Quindi: π e r sono paralleli se e solo se v u = 0. Il piano π e la retta r sono ortogonali quando la direzione di r è ortogonale a π , cioè i vettori ortogonali u e v sono paralleli. Quindi: π e r sono ortogonali se e solo se esiste k ∈ R tale che v = ku. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 37 /50 Prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale u ∧ v di due vettori geometrici è definito come segue: ▶ se u e v sono paralleli, allora si pone u ∧ v = 0 ; ▶ se u e v sono non paralleli, allora u ∧ v è il vettore con: ▶ modulo dato da |u ∧ v| = |u||v| sin α , dove α è l’angolo formato dai due vettori, con 0 ≤ α ≤ π ; ▶ direzione ortogonale alle direzioni di u e v , quindi u ∧ v è ortogonale al piano individuato dai vettori u e v ; ▶ verso dato dalla “regola della mano destra”, cioè (u, v, u ∧ v) è una terna destrorsa. Osservazioni ▶ Il prodotto u ∧ v è nullo se e solo se u e v sono paralleli. ▶ Il modulo |u ∧ v| è l’area del parallelogramma di lati u e v. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 38 /50 Rappresentazione analitica del prodotto vettoriale Il prodotto vettoriale verifica le seguenti proprietà per ogni u , v e w e ogni scalare k : ▶ antisimmetria: u ∧ v = −v ∧ u ; ▶ omogeneità: (ku) ∧ v = k(u ∧ v) = u ∧ (kv) ; ▶ distributività: u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w e (u + v) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w. Osservato che i∧i=j∧j=k∧k=0, i∧j=k, j∧k=i, k∧i=j, si ricava (lavagna) l’espressione analitica del prodotto vettoriale dei vettori u = (a, b, c) e v = (x, y, z) : (a, b, c) ∧ (x, y, z) = (bz − cy, −az + cx, ay − bx). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 39 /50 Determinate e prodotto vettoriale Si studierà in un prossimo corso la nozione di determinate di una matrice; anticipiamone qui il calcolo:   a b det = ay − bx ; x y   α β γ       b c a c a b det  a b c  = det α − det β + det γ. y z x z x y x y z Scrivendo il prodotto vettoriale come combinazione lineare dei versori fondamentali (a, b, c) ∧ (x, y, z) = (bz − cy)i − (az − cx)j + (ay − bx)k questo può essere espresso formalmente con un determinate   i j k (a, b, c) ∧ (x, y, z) = det a b c . x y z Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 40 /50 Rappresentazione cartesiana della retta Una retta nello spazio può essere descritta come intersezione di due piani:  ax + by + cz + d = 0 r: a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0 Spesso il sistema che individua r viene presentato su un’unica linea: ax + by + cz + d = a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0. Problema Data la retta r , come passare da una rappresentazione parametrica ad una cartesiana? E viceversa? Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 41 /50 Fascio di piani Fissata una retta r , l’insieme dei piani che contengono r si dice fascio di piani di sostegno r. Data la retta r come intersezione di due piani:  ax + by + cz + d = 0 r: a′ x + b′ y + c′ z + d′ = 0 i piani del fascio di sostegno r sono tutti e soli i piani la cui equazione è del tipo: k(ax + by + cz + d) + h(a′ x + b′ y + c′ z + d′ ) = 0 dove k e h sono numeri arbitrari (non entrambi nulli). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 42 /50 Prodotto misto Il prodotto misto dei vettori geometrici w , u , v è il numero reale w u∧v. Osservazioni ▶ Il prodotto misto w u ∧ v è nullo se e solo se i vettori w , u e v sono complanari. ▶ Il modulo |w u ∧ v| è il volume del parallelepipedo di spigoli w, u e v. ▶ Si dimostra che w u∧v = u v∧w = v w∧u = −w v∧u = −v u∧w = −u w∧v. In particolare: w u∧v =w∧u v. Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 43 /50 Determinante e prodotto misto Siano w = (α, β, γ) , u = (a, b, c) e v = (x, y, z) ; risulta w u ∧ v = (α, β, γ) (a, b, c) ∧ (x, y, z) = (α, β, γ) (bz − cy, −az + cx, ay − bx) = (bz − cy)α − (az − cx)β + (ay − bx)γ   α β γ = det  a b c . x y z Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 44 /50 Aree e volumi ▶ L’area AABCD del parallelogramma di vertici A , B , C , D è −−→ −−→ AABCD = |AB ∧ AD| , dove AB e AD sono due lati. ▶ L’area AABC del triangolo di vertici A , B , C è 1 −−→ −→ AABC = |AB ∧ AC|. 2 ▶ Il volume V del parallelepipedo di spigoli w , u e v è V = |w u ∧ v|. ▶ Il volume VABCD del tetraedro di vertici A , B , C , D è 1 −−→ −→ −−→ VABCD = |AB AC ∧ AD|. 6 Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 45 /50 Esercizi 1. In quanti modi sappiamo determinare l’equazione cartesiana del piano passate per tre punti non allineati? 2. Come determinare l’equazione del piano per un punto ed ortogonale ad una retta data? E la rappresentazione parametrica di una retta passante per un punto ed ortogonale ad un piano dato? 3. Come determinare l’equazione di un piano π contenente una retta r e: ▶ passante per un punto P dato; ▶ parallelo ad un piano σ dato; ▶ parallelo ad una retta s data? Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 46 /50 Distanze Distanza punto-punto Abbiamo già visto che la distanza tra due punti A e B è dist(A, B) = |B − A|. Distanza punto-retta Dato un punto P ed una retta r , sia π il piano per P ed ortogonale a r ; detto H il punto di intersezione tra π ed r , la distanza tra P e r è la distanza tra P e H : dist(P, r) = dist(P, H). In alternativa, detti A un punto di r , v un vettore direttore di r , si possono utilizzare le formule (lavagna) −→ −→ −→ AP v |AP ∧ v| dist(P, r) = AP − v , dist(P, r) =. |v|2 |v| Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 47 /50 Distanze Distanza punto-piano Dato un punto P (xP , yp , zP ) ed un piano π : ax + by + cz + d = 0 , la distanza tra il punto P ed il piano π è data dalla formula (lavagna): |axP + byP + czP + d| dist(P, π) = √. a2 + b2 + c2 In alternativa si può considerare la retta r per P ed ortogonale al piano π ; detto H il punto di intersezione tra r e π , si ha dist(P, π) = dist(P, H). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 48 /50 Distanze Distanza retta-retta ▶ Se le rette r e s si intersecano, allora dist(r, s) = 0. ▶ Se le rette r e s sono parallele, detto P un punto di r , si ha dist(r, s) = dist(P, s). ▶ Se le rette r e s sono sghembe, siano π il piano che contiene s ed è parallelo a r , P un punti di r ; la distanza tra r e s è la distanza tra π e P : dist(r, s) = dist(P, π). In alternativa, scelti i punti A di r e B di s , detti vr e vs due vettori direttori di r e s rispettivamente, vale la formula: −−→ |AB vr ∧ vs | dist(r, s) =. |vr ∧ vs | Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 49 /50 Distanze Distanza retta-piano ▶ Se la rette r e il piano π si intersecano, allora dist(r, π) = 0. ▶ Se la rette r e il piano π sono paralleli, detto P un punto di r , si ha dist(r, π) = dist(P, π). Distanza piano-piano ▶ Se i piani π e σ si intersecano, allora dist(π, σ) = 0. ▶ Se i piani π e σ sono paralleli, detto P un punto di σ , si ha dist(π, σ) = dist(π, P ). Maurizio Citterio - GAL 2024/2025 - 2401GAL-VettoriGeometrici - Vettori, rette e piani. - 50 /50