Relazioni d'Ordine e di Equivalenza

Relazioni d'Ordine

• Una relazione RRR su un insieme XXX è una relazione d'ordine se soddisfa le seguenti proprietà:
  • Riflessività: per ogni x∈Xx \in Xx∈X, xRx xRxxRx
  • Antisimmetria: per ogni x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X, se xRyxRyxRy e yRxyRxyRx, allora x=yx = yx=y
  • Transitività: per ogni x,y,z∈Xx, y, z \in Xx,y,z∈X, se xRyxRyxRy e yRzyRzyRz, allora xRzxRzxRz
• Solitamente, una relazione d'ordine si indica con il simbolo ≤≤≤.
• La relazione < definita da " x<yx < yx<y se e solo se x≤yx ≤ yx≤y e x≠yx ≠ yx=y " si dice relazione d'ordine in senso stretto e soddisfa queste proprietà:
  • Antisimmetria forte: per ogni x,y∈Xx , y ∈ Xx,y∈X, se xxx è in relazione con yyy, allora yyy non è in relazione con xxx.
  • Transitività: per ogni x,y,z∈Xx, y, z \in Xx,y,z∈X, se xRyxRyxRy e yRzyRzyRz, allora xRzxRzxRz

Relazioni di Equivalenza

• Una relazione di equivalenza su un insieme XXX ha le stesse proprietà della relazione di uguaglianza:
  • Riflessività: per ogni x∈Xx \in Xx∈X, x∼x x ∼ xx∼x.
  • Simmetria: per ogni x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X, se x∼yx ∼ yx∼y, allora y∼xy ∼ xy∼x.
  • Transitività: per ogni x,y,z∈Xx, y, z \in Xx,y,z∈X, se x∼yx ∼ yx∼y e y∼zy ∼ zy∼z, allora x∼zx ∼ zx∼z.
• Un esempio immediato di relazione di equivalenza è il nucleo di equivalenza di una funzione f:X→Yf : X → Yf:X→Y.
  • N(f)=(x1,x2)∈X×X∣f(x1)=f(x2)⊆X×XN(f) = {(x_1 , x_2 ) ∈ X × X| f(x_1) = f(x_2)} ⊆ X × XN(f)=(x1​,x2​)∈X×X∣f(x1​)=f(x2​)⊆X×X

Classi di Equivalenza

• Data una relazione di equivalenza ∼ su un insieme non vuoto XXX, la classe di equivalenza di un elemento x∈Xx ∈ Xx∈X è definita come l'insieme:
  • [x]=y∈X∣y∼x[x] = {y ∈ X|y ∼ x}[x]=y∈X∣y∼x
• Ogni elemento di XXX appartiene a una sola classe di equivalenza.
• Una partizione di un insieme XXX è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti UiU_iUi​ di XXX tali che ogni elemento di XXX appartiene a uno e un solo sottoinsieme della famiglia.
• Relazione tra partizione e relazione di equivalenza: Sia su un insieme XXX che ogni relazione di equivalenza individua una partizione di XXX, sia che ogni partizione di XXX individua una relazione di equivalenza su XXX.
• L'insieme delle classi di equivalenza è chiamato insieme quoziente e viene indicato con X/∼X/∼X/∼.

Esempi di Relazioni di Equivalenza

• Parallelismo: Sull'insieme delle rette del piano (o dello spazio), la relazione di parallelismo è di equivalenza; una classe di equivalenza è una direzione.
• Congruenza: Sull'insieme dei segmenti del piano (o dello spazio), due segmenti sono congruenti quando esiste un movimento rigido che porta gli estremi di uno a coincidere con gli estremi dell'altro. La relazione di congruenza è di equivalenza; una classe di equivalenza è una lunghezza.

Vettori Geometrici

• Un segmento orientato ABABAB è equipollente al segmento orientato A′B′A'B'A′B′ quando esiste un movimento rigido e parallelo che faccia coincidere AAA con A′A'A′ e BBB con B′B'B′.
• Un vettore geometrico è una classe di equipollenza.

Somma di Vettori

• La somma di due vettori uuu e vvv è definita dalla "regola del parallelogramma".
• Se uuu è rappresentato dal segmento orientato ABABAB e vvv dal segmento orientato BCBCBC, la somma è data da:
  • u+v=AB+BC=ACu + v = AB + BC = ACu+v=AB+BC=AC

Rappresentazione Parametrica della Retta

• Una retta rrr può essere individuata da un punto PPP e un vettore vvv che determina la direzione.
• I punti XXX della retta rrr sono tutti e soli i punti che verificano l'equazione vettoriale X=P+tvX = P + tvX=P+tv , t∈Rt ∈ Rt∈R.
• Il vettore vvv prende il nome di vettore direttore e le sue componenti sono dette parametri direttori.
• Se il vettore direttore vvv è unitario, i parametri direttori sono detti coseni direttori della retta.
• Dall'equazione vettoriale, si ottengono le equazioni parametriche (scalari) della retta rrr per P(x0,y0,z0)P(x_0 , y_0 , z_0)P(x0​,y0​,z0​) con la direzione di v=(α,β,γ)v = (α, β, γ)v=(α,β,γ):
  • x=x0+αtx = x_0 + αtx=x0​+αt
  • y=y0+βty = y_0 + βty=y0​+βt
  • z=z0+γtz = z_0 + γtz=z0​+γt
  • t∈Rt ∈ Rt∈R

Retta per Due Punti

• La retta passante per due punti A(xA,yA,zA)A(x_A , y_A , z_A)A(xA​,yA​,zA​) e B(xB,yB,zB)B(x_B , y_B , z_B)B(xB​,yB​,zB​) può essere rappresentata dall'equazione vettoriale X=A+tABX = A + tABX=A+tAB, t∈Rt ∈ Rt∈R.
• In forma parametrica (scalare):
  • x=xA+(xB−xA)tx = x_A + (x_B − x_A )tx=xA​+(xB​−xA​)t
  • y=yA+(yB−yA)ty = y_A + (y_B − y_A )ty=yA​+(yB​−yA​)t
  • z=zA+(zB−zA)tz = z_A + (z_B − z_A )tz=zA​+(zB​−zA​)t
  • t∈Rt ∈ Rt∈R

Condizione di Parallelismo di Rette

• Due rette r:X=P+tvr : X = P + tvr:X=P+tv e r′:X=P′+tv′r′ : X = P′ + tv′r′:X=P′+tv′ sono parallele quando hanno la stessa direzione, ovvero quando i vettori direttori vvv e v′v′v′ sono paralleli.
• Quindi, rrr e r′r′r′ sono parallele se e solo se esiste un k∈Rk ∈ Rk∈R tale che v=kv′v = kv′v=kv′.

Reciproca Posizione di Rette

• Nel piano, due rette possono essere parallele (eventualmente coincidenti) oppure incidenti (in un solo punto).
• Nello spazio, due rette rrr e r′r′r′ sono complanari se esiste un piano che contenga entrambe. Sono dette sghembe se non sono complanari.
• Per stabilire la reciproca posizione di due rette nello spazio, basta studiare il parallelismo e l'incidenza. Se le rette non sono parallele e non incidenti, allora sono sghembe.
• Nel cercare l'eventuale intersezione di due rette, bisogna fare attenzione con il sistema tra le rappresentazioni parametriche. Se rrr e sss hanno un punto PPP in comune, non è necessario che PPP sia individuato con lo stesso valore del parametro sulle due rette. Occorre quindi scrivere la rappresentazione di rrr con un parametro (ad esempio ttt) e la rappresentazione di sss con un parametro di nome diverso (ad esempio kkk).

Dipendenza e Indipendenza

• Combinazione lineare: Dati i vettori v1,...,vkv_1 ,..., v_kv1​,...,vk​ e gli scalari α1,...,αk∈Rα_1 ,..., α_k ∈ Rα1​,...,αk​∈R, il vettore w=α1v1+....+αkvkw = α_1 v_1 +....+ α_k v_kw=α1​v1​+....+αk​vk​ si dice combinazione lineare dei vettori v1,...,vkv_1 ,..., v_kv1​,...,vk​.
• Dipendenza: I vettori v1,...,vkv_1 ,..., v_kv1​,...,vk​ si dicono linearmente dipendenti quando uno di questi può essere scritto come combinazione lineare degli altri.
• Indipendenza: Altrimenti, i vettori sono linearmente indipendenti.
• Osservazioni:
  • Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali.
  • Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se sono "complanari".

Base

• Un insieme ordinato di vettori B=(v1,...,vn)B = (v_1 ,..., v_n)B=(v1​,...,vn​) di uno spazio vettoriale VVV è una base di VVV se ogni vettore di VVV si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di BBB.
• La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi di una base, che è costante per ogni base.
• Se la dimensione è nnn, nnn vettori linearmente indipendenti formano una base.
• Quindi, una base del piano è composta da due vettori non paralleli, mentre una base per lo spazio è composta da una terna di vettori non complanari.

Prodotto Vettoriale

• Il prodotto vettoriale u∧vu ∧ vu∧v di due vettori geometrici uuu e vvv è definito come segue:
  • Se uuu e vvv sono paralleli, allora u∧v=0u ∧ v = 0u∧v=0.
  • Se uuu e vvv sono non paralleli:
    • Il modulo di u∧vu ∧ vu∧v è dato da:
      • ∣u∧v∣=∣u∣∣v∣sinα|u∧v| = |u||v| sin α∣u∧v∣=∣u∣∣v∣sinα, dove ααα è l'angolo formato dai due vettori, con 0≤α≤π0 ≤ α ≤ π0≤α≤π.
    • La direzione di u∧vu ∧ vu∧v è ortogonale alle direzioni di uuu e vvv, quindi è ortogonale al piano individuato da uuu e vvv.
    • Il verso di u∧vu ∧ vu∧v è dato dalla "regola della mano destra", ovvero (u,v,u∧v)(u, v, u ∧ v)(u,v,u∧v) è una terna destrorsa.
• Osservazioni:
  • Il prodotto u∧vu ∧ vu∧v è nullo se e solo se uuu e vvv sono paralleli.
  • Il modulo ∣u∧v∣|u ∧ v|∣u∧v∣ è l'area del parallelogramma di lati uuu e vvv.

Rappresentazione Analitica del Prodotto Vettoriale

• Il prodotto vettoriale soddisfa le seguenti proprietà:
  • Antisimmetria: u∧v=−v∧uu ∧ v = −v ∧ uu∧v=−v∧u
  • Omogeneità: (ku)∧v=k(u∧v)=u∧(kv)(ku) ∧ v = k(u ∧ v) = u ∧ (kv)(ku)∧v=k(u∧v)=u∧(kv)
  • Distributività: u∧(v+w)=u∧v+u∧wu ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ wu∧(v+w)=u∧v+u∧w e (u+v)∧w=u∧w+v∧w(u + v) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w(u+v)∧w=u∧w+v∧w.
• Sapendo che:
  • i∧i=j∧j=k∧k=0i∧i=j∧j=k∧k=0i∧i=j∧j=k∧k=0,
  • i∧j=ki∧j=ki∧j=k,
  • j∧k=ij∧k=ij∧k=i,
  • k∧i=jk∧i=jk∧i=j,
• Si ricava l'espressione analitica del prodotto vettoriale dei vettori u=(a,b,c)u = (a, b, c)u=(a,b,c) e v=(x,y,z)v = (x, y, z)v=(x,y,z):
  • (a,b,c)∧(x,y,z)=(bz−cy,−az+cx,ay−bx)(a, b, c) ∧ (x, y, z) = (bz − cy, −az + cx, ay − bx)(a,b,c)∧(x,y,z)=(bz−cy,−az+cx,ay−bx).

Determinate e Prodotto Vettoriale

• La determinante di una matrice 2×22 \times 22×2:
  • det(ab xy)=ay−bxdet \begin{pmatrix} a & b \ x & y \end{pmatrix} = ay-bxdet(a​b x​y​)=ay−bx
• La determinante di una matrice 3×33 \times 33×3:
  • det(αβγ abc xyz)=det(bc yz)α−det(ac xz)β+det(ab xy)γdet \begin{pmatrix} α & β & γ \ a & b & c \ x & y & z \end{pmatrix} = det \begin{pmatrix} b & c \ y & z \end{pmatrix} α - det \begin{pmatrix} a & c \ x & z \end{pmatrix} β + det \begin{pmatrix} a & b \ x & y \end{pmatrix} γdet(α​β​γ a​b​c x​y​z​)=det(b​c y​z​)α−det(a​c x​z​)β+det(a​b x​y​)γ.