Repaso Fundamentos de Automática PDF

Repaso Fundamentos de Automática 1 Tipos de sistemas de control automático  Lazo abierto (open loop)   Sistemas no realimentados Lazo cerrado (closed loop)  Sistemas realimentados 2   Control en Lazo Cerrado. Señal de entrada w(t) - Señal de error e(t) Regulador o controlador...

Repaso Fundamentos de Automática 1 Tipos de sistemas de control automático  Lazo abierto (open loop)   Sistemas no realimentados Lazo cerrado (closed loop)  Sistemas realimentados 2   Control en Lazo Cerrado. Señal de entrada w(t) - Señal de error e(t) Regulador o controlador Señal de control u(t) Perturbaciones p(t) Actuador Planta o Proceso Variable de salida y(t) Sensor La salida del sistema se mide por medio de un sensor y se compara con el valor de entrada o referencia w(t). • De manera intuitiva se deduce que de este modo el sistema de control podría responder mejor ante las perturbaciones de la planta p(t). • 3 ¿Qué es el modelado? X • Conjunto de técnicas que nos permiten obtener una representación del sistema, planta o proceso a controlar • Representaciones abstractas TIPOS DE MODELOS MODELOS MENTALES MODELOS LINGÜÍSTICOS MODELOS GRÁFICOS MODELOS SOFTWARE MODELOS MATEMÁTICOS Representaciones presentes en nuestro cerebro; por ejemplo, una representación mental de nuestro cuerpo que permite controlarlo para caminar, saltar, … Representaciones con palabras; este párrafo, por ejemplo intenta explicar con palabras qué es el sistema denominado modelo lingüístico Tablas y/o gráficas como modelos; los catálogos de productos de ingeniería suelen contener muchos ejemplos de este tipo de modelo. Programas de computador que representen a sistemas complejos, como por ejemplo mediante el uso de redes neuronales Ampliamente usados en física, ingeniería, economía, etc.. Se trata de ecuaciones que muestran las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema 4 Linealidad / No linealidad Aplicación del principio de superposición: X Considere el sistema descrito por y = 0.5·x Homogeneidad  x1 = 2 → y1 = 0.5·x1 = 1 Aditividad  x2 = 10 = 5·x1 → y2 = 0.5·x2 = 5·y1 = 5  x1 = 2 → y1 = 0.5·x1 = 1   x2 = 8 → y2 = 0.5·x2 = 4  x = x + x = 10 → y = 0.5·x = 5 = y + y 1 2 1 2  Sistema lineal Considere ahora el sistema descrito por z = x / 2  x1 =1  x1 = 2 → z1 = 2  No cumple homogeneidad  x = 10 = 5·x → z = x2 = 5 ≠ 5·z = 5 1 2 1 2  2  x1 =1  x1 = 2 → z1 = 2  No cumple aditividad  x2 = 8 → z2 = x2 = 2 2   x = x1 + x2 = 10 → z = x = 5 ≠ z1 + z 2 = 3 2   Sistema no lineal Linealidad / No linealidad Gráficamente es inmediato observar si un sistema estático (ecuación/modelo) es lineal o no z = x/2 Sistema no lineal Sistema lineal y = 0.5·x  Transformada de Laplace  La transformada de Laplace es una herramienta matemática que nos permite pasar del dominio temporal al de la frecuencia. La transformada inversa o anti-transformada de Laplace es una herramienta matemática que nos permite pasar del dominio frecuencial al temporal. L -1 s = σ + jω F ( s ) = Re( F ( s )) + j Im( F ( s )) - F(s) es una función compleja de variable compleja. - c ∈ R abcisa de convergencia. Incluye valores singulares de F(s) Transformada de Laplace  Se emplea para resolver ecuaciones diferenciales lineales Propiedades Para aplicar el teorema los límites deben existir  sF(s) no debe tener polos en el semiplano positivo Función de Transferencia.  La Función de Transferencia G(s) de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes, se define como el cociente entre la Transformada Laplace de la salida Y(s) y la Transformada de Laplace de la entrada U(s), suponiendo todas las condiciones iniciales nulas. Función de Transferencia.  Si el sistema viene dado por la ecuación diferencial: an y n (t ) + an −1 y n −1 (t ) + .. + a1 y (t ) + a0= y (t ) bmu m (t ) + bm −1u m −1 (t ) + .. + b1u (t ) + b0u (t ) u(t): entrada, y(t): salida, m ≤ n La Función de Transferencia, G(s), será: m m −1 Y ( s ) b s + bm −1s + ... + b1s + b0 N ( s ) = = = G (s) = m n n −1 U ( s ) an s + an −1s + ... + a1s + a0 D( s ) m ∑b s i i m ∏ (s + z ) i = K n0 ∑ a j s j ∏ (s + p j ) 0 n 0 0 Función de Transferencia. Definiciones.   La Función de Transferencia solo depende del sistema: parámetros ai, bj, (números reales) y de n y m (números naturales con m ≤ n).  Las raíces del polinomio del numerador N(s) son los ceros (zi) del sistema.  Las raíces del polinomio del denominador D(s) son los polos (pj) del sistema.  El orden del sistema se corresponde con el grado del polinomio del denominador D(s). Ejemplo 1: sistema de primer orden K G (s) = τ s +1 Ejemplo 2: sistema de segundo orden normalizado ωn 2 G ( s) = 2 s + 2ξωn s + ωn 2 Diagramas de bloques 13  Respuesta transitoria y permanente X(s) x(t) G(s) g(t) Y(s)  y(t) • Conocido el modelo matemático del sistema, se realiza el análisis de su comportamiento dinámico • La respuesta del sistema depende del propio sistema y del estímulo exterior aplicado • En la práctica no se conoce previamente la señal de entrada a un sistema de control ya que ésta es de naturaleza aleatoria • Analizaremos la respuesta real de los sistemas a unas señales (estímulos) de prueba que de alguna forma nos van a permitir conocer y clasificar el comportamiento de los mismos 14 Señales de prueba típicas impulso δ(t) U (s) = 1 0 t=0 escalón ∞ t = 0 δ (t ) =  0 t ≠ 0 t rampa U (s) = 1 U (s) = s0 u(t)  1 t ≥ 0 u (t ) =  0 t < 0 t t=0 parábola 1 s2 u(t) 0 t=0 t t ≥ 0 u (t ) =  0 t < 0 t 1 U ( s) = 3 s u(t) 0 t=0 t 2 t ≥ 0 u(t ) =  0 t < 0 t 15 Respuesta transitoria y respuesta estacionaria La respuesta en el tiempo de un sistema lineal se divide en dos partes:  y (t ) = yt (t ) + y ss (t ) Va desde el estado inicial al estado final respuesta transitoria lim yt (t ) = 0 t →∞ (tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Da idea de la rapidez del sistema) depende del sistema y de las condiciones iniciales respuesta estacionaria (régimen permanente) La forma en que la salida del sistema se comporta cuando t→∞ lim y (t ) = y ss (t ) t →∞ (permanece después que la transitoria ha desaparecido e indica en donde termina la salida del sistema cuando el tiempo se hace grande) 16 depende de la entrada aplicada Ejemplo: entrada escalón. (3/5) Polo de sistema Plano s -5 Polo de sistema jω σ Transformada de salida Respuesta de salida en el tiempo Plano s -4 jω σ Polo de sistema Plano s -2 jω Cero de sistema Plano s σ -3 jω σ Polo de entrada Plano s jω 0 σ 0.1333 0.125 0.0833 0.075 Y (s) = − − + s+5 s+4 s+2 s y (t ) = 0.1333e −5t − 0.125e −4t − 0.0833e −2t + 0.075 Respuesta transitoria Respuesta estacionaria 17 Ejemplo: entrada escalón. (4/5) y (t ) = 0.1333e −5t − 0.125e −4t − 0.0833e −2t + 0.075 En Matlab: Respuesta transitoria % definimos un intervalo de tiempo t=0:0.01:3; % representamos graficamente y(t) y=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+... r(3)*exp(p(3)*t)+r(4)*ones(1,length(t)); plot(t,y,'k'); % en negro % representamos en la misma grafica % las respuestas transitoria y estacionaria % que componen y(t) (en varios colores) hold on; % la respuesta transitoria y_t=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+... r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,y_t,'b'); %azul % la respuesta estacionaria y_s=r(4)*ones(1,length(t)); plot(t,y_s,'r'); % rojo Respuesta estacionaria y(t) 18  Polos, ceros y respuesta de un sistema  Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el tiempo: • Los polos de la función de entrada determinan la forma de la respuesta estacionaria • Los polos de la función de transferencia determinan la forma de la respuesta transitoria  Los ceros y los polos de la entrada o función de transferencia contribuyen a las amplitudes de los componentes de la respuesta temporal. 19 Estabilidad entrada-salida (BIBO)  Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada Un sistema es inestable si cualquier entrada acotada produce una salida no acotada Im(s) Plano s Re(s) ESTABLE INESTABLE  Polos en el semiplano izquierdo: sistema estable  Si por lo menos uno de los polos no está en el semiplano izquierdo: sistema inestable  Polos simples sobre el eje jω y ninguna en el semiplano derecho: sistema en el límite de estabilidad (marginalmente estable)  Si por lo menos un polo múltiple está en el eje imaginario: sistema inestable 20 Sistemas de primer orden X(s) K τs + 1 Y(s) Los sistemas que tienen la misma función de transferencia presentarán la misma salida en respuesta a la misma entrada. Características de la forma estándar: • El segundo término del denominador es 1 • K = ganancia del sistema (el numerador) • τ = constante de tiempo (el coeficiente de s) • El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/τ 21 Sistemas de primer orden: entrada salto u(t) A t=0 U(s)=A/s t K τs + 1 Y(s) KA KA − Y ( s) = ( ); s s +1 τ y (t ) = L−1[Y ( s )] = KA − KAe − t /τ = KA(1 − e − t /τ ) Resp. Estac. Resp. Transit. (Se hace cero cuando t-> ∞) Siempre que τ >0 (sistema estable): KA lim sY ( s ) = lim = KA = y (∞) s →0 s →0 τs + 1 22 Sistemas de primer orden: entrada salto Tiempo de asentamiento o establecimiento. K τs + 1 U(s)=A/s Y(s) y (t ) = KA(1 − e −t τ  ) y (t98 ) = 0.98 KA = KA(1 − e -1/τ1 x Ts ≅ 4τ τ ) KA 0.98KA -1/τ2 Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±2% del valor final t98 y(t) t98 = 4τ Plano s x − τ1 < τ2 Ts t98 t A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema) 23 Sistemas de segundo orden U(s) Ecuación característica del sistema: s 2 + 2δω n s + ω n2 = 0 ∆ > 0 (δ > 1) : → Kω n2 s 2 + 2δω n s + ω n2 2 2  Y(s) ωn > 0 2 ∆ = 4δ 2ω n − 4ω n = 4ω n (δ 2 − 1) polos reales negativos − 2δω n ± ∆ = −δω n ± ω n δ 2 − 1 2 polos reales iguales s1, 2 = ∆ = 0 (δ = 1) : s1, 2 = −δω n ∆ < 0 (δ < 1) : polos complejos conjugados s1, 2 = − 2δω n ± j − ∆ = −δω n ± jω n 1 − δ 2 2 24 Sistemas de segundo orden Caso 0<δ<1.Respuesta a un salto en u. RESUMEN. tp = π ωn 1 − δ 2 Mp =e tr = ts ≈ tp: tiempo de pico, peak time Mp: sobrepico o sobreoscilación, overshoot ts: tiempo de establecimiento, settling time tr: tiempo de subida, rise time ts ≈ −  = πδ 1−δ 2 1.5 ωn 3.9 δωn 3 δωn (criterio 2%) (criterio 5%) 25 π ωd Sistemas de segundo orden  Subamortiguado. Efecto de mover los polos. Polos con la misma parte real x x x −σ x x x s1, 2 = −σ ± jω d Im(s) ts igual jω d 3 jω d 2 jω d1 Re(s) − jω d 3 − jω d 2 − jω d1 ωd < ωd < ωd 1 2 3 M p1 < M p2 < M p3 t p1 > t p2 > t p3 t p3 t p 2 t p1 Cuanto más pequeña es la parte imaginaria, menor es el sobrepico y mayor el tiempo de pico ts ≅ 4 σ Puedo variar el sobrepico modificando la parte imaginaria de los polos sin afectar el tiempo de establecimiento (controlado 26 por la parte real de los polos) Sistemas de segundo orden  Subamortiguado. Efecto de mover los polos. Im(s) Polos con la misma parte imaginaria x x x −σ 3 −σ 2 −σ1 x x x s1, 2 = −σ ± jω d tp igual jω d Cuanto más pequeña es la parte real, más lenta la respuesta σ1 < σ 2 < σ 3 Re(s) − jω d t s1 > t s2 > t s3 M p1 > M p2 > M p3 tp = π t s ωd 3 t s2 t s1 27 Sistemas de segundo orden Subamortiguado. Efecto de mover los polos. Mp igual Im(s) jω d 3 x Polos con el ángulo θ constante (δ constante) −σ 3 jω d 2 x θ x −σ 2 −σ1 x x x  σ1 < σ 2 < σ 3 ωd < ωd < ωd jω d1 Re(s) 1 − jω d 3 t s1 > t s2 > t s3 s1, 2 = −σ ± jω d 3 t p1 > t p2 > t p3 − jω d 2 − jω d1 2 Cuanto más cerca están los polos del origen, más lenta la respuesta t p3 t p 2 t p1 28  Reducción del orden de un sistema. Polos y ceros “alejados” Polos y ceros dominantes b a Si, |b |>5 |a |, se pueden eliminar los polos y ceros a la izquierda de ese valor. Es preferible que se cumpla: |b |>10 |a | IMPORTANTE: hay que asegurar que el valor final alcanzado por el sistema es el mismo. 29 Ejemplo: Reducción de orden. Gred ( s ) = -4 Step Response x 10 1 1 0.005  10  =   ( s 2 + 2 s + 100)  15 × 128  ( s 2 + 2 s + 100) 0.9 0.8 Amplitude 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 Time (sec) 4 5 6 30 Sistemas realimentados W(s) +  U(s) E(s) - R(s) G(s)  Y(s) Función de transferencia en lazo cerrado Y(s) = G (s) U(s) = G (s)R (s)E (s) = G (s)R (s)[W (s) − Y(s)] Y(s)[1 + G (s)R (s)] = G (s)R (s) W (s) G (s)R (s) W (s) Y(s) = 1 + G (s)R (s) 31 Sistema en lazo cerrado con perturbaciones V(s) W(s) E(s) + - R(s) U(s) D(s) G(s) + + Y(s) G (s)R (s) D(s) Y(s) = W (s) + V(s) 1 + G (s)R (s) 1 + G (s)R (s) 32 Ecuación característica Y (s) =  G ( s) R( s) D( s) W (s) + V ( s) 1 + G ( s) R( s) 1 + G ( s) R( s) El tipo de respuesta y la estabilidad en lazo cerrado vienen determinadas por los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica: 1 + G ( s) R( s) = 0 La ecuación característica es la misma independientemente de la presencia o ausencia de perturbaciones. Cambiando el regulador R(s) podemos modificar la forma de 33 la respuesta Ceros en lazo cerrado  D(s) G (s)R (s) V (s) W (s) + Y (s) = 1 + G (s)R (s) 1 + G (s)R (s) Num(s) G (s)R (s) = Den (s) Num(s) G (s)R (s) Num(s) Den (s) = = Num ( s ) 1 + G (s)R (s) 1 + Den (s) + Num(s) Den (s) D(s) D(s) Den (s)D(s) = = 1 + G (s)R (s) 1 + Num(s) Den (s) + Num(s) Den (s) 34 Los ceros en lazo abierto aparecen también como ceros en lazo cerrado Error estacionario V(s) W(s) E(s) + - R(s) D(s) U(s) G(s) Y(s) Ante un cambio en la referencia o perturbación, ¿Que valor toma el error e(t) cuando se alcance el estado estacionario? ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) t →∞ 35 s →0 Error estacionario  ess = lim e(t ) = lim sE ( s ) t →∞ V(s) W(s) E(s) +  - R(s) U(s) s →0 D(s) G(s) Y(s) Cálculo de la función de transferencia del error: E (s) = W (s) − Y (s) = W (s) − [G (s) U (s) + D(s) V (s)] = = W (s) − [G (s) R (s) E (s) + D(s) V (s)] E (s)[1 + G (s) R (s)] = W (s) − D(s) V (s) 36 1 D(s) E (s) = W (s) − V (s) 1 + G (s) R (s) 1 + G (s) R (s)  Error Estacionario vs Tipo Sistema tipo 0 Sistema tipo 1 Sistema tipo 2 37 Escalón Rampa Parábola 1 1 + Kp ∞ ∞ 0 1 Kv 0 0 Posición Velocidad Error estacionario ∞ 1 Ka Aceleración  Error estacionario Kp: constante estática de error de posición ess lim = e(t ) lim= sE ( s ) lim s s →0 t →∞ s →0 1 1 1 1 = = 1 + G ( s ) R( s ) s 1 + lim G ( s ) R( s ) 1 + K p s →0 Kp lim = G ( s ) R( s ) G (0) R(0) s →0 Kv: constante estática de error de velocidad 1 1 1 = = = ess lim e(t ) lim= sE ( s ) lim s W ( s ) lim s t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s 2 1 1 1 1 lim = = , s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s lim sG ( s ) R ( s ) Kv s →0 Kv lim = sG ( s ) R ( s ) sG (0) R (0) s →0 38  Ka: constante estática de error de aceleración 1 1 1 = = = ess lim e(t ) lim= sE ( s ) lim s W ( s ) lim s t →∞ s →0 s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s 3 1 1 1 1 lim = , = 2 s →0 1 + G ( s ) R ( s ) s 2 lim s G ( s ) R ( s ) Ka s →0 Ka lim = s 2G ( s ) R ( s ) s 2G (0) R (0) s →0 39 EJEMPLO MUY RELEVANTE W(s) + 𝐺𝐺 𝑠𝑠 = U(s) E(s) - R(s) 10 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 + 2𝑠𝑠 + 1.09 G(s) R(s)=1 Parece que se cumplen las condiciones para poder calcular las constantes de error. Por lo que deberíamos tener: Kp=∝ error ante salto = 0 La función de transferencia en lazo cerrado es: 40 Y(s) T 𝑠𝑠 = 10 𝑠𝑠 3 +2𝑠𝑠 2 +1.09𝑠𝑠+10   Respuesta salto en lazo cerrado INESTABLE 41 Análisis en Frecuencia. Respuesta en frecuencia de un sistema (2/3). U(s) u ( t ) = A sin ωt G(s)  Y(s) y ss ( t ) = A G ( jω) sin(ωt + φ) Amplitud de la salida: Y = A G ( jω ) Ángulo de fase: φ = arg(G ( jω )) = ∠G ( jω ) La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia ω que la sinusoide de entrada pero ponderada por un factor |G(jω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(jω)) que dependen de ω 42 Análisis en Frecuencia. Respuesta en frecuencia de un sistema. Ejemplo. G ( s) = 75 s 2 + 5s + 15 Para una entrada u ( t ) = A sin ωt G ( j ω ) = G ( s ) s = jω Transitorio y(t) A =1 ω = 5 rad / s donde 30 75 − j 29 29 G ( jω ) = 2.7854 G ( jω ) = Y = A G ( jω ) = 2.7854 Im(G ( jω )) = Re(G ( jω )) = arctg ( 2.5) = 1.1903 [ rad ] φ = arctg 43 u(t) Permanente φ Desfase t0 = ω [s] Respuesta en frecuencia de un sistema. Diagrama de Bode.  Consta de 2 trazados representados en función de la frecuencia en escala logarítmica 1. Diagrama del logaritmo del módulo 2. Diagrama del ángulo de fase Bode Diagrams 10 arg(G(jω)) [º] (en grados) 44 Phase (deg); Magnitude (dB) dB = 20log10 | . | 0 -10 ω en escala logarítmica -20 50 To: Y(1) 20log|G(jω)| [dB] (en decibelios) From: U(1) Matlab: bode(sys) 0 -50 -100 -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10 Respuesta en frecuencia de un sistema. Diagrama de Bode. Escalas semilogarítmicas. Valor real dB 100 10000 80 1000 60 100 Magnitud (dB) 100000  Bode: Diagrama de magnitud 40 10 20 1 0 0,01 0,1 1 2 5 10 Frequency (rad/sec) 60 100 400 1000 log ω  En el eje horizontal se trabaja con décadas: franjas de frecuencias de relación 10, representadas de forma logarítmica (cada franja elegida). 45  En el eje vertical se trabaja en decibelios o grados. Rfrec. Bode. Ancho de El ancho de banda banda. se puede calcular tanto para el sistema en lazo abierto como en lazo cerrado 0 From: U(1) -5 -15 -20 0 ωB -20 • Da una medida del rango de frecuencias de la señal de entrada a la que el sistema responde sin atenuación notable. 46 Bode Diagrams -10 To: Y(1) • Da una indicación de las propiedades de la respuesta transitoria en el dominio del tiempo de un sistema: una ancho de banda grande corresponde a un tiempo de levantamiento corto; en cambio, un ancho de banda pequeño tendrá una respuesta en el tiempo más lenta. Phase (deg); Magnitude (dB) • Frecuencia (ωB ) a la cual |G(jω)| cae 3 dB por debajo de su valor en la frecuencia cero -3 dB  -40 -60 -80 -100 -1 10 0 10 Frequency (rad/sec) 1 10  47 Ver fichero extra con los pasos para dibujar diagrama de Bode Respuesta en frecuencia en lazo cerrado. Estabilidad. V(s) W(s) + E(s) - R(s) U(s) D(s) G(s) + + Y(s) D( s) G ( s) R( s) Y (s) = W (s) + V (s) 1 + G ( s) R( s) 1 + G ( s) R( s) ¿Cuantas raíces de 1 + G(s)R(s) = 0 son positivas? Analizaremos la estabilidad del sistema realimentado a partir de la respuesta en frecuencia del sistema en bucle 48 abierto G(s)R(s).  Estabilidad relativa. MG y MF en el D. de Bode (1).  El margen de ganancia GM corresponde a la frecuencia a la cual el ángulo de fase es –180º. El margen de fase φM corresponde a la frecuencia a la cual la ganancia (en dB) es cero. Las trazas de Bode son útiles sólo para estudios de estabilidad de sistemas con funciones de transferencia de fase mínima. 49 Traza de ganancia Traza de fase Fase (grados) Estabilidad relativa. MG y MF en el D. de Bode (2). ωg frecuencia de cruce de ganancia + . 0 ω (rad/s) - Margen de ganancia positiva -90º -180º Margen de fase positiva 50 . ω (rad/s) ωf frecuencia de cruce de fase  Sistema estable El margen de ganancia indica cuanto se puede incrementar la ganancia antes de que el sistema se haga inestable. El margen de ganancia se calcula en lazo abierto para saber lo que pasa en lazo cerrado. Estabilidad relativa. MG y MF en el D. de Bode (y 3). + 0 - -90º -180º . Margen de ganancia negativa . ωf frecuencia de cruce de fase 51 ωg frecuencia de cruce de ganancia ω (rad/s) ω (rad/s) Margen de fase negativa  Sistema inestable El margen de ganancia indica en cuanto hay que reducir la ganancia para que el sistema se haga estable. Estabilidad relativa. MG y MF en el D. de Bode. Ejemplo 1. R(s) + 20( s + 1) s ( s + 5)( s 2 + 2 s + 10) En Matlab: 9.9293 dB num=[0 0 0 20 20]; den=conv([1 5 0],[1 2 10]); sys=tf(num,den); w=logspace(-1,2,100); bode(sys,w) grid [MG,MF,wf,wg]=margin(sys); 103.6573º margenes=[20*log10(MG),MF,wf,wg] margenes = 9.9301 103.6573 4.0132 0.4426 52 0.4426 4.0132 Y(s)  Ejemplo: W(s ) + - E(s ) R(s) U(s) G(s) Y(s) 0.1 R(s)=1 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 + 2𝑠𝑠 + 1.09 Parece que se cumplen las condiciones para poder calcular las constantes de error. Kp=∝ error ante salto =Por 0 lo que deberíamos tener: La función de transferencia en lazo T 𝑠𝑠 = 0.1 cerrado es: 3 2 𝐺𝐺 𝑠𝑠 = 53 𝑠𝑠 +2𝑠𝑠 +1.09𝑠𝑠+0.1  En lazo cerrado el sistema es estable. El error ante entrada salto será nulo. El error ante entrada rampa será un valor finito. MG = 26.8 dB es decir 21.8 26.8=20log(K) Si multiplicamos la función en lazo abierto por un valor mayor que 21.8 el lazo cerrado será inestable. 54  Linear Simulation Results 60 50 Amplitude 40 30 20 10 0 0 10 20 30 Time (seconds) 55 40 50 60 NO SE CALCULAN LOS MÁRGENES DE GANANCIA Y FASE EN LAZO CERRADO  T 𝑠𝑠 = 1.09 𝑠𝑠 3 +2𝑠𝑠 2 +1.09𝑠𝑠+1.09 1.09 𝐺𝐺 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 + 2𝑠𝑠 + 1.09 56 NO SE CALCULAN LOS MÁRGENES DE GANANCIA Y FASE EN LAZO CERRADO T 𝑠𝑠 = 4.36 𝑠𝑠 3 +2𝑠𝑠 2 +1.09𝑠𝑠+4.36 57  4.36 𝐺𝐺 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 + 2𝑠𝑠 + 1.09 g=tf(0.1,conv([1 t=feedback(g,1) 0],[1 2 1.09])) figure(1), step(t), title('Respuesta salto lazo cerrado') figure(2), bode(g), title('Bode en lazo abierto') figure(3), pzmap(t),title('Diagrama de polos y ceros en lc') figure(4), margin(g) tiempo=0:0.5:60; u=tiempo; figure(5), lsim(t,u,tiempo) [mg, mf, fcg,fcf]=margin(g) % nueva g estable g2 = mg/2*g t2=feedback(g2,1) figure(6), step(t2) [mg2, mf2, fcg2,fcf2]=margin(g2) % nueva g inestable g3 = mg*2*g t3=feedback(g3,1) figure(7), step(t3) figure(8), margin(g3) 58 Lugar de las raíces. ? Análisis de sistemas. Ejemplos. La adición de un polo y un cero deforma el LR (el polo lo “repele” y el cero lo “atrae”): El lugar de las raíces se dibuja a partir de información en lazo abierto para saber qué ocurre en lazo cerrado. Nos informa de la estabilidad del sistema en lazo cerrado según se cambia la ganancia K del sistema. 59 Lugar de las raíces. Análisis de sistemas. Ejemplos. K < 15.6 sistema estable en lazo cerrado. 15.6 < K < 67 sistema inestable en lazo cerrado. 67 < K < 162 Sistema estable en lazo cerrado. K > 162 Sistema inestable en lazo cerrado. Root Locus 7 K3=162 6 5 K2=67 Imaginary Axis (seconds-1) 4 3 2 1 K1=15.6 0 -1 -2 -3 -1 60 -0.5 0 Real Axis (seconds -1) 0.5 1 Lazo cerrado- Señal de control. D(s) W(s) E(s) + - R(s) U(s)  Gd(s) G(s) Y(s) G ( s) R( s) Gd ( s ) Y ( s) = W ( s) + D( s) 1 + G ( s) R( s) 1 + G ( s ) R( s) U ( s ) = R ( s ) E ( s ) = R ( s )[W ( s ) − Y ( s )] = R ( s )[W ( s ) − G ( s )U ( s ) − Gd ( s ) D ( s )] U ( s )[1 + R( s )G ( s )] = R( s )[W ( s ) − Gd ( s ) D ( s )] 61 R( s ) R( s )Gd ( s ) D( s) U ( s) = W ( s) + 1 + G ( s ) R( s ) 1 + G ( s) R( s) TODAS LAS TRANSPARENCIAS QUE HACEN REFERENCIA A CONTROLADORES P, PI Y PID SON MUY IMPORTANTES. IREMOS REPASANDO MÁS O MENOS SEGÚN NOS HAGAN FALTA. 62 Control Proporcional (P). W(s) + E(s) - R(s) U(s) U ( s) = Kp u ( t ) = K p e( t ) R ( s ) = E ( s) • Kp: Ganancia o sensibilidad proporcional. • Incremento de Kp produce disminución del error estacionario. 63 Control Proporcional Integral (PI) (I). W(s) + E(s) - R(s) U(s) u ( t ) = K p e( t ) + Kp Ti t ∫ e(t )dt 0  1 1 + Ti s U ( s) = K p 1 +  = K p R( s ) = E ( s) Ti s  Ti s  • • • • 64 Kp: sensibilidad proporcional o ganancia. Ti: tiempo integral. 1/Ti: frecuencia de reposición. La frecuencia de reposición es el número de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la acción de control. Control Proporcional Integral (PI) (y II). W(s) + E(s) - R(s) U(s) U ( s) 1 + Ti s R( s ) = = Kp Ti s E ( s) • La señal de control puede tener valor no cero cuando el error actuante es cero. • Elimina el error estacionario. • Puede llevar a la inestabilidad. 65 Control Proporcional Derivativo (de velocidad) (PD) (I). W(s) + E(s) - R(s) U(s) d u(t ) = K p e(t ) + K pTd e(t ) dt U ( s) = K p [1 + Td s ] R( s ) = E ( s) • Kp: sensibilidad proporcional o ganancia. • Td: tiempo derivativo. • Tiempo derivativo: tiempo que adelanta la acción derivativa a la acción proporcional. 66 Control Proporcional Derivativo (de velocidad) (PD) (y II). U ( s) = K p [1 + Td s ] R( s) = E ( s) • • • • Acción de carácter anticipativo. Amplifica el ruido. Puede saturar el actuador. Solo actúa en los transitorios (sola no puede estar). • No afecta al estacionario, añade amortiguamiento, mejora la ganancia. 67 Control Proporcional Integral Derivativo (PID) (y II).  1 U ( s) R( s ) = = K p 1 + Td s +  E ( s) Ti s   68 El Regulador PID K u (t ) = K ⋅ e(t ) + Ti d ∫0 e(t )dt + K ⋅ Td dt e(t ) t 2   K  TT + Ti s + 1  s 1 U ( s) i d = K 1 + + Td s  =   E ( s) T s T s  i i    W(s) E(s) + -   1 K 1 + + Td s   Ti s  Kp: Sensibilidad proporcional U(s) o ganancia, Ti: tiempo integral, Td: tiempo derivativo.  Reúne las ventajas de las tres acciones por separado. 69 Acción integral y w w y t t u u t Un regulador P no elimina el error estacionario en procesos sin integrador (tipo 0) Kp Ti ∫ edτ t Si se añade el término integral, la acción integral continúa cambiando u(t) hasta conseguir 70 que el error sea cero Acción derivativa y w w y e( t ) = w ( t ) − y ( t )  de  1 u ( t ) = K p  e( t ) + ∫ e(τ)dτ + Td  dt  Ti  t t u u t Un regulador P con ganancia alta para dar respuesta rápida puede provocar oscilaciones por u(t) excesiva. t La acción derivativa reduce oscilaciones: -Acelera u(t) si e(t) crece, -Modera u(t) si e(t) decrece. 71 A. Prueba y Error y w y 2º Aumentar Td 1º Aumentar K w y w Partir de valores bajos de Kp, sin acción integral o derivativa 1. Aumentar Kp hasta obtener una forma de respuesta aceptable sin valores excesivos de u(t), 3º Disminuir Ti 72 2. Aumentar ligeramente Td para mejorar la respuesta transitoria, 3. Disminuir Ti hasta eliminar el error estacionario. Ziegler-Nichols Lazo Cerrado Tabla de sintonía P Ganancia K 0.5 Kc Tiempo integral PI 0.45 Kc Tc/1.2 PID 0.6 Kc Tc/2 Tipo  Kc ganancia crítica  Tc periodo de oscilación mantenida  Ti y Td en las mismas unidades que Tc 73 Tiempo derivativo Tc/8 4   s+  Tc   RPID ( s ) = 0.075 KcTc s 2 Ziegler-Nichols lazo abierto Tabla de sintonía Tipo      P Ganancia K τ /(K∙d) Tiempo integral PI 0.9∙τ/(K∙d) 3.33∙d PID 1.2∙τ/(K∙d) 2∙d K ganancia , d retardo, τ constante de tiempo Ti y Td en las mismas unidades que d Nótese que Ti = 4 Td 74 Tiempo derivativo 0.5∙d Discretización de un PID Ecuación integro-diferencial  ecuación en diferencias finitas t   d 1 u (t ) = K  e(t ) + ∫ e(τ )dτ + Td e(t )  Ti 0 dt    e(t ) − e(t − T )  1 t Posible aproximación u (t ) ≈ K  e(t ) + ∑ e(iT )T + Td  Ti i =1 T    e(t − T ) − e(t − 2T )  1 t =T u (t − T ) ≈ K  e(t − T ) + ∑ e(iT )T + Td  Ti i =1 T    T e(t ) − 2e(t − T ) + e(t − 2T )  u (t ) − u (t −= T ) K  e(t ) − e(t − T ) + e(t ) + Td  T T i   u (t ) = u (t − T ) + g 0 e(t ) + g1e(t − T ) + g 2 e(t − 2T )  T Td  2Td  Td  g 0= K 1 + +  g1= K  −1 −  g 2= K T  T   Ti T  75 Controladores PID Acción D (Derivativa)  La acción derivativa aumenta la velocidad de reacción a un cambio del error (acción anticipadora)  D(s) = KP + KDs.  Con Kp = 300 y Kd = 10,  Reduce el sobrepico máximo  Disminuye el tiempo de establecimiento  Aumenta el ancho de banda Controladores PID Controladores PID (Proporcionales – Integrales - Derivativos)  Reúne todas las ventajas de las acciones P, I y D t    1 1 de(t )  U (s ) ⇒ = + + 1 u (t ) = K p e(t ) + ∫ e(t )dt + Td Kp T s  d   ( ) T dt E s T s i 0 i      Pero también arrastra los problemas de cada una de las acciones  Saturación de la acción derivativa (la salida se hace muy grande ante cambios repentinos de la señal de error). Se soluciona incluyendo en el término derivativo una constante de relajación α = 0.05…0.2.  Integral windup: debido a la integración de la señal de error. Si hay un sobrepico, la acción integral sumará estos errores positivos para generar la acción integral necesaria. Si el error se hace negativo entonces, la dirección de la señal de control no variará para compensar este error mientras la suma del error previo sea dominante. Sintonización de reguladores PID  Sintonización: ajuste de los parámetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseño  Métodos clásicos. Se utilizan desde los años 50, y son básicamente un ajuste empírico de los parámetros. Veremos 3 métodos principales:  Método de oscilación de Ziegler-Nichols: halla el valor de la acción proporcional mediante el método de lugar de raíces y calcula el resto de los parámetros mediante unas tablas.  Método de la curva de reacción de Ziegler-Nichols  Método de la curva de reacción de Cohen-Coon  Métodos basados en modelo. Sintonización de reguladores PID  Método de oscilación de Ziegler-Nichols: ajuste de los parámetros Kp, Ti y Td para que se satisfagan los requisitos del diseño  Se utiliza un controlador P para el control del sistema en lazo cerrado  Se incrementa la ganancia Kp hasta que el sistema se hace críticamente estable. Se calcula la ganancia K y el periodo de las oscilaciones T  Los parámetros del regulador se calculan según una tabla