Matemática Financiera PDF

Formulación y Evaluación de Proyectos Matemática Financiera. Facultad de Ingeniería - UNJu Matemáticas financieras. Se utilizan para analizar y comprender el comportamiento de los productos financieros, como bonos, acciones, préstamos, hipotecas, y derivado...

Formulación y Evaluación de Proyectos Matemática Financiera. Facultad de Ingeniería - UNJu Matemáticas financieras. Se utilizan para analizar y comprender el comportamiento de los productos financieros, como bonos, acciones, préstamos, hipotecas, y derivados, así como para calcular valores presentes y futuros, tasas de interés, rentabilidad, riesgos y otros factores clave en la toma de decisiones financieras Conceptos fundamentales El interés simple se calcula solo sobre el capital inicial, es decir, no se acumula sobre intereses previos Donde: I = interés P = Principal o capital inicial r = Tasa de interés (en forma decimal) t = Tiempo (en años) Ejemplo Si se invierte $ 1.000 a una tasa de interés del 5% anual por 3 años, el interés simple sería I = 1.000 x 0.05 x 3 = 150 dólares Características o Crecimiento lineal: Los intereses generados son proporcionales al tiempo. o Aplicación: El interés simple es común en préstamos a corto plazo, algunos tipos de bonos, y en situaciones donde el tiempo es relativamente corto. Ingeniería de Minas Conceptos fundamentales. Interés compuesto Se calcula sobre el capital inicial y los intereses acumulados en períodos anteriores. Donde: M = Monto final P = Principal o capital inicial r = Tasa de interés anual (en forma decimal) n = Número de veces que se capitaliza el interés por año t = Tiempo (en años) Ejemplo Si se invierte $ 1.000 a una tasa de interés compuesto del 5% anual, capitalizado anualmente durante 3 años, el monto final sería A = 1.000 x (1 + (0,05/1)^(1x3) = 1.157,63 dólares. Características o Crecimiento exponencial: Los intereses crecen más rápidamente con el tiempo, debido a que se calculan sobre un capital que aumenta en cada período. o Aplicación: El interés compuesto se utiliza en la mayoría de las inversiones a largo plazo, como cuentas de ahorro, fondos de inversión, y préstamos a largo plazo. Ingeniería de Minas Comparación entre I Simple e I Compuesto.  Crecimiento: El interés simple crece de manera lineal, mientras que el interés compuesto crece de manera exponencial.  Ganancias: El interés compuesto genera mayores ganancias a lo largo del tiempo, especialmente cuando se invierte a largo plazo.  Aplicación: El interés simple se usa generalmente para períodos cortos y situaciones específicas, mientras que el interés compuesto es más común en inversiones y financiamientos a largo plazo. Ingeniería de Minas Conceptos fundamentales. Valor Presente (Actualización) También conocida como descuento, es el proceso de determinar el valor presente de un monto de dinero que se recibirá o pagará en el futuro. Es la acción de "traer" un monto de dinero desde el futuro hacia el presente. Donde: VF = Valor futuro r = Tasa de interés t = Tiempo (en años) Ejemplo Si se va a recibir $ 1.000 en 3 años y la tasa de descuento es del 5%, el valor presente sería VP = 1.000 / ((1 + 0,05)^3) = 863,84 dólares. Aplicaciones de la Actualización ‑ Valoración de proyectos: Determinar si una inversión futura es rentable en términos actuales. ‑ Análisis de flujos de caja: Evaluar el valor presente neto (VPN) de un flujo de efectivo para tomar decisiones de inversión. ‑ Préstamos y financiamiento: Calcular cuánto es el valor actual de pagos futuros en un préstamo. Ingeniería de Minas Conceptos fundamentales. Valor Futuro (Capitalización) Es el proceso de determinar el valor futuro de un monto de dinero, considerando una tasa de interés durante un período determinado. Es la acción de "llevar" un monto de dinero desde el presente hacia el futuro. Donde: P = Principal o capital inicial r = Tasa de interés t = Tiempo (en años) Ejemplo Si se invierte $ 1.000 a una tasa de interés del 5% anual durante 3 años, el valor futuro sería VF = 1.000 x (1 + 0,05)^3 = 1.157,63 dólares. Aplicaciones de la Capitalización ‑ Inversiones: Determinar el valor futuro de una inversión. ‑ Planes de ahorro: Calcular cuánto valdrá una suma específica ahorrada durante varios años. ‑ Interés compuesto: Entender cómo los intereses generados sobre el capital también generan intereses adicionales Ingeniería de Minas Comparación entre VP y VF. ‑ Dualidad: La capitalización y la actualización son operaciones inversas. Mientras que la capitalización transforma un valor presente en un valor futuro, la actualización convierte un valor futuro en su equivalente presente. ‑ Tasa de interés: Ambos procesos dependen de la tasa de interés o de descuento, que refleja el valor del dinero en el tiempo. ‑ Horizonte temporal: El impacto de la capitalización o actualización es mayor cuanto más largo es el horizonte temporal, debido al efecto compuesto de los intereses. Ingeniería de Minas Conceptos fundamentales. Anualidades Son una serie de pagos o cobros iguales que se realizan a intervalos regulares durante un período de tiempo. Tipos de Anualidades  Anualidad Ordinaria: Pagos al final de cada período.  Anualidad Anticipada: Pagos al inicio de cada período. Donde: PMT = Pago periódico r = Tasa de interés por período t = Número total de períodos Ejemplo Si se hace un pago anual de $ 1.000 durante 3 años a una tasa del 5%, el valor futuro sería VF = 1.000 x ((1 + 0.05)^3 – 1) / 0,05) = 3.152,50 dólares. Ingeniería de Minas Interés Real e Interés Nominal. Reflejan la diferencia entre la tasa de interés que se observa en el mercado y la tasa de interés ajustada por la inflación. Interés Nominal Es la tasa de interés que se observa o se acuerda en el mercado sin tener en cuenta la inflación. Es el porcentaje que se paga o se recibe por un préstamo o una inversión en un período determinado. ‑ No ajustada por inflación: La tasa nominal no refleja los cambios en el poder adquisitivo del dinero. ‑ Frecuente en mercados financieros: Es la tasa que normalmente se cita en contratos, bonos, préstamos y cuentas de ahorro. Ejemplo Si se deposita $ 1.000 en un banco a una tasa de interés nominal del 5% anual, al final del año se recibirá $ 1.050. Aquí, el 5% es la tasa de interés nominal. Ingeniería de Minas Interés Real e Interés Nominal. Interés Real Es la tasa de interés ajustada por la inflación. Refleja el poder adquisitivo real del dinero. La relación entre la tasa de interés nominal rn la tasa de interés real rr y la tasa de inflación i se puede aproximar mediante la fórmula de Fisher: Características ‑ Ajustada por inflación: Considera el impacto de la inflación, proporcionando una visión más precisa del retorno de una inversión o del costo de un préstamo. ‑ Refleja poder adquisitivo: Indica el aumento o la pérdida del poder adquisitivo del dinero. Ejemplo Si la tasa de interés nominal de una inversión es del 5% anual y la tasa de inflación es del 3% anual, la tasa de interés real aproximada sería: Esto significa que, aunque ganaste un 5% en términos nominales, el poder adquisitivo de tu dinero solo aumentó un 2% después de considerar la inflación. Ingeniería de Minas Relación entre Interés Real e Interés Nominal. ‑ Inflación: La tasa de interés real es menor que la nominal cuando hay inflación positiva. Si la inflación es alta, puede incluso ocurrir que una tasa nominal positiva resulte en una tasa real negativa. ‑ Deflación: Si hay deflación (inflación negativa), la tasa de interés real puede ser mayor que la nominal. ‑ Decisiones financieras: Los inversores y prestatarios deben considerar la tasa de interés real, no solo la nominal, para tomar decisiones informadas sobre inversiones y financiamiento. Ingeniería de Minas Tasa equivalente. Concepto de Tasas Equivalentes Dos tasas de interés son equivalentes cuando, bajo diferentes periodos de capitalización, resultan en el mismo monto acumulado al final de un determinado tiempo. Fórmulas de Tasa Anual a Tasa Periódica Fórmulas de Tasa Anual a Tasa Periódica Donde: Donde: i_a = Tasa de interés anual i_a = Tasa de interés anual i_p = Tasa de interés periódica i_p = Tasa de interés periódica m = Número de periodos dentro del año (por m = Número de periodos dentro del año ejemplo, 12 para mensual, 4 para trimestral) Ingeniería de Minas Tasa equivalente. Ejemplos de Tasas Equivalentes Ejemplo 1: De Tasa Anual a Tasa Mensual Supongamos que tienes una tasa de interés anual del 12% y deseas encontrar su tasa equivalente mensual. Esto significa que una tasa de interés del 12% anual es equivalente a una tasa de aproximadamente 0.9488% mensual. Ejemplo 2: De Tasa Mensual a Tasa Anual Ahora, supongamos que tienes una tasa de interés mensual del 1% y deseas encontrar su tasa equivalente anual. Esto significa que una tasa de interés del 1% mensual es equivalente a una tasa de aproximadamente 12.68% anual. Ingeniería de Minas Importancia de las tasa equivalente. ‑ Comparación de opciones de financiamiento o inversión: Permite comparar de manera justa diferentes productos financieros que utilizan diferentes frecuencias de capitalización. ‑ Consistencia en cálculos financieros: Garantiza que se estén usando tasas de interés correspondientes a los mismos periodos de tiempo cuando se realizan análisis financieros, como la valoración de flujos de caja, cálculo de préstamos, entre otros. ‑ Ajuste de tasas: Facilita la tarea de ajustar tasas de interés cuando se cambian las condiciones de capitalización de una inversión o préstamo. Ingeniería de Minas