روش های کمی - PDF
Document Details
Uploaded by Deleted User
دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه خوارزمی تهران
مصطفی ابوئی اردکان
Tags
Summary
This document covers various quantitative methods in finance, including time value of money concepts, such as present and future value, simple and compound interest, and discount rates. It contains examples and formulas related to these topics and discusses the concept of inflation.
Full Transcript
روش های کمی 05 مصطفی ابوئی اردکان دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه خوارزمی تهران اگر قرار باشد که شما صد میلیون تومان دریافت کنید ،ترجیح میدهید این مبلغ را امسال دریافت کنید یا سال بعد؟ برای پاسخ به این سوال ،چه عواملی را باید برر...
روش های کمی 05 مصطفی ابوئی اردکان دانشکده فنی و مهندسی دانشگاه خوارزمی تهران اگر قرار باشد که شما صد میلیون تومان دریافت کنید ،ترجیح میدهید این مبلغ را امسال دریافت کنید یا سال بعد؟ برای پاسخ به این سوال ،چه عواملی را باید بررسی کنید؟ تورم مفهوم تورم به معنی افزایش سطح عمومی قیمت‌ها است و افزایش یا کاهش آن تغییر سرعت افزایش قیمت‌ها نشان می‌دهد.کاهش تورم به معنای ارزان شدن کاالها و کمتر شدن قیمت آن‌ها نیست ،بلکه به معنای کاهش سرعت رشد قیمت‌هاست. به عنوان مثال ،زمانی که گفته می‌شود تورم از ۱۵درصد به ۱۰درصد رسیده است به این معناست که آهنگ رشد قیمت‌ها از ۱۵درصد به ۱۰درصد رسیده است. نرخ تورم سال 2024به تفکیک کشور ارزش زمانی پول ارزش زمانی پول اگر تورم در یک اقتصاد صفر باشد ،آیا همچنان پول ارزش زمانی دارد ؟ با فرض گران نشدن کاالها در طی زمان آیا همچنان شما پول امسال را به پول سال بعد ترجیح می دهید ؟ نرخ بهره بدون ریسک بهره مرکب بهره ساده بهره ای است که به کل پول اعم از اصل و فرع بهره ای است که فقط به اصل پول تعلق می تعلق می گیرد. گیرد. نرخ بهره از دید سرمایه گذار ،بهره مرکب مهم است لذا در کتب مالی منظور از بهره ،همیشه بهره مرکب است ،جز در مواردی که صریحا اشاره شود. محاسبه‌ارزش‌پول‌در‌زمان‌های‌مختلف : )PV( Present Valueارزش فعلی پول (ارزش پول در زمان صفر) : )FV (Future Valueارزش آتی پول (ارزش پول پس از گذشت nدوره ) : )i(Interest rateنرخ بهره مرکب : )n(Number of priodsتعداد دوره مثال :با فرض نرخ بهره ی ، %10به سواالت زیر پاسخ دهید : هزار تومان امسال ،پس ازگذشت 5سال چه ارزشی خواهد داشت ؟ 1000تومان 5سال بعد ،معادل چه مبلغی در زمان حال است ؟ چند سال طول می کشد تا 1000تومان سرمایه گذاری به مبلغ 2000تومان برسد (ارزش سرمایه گذاری دو برابر شود)؟ به ازای چه نرخی از بهره مرکب ،پس از گذشت 3سال ،ارزش سرمایه گذاری دو برابر می شود ؟ FV=PV*(1+i)^n=1000(1+10%)^5=1610.51 PV=FV/(1+i)^n=1000/(1+10%)^5=620.92 FV=PV*(1+i)^n (1+i)^n=FV/PV n log (1+i)=log (FV/PV) n=log(FV/PV)/log (1+i)=log 2/ log 1.1, n=7.27 3 FV=PV(1+i)^n 2=(1+i)^3 i= 2 − 1 = 26% دیدیم‌که‌چگونه‌می‌توان‌با‌استفاده‌از‌مفهوم‌نرخ‌تنزیل،ارزش‌پول‌را‌در‌طول‌زمان‌محاسبه‌نمود.در‌این‌فرمول‌ها‌فرض‌کردیم‌که‌پول‌در دوره های‌زمانی‌مشخص‌به‌دلیل‌تعلق‌بهره‌به‌آن‌رشد‌می‌نماید.این‌دوره‌ها‌می‌تواند‌ساالنه،ماهانه‌و‌روزانه‌و‌یا‌هر‌بازه‌زمانی‌مشخص‌باشند.ممکن است‌این‌سوال‌مطرح‌شود‌که‌آیا‌دوره‌های‌زمانی‌می‌تواند‌کوچکتر‌از‌روز،مثال‌ساعت،دقیقه‌و‌یا‌د‌رحالت‌حدی‌یک‌لحظه‌باشد؟ 𝒏∗𝒊𝒆 × FV=PV این‌فرمول،ارزش‌آتی‌یک‌وجه‌نقد‌را‌در‌حالت‌بهره‌مرکب‌پیوسته(بدین‌معنا‌که‌به‌پول‌به‌صورت‌لحظه‌ای‌بهره‌تعلق‌می‌گیرد)نشان‌می دهد.در‌این‌فرمول i،نرخ‌بهره‌ساالنه n،تعداد‌سال‌ها‌و eعدد‌نپر(تقریبا‌برابر‌با)2.7۱83می‌باشد. مثال:فرض‌کنید‌که‌شما‌مبلغ ۱۰۰تومان‌در‌زمان‌صفر‌در‌حسابی‌سرمایه‌گذاری‌می‌نمایید‌که‌به‌آن‌بهره‌مرکب‌پیوسته‌تعلق‌می‌گیرد. اگر‌نرخ‌بهره‌ساالنه‌برابر%۱۰باشد،ارزش‌این‌سرمایه‌گذاری‌را‌در‌انتهای‌سال‌دوم‌محاسبه‌نمایید: پاسخ:ارزش‌آتی‌این‌سرمایه‌گذاری‌در‌انتهای‌سال‌دوم‌برابر‌خواهد‌بود‌با: FV= PV× 𝑒 𝑖×𝑛 = 100 ∗ 1.2214 = 122.14 آشنایی‌با‌برخی‌از‌اشکال‌خاص‌جریان‌وجوه‌نقد شکل‌کلی‌جریان‌وجه‌نقد‌در‌یک‌سالواره‌را‌می‌توان‌در‌نمودار‌زمانی‌زیر‌مشاهده‌نمود: سالواره :مجموعه‌ای‌از‌اقساط‌مساوی‌است‌که‌از‌زمان‌یک‌شروع‌شده‌و‌تا‌زمان nادامه‌پیدا‌می‌کند. مثال‌های‌مختلفی‌از‌سالواره را‌می‌توان‌در‌زندگی‌روزمره‌مشاهده‌نمود.به‌عنوان‌مثال‌هنگامی‌که‌شما‌در‌زمان‌صفر‌یک‌وام ۵ساله‌با‌اقساط‌ماهانه‌دریافت‌نموده‌و از‌زمان‌یک‌شروع‌به‌پرداخت‌اقساط‌می‌نمایید،با‌یک‌سالواره مواجه‌هستید‌که Aبرابر‌است‌با‌اقساط‌مساوی‌ماهانه‌و nبرابر‌است‌با(6۰تعداد‌اقساط‌متوالی). دقت‌نمایید‌که‌در‌فرمول‌های‌مرتبط‌با‌ارزش‌زمانی‌پول،هیچ‌تاکیدی‌بر‌ساالنه‌بودن‌دوره‌ها‌وجود‌ندارد،تنها‌کافی‌است iو nقابل‌قیاس‌باشند(.مثال‌هر‌دو‌ماهانه یا‌هر‌دو‌ساالنه) با‌استفاده‌از‌فرمول‌های‌ذیل‌می‌توان‌ارزش‌فعلی‌و‌یا‌ارزش‌آتی‌کلیه‌وجوه‌نقد‌سالواره‌را‌محاسبه‌کرد: 1 1− 𝑛 1+ⅈ × 𝐴 = 𝑣𝑃 ⅈ 1+ⅈ 𝑛−1 × 𝐴 = 𝑣𝐹 ⅈ مثال :شخصی‌قرار‌است‌به‌مدت ۵سال(تا‌انتهای‌سال‌پنجم)،ساالنه‌مبلغ ۱۰۰تومان‌به‌شما‌پرداخت‌نماید.با‌فرض‌نرخ‌بهره‌ساالنه،%۱۰ارزش فعلی‌و‌اتی‌این‌سالواره‌را‌محاسبه‌نمایید: 1 1− 5 1 + 10% × 𝑃𝑣 = 100 = 379.08 10% 1 + 10% 5 − 1 × 𝐹𝑣 = 100 = 610.51 10% این‌اعداد‌را‌می‌توان‌به‌این‌صورت‌تفسیر‌نمود‌که‌برای‌شخصی‌با‌نرخ‌تنزیل% ۱۰دریافت‌های‌زیر‌ارزش‌کامال‌یکسانی‌دارند: دریافت 379.۰8تومان‌در‌زمان‌صفر(ابتدای‌سال‌اول) دریافت 6۱۰.۵۱تومان‌در‌زمان‌پنج(انتهای‌سال‌پنجم) دریافت‌ساالنه‌مبلغ ۱۰۰تومان‌از‌انتهای‌سال‌اول‌تا‌انتهای‌سال‌پنجم مثال :فرض نمایید شما قصد دارید برای تامین آتیه فرزندان خود ،ماهانه مبلغ ۱۰۰هزار تومان در حسابی پس انداز نمایید که به شما ماهانه %2سود پرداخت می نماید.شما سرمایه گذاری را از انتهای ماه اول شروع نموده و تا انتهای سال بیستم ادامه می دهید .ارزش سرمایه گذاری شما در انتهای سال بیستم چقدر خواهد بود ؟ 240 1+ⅈ 𝑛−1 1 + 2% −1 × 𝐴 = 𝑉𝐹 × = 100000 = 574443676 ⅈ 2% اقساط مادام العمر گفتیم‌که‌سالواره‌یعنی‌جریانی‌از‌وجوه‌نقد‌مساوی‌که‌از‌زمان ۱تا‌زمان nدریافت‌یا‌پرداخت‌می‌شوند.اگر‌این‌جریان‌وجوه‌نقد‌را‌به‌صورتی تغییر‌دهیم‌که nبه‌سمت‌بی‌نهایت‌میل‌کند(یعنی‌اقساط‌مساوی‌از‌زمان ۱تا‌بی‌نهایت‌دریافت‌یا‌پرداخت‌شوند)آنگاه‌با‌اقساط‌مادام‌العمر مواجه‌خواهیم‌بود: 𝑨 = 𝒗𝑷 ⅈ نرخ تنزیل نرخ‌بهره‌ی‌مورد‌استفاده‌در‌محاسبات‌ارزش‌زمانی‌پول‌را‌نرخ تنزیل ،حداقل نرخ بازده مورد انتظار و‌هزینه ی فرصت نیز می‌نامند. درامور مالی و اقتصادی ،اعداد (مثال قیمت ها ،نرخ بهره و )...به دو صورت قابل بیان هستند :اعداد اسمی و اعداد حقیقی اعداد اسمی اعدادی هستند که در زندگی روزمره با آن ها مواجه هستیم ،مثال حقوق ماهانه یک کارمند ،نرخ بهره بانکی و..... اما اعداد حقیقی اعدادی هستند که تاثیر تورم در آن ها لحاظ شده است . 𝛱 1 + 𝑖𝑛 = 1 + 𝑖𝑟 1 + 𝜋 𝑖𝑛 ≅ 𝑖𝛤 + (نرخ تورم (*)1+نرخ رشد حقیقی (=)1+نرخ رشد اسمی )1+ فرض‌کنید‌شما‌در‌یک‌سپرده‌بانکی‌با‌نرخ% ۱4سرمایه‌گذاری‌می‌کنید.اگر‌نرخ‌تورم‌برابر‌با%2۰باشد،آیا‌این‌سرمایه‌گذاری‌مطلوب‌است؟ 𝝅 𝒊𝒏 ≅ 𝒊𝜞 + ≅ 𝒊𝜞 +20% 𝒊𝒓 ≅ −𝟔% این سرمایه گذاری برای شما بهره حقیقی -6%به همراه دارد و لذا ساالنه باعث کاهش 6درصدی ثروت شما می گردد ،لذا توجیه اقتصای ندارد. صرفه‌ریسک+نرخ‌اسمی‌بازده‌بدون‌ریسک=نرخ‌تنزیل صرفه‌ریسک+نرخ‌تورم+نرخ‌حقیقی‌بازده‌بدون‌ریسک=نرخ‌تنزیل انواع نرخ بازده نرخ بهره موثر ساالنه ((EAR اگر nبه سمت بی نهایت میل کند (بدین معنا که سرمایه گذاری به صورت لحظه ای مرکب شود) سود به صورت پیوسته مرکب فرض‌کنید‌شما‌مبلغ ۱۰۰تومان‌در‌اوراق‌مشارکت‌نوع‌الف‌و‌مبلغ ۱۰۰تومان‌نیز‌در‌اوراق‌مشارکت‌نوع‌ب‌سرمایه‌گذاری‌می‌نمایید.هر‌دوی‌این‌اوراق سود%۱۰به‌شما‌پرداخت‌خواهند‌کرد.با‌این‌تفاوت‌که‌اوراق‌نوع‌الف،کل‌سود‌را‌در‌انتهای‌سال‌و‌اوراق‌نوع‌ب‌سود‌را‌هر 6ماه‌یک‌بار‌پرداخت‌می نمایند.نمودار‌زیر‌زمان‌پرداخت‌سود‌این‌اوراق‌را‌نشان‌می‌دهد: شما‌به‌عنوان‌یک‌سرمایه‌گذار‌کدام‌یک‌از‌این‌اوراق‌را‌ترجیح‌می‌دهید؟ با‌توجه‌به‌مفهوم‌ارزش‌زمانی‌پول‌مشخص‌است‌که‌اوراق‌نوع‌ب‌از‌جذایبت‌بیشتری‌برخوردار‌است.هرچند‌اوراق‌نوع‌الف‌و‌ب‌هر‌دو‌در‌طی‌سال‌مبلغ ۱۰تومان‌به‌عنوان‌سود‌پرداخت‌می‌کنند‌ولی‌اوراق‌نوع‌ب،نصف‌این‌مبلغ‌را‌در‌زمان‌زودتری‌پرداخت‌می‌کند‌و‌به‌شما‌اجازه‌می‌دهد‌با‌سرمایه گذاری‌مجدد‌این‌مبلغ،از‌این‌محل‌نیز‌مقدار‌دیگری‌سود‌کسب‌نمایید.بنابراین‌هنگامی‌که‌در‌مورد‌اوراق‌بهادار‌و‌یا‌سپرده‌های‌بانکی‌صحب‌می‌کنیم ،نه‌تنها‌سود‌ساالنه‌آن‌ها‌برای‌ما‌مهم‌می‌شود‌بلکه‌تناوب پرداخت سود در‌ان‌ها(مثال‌ماهانه،هر‌سه‌ماه‌یکبار‌و)...نیز‌اهمیت‌پیدا‌می‌کند. 1 10% 𝐸𝐴𝑅 = 1 + − 1 = 10% 1 2 10% 𝐸𝐴𝑅 = 1 + − 1 = 10.25% 2 Bank Discount Yield (BDY) نرخ‌بازده‌تنزیل‌بانکی 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒖𝒏𝒕 𝟑𝟔𝟎 BDY= × 𝑭𝒂𝒄𝒆 𝑽𝒂𝒍𝒖𝒆 𝒕 مثال:یک‌شرکت‌برای‌تامین‌مالی‌اقدام‌به‌انتشار‌اوراق‌قرضه‌می‌نماید.شرکت‌در‌این‌فرآیند،به‌انتشار‌اوراقی‌با‌قیمت‌اسمی ۱۰۰۰تومان‌اقدام‌می نماید.این‌اوراق‌در‌بازار‌با‌قیمت 92۰تومان(ارزش‌بازار)به‌فروش‌می‌رسد.سررسید‌این‌اوراق ۱8۰روزه‌است.نرخ‌بازده‌تنزیل‌بانکی‌برای‌این‌اوراق را‌محاسبه‌نمایید. 80 360 = 𝑌𝐷𝐵 × = 16% 1000 180 مثال :اوراق‌بهاداری‌از‌نوع Discountedدر‌نظر‌بگیرید.نرخ‌بازده‌تنزیل‌بانکی‌این‌اوراق‌برابر،%۱2ارزش‌اسمی‌ان‌برابر ۱۰۰۰تومان‌و‌سررسید آن‌نیز‌برابر 27۰روز‌است.قیمت‌خرید‌این‌اوراق‌را‌محاسبه‌نمایید. 𝐷 360 = 12% × 1000 270 𝐷 = 90 نرخ‌بازده‌دوره‌نگهداری)(HPY - HPR در‌مجامع‌رسمی،بازده‌معموال‌به‌صورت‌ساالنه‌معرفی‌و‌اعالم‌می‌شود.تنها‌‌استثنا‌در‌این‌زمینه‌بازده‌دوره‌نگهداری‌است‌که‌بازده‌اوراق‌بهادار‌را در‌یک‌دوره‌مشخص(مثال 9ماهه)بیان‌می‌کند.بازده‌دوره‌نگهداری‌دقیقا‌همان‌مفهومی‌است‌که‌افراد‌غیر‌مالی‌از‌بازده‌در‌ذهن‌دارند. مثال:شما‌در‌ابتدای‌سال‌سهامی‌را‌به‌قیمت ۱۵۰تومان‌خریداری‌می‌نمایید.پس‌از 6ماه‌این‌سهم 2۰تومان‌سود‌توزیع‌می‌کند‌و‌قیمت‌آن‌به ۱6۰تومان‌می‌رسد.بازده‌دوره‌نگهداری‌و‌نرخ‌بهره‌موثر‌سالیانه‌را‌برای‌این‌سهم‌محاسبه‌نمایید. پاسخ:ارزش‌پایانی‌سهم‌برابر‌است‌با.۱8۰=2۰+۱6۰در‌واقع‌این‌سهم‌برای‌شما ۱8۰تومان‌ارزش‌دارد‌چرا‌که 2۰تومان‌نقدا‌به‌شما‌پرداخت‌نموده (تحت‌عنوان‌توزیع‌سود)و‌شما‌می‌توانید‌آن‌را‌به‌قیمت ۱6۰تومان‌بفروشید.لذا‌‌ارزش‌سهم‌در‌پایان‌دوره( 6ماه)برابر ۱8۰تومان‌است.بنابراین بازده‌دوره‌نگهداری‌برای‌این‌سرمایه‌گذاری‌برابر‌خواهد‌بود‌با: 160 + 2𝑂− 150 30 = 𝑅𝑃𝐻 = = 20% 150 150 میانگین‌حسابی‌و‌هندسی‌بازده 𝑛𝑅 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + = 𝑛𝑎𝑒𝑚𝑐𝑖𝑡𝑎𝑚𝑅𝐴𝑟𝑖𝑡ℎ 𝑛 𝑛 = 𝑛𝑎𝑒𝑚𝑐𝑖𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑒𝐺𝑅 1 + 𝑅1 1 + 𝑅2 … 1 + 𝑅𝑛 − 1 می‌شود. از‌میانگین‌حسابی‌برای‌پیش‌بینی‌آینده‌و‌از‌میانگین‌هندسی‌برای‌بررسی‌عملکرد‌گذشته‌استفاده واریانس 2 از‌واریانس‌به‌عنوان‌معیار‌و‌شاخص‌سنجش‌ریسک‌استفاده‌می‌شود. 𝑥 − 𝑥ҧ = 𝑠2 𝑛−1 نسبت شارپ می‌دانیم‌که‌برای‌بررسی‌و‌مقابسه‌گزینه‌های‌سرمایه‌گذاری،باید‌دو‌ویژگی‌مهم‌سرمایه‌گذاری‌ها،یعنی‌ریسک و‌بازده‌را مبنا‌قرار‌دهیم.در‌اینجا‌قصد‌داریم‌با‌شاخصی‌آشنا‌شویم‌که‌هم‌زمان‌ریسک‌و‌بازده‌گزینه‌های‌سرمایه‌گذاری‌را‌در‌نظر‌می گیرد‌و‌آن‌ها‌را‌در‌یک‌عدد‌خالصه‌می‌نماید.به‌چنین‌شاخص‌هایی،شاخص‌های‌بازده‌متعادل‌شده‌با‌ریسک‌اطالق‌می شود. یکی‌از‌رایج‌ترین‌این‌شاخص‌ها،نسبت‌شارپ‌است‌که‌به‌صورت‌زیر‌محاسبه‌می‌شود. مثال:نسبت‌شارپ‌را‌برای‌یک‌سرمایه‌گذاری‌محاسبه‌نمایید،اگر‌بدانیم‌که‌بازده‌مورد‌انتظار‌این‌سرمایه‌گذاری‌برابر،% ۱۰نرخ‌بازده‌بدون‌ریسک برابر%۵و‌انحراف‌معیار‌این‌سرمایه‌گذاری‌برابر‌با% 2است. 𝑅 − 𝑅𝑓 10% − 5% = Sharp − Ratⅈo = = 2.5 𝜎 2% عدد 2.۵برای‌نسبت‌شارپ‌بدین‌معناست‌که‌در‌این‌سرمایه‌گذاری،به‌ازای‌هر‌واحد‌ریسکی‌که‌سرمایه‌گذار‌تقبل‌نموده‌است 2.۵،واحد‌بازده‌مازاد(مازاد‌بر‌نرخ بازده‌بدون‌ریسک)کسب‌نموده‌است.نسبت‌شارپ‌باالتر،به‌معنای‌مطلوب‌تر‌بودن‌گزینه‌سرمایه‌گذاری‌است. بتا بتا()βیکی‌دیگر‌از‌معیارهای‌سنجش‌ریسک‌برای‌یک‌دارایی‌است‌که‌نشان‌دهنده‌رابطه‌بازده‌یک دارایی‌و‌بازده‌بازار‌است. 𝛽 > 1مثبت بودن بتا نشان می دهد که نوسانات این سهم هم سو با نوسانات بازار است.بزرگ تر بودن بتای شرکتی از عدد یک نشان می دهد که نوسانات بازده این سهم از نوسانات بازده بازار شدیدتر است. 𝛽 = 1بتای بازار برابر ۱است .هر گاه بتای سهمی برابر یک شد بدین معناست که نوسانات بازده آن کامال هم سو و هم اندازه با نوسانات بازده بازار است. 0 < 𝛽 < 1مثبت بودن بتای سهم نشان می دهد که بازده این سهم هم سو با بازده بازار حرکت می کند ولی نوسانات آن کم تر از نوسانات بازده بازار است. 𝛽 = 0هیچ ارتباط خاصی بین بازده این سهم و بازده بازار وجود ندارد. 𝛽 < 0نوسانات بازده این سهم در خالف جهت نوسانات بازده بازار است.
