Cours sur les Ensembles et Applications PDF

Chapitre 10 Ensembles et applications Table des matières 10.1 Rudiments de théorie des ensembles........................................ 1 10.1.1 La notion d’ensemble............................................. 1 10.1.2 Intersection et réunion......................................

Chapitre 10 Ensembles et applications Table des matières 10.1 Rudiments de théorie des ensembles........................................ 1 10.1.1 La notion d’ensemble............................................. 1 10.1.2 Intersection et réunion............................................ 2 10.1.3 Produit cartésien............................................... 5 10.2 Applications entre deux ensembles......................................... 6 10.2.1 Généralités.................................................. 6 10.2.2 Image directe et image réciproque d’un ensemble par une application.................. 8 10.2.3 Injections, surjections, bijections...................................... 9 10.2.4 Fonction indicatrice d’un ensemble..................................... 13 10.3 Exercices sur le chapitre 10............................................. 15 10.1 Rudiments de théorie des ensembles 10.1.1 La notion d’ensemble Les notions d’ensemble et d’appartenance sont considérées comme étant intuitives et sont prises comme point de départ. Un ensemble est une collection d’objets. Pour tout ensemble E, la relation "x est un élément de E", ou "x appartient à E" se note x → E. Sa négation se note x →/ E. Il existe un unique ensemble ne contenant aucun élément appelé l’ensemble vide et noté ↑. On suppose connu l’ensemble N des entiers naturels. Il y a deux façons de présenter un ensemble E : 1. Par extension : on présente la liste des éléments de E entre accolades. Par exemple, E = {x} (on dit que E est un singleton) ou E = {x, y} avec x ↓= y (on dit que E est une paire) ou encore E = {m, a, t, h, e, i, q, u} l’ensemble des lettres du mot "mathématique". La présentation d’un ensemble par extension ne convient cependant que pour les ensembles finis. 2. Par compréhension : cela revient à définir la propriété P que les éléments de E sont les seuls à vérifier. On notera alors E = {x : P(x)} ou si l’on préfère {x | P(x)} (lire : "ensemble des éléments x tels que P(x)"). On a par exemple {1, 2,... , 100} = {k → N : 1 ↭ k ↭ 100}. ! " Exemple 10.1.1. Q = ab : a → Z, b → N→ , C = {a + ib : a → R, b → R}. L’ensemble des entiers naturels pairs est {2n : n → N} = {m → N : ↔n → N, m = 2n} que l’on note aussi parfois 2N. L’ensemble des solution réelles de l’équation x2 = ↗1 est {x → R : x2 + 1 = 0} = ↑, celui des solutions complexes de cette même équation est {z → C : z 2 + 1 = 0} = {↗i, i}. L’intervalle ]a, b] s’écrit ]a, b] = {x → R : a < x ↭ b]. Remarque 10.1.2. Il est fondamental de remarquer que la notion d’ordre n’est pas prise en compte lorsqu’on parle d’ensemble. Par exemple, si x ↓= y on a {x, y} = {y, x}. Remarque 10.1.3. Il est également fondamental de noter que la notion d’ensemble ne prend pas en compte les répétitions. Par exemple, {1, 3, 3} = {1, 3}. 1 2 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS Définition 10.1.4 Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments. Formellement, E = F ↘≃ (⇐x, x → E ↘≃ x → F ). Définition 10.1.5 Soient E et F deux ensembles. On dit que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E lorsque : ⇐x → F, x → E. On note alors F ⇒ E. Mise en garde 10.1.6. Ne pas confondre les symboles → et ⇒ ! Remarque 10.1.7. Clairement, E = F ↘≃ E ⇒ F et F ⇒ E. Méthode 10.1.8. Pour montrer que deux ensembles E et F sont égaux, il est commode de procéder par double inclusion. On démontre séparément les inclusions E ⇒ F et F ⇒ E. Définition 10.1.9 Soit E un ensemble. On note P(E) l’ensemble de toutes les parties de E, c’est-à-dire P(E) := {A : A ⇒ E}. Exemple 10.1.10. P({1, 2, 3}) = {↑, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Remarque 10.1.11. On a toujours ↑ → P(E) et E → P(E). En particulier P(↑) = {↑}. Définition 10.1.12 Soient E et F deux ensembles. La di!érence de E dans F est l’ensemble F \ E := {x → F : x → / E}. Si E ⇒ F , l’ensemble F \E est appelé le complémentaire de E dans F. Quand il n’y a pas d’ambiguité sur l’ensemble F , on le note E ou encore E c. 10.1.2 Intersection et réunion Définition 10.1.13 Soient E1 , E2 deux ensembles. La réunion de E1 et E2 est l’ensemble E1 ⇑ E2 := {x : x → E1 ou x → E2 }. L’intersection de E1 et de E2 est l’ensemble E1 ⇓ E2 := {x : x → E1 et x → E2 }. Lorsque E1 ⇓ E2 = ↑, on dit que E1 ⇑ E2 est la réunion disjointe de E1 et E2. 10.1. RUDIMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 3 Exemple 10.1.14. {1, 2, 3} ⇑ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 5}. {1, 2, 3} ⇓ {1, 3, 5} = {1, 3}. La réunion {1, 3} ⇑ {2, 4} est disjointe. Ces définitions se généralisent aisément pour plus que deux ensembles. Définition 10.1.15 Soit I un ensemble. Soit {Ei : i → I} un ensemble d’ensembles. La réunion des Ei est l’ensemble # Ei := {x : ↔i → I, x → Ei }. i↑I L’intersection des Ei est l’ensemble $ Ei := {x : ⇐i → I, x → Ei }. i↑I # Lorsque Ei ⇓ Ej = ↑ pour tous i ↓= j, on dit que Ei est la réunion disjointe des ensembles Ei. i↑I Théorème 10.1.16 (Règles de calcul) Soit E un ensemble. Soit {Fi : i → I} un ensemble d’ensembles. On a les égalités : % & % & # # $ $ E⇓ Fi = (E ⇓ Fi ) et E ⇑ Fi = (E ⇑ Fi ). i↑I i↑I i↑I i↑I Si de plus les Fi sont tous des sous-ensembles de E, alors # $ $ # Fi = Fi et Fi = Fi. i↑I i↑I i↑I i↑I Démonstration. Raisonnons par équivalence (on pourrait aussi procéder par double inclusion). On a d’une part % & # x→E⇓ Fi ↘≃ (x → E) et (↔i → I, x → Fi ) i↑I ↘≃ ↔i → I, x → E et x → Fi # ↘≃ x → (E ⇓ Fi ). i↑I D’autre part, % & $ x→E⇑ Fi ↘≃ (x → E) ou (⇐i → I, x → Fi ) i↑I ↘≃ ⇐i → I, x → E ou x → Fi $ ↘≃ x → (E ⇑ Fi ). i↑I 4 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS On raisonne de même par équivalence. Dans un premier temps, remarquons que puisque les ' Fi sont(tous des sous- ensembles de E, il en est de même pour leur réunion et leur intersection. Les ensembles Fi et Fi sont donc i↑I i↑I bien définis. D’une part # # x→ Fi ↘≃ x → E et x → / Fi i↑I i↑I ↘≃ (x → E) et (⇐i → I, x → / Fi ) ↘≃ ⇐i → I, x → E et x → / Fi $ ↘≃ x → Fi , i↑I et d’autre part $ $ x→ Fi ↘≃ x → E et x → / Fi i↑I i↑I ↘≃ (x → E) et (↔i → I, x → / Fi ) ↘≃ ↔i → I, x → E et x → / Fi # ↘≃ x → Fi. i↑I On en déduit les égalités annoncées. On retiendra que le passage au complémentaire transforme les réunions en intersections et les intersections en réunions. Définition 10.1.17 Soit E un ensemble.'Une partition de E est la donnée d’un ensemble I et d’un ensemble d’ensembles {Ei : i → I} tel que E = Ei est la réunion disjointe des ensembles Ei et pour tout i → I l’ensemble Ei est NON i↑I VIDE. Si l’un au moins des Ei est vide, alors on parle de recouvrement disjoint. Définition 10.1.18 Un recouvrement ' de l’ensemble E est la donnée d’un ensemble I et d’un ensemble d’ensembles {Ei : i → I} tel que E ⇒ Ei. On précise parfois qu’il s’agit du recouvrement de E par les Ei. i↑I ' Remarque 10.1.19. On peut toujours écrire E = {x} (partition par les singletons). x↑E Exemple 10.1.20. Les ensembles {2n : n → N} (entiers naturels pairs) et {2n + 1 : n → N} (entiers naturels impairs) forment une partition de N. Autrement dit, l’ensemble des entiers naturels pairs est le complémentaire dans N de l’ensemble ) ) des entiers naturels impairs. Les ensembles n1 , 1 pour n → N→ forment un recouvrement de ]0, 1], c’est-à-dire # *1 * ]0, 1] ⇒ ,1. → n n↑N + + Les ensembles 1 1 n+1 , n pour n → N→ forment une partition de ]0, 1], c’est-à-dire # * 1 1 * ]0, 1] = , (où la réunion est disjointe). n+1 n n↑N→ 10.1. RUDIMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 5 10.1.3 Produit cartésien Définition 10.1.21 Soient E1 et E2 deux ensembles. Le produit cartésien de E1 avec E2 est l’ensemble E1 ⇔ E2 := {(x1 , x2 ) : x1 → E1 , x2 → E2 }. Remarque 10.1.22. L’élément (x1 , x2 ) est appelé un couple. Là où on avait {x, y} = {y, x} pour x ↓= y, nous avons ici (x, y) ↓= (y, x). Autrement dit, contrairement à la notion de paire, la notion de couple prend en compte l’ordre. Nous pouvons définir la notion de produit cartésien pour n ↫ 3 ensembles E1 ,... , En. Il s’agit de l’ensemble des n-uplets (x1 ,... , xn ) où xk → Ek pour tout 1 ↭ k ↭ n. On a (x1 ,... , xn ) = (x↓1 ,... , x↓n ) ↘≃ ⇐k → {1,... , n}, xk = x↓k. On note E n pour E ⇔ · · · ⇔ E (n fois). Exemple 10.1.23. {1, 2} ⇔ {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. R2 est l’ensemble des couples de réels. On l’identifie à un plan muni d’un repère, le couple (x, y) étant représenté par le point d’abscisse x et d’ordonnée y. Remarque 10.1.24. Il revient au même d’écrire "Soient x, y → R", "Soit (x, y) → R2 " ou "Soient x et y deux réels". 6 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS 10.2 Applications entre deux ensembles 10.2.1 Généralités Jusqu’à maintenant, vous étiez habitués à travailler avec des fonctions f : R ↖ R. Nous allons généraliser cette notion pour des ensembles quelconques, plus forcément égaux à R. Définition 10.2.1 Une application est la donnée de trois choses : Un ensemble de départ X, Un ensemble d’arrivée Y , Pour tout x → X, d’un unique élément y → Y noté f (x). On dit alors que x est un antécédent de y par f et que y est l’ image de x par f. L’ensemble {(x, f (x)) : x → X} ⇒ X ⇔ Y est appelé le graphe de f. On la note alors f :X ↖ Y x ↙↖ f (x). ou encore f : x → X ↙↖ f (x) → Y. On note Y X ou encore F(X, Y ) l’ensemble des applications f : X ↖ Y. Exemple 10.2.2. Il est parfois utile (notamment en combinatoire) de se représenter une application comme suit. f a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 Figure 10.1 – Exemple de représentation d’une application f : {a, b, c, d, e} ↖ {1, 2, 3, 4, 5}. Exemple 10.2.3. L’application identité sur X : idX : X ↖ X x ↙ ↖ x L’application qui à une partie de X associe son complémentaire, à savoir f : P(X) ↖ P(X) A ↙↖ A Attention, l’application qui à z → C associe ω → C tel que ω 2 = z n’est pas bien définie, il y a en général deux choix pour l’image de z. Étant donné un produit cartésien X1 ⇔ X2 , on peut toujours définir les projections canoniques p1 : X 1 ⇔ X 2 ↖ X1 p : X1 ⇔ X2 ↖ X2 et 2 (x1 , x2 ) ↙ ↖ x1 (x1 , x2 ) ↙ ↖ x2 10.2. APPLICATIONS ENTRE DEUX ENSEMBLES 7 Soient n ↫ 1 L’application "trace" est définie sur Mn (R) par T r : Mn (R) ↖ R , n A = (ai,j )1↭i,j↭n ↙ ↖ aii i=1 Exemple 10.2.4. L’ensemble des suites à valeurs réelles (resp. complexes) est RN (resp. CN ). Remarque 10.2.5. Dire que deux applications f et g sont égales, c’est dire qu’elles ont même source X, même but Y , et que : ⇐x → X, f (x) = g(x). Mise en garde 10.2.6. Changer un des trois éléments de la définition change l’application. Par exemple les trois appli- f : R+ ↖ R g : R+ ↖ R+ h : R ↖ R+ cations , , sont deux à deux distinctes. x ↙↖ x2 x ↙↖ x2 x ↙↖ x2 Définition 10.2.7 Soient I et X deux ensembles. Une famille d’éléments de X indexée par I est une application I ↖ X. De même que pour les suites (qui sont des applications définies sur N), note (xi )i↑I une famille d’éléments de X indexée par I. On définit maintenant un moyen de fabriquer des applications à partir d’applications déjà connues. Définition-Proposition 10.2.8 Soient X, Y, Z trois ensembles ainsi que f : X ↖ Y et g : Y ↖ Z deux applications. La composée de f et g est l’application notée g ∝ f et définie par g∝f :X ↖ Z x ↙ ↖ g(f (x)). La composition d’applications vérifie les propriétés suivantes : 1. Soit f : X ↖ Y une application. Alors f ∝ idX = f = idY ∝ f. On dit que idX (resp. idY ) est neutre à droite (resp. gauche) pour la composition. 2. Associativité : étant données f : X ↖ Y , g : Y ↖ Z, et h : Z ↖ T trois applications, on a h ∝ (g ∝ f ) = (h ∝ g) ∝ f de sorte qu’on peut désigner cette application par h ∝ g ∝ f. La n↗ième itérée de f est l’application f ∝ f ∝ · · · ∝ f (n fois), parfois notée f n (à ne pas confondre avec la puissance, le produit de deux applications n’a pas toujours un sens). Mise en garde 10.2.9. Dans la définition ci-dessus l’application f ∝ g n’est pas forcément bien définie. Si elle l’est, on a en général f ∝ g ↓= g ∝ f. Exemple 10.2.10. Expliciter les itérées de l’application f : x → R ↙↖ x + 1 → R. La mise en garde 10.2.6 conduit par ailleurs à introduire les notions suivantes. Définition 10.2.11 Soit f : X ↖ Y une application. Soit X ↓ une partie de X et g : X ↓ ↖ Y une application. On dit que g est la restriction de f à X ↓ si g(x) = f (x) pour tout x → X ↓. On note alors g = f|X ↑. Soit X un ensemble tel que X ⇒ X et soit g : X ↖ Y. On dit que g est un prolongement de f à X si g|X = f. 8 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS f g 1 a a 2 b b 3 c c 4 5 Figure 10.2 – Exemple de représentation de la composée g ∝ f d’une application f : {a, b, c} ↖ {1, 2, 3, 4, 5} et d’une application g : {1, 2, 3, 4, 5} ↖ {a, b, c}. Remarque 10.2.12. Restreindre une application c’est "diminuer" son ensemble départ et la prolonger c’est "agrandir" son ensemble de départ. - sin(x) sin(x) si x ↓= 0 Exemple 10.2.13. Soit f : x → R ↙↖ x → R. L’application g : x → R ↙↖ → x est un prolongement de 1 si x = 0 f à R (c’est même l’unique prolongement continu de f à R). Exemple 10.2.14. Dessiner la restriction à {a, b, c} de l’application f : {a, b, c, d, e} ↖ {1, 2, 3, 4, 5} dans l’exemple 10.2.2. a 1 b 2 c 3 4 5 Figure 10.3 – Restriction de f : {a, b, c, d, e} ↖ {1, 2, 3, 4, 5} à {1, 2, 3} où f est définie dans l’exemple 10.2.2. Mise en garde 10.2.15. Il y a plusieurs façons de prolonger une application à un ensemble "plus gros". L’enjeu est souvent de chercher un prolongement qui vérifie de bonnes propriétés (par exemple un prolongement continu s’il s’agit d’une application définie et continue sur un intervalle réel à valeurs dans R). Le plus souvent ce prolongement, qui est en un sens meilleur que les autres, est bien unique et il y a toute une famille de théorèmes (les théorèmes de prolongement) qui permettent de s’en assurer ! 10.2.2 Image directe et image réciproque d’un ensemble par une application Soit f : X ↖ Y une application. 10.2. APPLICATIONS ENTRE DEUX ENSEMBLES 9 Définition 10.2.16 Soient A ⇒ X et B ⇒ Y. L’image directe de A par f est la partie de Y notée f (A) et définie par f (A) := {f (x) : x → A} = {y → Y : ↔x → A, y = f (x)}. L’image réciproque de B par f est la partie de X notée f ↔1 (B) et définie par f ↔1 (B) := {x → X : f (x) → B}. L’image de f est l’ensemble f (X). Remarque 10.2.17. Soit y → Y. Alors f ↔1 ({y}) est l’ensemble des antécents de y par f. Mise en garde 10.2.18. On note f ↔1 (B) l’image réciproque de B par f : il s’agit seulement d’une notation ! L’application f ↔1 n’a pas encore été définie à ce stade du cours et l’ensemble f ↔1 (B) a du sens même si l’application f ↔1 n’existe pas ! Exemple 10.2.19. Soit f l’application qui à un entier entre 1 et 100 associe son chi!re des unités. Écrire explicitement les ensembles f ({1,... , 100}),f ↔1 ({1}) et f ↔1 ({2, 5}). Exemple./ 10.2.20. ) Prenons f =./cos : x)→ R ↖ cos(x) → [↗1, 1]. cos 0, ω2 = [0, 1] =/cos ↗ ω2 , 0. ) ' cos↔1 ([0, 1]) = k↑Z ↗ ω2 + 2kε, ω2 + 2kε. 10.2.3 Injections, surjections, bijections Soit f : X ↖ Y une application. A. Injections Définition 10.2.21 On dit que f est injective si : ⇐x, x↓ → X, f (x) = f (x↓ ) ≃ x = x↓. Figure 10.4 – Exemple "visuel" d’application injective Du point de vue de la résolution d’équation, cela signifie que si l’équation f (x) = y (y → Y fixé) admet une solution x dans X, alors elle est unique. 10 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS Figure 10.5 – Exemple "visuel" d’application non injective Exemple 10.2.22. L’application x → R+ ↙↖ x2 → R+ est injective, x → R ↙↖ x2 → R+ n’est pas injective. Soient A un ensemble et B ⇒ A. Alors l’application x → B ↙↖ x → A est injective. Il s’agit de l’injection canonique de B dans A. Méthode 10.2.23. Pour montrer qu’une application f : X ↖ Y est injective, on vérifie simplement la définition en prenant x, x↓ → X vérifiant f (x) = f (x↓ ) et on essaye de montrer que cela entraîne x = x↓. Pour montrer qu’une application n’est pas injective il su"t de trouver x ↓= x↓ dans X tels que f (x) = f (x↓ ). Dans l’exemple précédent, on a 12 = (↗1)2. Proposition 10.2.24 Soient f : X ↖ Y et g : Y ↖ Z deux applications injectives. Alors l’application g ∝ f est injective. Démonstration. Soient x, x↓ → X tels que (g ∝ f )(x) = (g ∝ f )(x↓ ). Montrons que x = x↓. Par définition de g ∝ f on a g(f (x)) = g(f (x↓ )). Par injectivité de g, il s’ensuit f (x) = f (x↓ ). Par injectivité de f , on a finalement x = x↓ ce qui prouve l’injectivité de g ∝ f. Proposition 10.2.25 (Injectivité et stricte monotonie) Soient X une partie quelconque de R et f : X ↖ R. Si f est strictement monotone alors elle est injective. Démonstration. Quitte à changer f en ↗f , supposons f strictement croissante. Soient x, x↓ → X tels que x ↓= x↓. Supposons par exemple que x < x↓. Alors f (x) < f (x↓ ) et donc f (x) ↓= f (x↓ ). Mise en garde 10.2.26. La réciproque est FAUSSE ! Voir par exemple x → R→ ↙↖ x. 1 Dans le cas d’une application continue sur un intervalle on a cependant le résultat suivant. Proposition 10.2.27 ((HP) Applications continues et injectives sur un intervalle) Soit I un intervalle de R et f : I ↖ R une application continue sur I. Si f injective, alors elle est strictement monotone. Démonstration. Procédons par contraposée. Si f n’est pas monotone, il existe x, y, z, t → I tels que x < y, z < t et f (x) ↭ f (y), f (z) ↫ f (t). Posons g : u → [0, 1] ↙↖ f (ut + (1 ↗ u)y) ↗ f (uz + (1 ↗ u)x). 10.2. APPLICATIONS ENTRE DEUX ENSEMBLES 11 L’application g est bien définie car pour u → [0, 1] on a ut + (1 ↗ u)y → I et uz + (1 ↗ u)x → I, l’ensemble I étant un intervalle. L’application g est de plus construite de telle sorte qu’elle est continue sur [0, 1] (car f est continue sur I) et g(0) = f (y) ↗ f (x) ↫ 0 et g(1) = f (t) ↗ f (z) ↭ 0. Par le TVI il existe ainsi u0 → [0, 1] tel que g(u0 ) = 0. Soient a := u0 t + (1 ↗ u0 )y et b := u0 z + (1 ↗ u0 )x. Alors a ↓= b par hypothèse (car a ↗ b → [y ↗ x, t ↗ z] ′]0, +∞[) mais f (a) = f (b). Il s’ensuit que f n’est pas injective. B. Surjections Définition 10.2.28 On dit que f est surjective si : ⇐y → Y , ↔x → X, y = f (x), c’est-à-dire si Y = f (X). Figure 10.6 – Exemple "visuel" d’application surjective Figure 10.7 – Exemple "visuel" d’application non surjective Remarque 10.2.29. L’inclusion f (X) ⇒ Y étant toujours vraie par définition, dire que f est surjective revient à dire Y ⇒ f (X). Du point de vue de la résolution d’équation, cela signifie que l’équation f (x) = y (y → Y fixé) admet au moins une solution x dans X. Exemple 10.2.30. L’application x → R ↙↖ x2 → R+ est surjective, x → R ↙↖ x2 → R n’est pas surjective. Les projections canoniques définies dans l’exemple 1.2.1 sont surjectives. 12 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS Méthode 10.2.31. Pour montrer qu’une application f : X ↖ Y est surjective, on vérifie simplement la définition en prenant y → Y et on cherche à l’écrire comme f (x) avec x → X. Pour montrer que f : X ↖ Y n’est pas surjective, il su"t de trouver y → Y qui n’est pas atteint par f. Proposition 10.2.32 Soient f : X ↖ Y et g : Y ↖ Z deux applications surjectives. Alors l’application g ∝ f est surjective. Démonstration. Soit z → Z. Cherchons x → X tel que z = (g ∝ f )(x). Comme g : Y ↖ Z est surjective, il existe y → Y tel que z = g(y). De même, puisque f : X ↖ Y est surjective, il existe x → X tel que y = f (x). On en déduit z = g(y) = g(f (x)) = (g ∝ f )(x), ce qui donne la surjectivité de g ∝ f. C. Bijections Définition 10.2.33 On dit que f est bijective si : ⇐y → Y , ↔!x → X, y = f (x), c’est-à-dire si f est à la fois injective et surjective. Figure 10.8 – Exemple "visuel" d’application bijective Du point de vue de la résolution d’équation, cela signifie que l’équation f (x) = y (y → Y fixé) admet une unique solution x dans X. Exemple 10.2.34. L’application x → R+ ↙↖ x2 → R+ est bijective, x → R ↙↖ x2 → R+ n’est pas bijective. Méthode 10.2.35. Pour montrer qu’une application f : X ↖ Y est bijective, on vérifie séparément qu’elle est à la fois injective et surjective. Théorème-Définition 10.2.36 Soit f : X ↖ Y une application. Alors f est bijective si et seulement s’il existe g : Y ↖ X telle que f ∝ g = idY et g ∝ f = idX. L’application g est unique et elle est appelée la réciproque de f et on la note g = f ↔1. Démonstration. On prouve séparément les deux implications. 10.2. APPLICATIONS ENTRE DEUX ENSEMBLES 13 * On suppose f bijective. Pour tout y → Y , il existe un unique élément x := xy → X tel que f (xy ) = y. Notons yx := f (x). La bijectivité de f garantit que l’application g : y → Y ↙↖ xy → X est bien définie. D’une part, on a ⇐y → Y, (f ∝ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y, où x est l’unique élément de X tel que y = yx. D’où f ∝ g = idY. D’autre part, on a ⇐x → X, (g ∝ f )(x) = g(f (x)) = g(yx ) = x et donc g ∝ f = idX. * Supposons qu’il existe g : Y ↖ X telle que g ∝ f = idX et f ∝ g = idY. i) Montrons que f est injective. Soient x, x↓ → X tels que f (x) = f (x↓ ). Alors g(f (x)) = g(f (x↓ )) et donc x = x↓ puisque g ∝ f = idX. ii) Montrons que f est surjective. Soit y → Y. Alors y = idY (y) = (f ∝ g)(y) = f (g(y)) avec g(y) → X. On a montré que f est injective et surjective, elle est donc bijective. Prouvons l’unicité de g. Supposons qu’il existe g1 : Y ↖ X et g2 : Y ↖ X deux applications vérifiant f ∝ g1 = f ∝ g2 = idY et g1 ∝ f = g2 ∝ f = idX. Avec les notations précédentes, nous avons g2 = g2 ∝ idY = g2 ∝ f ∝ g1 = idX ∝ g1 = g1 , ce qui permet de conclure. Remarque 10.2.37. Si f est bijective, l’image directe de B ⇒ Y par f ↔1 coïncide avec l’image réciproque de B par f. La notation f ↔1 (B) pour désigner cet ensemble est donc cohérente ! ∈ Exemple 10.2.38. La réciproque de x → R+ ↙↖ x2 → R+ est l’application x → R+ ↙↖ x → R+. L’application f : A → P(X) ↙↖ A → P(X) est bijective et c’est sa propre inverse puisque f ∝ f = idP(X). On dit que f est une involution. Proposition 10.2.39 Soient f : X ↖ Y et g : Y ↖ Z deux applications bijectives. Alors g ∝ f est bijective et sa réciproque est donnée par (g ∝ f )↔1 = f ↔1 ∝ g ↔1. Démonstration. Puisque f et g sont bijectives, leurs réciproques f ↔1 : Y ↖ X et g ↔1 : Z ↖ Y sont bien définies. Posons h := f ↔1 ∝ g ↔1. Il s’agit d’une application définie sur Z à valeurs dans X vérifiant d’une part h ∝ (g ∝ f ) = f ↔1 ∝ (g ↔1 ∝ g) ∝ f = f ↔1 ∝ idY ∝ f = f ↔1 ∝ f = idX , et d’autre part (g ∝ f ) ∝ h = g ∝ (f ∝ f ↔1 ) ∝ g ↔1 = g ∝ idY ∝ g ↔1 = g ∝ g ↔1 = idZ. On conclut que g ∝ f est bijective et que sa réciproque est h. 10.2.4 Fonction indicatrice d’un ensemble Soit E un ensemble. Définition 10.2.40 Soit A ⇒ E. La fonction indicatrice de A est l’application notée 1A définie sur E et à valeurs dans {0, 1} par  1 si x → A, ⇐x → E, 1A (x) := 0 sinon. Remarque 10.2.41. On a 12A = 1A. 14 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS Proposition 10.2.42 (Propriétés des fonctions indicatrices) Soient A et B deux parties de E. (i) A ′ B si et seulement si 1A ↭ 1B , (ii) A = B si et seulement si 1A = 1B , (iii) 1A = 1 ↗ 1A , (iv) 1A↗B = 1A 1B , (v) 1A↘B = 1A + 1B ↗ 1A↗B. Démonstration. Exercice. 10.3. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 10 15 10.3 Exercices sur le chapitre 10 Exercice 1 Soient A := {(x, y) → R2 : 3x ↗ 2y = 3} et B := {(2t + 1, 3t) : t → R}. Montrer que A = B. Procédons par double inclusion. Soit (x, y) → A. Alors 3x ↗ 2y = 3 donc x = 1 + 2 · y3. Ainsi (x, y) = (2t + 1, 3t) avec t = y3 → R donc on a bien A ⇒ B. Soit b → B. Il existe t → R tel que b = (2t + 1, 3t). Puisque 3(2t + 1) ↗ 2 · 3t = 3, on a b → A. Ainsi A ⇒ B et donc par double inclusion A = B. Exercice 2 Pour n ↫ 2, on note Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité. 1. Montrer que U5 ⇒ U10. # 2. Soit U := {z → C : |z| = 1}. Montrer que Un ⇒ U. n↫2 1. Soit z → U5. Alors z 10 = (z 5 )2 = 12 = 1 donc z → U10. # n 2. Soit z → Un. Il existe n ↫ 2 tel que z n = 1. On en déduit |z| = 1 et donc |z| = 1. n↫2 Exercice 3 Soient A, B, C trois parties d’un ensemble E. Montrer que : 1) (A ⇓ B) \ C = (C \ B) ⇑ (A \ C) 2) A \ (B ⇓ C) = (A \ B) ⇑ (A \ C) 3) A ⇑ B = B ⇓ C ↘≃ A ⇒ B ⇒ C 4) (E = A ⇑ B et A ⇓ C ⇒ B et B ⇓ C ⇒ A) ≃ C ′ A ⇓ B 1. On a (A ⇓ B) \ C = (A ⇑ B) ⇓ C = (A ⇓ C) ⇑ (B ⇓ C) = (C \ B) ⇑ (A \ C). 2. A \ (B ⇓ C) = A ⇓ (B ⇓ C) = A ⇓ (B ⇑ C) = (A ⇓ B) ⇑ (A ⇓ C) = (A \ B) ⇑ (A \ C). 3. Supposons que A ⇑ B = B ⇓ C. Soit a → A. Alors a → A ⇑ B donc a → B ⇓ C par hypothèse donc a → B. De même, si b → B alors b → A ⇑ B = B ⇓ C donc b → C. On déduit A ⇒ B ⇒ C. Supposons à présent que A ⇒ B ⇒ C. Soit x → A ⇑ B. Comme A ⇒ B, A ⇑ B = B donc x → B et comme B ⇒ C on a aussi B ⇓ C = B. On a donc A ⇑ B = B = B ⇓ C, ce qu’on voulait. 4. Soit c → C. Comme c est en particulier un élément de E on a c → A ⇑ B. Si c → A, alors c → A ⇓ C donc c → B ; en particulier c → A ⇓ B. Si c → B, alors c → C ⇓ B = A par hypothèse et donc c → A ⇓ B. Ainsi C ⇒ A ⇓ B. Exercice 4 Soient A et B deux parties d’un ensemble E. La di!érence symétrique de A et de B est l’ensemble A!B := (A \ B) ⇑ (B \ A). Montrer que A!B = (A ⇑ B) \ (A ⇓ B) et faire un dessin. 16 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS On a (A \ B) ⇑ (B \ A) =(A ⇓ B) ⇑ (B ⇓ A) =(A ⇑ B) ⇓ (A ⇑ A) ⇓ (B ⇑ A) ⇓ (B ⇑ B) (par distributivité) =(A ⇑ B) ⇓ (A ⇑ B) (car A ⇑ A = E et de même pour B) =(A ⇑ B) ⇓ (A ⇓ B) =(A ⇑ B) \ (A ⇓ B). Exercice 5 Soient E et F deux ensembles. Montrer que E ⇒ F si et seulement si P(E) ⇒ P(F ). "≃" : Supposons que E ⇒ F. Soit A → P(E). Alors A ⇒ E ⇒ F donc A → P(F ). On a donc l’inclusion P(E) ⇒ P(F ). "↘" : Supposons que P(E) ⇒ P(F ). Soit x → E. Alors {x} → P(E) donc x → P(F ) ou encore x → F. D’où l’inclusion E ⇒ F. Exercice 6 Soient E et F deux ensembles. 1) Comparer (pour l’inclusion) P(E ⇓ F ) et P(E) ⇓ P(F ). 2) Comparer (pour l’inclusion) P(E ⇑ F ) et P(E) ⇑ P(F ). 3) Montrer que (E ⇒ F ou F ⇒ E) ↘≃ P(E ⇑ F ) = P(E) ⇑ P(F ). 1. L’exercice précédent fournit P(E ⇓ F ) ⇒ P(E) ⇓ P(F ). Soit A → P(E) ⇓ P(F ). Alors A ⇒ E ⇓ F. Il y a donc égalité. 2. Soit A → P(E)⇑P(F ). Alors A ⇒ E ⇑F donc ′ P(E ⇑F ). Prenons E = {1, 2} et F = {3, 4}. Alors {2, 3} → P(E ⇑F ) mais ce n’est ni une partie de E ni une partie de F. 3. Le sens direct est évident car E ⇑ F = E ou F. Montrons que P(E ⇑ F ) ⇒ P(E) ⇑ P(F ) entraîne (E ⇒ F ou F ⇒ E) par contraposée. S’il existe x → E \ F et y → F \ E alors {x, y} → P(E f) mais n’est ni une partie ni une partie de F. Exercice 7 Montrer que les ensembles ([n, n + 1[)n↑N forment une partition de [0, +∞[. Exercice 8 Soient E et F deux ensembles. Soient A, C deux parties de E et B, D deux partis de F. Montrer que (A ⇔ B) ⇓ (C ⇔ D) = (A ⇓ C) ⇔ (B ⇓ D). 10.3. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 10 17 Exercice 9 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? Lorsqu’une de ces applications est bi- jective, donner sa réciproque. f1 : N ↖ N f2 : Z ↖ Z n ↙ ↖ n + 1. n ↙ ↖ n + 1. f3 : R \ {1} ↖ R f 4 : R2 ↖ R2 x+1 x ↙↖ x↔1. (x, y) ↙ ↖ (x + y, x ↗ y). Exercice 10 Trouver f et g deux applications telles que f ∝ g ↓= g ∝ f. Exercice 11 - 0 si n = 0, Soient f : n → N ↙↖ n + 1 et g : n → N ↙↖. Montrer que g ∝ f est l’identité sur N mais que n ↗ 1 si n ↓= 0 f : N ↖ N et g : N ↖ N ne sont pas bijectives. Qu’en déduire ? Exercice 12 (Quelques calculs de réciproques) 1) Soit sh : R ↖ R ex ↔e↓x x ↙ ↖ 2. Montrer que sh est bijective et expliciter sa réciproque. 2) De même pour ch : R+ ↖ [1, +∞[ ex +e↓x x ↙ ↖ 2. Exercice 13 Soit U l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1. Soit a → C \ U. On considère l’application z+a fa : z ↙↖. az + 1 1) Montrer que fa est définie sur U à valeurs dans U. 2) Montrer que fa : U ↖ U z+a z ↙ ↖ ↙↖ az+1 est bijective et expliciter sa réciproque. 18 CHAPITRE 10. ENSEMBLES ET APPLICATIONS Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f : E ↖ F une application. Soient A et B deux parties de E. 1. Montrer que si A ⇒ B, alors f (A) ⇒ f (B). La réciproque est-elle vraie en général ? 2. Comparer (pour l’inclusion) les ensembles f (A ⇓ B) et f (A) ⇓ f (B). 3. Comparer (pour l’inclusion) les ensembles f (A ⇑ B) et f (A) ⇑ f (B). Exercice 15 Soient E et F deux ensembles et f : E ↖ F une application. 1. Montrer que : ⇐A → P(E), A ⇒ f ↔1 (f (A)). A-t-on égalité en général ? 2. Montrer que : ⇐B → P(F ), B ⇒ f (f ↔1 (B)). A-t-on égalité en général ? Exercice 16 Soient A, B, C, D quatre ensembles et f : A ↖ B, g : B ↖ C, et h : C ↖ D trois applications. 1. Montrer que si g ∝ f est injective alors f est injective. 2. Montrer que si g ∝ f est surjective, alors g est surjective. 3. On suppose g ∝ f et h ∝ g bijectives. Montrer que f, g, h sont bijectives. Exercice 17 Soient E, F deux ensembles et f : E ↖ F une application. Montrer que f est injective si et seulement si ⇐A, B → P(E), f (A ⇓ B) = f (A) ⇓ f (B). Exercice 18 Soit E un ensemble et A, B → P(E). Considérons l’application ”A,B : X → P(E) ↙↖ (X ⇓ A, X ⇓ B) → P(A) ⇔ P(B). Trouver une CNS sur A et B pour que ”A,B soit injective (resp. surjective, resp. bijective). Exercice 19 / ) Soit f : R ↖ R telle que f ∝ f = cos. Montrer que f est injective sur 0, ω2. Existe-t-il une application f : R ↖ R continue telle que f ∝ f = cos ? Exercice 20 Soient A et B deux parties d’un ensemble E. On rappelle que A!B := (A \ B) ⇑ (B \ A) est la di!érence symétrique de A et de B. Calculer la fonction indicatrice de A!B en fonction de celles de A et B. 10.3. EXERCICES SUR LE CHAPITRE 10 19 Exercice 21 (D’après Mines-Ponts PC 2022) Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que A!C = B!C ↘≃ A = B.