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BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 3 – Ensembles, applications pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Ensembles Premières définitions . . . . . . . . . . ....

BA AT AG TC H ———————————————————————– Sa br in e Chapitre 3 – Ensembles, applications pl ai re de ———————————————————————– Sa br in e TC H AT AG BA Ex em ECG1 - Antoine Lagarde em pl ai re de Table des matières 2 Ex 1 Ensembles Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BA 1.1 3 1.2.2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Propriétés de l’intersection et la réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 in e TC H AT Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sa Produit cartésien de 1.3 AG Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 br 1.2 2 5 6 re 2 Applications 3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Restriction, prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Opérations sur les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Composée d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 9 in e TC H AT AG BA Ex em pl ai 2.1 10 de Sa br 3 Cardinal et dénombrabilité 11 ai re 4 Méthodes 12 H AT AG BA Ex em pl 5 Blind-test « Les mathématiques ne sont pas une moindre immensité que la mer. » 1 Victor Hugo 1 1.1 Premières définitions AT AG BA Définition (Ensemble) Un ensemble E est un groupement d’objets distincts, ces objets s’appellent les éléments de Sa br in e TC H l’ensemble. Si x est un élément de E, on note x ∈ E. Sinon, on note x ∈ / E. de Remarque. Puisque les objets sont distincts, on a par exemple {1, 1, 2, 3, 3} = {1, 2, 3}. On supprime en pl ai re effet tous les éléments redondants pour ne garder que des éléments distincts. Ex em Axiome (Existence de l’ensemble vide) AT AG R sont des br in e N; H J0, nK = {0, 1, · · · , n} ; ensembles.    n k 0 1 ; , k ∈ J0, nK = , ,··· , n n n n TC Exemple 1. {0, 1} ;  BA Il existe un unique ensemble qui n’a pas d’éléments. On l’appelle l’ensemble vide, noté ∅. de Sa Définition (Inclusion) ai re Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et on note A ⊂ B si tout em pl élément appartenant à A appartient à B : ∀x ∈ A, x ∈ B. Ex On dit également que A est un sous-ensemble de B, ou une partie de B. Si ce n’est pas le H AT AG BA cas, on note A ̸⊂ B. e TC Remarque. Par convention, ∅ est inclus dans n’importe quel ensemble. Sa br in Méthode de A ̸⊂ B ⇐⇒ ∃x ∈ A, x ∈ / B. Ainsi, pour montrer que A n’est pas inclus dans B, il suffit de Ex em pl ai re trouver un élément de A n’appartenant pas à B. AG BA Exemple 2. {−2, 5, 7} ̸⊂ N puisque −2 ∈ / N. H AT Définition (Égalité d’ensembles) Sa br in e TC Deux ensembles sont dits égaux s’ils sont constitués des mêmes éléments. re de Exemple 3. {1, 3, 9} = {3, 9, 1} = {9, 3, 1}. L’ordre n’a pas d’importance, seule compte la présence des pl ai mêmes éléments. AG BA Ex em Proposition (La relation d’ordre ⊂) AT H Ensembles Soient A, B et C trois ensembles. 1. (Réflexivité de ⊂) 2. (Transitivité de ⊂) 3. (Antisymétrie de ⊂) A⊂A (A ⊂ B et B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C. A = B si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A. 2 Définition (Ensemble des parties) Soit E un ensemble. On appelle ensemble des parties de E, que l’on note P(E), l’ensemble AT AG BA des sous-ensembles de E. TC H Exercice 1. Si E = {1, 2, 3, 4}, déterminons P(E). Sa br in e Les éléments de P(E) sont ∅, {1} , {2} , {3} , {4} , {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4} , {3, 4}, de {1, 2, 3} , {1, 2, 4} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4} et {1, 2, 3, 4}. AT AG H Soit E un ensemble, et A une partie de E. On appelle complémentaire de A dans E l’ensemble Sa br in e TC des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note Ā = {x ∈ E | x ∈ / A}. re de Remarque. x ∈ A ⇐⇒ x ∈ / Ā et de même x ∈ / A ⇐⇒ x ∈ Ā em pl ai Attention. L’ensemble E importe grandement, comme le montrent les exemples ci-dessous : Ex • si E = J0, 5K, {1, 3} = {0, 2, 4, 5} AG BA • si E = J1, 3K, {1, 3} = {2} TC H AT • si E = R, {1, 3} =] − ∞, 1[∪]1, 3[∪]3, +∞[ in e Proposition 3. E = ∅ Ex em pl ai re 2. ∅ = E de 1. A = A Sa br Pour tout ensemble E et toute partie A de E, en notant A le complémentaire de A dans E : Opérations sur les ensembles 1.2.1 Intersection AT AG BA 1.2 e TC H Définition (Intersection, privé de, ensembles disjoints) Sa br in Soient A et B deux ensembles. de • On appelle intersection de A et B l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et ai re dans B. On la note A ∩ B. Donc A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A et x ∈ B}. BA Ex em pl • On appelle A privé de B, l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B. On le note A\B = A ∩ B̄. • On dit que A et B sont disjoints lorsque A ∩ B = ∅. H AT AG em BA Définition (Complémentaire) Ex Attention. Ne pas confondre les objets : d’une part 3 ∈ R, d’autre part {3} ⊂ R c’est-à-dire {3} ∈ P(R). pl ai re Remarque. On a donc A ⊂ E ⇐⇒ A ∈ P(E). Exemple 4. Si A = {0, 3, 4, 10, 12, 15} et B = {2, 4, 5, 10, 11} alors A∩B = {4, 10}, et A\B = {0, 3, 12, 15}. 3 Remarque. Si (Ai )i∈N est une famille de sous-ensembles de E, on note n \ i=0 ∞ \ i=0 Ai = {x ∈ E | ∀i ∈ N, x ∈ Ai } BA et Ai = {x ∈ E | ∀i ∈ J0, nK, x ∈ Ai }, AT AG Exercice 2. Montrons que ]2, 5]\]1, 3[= [3, 5]. TC H (⊃) Si x ∈ [3, 5], 3 ⩽ x ⩽ 5 donc 2 < x ⩽ 5 donc x ∈]2, 5], et x ∈]1, / 3[. Ainsi [3, 5] ⊂]2, 5]\]1, 3[. Sa br in e (⊂) Si x ∈]2, 5]\]1, 3[, alors 2 < x ⩽ 5 et x ∈]1, / 3[, donc x ⩽ 1 ou x ⩾ 3. En combinant ces deux données de : 3 ⩽ x ⩽ 5 et donc x ∈ [3, 5]. Ainsi ]2, 5]\]1, 3[⊂ [3, 5]. pl ai re D’où l’égalité par double inclusion. Ex em Proposition 2. (Associativité de ∩) AT AG 1. (Commutativité de ∩) BA Soient A, B et C trois ensembles. A∩B =B∩A TC H A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C br in e 3. A ∩ A = A Sa 4. A ∩ B ⊂ A re de 5. Si A ⊂ B alors A ∩ B = A AG Réunion AT 1.2.2 BA Ex em pl ai 6. A ∩ ∅ = ∅ TC H Définition (Réunion) in e Soient A et B deux ensembles. On appelle réunion de A et B l’ensemble des éléments qui ai re de Sa br appartiennent à A ou à B. On le note A ∪ B. Donc A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ou x ∈ B}. Ex em pl Attention. Il ne s’agit pas d’un ou exclusif, si x ∈ A et x ∈ B alors x ∈ A ∪ B. AG BA Exemple 5. Si A = {−5, 2, 3} et B = {−2, 2, 4} alors A ∪ B = {−5, −2, 2, 3, 4}. AT Notation. Si (Ai )i∈N est une famille de sous-ensembles de E, on note H TC Ai = {x ∈ E | ∃i ∈ N, x ∈ Ai } br i=0 Ai = {x ∈ E | ∃i ∈ J0, nK, x ∈ Ai }, e ∞ [ i=0 in et n [ re de Sa Exercice 3. Montrons que ] − ∞, 1] ∪ R+ = R pl ai (⊂) Evident car c’est une union d’ensembles dont tous les éléments sont réels. D’où l’égalité. H AT AG BA Ex em (⊃) Soit x ∈ R. Si x ⩽ 1, alors x ∈] − ∞, 1]. Sinon, x > 1 ⩾ 0 donc x ∈ R+ . Donc x ∈] − ∞, 1] ∪ R+ . 4 Proposition Soient A, B et C trois ensembles. 1. (Commutativité de ∪) AT AG A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C TC H 3. A ∪ A = A Sa br in e 4. A ⊂ A ∪ B 5. Si A ⊂ B, alors A ∪ B = B Ex Propriétés de l’intersection et la réunion BA 1.2.3 em pl ai re de 6. A ∪ ∅ = A AT AG Proposition (Distributivité) TC H Soient A, B et C trois ensembles. br in e 1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ai re de Sa 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Ex em pl Proposition (Lois de Morgan) AG BA Soient A et B deux ensembles. AT 1. A ∪ B = Ā ∩ B̄. de Produit cartésien re 1.3 Sa br in e TC H 2. A ∩ B = Ā ∪ B̄. em pl ai Définition (Produit cartésien) Ex Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E par F , noté E × F E × F = {(x, y) | x ∈ E, y ∈ F } TC H AT AG BA (prononcer E croix F ), l’ensemble de Sa br in e Les éléments de cet ensemble sont appelés des couples. ai re Exemple 6. Si A = {cornet, pot} et B = {vanille, chocolat, pistache} alors on a : n pl Ex em A×B = (cornet, vanille) , (cornet, chocolat) , (cornet, pistache) , (pot, vanille) , (pot, chocolat) , (pot, pistache) AG BA Notation. AT H BA 2. (Associativité de ∪) A∪B =B∪A • Si (Ai )i∈J1,nK est une famille de sous-ensembles de E, on note n Y i=1 Ai = A1 × · · · × An = {(x1 , · · · , xn ) | ∀i ∈ J1, nK, xi ∈ Ai } Les éléments de cet ensemble sont appelés des n-uplets. 5 o • E × E × · · · × E = En. {z } | n fois 2.1 AT AG H TC Définitions pl ai re de Définition (Application) Soient E et F deux ensembles non vides. On dit que f est une application (on dit aussi em fonction) définie de l’ensemble de départ E dans l’ensemble d’arrivée F lorsqu’elle associe à BA Ex tout élément x de E un et un seul élément y de F . Cet unique élément y, noté f (x), est l’image TC H AT AG de x par f . L’élément x est un antécédent de y par f . in e Remarque. Le terme «fonction» a de nombreuses définitions et de nombreux usages. On l’utilise souvent Sa br pour parler d’applications de R dans R. Le terme «application» est moins ambigu. Conformément à la de théorie dominante en maths, la théorie des ensembles, on choisit ici de confondre les deux termes. En ai re pratique toutefois, une «fonction» désigne une application de E ⊂ R dans R, contrairement à une suite em pl par exemple, qui est une application de E ⊂ N dans R. BA Ex Notation. On note F (E, F ), ou F E , l’ensemble des applications de E dans F . AG Exercice 4. Pour les applications suivantes, donnons le domaine de départ, le domaine d’arrivée, l’image Sa br in e TC H AT de 2 , ainsi que le ou les antécédents de 4.  R −→ R • f1 : x 7−→ x2 de Pour f1 l’ensemble de départ est R, celui d’arrivée est R. ai re L’image de 2 est 22 = 4. x est un antécédent de 4 si et seulement si x ∈ R (R domaine de AT AG BA Ex em pl départ) et x2 = 4, si et seulement si x ∈ {−2 , 2}.  R+ −→ R • f2 : √ x 7−→ x √ 2. x est br in e TC H Pour f2 l’ensemble de départ est R+ , celui d’arrivée est R. L’image de 2 par f2 est √ un antécédent de 4 si et seulement si x ∈ R+ et x = 4, si et seulement si x = 16. re de Sa Définition (Image directe) AG BA Ex em pl ai Soit f ∈ F (E, F ) et A ⊂ E. L’image directe de A par f est l’ensemble f (A) = {f (x), x ∈ A}. AT H Applications Sa br in e 2 BA Exemple 7. • R × R × R = R3 . √ √ / Z × R. • (−3, 2) ∈ Z × R, mais ( 2, −3) ∈ Exemple 8. Soit f1 défini comme ci-dessus. On a f1 ([2, +∞[) = {f1 (x) | x ∈ [2, +∞[} = [4, +∞[ Définition (Graphe) Soit f ∈ F (E, F ). Le graphe de f est l’ensemble Gf = 6 
x, f (x) | x ∈ E . Remarque. Le graphe est un ensemble de couples (x, f (x)) ∈ E × F . On a donc Gf ⊂ E × F . Ainsi, pour toute fonction réelle, c’est-à-dire f : E → F où E ⊂ R et F ⊂ R, son graphe est inclus dans R × R = R2 . √ x) | x ∈ R+ }. AT AG Exemple 9. Le graphe de f2 comme définie ci-dessus est Gf2 = {(x, BA On peut donc le représenter graphiquement sur un plan. TC H Définition (Egalité d’applications) de Sa br in e Deux applications f et g de E dans F sont égales si ∀x ∈ E, f (x) = g(x). pl ai re Méthode AT AG BA Ex em Soient f et g des applications de E dans F . Pour montrer f = g, on montre ∀x ∈ E, f (x) = g(x). TC H Définition (Application identité) e Soit E un ensemble non vide. On appelle identité de E l’application de E dans E, notée idE , pl Restriction, prolongement em 2.2 ai re de Sa br in telle que ∀x ∈ E, idE (x) = x. AG BA Ex Définition (Restriction, prolongement) AT Soient E, E ′ et F des ensembles non vides tel que E ⊂ E ′ . Soit f une application de E dans H F et g une application de E ′ dans F . On dit que f est la restriction de g à E, et que g est un de Sa br in e TC prolongement de f à E ′ , lorsque ∀x ∈ E, f (x) = g(x).    R     −→ R    x2 si x ⩾ 0 . , g: Exemple 10. Soient f : , et h :    2 2   x  x → 7  x 7→ x 7→ x     x si x < 0  Alors, f est la restriction de g à R+ . g est un prolongement de f à R. h est également un prolongement re    R ai −→ R AG BA Ex em −→ R pl    R+ TC H AT de f à R. Opérations sur les fonctions réelles in e 2.3 de Sa br Définition (Opérations) ai re Soient f et g deux fonctions de E ⊂ R dans F ⊂ R. Soit λ ∈ R. • λf est l’application définie de E dans F par ∀x ∈ R, (λf )(x) = λf (x) • f g est l’application définie de E dans F par ∀x ∈ R, (f g)(x) = f (x)g(x) H AT AG BA Ex em pl • f + g est l’application définie de E dans F par ∀x ∈ R, (f + g)(x) = f (x) + g(x) Remarque. On définit de même f − g, f g , f etc. tant qu’on peut les définir sans problème. g 7 2.4 Définition (Composée) BA Soient E, F et G trois ensembles non vides. Soit f une application définie de E dans F et g une H TC −→ G 7−→ g(f (x)) Sa br in e x AT AG BA mais f ◦ g TC H Proposition re ai BA Ex em 2. Soit f une application de E dans F . Alors f ◦ idE = idF ◦ f = f de (associativité de ◦) pl (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) Sa br in e 1. Soient f , g et h trois applications. Tant que la composition a du sens, on a AT AG Attention. La composition n’est pas commutative, comme le montre l’exercice suivant. TC H Exercice 5. Soient f et g définies sur R par f (x) = x2 − 1 et g(x) = x − 2. Donnons une expression de in e g ◦ f et de f ◦ g. Sa br Soit x ∈ R, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) − 2 = x2 − 1 − 2 = x2 − 3 ai re de Et f ◦ g(x) = f (g(x)) = g(x)2 − 1 = (x − 2)2 − 1 = x2 − 4x + 4 − 1 = x2 − 4x + 3 Injection, surjection, bijection em pl 2.5 AG BA Ex Définition (Injection) AT Soient E et F deux ensembles, et f une application définie de E dans F . On dit que f est une

∀ x, x′ ∈ E 2 , f (x) = f x′ =⇒ x = x′ de Sa br in e TC H injection de E dans F lorsque deux éléments de E distincts ont des images distinctes dans F : ai re Remarque. La définition en français dit plutôt ∀ (x, x′ ) ∈ E 2 , x ̸= x′ =⇒ f (x) ̸= f (x′ ) Ex em pl La définition mathématique est la contraposée de cette définition. AG BA Définition (Surjection) Soient E et F deux ensembles, et f une application définie de E dans F . On dit que f est une surjection de E dans F lorsque tout élément de F admet au moins un antécédent dans E : ∀y ∈ F, ∃x ∈ E, y = f (x) 8 Ex Remarque. f ◦ g n’est pas forcément définie même  si g ◦ f existe.      R −→ R  R+ −→ R  R+ −→ R , on a g ◦ f : et g : Par exemple, pour f :      x  x 7−→ x3 7−→ x2 x 7−→ x6 n’est pas bien définie. em pl ai re de g◦f :  E AT AG application définie de F dans G. On appelle composée de f par g, notée g ◦ f , l’application définie de E dans G par : AT H Composée d’applications Définition (Bijection) Soient E et F deux ensembles, et f une application définie de E dans F . On dit que f est une Sa br in e TC H ∀y ∈ F, ∃!x ∈ E, y = f (x) Remarque. L’existence du x ∈ E est assurée par la surjectivité, l’unicité par l’injectivité. En effet s’il de existe x1 ∈ E et x2 ∈ E tels que y = f (x1 ) = f (x2 ), alors x1 = x2 car f est injective. pl ai re Intuition. Une application est une bijection si et seulement si tous les éléments de l’espace d’arrivée sont BA AT AG H TC Exercice 6. Déterminons si les fonctions suivantes sont injectives, et si elles sont surjectives.    Z −→ Z • g:   n 7−→ 2n + 2 Ex em «touchés» par l’application, et une seule fois. br in e – Soit (n1 , n2 ) ∈ Z2 . Supposons que g (n1 ) = g (n2 ). Alors 2n1 + 2 = 2n2 + 2, et donc n1 = n2 . de Sa Donc g est injective. AG    R3 −→ R2 AT • h: BA Ex em pl ai re – Montrons que g n’atteint pas les termes impairs, et 1 en particulier. Supposons qu’il existe 1 n ∈ Z tel que g(n) = 1. Alors 2n + 2 = 1, donc n = − ∈ / Z : absurde. Donc 1 n’a pas 2 d’antécédent par g. Donc g n’est pas surjective (et donc pas bijective). TC H   (x, y, z) 7−→ (x + 2y, x − z) Ex em pl ai re de Sa br in e – h n’est pas injective car h((2, −1, 2)) = (0, 0) = h((0, 0, 0)). Elle n’est donc pas bijective.  x + 2y = α . – Soit (α, β) ∈ R2 . On résout h(x, y, z) = (α, β), i.e x − z =β  x = α En posant y = 0, on a z = −x − β = −α − β H AT AG BA Ainsi h((α, 0, α − β)) = (α, β). Comme (α, 0, α − β) ∈ R3 , h est surjective. Application réciproque e TC 2.6 Sa br in Définition (Réciproque) de Si f est une bijection de E sur F , on peut associer à tout y ∈ F son antécédent unique x ∈ E. AG BA Ex em pl ai re On définit ainsi l’application réciproque f −1 de f . AT H AT AG BA bijection de E sur F lorsque f est une injection et une surjection : Proposition Soit x ∈ E, y ∈ F, f une application bijective de E dans F . On a x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f (x). 9 Théorème (Caractérisation d’une bijection) Une application f de E dans F est une bijection si et seulement si il existe une application ′ −1 ′ Par passage au logarithme, on trouve x − 1 = x − 1 et donc x = x . Donc f est injective. ′ −1 > 0. H ′ TC • Soit y > 2. On cherche un réel x tel que f (x) = y. br in e On a f (x) = y ⇐⇒ ex−1 = y − 2 ⇐⇒ x − 1 = ln(y − 2) car y − 2 > 0 ⇐⇒ x = ln(y − 2) + 1 re ai Donc f est bijective de R dans ]2, +∞ [ , et ∀y > 2, f −1 (y) = ln(y − 2) + 1. de Sa Ainsi le réel x = ln(y − 2) + 1 convient. Donc f est surjective. br Cardinal et dénombrabilité Sa 3 in e TC H AT AG Alors g ◦ f est bijective et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . BA Soient g : F −→ G et f : E −→ F deux applications bijectives. Ex em pl Proposition (Réciproque d’une composée) ai re de Définition (Cardinal) em pl Un ensemble est dit fini s’il a un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, on appelle cardinal de Ex l’ensemble ce nombre. On note alors Card(E), ou |E|, ou #E le cardinal de E. TC H AT AG BA Sinon, on dit qu’il est infini. Un singleton est un ensemble à un élément, une paire est un ensemble à deux éléments. br in e Remarque. Par convention, Card(∅) = 0. de Sa Exemple 12. J0, nK est fini, et Card(J0, nK) = n + 1, tandis que N est infini. pl ai re Définition (Dénombrable) AG BA Ex em Un ensemble A est dit dénombrable s’il existe une bijection de E sur N. Théorème (admis) 1. N, N∗ , Z, Q, Np (p ∈ N quelconque) sont dénombrables. 2. R, ainsi que Rp (p ∈ N∗ quelconque) ne sont pas dénombrables. 10 AT AG TC Sa br in e de pl ai re em Ex + 2, donc ex−1 = ex BA • Soit (x, x′ ) ∈ R2 , on suppose que f (x) = f (x′ ). Alors ex−1 + 2 = ex AT AG Pour x ∈ R et y ∈ R∗+ , ex = y ⇐⇒ x = ln(y)    R −→ ]2, +∞[ . Montrons que f est bijective et déterminons f −1 . Exercice 7. Soit f :   x 7−→ ex−1 + 2 H Attention. Il faut montrer les deux sens de composition pour montrer qu’elle est bijective.      R −→ R∗+  R∗+ −→ R Exemple 11. Soit f : . f est bijective. Sa réciproque est f −1 : .    x  x 7−→ ex 7−→ ln(x) AT H BA g : F −→ E telle que g ◦ f = idE et f ◦ g = idF . On a dans ce cas g = f −1 . Remarque. R est donc un infini «plus grand» que N, ce qui n’est pas très surprenant, alors que Q ainsi que N2 sont des infinis «de même taille» que N, ce qui est loin d’être évident. BA Méthodes H AT AG 4 −→ A = ... donc A ⊂ B Mq A ̸⊂ B −→ Posons x = ... On a x ∈ A mais x ∈ / B car ... Mq A = B −→ A = ... = ... = B TC Mq A ⊂ B pl ai re de Sa br in e OU Soit x ∈ A. Alors ... donc x ∈ B OU x ∈ A ⇐⇒ ... ⇐⇒ ... ⇐⇒ x ∈ B Ex em OU (⊂) et (⊃) −→ ... donc x ∈ A. ... donc x ∈ / B (ou par l’absurde : si x ∈ B, ...) Mq A ∩ B = ∅ −→ Soit x ∈ A∩B. Alors on a d’une part x ..., d’autre part x ... Absurde. Mq A ⊂ B ∩ C −→ Mq A ⊂ B ∪ C −→ Soit x ∈ A. Si x ∈ B, x ∈ B ∪ C, si x ∈ / B, ... donc x ∈ C ⊂ B ∪ C Mq (x, y) ∈ E × F −→ x ... donc x ∈ E, et y... donc y ∈ F T H AT AG BA Mq x ∈ A\B TC A = ... donc A ⊂ B, de même ... donc A ⊂ C Sa de re ai pl Ai −→ Soit i ∈ N. Alors ... donc x ∈ Ai i∈N Ai −→ Posons i = ... Alors x ∈ Ai Mq f est une application −→ Pour chaque x ∈ ..., il existe bien un unique y tel que ... Mq f = g −→ Soit x ∈ ... Alors f (x) = ... = g(x) Mq ... = idE −→ Soit x ∈ E. Alors ...(x) = ... = x Mq f est injective −→ Soient x1 et x2 tels que f (x1 ) = f (x2 ). Alors ... donc x1 = x2 Mq f est surjective −→ Soit y ∈ F . Alors en posant x = ...(y), on a bien f (x) = y Ex BA AG AT H TC e in br Sa de re OU On a f (x) = y ⇐⇒ ... ⇐⇒ x = ...(y) donc ∃x, f (x) = y em pl Mq x ∈ em i∈N S ai Mq x ∈ br in e OU Soit x ∈ A. Alors ... donc x ∈ B, et ... donc x ∈ C −→ Mq f injective, puis surjective −→ Posons g : y 7→ ... On a f ◦ g = id et g ◦ f = id donc g = f −1 AG BA Ex Mq f bijective H −1 TC f AT Mq f bijective et déterminer Sa br in e Mq f n’est pas injective OU f (x) = y ⇐⇒ ... ⇐⇒ x = ...(y). Donc f bij et f −1 : y 7→ ...(y) −→ Contre-exemple : on pose x1 = ..., x2 = ... ̸= x1 et f (x1 ) = f (x2 ) −→ Contre-exemple : posons y = ... ∈ F . Supposons ∃x ∈ E tq f (x) = y. −→ Mq pas inj OU mq pas surj −→ La trouver: poser f = ..., mq f est inj et surj Donc ... absurde ai re de Mq f n’est pas surjective OU Posons g : y 7→ ... On a f ◦ g = id et g ◦ f = id donc ... Ex em pl Mq f n’est pas bijective Mq il existe une bijection de ... H AT AG BA dans ... 11 Blind-test Ppst : propriétés de ∪ (6) Ppst : propriétés de ◦ (2) Dfnt : A ∪ B = ... Ppst : lois de Morgan (2) Dfnt : f surjective = ... Dfnt : f bijective = ... Dfnt : ensembles égaux = ... Dfnt : E × F = ... Dfnt : application = ... Ppst : propriétés de ⊂ (3) image, antécédent = ... Dfnt : P(E) = ... Dfnt : f (A) = ... Ppst : propriétés du complémentaire (3) Dfnt : f et g égales = ... Ppst : x = f −1 (y) ⇐⇒ ... Thm : caractérisation d’une bijection Dfnt : Gf = ... Ppst : (g ◦ f )−1 = ... Dfnt : Card(f ) = ... pl ai re Dfnt : A = ... H Dfnt : f −1 = ... TC Mtd : montrer A ̸⊂ B BA Dfnt : f injective = ... AT AG Ppst : distributivité (2) Sa br in e Axm : existence de l’ensemble vide de Dfnt : ensemble = ... on peut aussi le noter ... (2) Dfnt : idE = ... singleton, paire = ... A et B disjoints = ... Dfnt : restriction et prolongement = ... Dfnt : dénombrable = ... Dfnt : opérations sur les fonctions (3) Thm : ... sont dénombrables, ... non Ex BA Ppst : propriétés de ∩ (6) em Mtd : Mq f = g A\B = ... Dfnt : A ∩ B = ... Dfnt : g ◦ f = ... H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H AT AG BA Ex em pl ai re de Sa br in e TC H Dfnt : A ∪ B = ... AT AG 5 12