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# Algèbre linéaire et géométrie analytique I ## Chapitre 1: Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations de la forme: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$... $a_{m1}x_1 +...

# Algèbre linéaire et géométrie analytique I ## Chapitre 1: Systèmes d'équations linéaires ### 1.1 Introduction Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations de la forme: $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2$... $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m$ où $a_{ij}$ et $b_i$ sont des constantes et $x_j$ sont les inconnues. En notation matricielle, ce système s'écrit: $Ax = b$ où $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\... &... &... &... \\ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\... \\ x_n \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\... \\ b_m \end{bmatrix}$ $A$ est la matrice des coefficients, $x$ est le vecteur des inconnues, et $b$ est le vecteur des constantes. ### 1.2 Opérations élémentaires Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont: 1. Échanger deux lignes. 2. Multiplier une ligne par une constante non nulle. 3. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne. Ces opérations ne changent pas l'ensemble des solutions du système. ### 1.3 Échelonnement de Gauss L'échelonnement de Gauss est une méthode pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. Elle consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée $[A|b]$ pour la transformer en une matrice échelonnée. Une matrice est échelonnée si: 1. Toutes les lignes nulles (si elles existent) sont au bas de la matrice. 2. Le premier élément non nul (pivot) de chaque ligne non nulle est à droite du pivot de la ligne précédente. 3. Tous les éléments sous un pivot sont nuls. Une matrice échelonnée réduite satisfait également: 4. Chaque pivot est égal à 1. 5. Tous les éléments au-dessus d'un pivot sont nuls. ### 1.4 Résolution des systèmes linéaires Une fois la matrice augmentée mise sous forme échelonnée (ou échelonnée réduite), on peut résoudre le système. * Si la dernière colonne de la matrice augmentée contient un pivot, le système est incompatible (pas de solution). * Sinon, on exprime les variables correspondant aux colonnes sans pivot en fonction des variables correspondant aux colonnes avec pivot. ### 1.5 Exemples #### Exemple 1 Résoudre le système: $x + y = 3$ $2x - y = 0$ La matrice augmentée est: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ On effectue l'opération $L_2 \rightarrow L_2 - 2L_1$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix}$ On effectue l'opération $L_2 \rightarrow -\frac{1}{3}L_2$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ On effectue l'opération $L_1 \rightarrow L_1 - L_2$: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ Donc $x = 1$ et $y = 2$. #### Exemple 2 Résoudre le système: $x + y + z = 1$ $x - y + z = 3$ $2x + z = 2$ La matrice augmentée est: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ On effectue les opérations $L_2 \rightarrow L_2 - L_1$ et $L_3 \rightarrow L_3 - 2L_1$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ On effectue l'opération $L_3 \rightarrow L_3 - L_2$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{bmatrix}$ On effectue les opérations $L_2 \rightarrow -\frac{1}{2}L_2$ et $L_3 \rightarrow -L_3$: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ On effectue l'opération $L_1 \rightarrow L_1 - L_2 - L_3$: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ Donc $x = 0$, $y = -1$ et $z = 2$.