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# Algèbre Linéaire ## Chapitre 4: Espaces Vectoriels ### 4.1 Définitions et Exemples Fondamentaux **Définition:** Un espace vectoriel est un ensemble non vide $E$ muni de deux opérations: * Addition: $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire: $\mathbb{K} \t...

# Algèbre Linéaire ## Chapitre 4: Espaces Vectoriels ### 4.1 Définitions et Exemples Fondamentaux **Définition:** Un espace vectoriel est un ensemble non vide $E$ muni de deux opérations: * Addition: $E \times E \rightarrow E$, $(u, v) \mapsto u + v$ * Multiplication scalaire: $\mathbb{K} \times E \rightarrow E$, $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ où $\mathbb{K}$ est un corps (souvent $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), satisfaisant les axiomes suivants: 1. Associativité de l'addition: $\forall u, v, w \in E$, $(u + v) + w = u + (v + w)$ 2. Existence d'un élément neutre pour l'addition: $\exists 0_E \in E$, $\forall u \in E$, $u + 0_E = 0_E + u = u$ 3. Existence d'un inverse additif: $\forall u \in E$, $\exists (-u) \in E$, $u + (-u) = (-u) + u = 0_E$ 4. Commutativité de l'addition: $\forall u, v \in E$, $u + v = v + u$ 5. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle: $\forall \lambda \in \mathbb{K}$, $\forall u, v \in E$, $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$ 6. Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire: $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $\forall u \in E$, $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$ 7. Associativité de la multiplication scalaire: $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K}$, $\forall u \in E$, $\lambda(\mu u) = (\lambda \mu)u$ 8. Élément neutre pour la multiplication scalaire: $\forall u \in E$, $1_{\mathbb{K}} u = u$ **Exemples Fondamentaux:** 1. $\mathbb{K}^n = \{ (x_1,..., x_n) \mid x_i \in \mathbb{K} \}$ avec les opérations composante par composante. 2. Matrices: $M_{m,n}(\mathbb{K})$ (matrices $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$) avec l'addition matricielle et la multiplication scalaire. 3. Polynômes: $\mathbb{K}[X]$ (polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$) avec l'addition de polynômes et la multiplication scalaire. 4. Fonctions: $F(X, \mathbb{K}) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{K} \}$ (fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$), où $X$ est un ensemble non vide. 5. Suites: $\mathbb{K}^{\mathbb{N}} = \{ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \mid u_n \in \mathbb{K} \}$ (suites à valeurs dans $\mathbb{K}$). Ces exemples sont cruciaux et servent de base pour comprendre les espaces vectoriels.