Varyans Analizi (ANOVA) - PDF

VARYANS ANALİZİ ANOVA Prof. Dr. Özkan GÖRGÜLÜ www.ozkangorgulu.com DÖNEM 1 DÖNEM 2 Hangi grup Biyoistatistik dersinde daha başarılıdır? Hipotez: ?...

VARYANS ANALİZİ ANOVA Prof. Dr. Özkan GÖRGÜLÜ www.ozkangorgulu.com DÖNEM 1 DÖNEM 2 Hangi grup Biyoistatistik dersinde daha başarılıdır? Hipotez: ? Hangi test kullanılır? www.ozkangorgulu.com DÖNEM 1 DÖNEM 2 DÖNEM 4 DÖNEM 3 www.ozkangorgulu.com  VARYANS ANALİZİ Analaysis of Variance (ANOVA)- F testi İki ve daha fazla grup ortalaması arasındaki farklılığın testi için kullanılır. Üzerinde durulan özellik bakımından deney üniteleri arasında gözlenen farklılıkların, etkisi araştırılan faktörlerden ya da uygulanan muamelerden mi? Yoksa tesadüften mi? Kaynaklandığının belirlenmesi amacıyla t testi ve ANOVA testi yaygın olarak kullanılmaktadır. www.ozkangorgulu.com  ANOVA T testi mi yoksa ANOVA mı? Kullanılacak bunu belirleyen grup sayısıdır. ANOVA, t-testinin ikiden fazla grup için genelleştirilmiş bir biçimidir. www.ozkangorgulu.com  ANOVA- F testi ANOVA ya F testi de denilmektedir. Bunun nedeni İngiliz istatistikçisi Fisher (1890-1962) tarafından geliştirilmiştir. F dağılımı, teorik sürekli bir dağılımdır. Yani dağılımın bir fonksiyonu vardır. Dağılımın şekli, iki adet serbestlik derecesine göre değişim göstermekte olup eğridir ve kuyruk kısmı sağ taraftadır. Serbestlik derecesi arttıkça dağılımın şekli simetrikleşir. F dağılımına kısaca varyansların oranının dağılımı da denir. www.ozkangorgulu.com  Sadece iki grup karşılaştırılması söz konusu olduğunda t-testi ve varyans analizi arasında F 𝐹 = 𝑡 2 şeklinde bir ilişki vardır. Varyans analizinde sonuçlar F cetvel değeri ile karşılaştırılır. www.ozkangorgulu.com  Varyans analizinin varsayımları 1- Veriler normal dağılım göstermelidir 2-Hata terimleri normal dağılmalıdır 3-Faktör etkileri toplanabilir olmalıdır 4-Varyanslar homojen olmalıdır. www.ozkangorgulu.com Normallik varsayımı Normallik varsayımı sağlanamadığında yapılacak olan F ve T testinin I. Tip hata yapma seviyeleri etkilenmektedir. Normallik varsayımının testinde en yagın kullanılan testler 1-Kolmogorov-Smirnov, 2- Shapiro-Wilk testleridir. www.ozkangorgulu.com  Normallik varsayımları tutmaz ise Eğer gözlem değerleri normal dağılmıyor ise Transformasyonlar yapılmalıdır. En çok kullanılan transformasyonlar 1- Logaritmik dönüştürme 2-Karekök dönüştürme 3-Arcsin (Açısal) dönüştürme www.ozkangorgulu.com Varyansların homojenliği varsayımı Çalışılan veri gruplarında varyansların homojenliği ön şartının sağlanıp sağlanmadığının test edilmesine yönelik değişik testler geliştirilmiştir. Bunlardan en çok kullanılanlar, 1- Bartlett 2-Levene 3- Cochran 4-Hartley F max Varyansların homojen olup olmadığını test etmek için kullanılan 2 𝑆𝑚𝑎𝑥 pratik yöntem, 2 ≤ 4 ise varyanslar homojen kabul edilir. 𝑆𝑚𝑖𝑛 www.ozkangorgulu.com  TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (ONE-WAY ANOVA) Etkisi incelenmek istenen tek faktör olduğunda kullanılır. Gruplardaki denek sayılarından etkilenmez Kullanımı basittir Diğer varyans analiz yöntemlerinin temelini oluşturur. www.ozkangorgulu.com  Matematik Modeli Tek yönlü varyans analizinin matematik modeli, 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗 : i’inci muamelede yer alan j’inci tekerrürün gözlem değeri. 𝜇: Populasyon ortalaması 𝛼𝑖 : i’inci muamelenin etkisi 𝑒𝑖𝑗 : i’inci muameledeki j’inci tekerrüre ait gözlem değerindeki tesadüfi hatayı ifade etmektedir. www.ozkangorgulu.com  Varyasyon kaynakları GENEL KARELER TOPLAMI (TOPLAM VARYASYON) MUAMELE KARELER TOPLAMI (MKT) (UYGULAMA) HATA KARELER TOPLAMI (HKT) www.ozkangorgulu.com  Varyans analiz tablosu VK( varyasyon SD (serbestlik KT (kareler KO (Kareler F kaynakları) derecesi) toplamı) ortalamsı Gruplararası, Grup sayısı -1 MKT, GAKT MKO=MKT/SD MKO/HKO Uygulama, Muamele, Between groups Grup içi (Hata) Genel-Grup HKT, Grupiçi KT HKO=HKT/SD Within groups sayısı Genel (Toplam) Toplam gözlem- GKT 1 www.ozkangorgulu.com Örnek Myokard enfarktüslü hastalarda koroner arter hastalığının yaygınlığı ile ilişkili olarak geliştirilen bir skorlama sistemi olan Syntax-1 değerleri üzerinde 3 farklı insan fenotipinin (QQ, RQ ve RR) etkisi araştırılmak istenmiştir. Serumda ölçülen Pon-1/Aylesteraz oranlarına göre oluşturulan bu fenotiplerin değişik oranlarda Myokard enfarktüsü riski taşıdıkları literatürde bildirilmektedir. Hastalardan elde edilen gözlemler aşağıdaki gibidir. Bu verilere göre Syntax-1 değeri üzerine bu üç fenotipin etkisi olup olmadığını test ediniz? www.ozkangorgulu.com  QQ RQ RR 14 32 14 18 36 22 13 28 16 21 24 18 30 42 20 51 ෍ = 𝟗𝟔 ෍ = 𝟐𝟏𝟑 ෍ = 𝟗𝟎 Genel Toplam =399 𝐻0 : Myokard enfarktüslü hastalarda koroner arter hastalığının yaygınlığı bakımından 3 farklı insan fenotipinin (QQ, RQ ve RR) etkisi yoktur 𝐻1 : Myokard enfarktüslü hastalarda koroner arter hastalığının yaygınlığı bakımından 3 farklı insan fenotipinin (QQ, RQ ve RR) etkisi vardır. www.ozkangorgulu.com  σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 2 3992 𝐷ü𝑧𝑒𝑙𝑡𝑚𝑒 𝐾𝑎𝑡𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝐷𝐾 = = = 9950.06 𝑛 16 Genel Kareler Toplamı (GKT)= σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖2 -DK GKT =[142 + 182 + ⋯ + 202 ] − 9950.06=1784.94 σ 𝑄𝑄 2 σ 𝑅𝑄 2 σ 𝑅𝑅 2 Muamele Kareler Toplamı (MKT)= + + -DK 𝑛𝑄𝑄 𝑛𝑅𝑄 𝑛𝑅𝑅 962 2132 902 MKT== + + − 9950.06 = 11024.7 − 9950.06 = 1074.64 5 6 5 Hata Kareler Toplamı=GKT-MKT=1784.94-1074.64=710.3 www.ozkangorgulu.com VK SD KT KO F Muamele 3-1=2 1074.64 1074.64/2=537.32 537.32/54.61=9.83 Hata 15-2=13 710.03 710.03/13=54.61 Genel 16-1=15 1784.94 𝐹2,13,0.05= 3,81 𝐹2,13,0.01= 6.70 3.81 6.70 H0 hipotezi red edilir. Myokard enfarktüslü hastalarda koroner arter hastalığının yaygınlığı bakımından 3 farklı insan fenotipinin (QQ, RQ ve RR) etkisi vardır. www.ozkangorgulu.com  Örnek:3 muamele ve her muamele grubunda 10 tekerrür olduğuna göre aşağıdaki varyans analiz tablosunu doldurunuz? VK SD KT KO F Muamele 3-1=2 991.27 991.27/3=495.63 495.63/265.70=1.86 Hata 29-2=27 7174.1 7174.1/27=265.70 Genel 30-1=29 8165.37 HKT=8165.37-991.27=7174.1 www.ozkangorgulu.com Örnek Yazılı (Y), Sözlü (S) ve Test (T) gibi üç sınav tekniğinin başarı puanı üzerine etkisinin araştırılması amacıyla yürütülen bir denemeden elde edilen gözlem değerleri aşağıdaki gibidir. Buna göre öğrencilerin başarı notu üzerinde kullanılan sınav tekniğinin etkisinin olup olmadığını α=0.05 önem düzeyinde test ediniz? Sonuçlarını yorumlayınız? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Toplam Y 65 58 70 40 49 63 25 66 72 85 593 S 70 55 40 50 30 60 40 70 55 40 510 T 75 70 65 85 90 60 45 30 60 70 650 www.ozkangorgulu.com  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Toplam Y 65 58 70 40 49 63 25 66 72 85 593 S 70 55 40 50 30 60 40 70 55 40 510 T 75 70 65 85 90 60 45 30 60 70 650 17532 DK= = 102433,63 30 GKT= σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖2 -DK =[652 + 582 + ⋯ + 702 ] − 102433,63=8165.37 5932 5102 6502 MKT== + + − 102433.63 = 991.27 10 10 10 Hata Kareler Toplamı=GKT-MKT=8165.37-991.27=7174.1 www.ozkangorgulu.com VK SD KT KO F Muamele 3-1=2 991.27 495.63 1.86 Hata 29-2=27 7174.1 265.70 Genel 30-1=29 8165.37 𝐹2,27,0.05= 3,35 𝐹2,27,0.01= 5.49 3.35 5.49 H0 hipotezi RED EDİLMEZ Kullanılan sınav tekniğinin öğrencilerin başarısı üzerine etkisi yoktur. www.ozkangorgulu.com  Spss sonuç 1-Eğer Sig. Değeri 0.05 den büyük olursa H0 hipotezi RED edilemez. Yani gruplar arasında istatistiki olarak fark yoktur yorumu yapılır. 2-Eğer Sig. Değeri 0.05 den küçük 0.01 den büyük çıkar ise gruplar arasındaki farklılık istatistiki olarak %5 te önemlidir. 3-Eğer Sig. Değeri 0.01 den küçük çıkarsa gruplar arasındaki farklılık %1 de önemlidir www.ozkangorgulu.com  Sig. H0 hipotezi % 1 de RED edilir. Yani incelenen 0.000 değişken bakımından gruplar arasındaki farklılık H0 hipotezi % 5 de RED edilir. Yani incelenen istatistiki olarak önemlidir. 0.025 değişken bakımından gruplar arasındaki farklılık H0istatistiki hipoteziolarak RED EDİLEMEZ. Yani incelenen %5 te önemlidir. 0.152 değişken bakımından gruplar arasındaki farklılık istatistiki olarak önemli DEĞİLDİR. www.ozkangorgulu.com  ÖRNEK 40-49 Yaş grubu erkek X ve Y hastaları ile saglıklı (kontrol) 10 ar bireyde total kolestrol düzeyi ölçülmüştür. Aşağıdaki verilere göre total kolestrol bakımından gruplar arasında fark olup olmadığını test ediniz? X 197 208 238 205 215 204 211 185 218 185 Y 234 246 224 230 242 254 210 208 208 208 Kontrol 138 175 195 175 155 160 180 130 154 160 www.ozkangorgulu.com  İki yönlü varyans analizi (Two-Way ANOVA) Etkisi araştırılmak istenen ikinci bir faktörün varlığında kullanılan varyans analiz tekniğidir. www.ozkangorgulu.com DÖNEM 1 DÖNEM 2 DÖNEM 3 DÖNEM 4 KIZ ERKEK www.ozkangorgulu.com Örnek: A, B, C, ve D gibi 4 farklı hasta grubuna X, Y ve Z gibi üç farklı ilaç uygulanmış ve hastaların iyileşme süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, A) Hasta grupları arasında iyileşme süresi bakımından fark var mıdır? B) Farklı ilaç türlerinin iyileşme süresine etkisi var mıdır? A B C D Toplam X 2 3 4 3 12 Y 1 4 5 6 16 Z 3 2 3 12 20 Toplam 6 9 12 21 48 www.ozkangorgulu.com  A B C D Toplam X 2 3 4 3 12 Y 1 4 5 6 16 Z 3 2 3 12 20 Toplam 6 9 12 21 48 482 𝐷𝐾 = = 192 12 62 +92 +122 +212 702 𝑆ü𝑡𝑢𝑛𝑙𝑎𝑟 𝐴𝑟𝑎𝑠𝚤 𝐾𝑇 𝐻𝑎𝑠𝑡𝑎 𝐺𝑟𝑢𝑝𝑙𝑎𝑟𝚤 = -DK= − 192=42 3 3 122 +162 +202 800 𝑆𝑎𝑡𝚤𝑟𝑙𝑎𝑟 𝐴𝑟𝑎𝑠𝚤 𝐾𝑎𝑟𝑒𝑙𝑒𝑟 𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚𝚤 İ𝑙𝑎ç𝑙𝑎𝑟 = − 𝐷𝐾 = − 192 = 8 4 4 𝐺𝐾𝑇 = 22 + 32 + ⋯ + 122 − 𝐷𝐾 = 282 − 192 = 90 HKT=GKT-[Sütun KT+Satır KT]=90-[8+42]=40 www.ozkangorgulu.com  VK SD KT KO F Sütunlar 14/6.66=2.10 (4-1)=3 42 42/3=14 (Hastalık) Satırlar (İlaç) (3-1)=2 8 8/2=4 4/6.66=0.60 Hata 11-(3+2)=6 40 3x2=6 40/6=6.66 Genel (12-1)=11 90 𝐹3,6,0.05=4.76 𝐹3,6,0.01 =9.78 Hastalıklar arasında fark yoktur 4.76 9.78 𝐹 2,6,0.05=5.14 𝐹2,6,0.01 =10.92 İlaçlar arasında fark yoktur www.ozkangorgulu.com 5.14 10.92 SPSS SONUÇ www.ozkangorgulu.com  TEŞEKKÜR EDERİM www.ozkangorgulu.com [email protected]