१० वी गणित भाग - १ मराठी PDF

शासन णनिमिय क्रिांक ः अभयास-२११६/(प्र.क्र.४३/१६) एसडी-४ णदनांक २५.४.२०१६ अनिये सथापन करणयात आलेलया सिनिय सणितीचया णदनांक २९.१२.२०१७ रोजीचया बैठकीिधये हे पाठ्यपुसतक सन २०१८-१९ या शैक्षणिक िषामिपासून णनधामिररत करणयास िानयता देणयात आली आहे. आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द्वार...

शासन णनिमिय क्रिांक ः अभयास-२११६/(प्र.क्र.४३/१६) एसडी-४ णदनांक २५.४.२०१६ अनिये सथापन करणयात आलेलया सिनिय सणितीचया णदनांक २९.१२.२०१७ रोजीचया बैठकीिधये हे पाठ्यपुसतक सन २०१८-१९ या शैक्षणिक िषामिपासून णनधामिररत करणयास िानयता देणयात आली आहे. आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द्वारे पाठ्यपुसतकाचया पश्हलया पृष्ठावररीि Q. R. Code द्वारे शडशजटि पाठ्यपुसतक व प्रतयेक पाठामधये असिेलया Q. R. Code द्वारे तया पाठासंबंशधत अधययन अधयापनासाठरी उपयुक् दृकश्ावय साश्हतय उपिबध ्होईि. प्रथमावृत्ती : 2018 © महाराष्ट्र राज्य पाठ्यपुस्तक निर्मिती व अभ्यासक्रम संशोधन मंडळ n{hco nwZ‘w©ÐU : 2019 पुणे - ४११ ००४. महाराष्ट्र राज्य पाठ्यपुस्तक निर्मिती व अभ्यासक्रम संशोधन मंडळाकडे या पुस्तकाचे सर्व हक्क राहतील. या पुस्तकातील कोणताही भाग संचालक, महाराष्ट्र राज्य पाठ्यपुस्तक निर्मिती व अभ्यासक्रम संशोधन मंडळ यांच्या लेखी परवानगीशिवाय उद्‌धृत करता येणार नाही. ‘w»¶ g‘Ýd¶H$ मुखपृष्ठ व संगणकीय आरेखन lr‘Vr àmMr aqdÐ gmR>o श्री. संदीप कोळी, चित्रकार, मुंबई गणित विषयतज्ज्ञ समिती अक्षरजुळणी डॉ. मंगला नारळीकर (अध्यक्ष) गणित विभाग, पाठ्यपुस्तक मंडळ, पुणे डॉ. जयश्री अत्रे (सदस्य) प्रमुख संयोजक श्री. विनायक गोडबोले (सदस्य) उज्ज्वला श्रीकांत गोडबोले श्रीमती प्राजक्ती गोखले (सदस्य) प्र. विशेषाधिकारी गणित, श्री. रमाकांत सरोदे (सदस्य) पाठ्यपुस्तक मंडळ, पुणे. श्री. संदीप पंचभाई (सदस्य) श्रीमती पूजा जाधव (सदस्य) निर्मिती श्रीमती उज्ज्वला गोडबोले (सदस्य-सचिव) सच्चितानंद आफळे मुख्य निर्मिती अधिकारी गणित विषय - राज्य अभ्यासगट सदस्य संजय कांबळे श्रीमती जयश्री पुरदं रे श्रीमती तरुबेन पोपट निर्मिती अधिकारी श्री. राजेंद्र चौधरी श्री. प्रमोद ठोंबरे प्रशांत हरणे श्री. रामा व्हन्याळकर डॉ. भारती सहस्रबुदध‌् े सहायक निर्मिती अधिकारी श्री. अाण्णापा परीट श्री. वसंत शेवाळे श्री. अन्सार शेख श्री. प्रताप काशिद कागद श्री. श्रीपाद देशपांडे श्री. मिलिंद भाकरे ७० जी.एस.एम.क्रीमवोव्ह श्री. सुरशे दाते श्री. ज्ञानशे ्वर माशाळकर मुद्रणादेश श्री. उमेश रेळे श्री. गणेश कोलते श्री. बन्सी हावळे श्री. संदशे सोनावणे मुद्रक श्रीमती रोहिणी शिर्के श्री. सुधीर पाटील श्री. प्रकाश झेंडे श्री. प्रकाश कापसे श्री. लक्ष्मण दावणकर श्री. रवींद्र खंदारे श्री. श्रीकांत रत्नपारखी श्रीमती स्वाती धर्माधिकारी प्रकाशक श्री. सुनिल श्रीवास्तव श्री. अरविंदकुमार तिवारी विवेक उत्तम गोसावी, नियंत्रक श्री. अन्सारी अब्दुल हमीद श्री. मल्श ले ाम बेथी पाठ्यपुस्तक निर्मिती मंडळ, श्रीमती सुवर्णा देशपांडे श्रीमती आर्या भिडे प्रभादेवी, मुंबई २५  प्रस्तावना विद्यार्थी मित्रांनो, दहावीच्या वर्गात तुमचे स्वागत! गणित भाग I आणि गणित भाग II ही पुस्तके यावर्षी तुम्हांला अभ्यासायची आहेत. गणित भाग I मध्ये बीजगणित, आलेख, अर्थनियोजन व सांख्यिकी ही मुख्य क्षेत्रे आहेत. तुम्हांला यावर्षी नववीपर्यंत ओळख करून दिलेल्या घटकांचाच थोडा अधिक अभ्यास करायचा आहे. अर्थनियोजनात GST या नव्या करप्रणालीची ओळख करून दिली आहे. जेथे नवा भाग, सूत्रेू किंवा उपयोजन आहे, तेथे सुलभ स्पष्टीकरण दिले आहे. प्रत्येक प्रकरणात नमुन्याची सोडवलेली उदाहरणे, सरावासाठी उदाहरणे आहेतच, शिवाय प्रज्ञावान विद्यार्थ्यांसाठी काही आव्हानात्मक प्रश्न तारांकित करून दिले आहेत. काही विद्यार्थ्यांना दहावीनंतर गणिताचा अभ्यास करायचा नसला, तरी गणितातील मूलभूत संकल्पना त्यांना समजाव्यात, इतर क्षेत्रात काम करताना आवश्यक ते गणित वापरता यावे, असे ज्ञान त्यांना या पुस्तकातून मिळेल. ‘अधिक माहितीसाठी’ या शीर्षकाखाली दिलेला मजकूर, ज्या विद्यार्थ्यांना दहावीनंतरही गणिताचा अभ्यास करून त्यात प्रावीण्य मिळवण्याची इच्छा आहे, त्यांना उपयोगी पडेल, म्हणून अशा विद्यार्थ्यांनी तो जरूर अभ्यासावा. सगळे पुस्तक एकदा तरी वाचून व समजून घ्यावे. ॲपच्या माध्यमातून क्यू. आर. कोडद्‌वारे प्रत्येक पाठासंबंधी अधिक उपयुक्त दृक्-‌ श्राव्य साहित्य आपणांस उपलब्ध होईल. त्याचा अभ्यासासाठी निश्चित उपयोग होईल. दहावीची परीक्षा महत्त्वाची मानली जाते. या गोष्टीचा ताण न घेता चांगला अभ्यास करून मनासारखे यश मिळवण्यासाठी तुम्हांला शुभेच्छा! (डॉ. सुनिल मगर) पुणे संचालक दिनांक : १८ मार्च २०१८, गुढीपाडवा महाराष्ट्र राज्य पाठ्यपुस्तक निर्मिती व भारतीय सौर दिनांक : २७ फाल्गुन १९३९ अभ्यासक्रम संशोधन मंडळ, पुणे. इयत्ता १० वी गणित भाग I अभ्यासक्रमातून खालील क्षमता विद्यार्थ्यांमध्ये विकसित होतील. क्षेत्र घटक क्षमता विधाने 1. संख्याज्ञान 1.1 अंकगणिती श्रेढी · अंकगणिती श्रेढीचा उपयोग करून उदाहरणे सोडवता येणे. · भविष्यातील एखादी गोष्ट साध्य करण्यासाठी टप्प्याटप्प्याने नियोजन करता येणे. 2. बीजगणित 2.1 वर्गसमीकरणे · व्यवहारातील ज्या समस्या वर्गसमीकरणाच्या रूपात व्यक्त करता येतात, त्यांची उकल शोधता येणे. 2.2 दोन चलांतील रेषीय · शाब्दिक उदाहरणांची उकल काढण्यासाठी किती चलांचा समीकरणे वापर करावा लागेल हा निर्णय घेता येणे. · शाब्दिक उदाहरणांचे रूपांतर दोन चलांमधील समीकरणात करून उकल काढता येणे. 3. व्यावहारिक 3.1 अर्थनियोजन · बचत, गुंतवणूक या बाबींची समज निर्माण होणे. गणित · उद्योग, व्यवसायातील अर्थव्यवहारांची तोंडओळख होणे. 4. सांख्यिकी 4.1 संभाव्यता · खेळ, मतदान इत्यादी क्षेत्रात संभाव्यतेचा उपयोग करता व संभाव्यता 4.2 आलेख व केंद्रीय येणे. प्रवृत्तीची परिमाणे · विशिष्ट प्रकारची माहिती गोळा केल्यावर त्याचे आलेख रूपात/चित्ररूपात प्रतिरूपण करण्यासाठी विशिष्ट आलेखांची निवड करता येणे. · वर्गीकृत सामग्री दिल्यावर मध्य, मध्यक, बहुलक काढता येणे. शिक्षकांसाठी सूचना प्रथम पुस्तकाचे सखोल वाचन करून ते समजून घ्यावे. विविध घटकांचे स्पष्टीकरण व सूत्रांचा पडताळा घेणे या महत्त्वाच्या गोष्टींसाठी कृतींची मदत घ्यावी. प्रात्यक्षिकांतूनही मूल्यमापन करायचे आहे. त्यासाठीही कृती वापरता येतात. विद्यार्थ्यांना स्वतंत्र विचार करण्यास उत्तेजन द्यावे. एखादे उदाहरण वेगळ्या, परंतु तर्कशुद्‌ध पद्‌धतीने सोडवणाऱ्या विद्यार्थ्यांना खास शाबासकी द्यावी.  प्रात्यक्षिकांची यादी (नमुना) 1. आलेख कागदावर X-अक्षाला किंवा Y-अक्षाला समांतर रेषा काढून त्या रेषेवरील कोणत्याही चार बिंदूंचे निर्देशक लिहा. निर्देशकांवरून रेषेचे समीकरण कसे तयार होते ते लिहा. [समांतर रेषेऐवजी आरंभबिंदूतून जाणाऱ्या किंवा X व Y अक्षांना छेदणाऱ्या रेषा घेतल्या तरी चालेल.] 2. कोणतीही दोन अंकी संख्या मनात ठरवा. ती उघड न करता ओळखण्यासाठी कोडे तयार करा. संख्येच्या अंकांमधील दोन बैजिक संबंध तयार करा व कोडे सोडवून दाखवा. [वरील प्रात्यक्षिक तीन अंकी संख्येसाठीही करता येईल.] 3. कोणत्याही खाद्यपदार्थाच्या पाकिटावरील घटकांची माहिती वाचा व ती माहिती दाखवणारा वृत्तालेख काढा. उदाहरणार्थ, बिस्किटाच्या पुड्यावरील कर्बोदके, प्रथिने, जीवनसत्त्वे, इत्यादी घटकांचा तक्ता पाहा. तो किती वजनासाठी दिला आहे हे पाहा. त्यावरून वजनांचे वितरण दाखवणारा वृत्तालेख काढा. त्यासाठी कर्बोदके, स्निग्ध, प्रथिने व इतर असे घटकांचे चार भाग करता येतील. 4. शिक्षकांनी दिलेली वारंवारता वितरण सारणी संगणकावर Excel sheet मध्ये तयार करा. त्या सारणीवरून वारंवारता बहुभुज व स्तंभालेख Excel मध्ये तयार करा. 5. एक फासा दहा वेळा फेकून मिळालेल्या निष्पत्ती नोंदवणे व त्यांची सारणी तयार करणे. 6. शिक्षकांनी दिलेले जीएसटी व्यवहाराचे करबीजक पाहा. त्यातील सर्व बाबींची नोंद करा. त्यातील कर आकारणीचे परत गणन करून दाखवा व सर्व गणन बरोबर असल्याची खात्री करा. 7. शिक्षकांनी सांगितलेल्या पहिल्या n क्रमवार नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करण्यासाठी दिलेली कृती करून पाहा. उदाहरणार्थ, 1 पासून 4 पर्यंतच्या नैसर्गिक संख्यांची बेरीज करण्यासाठी 4 ´ 5 चा एक चौकटींचा कागद n(n +1) घ्या व आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे कापून घ्या. (येथे n = 4 आहे.) त्यावरून Sn = 2 या सूत्राचा पडताळा घ्या. 5 1 n(n +1) 4 (4 + 1) 4´5 20 2 3 Sn = \ S4 = 2 = 2 = 2 = 10 4 2 4 5 6 7 8 9 10 [टीप : येथे a = 1 व d = 1 आहे. जास्त संख्या घेऊन, a व d या संख्या बदलून; तसेच सम किंवा विषम संख्यांच्या बेरजेसाठी तसेच नैसर्गिक संख्यांच्या घनांच्या बेरजेसाठी अशा कृती करता येतील.] 8. एका कार्डावर पुढच्या बाजूस a = 6 व मागच्या बाजूस a = -6 लिहा. तसेच दुसऱ्या कार्डाच्या एकेका पृष्ठभागावर b = -3 व b = 7 असे लिहा. त्यावरून (a + b) व (ab) च्या वेगवेगळ्या किमती तयार होतील. त्या किमती वापरून वर्गसमीकरणे तयार करा.  अनुक्रमणिका प्रकरण पृष्ठे 1. दोन चलांतील रेषीय समीकरणे............................. 1 ते 29 2. वर्गसमीकरणे.............................................. 30 ते 54 3. अंकगणित श्रेढी........................................... 55 ते 80 4. अर्थनियोजन.............................................. 81 ते 112 5. संभाव्यता.................................................. 113 ते 128 6. सांख्यिकी.................................................. 129 ते 168 · उत्तरसूची................................................. 169 ते 176  1 दोन चलांतील रेषीय सिीकरिे चला, णशकूया. · दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर्े सोडवणयाचया पद्धतरी - आिेख पद्धत, क्रेमरचरी पद्धत. · दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर्ात रूपांतर करणयाजोगरी समरीकर्े. · एकसामशयक समरीकर्ांचे उपयोजन. जरा आठिूया. दोन चलांतील रेषीय सिीकरि (Linear equation in two variables) जया समरीकर्ामधये दोन चिे वापरिरी जातात आश् चि असिेलया प्रतयेक पदाचरी कोटरी 1 असते तया समरीकर्ािा दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर् असे म्ह्तात, ्हे आप् मागरीि इयततेत अभयासिे आ्हे. ax + by + c = 0 ्हे दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर्ाचे सामानयरूप आ्हे. येथे a, b, c या वासतव संखया असून a आश् b ्हे एकाच वेळरी शूनय नसतात ्हे्हरी आपलयािा मा्हरीत आ्हे. उदा. 3x = 4y - 12 या समरीकर्ाचे 3x - 4y + 12 = 0 ्हे सामानयरूप आ्हे. कृती : खािरीि सार्री पू्मा करा. क्रमांक समरीकर् दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर् आ्हे की ना्हरी? 1 4m + 3n = 12 आ्हे. 2 3x2 - 7y = 13 3 2x - 5y = 16 4 0x + 6y - 3 = 0 5 0.3x + 0y -36 = 0 4 5 6 + =4 x y 7 4xy - 5y - 8 = 0 1  एकसामयिक रेषीय समीकरणे (Simultaneous linear equations) जेव्हा आपण दोन चलांतील दोन रेषीय समीकरणांचा एकाच वेळी विचार करताे तेव्हा त्या समीकरणांना एकसामयिक समीकरणे म्हणतात. मागील इयत्तेत एका चलाचा लोप करून समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धतींचा अभ्यास आपण केला अाहे. त्याची थोडक्यात उजळणी करू उदा. (1) खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा. 5x - 3y = 8; 3x + y = 2 उकल : रीत (II) रीत I : 5x - 3y = 8... (I) 5x - 3y = 8... (I) 3x + y = 2... (II) 3x + y = 2... (II) समीकरण (II) च्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणू समीकरण (II) वरून y या चलाची किंमत x 9x + 3y = 6... (III) या चलाच्या रूपात लिहू. 5x - 3y = 8... (I) y = 2 - 3x... (III) आता समीकरण (I) व (III) यांची बेरीज करू. आता y ची ही किंमत समीकरण (I) मध्ये 5x - 3y = 8 ठेवू. + 9x + 3y = 6 5x - 3y = 8 14x = 14 \ 5x - 3(2 - 3x) = 8 \ x = 1 \ 5x - 6 + 9x = 8 x = 1 ही किंमत समीकरण (II) मध्ये ठेवू. \ 14x - 6 = 8 3x + y = 2 \ 14x = 8 + 6 \ 3´1 + y = 2 \ 14x = 14 \ 3 + y = 2 \ x = 1 \ y = -1 x = 1 ही किंमत समीकरण (III) मध्ये ठेवू. x = 1, y = -1 ही उकल आहे. y = 2 - 3x हीच उकल (x, y) = (1, -1) अशीही लिहितात. \ y = 2 - 3´1 \ y = 2 - 3 \ y = -1 x = 1, y = -1 ही उकल आहे. 2 उदा. (2) सोडवा: 3x + 2y = 29; 5x - y = 18 उकल : 3x + 2y = 29... (I) आणि 5x - y = 18... (II) दिलेली समीकरणे y या चलाचा लोप करून सोडवू. त्यासाठी खालील चौकटींत योग्य संख्या लिहा. समीकरण (II) ला 2 ने गुणून \ 5x ´ - y ´ = 18 ´ \ 10x - 2y =... (III) समीकरण (I) मध्ये समीकरण (III) मिळवू. 3x + 2y = 29 + - = = \ x = x = 5 ही किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवू. 3x + 2y = 29 \ 3 ´ + 2y = 29 \ + 2y = 29 \ 2y = 29 - \ 2y = \ y = (x, y) = ( , ) ही उकल आहे. उदा. (3) 15x + 17y = 21; 17x + 15y = 11 उकल : 15x + 17y = 21... (I) 17x + 15y = 11... (II) या दोन समीकरणांत x आणि y यांच्या सहगुणकांची अदलाबदल आहे. अशा प्रकारची एकसामयिक समीकरणे सोडवताना त्या दोन्ही समीकरणांची बेरीज आणि वजाबाकी घेतली असता दोन नवीन सोपी समीकरणे मिळतात. ती समीकरणे सोडवून समीकरणांची उकल सहज मिळते. समीकरण (I) व समीकरण (II) यांची बेरीज करून, 15x + 17y = 21 + 17x + 15y = 11 32x + 32y = 32 3  समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंस 32 ने भागून x + y = 1... (III) समीकरण (I) मधून समीकरण (II) वजा करू. 15x + 17y = 21 - - 17x +- 15y = -  11 -2x + 2y = 10 समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंस 2 ने भागून, -x + y = 5... (IV) समीकरण (III) व समीकरण (IV) यांची बेरीज करू. x + y = 1 + -x + y = 5 \ 2y = 6 \ y = 3 y = 3 ही किंमत समीकरण (III) मध्ये ठेवू. x + y = 1 \ x + 3 = 1 \ x = 1 - 3 \ x = -2 (x, y) = (-2, 3) ही समीकरणांची उकल आहे. सरावसंच 1.1 1. खालील कृती पूर्ण करून एकसामयिक समीकरणे सोडवा. 5x + 3y = 9 ----- (I) 2x - 3y = 12 ----- (II) x = 3 समी.(I) मध्ये ठेवू. समी. (I) व समी. (II) यांची बेरीज करू. 5 ´ + 3y = 9 5x + 3y = 9 3y = 9 - + 2x - 3y = 12 3y = x = y = 3 x = x = y = (x, y) = ( , ) ही समीकरणाची उकल आहे. 4 2. खािरीि एकसामशयक समरीकर्े सोडवा. (1) 3a + 5b = 26; a + 5b = 22 (2) x + 7y = 10; 3x - 2y = 7 (3) 2x - 3y = 9; 2x + y = 13 (4) 5m - 3n = 19; m - 6n = -7 (5) 5x + 2y = -3; x + 5y = 4 (6) 1 x + y = 10 ; 2 x + 1 y = 11 3 3 4 4 (7) 99x + 101y = 499; 101x + 99y = 501 (8) 49x - 57y = 172; 57x - 49y = 252 जरा आठिूया. दोन चलांतील रेषीय सिीकरिाचा आलेख (Graph of a linear equation in two variables) मागरीि इयततेत, दोन चिांतरीि रेषरीय समरीकर्ाचा आिेख ्हरी एक सरळ रेषा असते असे आप् अभयासिे आ्हे. जरी क्रशमत जोडरी शदिेलया समरीकर्ाचे समाधान करते तरी जोडरी तया समरीकर्ाचरी उकि असते. तसेच तरी क्रशमत जोडरी तया समरीकर्ाचया आिेखावररीि एक शबंदू दशमावते. उदाहरि 2x - y = 4 या समरीकर्ाचा आिेख काढा. उकल : 2x - y = 4 या समरीकर्ाचा आिेख काढणयासाठरी (x, y) चया 4 क्रशमत जोड्ा शमळवू. x 0 2 3 -1 क्रशमत जोड्ा शमळवताना सार्रीत y -4 0 2 -6 दाखवलयाप्रमा्े x व y यांचरी शूनय ्हरी (x, y) (0, -4) (2, 0) (3, 2) (-1, -6) शकंमत घे्े सोईचे असते. Y प्रमा् दोन्हरी अक्षांवर 2 (3, 2) 1 सेमरी = 1 एकक 1 (2, 0) X' -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X -1 -2 -3 -4 (0, -4) -5 (-1, -6) Y' 5  दोन चलांतील रेषीय समीकरणाचा आलेख रेषा निश्चित होण्यासाठी दोन बिंदू पुरेसे काढताना खालील पायऱ्या ध्यानात घ्या. असतात, परंतु त्यांपैकी एका बिंदूचे निर्देशक काढताना चूक झाली, तर रेषाही चुकते. दिलेल्या समीकरणासाठी किमान 4 क्रमित जोड्या (बिंदूंचे निर्देशक) शोधा तीन बिंदूंचे निर्देशक काढताना एका बिंदूचे निर्देशक चुकले, तर तीन बिंदू एका रेषेत येणार नाहीत, त्यावरून कोणत्यातरी एकाचे निर्देशक चुकले आहेत हे लक्षात येईल, पण आलेख कागदावर X- अक्ष व Y- अक्ष नेमक्या कोणत्या बिंदूचे निर्देशक चुकले निश्चित करून बिंदू स्थापन करा. आहेत, हे शोधायला वेळ लागेल. चार बिंदूंचे निर्देशक काढताना जर एका सर्व बिंदू एकरेषीय येतील. त्या बिंदूंतून बिंदूचे निर्देशक चुकले, तर तो वगळता इतर जाणारी रेषा काढा. तीन बिंदू एकरेषीय येतील. त्यामुळे चूक लगेच लक्षात येईल. म्हणून चार बिंदूंचे निर्देशक ठरवणे हिताचे असते. 0x + y = 2 हे समीकरण सोईसाठी y = 2 असे लिहितात. या समीकरणाचा आलेख X- अक्षाला समांतर असतो. कारण x निर्देशक कोणताही घेतला तरी प्रत्येक बिंदूचा y निर्देशक 2 हाच येतो. x 1 4 -3 y 2 2 2 (x, y) (1, 2) (4, 2) (-3, 2) तसेच x + 0y = 2 हे समीकरण x = 2 असे लिहितात व त्याचा आलेख Y- अक्षाला समांतर असतो. Y प्रमाण दोन्ही अक्षांवर 4 1 सेमी = 1 एकक 3 (2,3) (-3,2) (1,2) (4,2) y = 2 2 1 (2,1) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X -1 (2,-1) -2 -3 (2,-3) x = 2 -4 6  जािून घेऊया. एकसािणयक सिीकरिे सोडिणयाची आलेख पद्धत (Solution of simultaneous equations by Graphical method) उदा. x + y = 4 आश् 2x - y = 2 या समरीकर्ांचे आिेख काढून तयांचे शनररीक्ष् करू. x + y = 4 2x - y = 2 x -1 4 1 6 x 0 1 3 -1 y 5 0 3 -2 y -2 0 4 -4 (x, y) (-1, 5) (4, 0) (1, 3) (6,-2) (x, y) (0, -2) (1, 0) (3, 4) (-1,-4) Y प्रमा् दोन्हरी अक्षांवर आिेखावररीि प्रतयेक शबंदू तया (-1,5) 5 1 सेमरी = 1 एकक आिेखाचया समरीकर्ाचे समाधान =2 4 करतो. दोन्हरी रेषा परसपरांना (2, 2) -y (3,4) या शबंदूत छेदतात. (1,3) 2x 3 म्ह्ून (2, 2) ्हरी क्रशमत जोडरी, 2 (2,2) म्ह्जेच x = 2 आश् y = 2 या शकमतरी, x + y = 4 आश् 1 2x - y = 2 या दोन्हरी समरीकर्ांचे (1,0) (4,0) समाधान करतात. X' -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X चिांचया जया शकमतींनरी शदिेलया -1 एकसामशयक समरीकर्ांचे समाधान x (6,-2) -2 (0,-2) ्होते, तया शकमतरी म्ह्जे तया + y समरीकर्ांचरी उकि असते. = -3 4 x + y = 4 आश् 2x - y = 2 (-1,-4) -4 या एकसामशयक समरीकर्ांचरी उकि -5 x = 2 आश् y = 2 आ्हे. Y' ्हरी समरीकर्े शनरसन पद्धतरीने सोडवून या उकिरीचा पडताळा घेऊ. x + y = 4... (I) समरीकर् (I) मधये x = 2 ्हरी शकंमत ठेवू. 2x - y = 2... (II) x + y = 4 समरीकर् (I) व (II) यांचरी बेररीज करून, \ 2 + y = 4 3x = 6 \ x = 2 \ y = 2 7  कृती I : x - y = 1; 5x - 3y = 1 ्हरी एकसामशयक समरीकर्े आिेख पद्धतरीने सोडवणयासाठरी खािरी शदिेलया सारणया पू्मा करून शनददेशक शमळवा. x - y = 1 5x - 3y = 1 x 0 3 x 2 -4 y 0 -3 y 8 -2 (x, y) (x, y) · एकाच शनददेशक पद्धतरीवर वररीि शनददेशकांनुसार शबंदू सथापन करा. · समरीकर्ांचे आिेख काढा. · रेषांचया छेदनशबंदूचे शनददेशक वाचा. तयांवरून एकसामशयक समरीकर्ांचरी उकि शि्हा. कृती II : वर शदिेिरी एकसामशयक समरीकर्े शनरसन पद्धतरीने सोडवून, आिेखांवरून शमळािेलया उकिरीचा पडताळा घया. णिचार क या. 5x - 3y = 1 चा आिेख काढणयासाठरी खािरीि सार्रीत का्हरी शनददेशक काढून शदिे आ्हेत, ते पा्हा. 1 x 0 1 -2 5 y -3 1 0 4 -3 11 3 (x, y) (0, - 13 ) ( 15 , 0) (1, 43 ) (-2, - 113 ) · शबंदू सथापन करणयासाठरी ्हे शनददेशक सोईचे आ्हेत का? · शनददेशक शोधताना को्तरी काळजरी घयावरी, म्ह्जे शबंदू सथापन कर्े सोपे ्होईि? सरािसंच 1.2 1. खािरीि एकसामशयक समरीकर् आिेखाने सोडवणयासाठरी सार्री पू्मा करा. x + y = 3 ; x - y = 4 x + y = 3 x - y = 4 x 3 x -1 0 y 5 3 y 0 -4 (x, y) (3, 0) (0, 3) (x, y) (0, -4) 2. खािरीि एकसामशयक समरीकर्े आिेखाने सोडवा. (1) x + y = 6 ; x - y = 4 (2) x + y = 5 ; x - y = 3 (3) x + y = 0 ; 2x - y = 9 (4) 3x - y = 2 ; 2x - y = 3 (6) 2x - 3y = 4 ; 3y - x = 4 ê (5) 3x - 4y = -7 ; 5x - 2y = 0 8  चला, चचामि क या. x + 2y = 4 ; 3x + 6y = 12 ्हरी एकसामशयक समरीकर्े शदिेिरी आ्हेत, तरी आिेख पद्धतरीने सोडवणयासाठरी शनबशचत केिेलया का्हरी क्रशमत जोड्ा खािरीिप्रमा्े आ्हेत. x + 2y = 4 3x + 6y = 12 x -2 0 2 x -4 1 8 y 3 2 1 y 4 1.5 -2 (x, y) (-2, 3) (0, 2) (2, 1) (x, y) (-4, 4) (1, 1.5) (8, -2) या क्रशमत जोड्ा सथापन करून काढिेिा आिेख खािरी शदिा आ्हे. तयाचे शनररीक्ष् करा आश् शदिेलया प्रशनांवर चचामा करा. Y प्रमा् दोन्हरी अक्षांवर 6 1 सेमरी = 1 एकक 5 (-4,4) x+ 4 2y (-2,3) =4 3 2 (0,2) (1,1.5) (2,1) 1 X¢ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X -1 3x +6 y= (8,-2) -2 12 Y¢ (1) वररीि दोन्हरी समरीकर्ांचे आिेख एकच आ्हेत का शभन् आ्हेत? (2) x + 2y = 4 आश् 3x + 6y = 12 या एकसामशयक समरीकर्ांचया उकिरी को्तया? तया शकतरी आ्हेत? (3) वररीि दोन्हरी समरीकर्ांतरीि x चे स्हगु्क, y चे स्हगु्क आश् बसथरपदे यांमधये को्ता संबंध शदसून येतो? (4) दोन चिांतरीि दोन रेषरीय समरीकर्े शदिरी असता तया समरीकर्ांचे आिेख ्हरी एकच रेषा केव्हा असते ्हे कसे ओळखता येईि? 9 आता दुसरे उदाहरण पाहू. x - 2y = 4 आणि 2x - 4y = 12 या समीकरणांचे आलेख वरीलप्रमाणेच एकाच निर्देशकपद्धतीवर काढा. आलेखांचे निरीक्षण करा. x - 2y = 4; 2x - 4y = 12 या एकसामयिक समीकरणांच्या उकलीचा विचार करा. x आणि y चे सहगुणक, तसेच स्थिरपदे यांच्यातील संबधा ं चा विचार करून निष्कर्ष काढा. ICT Tools or Links Geogebra software च्या मदतीने X-अक्ष, Y-अक्ष काढा. विविध एकसामयिक समीकरणांचे आलेख काढून त्यांच्या उकली तपासा. जाणून घेऊया. निश्चयक (Determinant) a b c d हा चार घटकांचा निश्चयक आहे. यात (a, b), (c, d) या आडव्या ओळी a b  आहेत, तसेच  ,   हे दोन (उभे) स्तंभ आहेत. या निश्चयकाची कोटी 2 आहे, कारण प्रत्येक c  d  ओळीत व स्तंभात 2 घटक आहेत. हा निश्चयक एका संख्येसाठी लिहिला जातो. ती संख्या ad-bc असते. a b म्हणजे = ad-bc c d a b ad-bc ही या निश्चयकाची किंमत आहे. c d निश्चयकांना नाव देण्यासाठी सर्वसाधारणपणे A, B, C, D,......... अशी इंग्रजी कॅपिटल अक्षरे वापरतात. ÒÒÒ सोडवलेले उदाहरण ÒÒÒ उदाहरण खालील निश्चयकांच्या किमती काढा. 5 3 -8 -3 2 3 9 (1) A = 7 9 (2) N = 2 4 (3) B = 2   3 3 10 उकल : 5 3 (1) A = 7 9 = (5 ´ 9) - (3 ´ 7) = 45 - 21 = 24 -8 -3 (2) N = 2 4 = [(-8) ´ (4)] - [(-3 ) ´ 2] = -32 - (-6) = -32 + 6 = -26 2 3 9 (3) B = = [2 3 ´ 3 3] - [2 ´ 9] = 18 - 18 = 0 2 3 3 जािून घेऊया. णनशचयक पद्धती (क्रेिरची पद्धती)Determinant method (Crammer's Method) शदिेिरी एकसामशयक समरीकर्े सोपया पद्धतरीने व कमरीत कमरी जागा वापरून शनशचयकांचया सा्हाययाने सोडवता येतात. यािाच एकसामशयक समरीकर्े सोडवणयाचरी शनशचयक पद्धतरी म्ह्तात. ्हरी पद्धतरी गेशब्यि क्रेमर या बसवस गश्तज्ाने शोधून काढिरी म्ह्ून या पद्धतरीिा क्रेमरचरी पद्धतरी असे्हरी म्ह्तात. या पद्धतरीत शदिेिरी एकसामशयक समरीकर्े a1x + b1 y = c1 आश् a2x + b2 y = c2 अशरी शिश्हतात. समजा, a1x + b1 y = c1... (I) आश् a2x + b2 y = c2... (II) येथे a1, b1, c1 व a2, b2, c2 या वासतव संखया आ्हेत. आप् ्हरी एकसामशयक समरीकर्े शनरसन पद्धतरीने सोडवू. समरीकर् (I) िा b2 ने गु्ून a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2... (III) समरीकर् (II) िा b1 ने गु्ून a2 b1 x + b2 b1 y = c2 b1... (IV) 11  समीकरण (III) मधून (IV) वजा करून a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2 - - a2 b1 x + - b2 b1 y =-c2 b1 (a1 b2 - a2 b1) x   = c1 b2- c2 b1 c1 b2- c2 b1 x =... (V) a1 b2 - a2 b1 a1 c2- a2 c1 त्याचप्रमाणे x चे निरसन करून, y =... (VI) a1 b2 - a2 b1 वरील उकलींमधील c1 b2- c2 b1, a1 b2 - a2 b1, a1 c2- a2 c1 या राशी लक्षात ठेवण्यासाठी अाणि थोड्या जागेत व्यवस्थित लिहिण्यासाठी निश्चयकांच्या रूपात लिहू. खालील समीकरणातील सहगुणक व स्थिरपदे पाहा. a1 x + b1 y = c1  a1   b1   c1  येथे  ,  ,   हे तीन स्तंभ मिळतात.  a 2   b2   c2  आणि a2 x + b2 y = c2 समीकरण (V) व समीकरण (VI) मधील x व y यांच्या किमती निश्चयकाच्या रूपात लिहू. c1 b1 c1 b2- c2 b1 c2 b2 x = = a1 b2 - a2 b1 a1 b1 a2 b2 a1 c1 a1 c2- a2 c1 a2 c2 आणि y = = , (a1 b2 - a2 b1) ¹ 0 a1 b2 - a2 b1 a 1 b 1 a2 b2 a b c1 b1 a1 c1 लक्षात ठेवण्यासाठी a1 b1 = D , c2 b2 = Dx , a2 c2 = Dy असे लिहू. 2 2 Dx Dy म्हणजे थोडक्यात x = D व y = D  a1   b1   c1  D, Dx, Dy हे निश्चयक लिहिण्यास  ,  ,   या स्तंभांचा क्रम लक्षात ठेवा.  a 2   b2   c2  12  a1 x + b1 y = c1  a1   b1   c1  आश् या समरीकर्ांपासून  ,  ,   ्हे तरीन सतंभ शमळतात. a2 x + b2 y = c2  a 2   b2   c2   c1  y D मधये बसथरपदांचा   ्हा सतंभ वगळिा आ्हे.  c2   a1  y Dxसाठरी D मधरीि    a2  ्हा x चया स्हगु्कांचा सतंभ वगळिा आ्हे. तयाजागरी बसथर पदांचा सतंभ घेतिा आ्हे.  b1  y Dy साठरी D मधरीि    b2  ्हा y चया स्हगु्कांचा सतंभ वगळिा आ्हे. तयाजागरी बसथर पदांचा सतंभ घेतिा आ्हे. हे लक्षात ठेिूया. क्रेमरचरी पद्धतरी वापरून एकसामशयक समरीकर्े सोडवणयाचरी ररीत शदिेिरी समरीकर्े ax + by = c या सवरूपात शि्हा. D, Dx व Dy या शनशचयकांचया शकमतरी काढा. Dx Dy x = D व y = D यानुसार x व y चया शकमतरी काढा. गेण यल क्रेिर (Gabriel Cramer) (31 जुिै, 1704 ते 4 जानेवाररी, 1752) या बसवस गश्तज्ाचा जनम शजशनव्हा येथे झािा. गश्त शवषयात ते बािप्ापासूनच अशतशय प्रवरी् ्होते. वयाचया अठरावया वषगी तयांना डॉकटरेट ्हरी पदवरी शमळािरी. ते शजशनव्हा येथे प्राधयापक ्होते. 13  ÒÒÒ सोडवलेले उदाहरण ÒÒÒ उदा. क्रेमरच्या पद्धतीने खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा. 5x + 3y = -11 ; 2x + 4y = -10 उकल : दिलेली समीकरणे 5x + 3y = -11 2x + 4y = -10 5 3   D = 2 4 = (5 ´ 4) - (2 ´ 3) = 20 - 6 = 14 -11 3 Dx = -10 4 = (-11) ´ 4 - (-10) ´ 3 = -44 -(-30) = -44 + 30 = -14 5 -11 Dy = 2 -10 = 5 ´ (-10) - 2 ´ (-11) = -50 -(-22) = -50 + 22 = -28 D -14 Dy -28 x = Dx = = -1 y = = 14 = -2 14 D \ (x, y) = (-1, -2) ही दिलेल्या एकसामयिक समीकरणांची उकल आहे. कृती 1 : निश्चयक पद्धतीने दिलेली एकसामयिक समीकरणे सोडवण्यासाठी खालील चौकटी पूर्ण करा. y + 2x - 19 = 0 ; 2x - 3y + 3 = 0 उकल : दिलेली समीकरणे ax + by = c या स्वरूपात लिहू. 2x + y = 19 2x - 3y = -3 D = 2 -3 = ´ (-3) - 2 ´ ( ) = - ( ) = - = 19 Dx = = 19 ´ ( ) - ( ) ´ ( ) = - -3   = 14  19 Dy = 2 = [( ) ´ ( )] - [( ) ´ ( )] = - = Dx Dy x = y = D D \ x = = y = = \ (x, y) = ( , ) ही दिलेल्या एकसामयिक समीकरणांची उकल आहे. कृती 2 : खालील कृती पूर्ण करा. 3x-2y=3 2x+y=16 वरील समीकरणांच्या निश्चयकांच्या किमती D = = Dx = = Dy = = क्रेमरच्या पद्धतीनुसार उकल येते. x= = y= = \ (x, y) = ( , ) ही उकल आहे. 15  णिचार क या. y जर, D = 0 असेि, तर उकिरीचे सवरूप काय असेि? y सामाईक उकि शकय नसेि, तर तया समरीकर्ांचया रेषांचे सवरूप काय असेि? सरािसंच 1.3 3 2 1. = 3 ´ - ´ 4 = - 8 = 4 5 2. खािरीि शनशचयकांचया शकमतरी काढा. 7 5 3 3 -1 7 5 3 (1) (2) (3) 3 1 2 4 -7 0 2 2 3. खािरीि एकसामशयक समरीकर्े क्रेमरचया पद्धतरीने सोडवा. (1) 3x - 4y = 10 ; 4x + 3y = 5 (2) 4x + 3y - 4 = 0 ; 6x = 8 - 5y (3) x + 2y = -1 ; 2x - 3y = 12 (4) 6x - 4y = -12 ; 8x - 3y = -2 y 1 (5) 4m + 6n = 54 ; 3m + 2n = 28 (6) 2x + 3y = 2 ; x - 2 = 2 जािून घेऊया. दोन चलांतील रेषीय सिीकरिांत पांतर करणयाजोगी सिीकरिे ः (Equations reducible to a pair of linear equations in two variables) कृती : खािरीि सार्री पू्मा करा. समरीकर्े चिांचरी संखया रेषरीय आ्हे की ना्हरी. 3 x - 4y = 8 2 ना्हरी 6 3 x -1 + y-2 = 0 7 13 2x +1 + y+2 =0 14 3 x+ y + x- y = 5 16  णिचार क या. वररीि सार्रीत दोन चिांतरीि का्हरी समरीकर्े शदिरी आ्हेत. तरी रेषरीय ना्हरीत; परंतु तया समरीकर्ांचे रेषरीय समरीकर्ांत रूपांतर करता येईि का? हे लक्षात ठेिूया. शदिेलया चिांमधये योगय तो बदि करून आप् नवरीन चिांचरी शनशममातरी करू शकतो. ्हरी नवरीन चिे वापरून तेच समरीकर् रेषरीय समरीकर्ाचया रूपात शिश्हता येते. को्तया्हरी m अशा अपू्ाांकाचा छेद शूनय असू शकत ना्हरी ्हे शवसरू नका. n ÒÒÒ सोडिलेली उदाहरिे ÒÒÒ 4 5 3 4 उदा.(1) सोडवा : x + y = 7; x + y = 5 4 5 3 4 उकल : x + y = 7; x + y = 5 1 1 4   + 5  y  = 7... (I) x   1 1 3   + 4  y  = 5... (II) x   1 1 समरीकर् (I) व (II) मधये   = m व   = n मानलयास खािरीि समरीकर्े शमळतात. x  y 4m + 5n = 7... (III) 3m + 4n = 5... (IV) ्हरी समरीकर्े सोडवून, m = 3, n = -1 ्हरी उकि शमळते. 1 1 1 आता, m = x \ 3 = x \ x = 3 1 1 तसेच, n = y \ -1 = y \ y = -1 1 \ (x, y) = ( 3 , -1) ्हरी शदिेलया एकसामशयक समरीकर्ांचरी उकि आ्हे. 17  4 1 2 3 उदा.(2) सोडवा : x- y + x+ y = 3 ; x- y - x+ y = 5 4 1 2 3 उकल : x- y + x+ y = 3 ; x- y - x+ y = 5  1   1  4  x − y  + 1  x + y  = 3... (I)    1   1  2  x − y  - 3  x + y  = 5... (II)    1   1  समरीकर् (I) व (II) मधये   = a व    x+ y = b ठेवून पुढरीि समरीकर्े शमळतात.  x− y 4a + b = 3... (III) 2a - 3b = 5... (IV) समरीकर् (III) व (IV) सोडवून a = 1 आश् b = -1 या उकिरी शमळतात.  1   1  प् a =   व b =    x− y  x+ y  1   1    = 1 व   = -1  x− y  x+ y x - y = 1... (V) x + y = -1... (VI) समरीकर् (V) व समरीकर् (VI) सोडवून x = 0 आश् y = -1 या उकिरी शमळतात. \ (x, y) = (0, -1) ्हरी शदिेलया समरीकर्ाचरी उकि आ्हे. णिचार क या वररीि उदा्हर्ांमधये रूपांतररत करून आिेिरी एकसामशयक समरीकर्े शनरसन पद्धतरीने सोडविरी आ्हेत. तरी समरीकर्े क्रेमरचया पद्धतरीने शकंवा आिेख पद्धतरीने सोडविरी असता तयाच उकिरी शमळतरीि का ते करून पा्हा. 18 कृती : चौकटीतील समीकरणांची उकल काढण्यासाठी खालील कृती करा. 5 1 6 3 + y-2 = 2 ; x -1 - y-2 = 1 x -1  1   1    = m व    y−2 = n ठेवून,  x −1  नवी समीकरणे 6m - 3n = 1 समीकरणे सोडवून, m = वn= m व n च्या किमती ठेवून मिळणारी समीकरणे  1  1   =  x −1  3 समीकरणे सोडवून, x = व y = \ (x, y) = ( , ) ही दिलेल्या एकसामयिक समीकरणांची उकल आहे. सरावसंच 1.4 1. खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा. 2 3 8 5 (1) − = 15 ; + = 77 x y x y 10 2 15 5 (2) + =4 ; − = −2 x+ y x− y x+ y x− y 27 31 31 27 (3) + = 85 ; + = 89 x−2 y+3 x−2 y+3 1 1 3 1 1 1 (4) + = ; − = − 3x + y 3x − y 4 2(3 x + y ) 2(3 x − y ) 8 19  जािून घेऊया. एकसािणयक सिीकरिांचे उपयोजन Application of simultaneous equations कृती : पुढे चौकटींचया खािरी का्हरी अटरी शदलया आ्हेत. तयांवरून शमळ्ाररी समरीकर्े संबंशधत चौकटींत शि्हा. साथमाकचे वय साक्षरीचया वयाचया ददुपटरीपेक्षा 8 वषाांनरी कमरी आ्हे. मरी साथमाक. माझे आजचे वय x वषदे आ्हे. 4 वषाांपूवगी साक्षरीचे वय साथमाक व साक्षरी यांचया माझे आजचे वय साथमाकपेक्षा 3 वषाांनरी y वषदे आ्हे. मरी साक्षरी आजचया वयांचरी बेररीज कमरी ्होते. 25 वषदे आ्हे. उदा. (1) एका आयताचरी पररशमतरी 40 सेमरी आ्हे. आयताचरी िांबरी ्हरी रुंदरीचया ददुपटरीपेक्षा 2 सेमरीने जासत आ्हे, तर आयताचरी िांबरी व रुंदरी काढा. उकल : समजा, आयताचरी िांबरी x सेमरी व रुंदरी y सेमरी आ्हे. पश्हलया अटरीनुसार - 2(x + y) = 40 x + y = 20... (I) ददुसऱया अटरीनुसार - x = 2y + 2 \ x - 2y = 2... (II) समरीकर् (I) व (II) शनशचयक पद्धतरीने सोडवू. x + y = 20 x - 2y = 2 20  1 1 D = 1 -2 = [1 ´ (-2)] - (1 ´ 1) = -2 - 1 = -3 20 1 Dx = 2 -2 = [20 ´ (-2)] - (1 ´ 2) = -40 - 2 = -42 1 20 Dy = 1 2 = (1 ´ 2) - (20 ´ 1) = 2 - 20 = -18 Dx D x = व y = y D D - 42 -18 \ x = व y = -3 -3 \ x = 14 व y = 6 \ आयताची लांबी 14 सेमी व रुंदी 6 सेमी आहे. उदा. (2) सेल ! सेल !! सेल !!! फक्त दोनच दिवस माझ्याकडे काही काटे असलेली आणि काही डिजिटल घड्याळे आहेत. ती मी सवलतीच्या दरात विकणार आहे. पहिल्या दिवसाची विक्री दुसऱ्या दिवसाची विक्री काटे असलेली घड्याळे = 11 काटे असलेली घड्याळे = 22 डिजिटल घड्याळे = 6 डिजिटल घड्याळे = 5 मला मिळाले 4330 रु. मला मिळाले 7330 रु. तर मी विकलेल्या प्रत्येक प्रकारच्या घड्याळाची किंमत किती? 21 उकल : समजा, काटे असलेल्या एका घड्याळाची किंमत = x रु. व एका डिजिटल घड्याळाची किंमत = y रु. पहिल्या अटीनुसार, 11x + 6y = 4330... (I) दुसऱ्या अटीनुसार,   22x + 5y = 7330... (II) समीकरण (I) ला 2 ने गुणून, 22x + 12y = 8660... (III) समीकरण (II) मधून समीकरण (III) वजा करू. 22x + 5y = 7330 - + -    22x - 12y = -8660 -7y = -1330 \ y = 190 y = 190 ही किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवू. 11x + 6y = 4330 \ 11x + 6(190) = 4330 \ 11x + 1140 = 4330 \ 11x = 3190 \ x = 290 \ काटे असलेल्या एका घड्याळाची किंमत 290 रु. व एका डिजिटल घड्याळाची किंमत 190 रु. आहे. 22 उदा. (3) एक नाव 6 तासांत प्रवाहाच्या विरुद्ध तीच नाव 13 तासांत प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने 16 किमी व प्रवाहाच्या दिशेने दिशेने 36 किमी आणि प्रवाहाच्या दिशेने 24 किमी जाते. 48 किमी जाते. सांगा बरे! नावेचा संथ पाण्यातील वेग व प्रवाहाचा वेग किती? उकल : समजा, नावेचा संथ पाण्यातील वेग = x किमी/तास, व प्रवाहाचा वेग = y किमी/तास \ नावेचा प्रवाहाच्या दिशेने वेग = (x + y) किमी/तास नावेचा प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने वेग = (x - y) किमी/तास अंतर अंतर = वेग ´ वेळ \ वेळ = वेग 16 नावेला प्रवाहाच्या विरुद्ध दिशेने 16 किमी जाण्यास लागणारा वेळ = तास x- y 24 नावेला प्रवाहाच्या दिशेने 24 किमी जाण्यास लागणारा वेळ = x+ y तास पहिल्या अटीनुसार, 16 24 + x+ y = 6... (I) x- y दुसऱ्या अटीनुसार, 36 48 + = 13... (II) x- y x+ y 1 1 समीकरण (I) व (II) मध्ये =mव x+ y = n ठेवून खालील दोन समीकरणे मिळतात. x- y 16m + 24n = 6... (III) 36m + 48n = 13... (IV) 23  1 1 समीकरण (III) व (IV) सोडवून m = 4 , n = 12 m व n च्या किमती पुन्हा ठेवून खालील समीकरणे मिळतात. x - y = 4... (V) x + y = 12... (VI) समीकरण (V) व (VI) सोडवली असता x = 8, y = 4 या किमती मिळतात. \ नावेचा संथ पाण्यातील वेग = 8 किमी/तास आणि प्रवाहाचा वेग = 4 किमी/तास उदा. (4) काही रक्कम काही मुलांना सारखी वाटली. जर 10 मुले जास्त असती तर प्रत्येकास 2 रुपये कमी मिळाले असते आणि जर 15 मुले कमी असती तर प्रत्येकी 6 रुपये जास्त मिळाले असते, तर एकूण रक्कम किती होती? ती रक्कम किती मुलांना वाटली? उकल : मुलांची संख्या x मानू व प्रत्येकाला मिळालेली रक्कम y रुपये मानू. \ एकूण xy रुपये वाटले. पहिल्या अटीनुसार, (x + 10) (y - 2) = xy \ xy - 2x + 10y - 20 = xy \ - 2x + 10y = 20 \ - x + 5y = 10... (I) दुसऱ्या अटीनुसार, (x - 15) (y + 6) = xy \ xy + 6x - 15y - 90 = xy   \ 6x - 15y = 90 \ 2x - 5y = 30... (II) समीकरण (I) मध्ये समीकरण (II) मिळवू. - x + 5y = 10 +   2x - 5y = 30   x = 40 x = 40 ही किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवू. -x + 5y = 10 \ -40 + 5y = 10 \ 5y = 50 24  \ y = 10 एकूण रक्कम = xy = 40 ´ 10 = 400 रु. \ 40 मुलांना 400 रुपये सारखे वाटले. उदा. (5) एक तीन अंकी संख्या तिच्या अंकांच्या बेरजेच्या 17 पट आहे. त्या संख्येत 198 मिळवल्यास तेच अंक उलट्या क्रमाने असलेली संख्या मिळते, तसेच एकक व शतक स्थानच्या अंकांची बेरीज ही मधल्या अंकापेक्षा 1 ने कमी आहे, तर ती तीन अंकी संख्या शोधा. उकल : शतकस्थानचा अंक x मानू व एककस्थानचा अंक y मानू. दशक स्थानचा (मधला) अंक = टोकाच्या अंकांच्या बेरजेपेक्षा 1 ने मोठा. शतक दशक एकक x x + y + 1 y \ तीन अंकी संख्या = 100x + 10(x + y + 1) + y = 100x + 10x + 10y + 10 + y = 110x + 11y + 10 या संख्येतील अंकांची बेरीज = x + (x + y + 1) + y = 2x + 2y + 1 \ पहिल्या अटीनुसार, तीन अंकी संख्या = 17 ´ (अंकांची बेरीज) \ 110x + 11y + 10 = 17 ´ (2x + 2y + 1) \ 110x + 11y + 10 = 34x + 34y + 17 \ 76x - 23y = 7... (I) दिलेल्या संख्येतील अंक उलट्या क्रमाने लिहून मिळणारी नवी संख्या = 100y + 10(x + y + 1) + x = 110y + 11x + 10 दिलेली संख्या = 110x + 11y + 10 दिलेल्या दुसऱ्या अटीनुसार, दिलेली संख्या + 198 = अंक उलट क्रमाने मांडून मिळालेली संख्या. \ 110x + 11y + 10 + 198 = 110y + 11x + 10 \ 99x - 99y = -198 \ x - y = -2 म्हणजेच x = y - 2... (II) समीकरण (II) मध्ये मिळालेली x ची किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवून, \ 76(y - 2) - 23y = 7 \ 76y - 152 - 23y = 7 53y = 159 25  \ y = 3 \ एकक स्थानचा अंक = 3 y = 3 ही किंमत समीकरण (II) मध्ये ठेवू. x = y - 2 \ x = 3 - 2 = 1 \ x = 1 \ शतक स्थानचा अंक = 1 दशक स्थानचा अंक = मधला अंक = x + y + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 \ दिलेली तीन अंकी संख्या = 153. सरावसंच 1.5 1. दोन संख्यांमधील फरक 3 असून मोठ्या संख्येची तिप्पट आणि लहान संख्येची दुप्पट यांची बेरीज 19 आहे. तर त्या संख्या शोधा. 2. कृती पूर्ण करा. 2x + y + 8 मी आयत आहे. x + 4 x अाणि y च्या किमती 2y काढा. 4x-y माझे क्षेत्रफळ व परिमिती काढा. 3. वडिलांच्या वयामध्ये मुलाच्या वयाची दुप्पट मिळवल्यास बेरीज 70 येते आणि मुलाच्या वयामध्ये वडिलांच्या वयाची दुप्पट मिळवल्यास बेरीज 95 येते. तर दोघांची वये काढा. 4. एका अपूर्णांकाचा छेद हा अंशाच्या दुपटीपेक्षा 4 ने मोठा आहे. जर अंश आणि छेद दोन्ही 6 ने कमी केले तर छेद हा अंशाच्या 12 पट होतो, तर तो अपूर्णांक काढा. 5. 10 टनांची क्षमता असणाऱ्या मालवाहू ट्रकमध्ये A आणि B अशा दोन विशिष्ट वजनाच्या पेट्या भरलेल्या आहेत. जर A प्रकारच्या 150 पेट्या व B प्रकारच्या 100 पेट्या भरल्या तर ट्रकची 10 टनांची क्षमता पूर्ण होते. जर A प्रकारच्या 260 पेट्या भरल्या तर तो ट्रक त्याच्या 10 टनांच्या पूर्ण क्षमतेने भरण्यास B प्रकारच्या 40 पेट्या लागतात. तर प्रत्येक प्रकारच्या पेटीचे वजन किती? ê 6. विशालने 1900 किमी प्रवासापैकी काही अंतर बसने तर उरलेले अंतर विमानाने पूर्ण केले. बसचा सरासरी वेग 60 किमी दर तास आहे, तर विमानाचा सरासरी वेग 700 किमी/तास आहे. जर हा प्रवास त्याने 5 तासांत पूर्ण केला असेल तर विशालने बसने किती किमी प्रवास केला? 26  संकीर्ण प्रश्नसंग्रह 1 1. खालील प्रश्नासाठी दिलेल्या पर्यायांपैकी अचूक पर्याय निवडा. (1) 4x + 5y = 19 चा आलेख काढण्यासाठी x = 1 असताना y ची किंमत किती? (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) -3 (2) x व y ही चले असलेल्या एकसामयिक समीकरणासाठी जर Dx = 49, Dy = -63 व D = 7 असेल तर x = किती? 1 -1 (A) 7 (B) -7 (C) 7 (D) 7 5 3 (3) -7 -4 या निश्चयकाची किंमत किती? (A) -1 (B) -41 (C) 41 (D) 1 (4) x + y = 3 ; 3x - 2y - 4 = 0 ही एकसामयिक समीकरणे सोडवण्यासाठी D ची किंमत किती? (A) 5 (B) 1 (C) -5 (D) -1 (5) ax + by = c ; व mx + ny = d या एकसामयिक समीकरणांमध्ये जर an ¹ bm तर दिलेल्या समीकरणांना - (A) एकच उकल असेल. (B) उकल नसेल. (C) असंख्य उकली असतील. (D) फक्त दोन उकली असतील. 2. 2x - 6y = 3 या समीकरणाचा आलेख काढण्यासाठी खालील सारणी पूर्ण करा. x -5 y 0 (x, y) 3. खालील एकसामयिक समीकरणे आलेख पद्धतीने सोडवा. (1) 2x + 3y = 12 ; x - y = 1 (2) x - 3y = 1 ; 3x - 2y + 4 = 0 (3) 5x - 6y + 30 = 0 ; 5x + 4y - 20 = 0 (4) 3x - y - 2 = 0 ; 2x + y = 8 (5) 3x + y = 10 ; x - y = 2 4. खालील निश्चयकांच्या किमती काढा. (1) 4 3 (2) 5 -2 (3) 3 -1 2 7 -3 1 1 4 27 5. खालील एकसामयिक समीकरणे क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा. (1) 6x - 3y = -10 ; 3x + 5y - 8 = 0 (2) 4m - 2n = -4 ; 4m + 3n = 16 5 1 4 (3) 3x - 2y = 2 ; 3 x + 3y = - 3 (4) 7x + 3y = 15 ; 12y - 5x = 39 (5) x + y − 8 = x + 2 y − 14 = 3 x − y 2 3 4 6. खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा. 2 2 1 3 2 7 13 13 7 (1) + = ; + =0 (2) + = 27 ; + = 33 x 3y 6 x y 2x +1 y + 2 2x +1 y + 2 148 231 527 231 148 610 7x − 2 y 8x + 7 y (3) + = ; + = (4) =5 ; = 15 x y xy x y xy xy xy 1 1 1 5 2 3 (5) 2(3x + 4 y) + 5(2 x − 3 y) = 4 ; − (3x + 4 y ) (2 x − 3 y ) =− 2 7. खालील शाब्दिक उदाहरणे सोडवा. (1) एक दोन अंकी संख्या व तिच्या अंकांची अदलाबदल करून येणारी संख्या यांची बेरीज 143 आहे, जर दिलेल्या संख्येतील एकक स्थानचा अंक हा दशक स्थानच्या अंकापेक्षा 3 ने मोठा असेल तर दिलेली मूळची संख्या कोणती? उत्तर काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. समजा एकक स्थानचा अंक = x दशक स्थानचा अंक = y \ मूळ संख्या = y + x अंकांची अदलाबदल करून मिळणारी संख्या = x + y पहिल्या अटीवरून, दोन अंकी संख्या + अंकांची अदलाबदल करून मिळणारी संख्या = 143 10y + x + = 143 x + y = 143 x + y =..... (I) दुसऱ्या अटीवरून, एकक स्थानचा अंक = दशक स्थानचा अंक + 3 x = + 3 x - y = 3..... (II) 28  (I) व (II) यांची बेरीज करून, 2x = \ x = 8 x = 8 समीकरण (I) मध्ये ठेवून, x + y = 13 8 + = 13 \ y = मूळ संख्या = 10 y + x = + 8 = 58 (2) कांताबाईंनी दुकानातून दीड किलो चहा व पाच किलो साखर आणली. दुकानात जाऊन येण्यासाठी त्यांना 50 रुपये रिक्षाभाडे द्यावे लागले. यासाठी त्यांचे एकूण 700 रुपये खर्च झाले. नंतर त्यांना असे समजले, की या वस्तू ऑनलाइन ऑर्डर नोंदवून त्याच दराने घरपोच मिळतात. पुढील महिन्यात त्यांनी 2 किलोग्रॅम चहा व 7 किलोग्रॅम साखर ऑनलाइन मागवली, तेव्हा त्यांचा 880 रुपये खर्च झाला. तर चहा आणि साखर यांचा प