Unidad 4 - Análisis y diseño de sistemas de control por el método del lugar de las raíces PDF

Unidad 4 Método del lugar de las raices Introducción Método del lugar de las raíces Cuando necesitamos conocer el funcionamiento de un sistema de control es muy importante conocer los parámetros de funcionamiento. Entender hasta donde podemos variar los parámetros y que el sistema se...

Unidad 4 Método del lugar de las raices Introducción Método del lugar de las raíces Cuando necesitamos conocer el funcionamiento de un sistema de control es muy importante conocer los parámetros de funcionamiento. Entender hasta donde podemos variar los parámetros y que el sistema se mantenga estable nos permite estudiar su funcionamiento Conocer su funcionamiento es muy importante para su implementación real Introducción Método del lugar de las raíces Conocer como varían sus raíces dentro del plano complejo nos permite ver cuando el sistema es estable, marginalmente estable o se hace inestable Para ello se generan curvas que muestran como se desplazan las raíces a medida que cambiamos los valores de funcionamiento Estos gráficos se conocen como lugar de las raíces Introducción Método del lugar de las raíces En teoría de control, el lugar de las raíces (root locus) es la representación gráfica del lugar geométrico de los polos de una función de transferencia a medida que se varía un parámetro en un determinado intervalo. Típicamente, parámetro corresponde con la ganancia K de un control proporcional. Introducción Método del lugar de las raíces El lugar de las raíces es un conjunto de curvas que se grafican en el plano complejo s Representan las distintas posiciones de las raíces del denominador de una función de transferencia al variar los parámetros del sistema. Introducción Método del lugar de las raíces El método del lugar de raíces, propuesto por Walter R. Evans, permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para valores de ganancia K en el rango 0,  a partir de la función de transferencia a lazo abierto. El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar el transitorio de sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad BIBO (bounded-input, bounded-output)). Introducción Análisis del lugar de las raíces La respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado depende de la posición de sus polos de lazo cerrado. La ubicación de dichos polos depende de la ganancia del sistema, al variar K la posición sobre el plano s de los polos de lazo cerrado cambiarán. Introducción Problemas que surgen Supongamos la siguiente función, que puede ser parte de un sistema físico real C s  bs  k  2 Rs  ms  bs  k Queremos graficas las raíces de ms 2  bs  k 0 al variar los parámentros del sistema Introducción Problemas que surgen  b  b 2  4mk ms 2  bs  k 0 aplicando la resolvente s 2m Si queremos graficar s en función de la variación de sm, b, k  Nos queda una función de tres variables, que es muy difícil de visualizar, si las variables de mi función aumentan, y la cantidad de raíces aumentan esto se hace imposible Introducción Manera de resolver el problema Se debe encontrar una magnitud que represente a todas las posibles variaciones de los parámetros del sistema. Luego, se tendrá que graficar solamente el diagrama en función de ese único parámetro. Introducción Función de Transferencia de Lazo Cerrado Rs  C s  G s    C s  G s   H s  Rs  1  G s H s  Introducción Problemas que surgen En la ecuación C s  G s   Rs  1  G s H s  Llamaremos ecuación característica al denominador de la función transferencia de lazo cerrado 1  G s H s  Por lo tanto, sus raíces serán los valores de s que satisfagan: 1  G s H s  0 o bien G s H s   1 Introducción Manera de resolver el problema Los valores de s que satisfacen esa ecuación son al mismo tiempo: 1. las raíces de la ecuación característica 2. que son los polos de lazo cerrado, ya que los ceros o raíces de la ecuación característica hacen indeterminada a la función de transferencia de lazo cerrado. Introducción Manera de resolver el problema Podemos afirmar que si G s H s   1 G s  Son expresiones complejas, porque la variable es compleja H s  Entonces esa igualdad está expresando dos condiciones: Introducción Manera de resolver el problema Entonces esa igualdad está expresando dos condiciones: La magnitud o valor absoluto o módulo G s H s  1 El argumento de G s H s  1800 O bien, expresando esas mismas premisas de esta forma: La parte real de G s H s   1 La parte compleja G s H s  0 j Introducción Manera de resolver el problema Obsérvese que estas condiciones deben cumplirse en el plano G s H s  pero las raíces se dibujan en el plano s Es importante no confundir los dominios de existencia. Este análisis de G s H s supone que en el plano GH , el valor resultante   G de sH s es un vector. Introducción Manera de resolver el problema Podemos decir lo siguiente: Todos los valores de s (sobre el plano s) que estén sobre el lugar de las raíces serán (a) los polos de lazos cerrados, serán al mismo tiempo (b) las raíces de la ecuación característica y harán (c) que la imagen de G(s)H(s) en el plano GH sea un vector de magnitud 1 y argumento -180º. A esto último lo llamamos "condición de magnitud y argumento". Introducción Manera de resolver el problema Eje imaginario Plano GH G s H s   1 G s H s  0 j 1 Eje real "condición de magnitud y argumento Introducción Polos y ceros de lazo abierto En muchos casos, es posible escribir la ecuación característica 1  G s H s  de la siguiente manera: Ps  1 K 0 Qs  Es decir, como la división de dos polinomios. Entonces, si Ps  y Qs  son polinomios, podemos expresarlos genéricamente como: As  z1 s  z 2 .......s  z m  1 0 Bs  p1 s  p2 .......s  pn  Introducción Polos y ceros de lazo abierto As  z1 s  z 2 .......s  z m  1 0 Bs  p1 s  p2 .......s  pn  zi son los cero de lazo abierto, porque hace cero a G s H s  pi son los polos de lazo abierto, porque hace indeterminado a G s H s  Asszz11sszz22....... .......sszzmm 1 K 00 Bsspp11sspp22....... .......ssppnn Introducción Polos y ceros de lazo abierto Se llama ganancia K y es el único parámetro que podrá variar en este análisis K s  z1 s  z 2 .......s  z m  1 0 s  p1 s  p2 .......s  pn  ¿Qué se grafica en el diagrama del lugar de las raíces? Se grafican las variaciones de “s” cuando varía la ganancia K Introducción Graficos de las variaciones de “s” Supongamos el ejemplo K 1 3 s  4 s 2  4 s  10 Se pretende graficar en un plano “s” los valores de las raíces de la ecuación pos cada valor posible de K El diagrama obtenido se llama “Lugar de las Raíces” Introducción Graficos de las variaciones de “s” K 3 2 1 3 2  s  4 s  4 s  10 0 s  4 s  4 s  10 Si queremos resolver analíticamente, debemos hallar el resolvente del polinomio y graficar cada raíz al variar K Imposible para grado 4 y subsiguientes Método del lugar de las raíces Método del lugar de las raíces Es un método nemotécnico que permite dibujar el diagrama sin hallar su solución analítica. Dependiendo del tipo de sistema, tiene de 6 a 9 pasos nemotécnicos. El diagrama se “deduce”, por lo tanto, no es “perfecto” sino “suficientemente bueno” Sólo los puntos de interés se calculan analíticamente Método del lugar de las raíces Método de trazado general El siguiente es un resumen de los procesos que se encuentran el los distintos libros de textos de la bibliografía. Es más bien un enfoque práctico. Importante: no todos los puntos son aplicables a todos los problemas, vemos una esta es una secuencia de “maxima”, donde se presentan todos los puntos posibles a ser calculados. Cada problema debe ser analizado por separado. Método del lugar de las raíces Método de trazado general – Paso 1 Hallar los polos y los ceros de lazo abierto, partiendo de G s H s  Se puede deducir la cantidad de ramas del diagrama si tenemos en cuenta que: El diagrama del lugar de las raíces tiene tantas ramas como raíces tiene la ecuación característica, o lo que es lo mismo, tantas ramas como polos de lazo cerrado existan. Si la cantidad de polos de lazo abierto excede a la cantidad de ceros, la cantidad de ramas es igual a la de polos de lazo abierto. Si la cantidad de polos de lazo cerrado = cantidad de polos de lazo abierto, entonces Método del lugar de las raíces Método de trazado general – Paso 1 Hallar los polos y los ceros de lazo abierto, partiendo de G s H s  m K s  z1 s  z 2 .......s  z m  s  z  i 0  K i 1 s  p1 s  p2 .......s  pn  n s  p  i 1 i Ejemplo K G s H s   s s  1s  2  Método del lugar de las raíces Método de trazado general – Paso 1 Hallar los polos y los ceros de lazo abierto, partiendo de G s H s  Ceros No hay ceros en la ecuación Polos s s  1s  2  0 p1 0 p2  1 p3  3 Método del lugar de las raíces Método de trazado general – Paso 1 Se puede deducir la cantidad de ramas del diagrama si tenemos en cuenta que: El diagrama del lugar de las raíces tiene tantas ramas como raíces tiene la ecuación característica, o lo que es lo mismo, tantas ramas como polos de lazo cerrado existan. p1 0 p2  1 p3  3 Como tenemos tres polos, nuestro diagrama tendrá tres ramas Método del lugar de las raíces Método de trazado general – Paso 1 Graficamos los ceros y polos p1 0 p2  1 p3  2 j 2 0  1 Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 Vemos los polos y ceros que están sobre el eje real.Si no hay dichos puntos sobre el eje real, pasar al próximo paso. Si hay estos puntos reales, entonces se debe determinar cuáles son los segmentos del eje real que son parte del lugar de las raíces. Para ello, debemos tener en cuenta: Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 1. El lugar de las raíces comienza para K=0, donde existen polos de lazo abierto. Esto se demuestra de la condición de magnitud, haciendo tender K a cero. 2. El lugar de las raíces comienza en un polo de lazo abierto y termina en un cero de lazo abierto o en el infinito, donde se supone que hay otro cero. Esto se cumple tanto sobre el eje real como sobre el plano complejo s. Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 3. Un punto forma parte del lugar de las raíces sobre el eje real si al contar la cantidad de polos y ceros de lazo abierto a su izquierda dicho número es impar. De lo contrario, ese punto no forma parte del lugar de las raíces. La demostración de esto está en la aplicación de la condición de ángulo al polinomio denominador de G(s)H(s). 4. Un segmento del lugar de las raíces sobre el eje real va desde un polo o cero de lazo abierto hasta otro polo o cero. Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 Como tenemos tres polos, nuestro diagrama tendrá cinco ramas Por otro lado como no tenemos y tres polos esto significa que los ceros están en el infinito j 2 0  1 Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 Para determinar los lugares de las raíces sobre el eje real, se selecciona un punto de prueba, s. Si el punto de prueba está en el eje real positivo, entonces j 2 0  1 Esto demuestra que no es posible satisfacer la condición de ángulo. Por tanto, no hay un lugar de las raíces sobre el eje real positivo. Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 A continuación, se selecciona un punto de prueba sobre el eje real negativo entre 0 y -1 j 2 0  1 se satisface la condición de ángulo. Así, la parte del eje real negativo entre 0 y -1 forma parte del lugar de las raíces Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 Si se selecciona un punto de prueba entre.1 y.2, entonces j 2 0  1 Se observa que no se satisface la condición de ángulo. Por tanto, el eje real negativo entre -1 a -2 no forma parte del lugar de las raíces. Método del lugar de las raíces Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real – Paso 2 Por tanto, existen lugares de las raíces sobre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre -2 y  j 2 1 0  Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 1. Se considera que las ramas del lugar de las raíces tocan a las asíntotas en el infinito (por definición de asíntotas). 2. Como tenemos un plano complejo s, diremos que para un valor muy grande de s (un vector de magnitud tendiente a infinito) las asíntotas se confunden con el diagrama mismo. 3. Por lo tanto, el problema aquí consiste en hallar dos elementos de las asíntotas: el punto donde se encuentran (punto de nacimiento) y el ángulo con que salen de dicho punto. Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 La expresión general para el calculo del ángulo de las asíntotas es 1800 2k  1 ángulo de asíntotas  n m donde n número de polos finitos de lazo abierto m número de ceros finitos de lazo abierto Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 La expresión general para el calculo del ángulo de las asíntotas es 1800 2k  1 ángulo de asíntotas  n m El parámetro de serie k va desde 0,1,2... hasta infinito, pero recordemos que luego de (n-m) primeros valores, los ángulos se repetirán. Los ángulos se medirán en todo momento antihorariamente. Dicho de otro modo, la cantidad de asíntotas distintas es n  m  Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 j 180 2k  1  n m 180 2 * 0  1 180 2 1  k 0 2   60 3 0 3 180 2 *1  1 540| k 1 3   180 3 0 3 180 2 * 2  1 900 k 3 4   300 3 0 3 Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 Punto de partida de las asíntotas: Todas las asíntotas cruzan el eje real en el mismo punto. La distancia al origen donde lo hacen es Los polos y los ceros finitos a que la fórmula hace referencia son de G(s)H(s). Como a lo sumo se presentan en pares conjugados, sus partes imaginarias se cancelarán en todo momento y siempre el punto de cruce será sobre el eje real. Método del lugar de las raíces Determinar de las asíntotas – Paso 3 K 0  1 2 G s H s    a  1 s s  1s  2  3 0 Las tres líneas rectas que se muestran son las asíntotas. Estas se unen en el punto s  1 Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4 Estos son los puntos donde nacen o llegan ramas del lugar de las raíces. Podemos decir también que son los puntos donde las ramas abandonan el eje real para pasar al plano complejo O bien están sobre el eje real, o bien son pares complejos conjugados. Para saber si hay o no un punto de ruptura sobre el eje real, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si hay un lugar de las raíces entre dos polos de lazo abierto adyacentes sobre el eje real, entonces hay por lo menos un punto de ruptura sobre ese segmento entre los dos polos. Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4 2. Si hay un lugar de las raíces entre ceros polos de lazo abierto adyacentes sobre el eje real (aunque uno de ellos esté en el infinito), entonces hay por lo menos un punto de ruptura sobre ese segmento entre los dos ceros. 3. Si hay un lugar de las raíces entre un cero y un polo de lazo abierto, puede o no haber un punto de ruptura tanto de llegada como de partida. Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4 2. Si hay un lugar de las raíces entre ceros polos de lazo abierto adyacentes sobre el eje real (aunque uno de ellos esté en el infinito), entonces hay por lo menos un punto de ruptura sobre ese segmento entre los dos ceros. 3. Si hay un lugar de las raíces entre un cero y un polo de lazo abierto, puede o no haber un punto de ruptura tanto de llegada como de partida. Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4 Para hallar los puntos de ruptura, debemos transformar la ecuación característica en un equivalente de modo de poder obtener dK 0 ds En nuestro caso K 1  G s H s  1  s s  1s  2  Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4 K 1 0 s s  1s  2  K  1 s s  1s  2  K  ss  1s  2   s s 2  3s  2   s 3  3s 2  2 s  Método del lugar de las raíces Hallar los puntos de ruptura.– Paso 4  K  s 3  3s 2  2 s  dK s1  0.4226 ds   3s 2  6 s  2  s2  1.5754 Dado que el punto de ruptura debe encontrarse sobre el lugar de las raíces entre 0 y -1, es evidente que s1  0.4226 corresponde al punto de ruptura real. El punto s2  1.5754 no está sobre el lugar de las raíces. Por tanto, no es un punto de ruptura o de ingreso real Método del lugar de las raíces Determinar los puntos en donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario.– Paso 5 Hallar los puntos sobre el eje imaginario del plano “s” donde las ramas cortan al mismo En la ecuación característica se hace s  j , se iguala a cero la parte real y la imaginaria obteniendo 2 ecuaciones se resuelve para  y K  da la frecuencia en el punto de corte del eje imaginario, y K el valor de la ganancia en dicho punto Método del lugar de las raíces Determinar los puntos en donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario.– Paso 5 Estos puntos se encuentran mediante el criterio de estabilidad de Routh del modo siguiente. Dado que la ecuación característica para el sistema actual es s 3  3s 2  2 s  K 0 La tabla de Routh se convierte en s3 1 2 s2 3 K 6 K s 0 3 s0 K 0 Método del lugar de las raíces Determinar los puntos en donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario.– Paso 5 El valor de K que iguala con cero el término s de la primera columna es K 6 Los puntos de cruce con el eje imaginario se encuentran después despejando la ecuación auxiliar obtenida de la fila s2 ; es decir, 3s 2  K 3s 2  6 0 s j 2 Las frecuencias en los puntos de cruce con el eje imaginario son, por tanto, j j 2 El valor de ganancia que corresponde a los puntos de cruce es K 6 Método del lugar de las raíces Determinar los puntos en donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario.– Paso 5 Por tanto, los lugares de las raíces cruzan el eje imaginario en   2 , y el valor de K en los puntos de cruce es K 6 Asimismo, una rama del lugar de las raíces sobre el eje real tocará el eje imaginario en.  0 Método del lugar de las raíces Dibujar el lugar de las raíces.– Paso 6 Visualmente, “inferir” el diagrama Las ramas salen del punto de ruptura tangencialmente a 90 grados Deben pasar por los puntos de corte en el eje imaginario Deben ir a “buscar” las asíntotas del diagrama Método del lugar de las raíces j K 6 j 2 2 1  0 Análisis de respuesta en frecuencia Introducción Análisis de respuesta en frecuencia ¿Qué es el análisis de respuesta en frecuencia? Es la respuesta de un sistema, su salida, en estado estacionario cuando la respuesta en puramente sinusoidal Introducción Análisis de respuesta en frecuencia El termino respuesta en frecuencia se define como la respuesta en estado estable de un sistema a una entrada senoidal. La respuesta se monitorea sobre un intervalo de frecuencias. La respuesta en estado estable es la que permanece después de que todos los transitorios han decaido a cero. Existen varias técnicas para analizar los datos de la respuesta en frecuencia. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Es cierto que la mayoría de los sistemas de control no se diseñan para entradas senoidal, pero una entrada senoidal esta es útil como entrada de prueba debido a que la forma en la que el sistema responde a ella Es una fuente de información muy útil para auxiliar en el análisis y diseño de sistemas. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, la salida es también una senoidal y de la misma frecuencia. La salida puede diferir de la entrada en amplitud y en fase. El cociente de la amplitud de la salida entre la amplitud de la entrada en general se conoce como magnitud, aunque algunas veces se denomina razón de amplitud o ganancia. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia El corrimiento de fase de la senoidal de salida en relación con aquel de la senoidal de entrada se denomina fase. La variación de la magnitud y la fase con la frecuencia se denomina respuesta en frecuencia del sistema. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia xt   Xsent y t  Ysen t    10 G s   5s  1 Régimen estable Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ya sabemos que la función de transferencia de un sistema en general se puede representar mediante K s  z1 s  z 2 .......s  z m  G s   s  p1 s  p2 .......s  pn  S o s  K s  z1 s  z 2 .......s  z m  G s    S 0 s   Si s  Si s  s  p1 s  p2 .......s  pn  Introducción Análisis de respuesta en frecuencia a Si t  asent  Si s   2 s 2 K s  z1 s  z 2 .......s  z m  S 0 s   Si s  s  p1 s  p2 .......s  pn  K s  z1 s  z 2 .......s  z m  a S 0 s   s  p1 s  p2 .......s  pn  s 2   2 Esta ecuación se puede resolver aplicando el método de ecuaciones parciales Introducción Análisis de respuesta en frecuencia La ecuación será de la forma S 0 s   términos transitorios + términos del estado estable Los términos transitorios desaparecen con el tiempo. Es decir sólo nos interesa el estado estable. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Si el sistema es estable y en estado estacionario siendo la señal de entrada xt   Xsent Entonces la salida será y t  Ysen t    Introducción Análisis de respuesta en frecuencia S 0 s  a G  j sent    La salida en estado estable es senoidal con la misma frecuencia angular que la entrada. G  j  es la magnitud de la función de transferencia G s  cuando s se reemplaza por j La función G  j  , se denomina función de respuesta en frecuencia. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia De la misma manera que se hablo de G s  en el dominio de s se puede hablar de G  j  en el dominio de la frecuencia G  j  s G s  j se puede encontrar al reemplazar todos los valores de en por A continuación se debe reordenar la expresión para obtenerla en la forma que permite separar las partes real e imaginaria y, por lo tanto, identificar la magnitud y la fase. Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ejemplos 1 Multiplicamos numerador y G s    denominador por s2  j  2 1  j  2   j  2  G  j    j  2  j  2  2  4 2 j  2 G  j   2  2  4  4 Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ejemplos 2 2  2     G  j    2   2  xt  sent y t  bsent     4  4 1 G s   s2  tan    2  4   2 2 2  4 Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ejemplos xt  sent y t  bsent    1 G s   s2  tan   2 2 2  2     G  j    2   2   4  4 Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ejemplos 4 G s   Si t  2 sen3t  60 0  s 1 4 Multiplicamos numerador y denominador por  j  1   G j  j  1 4 G  j    j 4  4 4 j 4  2 1 G  j      2 1  2 1  2 1    Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Ejemplos Si t  2 sen3t  60 0  4 4 G  j   G  j   1.3 2 2  1 3 1 tan    tan   3    720 S 0 s  a G  j sent    Introducción Análisis de respuesta en frecuencia Siendo  Si t  2 sen 3t  60 0  con G  j  1.3   720 Reemplazamos en S 0 s  a G  j sent      S 0 s  2 *1.3sen 3t  60 0  72 0   S 0 s  2.6 sen 3t  120  Análisis de respuesta en frecuencia R S o s  1 G s   Si s  RCs  1 Si t  S o t  1 C G  j   RCj  1 1 G  j   1   2 R 2C 2 tan   RC Análisis de respuesta en frecuencia R Si t  asent    Si t  S o t  C S 0 s  a G  j sent    1 G  j   1 S 0 s  a sent      2 2 2 1   2 R 2C 2 1 R C tan   RC Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros La magnitud y la fase de G  j  se pueden encontrar a partir del patrón de polos y ceros para un sistema. Suponga que se tiene un sistema con una función de transferencia 1 Si la entrada al sistema es una senoidal, entonces G s   s  j s 1 Esto define un punto sobre el eje j de acuerdo con el valor de la frecuencia angular de entrada,  Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros G s   1  1 G  j   Consideramos para  1 podemos graficar s 1 j  1 j 1 La función transferencia será para este caso 1 1 1 G  j     j  1 j1  1 j  1 1 1 G  j   245 Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros Mirándolo gráficamente podemos decir 2 es la longitud de la línea entre el polo y s  j y 45 es el ángulo que forma la línea con el eje real j 1 Podemos decir entonces que 1 G  j     45 2 1 Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros Este análisis se puede generalizar para cualquier función de transferencia con cualquier numero de polos y ceros, siempre que su entrada sea una función senoidal K s  z1 s  z 2 .......s  z m  G s   s  p1 s  p2 .......s  pn  Siguiendo siempre el mismo procedimiento Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros El procedimiento será: 1. Graficar las posiciones de cada polo y cada cero. 2. Marcar la posición s  j. 3. Dibujar líneas de cada polo y cada cero al punto s  j 4. Medir las longitudes y los ángulos de cada línea. Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros El procedimiento será: La función de respuesta en frecuencia es, entonces K * producto _ longitudes _ lineas  ceros G  j   producto _ longitudes _ lineas  polos G  j   Suma de ángulos de las líneas de ceros – suma de ángulos de las líneas de los polos Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros s s  2  j Ejemplo G s   2 Si t  10 sen2t s  2s  2 G s   s  0 s  2  s  j  1s  j  1 Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros j Ejemplo G s   s  0s  2 s  j  1s  j  1 2 Si t  10 sen2t  2 45 90 K2**producto 8 _ longitudes _ lineas  ceros G  j   1.26 2 1  * 10 _ longitudes _ lineas  polos 2producto 71.6  G  j   Suma 90 de ángulos  45   71de.6 las  45 de las líneas de los polos  líneas de18ceros.4 – suma de ángulos Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros Ejemplo G s   s  0s  2 s  j  1s  j  1 Si t  10 sen2t  2 2* 8 G  j   1.26 G  j   90  45  71.6  45 18.4 2 * 10 S o t  1.26 *10 sen2t  18.4  12.6 sen2t  18.4  Introducción Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros Ejemplo s s  2  G s   2 s  2s  2 Si t  10 sen2t Si t  12.6 sen2t  18.4  Introducción Hacen falta herramientas para poder analizar el comportamiento en frecuencia de los sistemas Se utilizan herramientas graficas para representar Y  j  G  j   Y  j  X  j  G  j   X  j  Vamos a ver dos de ellas Diagrama de Bode Diagrama polar de Nyquist Introducción Diagrama de Bode Un diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico estadounidense que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode. Introducción Diagrama de Bode El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada Diagramas de Bode Son dos gráficos rectangulares del tipo X-Y En el primero se grafica Y  j   según X  j  En el segundo se grafica Y  j  según   X  j  La magnitud y la frecuencia se grafican usando escalas logarítmicas. Introducción Diagrama de Bode Consistirá en determinar los valores de modulo y la fase de la función de transferencia sinusoidal para cada valor de  Introducción Diagrama de Bode Si tenemos un sistema que tiene una función de transferencia que involucra varios términos, el producto de las magnitudes de los elementos que la constituyen será G  j   G1  j  G2  j ....... Gn  j  Al aplicar logaritmos se convertirá en log G  j  log G1  j   log G2  j  .......  log Gn  j  Introducción Diagrama de Bode De esta manera, el trazar una gráfica de log G  j  contra la frecuencia significa que sólo hace falta sumar las contribuciones debidas a los términos de magnitud individuales. Por ejemplo, si se quisiera obtener la traza de Bode para 51  j  1 podemos obtener las graficas para G  j   51  j  2  j  2  j  los elementos individuales y luego sumarlas Introducción Diagrama de Bode Es común expresar la magnitud en unidades de decibeles (dB). Magnitud _ en _ dB 20 log G  j  Cuando existen varios elementos, la traza de fase es sólo la suma de las fases de los elementos por separado. La escala de frecuencia que se usa para ambas trazas, magnitud y fase, es logarítmica. Esto permite a la gráfica cubrir un gran intervalo de frecuencias y también conduce a gráficas asintóticas mediante líneas rectas. Introducción Diagrama de Bode Debido a que las trazas de Bode para un sistema se pueden formar a partir de las trazas para los elementos individuales, dentro de la función de transferencia para ese sistema, es útil considerar las trazas para los elementos que por lo común se encuentran en las funciones de transferencia. Con estos elementos se pueden formar con rapidez las trazas de Bode para una amplia variedad de sistemas. Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Ganancia constante G s  K  G  j   K Para este sistema la magnitud en decibeles es G  j  20 log K Y la fase es 0  Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos – Ganancia Constante G  j  20 log K Magnitud K 2 Fase 0.1 1 10 100 Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un polo en el origen 1 1 G s    G  j   s j 1 Para este sistema la magnitud en decibeles es G  j  20 log  20 log    1  G  j   20 log 1 0dB  10  G  j   20 log 10  20dB  0.1  G  j   20 log 0.1 20dB  Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos – Polo en el origen tag   1     Magnitud 0   90 Fase 0.1 1 10 100 Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un cero en el origen G s  s  G  j   j Para este sistema la magnitud en decibeles es G  j  20 log   1  G  j  20 log 1 0dB  10  G  j  20 log 10 20dB  0.1  G  j  20 log 10  20dB  Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos – Cero en el origen tag     0 Magnitud  90 Fase 0.1 1 10 100 Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un polo real 1 1 1  j G s    G  j    G  j   s  1 j  1 1   2 2  1  Para este sistema la magnitud en decibeles es G  j  20 log 2 2   1   1 es despreciable G  j  0dB     2 2  1 1 2 2    1 G  j  20 log  20 log       Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un polo real 1 G  j  20 log  20 log   1 Se denomina punto de quiebre, frecuencia de corte en el punto   Las dos líneas rectas se conocen como aproximación asintótica a la traza verdadera El error máximo es este punto es 3dB Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un polo real El ángulo de fase es  tan  1  Para frecuencias bajas tiende a 0 Para frecuencias altas tiende  90 En el punto de quiebre 1 el angulo es de   45   Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos – Polo real Magnitud Fase 0.1 1 10 100    Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos Un cero real G s  s  1  G  j   j  1  Para este sistema la magnitud en decibeles es G  j  20 log 1   2 2   tan  1   Introducción Diagrama de Bode – Elementos básicos – Cero real Magnitud Fase 0.1 1 10 100    Introducción Diagrama de Nyquist El diagrama de Bode nos da la información de dos variables dependientes de w en dos gráficos separados:  Amplitud  Fase Harry Nyquist propuso representar la misma información en UN solo diagrama Introducción Diagrama de Nyquist Para especificar el comportamiento de un sistema a una entrada senoidal (es decir, especificar la función de respuesta en frecuencia, G  j  en una frecuencia angular particular,  , se deben establecer tanto la magnitud, G  j  como la fase  Ambas son funciones de la frecuencia angular. Una forma de mostrar cómo se comporta un sistema sobre un intervalo de frecuencias angulares es trazar los datos de la respuesta para el sistema en un diagrama de Nyquist. Introducción Diagrama de Nyquist El diagrama de Nyquist es una traza polar de la respuesta en frecuencia del sistema. j Respuesta en  para G  j  G  j    Introducción Diagrama de Nyquist Al trazar diagramas de Nyquist existen cuatro puntos clave que se deben representar: 1. el inicio de la traza, donde  0 2. el fin de la traza, donde   3. donde la traza cruza al eje real,  0 o  180 4. donde ésta cruza al eje imaginario, o sea,  90 Introducción Diagrama de Nyquist 1 1 1 1  j  1  j G s    G  j    G  j    G  j   s 1 1  j 1  j 1  j  1 2 1  G  j   2  j 1 1 2  1 2  2 G  j    tan   1   1     tan  1    1    2 2 2 2 1 1 2 Introducción Diagrama de Nyquist 1 2 G  j      tan  1  1    1    2 2 2 2 1 02  0 G  j    1  tan  1 0 0 1  0  1  0  2 2 2 2 1 02   G  j    0  tan  1   90 1  0  1  0  2 2 2 2 Introducción Diagrama de Nyquist j   tan  1   0    1 2 G  j    1    1    2 2 2 2 Introducción Diagrama de Nyquist 1 G s   s 1     Introducción Diagrama de Nyquist 1 1 1 G s   2  G s    s  2s  1 2    j 2  1   1   2  2 j G s   1 1    2 j   1    2 j 2 2 1   2  2 j 1    2 j  1     2  2 2 2 2 G s    1    2 2 j 1     2  1     2  2 2 2 2 2 2 Introducción Diagrama de Nyquist 2 2  G  j     1    2     2     1   2   2 2   1   2   2 2  2 2     2  tan   1     2   2  2 2 2  tan 1 2 1    2 1    2  1  2  1     2  2 2 2 Introducción Diagrama de Nyquist   1   2    2 2 1  tan 2 2 G  j          1   2   2 2   1   2   2 2  2   2  1   2   G  j   0 1 0  0  180 1  90 1 2 Introducción Diagrama de Nyquist j 2  tan  1 1   2   0    2 2 G  j       1  2     2     2 2 2   2   1    2    1    2   2 2  Introducción Diagrama de Nyquist 1 G s   2 s  2s  1     Introducción Diagrama de Nyquist 1 G s   2 ( s  1)( s  1)(3s  1)     Introducción Diagrama de Nyquist ( s  2)( s  4) G s   2 ( s  1)( s  1)(3s  1)     Introducción Diagrama de Nyquist (2 s  1) G s   2 ( 4 s  4 s  7)     Introducción Diagrama de Nyquist (2 s  1) G s   ( s 2  s  1) (2 s  1) G s   2 ( s  s  2)     Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist Cuando a un sistema se aplica una entrada senoidal la salida de ese sistema es senoidal con la misma frecuencia angular, pero puede tener una amplitud que difiere de la de la entrada y mostrar una diferencia de fase. El cociente de las amplitudes de salida y de entrada es la magnitud G  j  Para que la inestabilidad se presente cuando la entrada al sistema es senoidal, la magnitud en lazo abierto debe ser mayor que uno si el atraso de fase en lazo abierto es 180". Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist xt   Xsent y t  Ysen t  180  G t    Rt  Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist Si el sistema causa un cambio de fase de 180°, entonces la señal de realimentación estará en fase con la señal de entrada y, de esta manera, se adicionará a ésta en vez de sustraerse. Si la amplitud es menor que la de la señal de entrada, se puede alcanzar una condición estable, pero si 1 a amplitud es mayor, la señal a través del sistema crecerá de manera continua. Si el sistema en lazo abierto es estable, el sistema en lazo cerrado también será estable Introducción Diagrama de Nyquist j 1   180 Sistema inestable Sistema estable Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist Vemos entonces como se aplica el criterio de estabilidad en relación al diagrama de Nyquist para un sistema en lazo abierto. Un ángulo de fase de 180° significa que la magnitud apunta hacia la parte negativa del eje real. Sí la magnitud en este valor de fase no debe exceder a 1, entonces la traza polar no debe encerrar al punto -1 sobre el eje real si el sistema va a ser estable. Introducción Diagrama de Nyquist - Ejemplo K K G s    G  j    s  1s  1 2 s  1 j  1 j  1 2 j  1 K K G  j    G  j    j  1 j  1 2 j  1   j    1 2  1    1   2  2 2 G  j     jK   2 1 2  1  K 2  1   2      1 2  1   4  1   2 2 2 2 2 Introducción Diagrama de Nyquist - Ejemplo El modulo será K G  j     4  1   2 2   2 1   2 2 2  Y la fase 2 1  1   1 2   tan      1    2  Introducción Diagrama de Nyquist - Ejemplo Para lograr estabilidad la magnitud no debe exceder 1 cuando la fase es 180". De este modo, la condición limitante para la fase  tan  1 0 2 1  1   1 2  1  1   2 1 2  2  tan    tan 0   0  1    1 2 0    1   2      1   2  1  Este valor lo reemplazamos en la ecuación de magnitud  1 2 Introducción Diagrama de Nyquist - Ejemplo K 1 G  j    Reemplazamos    1   2    1    2 2  4 2 2 2  1 2 K G  j    2  1   1     1   2    2  1  12   2 2    2 2  K G  j    1     1   2    2 2  Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo Para que el sistema sea estable se debe cumplir que G  j   1 K  1  2 G  j   1 K  1   2 2    1   2    2 2  Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist – Margen de Ganancia El margen de ganancia se define como el factor mediante el cual la ganancia del sistema, es decir, ía magnitud, se puede incrementar antes de que se presente la inestabilidad. Este es, entonces, la cantidad mediante la cual la magnitud en 180° debe incrementarse para alcanzar el valor crítico de 1 1 MARGEN _ de _ Ganancia * G  j  180 Introducción Diagrama de Nyquist – Margen de Ganancia j G  j  180 El margen de ganancia se expresa en decibeles MARGEN _ de _ Ganancia 20 log 1  20 log G  j  180 1  MARGEN _ de _ Ganancia 20 log G  j  180 Introducción Criterio de estabilidad de Nyquist – Margen de fase El margen de fase se define como el ángulo a través del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto -1 en el eje real Esta es, por lo tanto, la cantidad mediante la cual la fase del sistema en lazo abierto pasa por 180° cuando su magnitud tiene un valor de 1. Es decir, la amplitud de la salida es la misma que la de la entrada. Introducción Diagrama de Nyquist – Margen de Fase j El margen de fase 1  G  j  1 Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo Determinar el valor K para un sistema con la siguiente función de transferencia de lazo abierto K G s   s 2 s  1( s  1) 1. Un sistema marginalmente estable 2. Un margen de ganancia de 3dB Introducción Diagrama de Nyquist - Ejemplo K G s   s 2 s  1( s  1) K K G  j    G  j    j 2 j  1 j  1 2   3  j 1  22 G  j    3K 2  jK 1  2 2  4 2 9   1  2   2 2 Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo K La magnitud será G  j   4 2 9   1  2   2 2 2 Y la fase 1  1  2   tan    3  Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo 1. Para que el sistema sea marginalmente estable la magnitud debe tener el valor de 1, cuando  180 G  j  1 Para  180 entonces  tan  1 0  1  2 2  1 1  tan   tan  1 0  1  2 2 0     3  2 Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo Al sustituir este valor en la ecuación de la magnitud, con la magnitud igual a 1, se obtiene K G  j  180 1 K K G  j  180  1  1  9 4   2 1  2  2 2 9 0 4 K 1,5 Introducción Diagrama de Nyquist – Ejemplo 2. Un margen de ganancia de 3dB MARGEN _ de _ Ganancia 20 log G  j  180 K K G  j  180   4 2  9   1  2  2 2 9 0 4 K 3dB  20 log G  j  180  20 log  K 1.06 9 0 4