Asíntotas en el Lugar de las Raíces

Método del Lugar de las Raíces

• Es una representación gráfica del lugar geométrico de los polos de una función de transferencia.
• Se utiliza para analizar el comportamiento de un sistema de control.
• Permite determinar la estabilidad del sistema según la ganancia.
• Los parámetros del sistema se pueden variar para mantener la estabilidad.
• Es una herramienta crucial para la implementación de sistemas de control.

Introducción al Método del Lugar de las Raíces

• El conocimiento del funcionamiento de un sistema de control requiere analizar los parámetros que lo definen.
• Entender los límites de variación de los parámetros para mantener la estabilidad del sistema es esencial.

Definición Formal del Lugar de las Raíces

• En teoría de control, el Lugar de las Raíces (Root Locus) es la representación gráfica del lugar geométrico de los polos de una función de transferencia.
• Se varía un parámetro, generalmente la ganancia K, dentro de un intervalo determinado.
• Proporciona información visual sobre cómo se desplazan las raíces en el plano complejo según la variación de un parámetro.

Problemas que surgen del Lugar de las Raíces

• La ecuación característica puede tener tres o más variables (parámetros).
• La formula, al emplear la fórmula cuadrática para encontrar las raíces, genera una función de tres variables que resulta difícil de graficar.

Manejo del Problema del Lugar de las Raíces

• Se busca una magnitud que combine las posibles variaciones de los parámetros.
• La gráfica se representa únicamente en función del parámetro encontrado.

Ecuación Característica para el Lugar de las Raíces

• La ecuación característica se utiliza para analizar la estabilidad del sistema de control.
• La ecuación se deriva del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado.
• Las raíces de la ecuación característica son los polos del sistema.

Los Polos y Ceros de Lazo Abierto

• Los polos y ceros de lazo abierto son las raíces del denominador y numerador de la función de transferencia.
• La posición de los polos y ceros en el plano complejo se utiliza para determinar la cantidad de ramas del lugar de las raíces.
• La ganancia K es el único parámetro que se puede variar en este análisis.

Gráficos de las Variaciones de "s"

• Los gráficos buscan representar las variaciones de 's' cuando la ganancia K varía.
• Se grafican en un plano 's' para analizar el cambio en las raíces, según los valores de ganancia.
• El gráfico resultante se conoce como el 'Lugar de las Raíces'.

Método del Trazado General - Paso 1

• Se identifican y grafican los polos y ceros de lazo abierto de la función de transferencia.
• La cantidad de ramas del diagrama es igual a la cantidad de polos del sistema.

Determinar el Lugar de las Raíces sobre el Eje Real – Paso 2

• Se analizan los segmentos del eje real que forman parte del lugar de las raíces.
• La cantidad de polos y ceros a la izquierda de un punto de prueba del eje real determina si este punto es parte del lugar de las raíces (debe ser impar).

1. El lugar de las raíces comienza en los polos de lazo abierto y termina en los ceros de lazo abierto.

Determinar las Asíntotas – Paso 3

• Se determina la ubicación del punto de inicio de las asíntotas.
• Se calcula el ángulo de las asíntotas con la expresión general.
• La cantidad de asíntotas es igual a la diferencia entre la cantidad de polos y ceros en la función de transferencia.

Hallar los Puntos de Ruptura – Paso 4

• Se determinan los puntos donde las ramas del lugar de las raíces entran o salen del eje real.
• Se transforma la ecuación característica en una forma equivalente para encontrar estos puntos.

Determinar los Puntos en donde el Lugar de las Raíces Cruza el Eje Imaginario – Paso 5

• Se determina la frecuencia compleja jo, donde las ramas del lugar de las raíces interceptan el eje imaginario.
• El criterio de estabilidad de Routh es la herramienta para realizar este análisis.

Dibujar el Lugar de las Raíces – Paso 6

• Se grafica la trayectoria completa del Lugar de las Raíces en el plano complejo.
• Se unen todos los puntos previamente calculados.

Análisis de Respuesta en Frecuencia

• El análisis de respuesta en frecuencia identifica cómo responde un sistema a entradas sinusoidales.
• La salida del sistema también es sinusoidal a la misma frecuencia de entrada.
• La diferencia entre la entrada y la salida se mide en magnitud y fase.
• Se usa para determinar cómo un sistema afecta la magnitud y la fase de una señal de entrada con una frecuencia determinada.

Respuesta en Frecuencia a Partir de Patrones de Polos y Ceros

• La magnitud y fase de G(jω) se pueden determinar a partir de la ubicación de polos y ceros.
• La función de respuesta en frecuencia G(jω) se puede encontrar reemplazando s con ja

Diagrama de Bode

• Es una representación gráfica de la respuesta en frecuencia de un sistema.
• Consiste en dos gráficos separados: magnitud y fase , ambos logarítmicos.

Diagrama de Nyquist

• Es un diagrama polar, donde la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia (G(jω)) se grafica en un mismo diagrama.
• Las trazas de Nyquist se utilizan para determinar la estabilidad de los sistemas de control.
• Los puntos clave, donde se cruza el eje real, el eje imaginario, y el inicio y fin de la traza, son importantes para análisis de estabilidad.

Criterio de Estabilidad de Nyquist

• Proporciona un método para determinar si un sistema de control es estable o inestable.
• Se basa en la relación entre la traza de Nyquist y el punto (-1,0) en el plano complejo.
• Si la traza no encierra el punto (-1,0) en el diagrama de Nyquist, el sistema es estable.
• Permite identificar el margen de ganancia y el margen de fase.

Este cuestionario explora conceptos clave sobre las asíntotas en el lugar de las raíces, incluyendo su significado, condiciones y cómo se determinan. A través de preguntas específicas, podrás poner a prueba tu comprensión sobre este tema fundamental en el análisis de sistemas de control.