Thales' Theorem PDF

I. PROPRIETE DE THALES – CONFIGURATIONS DE THALES. Propriété ABC est un triangle. M est un point de droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si (MN) (BC) alors 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Remarque On peut utiliser la propriété de Thalès pour calculer des distances o...

I. PROPRIETE DE THALES – CONFIGURATIONS DE THALES. Propriété ABC est un triangle. M est un point de droite (AB) et N un point de la droite (AC). Si (MN) (BC) alors 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Remarque On peut utiliser la propriété de Thalès pour calculer des distances ou justifier une égalité de quotients. Configurations de Thalès (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si (BC)//(MN), alors =. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 C N M N B N A B C A C M M A B Ces trois figures sont dites configurations de Thalès. Exercices de fixation Exercice 1 Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est vraie. Ecris le numéro suivi de la lettre de l’affirmation vraie. Corrigé 1.B ; 2.A ; 3.C. Exercice 2 Calcule 𝑥 dans chacun des cas ci-dessous. Corrigé 1er cas : D’après la propriété de Thalès, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 équivaut à 𝐴𝐵 = 𝑥 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 4= 𝑥 6 9 6𝑥 = 4 × 9 𝑥= = 6. 2ème cas : D’après la propriété de Thalès, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 équivaut à 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 𝑂𝐷 𝑂𝐶 𝑥 𝑂𝐶 8= 3 15 𝑥 4 3𝑥 = 8 × 𝑥= = 10. 3ème cas : D’après la propriété de Thalès, 𝐾𝐹 = 𝐾𝐸 équivaut à 𝐾𝐹 = 𝐾𝐸 𝐾𝐴 𝐾𝐵 𝑘𝐴 𝑥 3= 6 7 𝑥 3𝑥 = 7 × 6 𝑥= = 14. II. RECIPROQUE DE LA PROPRIETE DE THALES Propriété ABC est un triangle, M est un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC) tels que la position de M par rapport aux points A et B soit la même que celle de N par rapport aux points A et C. Si 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁 , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Remarque La réciproque de la propriété de Thalès permet de montrer que deux droites sont parallèles et s’applique dans les différentes configurations suivantes appelées configurations de Thalès. C N M N B N A B C A C M M A B Exercice de fixation L’unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = 15 ; AC = 5. Les points M et N appartiennent respectivement aux côtés [AC] et [AB] et sont tels que AM = 3 ; AN =9. Justifie que : (MN) // (CB). Corrigé Justifions que (MN) // (CB) On calcule : 𝐴𝑀 = 3 ; 𝐴𝑁 = 9 = 3. donc 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. 𝐴𝐶 5 𝐴𝐵 15 5 𝐴𝐶 𝐴𝐵 ABC est un triangle, M est un point du segment [AB], N est un point du segment [AC] et 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. 𝐴 𝐶 𝐴𝐵 D’après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) // (CB). III. CONSEQUENCE DE LA PROPRIETE DE THALES Propriété : ABC est un triangle, M est un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC). Si (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑀𝑁 = 𝐴𝑀 = 𝐴𝑁. 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 Remarques La conséquence de la propriété de Thales s’applique dans les configurations de la propriété directe de Thales. Elle permet de calculer des distances.  C N M N B N A B C A C M M A B Exercices de fixation Exercice 1 Entoure la réponse juste parmi les trois réponses 1 ; 2 et 3 ci-dessous. 1 2 3 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝐶 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑁 Dans la figure ci-dessus, on a (BC)//(MN). D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a : Corrigé 1 2 3 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝑁 = = 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐴𝑀 𝐴𝑁 𝑀𝐵 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝑁𝐶 = = 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝑁 Dans la figure ci-dessus, on a (BC)//(MN). D’après la conséquence de la propriété de Thalès, on a : Exercice 2 On donne le triangle ABK ci-dessous. F∈ [𝐴𝐾] et E ∈ [𝐵𝐾] tel que AK = 8 ; KF = 3 ; EF = 6 et ( AB ) // ( EF ). Calcule AB.  A E K F B Corrigé Calculons AB. ABK est un triangle, F est un point de la droite (AK) et E est un point de la droite (BK) ; et (𝐴𝐵)//(𝐸𝐹) alors, d’après la conséquence de la propriété de Thalès on a : 𝐾𝐹 = 𝐾𝐸 = 𝐸𝐹. 𝐾𝐴 𝐾𝐵 𝐴𝐵 D’où : 𝐾𝐹 = 𝐸𝐹. 𝐾𝐴 𝐴𝐵 Ainsi : 𝐴𝐵 × 𝐾𝐹 = 𝐾𝐴 × 𝐸𝐹. 𝐴𝐵 = 𝐾𝐴×𝐸𝐹. 𝐾𝐹 𝐴𝐵 = 8×6 = 16. 3 IV. PARTAGER UN SEGMENT EN DES SEGMENTS DE MEME LONGUEUR Point méthode : Pour partager un segment [AB] en 𝑛 segments de même longueur, on peut procéder comme suit : tracer une demi-droite [AX) (différente de [ AB)) ; choisir un écartement de compas et, en partant du point A, placer sur la demi droite [AX), 𝒏 traits de graduation ; relier à la règle le dernier trait de la graduation et le point B ; puis tracer toutes les parallèles à cette droite qui passent par les traits de graduation. Ces parallèles partagent le segment [AB] en 𝒏 segments de même longueur.