Teoría Trifásica PDF

CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA  CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA INTRODUCCIÓN En este documento estudiaremos básicamente de los circuitos eléctricos trifásicos equilibrados. La mayoría de las redes eléctricas son trifásicas, dadas las ventajas que este tipo de redes...

CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA  CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA INTRODUCCIÓN En este documento estudiaremos básicamente de los circuitos eléctricos trifásicos equilibrados. La mayoría de las redes eléctricas son trifásicas, dadas las ventajas que este tipo de redes presenta frente a las monofásicas. También existen aparatos, como algunos motores eléctricos, que sólo pueden funcionar en este tipo de redes. Aquí daremos los conocimientos más importantes y básicos para comprender y calcular este tipo de circuitos, sólo se estudian circuitos equilibrados cuyas ondas de tensión y de corriente son perfectamente sinusoidales (circuitos sin armónicos). SISTEMA TRIFÁSICO INDEPENDIENTE Fig.- 1 Circuito básico de corriente alterna En la imagen anterior se muestra un circuito eléctrico básico de corriente alterna monofásica en el que un generador o fuente alimenta a un conjunto de receptores cuyo efecto se representa por medio de una impedancia equivalente. La energía que el generador suministra a los receptores se transmite a través de dos conductores, A y A’, que deben ser dimensionados para que sean capaces de soportar la corriente que va a circular por ellos. Supongamos que ahora la energía se transmite desde un grupo de tres generadores monofásicos (que pueden ser sustituidos por un solo generador trifásico, según podemos ver en la siguiente figura) y que el conjunto de cargas se reparte entre tres impedancias equivalentes. Podemos formar tres circuitos monofásicos independientes, que se denominan fases, en los que cada uno de los tres generadores monofásicos alimenta cada una de las tres impedancias. Este es un sistema trifásico independiente y en él se transmite la energía de los generadores a los receptores mediante los conductores A, A’, B, B’, C y C’. Fig.- 2 Sistema trifásico independiente En el circuito del sistema trifásico independiente, las tres fases tienen las corrientes IA, IB e IC, respectivamente, las cuáles salen de los generadores a través de los conductores A, B y C y vuelven a ellos circulando por los conductores A’, B’ y C’. Por lo tanto este sistema requiere de seis conductores. SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO ESTRELLA-ESTRELLA Fig.- 3 Sistema trifásico equilibrado a 4 hilos con los generadores y las cargas conectados en estrella Si en el sistema trifásico independiente, se juntan en uno sólo los tres conductores A’, B’ y C’, por donde retornan a los generadores las corrientes de las fases, conseguiremos reducir el número de conductores necesarios a cuatro tal y como se ve en la imagen superior. De esta manera los tres generadores quedan conectados en estrella y lo mismo sucede con las tres impedancias. En este caso se obtiene un sistema trifásico a cuatro hilos. En estos sistemas tendremos tres conductores de fase, R, S y T, y un conductor neutro, N, que es el que engloba a los tres conductores de vuelta. Un circuito trifásico es equilibrado, si se cumplen estas condiciones:  Los generadores producen un sistema equilibrado de tensiones. Esto significa que las tres tensiones son de igual valor eficaz y existe un desfase de 120° (es decir, 2/3 radianes) entre cada par de ellas.  Las tres corrientes IR, IS e IT también forman un sistema equilibrado de corrientes. Es decir, tienen el mismo valor eficaz y están desfasadas 120° entre sí.  Las impedancias forman un sistema equilibrado de impedancias. Esto significa que las tres impedancias tienen el mismo valor eficaz y el mismo factor de potencia. Es evidente que un sistema trifásico equilibrado el comportamiento de las tres fases es idéntico, salvo el desfase de 120° para las tensiones y las corrientes. Va a bastar con analizar una de las tres fases, ya que las tensiones y corrientes de las otras dos se obtendrán simplemente girando +120° y -120° las obtenidas en la fase estudiada. Recordemos aquí que si a un ángulo se le suman o se le restan 360°, es decir, 2 radianes, el ángulo sigue siendo el mismo. Por esta razón, se tiene que: 120  240 y  120  240 2 4 2 4 rad   rad y  rad  rad 3 3 3 3 Dado que los fasores correspondientes a las tres tensiones o las tres corrientes de un sistema trifásico equilibrado son todos de igual longitud y tienen un desfase de 120°, es fácil comprobar que su suma es nula.  Las tensiones fase-neutro o tensiones simples entre cada una de las tres fases y el neutro son VRN, VSN y VTN y su valor eficaz se va a denominar VFN: VRN = V SN = V TN = VFN (1) Fig.- 4 De momento y de forma totalmente arbitraria se elige el origen de tiempos para las tensiones y corrientes de manera que la tensión VRN tenga un ángulo de fase de 90° (Imagen lateral). Se obtiene que: V RN  VFN 90 V SN  VFN   30 V TN  VFN   150 Tensiones simples o fase-neutro V RN  V SN  V TN  0 (2) Dado que la imagen del sistema trifásico equilibrado a 4 hilos representa un circuito equilibrado, las tres impedancias son iguales: Z R  Z S  Z T  Z  Z (3) Las corrientes que circulan por los tres conductores de fase, IR, IS e IT, son las corrientes de línea y su valor eficaz es IL: (4) I R  I S  I T  IL Observemos que la corriente que circula por el neutro es igual a las suma de las tres corrientes de fase, como se puede deducir aplicando el primer lema de Kirchhoff en el punto neutro. En un sistema equilibrado esta suma siempre es nula, lo que significa que en un sistema trifásico equilibrado la corriente del neutro es nula: (5) I N  I R  I S  IT  0 De lo anterior se deduce que en un sistema trifásico equilibrado se puede prescindir del conductor neutro, en cuyo caso se tiene un circuito trifásico a tres hilos. El comportamiento de un circuito equilibrado es el mismo, tanto si existe el conductor neutro como si no. Las líneas eléctricas de transporte que transmiten energía eléctrica a grandes distancias son de tres hilos. Sin embargo, la distribución de la energía eléctrica en baja tensión a los consumidores suele ser a cuatro hilos porque estos utilizan muchas veces aparatos monofásicos que habitualmente se conectan entre una de las tres fases y el neutro. Se denominan tensiones fase-fase, compuestas o de línea a las tensiones VRS, VST y VTR entre cada par de fases de una red trifásica. Su valor eficaz es VL: V RS  V ST  V TR  VL (6) (b) Fig.- 5 (a) Tensiones simples y compuestas en un sistema trifásico equilibrado En la imagen del sistema trifásico equilibrado a 4 hilos se puede apreciar que se cumple lo siguiente V RS  V RN  V SN V ST  V SN  V TN V TR  V TN  V RN (7) Estas relaciones se muestran en el gráfico anterior dcha., donde se puede apreciar la relación entre los valores eficaces de las tensiones compuestas VL y de las simples VFN. De esta manera, si, por ejemplo, se analiza la fase R se comprueba que los módulos VL de VRS y VFN de VRN y VSN están relacionados así: V RS  V RN  V SN VL  2  VFN  cos 30º  3  VFN (8) VL  3  VFN Además también se comprueba en la imagen anterior que en un sistema equilibrado las tensiones compuestas están adelantadas un ángulo de 30° con respecto a las tensiones simples. Por lo tanto, manteniendo que la tensión simple VRN tiene un ángulo de fase de 90°, las tensiones compuestas quedan así, figura anterior: V RS  VL 120 V ST  VL 0 VTR  VL   120 (9) V RS  V ST  V TR  0 Los dos diagramas fasoriales anteriores son equivalentes. En la figura de la izq. se han dibujado los fasores de las tensiones compuestas con su origen en el centro del diagrama. En la de la drcha., se han dibujado los fasores de las tensiones compuestas entre los extremos de los fasores de las tensiones simples para mostrar gráficamente las relaciones con el número (7) En el diagrama de la figura anterior (b), los fasores de las tensiones compuestas forman un triángulo equilátero cuyos vértices son las fases (R, S y T). En este diagrama el centro representa al neutro N y, por consiguiente, las alturas del triángulo son los fasores de las tensiones simples. Obsérvese que tal como se ha elegido la referencia para los diagramas fasoriales resulta que la tensión VST tiene un ángulo de fase nulo. Es decir, tal como se ha venido trabajando hasta ahora lo que se ha hecho es elegir a V ST como referencia. Así pues los valores instantáneos de las tensiones compuestas de esta red trifásica equilibrada son: 2 VRS  2 VL cos ( t   3 (10) VST  VL cos ( t )   2 4 VTR  2 VL cos ( t  )  2 VL cos ( t  ) 3 3  Esto indica que las tensiones compuestas varían en el tiempo como se muestra en la figura siguiente: Fig.- 6 Tensiones compuestas en un sistema trifásico equilibrado Normalmente cuando se da información de una instalación trifásica se proporcionan sus datos (tensión e intensidad) de línea. Así, si nos dicen que una instalación trifásica es de 400 V, esto significa que sus tensiones de línea (o tensiones compuestas) tienen un valor eficaz (VL) de 400 V. Si la instalación dispone del conductor neutro (sistema trifásico a 4 hilos) se suelen indicar los valores eficaces de las tensiones compuestas y simples separados por una barra. Por ejemplo, en nuestro país la tensión normalizada para las instalaciones de Baja Tensión es 400/230 V, lo que significa que estas instalaciones tienen 400 V de tensión de línea (VL) y 230 V de tensión simple o fase-neutro (VFN). Aunque ambas magnitudes deben guardar entre sí una relación 3 , debe tenerse en cuenta que los valores normalizados de las tensiones se redondean y no son exactos. MAGNITUDES DE FASE Denominamos tensiones y corrientes de fase de un sistema trifásico de tres elementos -tres generadores o tres cargas-, a las tensiones que hay entre sus extremos y a las corrientes que circulan por cada uno de los tres elementos, respectivamente. Las magnitudes de fase dependen de la forma en que estén conectados los tres elementos de un sistema trifásico, estrella o triángulo, como veremos en los apartados siguientes. Los valores eficaces de las tensiones y de las corrientes de fase en un sistema equilibrado se van a denominar VF e IF, respectivamente. En el caso de un sistema trifásico de impedancias, dado que estas magnitudes son las tensiones entre sus extremos y las corrientes que circulan por ellas, se guarda la ley de Ohm entre las tensiones y corrientes de fase. Luego, trabajando con los módulos de estas magnitudes se obtiene que en un sistema equilibrado: VF  Z  I F (11) Y, además, entre la tensión y la corriente de una fase existe el desfase , idéntico al argumento de la impedancia Z  Z , como sucede en los circuitos monofásicos. Evidentemente, en circuitos equilibrados este ángulo  es el mismo en las tres fases. CONEXIÓN ESTRELLA EQUILIBRADA (a) (b) Fig.- 7 Conexión de tres impedancias formando una estrella equilibrada En las Fig. 3, las Fig. 7a y Fig. 7b se muestran tres impedancias iguales conectadas formado una estrella equilibrada. Ambas figuras son equivalentes y son dos formas de representar la misma conexión. El neutro de la estrella puede estar unido al conductor neutro de la red trifásica o estar aislado. En ambos casos el comportamiento de una estrella equilibrada es el mismo. Fig.- 8 Tensiones y corrientes en una estrella equilibrada Como se puede apreciar en la imagen 8, cada fase de la estrella está sometida a la tensión fase-neutro y está recorrida por la corriente de línea correspondientes. Estas son, pues, las magnitudes de fase en la estrella y, en consecuencia, se cumple que:  V VF  VFN  L (12) Conexión estrella  3  IF  IL Además, aplicando la Ley de Ohm -como en la relación (11)- se deduce que: VL VF VFN 3 Conexión estrella I F    (13) Z Z Z Si las impedancias tienen al ángulo  como argumento Z  Z , las corrientes de fase están desfasadas el mismo ángulo  con respecto a sus respectivas tensiones de fase, de lo cual se obtiene el diagrama fasorial de la imagen inferior (en esta figura se supone que  es positivo (inductivo)):  Fig.- 9 Diagrama fasorial de una estrella equilibrada (se supone que el ángulo  es positivo (inductivo)) Si se mantiene, como hasta ahora, a V ST como referencia del diagrama fasorial (como sucede en la imagen superior) las corrientes de fase (iguales a las corrientes de línea) son:  V RN  IR  I R  I L (90   )  Z  V SN Conexión estrella:  I S  I S  I L (30   ) (14)  Z  I  V TN I  I (150    )  T T L  Z Y, evidentemente, en una estrella equilibrada la corriente en el neutro es nula: (15) I N  I R  I S  IT  0 Ejemplo 1: Expresa en forma compleja las tensiones y corrientes de línea y de fase en una estrella equilibrada formada por impedancias de 21  y factor de potencia 0,92 inductivo que está alimentada por una red de 400 V. Usar la tensión V ST como referencia. Resolución: Las tensiones de línea tienen un valor eficaz de 400 V. La tensión V ST tiene argumento nulo, pues es la referencia, y las otras dos tensiones compuestas, V RS y V TR , están a +120° y -120° de ella, respectivamente. Luego, (ver la imagen 9 y las relaciones (9)) se verifica que; VL  400 V V TR  400   120   200  346,4 j V V RS  400 120   200  346,4 j V V ST  400 0  400  0 j V Las tensiones de fase son las fase-neutro o tensiones simples. Como se muestra en la Fig. 5, en la Fig. 9 y en las relaciones (2) y (8) estas tensiones tienen un valor eficaz 3 veces menor que las tensiones de línea y están retrasadas 30° con respecto a aquellas. Luego, se cumple que: VL 400 V VF  VFN    230,9 V 3 3  V RN  230,9 (120  30 )  230,990  0  230,9 j V V SN  230,9 (0  30 )   230,9  30  200  115,5 j V V TN  230,9 (120  30)  230,9  150  200  115,5 j V En una estrella las corrientes de fase son también las corrientes de línea. Su valor eficaz se obtiene mediante la Ley de Ohm (13): V 230,9 V I L  I F  FN   11 A Z 21  Si el factor de potencia vale 0,92, el ángulo  vale Cos   0,92   23,07  tensiones simples (véanse la Fig. 9 y las relaciones (14)): I R  I F (90   )  11(90  23,07 )  1166,93  4,31  10,12 j A I S  I F (30   )  11(30  23,07 )  11  53,07  6,61  8,79 j A I T  I F (150   )  11(150  23,07 )  11  173,07   10,92  1,33 j A Y, evidentemente la corriente en el neutro es nula: I N  I R  I S  IT  00 j A CONEXIÓN TRIÁNGULO EQUILIBRADO (a) (b) Fig.- 10 Conexión de tres impedancias formando un triángulo equilibrado Además de la conexión estrella, en la que cada elemento de un sistema trifásico se conecta entre una fase y el neutro, existe también la conexión triángulo. En la conexión triángulo cada elemento de un sistema trifásico se conecta entre dos conductores de fase, por lo que en esta conexión no se utiliza el conductor neutro. Así pues, en el caso Fig.- 11 de un sistema de tres impedancias la conexión triángulo se realiza como se muestra en las Fig. 10a y Fig. 10b. Ambas figuras son equivalentes y son dos formas de representar la misma conexión que, al tratarse de impedancias iguales, se trata de un triángulo equilibrado. En la imagen se representa un sistema trifásico equilibrado con los generadores conectados en estrella y las cargas en triángulo.  En la Fig. 12a se muestran las tensiones y corrientes para un triángulo de impedancias equilibrado. Se aprecia que las tensiones en bornes de las impedancias (tensiones de fase) son iguales a las tensiones fase-fase o tensiones de línea, pero las corrientes de fase, que son las que circulan por las impedancias (IRS, IST e ITR), son diferentes de las corrientes de línea (IR, IS e IT). Fig.- 12 (b) (a) Tensiones y corrientes de fase en un triángulo equilibrado En consecuencia, de momento se puede afirmar que los valores eficaces VF e IF de las tensiones y de las corrientes de fase, respectivamente, de un triángulo equilibrado cumplen lo siguiente: VF = VL IF  IL (16) Si las impedancias tienen al ángulo  como argumento, Z  Z debido a la Ley de Ohm las corrientes de fase están desfasadas el mismo ángulo  con respecto a sus respectivas tensiones de fase, de lo cual se obtiene el diagrama fasorial de la imagen anterior (en esta figura se supone que el ángulo  es positivo (inductivo)). Luego, aplicando la Ley de Ohm a las magnitudes de fase y trabajando, como hasta ahora, con V ST como referencia se obtiene que: V V IF  F  L (17) Z Z  V RS  I RS  I RS  I F (120    )  Z  V ST Conexión triángulo:  I ST  I ST  I F    (18)  Z  I TR  V TR I TR  I (120    )  F  Z (19) I RS  I ST  I TR  0 Fig.- 13 Corrientes de fase y de línea en un triángulo equilibrado (se supone que  es positivo)  Si se aplica el primer lema de Kirchhoff en nudo R del triángulo de la Fig. 12a se obtiene que: I TR  I R  I RS I R  I RS  I TR (20) Luego, operando de igual manera en los nudos S y T del triángulo se deducen las relaciones que permiten expresar las corrientes de línea (IR, IS e IT) en función de las corrientes de fase (IRS, IST e ITR): I R  I RS  I TR I  I ST  I RS I T  I TR  I ST (21) En la Fig. 13a se muestran gráficamente las relaciones (21). Si nos fijamos, por ejemplo, en la fase R se aprecia que los módulos IF de IRS e IST e IL de IR verifican lo siguiente: I R  I RS  I TR I L  2  I F  cos 30º  3  I F IL  3  IF (22) Luego, se pueden completar las relaciones (16) y escribir que: VF  VL  (23) Conexión triángulo I  I L  F 3 Además, en la Fig. 13a también se aprecia que las corrientes de línea (IR, IS e IT) están retrasadas 30° con respecto a sus correspondientes corrientes de fase (IRS, IST e ITR). Si se mantiene a como referencia, de las relaciones (18) se obtienen las corrientes de línea, tal como se refleja en la Fig. 13b.  I R  I L ((120   )  30  ) I R  I L (90   )  Conexión triángulo:  I S  I L (( )  30) I S  I L (30   ) (24)  I T  I ((120   )  30  ) I T  I (150   )  L L Si bien en un triángulo no se utiliza el neutro, la red a la que está conectado sí puede tener neutro, bien porque los generadores estén conectados en estrella (Fig. 11) o porque exista otra carga equilibrada en estrella en paralelo con el triángulo. Sabemos entonces que las tensiones simples o fase-neutro tienen un módulo 3 menor que las tensiones de línea y están retrasadas 30° con respecto a estas. Así pues, añadiendo las tensiones simples al diagrama de la imagen 13b se obtiene el representado en la figura 14. En este diagrama fasorial se observa que las tensiones de línea -que en un triángulo son también las tensiones fase- y las corrientes de fase forman el ángulo . Además, las tensiones simples están retrasadas 30° con respecto a las de línea y también sucede que las corrientes de línea se retrasan 30° con respecto a las corrientes de fase. De ahí se observa (ver la figura 14) que el ángulo entre una tensión fase- neutro y la corriente de línea correspondiente es también el ángulo Fig.- 14 . En un triángulo equilibrado el ángulo  es también el desfase entre una corriente de línea y la tensión fase- neutro correspondiente, al igual que sucede en la conexión estrella equilibrada (se supone que  es positivo)  Este mismo resultado se obtuvo al analizar la conexión estrella (ver la iamgen. 9). Luego, se deduce que hay una regla general, válida tanto para la conexión triángulo como para la conexión estrella, que dice que el desfase entre una tensión simple o fase-neutro y su correspondiente corriente de línea es el ángulo . Por esta razón, si se examinan la relación (14) -obtenida para la conexión estrella- y la relación (24) -obtenida para la conexión triángulo- se observa que en ambas los argumentos de las corrientes de línea son los mismos. Ejemplo 2: Exprese en forma compleja las tensiones y corrientes de línea y de fase en un triángulo equilibrado que está alimentado por una red de 400 V y 50 Hz. Cada fase del triángulo es una impedancia formada por una resistencia de 14,5  y una bobina de 21,52 mH en serie. Usar a la tensión V ST como referencia. Resolución: Cada bobina del triángulo tiene una reactancia positiva de valor X  2    f  L  2    50  21,52 103  6,76  Luego, cada fase del triángulo es una impedancia de valor Z  R  X j  14,5  j 6,76  1625  Salvo indicación en contra, cuando nos mencionan la tensión de una red trifásica nos están señalando el valor eficaz VL de sus tensiones de línea. Luego, en este caso VL = 400 V La tensión V ST tiene argumento nulo, pues es la referencia, y las otras dos tensiones compuestas, V RS y V TR , están a +120° y -120° de ella, respectivamente. Luego, (obsérvese la iamgen. 9 y las relaciones (9)) se verifica que V RS  400120   200  346,4 j V V ST  4000  400  0 j V V TR  400  120   200  346,4 j V Estas tensiones también son las tensiones de fase del triángulo: VF = VL = 400 V Por lo tanto, aplicando la Ley de Ohm se deduce que: VF VL 400 V IF     25 A Z Z 13  Estas corrientes están desfasadas el ángulo . (que es el argumento de la impedancia Z y que en este caso vale 25°) con respecto a las tensiones de fase (que en un triángulo son las tensiones de línea). En consecuencia, (ver las relaciones (18) y la figura. 12 ) se deduce lo siguiente: La corriente de línea de la fase S, I S , está retrasa el ángulo  con respecto a la tensión simple V SN. En este caso el ángulo  es negativo, por lo que finalmente I S queda adelantado con respecto a la tensión V SN : I S  40(0  (20 ))  4020 En la siguiente figura se muestran las magnitudes de la fase S que se han ido calculando hasta ahora: Fig.- 17 Diagrama fasorial de las magnitudes de la fase S cuando el ángulo  es negativo (capacitivo) Las magnitudes de tensión y corriente del resto de las fases se calculan girando +120° y -120° las respectivas magnitudes de la fase S: V RN  400(0   120  )  400120   200  346,4 j V V SN  4000   400  0 j V V TN  400(0   120  )  400  120   200  346,4 j V V RS  693(30  120 )  693150  600,2  346,5 j V V ST  693(30 )  600,2  346,5 j V V TR  693(30  120 )  693  90  0  693 j V I R  40(20  120 )  40140  30,6  25,7 j A I S  4020  37,6  13,7 j A I T  40(20  120 )  40  100  6,95  39,4 j A LA POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA La potencia en circuitos trifásicos es la suma de las potencias de sus tres fases. Dado que en circuitos equilibrados las potencias activa, reactiva, aparente y compleja de las tres fases son iguales, las potencias activa, reactiva, aparente y compleja totales son iguales a tres veces las respectivas potencias de una fase. Así, la potencia activa P de un sistema trifásico equilibrado, la cual se mide en W, kW o MW, vale: P  3  I F VF  cos   (27) Si las fases están conectadas en estrella se cumplen las relaciones (12), por lo que para esta conexión la relación (27) se convierte en:  VL P  3  VF  I F  cos   3  ( )  I L  cos   3  VL  I L  cos  (28) 3 Si las fases están conectadas en triángulo se cumplen las relaciones (23), por lo que para esta conexión la relación (27) se convierte en: IL P  3  VF  I F  cos   3  VL ( )  cos   3  VL  I L  cos  (29) 3 Luego, existe otra relación equivalente a la (27) que permite calcular la potencia activa de un sistema trifásico en función de sus tensiones y corrientes de línea y que es válida siempre, tanto cuando las fases están conectadas en estrella como cuando lo están en triángulo: P  3  I L VL  cos   (30) La potencia reactiva Q de un sistema trifásico equilibrado, que se mide en var, kvar o Mvar, se calcula de una manera similar a la activa y se obtiene que: P  3  I F VF  sen  3 VL  I L  sen  (31) En sistemas trifásicos podemos observar la relación entre los diferentes tipos de potencia mediante el triángulo de potencias, que es similar al de los circuitos monofásicos y aparece representado en la Fig. 18. Fig.- 18 Fig. 18: Triángulo de potencias Del triángulo de potencias de la Fig. 18 se deduce que la potencia aparente S de un sistema trifásico equilibrado, que se mide en VA, kVA o MVA, se puede calcular así: S  P 2  Q 2  3  I F VF  3 VL  I L  (32) También del triángulo de potencias de la Fig. 18 se deduce que el factor de potencia (fdp), que en circuitos equilibrados es igual a cos  se puede calcular de esta manera: P P fdp    cos  (33) S P Q 2 2 La potencia compleja S de un sistema trifásico equilibrado, la cual se mide en VA, kVA y MVA, es igual al triple de la potencia compleja de una fase:  S  P  j Q  3  VF  I F (34) En la expresión anterior V F e I F se refieren a la tensión y a la corriente de fase en una cualquiera de las tres fases del sistema. Es preciso hacer notar que no se puede generalizar la relación (34) para las magnitudes de línea. Es decir:  S  3  VL  I L Esto es debido a que el desfase entre V L e I L -esto es, entre una de las tensiones de línea y su correspondiente intensidad de línea- no es el ángulo . Las fórmulas obtenidas hasta ahora son generales. En el caso particular de que se analice un sistema de trifásico de impedancias y siguiendo un proceso similar al que se emplea en el estudio de la potencia en circuitos monofásicos se obtiene lo siguiente:  S  3  VF  I F y VF  Z  I F  S  3  (Z  I F )  I F  3  Z  I F 2 A partir de este resultado se deduce que para las impedancias se pueden emplear el siguiente conjunto de relaciones: S  3 Z  I F 2 (35) En impedancias: P  3 R  I F Q  3 X  I F S  3 Z  I F 2 2 2 Nótese que en todas estas expresiones de la potencia para impedancias interviene IF (que es el módulo del complejo IF 1 elevado al cuadrado) y no el complejo IF elevado al cuadrado. También se aprecia que en las relaciones (35) no intervienen los valores de línea. 1 IF : Es el complejo que representa la corriente de fase a la que nos estemos refiriendo La potencia instantánea que consume una de las fases en un sistema trifásico es como la de un sistema monofásico; varía sinusoidalmente a frecuencia doble que la frecuencia de las tensiones y corrientes y tiene un valor medio que es la potencia activa. La potencia instantánea total de un sistema trifásico es igual a la suma de las potencias instantáneas de las tres fases. Al realizar esta suma se cancelan entre sí las componentes variables de las potencias de las fases y el resultado es una potencia instantánea constante e igual a la potencia activa total trifásica. Es decir, en trifásica la potencia instantánea es constante. Aunque cada fase tiene una potencia que varía en el tiempo, en el conjunto de las tres fases se compensan entre ellas las variaciones temporales de la potencia y se obtiene una potencia total constante e igual a la potencia activa. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Fig.- 19 Mejora del factor de potencia en un sistema trifásico  Como se explica al analizar los circuitos monofásicos, interesa que el factor de potencia de una instalación sea lo más alto posible; es decir, lo más cercano a la unidad, lo cual significa el reducir la potencia reactiva que la instalación demanda a la red. Normalmente el factor de potencia de un sistema eléctrico es inductivo, por lo que, dado el comportamiento opuesto de las bobinas y de los condensadores con respecto a la potencia reactiva, lo que se hace es conectar unos condensadores cerca de las cargas inductivas (Fig. 19). Así, las potencias reactivas de los condensadores y de las cargas se compensan entre sí y la demanda total de potencia reactiva se reduce. Explicado de otra manera, la potencia reactiva es una medida de la energía que intercambian continuamente los generadores y los elementos pasivos que almacenan energía -bobinas y condensadores- pero no la consumen. Durante una mitad del tiempo una bobina consume energía de un generador y la almacena en forma de campo magnético para luego devolvérsela durante la otra mitad del tiempo. Lo mismo hace un condensador, aunque éste almacena la energía en forma de campo eléctrico. Los períodos están invertidos en bobinas y condensadores; en los momentos en que una bobina consume Fig.- 20 energía del generador, los condensadores están devolviendo la energía que almacenaron previamente y viceversa, cuando una bobina devuelve al generador la energía que almacenó anteriormente un condensador consume energía del generador y la almacena en forma de campo eléctrico. Al colocar un condensador al lado de una carga inductiva (Fig. 19), las energías almacenadas en sus respectivos campos magnético y eléctrico se intercambian entre sí y el generador sólo debe suministrar (y luego absorber en la otra Mejora del factor de potencia mitad del tiempo) una pequeña cantidad de energía, mucho menor que si no se hubieran instalado los condensadores. Siguiendo un razonamiento similar al utilizado en los sistemas monofásicos se ha dibujado la Fig. 20. En ella se muestra que inicialmente se tiene una instalación trifásica con un factor de potencia bajo, de valor igual a cos  (luego, el ángulo es grande), que consume una potencia activa P y una potencia reactiva Q. Se quiere aumentar el factor de potencia de forma que pase a valer cos ’ (luego, el ángulo  se reduce y pasa a valer ’), por lo que la potencia reactiva se reduce y pasa a valer Q’ mientras que la potencia activa sigue siendo P. Para conseguir esto se necesita introducir la potencia reactiva negativa de los condensadores QC, cuyo valor absoluto se calcula así: QC  Q  Q'  P (tg  tg ' ) (36) Sean VC e IC los valores eficaces de las tensiones e intensidades de fase en los condensadores. Partiendo de (11) y (35) se tiene que: 1 1 ZC = 0 + j X C ZC = X C = =  C 2   f  C VC VC IC   ZC X C  2 V  3  VC 2 3  VC 2 QC  3  X C  I C  3  X C  C    3    C  VC 2 2 (37)  XC XC 1 C QC QC C  3    VC 3 2    f  VC 2 2 En consecuencia, según como se conecten los condensadores, en estrella o en triángulo, su capacidad se calcula así: VL QC QC En estrella: VC  C   (38) 3   VL 2 2    f VL 2 QC QC En triángulo: VC  VL C   (39) 3    VL 3  2    f  VL 2 2 Luego se cumple que: C  3  C (40) MEDIDA DE LA POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Fig.- 21 Medida de la potencia activa en monofásica mediante un vatímetro La medida de la potencia activa de un circuito monofásico se realiza mediante vatímetros. Dado que la potencia activa se obtiene por el producto de los valores eficaces de la tensión por la corriente y por el coseno del ángulo que forman estas dos magnitudes, un vatímetro debe poseer dos circuitos, imagen 21: uno voltimétrico, conectado en paralelo con la tensión del circuito cuya potencia se mide, y otro amperimétrico, recorrido por la intensidad que circula por el circuito cuya potencia se mide. Cada uno de los dos circuitos de un vatímetro tiene dos extremos, por lo que un vatímetro tiene cuatro terminales. Como es habitual en los esquemas eléctricos, en la imagen superior se han dibujado de trazo grueso los terminales del circuito amperimétrico y de trazo fino los del circuito voltimétrico. En los sistemas trifásicos de tres hilos la medida de la potencia se puede realizar utilizando dos vatímetros monofásicos con la conexión Arón, imagen inferior. En esta conexión se eligen dos de las tres fases (la R y la S en la figura 22) y se conectan los circuitos amperimétricos de los dos vatímetros para que estén recorridos por las corrientes de línea de estas dos fases. El circuito voltímetro de cada uno de los dos vatímetros se conecta entre la misma fase que su circuito amperímetro y la fase que ha quedado libre (la fase T en la imagen inferior).  Fig.- 22 Medida de la potencia en un sistema trifásico de tres hilos mediante dos vatímetros con la conexión Aron Si las potencias medidas por los vatímetros son P1 y P2 (alguna de estas potencias puede ser negativa), la potencia activa P del sistema trifásico se obtiene mediante la siguiente fórmula, que es válida tanto en sistemas equilibrados como desequilibrados: P  P1  P2 (41) Si el circuito es equilibrado, se verifica, además, que la potencia reactiva Q del circuito en el que se realiza la medición, vale Q  3P1  P2  (42) Ejemplo 4: Una instalación eléctrica trifásica que se alimenta con una tensión de 400 V y 50 Hz consta de las siguientes cargas: 1) Un motor trifásico de 10 CV, rendimiento 81,4% y factor de potencia 0,87. 2) Un conjunto de receptores conectados formando un triángulo equilibrado que presentan una impedancia por fase de 40 + 30 j . 3) Un conjunto de lámparas incandescentes cuya potencia es 3464 W. Calcular: a) La corriente, las potencias activa, reactiva y aparente y el factor de potencia de cada carga. b) La corriente y las potencias activa, reactiva y aparente totales de la instalación, así como el factor de potencia total. c) La potencia reactiva y la capacidad de unos condensadores conectados en estrella necesarios para mejorar el factor de potencia total de la instalación a 0,95. Resolución: a) La instalación descrita en el enunciado se ajusta al esquema dibujado en la Fig. 23: Fig.- 23 Esquema representativo de la instalación a resolver Se va a estudiar lo que sucede en una de las fases, ya que al tratarse de un sistema equilibrado los valores eficaces de las corrientes son iguales en las tres fases. Se puede escoger una cualquiera de las tres fases. Aquí, como ha sido habitual en estos apuntes, se va a utilizar la fase S.  QC 4259 C  C    0,00004873 F  84,73F 2    f VL 2    50400 2 V 2 Luego, los condensadores necesarios para elevar el factor de potencia total de esta instalación a 0,95 tienen estas características: QC  4259 VAr C  84,73 F VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA TRIFÁSICA FRENTE A LA MONOFÁSICA La generación, transporte y distribución de energía eléctrica se realiza hoy en día casi siempre mediante sistemas trifásicos. Esto es debido a que estos sistemas presentan varias ventajas frente a los sistemas monofásicos: 1. Si se tiene una línea monofásica formada por dos conductores entre los cuales hay una tensión de valor eficaz V, por los que circula una corriente de valor eficaz I y que alimentan cargas con un factor de potencia cos , la potencia activa que se transmite a través de dicha línea es P  V  I  cos  Ahora se convierte esta línea en trifásica para lo cual se añade un tercer conductor, idéntico a los dos que ya se tenían anteriormente. Se mantiene el mismo valor eficaz para la tensión entre conductores, que en trifásica es la tensión entre fases VL. Análogamente los conductores siguen recorridos por corrientes del mismo valor eficaz que antes y en trifásica esta es la corriente de línea IL. La potencia activa que se transmite ahora a través de la línea trifásica es: P  VL  I  cos  Además, sucede que: 3  1  0,73  73% Luego, se deduce que con un 50% más de material (tres conductores en trifásica frente a dos en monofásica) en una red trifásica se consigue transportar un 73% más de potencia que en una red monofásica. La transmisión de potencia es, pues, más eficiente en sistemas trifásicos que en sistemas monofásicos. 2. Como ya se indicó en el estudio de la potencia, la potencia instantánea en sistemas trifásicos es constante mientras que en sistemas monofásicos es variable con el tiempo. Evidentemente, un flujo de potencia constante permite un funcionamiento mejor de la red. Así, una máquina eléctrica trifásica proporcionará una potencia y tendrá un par mecánico en su eje uniforme, sin oscilaciones perjudiciales. 3. Los motores trifásicos son más eficientes y robustos y, además, no precisan de sistemas de arranque especiales, a diferencia de los motores monofásicos.