TEORIA ROSSI 3 DIC 2024 PDF - Tassi di interesse e rendite

Tassi di interesse e rendite BMAS – Capitolo 2 Analisi costi benefici Un gioielliere ha l’opportunità di vendere 10 once di platino in cambio di 20 once di oro oggi. È conveniente per lui accettare lo scambio? Prezzo di mercato dell’oro: 250$ l’oncia Prezzo di mercat...

Tassi di interesse e rendite BMAS – Capitolo 2 Analisi costi benefici Un gioielliere ha l’opportunità di vendere 10 once di platino in cambio di 20 once di oro oggi. È conveniente per lui accettare lo scambio? Prezzo di mercato dell’oro: 250$ l’oncia Prezzo di mercato del platino: 550$ l’oncia Posizione in oro: 250$ x 20 = 5.000$ oggi Posizione in platino: 550$ x 10 = 5.500$ oggi Non è rilevante sapere se il gioielliere ritenga equi questi due prezzi di mercato oppure se abbia una effettiva esigenza di utilizzare oro e platino 2 Principio di valutazione Il valore di un asset per l’impresa o per i suoi investitori e determinato dal suo prezzo di mercato concorrenziale. I benefici e i costi di una decisione dovrebbero essere valutati utilizzando questi prezzi di mercato Quando - a una data convenzionalmente scelta come riferimento (generalmente oggi o t0) - il valore dei benefici supera quello dei costi la decisione aumenterà il valore di mercato dell’impresa. Usate SEMPRE una linea del tempo quando conducete processi di valutazione 3 Valore temporale del denaro Fino a quando i flussi di denaro sono «contemporanei», possiamo valutarli semplicemente sommandoli o sottraendoli tra loro. Prendiamo un esempio diverso. Vi viene proposto un investimento con le seguenti caratteristiche Oggi dovrete fare un versamento di 100 Euro Tra un anno riceverete in cambio un ammontare di 105 Euro Gli amici del bar vi battono sulla spalla… sembra un affare. È così? La risposta corretta è «dipende». Il risultato dell’analisi deriva dal costo intertemporale del denaro, meglio conosciuto come tasso di interesse 4 Valore temporale del denaro Immaginiamo che sia possibile depositare soldi in banca in un conto sicurissimo, ottenendo un tasso di interesse del 5%. Dopo un anno di deposito otterrei: 100€ + 5% x 100 € = 100 € x (1 + 5%) = 100 € x (1,05) = 105 Notate che la prima operazione include Il capitale depositato (100€) Il calcolo degli interessi (il 5% di 100€) La parentesi (1+5%), molto frequente nei nostri calcoli futuri, tiene appunto conto della presenza di un capitale su cui si accumulano interessi (come accade ad esempio nel conto corrente) 5 Valore temporale del denaro Era quindi un buon affare quello che ci è stato proposto? Da un punto di vista finanziario era un affare «equo»: mi verrà pagato quel che riceverei da un investimento alternativo sicuro. Cosa dovrei concludere se il tasso di interesse offerto dalla banca fosse del 4%? E se invece fosse del 6%? Motivate la risposta, numeri alla mano! 6 Valore temporale del denaro Riprendendo l’esempio iniziale, notate che possiamo sempre agire in due sensi: Possiamo procedere a verificare cosa avremo in futuro nel conto corrente al termine di un anno 100 𝑥 1 + 5% = 105 Oppure possiamo calcolare quanto occorre mettere oggi sul conto corrente per avere una certa cifra in futuro 105 = 100 (1 + 5%) Nel primo caso parliamo di capitalizzazione (valore futuro o montante); nel secondo di attualizzazione (valore attuale). 7 Un semplice esempio Per festeggiare il vostro 30 e lode in Capital budgeting pensate che sia il caso di regalarvi una Panigale V4 SP2 La concessionaria vi offre le seguenti alternative: Un pagamento immediato di 40.700 Euro Un pagamento di 42.500 Euro tra un anno Considerando ancora una volta i tassi di interesse pari al 5%, quale alternativa preferireste? 8 Un semplice esempio Stanche della solita borsa, acquistate in asta un Birkin Himalaya di Hermes La casa d’aste prevede: Un pagamento immediato di 150.000 Euro Un pagamento di 157.500 Euro tra un anno Considerando ancora una volta i tassi di interesse pari al 5%, quale alternativa preferireste? 9 Legge del prezzo unico e arbitraggio Mercato normale Un mercato concorrenziale in cui non esistono opportunità di arbitraggio Legge del prezzo unico Se opportunità di investimento equivalenti vengono scambiate simultaneamente in mercati concorrenziali diversi, devono essere scambiate allo stesso prezzo in entrambi i mercati Arbitraggio La pratica di acquistare e vendere beni equivalenti in mercati differenti per sfruttare la differenza di prezzo è nota come arbitraggio Opportunità di arbitraggio Operazione che permette di realizzare un profitto positivo senza assumere alcun rischio (!!!) 10 Valore temporale del denaro Abbiamo visto che per capitalizzare un certo flusso usiamo la formula 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑥 1 + 𝑖 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Mentre per trovare il valore attuale usiamo la formula 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝐴𝑡𝑡𝑢𝑎𝑙𝑒 (1 + 𝑖) Se possediamo i valori di capitale iniziale e futuro, con le stesse formule possiamo calcolare il tasso di interesse (o di rendimento) 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 −1=𝑖 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒 𝐼𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒 11 Orizzonte multi-periodale Cosa accade se estendiamo la nostra analisi a periodi più lunghi? Qui il gioco si complica sia dal punto di vista teorico che pratico Occorre verificare la capacità di reinvestimento del capitale Se esiste, usiamo formule di capitalizzazione composta (gli interessi producono interessi) Se non esiste, usiamo formule di capitalizzazione semplice (gli interessi semplicemente si sommano tra loro) Non si tratta di un aspetto solo teorico: spesso nella pratica NON siamo realmente in grado di reinvestire i flussi di un investimento allo stesso tasso di rendimento da esso offerto 12 Orizzonte multi-periodale Benché spesso la capitalizzazione semplice sia più sensata, in finanza è comune applicare «a prescindere» formule di capitalizzazione composta Ad esempio consideriamo nuovamente un conto corrente in cui depositiamo 100 Euro e ha tasso di rendimento del 5% annuo Con le consuete formule avremo a fine anno 100 𝑥 1 + 5% = 105 13 Orizzonte multi-periodale Ipotizziamo di non prelevare alcuna somma (quindi stiamo reinvestendo gli interessi maturati): quanto avremo alla fine del secondo anno? 105 𝑥 1 + 5% = 110,25 In questo risultato abbiamo 100 Euro di capitale 10 Euro di interessi sul capitale 0,25 Euro di interessi sugli interessi (in sostanza è il 5% dei 5 Euro che guadagniamo dopo il primo anno di detenzione del conto) La capitalizzazione composta prevede su orizzonti maggiori di un periodo, un effetto di «accelerazione dei guadagni» dovuto appunto agli interessi che si capitalizzano 14 Orizzonte multi-periodale Dato che 100 𝑥 1 + 5% = 105 allora 105 𝑥 1 + 5% = 100𝑥 1 + 5% 𝑥 1 + 5% = 100𝑥(1 + 5%) = 110,25 15 Orizzonte multi-periodale In generale, il montante e il valore attuale per T periodi si calcolano come 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒛𝒊𝒂𝒍𝒆 𝒙 𝟏 + 𝒊 𝑻 = 𝑴𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒆 𝑭𝒖𝒕𝒖𝒓𝒐 = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆 𝑨𝒕𝒕𝒖𝒂𝒍𝒆 𝟏+𝒊 𝑻 Ammettendo di prendere come riferimento il prezzo corrente del bene e di usare il consueto tasso del 5%: Quale sarebbe il prezzo corretto da pagare per la Panigale se il pagamento venisse fissato tra 10 anni? Quale sarebbe un prezzo equo da pagare per la Birkin se la casa d’aste accettasse un pagamento tra 7 anni? 16 Pagamenti infra-annuali Non sempre gli interessi vengono liquidati su base annua Nel caso di pagamenti infra-annuali serve usare una convenzione: Il tasso di interesse (c.d. Tasso percentuale annuo) viene diviso per il numero di pagamenti Si eleva la consueta parentesi (1+i) per il numero totale di pagamenti Un esempio Ipotizziamo di avere un conto corrente (sul quale abbiamo depositato 100 Euro) che paga interessi pari al 6% annuo, con periodicità quadrimestrale. Quanto avrò a fine anno? NB: non mi verrà pagato il 6% per tre volte l’anno… al contrario, mi verrà dato il 2% per tre volte, pari al 6% annuo nominale, ma… 𝟔% 𝟑 𝟑 100 € 𝒙 𝟏 + = 100 € 𝒙 𝟏 + 𝟐% = 𝟏𝟎𝟔, 𝟏𝟐𝟎𝟖 𝟑 17 Pagamenti periodici In generale 𝑻𝒂𝒔𝒔𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍𝒆 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒐 𝑵 T𝐚𝐬𝐬𝐨 𝐚𝐧𝐧𝐮𝐨 𝐞𝐟𝐟𝐞𝐭𝐭𝐢𝐯𝐨 = 𝟏 + −𝟏 𝑵 Dove N rappresenta il numero di sottoperiodi, «Tasso percentuale annuo» il tasso di riferimento comunicato dalla banca e «Tasso annuo effettivo» il tasso che effettivamente risulta dalla capitalizzazione degli interessi Una domanda Preferite un conto che paga il 12% annuo in rate trimestrali del 3% o in rate quadrimestrali del 4%? Il risultato non è casuale: provate con intervalli più o meno frequenti! 18 Tassi equivalenti Ipotizzate che la banca offra un conto che garantisce un TPA (anche chiamato tasso annuo nominale) del 12% su base annua, con due pagamenti semestrali di interessi. Quale dovrebbe essere il tasso trimestrale offerto dalla banca su un altro conto corrente per rendere i due prodotti equivalenti? 𝑻𝒂𝒔𝒔𝒐 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒐 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍𝒆 𝑵 T𝐚𝐬𝐬𝐨 𝐚𝐧𝐧𝐮𝐨 𝐞𝐟𝐟𝐞𝐭𝐭𝐢𝐯𝐨 = 𝟏 + 𝑵 −𝟏 𝟏𝟐% 𝟐 T𝐚𝐬𝐬𝐨 𝐚𝐧𝐧𝐮𝐨 𝐞𝐟𝐟𝐞𝐭𝐭𝐢𝐯𝐨 = 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 = 𝟏𝟐, 𝟑𝟔% T𝐚𝐬𝐬𝐨 𝐚𝐧𝐧𝐮𝐨 𝐞𝐟𝐟𝐞𝐭𝐭𝐢𝐯𝐨 = 𝟏 + 𝒊 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆 𝟒 − 𝟏 = 𝟏𝟐, 𝟑𝟔% 𝟏 + 𝒊 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆 𝟒 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟑𝟔 𝟏 𝒊 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆 = 𝟏, 𝟏𝟐𝟑𝟔𝟒 − 𝟏 = 𝟏, 𝟎𝟐𝟗𝟓𝟔𝟑 − 𝟏 = 𝟐, 𝟗𝟓𝟔% 19 Un passo ulteriore Supponete di voler comprare una nuova automobile. Dopo aver scelto il modello che più vi piace vi informate sul prezzo. Il concessionario risponde che Se pagate subito tutto in contanti dovete versare 20.000 € Se preferite rateizzare il costo avete la possibilità di pagare l’auto in tre rate annuali da 7.000€ ciascuna, a partire dall’anno 1. Sapendo che il tasso di interesse di mercato è pari a 2%, quale delle due alternative vi sembra la più conveniente? E se il finanziamento prevedesse un numero molto più elevato di pagamenti? 20 Rendite Si tratta di serie di flussi con una certa periodicità e durata (la retta universitaria, la pensione, le rate di un mutuo, …) L’importanza delle rendite (e della linea del tempo!) Rendite temporanee o perpetue Rendite anticipate e posticipate Rendite immediate e differite 21 Rendite: alcune note importanti! Nelle formule che seguono: il VA è “a oggi” o comunque riferito al periodo immediatamente precedente alla prima rata, se la rendita è posticipata. Se una rendita inizia a produrre flussi tra un anno, il Valore Attuale calcolato è riferibile a oggi; se i flussi partono all’anno 5, il VA che calcolate è riferibile all’anno 4 e così via. n esprime il numero di periodi (o di rate); se la rata non ha cadenza annuale occorre quindi aggiustare il numero di periodi (se fosse mensile, moltiplicando per 12 il numero di anni; una rendita mensile di 5 anni ha 60 rate!) i è il tasso “per singolo periodo”, ottenuto dividendo il tasso percentuale annuo (quello di regola comunicato dalla banca finanziatrice) per il numero di periodi di pagamento per cui l’anno è frazionato (ad esempio per 12 nel caso di pagamenti mensili; per rendite mensili, se TPA è il 6%, i è lo 0,5%) 22 Rendite Valore attuale di un rendita perpetua a rata costante (primo flusso a t+1) 𝑅𝑎𝑡𝑎 𝑉𝐴 = 𝑖 Valore attuale di una rendita perpetua con rata crescente a un tasso “+g” (primo flusso a t+1) 𝑅𝑎𝑡𝑎 𝑉𝐴 = 𝑖−𝑔 23 Un esempio State sottoscrivendo un titolo che vi garantirà 1.000 Euro ogni anno per sempre; il primo flusso è previsto per il prossimo anno. Il tasso di rendimento offerto da questo investimento è l’8%. Quanto dovete pagare per assicurarvi il titolo?. € 𝑉𝐴 = = = 12.500€ , Ipotizzate di eccepire che il titolo non offre un efficace recupero dell’inflazione (che stimate pari mediamente al 2% nel lungo termine). Quanto costerebbe un investimento rivalutabile secondo quel tasso di crescita?. €. € 𝑉𝐴 = = = = 16.667€ , , , 24 Rendite Montante di una rendita temporanea a rata costante (primo flusso a t+1) 𝑅𝑎𝑡𝑎 1+𝑖 −1 𝑀= × 1+𝑖 − 1 = 𝑅𝑎𝑡𝑎 × 𝑖 𝑖 Valore attuale di una rendita temporanea a rata costante (primo flusso a t+1) 𝑅𝑎𝑡𝑎 1 1 1 VA = × 1− = 𝑅𝑎𝑡𝑎 × − 𝑖 1+𝑖 𝑖 𝑖× 1+𝑖 (in rosso il cosiddetto «fattore rendita») 25 Un esempio Un amico che ha 35 anni intende garantirsi un capitale una volta in pensione (che ipotizziamo venga maturata a 65 anni). Se versa per i prossimi 30 anni 10.000 Euro in un prodotto pensionistico senza tasse o spese che garantisce un rendimento annuo del 10%, quanto potrà prelevare a scadenza? 1+𝑖 −1 𝑀 = 𝑅𝑎𝑡𝑎 × 𝑖 1 + 0,1 −1 = 10.000 × 0,1 , = 10.000 × , = 10.000 × 𝟏𝟔𝟒, 𝟓 = 1.645.000 𝐸𝑢𝑟𝑜 26 Un esempio Una banca vi concede un prestito che potrete rimborsare in rate costanti mensili di 500 euro nei prossimi 30 anni, al TPA del 6%. Che cifra vi aspettate di ricevere oggi? 1 1 VA = 𝑅𝑎𝑡𝑎 × − 𝑖 𝑖× 1+𝑖 1 1 = 500 × − 0,005 0,005 × 1 + 0,005 1 = 500 × 200 − 0,005 ∗ 6,0226 = 500 × 200 − 33,208 = 500 × 𝟏𝟔𝟔, 𝟕𝟗𝟐 = 83.396 𝐸𝑢𝑟𝑜 27 Un esempio State sottoscrivendo un titolo che vi garantirà 1.000 Euro ogni anno per 10 anni (dall’anno 1 all’anno 10). Il tasso di rendimento offerto da questo investimento è l’8%. Quanto dovete pagare per assicurarvi il titolo? 1 1 VA = 𝑅𝑎𝑡𝑎 × − 𝑖 𝑖× 1+𝑖 1 1 = 1.000 × − 0,08 0,08 × 1 + 0,08 1 = 1.000 × 12,5 − 0,08 ∗ 2,159 = 1.000 × 12,5 − 5,79 = 1.000 × 𝟔, 𝟕𝟏 = 6.710 𝐸𝑢𝑟𝑜 28 Tassi reali e tassi nominali Tasso di interesse nominale: tasso quotato dalle istituzioni finanziarie e usato per lo sconto o la capitalizzazione di flussi di cassa È il tasso che abbiamo usato sino ad ora per fare tutti gli esercizi; è quello che ci viene proposto dalla banca sul conto corrente, ecc… Dato che i prezzi nell’economia di solito aumentano a causa dell’inflazione, questo tasso non rappresenta il vero incremento di potere d’acquisto ottenuto con i nostri investimenti Tasso di interesse reale: tasso di crescita del potere di acquisto, corretto per l’inflazione 1 + 𝑖n Crescita del potere d′acquisto = 1 + 𝑖r = 1 + inf 𝑖 r ≈ 𝑖 n − 𝑖𝑛𝑓 29 Yield curve Struttura a termine: relazione tra la durata di un investimento e il tasso di interesse. Consente di estrarre informazioni sulle aspettative e rappresenta un benchmark per i rendimenti a diverse scadenze 30 VAN Una volta calcolati tutti i valori attuali dei flussi attesi (positivi e negativi) posso calcolarne la somma (Valore Attuale Netto) Il VAN è il principio guida nella validazione degli investimenti VAN positivi creano valore VAN negativi distruggono valore VAN nulli non apportano variazioni al valore d’impresa, ma sono comunque fondamentali come riferimenti (ad esempio per il calcolo del TIR – vedi oltre – o per condurre analisi dei punti di pareggio) Vi sono numerosi criteri alternativi nella scelta degli investimenti: essi hanno tuttavia limiti applicativi. Nel dubbio, usiamo il VAN 31 Criteri di scelta degli investimenti BMAS – Capitolo 6 Principi base «Come valuto la convenienza di un progetto?» «Devo prevedere i flussi di cassa generati dal progetto e devo determinare un tasso di attualizzazione dei flussi adeguato. La somma dei flussi attualizzati – positivi e negativi – fornirà il Valore Attuale Netto (VAN) del progetto. Se il risultato è positivo, il progetto crea valore». «Bene, ma dove trovo questi valori?» «I flussi sono previsioni: occorre costruire un foglio di lavoro in cui inserire costi e ricavi previsti, tenendo conto di ammortamenti e altre variabili; il tasso di attualizzazione è il rendimento che dovrei ottenere da investimenti fatti sul mercato con un rischio equivalente al progetto in esame. Per molti progetti il vantaggio di una buona stima dei flussi è superiore a quello ottenuto da una stima accurata dei tassi di attualizzazione». 2 Le regole del VAN Il VAN riconosce il valore intertemporale del denaro («è meglio un euro oggi che un euro domani») Il VAN dipende solo da flussi di cassa attesi e dal costo opportunità del capitale (quindi non contano criteri contabili di valutazione degli asset o preferenze dei manager) Il VAN ha proprietà additive VAN (A+B) = VAN (A) + VAN (B) 3  Tasso di rendimento contabile Indagine sull’utilizzo delle tecniche di valutazione dei progetti di investimento da parte dei manager finanziari TIR VAN Tempo di recupero Rendimento contabile Indici di redditività 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Fonte: Graham and Harvey, “The Theory and Practice of Finance: Evidence from the Field,” Journal of Financial Economics 61 (2001), pp. 187-243. 4 Tasso di rendimento contabile Di rado i financial manager se ne servono per assumere le decisioni. Le componenti di questo metodo riflettono i valori contabili, non i valori di mercato o i flussi di cassa. 𝑅𝑒𝑑𝑑𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 = 𝐴𝑡𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡à 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖 5 Tempo di recupero Il tempo di recupero di un progetto consiste nel numero di anni necessari perché il totale dei flussi di cassa attesi uguagli l’esborso iniziale. Secondo la regola del tempo di recupero, è opportuno effettuare le sole operazioni che “recuperano” nell’arco di tempo desiderato. Si tratta di un metodo sbagliato, perché non tiene conto di tutti i flussi di cassa (in particolare di quelli che si manifestano oltre il periodo soglia prestabilito), né del loro valore attuale. Tende a privilegiare lo short-termism 6 Tempo di recupero Esempio Analizzate le tre operazioni programmate e definite gli errori che commettereste se accettaste i soli progetti che prevedono un periodo di recupero inferiore o pari a due anni. Tempo Progetto C0 C1 C2 C3 VAN al 10% di recupero A - 2.000 500 500 5.000 3 + 2.624 B - 2.000 500 1.800 0 2 - 58 C - 2.000 1.800 500 0 2 + 50 7 Tempo di recupero attualizzato Si tratta di un’estensione del criterio precedente; in questo caso si attualizzano i flussi futuri Ha il pregio di far scartare progetti a VAN negativo (non recupero l’investimento!) Ha il difetto di privilegiare comunque progetti di breve durata Può avere un elemento di interesse da valutare: mostra che alcuni progetti con tempo di recupero elevato dipendono molto dalle proiezioni future, che sono le più difficili da fare. È un potenziale early warning 8 Tasso interno di rendimento Tasso di rendimento che rende il VAN di un progetto = 0 Ha un legame di sangue con il TRES delle obbligazioni! Con 4.000 euro potete acquistare un dispositivo per una macchina azionata a turbina. Nei prossimi due anni, l’investimento genererà un flusso di cassa di 2.000 e 4.000 euro. Qual è il tasso interno di rendimento dell’investimento? 2.000 + 4.000 = 0 VAN = - 4.000 + (1+TIR)1 (1+TIR)2 TIR = 28,08% Se il costo opportunità del capitale è inferiore al 28% accettate il progetto, se è superiore lo rifiutate 9 Tasso interno di rendimento 2500 VAN 2000 1500 TIR=28,08% 1000 500 Tasso di sconto (% ) 0 -500 -1000 -1500 -2000 10 Tasso interno di rendimento Trappola 1 - Investimento o finanziamento? Se il progetto è un investimento il VAN di un progetto diminuisce all’aumentare del tasso di attualizzazione. Può essere che il VAN di un’operazione aumenti all’aumento del tasso di finanziamento. Ciò è contrario alla relazione normalmente esistente fra VAN e tasso di attualizzazione. Progetto C0 Ct TIR VAN(10%) A -1.000 +1.500 50% +364 B +1.000 -1.500 50% -364 11 Tasso interno di rendimento Esempio: l’operazione è un finanziamento e non un investimento VAN Tasso di sconto 12 Tasso interno di rendimento Trappola 2 - Tassi di rendimento multipli Taluni flussi di casa possono generare VAN pari a 0 in corrispondenza di due diversi tassi di sconto. Il flusso di cassa che segue genera VAN pari a 0 sia al -50% sia al 15.2%. Attenzione alla regola dei segni di Cartesio!!! Attenzione se utilizzate Excel per il calcolo del TIR C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 -1.000 +800 +150 +150 +150 +150 -150 13 Tasso interno di rendimento 14 Tasso interno di rendimento Trappola 3 – Progetti alternativi Il TIR non considera l’ammortare dell’investimento iniziale. Quando i progetti sono alternativi è un problema. I due progetti qui di seguito illustrano tale problema. Progetto C0 Ct TIR VAN(10%) E -10.000 +20.000 100 +8.182 F -20.000 +35.000 75 +11.818 15 Indice di redditività In presenza di risorse limitate (ad esempio, razionamento del capitale), l’indice di redditività è uno strumento per scegliere tra differenti alternative e combinazioni di progetti. Valore attuale netto Indice di redditività = Investimento Nota: se gli investimenti avvengono in più periodi, anche il denominatore è il valore attuale degli investimenti 16 Indice di redditività FLUSSI DI CASSA PROGETTO C0 C1 C2 VAN al 10% I.R. A -10 +30 +5 +21 2,1 B -5 +5 +20 +16 3,2 C -5 +5 +15 +12 2,4 Il metodo entra in difficoltà in caso di razionamento di più risorse In questi casi si usano sistemi di programmazione lineare Ma esiste realmente il razionamento delle risorse? 17  Il processo di Capital Budgeting BMAS – Capitoli 7 – 8 – 26 (web) Note introduttive Cash flow = denaro incassato – denaro pagato Cash flow ≠ reddito contabile 1. Reddito contabile 2. Aggiustamenti: a) Ammortamenti b) Spese in conto capitale c) Capitale circolante (contante, crediti verso clienti, giacenze di magazzino, debiti verso fornitori) 3. Cash flow Il valore di un progetto dipende dai flussi di cassa incrementali che derivano dalla sua accettazione 2 Regole generali Investimento iniziale è un’uscita di cassa: la divisione (tipica dei sistemi contabili) fra spese di investimento e spese correnti è irrilevante se sono previsti ammortamenti, li calcoliamo e li utilizziamo per determinare il reddito netto, ma poi li aggiungeremo nuovamente per la determinazione del flusso di cassa al tempo stesso, l’uscita di cassa andrà inserita nel calcolo del flusso di cassa stesso (vedi sequenza slide 2) 3 Regole generali Investimento in capitale circolante somma algebrica di investimenti in crediti verso clienti scorte finanziamenti ricevuti dai fornitori. la creazione di un fabbisogno (ad esempio maggiori scorte o crediti verso clienti) entra nei calcoli del flusso di cassa con segno negativo, trattandosi di un costo come vedremo, conta la variazione del capitale circolante netto, perché segnala un suo aumento o riduzione che assorbe/libera cassa di regola l’avvio di un progetto assorbe cassa, che viene liberata progressivamente (idealmente viene recuperata integralmente a fine progetto): quindi all’inizio mi aspetto segni negativi associati a questa voce, mentre alla fine segni positivi quando inserite dati sul CCN pensate bene a cosa state facendo e controllate che tutto abbia un senso economico La gestione errata del circolante è uno dei principali motivi di crisi/morte d’impresa: non si tratta solo di un problema di capital budgeting 4 Regole generali Effetto delle imposte sui flussi di cassa Occorre tenere conto di eventuali scudi fiscali (quindi vantaggi derivanti dal trattamento fiscale di alcune poste) Non confondete il rendimento medio con il rendimento marginale Progetti poco soddisfacenti nel passato potrebbero offrire interessanti opportunità, mentre ottimi progetti avviati in passato potrebbero essere giunti al capolinea Considerate tutti gli effetti collaterali Obsolescenza, cannibalizzazione, sinergie sono tutti effetti che possono influire sul valore complessivo del progetto Considerate i flussi di cassa successivi alle vendite! 5 Regole generali Dimenticate i costi sommersi (c.d. «sunk costs») Abbiamo speso negli scorsi anni tutti questi soldi per… Considerate i costi opportunità Verifichiamo sempre che quel che riteniamo «gratuito» non abbia un altro impiego profittevole: in quel caso si tratta di un costo opportunità Prestate attenzione all’allocazione dei costi comuni I costi comuni esistono sempre: qui dobbiamo considerare gli effetti incrementali del progetto Ricordatevi dei valori di realizzo (se ci sono) 6  Esempio 1 Una società sta valutando un nuovo progetto, per il quale negli scorsi due anni ha investito 15.000 Euro in studi di fattibilità. L’investimento iniziale previsto in attrezzature è stimato in 10.000 Euro; l’ammortamento avverrà in 6 anni a rate costanti Al termine della vita dell’impianto, lo stesso sarà ceduto per 1.949 Euro in virtù di un accordo con una società terza (all’anno 7) L’aliquota fiscale è del 27,5%; il tasso di sconto appropriato è pari al 20% Ricavi delle vendite, costi del venduto, altri costi generali e assorbimento di capitale circolante sono riportati di seguito 0 1 2 3 4 5 6 Vendite 523 12.887 32.610 48.901 35.834 19.717 Costo del venduto 837 7.729 19.552 29.345 21.492 11.830 Al tri costi 4.000 2.200 1.210 1.331 1.464 1.611 1.772 Capi tale circolante 550 1.289 3.261 4.890 3.583 2.002 7 Alcune indicazioni pratiche Facciamo ordine nei conti e… LINEA DEL TEMPO! Dovremo «aggiungere un anno» per tener conto degli effetti derivanti dalla dismissione degli impianti Calcoliamo EBIT e Utile + Ricavi dalle vendite - Costo del venduto - Altri costi + Altri proventi - Ammortamenti EBIT - Imposte UTILE Nel corso del modulo considereremo sempre l’impresa come finanziata solo da capitale di rischio (c.d. unlevered)!  Calcolo dell’utile 0 1 2 3 4 5 6 7 Vendite 523 12.887 32.610 48.901 35.834 19.717 Costo del venduto -837 -7.729 -19.552 -29.345 -21.492 -11.830 Altri costi e proven ti -4.000 -2.200 -1.210 -1.331 -1.464 -1.611 -1.772 1.949 Ammortamento -1.667 -1.667 -1.667 -1.667 -1.667 -1.667 EBI T -4.000 -4.181 2.281 10.060 16.425 11.064 4.448 1.949 Imposte (27,5%) 1.100 1.150 -627 -2.767 -4.517 -3.043 -1.223 -536 Utile -2.900 -3.031 1.654 7.294 11.908 8.021 3.225 1.413 9 Alcune note rilevanti Giunti a questo punto abbiamo una rappresentazione dell’utile, ma NON ancora del flusso di cassa. L’impresa infatti presenta: Un investimento considerevole che è stato solo ammortizzato Una dinamica classica di CCN, con assorbimento di risorse nei primi anni e progressivo «rilascio» di cassa Due domande rilevanti È corretto considerare i valori negativi di imposte (anni 0 e 1)? Gli studi di fattibilità condotti negli anni scorsi dove andrebbero inseriti nella nostra analisi? Se abbiamo effetti di cannibalizzazione, sinergie o altri costi opportunità possiamo inserirne le relative stime tra costi e ricavi previsti per il progetto 10  Calcolo del flusso di cassa e del VAN 0 1 2 3 4 5 6 7 Utile -2.900 -3.031 1.654 7.294 11.908 8.021 3.225 1.413 Ammortamento 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 Investimenti -10.000 Delta CCN -550 -739 -1.972 -1.629 1.307 1.581 2.002 Flusso di cassa -12.900 -1.914 2.582 6.989 11.946 10.995 6.473 3.415 Flussi attualizzati -12.900 -1.595 1.793 4.044 5.761 4.419 2.168 953 VAN 4.643 11 Suggerimenti pratici Ricordate di verificare SEMPRE i segni: spesso i costi sono indicati in valore assoluto (il segno non dovrebbe nemmeno servire… sono costi e devono entrare come tali nell’analisi!) Gli ammortamenti entrano due volte nell’analisi, con segno diverso: sono costi nel calcolo dell’utile, mentre successivamente vanno aggiunti per il calcolo del flusso di cassa Verificate di calcolare correttamente i delta CCN Di regola si parte con segni negativi e si finisce con segni positivi (o, più in generale, si inizia con un assorbimento di cassa e si finisce con un suo rilascio) La sommatoria della riga «Delta CCN» deve dare risultato pari a zero Ricordate di inserire l’investimento effettuato State alla larga dai costi affondati (nel nostro caso, i 15.000 Euro dello studio di fattibilità) 12 Esempio 2 Cisco sta valutando di avviare un progetto relativo a un innovativo hub wireless che gestisce le connessioni domestiche. Per lo studio di fattibilità ha già speso 300.000 Euro. Il prodotto dovrebbe avere un ciclo di vita di 4 anni; si stimano 100.000 unità vendute all’anno (dall’anno 1 all’anno 4). Il prezzo al dettaglio è di 375 Euro, quello all’ingrosso di 260 Euro. Serviranno 5 milioni di Euro per studio e progettazione dell’estetica del prodotto e del suo imballo. La produzione avverrà in outsourcing al costo di 110 Euro al pezzo. Il software che gestirà il prodotto richiederà un anno di lavoro di 50 ingegneri informatici (il cui stipendio è di 200.000 Euro l’anno). Serviranno anche nuove attrezzature per 7,5 milioni di Euro, ammortizzabili in 5 anni (dall’anno 1 all’anno 5). Le spese di marketing associate al prodotto sono stimabili in 2,8 milioni di Euro annui. Le imposte hanno un’aliquota fissa del 40% 13 Calcolo dell’utile (valori in migliaia di Euro) 0 1 2 3 4 5 Vendite 26.000 26.000 26.000 26.000 Costo d el venduto -11.000 -11.000 -11.000 -11.000 Altri costi e proven ti -15.000 -2.800 -2.800 -2.800 -2.800 Ammortamento -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 EBI T -15.000 10.700 10.700 10.700 10.700 -1.500 Imp oste (40%) 6.000 -4.280 -4.280 -4.280 -4.280 600 Utile -9.000 6.420 6.420 6.420 6.420 -900 14 Integrazioni al problema Cosa accadrebbe se il progetto richiedesse l’occupazione di magazzini/uffici che Cisco potrebbe affittare a 200.000 Euro l’anno (dall’anno 1 all’anno 4)? I benefici del progetto si ridurrebbero di 120.000 Euro all’anno (tenendo conto dell’effetto fiscale… provate a inserire il maggior costo tra altri costi e proventi nella tabella precedente!) Cisco ipotizza che il nuovo prodotto possa cannibalizzare le vendite di altri devices a catalogo: il 25% dei nuovi apparecchi in realtà deriva da acquirenti che avrebbero scelto il vecchio device (che aveva un prezzo di vendita di 100 Euro e un costo di produzione di 60 Euro). Avremo quindi Minori ricavi incrementali di 2,5 milioni di Euro (25.000 pezzi x 100 Euro) Minori costi incrementali di 1,5 milioni di Euro (25.000 pezzi x 60 Euro) 15 Calcolo dell’utile (valori in migliaia di Euro) 0 1 2 3 4 5 Vendite 23.500 23.500 23.500 23.500 Costo d el venduto -9.500 -9.500 -9.500 -9.500 Altri costi e proven ti -15.000 -3.000 -3.000 -3.000 -3.000 Ammortamento -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 -1.500 EBI T -15.000 9.500 9.500 9.500 9.500 -1.500 Imp oste (40%) 6.000 -3.800 -3.800 -3.800 -3.800 600 Utile -9.000 5.700 5.700 5.700 5.700 -900 16 Calcolo del flusso di cassa Prima di procedere oltre… abbiamo scordato i 300.000 Euro dello studio di fattibilità!!! In realtà no: perché? Per il calcolo del flusso di cassa ci servono 3 elementi Il recupero dell’ammortamento Il computo della spesa in attrezzature ammortizzate Le variazioni di CCN. Per questo progetto è previsto un assorbimento di cassa di 2,1 milioni di Euro all’anno 1, che si manterrà costante e verrà meno nell’anno 5. Siamo pronti per il calcolo! Utilizzeremo un tasso di rendimento atteso del 12% 17 Calcolo del flusso di cassa e del VAN 0 1 2 3 4 5 Utile -9.000 5.700 5.700 5.700 5.700 -900 Ammortamento 1.500 1.500 1.500 1.500 1.500 Investimenti -7.500 Delta CCN -2100 2.100 Flusso di cassa -16.500 5.100 7.200 7.200 7.200 2.700 Flussi attualizz ati -16.500 4.554 5.740 5.125 4.576 1.532 VAN 5.027 (valori in migliaia di Euro) 18 Note per l’applicazione a casi reali Punti cardine del processo stimare correttamente i flussi di cassa incrementali valutare eventuali «terminal values» (cioè valori che tengano conto di eventuali serie di flussi futuri difficili da valutare in modo puntuale) scegliere il corretto tasso di rendimento per lo sconto dei flussi di cassa Valutare la robustezza e la bontà delle stime effettuate: Analisi del break even point Utilizzata quando esiste incertezza circa un particolare input del processo di capital budgeting, oppure per calcolare il valore di ciascuna variabile che annulla il VAN Analisi di sensibilità Si scompone il VAN nelle sue componenti e si osserva come esso cambia al variare delle ipotesi sottostanti ogni componente (identificazione delle variabili critiche). Analisi per scenari È simile alla precedente ma anziché variare una sola ipotesi per volta si tiene conto del fatto che alcuni fattori possono contemporaneamente influenzare più variabili. 19 Cenni in tema di valutazione obbligazionaria BMAS – Capitolo 2 Titoli di debito I titoli di debito sono strumenti finanziari che conferiscono al possessore: Diritto al rimborso del capitale Diritto agli interessi (espliciti – cedole – o impliciti) Sovereign (Government) bonds vs corporate bonds Emittente e «forme tecniche del prestito» modificano le condizioni economiche dell’obbligazione che entrano nel calcolo del prezzo Il «Regolamento del prestito» è il documento che contiene le informazioni fondamentali circa le caratteristiche tecniche di ogni emissione 2 Titoli di debito VALORE NOMINALE È il valore facciale del titolo che corrisponde al rapporto tra l’importo del prestito ed il numero di certificati emessi. Per titoli rivolti alla clientela è spesso (ma non sempre) pari a 1.000 Euro VALORE DI MERCATO È il prezzo al quale il titolo viene acquistato o venduto sul mercato. Le obbligazioni in Borsa quotano in centesimi di Valore Nominale… Se il prezzo dell’obbligazione è 94,27 e il Valore Nominale è di 1.000 Euro, significa che per acquistarne una serve il 94,27% del Valore Nominale, cioè 942,7 Euro. Per convenzione: Prezzo < 100: il titolo quota «sotto la pari» Prezzo = 100: il titolo quota «alla pari» Prezzo > 100: il titolo quota «sopra la pari» Il prezzo è «finito»? Non sempre (ad esempio fiscalità, commissioni, ratei e titoli inflation linked) 3 Titoli di debito Caratteristiche comuni a tutti i prestiti: Tasso nominale Nullo (c.d. «zero coupon»), fisso, variabile Modalità di estinzione Ordinarie (unica soluzione, progressivo) Straordinarie (rimborso anticipato) Durata (diversa dalla scadenza… la durata è un periodo, la scadenza è una data!) Valore di rimborso (di regola «al valore nominale», ma non sempre Eventuali clausole ulteriori (es. subordinazione) Caratteristiche proprie dei prestiti ad elementi variabili Natura dei parametri di riferimento (finanziario, reale, …) Elementi (de)potenziatori 4 Tasso nominale e cedola Tasso nominale ≠ cedola Il tasso nominale è il tasso di interesse pagato al sottoscrittore e prefissato nel regolamento del prestito (nell’importo o nella modalità di calcolo) La cedola è la quota di tasso nominale che viene periodicamente corrisposta all’investitore Ad esempio nel caso del BTP viene pubblicato il tasso nominale annuo, ma poi la cedola viene pagata semestralmente, pertanto la somma che incassa l’investitore è pari al tasso nominale annuo diviso per due e moltiplicato per il valore nominale del titolo Tasso Numero di Valore CEDOLA = nominale : cedole pagate X nominale annuo in un anno deltitolo 5 Rendimento prezzo e tempo La formula utilizzata per calcolare lo sconto di flussi di cassa può essere utilizzata per calcolare il prezzo dei titoli di debito Al trascorrere del tempo (avvicinarsi della scadenza) il prezzo del titolo si avvicina al suo valore nominale Al variare del tasso di interesse di valutazione (TIR/TRES) varia anche il prezzo (di regola in direzione opposta); ovviamente la relazione vale anche al contrario… al variare del prezzo cambia il TIR/TRES 𝐹𝑙𝑢𝑠𝑠𝑖 𝑎𝑡𝑡𝑒𝑠𝑖 𝑃𝑟𝑒𝑧𝑧𝑜 = 1 + 𝑇𝑅𝐸𝑆 dove i flussi attesi sono cedole e rimborso del capitale 6 Rendimento prezzo e tempo Partiamo con un esempio semplice Un’obbligazione governativa paga cedole annuali (posticipate, cioè pagate alla fine dell’anno) del 5,4% e rimborsa il Valore Nominale di 1.000 Euro a scadenza. La durata è di 8 anni. Il rendimento effettivo di mercato per titoli di quel genere attualmente è del 4,6% annuo. A che prezzo verrebbe negoziata l’obbligazione sul mercato? Di seguito i valori in campo t 1 2 3 4 5 6 7 8 Flussi 54 54 54 54 54 54 54 1054 VA 51,63 49,35 47,18 45,11 43,13 41,23 39,42 735,51 7 Alcune osservazioni (e risposte) Stiamo considerando che il TRES sia il tasso di sconto corretto per ogni flusso in ogni anno… ma sappiamo che esiste una curva dei rendimenti per scadenza! (quindi stiamo semplificando i problemi) Il prezzo complessivo del titolo è dato dalla somma del prezzo delle sue singole parti (cedole e rimborso del capitale) L’ultimo flusso comprende sia cedola che capitale e il suo valore attuale ha un impatto considerevole sulla formazione del prezzo del titolo (nel nostro caso pesa per circa il 70%!) Il prezzo complessivo è pari a 1.052,55, quindi in Borsa quoterebbe a 105,26 Cosa accadrebbe se il rendimento passasse al 5,6%? E al 3,6%? Come potrei calcolare il rendimento effettivo se conoscessi tutti i dati del prestito e sapessi che il prezzo di mercato è pari a 112? spoiler alert: è quello che accade nella realtà quando i quotidiani calcolano il TRES dei titoli obbligazionari! 8 Duration e modified duration (o Vol%) Spesso le obbligazioni sono valutate osservandone alcuni parametri: Rating Rendimento effettivo Duration Volatilità Questi ultimi due parametri sono strettamente legati tra loro La duration è la durata media finanziaria di un titolo obbligazionario Per gli zero coupon è uguale alla vita residua, mentre per le obbligazioni con cedola è più bassa della vita residua La volatilità è ottenuta modificando la duration (in particolare si deve dividere la duration per «1+TRES») e rappresenta la variazione percentuale attesa del prezzo dell’obbligazione al variare di un punto percentuale del TRES. Non a caso si parla di modified duration Duration e Modified duration sono oggetto di una video-lezione a parte 9  Duration e Modified Duration Pricing delle obbligazioni Immaginiamo di essere in presenza di un soggetto che presta denaro a terzi; i rimborsi avverranno secondo il seguente schema: 10 euro il prossimo anno 10 euro tra due anni 10 euro tra tre anni 10 euro tra quattro anni NB: entrambi i flu ssi ven gono 100 euro tra quattro anni rimbor sati nell’ann o 4 Se il nostro soggetto desidera lucrare sui prestiti effettuati un interesse del 10% annuo (quindi il TRES è il 10%), quali saranno gli importi dei crediti erogati in data odierna? 2 Pricing delle obbligazioni 0 1 Anno Flusso di cassa atteso all’anno 1 Se tra un anno ric everà 10 Euro, oggi deve erogare un credit o che gli garant isc a un tas so di rendimento del 10%, Prezzo (da pagare oggi) Cre dito + 10% Cre dito = 10 Euro Cre dito (1 + 10%) = 10 Euro Cre dito = 10 Euro / (1 + 10%) = 9,09 Euro 3 Pricing delle obbligazioni 0 1 2 Anno Flussi di cassa attesi nei prossimi 2 periodi Prezzo (da pagare oggi) Il flusso di 10 euro che rie ntra tra due Cre dito (1 + 10%) (1 + 10%) = 10 Euro anni dov rà genera re il 10% di rendimento per entrambi i periodi Cre dito = 10 Euro / (1 + 10%)2 = Dov rà dunque aumentare lo “sconto” = 8,26 Euro 4 Pricing delle obbligazioni 0 1 2 3 Anno Flussi di cassa attesi nei prossimi per iodi Prezzo (da pagare oggi) Per il terzo anno vale: Cre dito = 10 Euro / (1 + 10%)3 = = 7,51 Euro 5 Pricing delle obbligazioni 0 1 2 3 4 Anno Flussi di cassa attesi nei prossimi per iodi Prezzo (da pagare oggi) 6 Pricing delle obbligazioni 0 1 2 3 4 Anno Flussi di cassa attesi nei prossi mi per iodi Prezzo (da pagare oggi) 7 Pricing delle obbligazioni Riepilogando Il primo flusso (10 €) oggi costa 9,09 € Il secondo flusso (10 €) oggi costa 8,26 € Il terzo flusso (10 €) oggi costa 7,51 € Il quarto flusso (10 €) oggi costa 6,83 € Il quinto flusso (100 €) oggi costa 68,3 € L’esborso totale è di circa 100 Euro Quindi il prestatore eroga oggi un totale di 100 Euro, che tuttavia sono la sommatoria dei valori attuali dei singoli flussi che incasserà In sostanza, «è come se facesse 5 investimenti contemporaneamente: uno a un anno, uno a due anni, uno a tre anni, due a quattro anni» 8 Pricing delle obbligazioni Cosa accadrebbe se il tasso di rendimento atteso fosse pari all’11%? Il primo flusso (10 €) oggi costerebbe 9,01 € Il secondo flusso (10 €) oggi costerebbe 8,12 € Il terzo flusso (10 €) oggi costerebbe 7,31 € Il quarto flusso (10 €) oggi costerebbe 6,59 € Il quinto flusso (100 €) oggi costerebbe 65,87 € L’esborso totale sarebbe di circa 96,9 Euro 9 Pricing delle obbligazioni E se il rendimento passasse al 9%? Il primo flusso (10 €) oggi costerebbe 9,17 € Il secondo flusso (10 €) oggi costerebbe 8,42 € Il terzo flusso (10 €) oggi costerebbe 7,72 € Il quarto flusso (10 €) oggi costerebbe 7,08 € Il quinto flusso (100 €) oggi costerebbe 70,84 € L’esborso totale sarebbe di circa 103,2 Euro 10 Relazione Prezzo Rendimento P 103,2 € 100 € 96,9 € 9% 10% 11% TRES 11 Relazione Prezzo Rendimento Dalla figura si osserva che i titoli che presentano tasso cedolare pari al TRES quotano «alla pari» (costano quanto il loro valore nominale) Non si tratta di un caso, ma di una regola generale… i titoli con cedola annua il cui rendimento è pari al tasso cedolare quotano alla pari Titoli che presentano tassi cedolari superiori al TRES quotano sopra la pari (viceversa quelli con TRES superiore al tasso cedolare quotano sotto la pari) Quindi un’obbligazione che paga una cedola annua del 6% e che ha un rendimento del 4% avrà sul mercato un prezzo maggiore di 100 (si ricordi che il prezzo delle obbligazioni è espresso in centesimi di valore nominale) 12 Duration e Modified duration Dalla figura precedentemente osservata si evince che una variazione del TRES di un punto percentuale fa variare il prezzo di circa il 3.1/3.2%: da cosa deriva questa sensibilità? La riposta, che forniremo tra poco è: «dalla duration modificata». Andiamo per gradi e partiamo dalla duration Se presto 5 euro a un amico per un anno, 5 euro a un altro amico per due anni e 5 euro a un terzo amico per tre anni, su che orizzonte temporale sto investendo i miei soldi? La duration fornisce una corretta risposta a tale quesito Nel caso in esame, la risposta sembrerebbe essere «in media, due anni» (5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3) / 15 = 2 5/15 x1 + 5/15 x 2 + 5/15 x 3 = 2 13 Duration Acquistando un titolo con cedole acquistiamo in sostanza una serie di pagamenti che vengono erogati nel tempo. Il ragionamento appena sviluppato può essere utilizzato con successo per il calcolo della durata media di investimento in titoli con cedola. Utilizziamo il primo esempio analizzato, riportandone le caratteristiche salienti: Durata: 4 anni V.N.: 100 Euro C: 10% annua TRES: 10% 14 Duration 0 1 2 3 4 Anno Flussi di cassa attesi nei prossimi per iodi (anni, semestri, mesi, …) Prezzo (da pagare oggi) 15 Un esempio numerico T Ft Ft x (1 + TRES)-t T x [F t x (1 + TRES)-t] 1 10 9.09 9.09 2 10 8.26 16.52 3 10 7.51 22.53 4 110 75.13 300.52 Totale 100 348.66 Duration (348.66 / 100) 3.4866 16 Un esempio numerico Quindi il Prezzo del titolo è di 100 Euro e la sua durata media finanziaria è di 3,48 anni (cioè circa 3 anni e 177 giorni). In pratica la duration è una media ponderata degli anni a scadenza, in cui il fattore di ponderazione è rappresentato dalla frazione di prezzo totale che è stata stanziata per ricevere i flussi di un determinato anno. n t ´ FC ´ (1+ Tres) - t D= å t t =1 P 17 Duration La duration è definita come “durata media finanziaria” di un titolo di debito; in sostanza è il suo “baricentro” in termini di durata. Si tratta di un orizzonte di investimento che per i titoli con cedole NON coincide con la vita residua del titolo (per gli zero coupon invece i due valori sono uguali) V.A. del r imborso del capitale V.A. delle cedole D 18 Un esempio numerico Utilizziamo un ulteriore titolo analizzato in precedenza, riportandone le caratteristiche salienti: Durata: 4 anni V.N.: 100 Euro C: 10% annua TRES: 11% 19 Un esempio numerico T Ft Ft x (1 + TRES)-t T x [F t x (1 + TRES)-t] 1 10 9.01 9.01 2 10 8.12 16.24 3 10 7.31 21.93 4 110 72.46 289.84 Totale 96.9 337.02 Duration (337.02 / 96.9) 3.478 20 Duration e caratteristiche del titolo Periodicità Tasso cedolare Rendimento Vita residua Duration cedola                     21 Modified Duration Sappiamo calcolare la duration ma non abbiamo ancora risposto alla domanda da cui eravamo partiti… perché la nostra obbligazione varia del 3.1/3.2% al variare del TRES? La duration modificata risponde proprio a questa domanda In termini più formali ci indica… la variazione percentuale attesa del prezzo di un’obbligazione a fronte di una variazione dei tassi di rendimento di un punto percentuale Ecco perché è conosciuta e riportata nei quotidiani con il nome Volatilità % D MD  (1  TRES ) 22 Duration e modified duration n t ´ FC ´ (1+ Tres) - t D= å t t =1 P P D   TRES P (1  TRES ) DP  - MD  DTRES P 23 Un esempio numerico Notate che nella formula precedente c’è un segno meno davanti alla MD; questo per ricordarci che i prezzi si muovono di regola al contrario dei tassi Se il TRES aumenta, il Prezzo diminuisce: il segno meno ci ricorda questo aspetto fondamentale! Utilizziamo ore il primo titolo analizzato, riportandone le caratteristiche salienti: Durata: 4 anni V.N.: 100 Euro C: 10% annua TRES: 10% D = 3,4866 MD = 3,4866 / (1 + 10%) = 3,17 24 Un esempio numerico Dunque le attese di variazione del prezzo del titolo sono pari a: + 3,17% (da 100 a 103,17) a fronte di una riduzione di un punto percentuale del TRES (da 10% a 9%) - 3,17% (da 100 a 96,83) a fronte di un aumento di un punto percentuale del TRES (da 10% a 11%) La variazione attesa è proporzionale alla variazione dei tassi di rendimento; dunque per una variazione di mezzo punto nel TRES, la variazione attesa del prezzo del titolo sarà pari a 1,58% mentre per una variazione di due punti del TRES il prezzo dovrebbe modificarsi del 6,34% NB: se si osserva con attenzione, si nota che il prezzo atteso a fronte della variazione del TRES è leggermente diverso da quello che avevamo calcolato con precisione in precedenza. Tale errore prende il nome di “convessità” ed è caratteristico della funzione prezzo-rendimento 25 Un esempio reale Il Sole 24 Ore in passato riportava i dati di Duration e Vol% Nel 2017 per un BTP ventennale si osservavano i seguenti dati: BTP 1.2.2037 Duration*: 17,125 TRES Netto: 4,29 % Applicando la regola otteniamo che MD = 17,3425 / (1 + 0,0429) = 16,63 Tale valore veniva riportato dal Sole24Ore con il nome di Vol% *: Di r egola la duration veniva riportata dal Sole 24 Ore in «Ann i, giorn i». Per calcolare la Vol% que sta co nve nzio ne andava tr asformata in numero (An ni, frazioni di anno). Un valore di 2,181 giorn i ad esempio and ava convertito in 2,5 per poter pro ced ere co n il calcolo 26 Un esempio Cosa significa questo ? In pratica che per ogni 1% di variazione dei tassi di rendimento il nostro titolo subirà variazioni circa del 16,63 % Se dunque i tassi aumentassero dello 0,25% ci si attenderebbe un ribasso nel prezzo del titolo di circa il 4,16 % In realtà la stima della variazione di prezzo può portare ad errori a causa di Inefficienze di mercato Convessità elevata della funzione che lega prezzo e rendimento L’effetto convessità può essere “trascurato” in presenza di limitate variazioni nei tassi di interesse 27  Un esempio P - MD +C -4.16% Pre zzo di partenza Pre zzo fin ale reale Pre zzo fin ale atteso +0,2 5% TRES 28  Un esempio +C + MD P +4.1 6% Pre zzo di partenza Pre zzo fin ale reale Pre zzo fin ale atteso -0,25% TRES 29 Cenni in tema di valutazione azionaria BMAS – Capitolo 5 Note introduttive Azione ordinaria: quota del capitale sociale di una società di capitale. Mercato primario: mercato nel quale vengono emesse le azioni Mercato secondario: mercato nel quale gli investitori negoziano i titoli già emessi. Quanto vale un’azione di una società? Una risposta semplice potrebbe venire dal bilancio: prendiamo il totale dell’attivo e sottraiamo l’indebitamento Questo valore viene definito «Valore contabile del capitale netto» (equity) Si tratta di un riferimento utile per definire il «Valore di liquidazione», cioè il valore che risulterebbe se fossero vendute tutte le sue attività ed estinte tutte le sue passività. Non sembra invece un buon metodo per la valutazione di un’azienda in buona salute e in funzionamento, perché appare più opportuno un approccio forward looking 2 Imprese comparabili Un metodo classico di valutazione è quello delle «imprese comparabili» (comparables), cioè imprese simili a quella oggetto di analisi Una volta definito il campione, si costruiscono diversi indicatori che di regola mettono in relazione una grandezza di bilancio con il valore di mercato delle società (o altri aggregati) Prezzo/utili o price earnings Dividendo/prezzo o dividend yield Prezzo/valore contabile o price book value A questo punto si calcola il posizionamento della società nel campione (spesso usando una media degli indicatori espressi da ogni comparable) La scelta di campione e indicatori è sempre (almeno in parte) soggettiva: è un metodo rapido, ma non molto robusto Alcuni indicatori sono molto noti (ad esempio il P/U), ma richiedono molta attenzione per le loro vulnerabilità (vedi ad esempio pag. 124) 3 Modello di sconto dei dividendi Abbiamo valutato le obbligazioni scontando opportunamente i flussi futuri che generano Questo stesso approccio è valido anche per le azioni: qui però i flussi attesi sono più aleatori! Ciò in buona parte contribuisce a spiegare la maggior volatilità delle azioni Quando acquistiamo un’azione cosa pensiamo di ricavarne? Dividendi (cioè distribuzioni dell’utile conseguito: la percentuale di utile distribuito è detta «payout ratio») Capital gain (cioè un prezzo di vendita superiore a quello di acquisto) 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 − 𝑃 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑃 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 𝑃 = 1+𝑟 4 Modello di sconto dei dividendi Nella formula precedente P1 è ipotizzato essere un valore noto (sappiamo a che prezzo rivenderemo la nostra azione) r è il tasso di rendimento atteso appropriato (cioè il tasso di rendimento «adatto» a quel tipo di investimento) Se P1 non è noto, possiamo comunque ricavarlo: 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 𝑃 = 1+𝑟 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 𝑃 = 1+𝑟 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 𝑃 = 1+𝑟 5 Modello di sconto dei dividendi L’esercizio può essere ripetuto all’infinito: ne deriva che 𝐷𝐼𝑉 𝐷𝐼𝑉 𝐷𝐼𝑉 𝐷𝐼𝑉 𝐷𝐼𝑉 𝐷𝐼𝑉 + 𝑃 𝑃 = + + + + + ⋯+ 1+𝑟 1+𝑟 1+𝑟 1+𝑟 1+𝑟 1+𝑟 𝐷𝐼𝑉 𝑃 𝑃 = + 1+𝑟 1+𝑟 dove il secondo addendo tende a 0 per n che tende all’infinito Discounted cash flow model: 𝐷𝐼𝑉 𝑃 = 1+𝑟 6 Modello di sconto dei dividendi La formula precedente può essere generalizzata tenendo conto anche di potenziali ricorrenze: se i dividendi attesi sono costanti (o variano a un tasso costante) si possono usare le formule delle rendite perpetue 𝐷𝐼𝑉 𝑃 = 𝑟−𝑔 Questa equazione è nota anche come «modello di crescita di Gordon» o «Gordon growth model» Da cosa dipende g? Dalla quantità di utili trattenuti (tasso di reinvestimento degli utili, calcolabile come 1-payout ratio) Dal rendimento del reinvestimento degli stessi (ROE) Vedere esempio a pag.115 Attenzione: un tasso di crescita «all’infinito» deve avere un valore sensato! 7 Prezzo e utili Growth stocks vs Income stocks Ipotizziamo che una società non trattenga utili (attenzione alle formule! In questo caso payout ratio = 1, quindi 𝑫𝑰𝑽𝟏 = 𝑬𝑷𝑺𝟏) 𝐷𝐼𝑉 𝐸𝑃𝑆 𝑃 = = 𝑟 𝑟 Si tratta di una società che non cresce: è una rendita perpetua a rata costante! Se la società trattiene una parte degli utili e li reinveste, la relazione cambia 𝐸𝑃𝑆 𝑃 = + 𝑉𝐴𝑂𝐶 𝑟 dove VAOC è il valore attuale delle opportunità di crescita, che in sostanza è il valore attuale dei frutti incrementali generati dai progetti finanziati con gli utili (vedi esempio a pagg. 120-121 e l’esercizio sul calcolo del VAOC nella cartella «Esercizi» su Blackboard) Le growth stocks sono quelle per le quali VAOC è una componente chiave del prezzo! 8 Alcuni dati di mercato Prospetto di quotazione GEOX Sole 24 Ore, Finanza e Mercati, 17/11/2023 Analyst report sul titolo Ferrari 10 11 12 13  Il rapporto rendimento-rischio BMAS – Capitoli 9-10 Si consiglia la lettura dei due capitoli! Note preliminari «Abbiamo attraversato sette capitoli senza affrontare direttamente il tema del rischio […]» Consideriamo 3 portafogli: Buoni del Tesoro a breve termine Titoli governativi a lungo termine Un portafoglio azionario Anche nel caso dei titoli a breve termine vi è un rischio derivante dall’inflazione L’uso di serie storiche di lungo periodo «corregge» errori derivanti da fluttuazioni periodiche dei mercati 2  Premio al rischio Premio medio per il Tasso medio Tasso medio di rischio nominale Portafoglio di rendimento rendimento (extra-rendimento (nominale) annuo (reale) rispetto al Titolo di Stato a breve termine) Titolo di Stato a breve termine 3,8% 0,9% 0 Titolo di Stato a lungo termine 5,3% 2,5% 1,5% Azioni 11,5% 8,4% 7,7% 3 Rendimento atteso È bene utilizzare il valore di 11,5% come previsione di rendimento dell’azionario? Nel lungo termine probabilmente sì; nel breve è più sensato usare solo il premio offerto sul tasso a breve termine Quindi per il calcolo del rendimento atteso sul mercato azionario si userebbe la formula 𝒓𝒎 = 𝒓𝒇 + 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍𝒆 𝒑𝒆𝒓 𝒊𝒍 𝒓𝒊𝒔𝒄𝒉𝒊𝒐 = 𝑟 + 7,7% Al variare del tasso a breve termine (ipotizzato essere un tasso senza rischi o risk free, da cui 𝑟 ), si adeguerà il risultato Questi risultati non sono banali: ci consentono di disporre di tassi di sconto per progetti che hanno rischio pari a 𝑟 o al rendimento medio di mercato. Ma in tutti gli altri casi? 4 Rendimento e rischio atteso Distribuzione di probabilità Quando un investimento è rischioso, sono diversi i rendimenti che si potranno ottenere; ogni possibile rendimento ha una probabilità di verificarsi Si riassume quest’informazione in una distribuzione di probabilità che assegna una probabilità p(R) a ogni possibile rendimento R futuro Market condition Rij p(Rij) Buone 15% 33,3% Medie 9% 33,3% Scarse 3% 33,3% 5 Rendimento e rischio atteso Rendimento atteso Media ponderata dei possibili rendimenti, dove i pesi corrispondono alle probabilità Varianza Media degli scarti al quadrato dal rendimento atteso Deviazione standard (volatilità) Calcolata come radice quadrata della varianza Ha la scala corretta per essere confrontata con il rendimento Ricordiamoci che è una misura «simmetrica»!Non è necessariamente coincidente con il concetto di rischio percepito da un investitore, che di regola è più preoccupato di registrare perdite di quanto non lo sia di ottenere guadagni. 6 Una misura di dispersione Market condition Asset 1 Asset 2 Asset 3 Buone 15 16 1 Medie 9 10 10 Scarse 3 4 19 Rendimento medio 9 10 10 Varianza 24 24 54 Standard deviation 4,9 4,9 7,35 7 Calcoli e formule Per l’Asset 1 Rendimento atteso 15 + 9 + 3 𝑅 = 𝑃 𝑥𝑅 = =9 3 Varianza (15 − 9) +(9 − 9) +(3 − 9) 𝜎 = 𝑃 (𝑅 − 𝑅 ) = = 24 3 Standard deviation 𝜎 = 𝑃 (𝑅 − 𝑅 ) = 24 = 4,9 con Pi j = probabil ità associ ata al l’event o j per il titolo i Ri j = rendimento associato al l’event o j per il titolo i 8 Rendimento e rischio atteso 9  Rendimento e rischio atteso Le azioni di grandi imprese Le azioni tendono ad avere tendono ad avere volatilità rischio più elevato e rendimenti inferiore a quella di piccole inferiori ai portafogli di grandi imprese dimensioni 10 Diversificazione Perché i portafogli di grandi dimensioni sono preferibili? Per l’agire di effetti di diversificazione Rischio specifico (DIVERSIFICABILE) Notizie specifiche sull’impresa Tanti rischi specifici indipendenti tra loro tendono a compensarsi Rischio sistematico (NON DIVERSIFICABILE) Notizie riguardanti il mercato, che hanno ripercussioni su tutte le azioni, anche se in minore o maggiore misura Portafogli di investimento Quando si inseriscono molte azioni in un portafoglio di grandi dimensioni, il rischio specifico dell’impresa per ogni azione si compensa e viene diversificato (annullato) Il rischio sistematico, invece, avrà ripercussioni su tutte le imprese e non sarà diversificato 11 Effetto della diversificazione Le imprese sono interessate sia da rischi sistematici che specifici. Solo il rischio specifico può essere diversificato combinando azioni di molte imprese in un portafoglio. La volatilità di portafoglio di conseguenza scenderà fino a quando resterà solamente il rischio sistematico 12 Premio al rischio Il premio per un rischio diversificabile è nullo, perciò gli investitori non sono compensati per il rischio specifico dell’impresa Dato che gli investitori possono eliminare il rischio specifico “gratuitamente” diversificando i loro portafogli, non necessitano di una ricompensa o di un premio per questo rischio Il premio per il rischio di un titolo è determinato dal suo rischio sistematico e non dipende dal suo rischio diversificabile Questo comporta che la volatilità di un’azione, che è una misura del rischio totale (rischio sistematico più rischio diversificabile), non è molto utile per determinare il premio per il rischio di un singolo titolo. Va bene solo per i grandi portafogli Comprendere pienamente quest’ultima frase rappresenta l’apice del corso È necessario trovare una misura per il solo rischio sistematico La misura convenzionalmente adottata è il beta (β) 13 Premio al rischio Per determinare quanto il rendimento di un’azione sia sensibile al rischio sistematico, si può osservare il cambiamento (medio) del rendimento dell’azione per ogni 1% di cambiamento nel rischio sistematico (cioè nel rendimento di un portafoglio che subisce fluttuazioni dovute solamente al rischio sistematico) Però bisogna trovare questo portafoglio! Portafoglio di mercato Un portafoglio efficiente che contiene tutte le possibili azioni e i titoli sul mercato L’indice rappresentativo del mercato (es. FTSEMIB o S&P500) è spesso usato come proxy del portafoglio di mercato poiché si presume che sia sufficientemente grande per essere davvero diversificato Il calcolo di questa sensibilità (β) può avvenire in due modi: il primo è gestibile con Excel, avendo a disposizione i dati di rendimento di titolo e mercato di riferimento 14 Beta 15 Beta Il Beta (β) rappresenta la sensibilità di un titolo al rischio sistematico La variazione percentuale attesa del rendimento in eccesso di un titolo per una variazione dell’1% del rendimento in eccesso del portafoglio di mercato Quindi se β=1 mi aspetto una variazione del titolo analoga a quella del mercato (titolo detto «neutrale»); se maggiore di 1 il titolo si dice «aggressivo»; se minore di 1 si dice «difensivo» Il beta è diverso dalla volatilità. Quest’ultima misura il rischio totale (rischio sistematico e non sistematico), mentre il beta misura soltanto il rischio sistematico Il beta di un titolo è in relazione alla sensibilità di fatturato e flussi di cassa alle condizioni globali dell’economia Le azioni di settori ciclici sono tendenzialmente più sensibili ai rischi sistematici e presentano beta maggiori rispetto alle azioni di settori meno sensibili 16  Beta Il secondo metodo è statistico/matematico 𝜎 𝛽 = 𝜎 Mese Rendimento del Rendimento Scarto dal Scarto dal Scarto quadratico Prodotto degli mercato azione rendimento rendimento del rendimento scarti dai medio di mercato medio dell’azione medio di mercato rendimenti medi 1 -8 -11 -10 -13 100 130 2 4 8 2 6 4 12 3 12 19 10 17 100 170 4 -6 -13 -8 -15 64 120 5 2 3 0 1 0 0 6 8 6 6 4 36 24 Media 2 2 Totale 304 456 17 Beta Per il titolo esaminato avremmo Varianza del mercato 304 / 6 = 50,67 Covarianza titolo-mercato 456 / 6 = 76 Beta del titolo 76 / 50,67 = 1,5 Allo stesso risultato è possibile giungere per via grafica Provate a impostare in Excel i numeri della tavola precedente, scegliete un grafico a dispersione di punti e chiedete di inserire una linea di tendenza lineare, completa di equazione 18 Frontiera Efficiente e CAPM BMAS – Capitoli 9-10 Si consiglia la lettura dei due capitoli! Note di riepilogo del blocco precedente Ciò che rende rischioso un investimento è la dispersione dei risultati possibili La misura più diffusa di questa dispersione è la deviazione standard Il rischio di una singola attività è separabile in due componenti: Rischio specifico Rischio sistematico Il rischio specifico è eliminabile attraverso la diversificazione Il rischio di un portafoglio ben diversificato è solo quello sistematico Il contributo di una singola azione al rischio di portafoglio dipende quindi dal suo grado di rischio sistematico (la sua reattività alle variazioni del mercato) Il parametro corretto per misurare questo rischio è il beta 2 Dai singoli titoli ai portafogli Ma come avviene il processo di diversificazione? Ipotizziamo di avere a disposizione i seguenti titoli PERIODO ASSET 1 ASSET 2 1 2 15 Rendimenti periodali 2 6 10 3 10 -1 Rendimento medio 6 8 Deviazione Standard 3,266 6,683 Che dati di rendimento e volatilità avrebbe un portafoglio composto in parti uguali dai due titoli? 3 Rendimento e rischio atteso Una risposta sbrigativa (e generalmente errata!) potrebbe essere «un rendimento pari alla media dei rendimenti dei due titoli e un rischio pari alla media dei rischi dei due titoli» (quindi rispettivamente 7 e 4,98 circa) 50% Asset 1 PERIODO ASSET 1 ASSET 2 50% Asset 2 1 2 15 8,5 Rendimenti periodali 2 6 10 8 3 10 -1 4,5 Rendimento medio 6 8 7 Deviazione Standard 3,266 6,683 1,780 Come si vede dai numeri, il rendimento è effettivamente di 7, ma il rischio è significativamente inferiore. La ragione va ricercata nel comportamento dei due titoli (covarianza/correlazione… ecco come agisce la famosa DIVERSIFICAZIONE!)) 4 Rendimento e rischio atteso di portafoglio Rendimento atteso di portafoglio È la media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli titoli, dove i fattori di ponderazione corrispondono al peso percentuale del titolo in portafoglio Varianza di portafoglio È un valore che prende in considerazione sia il rischio dei titoli in portafoglio, sia la loro relazione (covarianza oppure correlazione) 𝜎 = 𝑋 𝜎 + 𝑋 𝜎 + 2𝑋 𝑋 𝜎 Con X1 e X2 pari ai pesi percentuali dei titoli 1 e 2 in portafoglio e 𝜎 12 pari alla covarianza tra i due titoli 5  Derivazione della formula del rischio di portafoglio con due titoli a disposizione 𝜎 = 𝐸(𝑅 − 𝑅 ) con E = expected, cioè valore atteso (media) 𝜎 = 𝐸 𝑋 𝑅 + 𝑋 𝑅 − (𝑋 𝑅 + 𝑋 𝑅 ) 𝜎 = 𝐸 𝑋 (𝑅 − 𝑅 ) + 𝑋 (𝑅 − 𝑅 ) 𝜎 = 𝐸 𝑋 (𝑅 − 𝑅 ) +2𝑋 𝑋 𝑅 − 𝑅 𝑅 −𝑅 + 𝑋 (𝑅 − 𝑅 ) 𝜎 = 𝑋 𝜎 + 2𝑋 𝑋 𝜎 +𝑋 𝜎 6  Una misura di dispersione Prodotto degli PERIODO ASSET 1 ASSET 2 Scarti ASS ET 1 Scarti ASS ET 2 scarti 1 2 15 -4 +7 - 28 Rendimenti periodali 2 6 10 0 +2 0 3 10 -1 +4 -9 - 36 Rendimento medio 6 8 Somma - 64 Deviazione Standard 3,266 6,683 Covarianza - 21,33 𝜎 = 𝑋 𝜎 + 𝑋 𝜎 + 2𝑋 𝑋 𝜎 𝜎 = 0,5 ⋅ 3,266 + 0,5 ⋅ 6,683 +2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ (− 21,33) = 3,167 𝜎 = 𝜎 = 3,167 =1,780 7 Covarianza e correlazione Ricordiamo che 𝜎 𝜌 = 𝜎 ⋅𝜎 Più la correlazione è bassa (meglio ancora se negativa), più avrò benefici da diversificazione! Nel nostro caso , 𝜌 = , ⋅ , = - 0,977 La correlazione è vicina al suo minimo: ecco perché riusciamo ad abbattere così tanto il rischio! 8 Beta e correlazione Attenzione… 𝜎 𝛽 = 𝜎 𝜎 𝜌 = 𝜎 ⋅𝜎 Beta e correlazione presentano formule simili, ma non identiche!!! Beta può assumere qualsiasi valore La correlazione ha un campo di esistenza compreso tra -1 e +1, estremi compresi 9  Una misura di dispersione Quale sarebbe il rischio di portafoglio se i pesi cambiassero in: 70% ASSET 1; 30% ASSET 2? 𝜎 = 𝑋 𝜎 + 𝑋 𝜎 + 2𝑋 𝑋 𝜎 𝜎 = 0,7 ⋅ 3,266 + 0,3 ⋅ 6,683 +2 ⋅ 0,7 ⋅ 0,3 ⋅ (− 21,33) = 0,288 𝜎 = 𝜎 = 0,288 =0,536 Il rischio si avvicina a zero! Ciò si verifica perché la correlazione tra le due attività è vicina al minimo di -1 10  Invertiamo i rendimenti dell’ASSET 2 Prodotto degli PERIODO ASSET 1 ASSET 2 Scarti ASS ET 1 Scarti ASS ET 2 scarti 1 2 -1 -4 -9 + 36 Rendimenti 2 6 10 0 +2 0 periodali 3 10 15 +4 +7 + 28 Rendimento medio 6 8 Somma + 64 Deviazione 3,266 6,683 Covarianza + 21,33 Standard 𝜎 = 𝑋 𝜎 + 𝑋 𝜎 + 2𝑋 𝑋 𝜎 𝜎 = 0,5 ⋅ 3,266 + 0,5 ⋅ 6,683 +2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 21,33 = 24,497 𝜎 = 𝜎 = 3,167 = 4,95 In questo caso la contrazione del rischio è minima La correlazione molto elevata non consente grandi benefici! Se la correlazione diventasse pari a +1 non avremmo più alcun beneficio: 11 il rischio di portafoglio sarebbe la semplice media dei rischi Portafogli efficienti Combinando in vario modo le attività finanziarie che abbiamo a disposizione otterremo portafogli con un diverso rendimento e rischio atteso Tutti gli operatori sceglieranno i portafogli che alla fine del processo Forniranno maggiori rendimenti a parità di rischio Forniranno minor rischio a parità di rendimento Chiamiamo questi portafogli «efficienti» poiché ottimizzano il rapporto rendimento/rischio: essi formano una frontiera 12 Capital Asset Pricing Model (CAPM) Come dicevamo nel precedente blocco di slides, visto che il rischio specifico è diversificabile, quando esaminiamo una singola attività di investimento siamo interessati solo al suo rischio sistematico Sharpe, Lintner e Treynor hanno fornito una formula sintetica e di facile utilizzo per tradurre il rischio sistematico in rendimento atteso Il modello sviluppato (Capital Asset Pricing Model o CAPM) è uno dei pilastri fondamentali della finanza moderna 𝑅 −𝑅 =𝛽 𝑅 −𝑅 𝑹𝒊 = 𝑹𝒇 + 𝜷𝒊 𝑹𝒎 − 𝑹𝒇 La formula consente di associare un rendimento a ogni attività/progetto, basandosi sul beta che lo caratterizza La formula ricalca l’impostazione dell’equazione contenuta nella slide 4 del blocco precedente 13 Capital Asset Pricing Model (CAPM) Un’azione presenta un beta pari a 2,4; se il tasso privo di rischio è pari al 2% e il premio al rischio di mercato (quindi Rm- Rf) è pari al 4,3%, quale sarà il rendimento atteso dell’azione? 𝑹𝒊 = 𝑹𝒇 + 𝜷𝒊 𝑹𝒎 − 𝑹𝒇 𝑹𝒊 = 𝟐% + 𝟐, 𝟒 ⋅ 𝟒, 𝟑% = 𝟏𝟐, 𝟑𝟐% Un’azione con un beta pari a 1 renderebbe come il mercato stesso (nota: se il premio al rischio di mercato Rm- Rf = 4,3% allora Rm= Rf + 4,3%=6,3%) 𝑹𝒊 = 𝟐% + 𝟏 ⋅ 𝟒, 𝟑% = 𝟔, 𝟑% Un titolo con beta pari a 0 (come ad esempio i Titoli di Stato) renderebbe come un titolo risk free… non a caso! 𝑹𝒊 = 𝟐% + 𝟎 ⋅ 𝟒, 𝟑% = 𝟐% 14 Security market line (SML) R Rm Rf 1 𝛽 15