TdO_LAB_04 (2) PDF - Laboratorio Minimi Quadrati e Test - AA 2024/2025

AA 2024/2025 Trattamento delle Osservazioni LABORATORIO 04 – Minimi Quadrati e Test Livello Medio Marino Altimetria satellitare I dati rappresentano la variazione del livello medio marino globale e sono forniti dalla NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration...

AA 2024/2025 Trattamento delle Osservazioni LABORATORIO 04 – Minimi Quadrati e Test Livello Medio Marino Altimetria satellitare I dati rappresentano la variazione del livello medio marino globale e sono forniti dalla NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) tramite il loro portale. https://www.noaa.gov La misurazione del su scala globale si avvale dell'altimetria satellitare, la quale consiste in satelliti equipaggiati con altimetri radar e/o laser. Questi dispositivi emettono onde che, al contatto con la superficie oceanica, vengono riflesse verso il satellite. Il tempo impiegato dal segnale radar per ritornare al satellite viene utilizzato per calcolare la distanza tra il satellite e la superficie oceanica in una specifica località. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 1/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Dati Come conseguenza del riscaldamento del pianeta, la superficie degli oceani si sta alzando. L'acqua si espande quando si riscalda e lo scioglimento delle calotte di ghiaccio e dei ghiacciai sulla terraferma aggiunge acqua agli oceani. Dal 1992, i radar altimetri satellitari sulla serie di satelliti TOPEX e Jason effettuano misurazioni per monitorare il livello medio globale del mare. Le misurazioni vengono continuamente verificate con una rete di mareografi. https://www.star.nesdis.noaa.gov/socd/lsa/SeaLevelRise/LSA_SLR_timeseries.php Sono scelti i dati relativi alla misurazione della variazione del livello medio marino globale, ai quali è già stato rimosso il trend stagionale (non lineare). | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 2/12 Roberto Monti, Lorenzo Amici File.csv data (anno) satelliti È ottenuto un file.csv contenente le meanGlobal_seaLevel.csv variazioni del livello medio marino, ottenute tramite quattro differenti satelliti. Ogni satellite copre solamente una parte del periodo di osservazione; una volta a termine missione viene sostituito da un altro. Le misurazioni altimetriche sono espresse in millimetri [mm], mentre le date sono in anni (parte intera) e frazione dell’anno (parte decimale, = giorno/365). | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 3/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 1. IMPORT DEI DATI Importare in MATLAB i dati contenuti nel file meanGlobal_seaLevel.csv riferiti alla variazione del livello medio marino globale, dall’anno 1992. Comprendere il significato di ciascuna colonna del file appena importato. Comando MATLAB: - readmatrix | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 4/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 2. PREPARAZIONE DEI DATI Creare due vettori: - uno contente i giorni in cui sono misurati i dati (prima colonna del file); - uno contenente la variazione altimetrica media. Nel caso in cui vi siano più osservazioni per la stessa data (ossia più satelliti hanno effettuato una misurazione lo stesso giorno) calcolare la variazione altimetrica come media delle osservazioni presenti alla stessa data. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 5/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 3. GRAFICO DELLA VARIAZIONE DEL LIVELLO MARINO Plottare i dati precedentemente importati e manipolati nel grafico per voi più opportuno (es. plot, scatterplot, …). Extra: plottare ogni osservazione con un colore diverso in base al satellite che la ha effettuata. Comandi MATLAB: - plot/scatter (per creare un grafico) - xlabel, ylabel, title (per il nome degli assi e il titolo) - legend (per mostrare la legenda dei colori associati ai vari satelliti) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 6/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 4a. IMPOSTAZIONE MINIMI QUADRATI Impostare il problema ai minimi quadrati andando a definire modello deterministico e modello stocastico. 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝑎 𝑦!" 𝑦! = 𝑦!# ⋮ Vogliamo stimare i parametri di un modello lineare che descrive la variazione altimetrica media del livello del mare. Quindi, i parametri da stimare saranno: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞 → 𝑚, , 𝑞. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 7/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 4b. MODELLO DETERMINISTICO Modello deterministico: definire la matrice disegno 𝐴, il vettore dei termini noti 𝑎, il numero di osservazioni 𝑛, il numero di incognite 𝑚 e il vettore delle osservazioni 𝑦!. coef4icienti parametro m coef4icienti parametro q 𝐴= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ? 𝑎= ? ci sono termini noti? ⋮ 𝑛 e 𝑚 possono essere ricavati dalle dimensioni della matrice disegno A. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 8/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 4c. MODELLO STOCASTICO Modello stocastico: definire la matrice di covarianza delle osservazioni 𝐶$! $! , la matrice dei cofattori 𝑄 e il coefficiente di proporzionalità a priori 𝜎!#. Considerare tutte le osservazioni come indipendenti e di ugual precisione pari a 4mm (per informazioni sulla provenienza di questo valore, vedere: https://www.star.nesdis.noaa.gov/socd/lsa/SeaLevelRise/). 𝐶$! $! = 𝜎!# 𝑄 Ricordatevi, nel caso di una varianza comune a tutte le osservazioni, che quel valore viene posto a fattor comune fuori dalla matrice dei cofattori 𝑄 (diventando quindi il valore di 𝜎!# ). | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 9/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 5. SOLUZIONE MINIMI QUADRATI Risolvere il sistema ai minimi quadrati calcolando tutte le possibili quantità stimabili. 1. Matrice normale (N): 𝑁 = 𝐴% 𝑄&" 𝐴.. 𝑥. = 𝐴% 𝑄&" 𝐴 &" 𝐴% 𝑄&" 𝑦! − 𝑎. 2. Vettore dei parametri stimati (𝑥): 3. Vettore delle stime delle osservazioni (𝑦):. 𝑦. = 𝐴𝑥. + 𝑎. 4. Vettore delle stime degli scarti (𝑣):. 𝑣. = 𝑦! − 𝑦.. ('" ) #$ (* 5. Fattore di proporzionalità a-posteriori (𝜎.!# ): 𝜎.!# =. +&, 6. Matrice di covarianza dei parametri (𝐶!𝑿! , [m x m]): 𝐶! 𝑿 ! =𝜎 $#$𝑁 %&. 7. Matrice di covarianza delle osservazioni (𝐶! !𝒀, [n x n]): 𝐶! !𝒀 = 𝜎$#$ 𝐴𝑁 %& 𝐴). 8. Matrice di covarianza degli scarti (𝐶! !𝑽, [n x n]): 𝐶! !𝑽 = 𝜎$#$ [𝑄 − 𝐴𝑁 %& 𝐴) ]. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 10/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 6. GRAFICO DELLA PREDIZIONE Plottare sullo stesso grafico i dati utilizzati come osservazioni per il problema ai minimi quadrati e i valori predetti dal modello lineare ai MQ per la stima della variazione del livello medio marino. Comandi MATLAB: - plot/scatter (per creare un grafico) - xlabel, ylabel, legend, title (per il nome degli assi, la legenda e il titolo) - colorbar (per mostrare la legenda dei colori associati ai vari satelliti) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 11/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 7a. TEST GLOBALE SUL MODELLO χ2 Test globale sul modello χ2: testare la capacità (statistica) del modello di descrivere il fenomeno osservato. Se il test è soddisfatto significa che il fenomeno è statisticamente descritto dal modello lineare scelto. Altrimenti, le possibilità sono due: - il modello scelto non è corretto (es. non c’è una relazione lineare). - sono presenti degli outliers (osservazioni anomale) che devono essere rimossi. Effettuare un test globale sul modello ai minimi quadrati, considerando un livello di significatività alpha = 5%. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 12/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 7b. TEST GLOBALE SUL MODELLO χ2 Ipotesi H0: 𝜎!# = 𝜎.!# Statistica test: # < 𝜒# 𝜒-.. /0, # ΣH !# 𝜒-.. = # (𝑛 − 𝑚) 𝜎! Comando MATLAB: - chi2inv(alpha, n-m) (per calcolare il valore limite) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 13/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 8. RIMOZIONE DEGLI OUTLIERS Effettuare a mano la rimozione del primo (eventuale) outlier. Per identificare i possibili outlier normalizzare gli scarti (= scarti/dev.std) e confrontarli con il valore limite derivante da un Z-test, considerando un intervallo di ampiezza pari a 2.5. Il primo outlier da rimuovere sarà quello che non passa lo Z-test e corrisponde al valore assoluto maggiore dello scarto normalizzato. Ricompensare ai MQ rimuovendo l’outlier dalle osservazioni e modificare di conseguenza le matrici A e Q. Ripetere la procedura in maniera iterativa finché tutti i sospetti outliers sono stati rimossi (suggerimento: utilizzare un ciclo while). Extra: fare un plot dove le osservazioni rimosse (gli oultiers) sono colorati di rosso. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 14/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 9. VARIANZA DIVERSA TRA I VARI SATELLITI Considerare ora una diversa precisione per le misurazioni effettuate dai vari satelliti, ottenendo quindi una matrice Q diversa dall’identità. Considerare le seguenti deviazioni standard: TOPEX: 10 mm. Jason-1: 5 mm. Jason-2: 4 mm. Jason-3: 3 mm. Costruire quindi la nuova matrice dei cofattori. Nel caso in cui siano presenti osservazioni di più satelliti nello stesso giorno, calcolare la varianza corrispondente con le formule di propagazione. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 15/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 10. RICALCOLARE LA SOLUZIONE AI MQ Utilizzare la nuova matrice Q all’interno della stima ai minimi quadrati, considerando come osservazioni tutte le misurazioni (cioè senza rimuovere outliers). Calcolare tutte le variabili che compongono la soluzione del problema ai minimi quadrati. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 16/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 11. GRAFICO DELLA PREDIZIONE Plottare sullo stesso grafico i dati utilizzati come osservazioni per il problema ai minimi quadrati e i valori predetti dai due modelli (Q = I e varianza diversa tra le osservazioni) lineari ai MQ per la stima della variazione del livello medio marino. Comandi MATLAB: - plot/scatter (per creare un grafico) - xlabel, ylabel, legend, title (per il nome degli assi, la legenda e il titolo) - colorbar (per mostrare la legenda dei colori associati ai vari satelliti) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 17/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 12a. TEST DI SIGNIFICATIVITÀ DEI PARAMETRI Testare ora la significatività di ciascun parametro stimato attraverso il nuovo modello ai minimi quadrati. Ciò significa testare se ognuno è significativamente diverso da zero. Per fare ciò si ipotizza che il valore stimato sia statisticamente uguale a zero, e tramite un t- test si verifica la veridicità di questa ipotesi. Se l’ipotesi è accettata, allora il parametro non significativo può essere rimosso dal sistema ai MQ ed è eseguita una nuova compensazione. Altrimenti, il parametro stimato (e testato) è mantenuto nel modello. Effettuare un test sulla significatività dei parametri del nuovo modello ai minimi quadrati, considerando un livello di significatività alpha = 5%. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 19/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 12b. DI SIGNIFICATIVITÀ DEI PARAMETRI Testare ora la significatività di ciascun parametro stimato attraverso il nuovo modello. Ipotesi H0: 𝑥.0 = 0 Statistica test: 𝑡-.. < 𝑡/0, 𝑥.0 𝑡-.. = 𝑠̂0 Comando MATLAB: - tinv(alpha/2, n-m) (per calcolare il valore limite) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 20/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 13. TEST GLOBALE SUL MODELLO χ2 Effettuare un test globale sul nuovo modello ai minimi quadrati, con ancora alpha = 5%. Ipotesi H0: 𝜎!# = 𝜎.!# Statistica test: # < 𝜒# 𝜒-.. /0, # 𝜎.!# 𝜒-.. = # (𝑛 − 𝑚) 𝜎! Comando MATLAB: - chi2inv(alpha, n-m) (per calcolare il valore limite) | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 18/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici Esercizio 14. PREDIZIONE Utilizzare entrambi i modelli ai MQ precedentemente stimati per predire quale sarà il livello medio marino globale nel 2050. Completare la stima fornendo anche il valore della precisione di stima. | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio 21/21 Roberto Monti, Lorenzo Amici | Trattamento delle Osservazioni – Laboratorio Roberto Monti, Lorenzo Amici